Сократите дробь 22 66: Сократите дроби: а) 22/66, 125/75, 75/100, 24/360, 125/1000, 100/250, 198/126; б) 42/720, 75/300, 40/64, 3/243, 18/300, 45/900, 120/180.

2

Содержание

5 класс. Математика. Никольский. Учебник. Ответы к стр. 173

Обыкновенные дроби

Равенство дробей


Ответы к стр. 173

772. Определите, сократима ли дробь (772, 773):
а) 3040; б) 1570; в) 125335; г) 124240; д) 254628.

а) НОД (30, 40) = 10, значит:
3040 = 30:1040:10 = 34;

б) НОД (15, 70) = 5, значит:
1570 = 15:570:5 = 314;

в) НОД (125, 335) = 5, значит:
125335 = 125:5335:5 = 2567;

г) НОД (124, 240) = 4, значит:
124240 = 124:4240:4 = 3160;

д) НОД (254, 628) = 2, значит:
254628 = 254:2628:2 = 127314.

773. Определите, сократима ли дробь (772, 773):
а) 1227; б) 123402; в) 54801; г) 2329; д) 4546.

а) НОД (12, 27) = 3, значит:
1227 = 12:327:3 = 49;

б) НОД (123, 402) = 3, значит:
123402 = 123:3402:3 = 41134;

в) НОД (54, 801) = 9, значит:
54801 = 54:9801:9 = 689;

г) НОД (23, 29) = 1, значит дробь 2329 несократима;
д) НОД (45, 46) = 1, значит дробь 4546 несократима.

774. Укажите все общие делители и НОД числителя и знаменателя дроби, затем сократите дробь:
а) 1535; б) 4864; в) 6080; г) 4466; д) 3451.

а) 15¦3    35¦5
      5¦5     7¦7
      1¦       1¦
Общие делители 15 и 35: 1, 5.
НОД (15, 35) = 1 • 5 = 5.
1535 = 15:535:5 = 37;

б) 48¦2     64¦2
    24¦2     32¦2
    12¦2     16¦2
      6¦2       8¦2
      3¦3       4¦2
      1¦         2¦2
                  1¦
Общие делители 48 и 64: 1, 24.
НОД (48, 64) = 1 • 24 = 16.
4864 = 48:1664:16 = 34;

в) 60¦2     80¦2
    30¦2     40¦2
    15¦3     20¦2
      5¦5     10¦2
      1¦         5¦5
                  1¦
Общие делители 60 и 80: 1, 22, 5.
НОД (60, 80) = 1 • 22 • 5 = 20.
6080 = 60:2080:20 = 34;

г) 44¦2       66¦2
    22¦2       33¦3
    11¦11     11¦11
      1¦          1¦
Общие делители 44 и 66: 1, 2, 11.
НОД (44, 66) = 1 • 2 • 11 = 22.
4466 = 44:2266:22 = 23;

д) 34¦2       51¦3
    17¦17     17¦17
      1¦          1¦
Общие делители 34 и 51: 1, 17.
НОД (34, 51) = 1 • 17 = 17.
3451 = 34:1751:17 = 23.

775. Сократите дробь:
а) 5472; б) 5668; в) 1864; г) 8154;   д) 2436;
е) 5649; ж) 5075; з) 4864; и) 56168; к) 1854;
л) 4998; м) 1751; н) 1648; о) 25125; п) 1575.

а) 5472 = 54:1872:18 = 34;

б) 5668 = 56:468:4 = 1417;

в) 1864 = 18:264:2 = 932;

г) 8154 = 81:2754:27 = 32;

д) 2436 = 24:1236:12 = 23;

е) 5649 = 56:749:7 = 87;

ж) 5075 = 50:2575:25 = 23;

з) 4864 = 48:1664:16 = 34;

и) 56168 = 56:56168:56 = 13;

к) 1854 = 18:1854:18 = 13;

л) 4998 = 49:4998:49 = 12;

м) 1751 = 17:1751:17 = 13;

н) 1648 = 16:1648:16 = 13;

о) 25125 = 25:25125:25 = 15;

п) 1575 = 15:1575:15 = 15.

Ответы по математике. 5 класс. Учебник. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В.

Математика. 5 класс

Математика 6 класс. Обыкновенные дроби

1. Математика 6 класс. Обыкновенные дроби.

END
Делимость чисел
Делители и
кратные
Признаки
делимости на
10, 5, 2
Разложение на
простые
множители
Признаки
делимости на
9и3
Наибольший
общий
делитель
Простые и
составные
числа
Наименьшее
общее
кратное
Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
Основное
свойство
дроби
Сложение и
вычитание
смешанных
чисел
Сокращение
дробей
Приведение
дробей к
общему
знаменателю
ТРЕНАЖЕР
Сложение, вычитание
дробей с разными
знаменателями
Сравнение,
сложение,
вычитание
дробей
ТРЕНАЖЕР
Сложение и
вычитание
смешанных чисел
Делителем натурального числа а называют
натуральное число, на которое а делится без
остатка.
Пример:
Д(18): 1, 2, 3, 6, 9, 18
Д(37): 1, 37
Д(25): 1, 5, 25
Д(6): 1, 2, 3, 6
Д(19): 1, 19
КОНЕЧНОЕ КОЛИЧЕСТВО
Кратным натурального числа а называют
натуральное число, которое без остатка
делится на а.
Пример:
К(8): 8, 16, 24, 32 …
К(11): 11, 22, 33, 44 …
К(48): 48, 96 …
К(99): 99, 198, 297 …
БЕСКОНЕЧНОЕ КОЛИЧЕСТВО

4. Пример: 1. Доказать, что число 70525 кратно числу 217.

70525 : 217= 325
70525 217
651
____
325
— 542
434
____
5
— 108
1085
____
0
Делится нацело,
значит 70525 кратно 217.

5. Пример: 2. Доказать, что число 729 делитель числа 225261.

225261 : 729 = 309
729
— 225261
2187
____
309
1
656
— ____
6561
0
Делится нацело,
значит 729 делитель
числа 225261.

6. На 10: число оканчивается цифрой 0.

Примеры: 10 10; 100 10; 251 10

7. На 5: число оканчивается цифрами 0 и 5.

Примеры: 10 5; 255 5; 161 5

8.

На 2: число должно быть четным (оканчивается на цифры 0, 2, 4, 6, 8).Примеры: 32 2; 68 2; 51 2
Нечетные числа оканчиваются
цифрами 1, 3, 5, 7, 9.

9. №38.

Слагаемое
Слагаемое
Сумма
а
b
а+b
чет (4)
неч (3)
неч (7)
чет (6)
чет (2)
чет (8)
неч (5)
чет (4)
неч (9)
неч (1)
неч (7)
чет (8)
Уменьшаемое
Вычитаемое
Разность
а
b
а-b
чет (4)
неч (3)
неч (1)
чет (6)
чет (2)
чет (4)
неч (5)
чет (4)
неч (1)
неч (7)
неч (1)
чет (6)
Вывод: сумма и разность одинаковых по четности чисел четна, разных
по четности чисел – нечетна.

10. Простые числа имеют только 2 делителя (1 и само число). (см. таблицу на форзаце учебника)

Составные числа имеют более 2
делителей.
Число 1 не является ни простым,
ни составным.
Примеры:
Простые: 2, 3, 5, 7,…
Составные: 4, 6, 8, 9,…

12. На 9: если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9.

На 3: если сумма цифр числа делится
на 3, то и число делится на 3.
Примеры: 1) 75432 3 ( 9 ), т.к.
7+5+4+3+2=21, 21 3, 21 9.
2) 2772825 3 ( 9), т.к.
2+7+7+2+8+2+5=33, 33 3, 33 9.
3)5402070 3 ( 9), т.к.
5+4+2+7=18, 18 3, 18 9.

14. Любое число можно разложить на простые множители.

Примеры: 216 = 2 2 2 3 3 3 23 33
216
108
54
27
9
3
1
2
2
2
3
3
3
2
Примеры: 60 = 2 2 3 5 2 3 5
60
30
15
5
1
2
2
3
5
НОД (х, у) – это наибольшее натуральное
число, на которое числа х и у делятся без
остатка.
Пример:
Д(6): 1, 2, 3, 6
Д(12): 1, 2, 3, 4, 6, 12
НОД(6, 12) = 6

18. План нахождения НОД:

1. Разложить числа на простые множители.
2. Обвести в кружок одинаковые множители.
3. Найти их произведение – это и есть НОД.
Примеры: НОД(12; 18) = 2 3 6
12
6
3
1
2
2
3
18 2
9 3
3 3
1
Примеры: НОД(675; 825) = 5 5 3 75
675
135
27
9
3
1
5
5
3
3
3
825
165
33
11
1
5
5
3
11
Примеры: НОД(24; 35) = 1
24
12
6
2
1
2
2
3
2
35 5
7 7
1
Нет общих
делителей, кроме
1.
Если у чисел нет общих множителей, кроме 1, то
они называются взаимно простые (НОД(х, у)=1).
НОК (х, у)
– наименьшее натуральное
число, которое кратно и х, и у.

23. План нахождения НОК:

1. Разложить числа на простые множители.
2. В НОК выписать наибольшее число.
3. Домножить выписанное число на
недостающие множители из другого
разложения.
4. Найти произведение.
Примеры: НОК(6; 8) = 8 3 24
8 2
6 2
4 2
3 3
2
Недостающий 2
1 множитель
1
выписали
НОК(72; 99) = 99 2 2 2 99 8 792
72
36
12
4
2
1
2
3
3
2
2
99 3
33 3
11 11
1
НОК(34;51;68) = 68 3 204
34 2
17 17
1
51 3
17 17
1
68 2
34 2
17 17
1
a 2 2 3 5 5
b 2 2 3 3 3 5
НОК(a, b) = 2 2 3 3 3 5 5 =2700
Если числитель и знаменатель дроби
умножить или разделить на одно и то же
натуральное число, то получится равная ей
дробь.

29.

Примеры:1) 2 2 2 4
3
3 2
2 2 3 6
3 3 3 9
6
8
2 2 4
3 3 4 12
2 4 6
8 10
3 6 9 12 15
2) 20 20 : 2 10
24
24 : 2
20 10 5
24 12 6
12
20 20 : 4 5
24 24 : 4 6
НОД используется при
сокращении дробей
Примеры:
198
Сократить дробь:
66 3
3
1452 66 2 11 22
198
99
33
11
1
2 1452 2
3 726 2
3 363 3
11 121 11
11 11
1
НОД(198,1452)= 2 3 11 66 , значит числитель и
знаменатель можно сократить на 66
Примеры:
56
Сократить дробь:
196
56
28
14
7
1
2
2
2
7
196
98
49
7
1
28 2 2
28 7 7
2
2
7
7
НОД(56, 196)= 2 2 7 28 , значит числитель и
знаменатель можно сократить на 28
Примеры:
Сократить дробь:
15 3 5 3
25 5 5 5
2 2 1 1
6 2 3 3
Любые две дроби можно
привести к одному и тому же
знаменателю.
Наименьший общий
знаменатель (НОЗ) равен НОК
знаменателей дробей.

35. План приведения к НОЗ:

1. Найти НОК знаменателей дробей – это
НОЗ.
2. Расставить дополнительные множители
для всех дробей (НОЗ делим на
знаменатели дробей).
3. Умножить числители дробей на
дополнительный множитель.
1
3
Примеры: 6 и 8
НОК(6; 8) = 8 3 24
6
2
3
3
1
4
1
4
1
4
6
24
24
3
3 3 3
9
24
8
24
8
4
2
1
2
2
2
4
7
Примеры: 9 и 15
НОК(9; 15) = 15 3 45
9
3
3
3
1
5
4 5 4 20
9
45
45
3
7 7 3 21
45
15
45
15 5
3 3
1
1. Привести дроби к НОЗ.
2. Сравнить (сложить, вычесть) полученные
дроби.
1
3
Примеры: 1. Сравнить и
6
8
НОК(6; 8) = 8 3 24
6
2
3
3
1
4
1
4
1
4
6
24
24
3
3 3 3
9
24
8
24
8
4
2
1
2
2
2
4
9
24 24
1 3
6 8
3
1
Примеры: 2. 6 8
НОК(6; 8) = 8 3 24
6
2
3
3
1
4
3
8
4
2
1
2
2
2
1 3 1 4 3 3 4
9
13
+
+
=
6 8 24 24 24 24
24
1
3
Примеры: 2. 8 6
НОК(6; 8) = 8 3 24
6
2
3
3
1
3
4
8
4
2
1
2
2
2
3 1 3 3 1 4 9
5
4
1
4 1
=
=
=
8 6 24 24 24 24
24
6
4 6

42. План сложения:

1. Привести дробные части чисел к НОЗ.
2. Отдельно выполнить сложение целых и
дробных частей.
3. Если нужно – сократить дробь.
4. Если при сложении дробных частей
получилась неправильная дробь, выделить целую часть и прибавить к
полученной целой части.

43. План вычитания:

1. Привести дробные части чисел к НОЗ.
2. Если дробная часть уменьшаемого
меньше дробной части вычитаемого,
превратить ее в неправильную дробь,
уменьшив на 1 целую часть.
3. Отдельно выполнить вычитание целых и
дробных частей.
Примеры:
2
3
2
3
7
7 1
1
4
5
8
3 5
3
8
8
14
7
14
14
7 2
2
14
3
2
7
5
31
31
21
10
5 2
5
+2
7 7
=
8
12
24
24
24
24
7
7
7 1 8
24
24
2
2
7 4 11
9
9
3
3
1
5 2
2
10
1
9
8
8
8
8
8
5 15
5 3
3
15 15
15
Примеры:
3 4 3 1
1
4 4 4 4
7
8
7
1
7 1 6 1 5
8
8
8
8
3
3
8 4 4
11
11
3
4
7
3
19
9
28
5
5
5
15 20
60 60
60
7
9
1
9
12
6
21
9
7
10 4 10 4 9 4 5 5
14
2
14
14
7
14
14
14
3
4
7
5
2
8
15
7 3 7
-3 4
36
36
36
12
9

Решить {l}{3x+2y=190}{2x-3y=-22} | Microsoft Math Solver

\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 190 } \\ { 2 x — 3 y = — 22 } \end{array} \right\}

x = \frac{526}{13} = 40\frac{6}{13} \approx 40. 461538462

y = \frac{446}{13} = 34\frac{4}{13} \approx 34.307692308

Викторина

Simultaneous Equation

5 задач, подобных этой:

\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 190 } \\ { 2 x — 3 y = — 22 } \end{array} \right\}

Подобные задачи из результатов поиска в Интернете

Поделиться

Копировать

Скопировано в буфер обмена

3x+2y=190,2x-3y=-22

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

3x+2y=190

Выберите один из уравнений и решите его для x, изолируя x в левой части знака равенства.

3x=-2y+190

Вычтите 2y из обеих частей уравнения.

x=\frac{1}{3}\left(-2y+190\right)

Разделите обе части на 3.

x=-\frac{2}{3}y+\frac{190}{3}

Умножьте \frac{1}{3} на -2y+190.

2\left(-\frac{2}{3}y+\frac{190}{3}\right)-3y=-22

Подставьте \frac{-2y+190}{3} вместо x в другом уравнении 2x-3y=-22.

-\frac{4}{3}y+\frac{380}{3}-3y=-22

Умножьте 2 на \frac{-2y+190}{3}.

-\frac{13}{3}y+\frac{380}{3}=-22

Прибавьте -\frac{4y}{3} к -3y.

-\frac{13}{3}y=-\frac{446}{3}

Вычтите \frac{380}{3} из обеих частей уравнения.

y=\frac{446}{13}

Разделите обе стороны уравнения на -\frac{13}{3}, что равносильно умножению обеих частей на обратную дробь.

x=-\frac{2}{3}\times \left(\frac{446}{13}\right)+\frac{190}{3}

Подставьте \frac{446}{13} вместо y в x=-\frac{2}{3}y+\frac{190}{3}. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

x=-\frac{892}{39}+\frac{190}{3}

Умножьте -\frac{2}{3} на \frac{446}{13}, перемножив числители и знаменатели. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

x=\frac{526}{13}

Прибавьте \frac{190}{3} к -\frac{892}{39}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

x=\frac{526}{13},y=\frac{446}{13}

Система решена.

3x+2y=190,2x-3y=-22

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

\left(\begin{matrix}3&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}190\\-22\end{matrix}\right)

Запишите уравнения в матричном виде.

inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}190\\-22\end{matrix}\right)

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}3&2\\2&-3\end{matrix}\right).

\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}190\\-22\end{matrix}\right)

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}190\\-22\end{matrix}\right)

Перемножение матриц слева от знака равенства.

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{-3}{3\left(-3\right)-2\times 2}&-\frac{2}{3\left(-3\right)-2\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-3\right)-2\times 2}&\frac{3}{3\left(-3\right)-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}190\\-22\end{matrix}\right)

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&\frac{2}{13}\\\frac{2}{13}&-\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}190\\-22\end{matrix}\right)

Выполните арифметические операции.

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}\times 190+\frac{2}{13}\left(-22\right)\\\frac{2}{13}\times 190-\frac{3}{13}\left(-22\right)\end{matrix}\right)

Перемножьте матрицы.

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{526}{13}\\\frac{446}{13}\end{matrix}\right)

Выполните арифметические операции.

x=\frac{526}{13},y=\frac{446}{13}

Извлеките элементы матрицы x и y.

3x+2y=190,2x-3y=-22

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

2\times 3x+2\times 2y=2\times 190,3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\left(-22\right)

Чтобы сделать 3x и 2x равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на 2 и все члены в обеих частях второго уравнения на 3.

6x+4y=380,6x-9y=-66

Упростите.

6x-6x+4y+9y=380+66

Вычтите 6x-9y=-66 из 6x+4y=380 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

4y+9y=380+66

Прибавьте 6x к -6x. Члены 6x и -6x сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

13y=380+66

Прибавьте 4y к 9y. {2}+2 x-3}

Периодические дроби

Существуют дроби, у которых в дробной части некоторые цифры бесконечно повторяются. Выглядят эти дроби следующим образом:

0,66666666666666…

0,33333333333333…

0,68181818181818…

Дроби такого вида называют периодическими. В данном уроке мы попробуем разобраться, что это за дроби и как с ними работать.

Получаем периодическую дробь

Попробуем разделить 1 на 3. Не будем подробно останавливаться на том, как это сделать. Этот момент подробно описан в уроке действия с десятичными дробями, в теме деление меньшего числа на большее. Продвинутый уровень.

Итак, делим 1 на 3

Видно, что мы постоянно получаем остаток 1, далее приписываем к нему 0 и делим 10 на 3. И это повторяется вновь и вновь. В результате в дробной части каждый раз получается цифра 3. Деление 1 на 3 будет выполняться бесконечно, поэтому разýмнее будет остановиться на достигнутом.

Такие дроби называют периодическими, поскольку у них присутствует период цифр, который бесконечно повторяется. Период цифр может состоять из нескольких цифр, а может состоять из одной как в нашем примере.

В примере, который мы рассмотрели выше, период в дроби 0,33333 это цифра 3. Обычно такие дроби записывают сокращённо. Сначала записывают цéлую часть, затем ставят запятую и в скобках указывают период (цифру, которая повторяется).

В нашем примере повторяется цифра 3, она является периодом в дроби 0,33333. Поэтому сокращённая запись будет выглядеть так:

0, (3)

Читается как «ноль целых и три в периоде»


Пример 2. Разделить 5 на 11

Это тоже периодическая дробь. Период данной дроби это цифры 4 и 5, эти цифры повторяются бесконечно. Сокращённая запись будет выглядеть так:

0, (45)

Читается как «ноль целых и сорок пять в периоде»


Пример 3. Разделить 15 на 13

Здесь период состоит из нескольких цифр, а именно из цифр 153846. Для наглядности период отделён синей линией. Сокращённая запись для данной периодической дроби будет выглядеть так:

1, (153846)

Читается как: «одна целая сто пятьдесят три тысячи восемьсот сорок шесть в периоде».


Пример 4. Разделить 471 на 900

В этом примере период начинается не сразу, а после цифр 5 и 2.  Сокращённая запись для данной периодической дроби будет выглядеть так:

0, 52 (3)

Читается как: «ноль целых пятьдесят две сотых и три в периоде».


Виды периодических дробей

Периодические дроби бывают двух видов: чистые и смéшанные.

Если в периодической дроби период начинается сразу после запятой, то такую периодическую дробь называют чистой. Например, следующие периодические дроби являются чистыми:

0, (3)

0, (6)

0, (5)

Видно, что в этих дробях период начинается сразу после запятой.

Если же в периодической дроби период начинается не сразу, а после некоторого количества не повторяющихся цифр, то такую периодическую дробь называют смéшанной. Например, следующие периодические дроби являются смéшанными:

0,52 (3)

0,16 (5)

0,31 (6)

Видно, что в этих дробях период начинается не сразу, а после некоторого количества не повторяющихся цифр.


Избавляемся от хвоста

Подобно тому, как ящерица избавляется от хвоста, мы можем избавить периодическую дробь от повторяющегося периода. Для этого достаточно округлить эту периодическую дробь до нýжного разряда.

Например, округлим периодическую дробь 0, (3) до разряда сотых. Чтобы увидеть сохраняемую и отбрасываемую цифру, временно запишем дробь 0, (3) не в сокращённом виде, а в полном:

Вспоминаем правило округления. Если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то сохраняемая цифра остаётся без изменений.

Значит периодическая дробь 0, (3) при округлении до сотых обращается в дробь 0,33

0, (3) ≈ 0,33


Округлим периодическую дробь 6,31 (6) до разряда тысячных.

Запишем эту дробь в полном виде, чтобы увидеть сохраняемую и отбрасываемую цифру:

Вспоминаем правило округления. Если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Значит периодическая дробь 6,31 (6) при округлении до тысячных обращается в дробь 6,317

6,31 (6) ≈ 6,317


Перевод чистой периодической дроби в обыкновенную дробь

Перевод периодической дроби в обыкновенную это операция, которую мы будем применять довольно редко. Тем не менее, для общего развития желательно изучить и этот момент. А начнём мы с перевода чистой периодической дроби в обыкновенную дробь.

Мы уже говорили, что если период в периодической дроби начинается сразу после запятой, то такую дробь называют чистой.

Чтобы перевести чистую периодическую дробь в обыкновенную дробь, нужно в числитель обыкновенной дроби записать период периодической дроби, а в знаменатель обыкновенной дроби записать некоторое количество девяток. При этом, количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби.

В качестве примера, рассмотрим чистую периодическую дробь 0, (3) — ноль целых и три в периоде. Попробуем перевести её в обыкновенную дробь.

Правило гласит, что в первую очередь в числитель обыкновенной дроби нужно записать период периодической дроби.

Итак, записываем в числителе период дроби 0, (3) то есть тройку:

А в знаменатель нужно записать некоторое количество девяток. При этом,  количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби 0, (3).

В периодической дроби 0, (3) период состоит из одной цифры 3. Значит в знаменателе обыкновенной дроби записываем одну девятку:

Полученную дробь можно сократить на 3, тогда получим следующее:

Получили обыкновенную дробь  .

Таким образом, при переводе периодической дроби 0, (3) в обыкновенную дробь получается


 Пример 2. Перевести периодическую дробь 0, (45) в обыкновенную дробь.

Здесь период составляет две цифры 4 и 5. Записываем эти две цифры в числитель обыкновенной дроби:

А в знаменатель записываем некоторое количество девяток. Количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби 0, (45).

В периодической дроби 0, (45) период состоит из двух цифр 4 и 5. Значит в знаменателе обыкновенной дроби записываем две девятки:

Полученную дробь    можно сократить эту дробь на 9, тогда получим следующее:

Таким образом, при переводе периодической дроби 0, (45) в обыкновенную дробь получается 


Перевод смешанной периодической дроби в обыкновенную дробь

Чтобы перевести смешанную периодическую дробь в обыкновенную дробь, нужно в числителе записать разность в которой уменьшаемое это цифры, стоящие после запятой в периодической дроби, а вычитаемое — цифры, стоящие между запятой и первым периодом периодической дроби.

В знаменателе же нужно записать некоторое количество девяток и нулей. При этом, количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби, а количество нулей должно быть равно количеству цифр между запятой и периодом периодической дроби.

Например, переведём смешанную периодическую дробь 0,31 (6) в обыкновенную дробь.

Сначала запишем в числителе разность. Уменьшаемым будут все цифры, стоящие после запятой (включая и период), а вычитаемым будут цифры, стоящие между запятой и периодом:

Итак, записываем в числителе разность:

А в знаменателе запишем некоторое количество девяток и нулей. Количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби 0,31 (6)

В дроби 0,31 (6) период состоит из одной цифры. Значит в знаменатель дроби записываем одну девятку:

Теперь дописываем количество нулей. Количество нулей должно быть равно количеству цифр между запятой и периодом периодической дроби.

В дроби 0,31 (6) между запятой и периодом располагается две цифры. Значит в знаменателе дроби должно быть два нуля. Дописываем их:

Получили выражение, которое вычисляется легко:

Получили ответ 

Таким образом, при переводе периодической дроби 0,31 (6) в обыкновенную дробь, получается


Пример 2. Перевести смешанную периодическую дробь 0,72 (62) в обыкновенную дробь

Сначала запишем в числителе разность.

Уменьшаемым будут все цифры, стоящие после запятой (включая и период), а вычитаемым будут цифры, стоящие между запятой и периодом:

Итак, записываем в числителе разность:

А в знаменателе запишем некоторое количество девяток и нулей. Количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби 0,72 (62)

В дроби 0,72 (62) период состоит из двух цифр. Значит в знаменатель дроби записываем две девятки:

Теперь дописываем количество нулей. Количество нулей должно быть равно количеству цифр между запятой и периодом периодической дроби.

В дроби 0,72 (62) между запятой и периодом располагаются две цифры. Значит в знаменателе дроби должно быть два нуля. Дописываем их:

  

Получили выражение, которое вычисляется легко:

Получили ответ  

Значит при переводе периодической дроби 0,72 (62) в обыкновенную дробь, получается 


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Опубликовано

Сократимые и несократимые дроби.

— tutomath.ru репетитор по математике

Дроби делятся на сократимые и несократимые дроби. Рассмотрим подробнее какую дробь называются сократимой и какую дробь называют несократимой.

Сократимая дробь, определение и примеры.

Определение:
Сократимая дробь – это дробь у которой числитель и знаменатель имеют общий положительный делитель не равный нулю и единице.

Например:
Докажите, что дробь \(\frac{20}{35}\) является сократимой.

Решение:
Распишем числитель и знаменатель на простые множители, найдем их наибольший общий делитель (НОД).
20=2⋅2⋅5
35=5⋅7

Так как у числителя и знаменателя повторяется множитель 5, это число и будет их наибольшим общим делителем.
НОД(20, 35)=5
Сократим дробь на НОД.

\(\frac{20}{35}=\frac{4 \times 5}{7 \times 5}=\frac{4}{7}\)

Из сократимой дроби \(\frac{20}{35}\) получили несократимую дробь \(\frac{4}{7}\).

Несократимая дробь, определение и примеры.

Какие же дроби несократимые или что значит несократимая дробь? Ответ на вопрос кроется в определении.

Определение:
Несократимая дробь – это дробь у которой числитель и знаменатель имеют только один общий делитель равный единице, то есть числитель и знаменатель являются взаимно-простыми числами.

Рассмотрим пример:
Докажите, что дробь \(\frac{137}{149}\) является несократимой дробью.

Решение:
Число 137 является простым, так как оно делиться на 1 и на само себя.
Число 149 является простым, так как оно делиться на 1 и на само себя.
У числителя 137 и знаменателя 149 нет общих делителей, поэтому дробь \(\frac{137}{149}\) является несократимой.

Правило несократимой дроби.

Правило:

  1. Нужно расписать на простые множители числитель и знаменатель.
  2. Нужно посмотреть есть ли у числителя и знаменателя общие множители. Если множители есть, то сократить дробь.
  3. Оставшиеся множители перемножить и записать полученную несократимую дробь.

Пример:
Запишите сократимую дробь в виде несократимой обыкновенной дроби \(\frac{55}{100}\).

Решение:
По правилу несократимой дроби распишем числитель и знаменатель на простые множители.
55=5⋅11
100=5⋅2⋅2⋅5
Видим, что у числителя и знаменателя есть общий множитель равный 5, поэтому сокращаем дробь на 5.

\(\frac{55}{100}=\frac{5 \times 11}{5 \times 20}=\frac{11}{20}\)

Ответ: получили несократимую дробь \(\frac{11}{20}\).

Неправильные сократимые и несократимые дроби.

Чтобы перевести неправильную сократимую дробь в неправильную несократимую дробь

, мы пользуемся теми же правилами, что и для правильной сократимой дроби. Рассмотрим пример:

Запишите неправильную сократимую дробь в виде неправильной несократимой дроби \(\frac{32}{20}\).

Решение:
Разложим числитель и знаменатель на простые множители.
32=2⋅2⋅2⋅2⋅2
20=5⋅2
Общий множитель у числителя и знаменателя равен 2. Распишем

\(\frac{32}{20}=\frac{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2}{5 \times 2}=\frac{16 \times 2}{5 \times 2}=\frac{16}{5}\)

Ответ: получили несократимую неправильную дробь \(\frac{16}{5}\).

Вопросы по теме:
Как узнать сократима ли дробь?
Ответ: чтобы узнать сократима ли дробь для начала нужно расписать числитель и знаменатель на простые множители, а потом посмотреть если у них общие множители, если есть, то дробь сократима, иначе – несократима. Рассмотрим пример.

Определите сократима ли дробь \(\frac{16}{25}\).

Решение:
Распишем числитель и знаменатель на простые множители.
16=2⋅2⋅2⋅2
25=5⋅5
Видно, что у числителя и знаменателя нет общих множителей (одинаковых множителей), следовательно, дробь несократима.

Пример:
Сколько несократимых правильных дробей: а) \(\frac{8}{25}\) б) \(\frac{6}{4}\) в) \(\frac{13}{5}\) г) \(\frac{36}{44}\).

Решение:
а) У числителя и знаменателя дроби \(\frac{8}{25}\)  (8=2⋅2⋅2, 25=5⋅5) нет общих множителей, поэтому это правильная несократимая дробь. По условию это дробь нам подходит.

б) У числителя и знаменателя дроби \(\frac{6}{4}\) (6=2⋅3, 4=2⋅2, \(\frac{6}{4}=\frac{2 \times 3}{2 \times 2}=\frac{3}{2}\) ) есть общий множитель равный 2, поэтому это дробь сократимая и еще неправильная, потому что числитель больше знаменателя. По условию задания эта дробь нам не подходит.

в) Числитель и знаменатель дроби \(\frac{13}{5}\), 5 и 13 простые числа, поэтому общих множителей кроме 1 у них нет, дробь несократимая. Так как числитель больше знаменателя дробь неправильная, поэтому по условию задания нам она не подходит.

г) Числитель и знаменатель дроби \(\frac{36}{44}\) (36=2⋅2⋅3⋅3, 44=2⋅2⋅11) имеют общий множитель равный 4, поэтому дробь \(\frac{36}{44}=\frac{4 \times 9}{4 \times 11}=\frac{9}{11}\) является сократимой, правильной. Нам по условию задания не подходит.

Ответ: \(\frac{8}{25}\) несократимая, правильная дробь.

Пример:
Сколько имеется правильных несократимых дробей со знаменателем: а) 145 б) 123 в) 133 г) 115.

Решение:
а) Распишем на простые множители знаменатель 145:
145=5⋅29
Нужно исключить все числа от 1 до 144 кратные 5 и 29.
На 5 делится: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 105, 110, 115, 120, 125, 130, 135, 140.

На 29 делится: 29, 58, 87, 116.
В сумме получаем 32 числа, которые имеют общий множитель с число 145. Всего у нас чисел 144.
144-32=112
Ответ: 112 правильных несократимых дробей со знаменателем 145.

б) Распишем на простые множители знаменатель 123:
123=3⋅41
В диапазоне чисел от 1 до 122 исключаем числа кратные 3 и 41.
На число 3 делится, поэтому не могут находиться в числителе: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 69, 72, 75, 78, 81, 84, 87, 90, 93, 96, 99, 102, 105, 108, 111, 114, 117, 120.
На 41 делится: 41, 82.
В сумме получаем 40+2=42 числа, которые имеют общий множитель с число 123, поэтому мы их исключим. Всего у нас чисел 122.
122-42=80
Ответ: 80 правильных несократимых дробей со знаменателем 123.

в) Распишем на простые множители знаменатель 133:
133=7⋅19
Числа от 1 до 132 исключаем, они делятся на 7 и 19, для того чтобы получить все несократимые дроби от \(\frac{1}{133}\) до \(\frac{132}{133}\).
Число 7 кратно: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98, 105, 112, 119, 126. Всего 18 чисел.
Число 19 кратно:19, 38, 57, 76, 95, 114. Всего 6 чисел.
132-18-6=108
Ответ: 108 правильных несократимых дробей со знаменателем 133.

г) Распишем на простые множители знаменатель 115:
115=5⋅23
Числа от 1 до 114 исключаем.
На 5 делится: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 105, 110. Всего 22 числа.
На 23 делится число: 23, 46, 96, 92. Всего 4 чисел.
114-22-4=88
Ответ: 88 правильных несократимых дробей со знаменателем 115.

Нестандартная задача по математике:


Когда нельзя сокращать сократимую обыкновенную дробь?

Ответ: когда сократимая обыкновенная дробь является номером углового дома или квартала.

Что такое упрощенное 22/66? Сократите дробь 22/66 до наименьшего члена

Вы хотите вычислить, как упростить дробь 22/66? В этом действительно простом руководстве мы научим вас, как именно упростить 22/66 и преобразовать его в низшую форму (иногда это называется сокращением дроби до низших членов).

Начнем с того, что число над чертой (22) в дроби называется числителем, а число под чертой (66) называется знаменателем.

Итак, что мы хотим здесь сделать, так это упростить числитель и знаменатель в 22/66 до наименьших возможных значений, сохранив фактическую дробь прежней.

Для этого мы используем то, что называется наибольшим общим делителем . Он также известен как наибольший общий делитель и, проще говоря, это наибольшее число, которое делится точно на два или более чисел.

В нашем случае с 22/66 наибольший общий множитель равен 22. Получив это, мы можем разделить на него и числитель, и знаменатель, и вуаля, дробь упрощается:

22/22 = 1

66/22 = 3

1 / 3

Это означает, что следующие дроби одинаковы:

22 / 66 знак равно 1 / 3

Вот и все! Теперь вы точно знаете, как упростить 22/66 до минимума. Надеюсь, вы поняли процесс и можете использовать те же методы для самостоятельного упрощения других дробей. Полный ответ приведен ниже:

1/3

Преобразование 22/66 в десятичную

Вот небольшой бонусный расчет, который поможет вам легко определить десятичный формат дроби, которую мы рассчитали. Все, что вам нужно сделать, это разделить числитель на знаменатель, и вы можете преобразовать любую дробь в десятичную:

22 / 66 знак равно 0.3333

Процитируйте, дайте ссылку или ссылку на эту страницу

Если вы нашли этот контент полезным в своем исследовании, пожалуйста, сделайте нам большую услугу и используйте инструмент ниже, чтобы убедиться, что вы правильно ссылаетесь на нас, где бы вы его ни использовали. Мы очень ценим вашу поддержку!

  • Что такое 22/66 Simplified?

  • «Что такое 22/66 упрощенный?». VisualFractions.com . По состоянию на 22 сентября 2022 г. http://visualfractions.com/calculator/simplify-fractions/what-is-22-66-simplified/.

  • «Что такое 22/66 упрощенный?». VisualFractions.com , http://visualfractions.com/calculator/simplify-fractions/what-is-22-66-simplified/. По состоянию на 22 сентября 2022 г.

  • Что такое упрощенный формат 22/66?. VisualFractions.com. Получено с http://visualfractions.com/calculator/simplify-fractions/what-is-22-66-simplified/.

Предустановленный список примеров сокращения дробей

Ниже приведены ссылки на некоторые предустановленные расчеты, которые обычно ищут:

Что такое 1/2 упрощенный?

Что на 1/3 упрощено?

Что такое 1/4 упрощенное?

Что на 1/5 упрощено?

Что такое упрощенное 1/6?

Что такое упрощенное 1/7?

Что такое 1/8 упрощенная?

Что такое 1/9 упрощенная?

Что такое 1/10 упрощенная?

Что такое упрощенное 1/11?

Что такое упрощенное 1/12?

Что такое упрощенное 1/13?

Что такое упрощенное 1/14?

Что такое упрощенное 1/15?

Что такое упрощенное 1/16?

Что такое упрощенное 1/17?

Что такое упрощенный масштаб 1/18?

Что такое 1/19 упрощенная?

Что такое упрощенное 1/20?

Что такое упрощенное на 2/3?

Что такое упрощенное 2/4?

Что такое упрощенное 2/5?

Что такое упрощенное 2/6?

Что такое упрощенное 2/7?

Что такое упрощенное 2/8?

Что такое упрощенное 2/9?

Что такое упрощенное 2/10?

Что такое упрощенное 2/11?

Что такое упрощенное 2/12?

Что такое упрощенное 2/13?

Что такое упрощенное 2/14?

Что такое упрощенное 2/15?

Что такое упрощенное 2/16?

Что такое упрощенное 2/17?

Что такое упрощенное 2/18?

Что такое упрощенное 2/19?

Что такое упрощенное 2/20?

Что такое упрощенное на 3/4?

Что такое упрощенное 3/5?

Что такое упрощенное 3/6?

Что такое упрощенное 3/7?

Что такое упрощенное 3/8?

Что такое упрощенное 3/9?

Что такое упрощенное 3/10?

Что такое упрощенное 3/11?

Что такое упрощенное 3/12?

Что такое упрощенное 3/13?

Что такое упрощенное 3/14?

Что такое упрощенное 3/15?

Что такое упрощенное 3/16?

Что такое упрощенное 3/17?

Что такое упрощенное 3/18?

Что такое упрощенное 3/19?

Что такое упрощенное 3/20?

Что такое упрощенное 4/5?

Что такое упрощенное 4/6?

Что такое упрощенное 4/7?

Что такое упрощенное 4/8?

Что такое упрощенное 4/9?

Что такое упрощенное 4/10?

Что такое упрощенное 4/11?

Что такое упрощенное 4/12?

Что такое упрощенное 4/13?

Что такое упрощенное 4/14?

Что такое упрощенное 4/15?

Что такое упрощенное 4/16?

Что такое упрощенное 4/17?

Что такое упрощенное 4/18?

Что такое упрощенное 4/19?

Что такое упрощенное 4/20?

Что такое упрощенное 5/6?

Что такое упрощенное 5/7?

Что такое упрощенное 5/8?

Что такое упрощенное 5/9?

Что такое 5/10 упрощенный?

Что такое 5/11 упрощенный?

Что такое упрощенное 5/12?

Что такое упрощенное 5/13?

Что такое упрощенное 5/14?

Что такое упрощенное 5/15?

Что такое упрощенное 5/16?

Что такое упрощенное 5/17?

Что такое упрощенное 5/18?

Что такое упрощенное 5/19?

Что такое упрощенное 5/20?

Что такое упрощенное 6/7?

Что такое упрощенное 6/8?

Что такое упрощенное 6/9?

Что такое 6/10 упрощенный?

Что такое упрощение 6/11?

Что такое упрощенное 6/12?

Что такое упрощенное 6/13?

Что такое упрощенное 6/14?

Что такое упрощенное 6/15?

Что такое упрощенное 6/16?

Что такое упрощенное 6/17?

Что такое упрощенное 6/18?

Что такое упрощенное 6/19?

Что такое упрощенное 6/20?

Что такое упрощенное 7/8?

Что такое упрощенное 7/9?

Что такое 7/10 упрощенный?

Что такое упрощенное 7/11?

Что такое упрощенное 7/12?

Что такое упрощенное 7/13?

Что такое упрощенное 7/14?

Что такое упрощенное 7/15?

Что такое упрощенное 7/16?

Что такое упрощенное 7/17?

Что такое упрощенное 7/18?

Что такое упрощенное 7/19?

Что такое упрощенное 7/20?

Что такое упрощенное 8/9?

Что такое упрощенное 8/10?

Что такое упрощенное 8/11?

Что такое упрощенное 8/12?

Что такое упрощенное 8/13?

Что такое упрощенное 8/14?

Что такое упрощенное 8/15?

Что такое упрощенное 8/16?

Что такое упрощенное 8/17?

Что такое упрощенное 8/18?

Что такое упрощенное 8/19?

Что такое упрощенное 8/20?

Что такое 9/10 упрощенный?

Что такое упрощение 11 сентября?

Что такое упрощенное 9/12?

Что такое упрощенное 9/13?

Что такое упрощение 14 сентября?

Что такое упрощенное 9/15?

Что такое упрощенное 9/16?

Что такое упрощенное 9/17?

Что такое упрощенное 9/18?

Что такое упрощенное 9/19?

Что такое упрощенное 9/20?

Что такое упрощение 10/11?

Что такое упрощенное 10/12?

Что такое упрощенное 10/13?

Что такое упрощенное 10/14?

Что такое упрощенное 10/15?

Что такое упрощенное 10/16?

Что такое упрощенное 10/17?

Что такое упрощенное 10/18?

Что такое упрощенное 10/19?

Что такое упрощенное 10/20?

Что такое упрощенное 11/12?

Что такое упрощение 11/13?

Что такое упрощение 11/14?

Что такое упрощение 11/15?

Что такое упрощенное 11/16?

Что такое упрощение 17 ноября?

Что такое упрощенное 11/18?

Что такое упрощенное 11/19?

Что такое упрощение 11/20?

Что такое упрощенное 12/13?

Что такое 12/14 упрощенный?

Что такое упрощенное 12/15?

Что такое упрощенное 12/16?

Что такое 12/17 упрощенный?

Что такое 12/18 упрощенный?

Что такое 12/19 упрощенный?

Что такое упрощенное 12/20?

Что такое 13/14 упрощенный?

Что такое 13/15 упрощенный?

Что такое упрощенное 13/16?

Что такое 13/17 упрощенный?

Что такое 13/18 упрощенный?

Что такое 13/19 упрощенный?

Что такое упрощенное 13/20?

Что такое упрощенное 14/15?

Что такое упрощенное 14/16?

Что такое 14/17 упрощенный?

Что такое упрощенное 14/18?

Что такое упрощенное 14/19?

Что такое упрощенное 14/20?

Что такое упрощенное 15/16?

Что такое 15/17 упрощенный?

Что такое упрощенное 15/18?

Что такое 15/19 упрощенный?

Что такое упрощенное 15/20?

Что такое упрощенное 16/17?

Что такое упрощенное 16/18?

Что такое 16/19 упрощенный?

Что такое упрощенное 16/20?

Что такое упрощенное 17/18?

Что такое 17/19 упрощенный?

Что такое 17/20 упрощенный?

Что такое упрощенное 18/19?

Что такое упрощенное 18/20?

Что такое упрощенное 19/20?

Задачи на упрощение случайных дробей

Если вы добрались до этого конца страницы, значит, вы ДЕЙСТВИТЕЛЬНО любите упрощать дроби? Ниже приведена куча случайно сгенерированных вычислений для вашего удовольствия:

Что такое упрощенное 173/472?

Что такое упрощенный 963/987?

Что такое упрощенный 453/726?

Что такое 328/449 упрощенный?

Что такое упрощенное 168/666?

Что такое 358/834 упрощенный?

Что такое упрощенный 694/905?

Что такое упрощенный 340/773?

Что такое упрощенный 875/923?

Что такое упрощенное 11/365?

Что такое упрощенный 869/958?

Что такое 98/597 упрощенный?

Что такое упрощенный 505/815?

Что такое упрощенный 528/541?

Что такое упрощенный 629/738?

Что такое упрощенное 248/687?

Что такое упрощенный 927/997?

Что такое упрощенный 490/912?

Что такое упрощенный 322/831?

Что такое упрощенный 249/705?

Что такое упрощенный 880/994?

Что такое упрощенный 789/790?

Что такое упрощенный 919/964?

Что такое упрощенный 744/828?

Что такое упрощенный 446/516?

Что такое 114/712 упрощенный?

Что такое упрощенное 127/464?

Что такое 109/945 упрощенный?

Что такое 576/593 упрощенный?

Что такое упрощенный 719/908?

Что такое упрощенный 686/853?

Что такое упрощенный 514/882?

Что такое упрощенный 447/577?

Что такое 148/723 упрощенный?

Что такое упрощенный 414/708?

Что такое 108/737 упрощенный?

Что такое 331/366 упрощенный?

Что такое упрощенный 986/990?

Что такое упрощенный 756/802?

Что такое 274/755 упрощенный?

Что такое упрощенный 435/760?

Что такое 345/403 упрощенный?

Что такое упрощенный 653/852?

Что такое упрощенный 287/740?

Что такое упрощенный 258/740?

Что такое упрощенный 156/925?

Что такое 125/629 упрощенный?

Что такое упрощенный 504/688?

Что такое упрощенный 636/922?

Что такое упрощенный 944/972?

Что такое упрощенный 690/696?

Что такое упрощенный 674/715?

Что такое упрощенный 340/843?

Что такое 336/839упрощенный?

Что такое упрощенное 50/226?

Что такое упрощенный 907/987?

Что такое 77/971 упрощенный?

Что такое упрощенный 215/804?

Что такое упрощенный 800/830?

Что такое упрощенный 942/952?

Что такое упрощенный 176/444?

Что такое упрощенный 732/995?

Что такое упрощенный 792/892?

Что такое упрощенный 441/657?

Что такое упрощенный 805/868?

Что такое упрощенное 360/548?

Что такое упрощенный 238/771?

Что такое упрощенный 291/688?

Что такое упрощенный 238/778?

Что такое 50/407 упрощенный?

Что такое упрощенный 441/491?

Что такое упрощенный 872/899?

Что такое упрощенный 866/884?

Что такое упрощенный 76/393?

Что такое 364/823 упрощенный?

Что такое упрощенный 713/780?

Что такое упрощенный 257/679?

Что такое упрощенный 512/552?

Что такое 620/769упрощенный?

Что такое 118/141 упрощенный?

Что такое упрощенный 873/902?

Что такое упрощенный 701/879?

Что такое упрощенный 508/811?

Что такое 208/900 упрощенный?

Что такое упрощенный 609/682?

Что такое упрощенный 563/771?

Что такое упрощенный 88/771?

Что такое 13/156 упрощенный?

Что такое 238/322 упрощенный?

Что такое упрощенный 929/968?

Что такое упрощенный 149/422?

Что такое упрощенный 811/924?

Что такое упрощенный 743/865?

Что такое упрощенное 190/374?

Что такое упрощенный 971/975?

Что такое упрощенный 78/537?

Что такое упрощенный 391/833?

Что такое упрощенный 890/932?

Что такое упрощенный 819/865?

Что такое упрощенный 350/776?

Что такое упрощенный 95/666?

Мэтуэй | Популярные проблемы

93-8
1
9 Оценить квадратный корень из 12
10 Оценить квадратный корень из 20
11 Оценить квадратный корень из 50 94
18 Оценить квадратный корень из 45
19 Оценить квадратный корень из 32
20 Оценить квадратный корень из 18 92

22 66 В простейшей форме

22 66 в простейшей форме — Следовательно, 22/6, упрощенное до минимума, равно 11/3. 10/33 что такое 21 на 66 в простейшей форме? Простейший онлайн-калькулятор форм Byju ускоряет и упрощает расчеты, поскольку значение отображается за доли секунд. Поэтому введите значение числителя и знаменателя в данное поле ввода, затем нажмите кнопку расчета, система автоматически рассчитает простейшую форму этого значения дроби. 21 на 66 равно 21/66, и для упрощения вы должны найти общие делители двух чисел (знаменатель и числитель). Чтобы сократить дробь до наименьших членов (также называемых ее простейшей формой), просто разделите и числитель, и знаменатель на НОД (наибольший общий делитель). Чтобы получить 22,66 в виде дроби в простейшей форме, мы должны разделить как числитель, так и знаменатель на gcf (2266,100): Например, 2 и 3 — это делители 6, потому что, умножив их, вы получите 6. Чтобы сократить дробь до наименьших членов (также называемых ее простейшей формой), просто разделите и числитель, и знаменатель на НОД (наибольший общий делитель). = 22 ÷ 22 66 ÷ 22 = 1 3 (hcf 22 и 66 = 22) = 1 :

Читайте дальше, чтобы узнать все о 22,66 как дроби. Например, 3/4 находится в низшей форме, а 6/8 — не в низшей форме (нод 6 и 8 равен 2), а 6/8 можно записать как 3/4. Мы делаем это, сначала находя наибольший общий делитель 22 и 66, который равен 22. 22 / 66 = 22 ÷ 22 / 66 ÷ 22 = 1 / 3 1/3, следовательно, 22/66 в упрощенном виде составляет 1/3.

Вопрос Видео Преобразование десятичных чисел в смешанные

= 22 ÷ 22 66 ÷ 22 = 1 3 (hcf 22 и 66 = 22) = 1 : Используя приведенные выше шаги, вот работа, необходимая для решения дроби 22/66 в простейшей форме. Простейшая форма 22/66 — 1/3.

Показать изображение

РЕШЕНО Приведите каждую дробь к простейшему виду. \фр…

Разделите и числитель, и знаменатель на НОД 66 ÷ 22 / 22 ÷ 22; Используя приведенные выше шаги, вот работа, необходимая для решения дроби 22/66 в простейшей форме. Например, 2 и 3 — это делители 6, потому что, умножив их, вы получите 6.

Показать изображение

РЕШЕНОВыразите каждое отношение в виде простой дроби…

Следовательно, верно это равенство: Чтобы уменьшить эту дробь, просто разделите числитель и знаменатель на 22 (gcf). 21 на 66 равно 21/66, и для упрощения вы должны найти общие делители двух чисел (знаменатель и числитель).

Показать изображение

РЕШЕНОРазделить. Запишите каждый результат в простейшей форме…

Мы запишем 22,66 как дробь в простейшей форме как 1133/50. Что такое упрощенная форма 22/69? Читайте дальше, чтобы узнать все о 22,66 как дроби.

Показать изображение

РЕШЕНО Запишите разницу в простейшей форме. \фр…

Используя приведенные выше шаги, вот работа, необходимая для решения дроби 22/66 в простейшей форме. Например, 3/4 находится в низшей форме, а 6/8 — не в низшей форме (нод 6 и 8 равен 2), а 6/8 можно записать как 3/4. Если числитель больше или равен знаменателю дроби, то такая дробь называется неправильной.

Показать изображение

РЕШЕНО Запишите разницу в простейшей форме. \фр…

Если числитель больше или равен знаменателю дроби, то такая дробь называется неправильной. Мы запишем 22,66 как дробь в простейшей форме как 1133/50. Затем мы делим и 66, и 22 на наибольший общий делитель, чтобы получить следующую упрощенную дробь:

Показать изображение

РЕШЕНО Запишите сумму в простейшей форме. \frac{2 x+…

Найдите gcd (или hcf) числителя, а gcd знаменателя 66 и 22 равен 22; Чтобы получить 22,66 в виде дроби в простейшей форме, мы должны разделить как числитель, так и знаменатель на gcf (2266,100): Таким образом, 2266 эквивалентно 13 в сокращенной форме.

Показать изображение

РЕШЕНОРазделить. Запишите каждый результат в простейшей форме…

21 на 66 равно 21/66, и для упрощения вы должны найти общие делители двух чисел (знаменатель и числитель). Найдите gcd (или hcf) числителя, а gcd знаменателя 66 и 22 равен 22; (*) множители — это числа, которые умножаются друг на друга, чтобы получить другое число.

Показать изображение

РЕШЕНОПосле нахождения простейшей формы каждого фр…

Итак, 2266 = 22÷2266÷22 = 13. Дробь принадлежит делению числителя на знаменатель. 22,66 как дробь в самом низком выражении составляет 1133/50.

Показать изображение

РЕШЕНО Запишите каждое выражение в простейшем радикале

Если числитель больше или равен знаменателю дроби, то такая дробь называется неправильной. = 22 ÷ 22 66 ÷ 22 = 1 3 (hcf 22 и 66 = 22) = 1 : 44/12 11/3 66/18 110/30 154/42.

Показать изображение

Затем мы делим и 22, и 65 на наибольший общий делитель, чтобы получить следующую упрощенную дробь: 66 разделить на 3 = 22, а 21 разделить на 3 = 7. Чтобы получить 22,66 в виде дроби в простейшей форме, мы должны разделить как числитель, так и знаменатель на gcf (2266,100): 22/66 = 1/3, если числитель больше или равен знаменателю дроби, то такая дробь называется неправильной. Чтобы уменьшить эту дробь, просто разделите числитель и знаменатель на 22 (gcf). Преобразование неправильных дробей в смешанные числа в простейшей форме. Например, 3/4 находится в низшей форме, а 6/8 — не в низшей форме (нод 6 и 8 равен 2), а 6/8 можно записать как 3/4. Например, 3/4 находится в низшей форме, а 6/8 — не в низшей форме (нод 6 и 8 равен 2), а 6/8 можно записать как 3/4. Например, 2 и 3 — это делители 6, потому что, умножив их, вы получите 6. Мы делаем это, сначала находя наибольший общий делитель 22 и 66, который равен 22.

1/3, следовательно, верно это уравнение: Чтобы сократить дробь до наименьших членов (также называемых ее простейшей формой), просто разделите и числитель, и знаменатель на НОД (наибольший общий делитель). Онлайн-калькулятор упрощенных дробей, чтобы быстро и легко преобразовать 66/22 в наименьшие члены. Следовательно, верно это равенство: 1/6 + 3/22 66 является общим знаменателем 11*1/11*6 + 3*3/3*22 11/66 + 9/66 = 20/66, что в простейшей форме. Разделите и числитель, и знаменатель на НОД 66 ÷ 22 / 22 ÷ 22; 1/3, следовательно, 22/66 в упрощенном виде составляет 1/3. Затем мы делим и 66, и 22 на наибольший общий делитель, чтобы получить следующую упрощенную дробь: Простейшая форма 22/66 — 1/3. Обычным в данном случае является 3.

Чтобы сократить дробь до наименьших членов (также называемых ее простейшей формой), просто разделите и числитель, и знаменатель на НОД (наибольший общий делитель). 44/6 22/12 66/6 22/18 23/6 22/7 21/6 22/5. Итак, 2266 = 22÷2266÷22 = 13. (*) множители — это числа, которые умножаются друг на друга, чтобы получить другое число. 22,66 как дробь в самом низком выражении составляет 1133/50. Поэтому введите значение числителя и знаменателя в данное поле ввода, затем нажмите кнопку расчета, система автоматически рассчитает простейшую форму этого значения дроби. Наибольший общий делитель (gcf) числителя (22) и знаменателя (66) равен 22. Таким образом, 2266 эквивалентно 13 в сокращенной форме. Калькулятор упрощения позволяет взять простое или сложное выражение, упростить и привести его к простейшей форме. Для упрощения дроби необходимо:

Приведите дробь 28/132 к простейшей форме

Алгебра 1

Кэролайн Р.

спросил 26.07.19

Подписаться І 1

Подробнее

Отчет

4 ответа от опытных наставников

Лучший Новейшие Самый старый

Автор: Лучшие новыеСамые старые

Дэвид В. ответил 26.07.19

Репетитор

4.7 (81)

Опытный профессор

Об этом репетиторе ›

Об этом репетиторе ›

Вы должны найти общий множитель, общий для числителя и знаменателя. Факторы — это числа, которые вы можете перемножить, чтобы получить другое число. Факторы либо составные числа или простые числа (за исключением того, что 0 и 1 не являются ни простыми, ни составными).

Простое число — это целое число, большее 1, единственными делителями которого являются 1 и само себя. Множитель – это целое число, которое можно без остатка разделить на другое число. Первые несколько простых чисел — это 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 и 29. Числа, имеющие более двух делителей, называются составными числами.

Итак, вы можете либо найти общие множители (либо простые, например 2, либо составные, например 4), и разделить числитель и знаменатель на этот множитель, и продолжать делать это до тех пор, пока не перестанете находить общие множители — — или вы можете найти все простых делителей каждого числа при запуске .

Простые множители 28 = 2*2*7

Простые множители 132 = 2*2*3*11

[Обратите внимание, что когда простое число встречается несколько раз, можно использовать показатель степени, чтобы показать это.]

Для этой задачи (2*2) является общим множителем. Сократите это в числителе и знаменателе. Остается (7)/(3*11).

Простейшая форма 7/33.

Теперь, если вы изучите метод быстрого нахождения простых множителей составного числа, этот метод будет быстрым и полностью уменьшит дробь [больше никаких догадок!].

Голосовать за 0 Понизить

Подробнее

Отчет

Кейт Б. ответил 26.07.19

Репетитор

4.6 (22)

Инженер-программист и специалист по математике

См. таких репетиторов

Смотрите таких репетиторов

Один быстрый и простой ответ и один очень сложный для понимания ответ. И хотя они полезны, они не учат вас, как подходить к сокращению дробей. Просто в этом примере оказались числа, которые делятся на два, но что делать, если это не так очевидно? Решение включает факторы.

Факторы числа — это числа, которые при умножении дают это число. Например, делители 6 равны 1, 2, 3, 6 (1×6 = 6, 2×3=6). При уменьшении дроби вы должны сначала перечислить множители числителя и знаменателя, а затем найти наибольшее значение, общее для обоих. Затем это значение можно использовать для уменьшения дроби до наименьшего значения. Нахождение множителей числа может быть затруднено, особенно когда речь идет о больших числах. 28 и 132 не очень большие, но 132 достаточно.

Первый простой — каждое число, умноженное на 1, является этим числом, поэтому 1 является множителем.

1×28

1×132

Затем мы поднимаемся вверх, проверяя следующее значение. Результат должен быть числом, остаток не допускается. Но по мере того, как мы идем вверх, умножаемое число уменьшается (в конце концов они должны пересечься посередине, и вы можете остановиться).

1×28 2×14 3x? 4х7 5х? 6x? сделано!

1×132 2×66 3×44 4×33 5x? 6×22 7x? … на этом мы можем остановиться, так как проверяемое число теперь больше, чем множители, которые мы нашли для 28.

Сравнивая два списка, мы видим, что наибольшее число, которое они оба разделяют, равно 4. Это означает, что мы можем разделить и числитель, и знаменатель на 4 (что бы вы ни делали с одним, вы должны делать и с другим!).

Это дает вам результат 7/33 , такой же, как показано выше.

Голосовать за 0 Понизить

Подробнее

Отчет

Дэвид В. ответил 26. 07.19

Репетитор

4.9 (101)

Я помогу тебе понять математику!

Об этом репетиторе ›

Об этом репетиторе ›

На что делятся 28 и 132?

Они оба четные, значит, делятся на 2.

14/66

Эй, они оба четные, так что давайте еще раз попробуем 2.

7/33

Надеюсь, вы знаете, что 7 — простое число, так что мы закончили. Хотя мы можем разделить 33 на 3 или 11, ни одно из них не делится на 7, так что мы закончили.

28/132 = 7/33

Голосовать за 0 Понизить

Подробнее

Отчет

Пол М. ответил 26.07.19

Репетитор

5 (22)

Узнайте, «как» делать математику и почему «как» работает!

Об этом репетиторе ›

Об этом репетиторе ›

28/132 = 7* 2 2 /(2 2 *11*3) = 7/33

Голосовать за 0 Понизить

Подробнее

Отчет

Все еще ищете помощь? Получите правильный ответ, быстро.

Задайте вопрос бесплатно

Получите бесплатный ответ на быстрый вопрос.
Ответы на большинство вопросов в течение 4 часов.

ИЛИ

Найдите онлайн-репетитора сейчас

Выберите эксперта и встретьтесь онлайн. Никаких пакетов или подписок, платите только за то время, которое вам нужно.

Что это такое, виды и нормальный диапазон

Что такое фракция выброса?

Фракция выброса показывает, насколько хорошо ваше сердце перекачивает кровь. Это количество крови, выкачиваемой из нижних камер сердца (желудочков) при каждом его сокращении.

Чтобы понять фракцию выброса, полезно понять, как кровь течет через сердце:

  1. Кровь поступает в сердце через правый верхний отдел (предсердие).
  2. Между ударами сердца есть короткая пауза. Это когда кровь течет через клапан вниз к левому желудочку.
  3. Когда желудочек наполняется, следующее сердцебиение выталкивает (выбрасывает) часть крови в тело.

Что такое нормальная фракция выброса?

Фракция выброса в здоровом сердце составляет от 50% до 70%. С каждым ударом сердца от 50% до 70% крови из левого желудочка выбрасывается в тело.

Ejection Fraction Percentage
41%.1553

Некоторые люди с нормальной фракцией выброса также страдают сердечной недостаточностью. Это известно как сердечная недостаточность с сохраненной фракцией выброса (HFpEF).

Почему важно знать свою фракцию выброса?

Фракция выброса является показателем того, насколько хорошо работает ваше сердце. Низкая фракция выброса обычно означает, что у вас есть или есть риск сердечной недостаточности.

Существуют ли разные типы фракций выброса?

Измерения можно проводить как в левом, так и в правом желудочке.

Фракция выброса левого желудочка (ФВЛЖ)

Фракция выброса обычно относится к левой стороне сердца. Он показывает, сколько богатой кислородом крови перекачивается из левого желудочка к большинству органов тела при каждом сокращении. ФВ ЛЖ помогает определить тяжесть дисфункции левой половины сердца.

Фракция выброса правого желудочка (ФВВ)

Измеряет количество бедной кислородом крови, перекачиваемой из правых отделов сердца в легкие для получения кислорода. Это важно, если у вас правосторонняя сердечная недостаточность. Но это состояние встречается не так часто, как левосторонняя сердечная недостаточность.

Какова формула фракции выброса?

Формула фракции выброса (EF) равна количеству крови, выкачиваемой из желудочка при каждом сокращении (ударный объем или SV), деленному на конечно-диастолический объем (EDV), то есть общее количество крови в желудочке. Чтобы выразить в процентах, вы должны умножить на 100. Таким образом, EF = (SV/EDV) x 100.

Другими словами, фракция выброса представляет собой процент крови, выкачиваемой из желудочка после сокращения.

Что означают цифры фракции выброса?

Чем ниже фракция выброса, тем слабее насосная функция вашего сердца. Это происходит у людей с тяжелой сердечной недостаточностью. Вы также можете иметь низкую фракцию выброса на ранних стадиях сердечной недостаточности. Различные методы лечения могут помочь в зависимости от того, насколько фракция выброса далека от нормы.

Как на меня может повлиять HFpEF?

При сохраненной фракции выброса (диастолическая сердечная недостаточность) сокращения выбрасывают в тело большую часть крови. Но левый желудочек вмещает меньший объем крови. Часто это связано с тем, что толстая или жесткая ткань сердца эффективно уменьшает размер желудочка. Когда это происходит, количество крови, перекачиваемой в организм, недостаточно для удовлетворения его потребностей.

У вас может быть риск развития сердечной недостаточности с сохраненной фракцией выброса, если у вас:

  • Тампонада сердца.
  • Ишемическая болезнь сердца.
  • Порок сердечного клапана.
  • Высокое кровяное давление.

Что означает, если моя фракция выброса не находится в пределах нормы?

Фракция выброса вне нормального диапазона может означать множество вещей:

  • От 40% до 49% — средняя фракция выброса: Насосная способность сердца немного ниже нормы. Вы можете не испытывать симптомов сердечной недостаточности. Или у вас могут быть симптомы при физической активности, но не в состоянии покоя.
  • 39% или менее — сердечная недостаточность со сниженной фракцией выброса (HFrEF): Насосная способность ниже нормы. Чем ниже фракция выброса, тем выше риск опасных для жизни осложнений, таких как остановка сердца. Симптомы могут быть серьезными и могут повлиять на вас, даже когда вы сидите неподвижно.

Что вызывает снижение фракции выброса?

Сокращения желудочков, которые перекачивают кровь в тело, нуждаются в здоровой мышечной ткани. Состояния, которые ослабляют или повреждают сердечную мышцу, делают сокращения неполными и менее эффективными.

Сердце может компенсировать это, работая усерднее, чтобы выполнять свою работу. Дополнительная работа может привести к отеку или накоплению рубцовой ткани, что влияет на способность желудочка наполняться и качать кровь. Возможно, вы не почувствуете эффекта слегка уменьшенной фракции выброса. Но по мере снижения функции сердца и ухудшения фракции выброса вы можете серьезно заболеть.

Каково это иметь низкую фракцию выброса?

Чем ниже фракция выброса, тем тяжелее могут быть симптомы сердечной недостаточности. Вы можете столкнуться с:

  • Путаница.
  • Усталость.
  • Учащенное сердцебиение.
  • Тошнота.
  • Одышка (одышка).
  • Задержка воды в животе или ногах.
  • Слабость.

Что произойдет, если моя фракция выброса выше среднего?

Фракция выброса 75% и более встречается редко, но может быть опасно высокой. Это может произойти у людей с гипертрофической кардиомиопатией.

Кому следует измерять фракцию выброса?

Знать свою фракцию выброса полезно, если у вас есть или вы подвержены риску заболевания, которое может привести к сердечной недостаточности.

Сюда входят:

  • ATTR-амилоидоз, который может поражать сердце.
  • Рак или другие состояния, требующие химиотерапии, которые иногда вызывают поражение сердца (кардиотоксичность).
  • Врожденный порок сердца.
  • Сердечный приступ.
  • Порок сердечного клапана.
  • Миокардит.
  • Сильное высокое кровяное давление.
  • Желудочковая аритмия.

Как моя фракция выброса используется для лечения?

Он помогает поставщикам медицинских услуг определить, какое лечение сердечной недостаточности лучше всего подходит для ваших нужд. Периодическая проверка фракции выброса во время терапии показывает, улучшается ли работа сердца.

Лечение сердечной недостаточности включает:

  • Бивентрикулярный кардиостимулятор.
  • Лекарства от сердечной недостаточности.
  • Пересадка сердца.
  • Ремонт или замена сердечного клапана.
  • Имплантируемый кардиовертер-дефибриллятор (ИКД).

Как измеряется фракция выброса?

Существует несколько методов измерения фракции выброса. Эхокардиограмма является наиболее распространенной.

Другие сердечные тесты, которые измеряют фракцию выброса, включают:

  • Катетеризация сердца.
  • Компьютерная томография (КТ) сердца.
  • МРТ сердца.
  • Многоканальное сканирование (MUGA), также называемое ядерным стресс-тестом.

Как улучшить фракцию выброса?

Терапия сердечной недостаточности лечит основную причину низкой фракции выброса. При сердечной недостаточности из-за аритмии вам может помочь бивентрикулярный кардиостимулятор. Людям с сердечной недостаточностью, вызванной другими причинами, такими как высокое кровяное давление, могут потребоваться лекарства.

Вы можете предпринять дополнительные шаги, чтобы уменьшить нагрузку на сердце и получить максимальную отдачу от лечения. К ним относятся:

  • Увеличение физической активности. Программа кардиологической реабилитации может помочь вам безопасно приступить к работе.
  • Поддержание здорового веса.
  • Ограничение количества натрия и объема потребляемой жидкости.
  • Отказ от вредных привычек, таких как курение, рекреационные наркотики и алкоголь.

Как узнать, улучшается ли моя фракция выброса?

Если у вас низкая фракция выброса, вам придется часто посещать лечащего врача для ее контроля. Важно ходить на все встречи, даже если вы не чувствуете себя плохо.

Если ваши симптомы исчезают, это может быть признаком улучшения фракции выброса. Но также возможно ухудшение симптомов или появление новых. Эти проблемы могут указывать на ухудшение фракции выброса.

Немедленно обратитесь к своему лечащему врачу — не откладывайте до следующего приема — если вы испытываете:

  • Затрудненное дыхание, особенно в положении лежа.
  • Сердцебиение кажется необычайно быстрым.
  • Потеря аппетита или рвота.
  • Внезапное изменение веса, которое может быть признаком задержки жидкости.
  • Необъяснимая слабость или головокружение.

Как часто следует измерять фракцию выброса?

Медицинские работники могут быть обеспокоены вашей фракцией выброса, если вы:

  • У вас есть симптомы сердечной недостаточности.
  • Перенес сердечный приступ или другое состояние, влияющее на работу сердца.
  • Живут с заболеванием, повышающим риск сердечной недостаточности.

Частота тестирования после постановки диагноза сердечной недостаточности зависит от множества факторов, в том числе от того, насколько низким было ваше первоначальное значение фракции выброса. Если ваша фракция выброса продолжает ухудшаться, вам нужно будет проверять ее чаще. Если он стабилен, возможно, вам не нужно проверять его так часто.

Является ли фракция выброса единственным тестом на сердечную недостаточность?

Фракция выброса — это один из многих параметров, которые медицинские работники используют для оценки сердечной недостаточности. Дополнительное тестирование позволяет точно определить причину, чтобы вы могли получить соответствующее лечение.

Эти тесты могут включать:

  • Ангиографию.
  • Рентген грудной клетки.
  • Эхокардиограмма.
  • Электрокардиограмма (ЭКГ).
  • Стресс-тест с физической нагрузкой.

Справка из клиники Кливленда

Фракция выброса является показателем силы сердца. Он измеряет количество богатой кислородом крови, выкачиваемой в организм с каждым ударом сердца. Низкая фракция выброса обычно является признаком сердечной недостаточности. С помощью лечения и ухода за собой можно вернуть фракцию выброса в нормальный диапазон.

Египетские дроби | Brilliant Math & Science Wiki

Амея Дайгаване, Ворранат Пакорнрат, Джефф Пиллинг, а также

способствовал

Содержимое
  • Формальное определение
  • История
  • Жадный алгоритм поиска египетских дробей
  • Использование египетских дробей для равномерного деления объекта на равные доли
  • Методы разложения египетской дроби
  • Актуальность для современной теории чисел

Для любого рационального числа mn \frac{m}{n} nm​, где m,nm, nm,n — целые числа, существуют единичные дроби (с числителем 1 и целыми знаменателями), такие что сумма этих единичных дробей равно mn\frac{m}{n} нм​. Например, 23=12+16.\dfrac{2}{3}= \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6}. 32​=21​+61​. Однако представление mn\frac{m}{n} нм​ в таком виде не является единственным из-за тождества 1=12+13+16. 1 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6}. 1=21​+31​+61​. Таким образом, мы имеем 23=12+16=12+16(12+13+16)=12+112+118+136\dfrac{2}{3}= \dfrac{1}{2} + \dfrac{1} {6} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6}\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} \right) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{18} + \dfrac{1}{36} 32​=21​+61​=21​ +61​(21​+31​+61​)=21​+121​+181​+361​ также, и мы можем продолжать разлагать любую дробь как таковую.

Более чем за 2000 лет до нашей эры египтяне разработали свою систему дробей для математического деления и вычисления любых рациональных чисел. Египетские математики использовали в своем восприятии исключительно единичные дроби и, похоже, не принимали идею вульгарной дроби, где числитель делится на знаменатель, как это делаем мы сегодня. Например, если цилиндрическое ведро заполнено водой на 35\frac{3}{5}53​, мы можем понять, что, разделив ведро на 5 равных высот, уровень воды достигнет краев таких 3 высот. Однако для египтян другие числители, кроме 1, просто не соответствовали их алгоритму. Вместо этого они увидят такой объем, как половина ведра, наполненного водой, плюс одна десятая этого, ибо 12+110=35\frac{1}{2}+\frac{1}{10}=\frac{3} {5}21​+101​=53​.

Более того, они специально обозначали иероглифами различные знаменатели, а точнее символы равного деления любого натурального числа. Таким образом, предполагается, что их числитель равен 1, хотя были редкие исключения для 23\frac{2}{3}32​ и 34\frac{3}{4}43​, для которых они изобрели специальные символы. Классические примеры египетских дробей можно найти в древнем изображении Глаза Гора, как показано ниже:

Причины, по которым египтяне использовали такую ​​систему, оставались неясными, но они могли воспринимать эти дроби как «единицы», которые должны быть добавлены, поскольку мы аналогичным образом строим целые числа, суммируя систему десятичных единиц. Их дальнейшее изучение также внесло значительный вклад в многочисленные работы, проблемы и решения. Одна из самых известных работ называлась Папирус Райнда, написанная Ахмесом, которая содержала таблицу преобразования 2n\frac{2}{n}n2​ в наборы египетских дробей различных терминов. Это доказывает, что египетские дроби действительно были основой многих египетских математических разработок и цивилизаций того периода времени.

Одним из самых простых для понимания алгоритмов нахождения египетских дробей является жадный алгоритм. С помощью этого алгоритма человек берет дробь ab\frac{a}{b}ba​ и продолжает вычитать наибольшую дробь 1n\frac{1}{n}n1​, пока не останется только набор египетских дроби.

Найдите представление египетской дроби числа 89 \frac{8}{9} 98​.


Наибольшая дробная единица меньше 89\frac{8}{9}98​ равна 12\frac{1}{2}21​.
Остаток равен 718\frac{7}{18}187​.
г. Наибольшая дробная единица меньше 718\frac{7}{18}187​ равна 13\frac{1}{3}31​.
Остаток равен 118\frac{1}{18}181​.

Это дробная единица, поэтому ответ дается выражением 89=12+13+118. □\dfrac{8}{9} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{18}.\ _\square98​=21​+31​+181 . □​

Рекурсивная реализация этого алгоритма в Perl-скрипте под названием «egyptian» выглядит следующим образом:

Египетские дроби были особенно полезны при делении ряда объектов поровну для большего числа людей. Это было важно с практической точки зрения, поскольку многие египетские постройки требовали массовых трудовых работ. Любое неравномерное распределение продовольственного пайка между рабочими легко могло вызвать споры и нарушить их рабочий процесс.

Например, если бы египетский начальник дал 5 кубов (арабский хлеб, похожий на блины) для 5 рабочих, а затем понял, что на стройке есть лишний человек, как бы он поделил 5 кубов на 6 человек? Ответ, как мы знаем, 56\frac{5}{6}65​.

Руководствуясь здравым смыслом, мы просто разделили бы каждый кубз на 6 равных частей, в результате чего получилось бы 30 штук, и каждый рабочий с радостью выбрал бы 5 из них. Конечно, проблема была решена, но египетский математик применил бы более элегантный способ деления кубов, следуя египетским дробям:

56=12+13.\dfrac{5}{6} = \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3},65​=21​+31​.

Таким образом, каждый рабочий получит полкубза плюс треть кубса. Для этого сначала берем 3 куба и делим каждый пополам, получается 6 равных половинок, и каждая половинка достается каждому мужчине. Затем берем оставшиеся 2 куба и делим каждый на 3 равные части, получается 6 равных порций по 1/3, и опять каждому достается по одной. При использовании этого метода для каждого кубза требуется всего несколько сокращений без необходимости проходить все те же 6-знаменатели!

Естественно, самый простой способ разбить вульгарную дробь на египетское суммирование — это следовать жадному алгоритму, где сначала в уравнение ставится единичная дробь, ближайшая к вульгарной дроби, затем другая, ближайшая к оставшейся, и, таким образом, на. Как и в предыдущем примере, 12\frac{1}{2}21 – ближайшая к 56\frac{5}{6}65 дробь, как показано. Тем не менее, этот алгоритм может не давать кратчайшего пути суммирования и, таким образом, может привести к использованию большего числа единиц долей.

Вы устроили вечеринку и испекли 11 конгруэнтных блинов на 11 человек, прежде чем появился неожиданный гость, а муки не осталось, чтобы испечь еще один блин.

В итоге, для равномерного распределения на 12 человек, вы решили нарезать блины с условием, что каждый разрез будет только по диаметру блина. Например, чтобы разделить блин на 12 равных ломтиков, необходимо сделать 6 надрезов, как показано вверху справа.

Какое наименьшее количество сокращений вам нужно сделать, чтобы добиться равных долей для всех?

Детали и допущения:

  • Не допускается штабелирование блинов.
  • Каждый разрез должен выполняться на одном блине за раз, при этом блин должен быть разделен на равные ломтики.

Некоторые полезные алгебраические тождества для разложения египетской дроби:

aab−1=1b+1b(ab−1)1a=1a+1+1a(a+1). \begin{align} \dfrac{a}{ab — 1} &= \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{b(ab — 1)} \\\\ \dfrac{1}{a} &= \dfrac{1}{a + 1} + \dfrac{1}{a(a + 1)}. \end{выровнено} ab-1a​a1​=b1​+b(ab-1)1​=a+11​+a(a+1)1​.​

Это легко доказывается законами сложения дробей.

Найдите представление египетской дроби числа 811 \frac{8}{11} 118​.


У нас есть 811=611+211.\dfrac{8}{11} = \dfrac{6}{11} + \dfrac{2}{11}.118​=116​+112​. Теперь 11=2⋅6−1,11 = 2 \cdot 6 — 1. 11=2⋅6−1. Таким образом, используя приведенное выше тождество aab−1=1b+1b(ab−1), \dfrac{a}{ab — 1} = \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{b(ab — 1)},ab−1a ​=b1​+b(ab−1)1​, у нас есть 611=12+122211=16+166⇒811=12+16+122+166. □\begin{выровнено} \dfrac{6}{11} &= \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{22} \\\\ \dfrac{2}{11} &= \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{66} \\\\ \Rightarrow \dfrac{8}{11} &= \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{22} + \dfrac{1}{66}.\ _ \площадь \end{выровнено} 116​112​⇒118​=21​+221​=61​+661​=21​+61​+221​+661​. □​​

Если aaa и bbb — различные положительные целые числа, удовлетворяющие условию 13=1a+1b \frac13 = \frac1a+\frac1b31​=a1​+b1​, найдите a+ba+ba+b.

Бонус : Обобщите его для любой дроби 1c\frac1c c1​, где ccc — положительное целое число.

abc=10(a+b+c)\large abc = 10 (a + b + c ) abc=10(a+b+c)

Пусть a,b,ca,b,ca,b,c быть попарно взаимно простыми положительными целыми числами, большими 1, которые удовлетворяют приведенному выше уравнению. Каково минимальное значение ab+bc+caab+bc+caab+bc+ca? 9n \frac{1}{a_i}, sr​=i=1∑n​ai​1​, тогда sss является делителем числа a1×a2×⋯×an a_1\times a_2 \times \cdots \times a_n a1×a2×⋯×an​.

Суммируя дроби в правой части, имеем rs = ∑cyc(a1×a2×⋯×an−1)a1×a2×⋯×an.\frac{r}{s} = \frac{\sum\limits_\text{cyc} {(a_1\times a_2 \times \cdots \times a_{n-1})}}{a_1\times a_2 \times \cdots \times a_n}. sr​=a1​×a2​×⋯×an​cyc∑​(a1​×a2​×⋯×an−1​)​.
Ясно, что ∑cyc(a1×a2×⋯×an−1)=t\sum\limits_\text{cyc} {(a_1\times a_2 \times \cdots \times a_{n-1})} = tcyc∑ ​(a1​×a2​×⋯×an−1​)=t — целое число. Таким образом, у нас есть st=r(a1×a2×⋯×an), st = r (a_1\times a_2 \times \cdots \times a_n), st=r(a1​×a2​×⋯×an​), что означает, что r(a1×a2×⋯×an)r (a_1\times a_2 \times \cdots \times a_n)r(a1×a2×⋯×an​) кратно сс. Но s s s не может делить r r r, так как НОД⁡(r,s)=1 \gcd(r,s) = 1 НОД(r,s)=1.

Следовательно, s s s делит a1×a2×⋯×an a_1\times a_2 \times \cdots \times a_n a1​×a2​×⋯×an​. □_\квадрат□​

[IMO 1979 Задача 1]
Если ppp и qqq — положительные целые числа такие, что pq=1−12+13−14+⋯−11318+11319, \frac{p}{q}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1} {4}+ \cdots -\frac{1}{1318}+\frac{1}{1319}, qp​=1−21​+31​−41​+⋯−13181​+13191​, докажите, что ppp делится на 1971979.


У нас есть

pq=1+12+13+14+⋯+11318+11319−2(12+14+⋯+11318)=1+12+13+14+⋯+11318+11319−(1+12+13+14+⋯+1659)=1660+1661+1662+⋯+11318+ 11319.\begin{выровнено} \dfrac{p}{q} &= 1 + \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}+ \cdots + \dfrac{1}{1318}+\dfrac{1}{1319 } — 2\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \cdots + \dfrac{1}{1318}\right) \\ &= 1 + \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}+ \cdots + \dfrac{1}{1318}+\dfrac{1}{1319 } — \left(1 + \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}+ \cdots + \dfrac{1}{659}\right) \\ &= \dfrac{1}{660}+ \dfrac{1}{661} + \dfrac{1}{662}+ \cdots + \dfrac{1}{1318}+\dfrac{1}{1319}. \end{выровнено}qp​=1+21​+31​+41​+⋯+13181​+13191​−2(21​+41​+⋯+13181​)=1+21​+31​+ 41​+⋯+13181​+13191​−(1+21​+31​+41​+⋯+6591​)=6601​+6611​+6621​+⋯+13181​+13191​.​

Сейчас, 1660+11319=660+1319660⋅1319=1979660⋅1319. \dfrac{1}{660} + \dfrac{1}{1319} = \dfrac{660 + 1319}{660 \cdot 1319} = \dfrac{1979}{660 \cdot 1319}.6601​+13191​= 660⋅1319660+1319​=660⋅131​.

Аналогично, 1661+11318=661+1318661⋅1318=1979661⋅1318. \dfrac{1}{661} + \dfrac{1}{1318} = \dfrac{661 + 1318}{661 \cdot 1318} = \dfrac{1979}{661 \cdot 1318}. 6611​+13181​=661⋅1318661+1318​=661⋅13181979​.

Мы можем спарить все дроби как таковые (поскольку их четное количество).

Теперь мы можем написать pq=1979⋅rs, \frac{p}{q} = 1979 \cdot \frac{r}{s}, qp​=1979⋅sr​, где rs=1660⋅1319+1661⋅1318+⋯+1989⋅990.\frac{r}{s} = \dfrac{1}{660 \cdot 1319} + \dfrac{1}{661 \cdot 1318} + \cdots + \dfrac{1}{989 \cdot 990}. ср​=660⋅13191​+661⋅13181​+⋯+989⋅9901​.

Следовательно, р = 1979⋅кв. p = 1979 \cdot \frac{qr}{s}. р=1979⋅кв.

Но 1979 1979 1979 простое число! Следовательно, поскольку p p p является целым числом, а ss s не делит 1979 1979 1979 (((так как s s s является делителем 660×661×⋯×1319 660 \times 661 \times \cdots \times 1319660×661×⋯×1319, используя нашу лемму выше))), pp p кратно 1971979. □_\square□​

Следующая задача из математической олимпиады США.

[USAMO 2010 Задача 5]
Пусть p p p — нечетное простое число, и пусть q=3p−52q = \frac{3p-5}{2}q=23p−5​. Если Sq=12⋅3⋅4+15⋅6⋅7+⋯+1q(q+1)(q+2), S_q = \frac{1}{2\cdot 3 \cdot 4} + \frac{1} {5\cdot 6 \cdot 7} + \cdots + \frac{1}{q(q+1)(q+2)} Sq​=2⋅3⋅41​+5⋅6⋅71​+⋯+ q(q+1)(q+2)1​ и 1p−2Sq=mn\frac{1}{p}-2S_q = \frac{m}{n}p1​-2Sq​=nm​ для целых чисел mmm и nnn, то m−nm — nm−n делится на ppp.

2017n=1a+1b+1c\dfrac{2017}{n} = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}n2017​=a1​ +b1​+c1​

Пусть nnn — целое число, большее 2017, а a,b,ca, b, ca,b,c — различные попарно взаимно простые положительные целые числа, удовлетворяющие приведенному выше уравнению.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

© 2015 - 2019 Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение «Таловская средняя школа»

Карта сайта

Normal Mildly Abnormal Moderately Abnormal Severely Abnormal
Male 52% to 72% 41% to 51% 30 % до 40% ниже 30%
Женский 54% до 74% 41% до 53% 30%