Сравнить логарифмы с одинаковым основанием: Как сравнивать логарифмы | Логарифмы

Приемы и методы сравнения логарифмов

Сравнение значений логарифмов или значения логарифма с некоторым числом встречается в школьной практике решения задач не только как самостоятельная задача. Сравнивать логарифмы приходится, например, при решении уравнений и неравенств. Материалы статьи (задачи и их решения) располагаются по принципу “от простого к сложному” и могут быть использованы для подготовки и проведения урока (уроков) по данной теме, а также на факультативных занятиях. Количество рассматриваемых задач на уроке зависит от уровня класса, его профильного направления. В классах с углубленным изучением математики этот материал может быть использован для двухчасового урока-лекции.

1. (Устно.) Какие из функций являются возрастающими, а какие убывающими:

Замечание. Это упражнение является подготовительным.

2. (Устно.) Сравните с нулем:

Замечание. При решении упражнения № 2 можно использовать как свойства логарифмической функции с привлечением графика логарифмической функции, так и следующее полезное свойство:

если положительные числа a и b лежат на числовой прямой правее 1 или левее 1 (то есть a>1 и b>1 или 0<a<1 и 0<b<1), то log_ab > 0 ;
если положительные числа a и b лежат на числовой прямой по разные стороны от 1(то есть 0<a<1<b или 0<b<1<a), то log_ab < 0 [4].

Покажем использование этого свойства при решении № 2(а).

Так как

Так как функция y = log₇t возрастает на R₊, 10 > 7, то log₇10 > log₇7, то есть log₇10 > 1. Таким образом, положительные числа sin3 и log₇10 лежат по разные стороны от 1. Следовательно, log

sin3log₇10 < 0.

3. (Устно.) Найдите ошибку в рассуждениях:

. Функция y = lgt возрастает на R₊, тогда ,

Разделим обе части последнего неравенства на . Получим, что 2 > 3.

Решение.

Положительные числа и 10 (основание логарифма) лежат по разные стороны от 1. Значит, < 0. При делении обеих частей неравенства на число знак неравенства следует изменить на противоположный.

4. (Устно.) Сравните числа:

Замечание. При решении упражнений № 4(a–c) используем свойство монотонности логарифмической функции. При решении № 4(d) используем свойство:

если c > a >1, то при b>1 справедливо неравенство log

ab > log_cb.

Решение 4(d).

Так как 1 < 5 < 7 и 13 > 1, то log₅13 > log₇13.

5. Сравните числа log₂6 и 2.

Решение.

Первый способ (использование монотонности логарифмической функции).

2 = log₂4;

Функция y = log₂t возрастает на R₊, 6 > 4. Значит, log₂6 > log₂4  и log₂5 > 2.

Второй способ (составление разности).

Составим разность .

6. Сравните числа и -1.

Решение.

-1 = ;

Функция y =   убывает на R_+, 3 < 5. Значит, >  и

> -1.

7. Сравните числа и 3log₈26.

Решение.

Функция y = log₂t возрастает на R₊, 25 < 26. Значит, log₂25 < log₂26  и .

Решение.

Первый способ.

Умножим обе части неравенства на 3: 

Функция y = log ₅t возрастает на R₊ , 27 > 25. Значит,

Второй способ.

Составим разность
. Отсюда .

9. Сравните числа log₄26 и log₆17.

Решение.

Оценим логарифмы, учитывая, что функции y = log₄t и y = log₆t возрастающие на

R₊:

Решение.

Учитывая, что функции   убывающие на R₊, имеем:

. Значит,

Замечание. Предложенный метод сравнения называют методом “вставки” или методом “разделения” (мы нашли число 4, разделяющее данные два числа).

11. Сравните числа log₂3 и  log₃5.

Решение.

Заметим, что оба логарифма больше 1, но меньше 2.

Первый способ. Попробуем применить метод “разделения”. Сравним логарифмы с числом .

Второй способ (умножение на натуральное число).

Замечание 1. Суть метода “умножения на натуральное число” в том, что мы ищем натуральное число

k, при умножении на которое сравниваемых чисел a и b получают такие числа ka и kb, что между ними находится хотя бы одно целое число.

Замечание 2. Реализация вышеописанного метода бывает весьма трудоемка, если сравниваемые числа очень близки друг к другу.
В этом случае можно попробовать сравнение методом “вычитания единицы”. Покажем его на следующем примере.

12. Сравните числа log₇8 и log₆7.

Решение.

Первый способ (вычитание единицы).

Вычтем из сравниваемых чисел по 1.

В первом неравенстве мы воспользовались тем, что

если c > a > 1, то при b > 1 справедливо неравенство log_ab > log_cb.

Во втором неравенстве – монотонностью функции y = log

ax.

Замечание. Вычитать из сравниваемых чисел можно любое натуральное число n. При этом часто бывает достаточно взять n = 1.

Второй способ (применение неравенства Коши).

13. Сравните числа log₂₄72 и log₁₂18.

Решение.

14. Сравните числа log₂₀80 и log₈₀640.

Решение.

Решение.

Пусть log₂5 = x . Заметим, что x > 0.

Получаем неравенство .

Найдем множество решений неравенства , удовлетворяющих условию x > 0.

Возведем обе части неравенства в квадрат (при x > 0 обе части неравенства положительны). Имеем 9x² < 9x + 28.

Множеством решений последнего неравенства является промежуток .

Учитывая, что x > 0, получаем: .

Ответ: неравенство верно.

Практикум по решению задач.

1. Сравните числа:

2. Расположите в порядке возрастания числа:

3. Решите неравенство 4⁴ – 2·2⁴⁺¹ – 3 < 0. Является ли число √2 решением данного неравенства? (Ответ: (–∞; log₂3); число √2 является решением данного неравенства.)

Заключение.

Методов сравнения логарифмов много. Цель уроков по данной теме – научить ориентироваться в многообразии методов, выбирать и применять наиболее рациональный способ решения в каждой конкретной ситуации.

В классах с углубленным изучением математики материал по данной теме может быть изложен в форме лекции. Такая форма учебной деятельности предполагает, что материал лекции должен быть тщательно отобран, проработан, выстроен в определенной логической последовательности. Записи, которые делает учитель на доске, должны быть продуманными, математически точными.

Закрепление лекционного материала, отработку навыков по решению задач целесообразно проводить на уроках-практикумах. Цель практикума – не только закрепить и проверить полученные знания, но и пополнить их. Поэтому задания должны содержать задачи разного уровня, от самых простых задач до задач повышенной сложности. Учитель на таких практикумах выступает в роли консультанта.

Литература.

1. Галицкий М.Л. и др.Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа: Метод. рекомендации и дидактические материалы: Пособие для учителя.– М. : Просвещение, 1986.
2. Зив Б.Г., Гольдич В.А. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – СПб.: “ЧеРо-на-Неве”, 2003.
3. Литвиненко В.Н., Мордкович А. Г. Практикум по элементарной математике. Алгебра. Тригонометрия.: Учебное издание. – М.: Просвещение, 1990.
4. Рязановский А.Р. Алгебра и начала анализа:500 способов и методов решения задач по математике для школьников и поступающих в вузы. – М.: Дрофа, 2001.
5. Садовничий Ю.В. Математика. Конкурсные задачи по алгебре с решениями. Часть 4. Логарифмические уравнения, неравенства, системы. Учебное пособие.-3-е изд., стер.-М.:Издательский отдел УНЦДО, 2003.
6. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И.Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. пособие для 11 кл. сред.шк.– М.: Просвещение, 1991.

методы решения, сравнение логарифмов с разными основаниями

п.1.

Методы решения логарифмических неравенств

Неравенства вида \(\log_a f(x)\gt\log_a g(x)\) или \(\log_{a(x)} f(x)\gt\log_{a(x)} g(x)\) или сводящиеся к ним называются логарифмическими неравенствами.

При решении логарифмических неравенств используются следующие основные методы:
1) переход от логарифмического неравенства к равносильному неравенству между \(f(x)=g(x)\) с системой неравенств, описывающих ОДЗ;
2) графический метод;
3) замена переменной.

п.2. Решение неравенств вида \(\log_a f(x)\gt\log_a g(x)\)

Неравенства \( \begin{cases} f(x)\gt 0\\ g(x)\gt 0 \end{cases} \) в системе соответствуют ограничению ОДЗ для аргумента логарифмической функции.

Например:
Решим неравенство \(\log_2(3x-1)\gt\log_2(2-5x)\)
\begin{gather*} \log_2(3x-1)\gt\log_2(2-5x)\Leftrightarrow \begin{cases} 3x-1\gt 2-5x\\ 3x-1\gt 0\\ 2-5x=\gt 0 \end{cases} \\ \begin{cases} 8x\gt 3\\ 3x\gt 1\\ 5x\lt 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\gt\frac38\\ x\gt\frac13\\ x\lt\frac25 \end{cases} \Rightarrow\frac38\lt x\lt \frac25 \end{gather*} Ответ: \(x\in\left(\frac38;\frac25\right)\)

п.

3. Решение неравенств вида \(\log_{a(x)} f(x)\gt \log_{a(x)} g(x)\)

Логарифмическое неравенство \(\log_{a(x)} f(x)\gt \log_{a(x)} g(x)\) равносильно совокупности: \begin{gather*} \log_{a(x)} f(x)\gt \log_{a(x)} g(x)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} a(x)\gt 1\\ f(x)\gt g(x)\gt \end{cases} \\ \begin{cases} 0\lt a(x)\lt 1\\ 0\lt f(x)\lt g(x) \end{cases} \end{array} \right. \end{gather*}

Например:
Решим неравенство \(\log_{2x-3}x\gt 1\)
\(\log_{2x-3}x\gt\log_{2x-3}(2x-3)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} 2x-3\gt 1\\ x\gt 2x-3\gt 0 \end{cases} \\ \begin{cases} 0\lt 2x-3\lt 1\\ -\lt x\lt 2x-3 \end{cases} \end{array} \right. \) $$ \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} 2x\gt 4\\ 2x\gt 3\\ x\gt 2x-3 \end{cases} \\ \begin{cases} 3\lt 2x\lt 4\\ 0\lt x\\ x\lt 2x-3 \end{cases} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} x\gt 2\\ x\gt 1,5\\ x\lt 3 \end{cases} \\ \begin{cases} 1,5\lt x\lt 2\\ x\gt 0\\ x\gt 3 \end{cases} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} 2\lt x\lt 3\\ \varnothing \end{array} \right. \Rightarrow 2\lt x\lt 3 $$ Ответ: \(x\in(2;3)\)

п.4. Сравнение логарифмов с разными основаниями от одного аргумента

Для \(\log_a x\) и \(\log_bx\) с разными основаниями и одним аргументом справедливы следующие соотношения:

\(a\gt b\gt 1\)	\(1\gt a\gt b\gt 0\)
\begin{gather*} \log_bx\gt\log_ax,\ \ x\in(1;+\infty)\\ \log_bx\lt\log_ax,\ \ x\in(0;1) \end{gather*}	\begin{gather*} \log_bx\gt\log_ax,\ \ x\in(1;+\infty)\\ \log_bx\lt\log_ax,\ \ x\in(0;1) \end{gather*}

п.5. Примеры

Пример 1. Сравните числа:
a) \( a=\log_5\frac78,\ b=\log_6\frac78 \)
Аналитический метод:
\begin{gather*} a=\frac{\lg\frac78}{\lg 5}=\frac{\lg 7-\lg 8}{\lg 5}\lt 0,\ \ b=\frac{\lg\frac78}{\lg 6}=\frac{\lg 7-\lg 8}{\lg 6}\lt 0\\ a-b=\frac{\lg 7-\lg 8}{\lg 5}-\frac{\lg 7\lg 8}{\lg 6}=(\lg 7-\lg 8)\left(\frac{1}{\lg 5}-\frac{1}{\lg 6}\right)\\ a-b=\frac{\overbrace{(\lg 7-\lg8)}^{\lt 0}\overbrace{(\lg 6-\lg 5)}^{\gt 0}}{\underbrace{\lg 5\cdot\lg 6}_{\gt 0}}\lt 0\\ a\lt b \end{gather*} Графический метод:
\(0\lt\frac78\lt 1\)

При \(0\lt x\lt 1\) кривая \(\log_6x\gt\log_5x\)
Значит, \(b\gt a\)

б) \( a=\log_5 11,\ b=\log_6 11 \)
Аналитический метод:
\begin{gather*} a=\frac{\lg 11}{\lg 5},\ \ b=\frac{\lg 11}{\lg 6}\\ a-b=\lg 11\left(\frac{1}{\lg 5}-\frac{1}{\lg 6}\right)= \frac{\overbrace{\lg 11}^{\gt 0}\overbrace{(\lg 6-\lg 5)}^{\gt 0}}{\underbrace{\lg 5\cdot\lg 6}_{\gt 0}}\gt 0\\ a\gt b \end{gather*} Графический метод:
\(11\gt 1\)

При \(x\gt 1\) кривая \(\log_5x\gt\log_6x\)
Значит, \(a\gt b\)

в) \( a=\log_4 5,\ \ b=\log_{\frac{1}{16}}\frac{1}{25} \)
\( b=\log_{\frac{1}{16}}\frac{1}{25}=\log_{16}25=\log_{4^2}5^2=\log_4 5 \)
\(a=b\)

г*) \( a=\log_4 26,\ \ b=\log_6 17 \)
Решим аналитически. 2+x-2\lt 0\\ x\gt -1 \end{cases} \Rightarrow\\ \Rightarrow \begin{cases} (x+2)(x-1)\lt 0\\ x\gt -1 \end{cases} \end{gather*}
\(-1\lt x\lt 1\)
Ответ: \(x\in(-1;1)\)

Пример 3*. Решите неравенство:
a) \( \log_{\frac1x}7\gt\log_{\frac{1}{2x-1}}7 \)
Если оба логарифма одного знака и 7>1, основание справа должно быть больше: \begin{gather*} \begin{cases} \frac{1}{2x-1}\gt\frac1x\\ x\gt 0,\ x\ne 1\\ 2x-1\gt 0,2x-1\ne 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\gt 2x-1\gt 0\\ x\ne 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\gt 2x-1\\ 2x\gt 1\\ x\ne 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\lt 1\\ x\gt\frac12\\ x\ne 1 \end{cases} \Rightarrow \\ \Rightarrow \frac12\lt x\lt 1 \end{gather*} Если логарифмы разных знаков, то: \begin{gather*} \begin{cases} \log_{\frac17}\gt 0\\ \log_{\frac{1}{2x-1}}7\lt 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \log_7\frac1x\gt 0\\ x\ne 1\\ \log_7\frac{1}{2x-1}\lt 0\\ 2x-1\ne 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \frac1x\gt 1\\ 0\lt\frac{1}{2x-1}\lt 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\lt 1\\ 2x-1\gt 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\lt 1\\ x\gt 1 \end{cases} \Rightarrow \varnothing \end{gather*} Существует только решение для одинаковых знаков. 2-x-2\geq 0\\ x\ne 1 \end{cases} \Rightarrow\\ \Rightarrow \begin{cases} x\gt 0\\ (x-2)(x+1)\geq 0\\ x\ne 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\gt 0\\ x\leq -1\cup x\geq 2\\ x\ne 1 \end{cases} \Rightarrow x\geq 2 \end{gather*} Еще одно множество решений, если логарифм слева отрицательный, а справа – положительный. \begin{gather*} \begin{cases} \log_x2\leq 0\\ \log_{x+2}\geq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \log_2x\leq 0\\ \log_2\sqrt{x+2}\geq 0 \end{cases} \Rightarrow\\ \Rightarrow \begin{cases} 0\lt x\leq 1,\ x\ne 1\\ \sqrt{x+2}\geq 1,\ \sqrt{x+2}\ne 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 0\lt x\lt 1\\ x+2\gt 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 0\lt x\lt 1\\ x\gt -1 \end{cases} \Rightarrow 0\lt x\lt 1 \end{gather*} Объединяем полученные множества: \(0\lt x\lt 1\cup x\geq 2\)
Ответ: \(x\in(0;1)\cup\left.\left[2;+\infty\right.\right)\)

в) \( \log_{2x+1}0,8\lt\log_{4x-1}0,8 \)
Если оба логарифма одного знака и 0,8>1, основание справа должно быть больше: \begin{gather*} \begin{cases} 4x-1\gt 2x+1\\ 4x-1\gt 0,4x-1\ne 1\\ 2x+1\gt 0,2x+1\ne 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 4x-1\gt 2x+1\gt 0\\ x\ne\left\{0;\frac12\right\} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x\gt 2\\ 2x\gt -1\\ x\ne\left\{0;\frac12\right\} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\gt 1\\ x\gt -\frac12\\ x\ne\left\{0;\frac12\right\} \end{cases} \Rightarrow\\ \Rightarrow x\gt 1 \end{gather*} Если логарифмы разных знаков: \begin{gather*} \begin{cases} \log_{2x+1}0,8\lt 0\\ \log_{4x_1}0,8\gt 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \log_{0,8}(2x+1)\lt 0\\ \log_{0,8}(4x-1)\gt 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x+1\gt 1\\ 0\lt 4x-1\lt 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\gt 0\\ 1\lt 4x\lt 2 \end{cases} \Rightarrow\\ \Rightarrow \begin{cases} x\gt 0\\ \frac14\lt x\lt\frac12 \end{cases} \Rightarrow \frac14\lt x\lt\frac12 \end{gather*} Объединяем полученные множества: \(\frac14\lt x\lt\frac12\cup x\gt 1\)
Ответ: \(x\in\left(\frac14;\frac12\right)\cup(1;+\infty)\)

Пример 4*. 2-3x-4\gt 0 \end{cases} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} x\lt -1\cup x\gt 1\\ (x+1)(x-4)\lt 0\\ x\ne 0 \end{cases} \\ \begin{cases} x\ne 0\\ -1\lt x\lt 1\\ x\gt -\frac43\\ (x+1)(x-4)\gt 0 \end{cases} \end{array} \right. \Rightarrow \\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} x\lt -1\cup x\gt 1\\ -1\lt x\lt 4\\ x\ne 0 \end{cases} \\ \begin{cases} x\ne 0\\ -1\lt x\lt 1\\ x\gt -\frac43\\ x\lt -1\cup x\gt 4 \end{cases} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} 1\lt x\lt 4\\ \varnothing \end{array} \right. \Rightarrow 1\lt x\lt 4 \end{gather*} Ответ: \(x\in(1;4)\)

в) \( \frac{1+\log_{x+1}(x-3)}{\log_{x+1}2}\log_2(2x-3) \)
Найдем сразу ОДЗ: \( \begin{cases} x+1\gt 0,\ x+1\ne 1\\ x-3\gt 0\\ 2x-3\gt 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\gt -1,\ x\ne 0\\ x\gt 3\\ x\gt 1,5 \end{cases} \Rightarrow x\gt 3 \)
Приведем выражение слева к логарифму с основанием 2: \begin{gather*} \frac{1+\log_{x+1}(x-3)}{\log_{x+1}2}= \frac{1+\frac{\log_2(x-3)}{\log_2(x+1)}}{\frac{1}{\log_2(x+1)}}= \log_2(x+1)+\log_2(x-3)=\\ =\log_2\left((x+1)(x-3)\right) \end{gather*} Подставляем: \(\log_2\left((x+1)(x-3)\right)\geq \log_2(2x-3)\)
ОДЗ мы уже нашли. 2-4x\geq 0\)
\(x(x-4)\geq 0\)
С учетом ОДЗ: \( \begin{cases} x(x-4)\geq 0\\ x\gt 3 \end{cases} \)

\(x\geq 4\)
Ответ: \(x\in\left.\left[4;+\infty\right.\right)\)

г) \( \log_2x\cdot \log_3 2x+\log_3x\cdot\log_2 3x\geq 0 \)
ОДЗ: \(x\gt 0\)

Преобразуем: $$ \log_3 x\cdot\log_2 3x=\frac{\lg x}{\lg 3}\cdot\frac{\lg 3x}{\lg 2}=\frac{\lg x}{\lg 2}\cdot \frac{\lg 3x}{\lg 3}=\log_2 x\cdot \log_3 3x $$ Подставляем: \begin{gather*} \log_2x\cdot\log_3 2x+\log_2x\cdot\log_33x\geq 0\\ \log_2x\cdot(\log_32x+\log_3 3x)\geq 0 \end{gather*} Получаем совокупность: \begin{gather*} \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} \log_2x\geq 0\\ \log_3 2x+\log_3 3x\geq 0 \end{cases} \\ \begin{cases} \log_2 x\leq 0\\ \log_3 2x+\log_3 3x\leq 0 \end{cases} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} \log_2 x\geq \log_2 1\\ \log_3 2x\geq -\log_3 3x \end{cases} \\ \begin{cases} \log_2x\leq \log_2 1\\ \log_32x\leq-\log_3 3x \end{cases} \end{array} \right. 2-4\cdot 9\cdot (-26)=36(1+26)=36\cdot 27\)
\(\sqrt{D}=6\cdot 3\sqrt{3}=18\sqrt{3}\)
\(x_{1,2}=\frac{6\pm 18\sqrt{3}}{18}=\frac13\pm\sqrt{3}\)
\(f(x)\gt 0\) при \(x\lt x_1\cup x\gt x_2\)
\(f(x)\lt 0\) при \(x_1\lt x\lt x_2\)
Подставляем в совокупность: \begin{gather*} \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} x\gt \frac23\\ x\lt\frac13-\sqrt{3}\cup x\gt\frac13+\sqrt{3} \end{cases} \\ \begin{cases} \frac13\lt x\frac23\\ \frac13-\sqrt{3}\lt x\lt\frac13+\sqrt{3} \end{cases} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} x\gt\frac13+\sqrt{3}\\ \frac13\lt x\lt\frac23 \end{array} \right. \Rightarrow \frac13\lt x\lt\frac23\cup x\gt\frac13+\sqrt{3} \end{gather*} Получаем систему решений: \begin{gather*} \begin{cases} x\leq -2\cup x\gt 2\\ \frac13\lt x\lt\frac23\cup x\gt\frac13+\sqrt{3} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\gt 2\\ x\gt\frac13+\sqrt{3} \end{cases} \end{gather*} Сравним 2 и \(\frac13+\sqrt{3}\)
\(2-\frac13\ ?\ \sqrt{3}\)
\(\frac53\ ?\ \sqrt{3}\)
\(\frac{25}{9}\lt 3\Rightarrow 2\lt\frac13+\sqrt{3}\)
Значит, из \( \begin{cases} x\gt 2\\ x\gt\frac13+\sqrt{3} \end{cases} \Rightarrow x\gt\frac13+\sqrt{3} \)
Ответ: \(x\in\left(\frac13+\sqrt{3};+\infty\right)\)

Предварительное исчисление алгебры — Сравнение логарифмов с разными основаниями

спросил 4 года, 1 месяц назад

Изменено 4 года, 1 месяц назад

Просмотрено 804 раза

$\begingroup$

$\log_3 4$ и $\log_7 10$: какой из этих двух логарифмов больше?

Я выяснил, что обе суммы находятся в диапазоне от 1$ до 2$, а затем от 1$ до 1,5$. И тогда $\log_34$ больше $1,25$, а $\log_710$ меньше $1,25$. Однако этот метод не работает для каждого примера, и мне интересно, есть ли более простой способ решить эту проблему?

• алгебра-предварительное исчисление
• неравенство
• логарифмы
• альтернативное доказательство
• сравнение чисел

$\endgroup$

6 97$, поэтому $\log_35 > \tfrac{4}{3}$ и $\log_25 < \tfrac{7}{3}$, поэтому $\log_25 < 1 + \log_35$, поэтому: $$ \log_210 < 2 + \log_35 = \log_345 < \log_349 = 2\log_37, $$ поэтому $\log_410 < \log_37$, следовательно, $\log_34 > \log_710$. $\square$

Последний шаг использует общее утверждение, что $\log_ab > \log_cd$ тогда и только тогда, когда $\log_bd < \log_ac$, что можно доказать, переписав все логарифмы через логарифмы по одному основанию (например, $\log_ab = \ln b/\ln a$ и т. д.). 9{1.2}.$$

$\endgroup$

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

. 7 < 1$$ $$\log_{390625} 279936 < 1$$ вот почему у меня $\log_5 6 < \frac{8}{7} < \log_4 5$.

Но для доказательства мне нужна оценка обоих логарифмов (без этой оценки я не могу найти дробь для сравнения). Не могли бы вы помочь мне найти более ясное решение (без графиков)

• исчисление
• алгебра-предварительное исчисление
• неравенство
• логарифмы
• ам-гм-неравенство

$\endgroup$

2 925$$

Итак, $$\log_56={\log 6\over \log 5}<{\log 5\over \log 4}=\log _45$$

$\endgroup$

$\begingroup$

$$f(x) = \log_x(x+1)$$ — строго убывающая функция при $x>1$.

Вы можете убедиться в этом, найдя $f'(x)$ и заметив, что $f'(x)<0$ для всех $x>1$.

$\endgroup$

$\begingroup$

Лемма Если $v \geqslant u \geqslant x > 1$ и $y/x > v/u$, то $\log_x{y} > \log_u{v}$.