Степени деление: Свойства степеней, действия со степенями

Деление многочлена на многочлен

Деление многочленов

Выражения вида a(x)= a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2 + … + a₁x + a₀ называются многочленами от x степени n.

Если a(x),b(x),c(x) – такие многочлены, что a(x)=b(x)* c(x), то говорят, что многочлен a(x) делится нацело на многочлен b(x) или на многочлен c(x).

Если a(x)=b(x)*c(x) + r(x) и степень r(x) меньше степени многочлена b(x), то говорят, что многочлен a(x) делится на многочлен b(x) c остатком r(x). Здесь многочлен a(x) — делимое, многочлен b(x) — делитель, многочлен с(x) — частное, а многочлен r(x) — остаток.

При делении (с остатком или без остатка) многочлена на многочлен в частном получается многочлен, степень которого равна разности степеней делимого и делителя.

Самым простым способом деления многочленов является способ деления столбиком или «уголком» по аналогии с делением натуральных чисел.

Деление многочлена на многочлен столбиком (уголком)

Алгоритм деления многочлена на многочлен столбиком (уголком):

1. Записываем оба многочлена по убыванию степеней.

2. Старший член делимого делим на старший член делителя. Полученный одночлен является очередным членом частного.

3. Вычитаем из делимого произведение первого члена частного на делитель. Полученный в результате многочлен является остатком.

4. Если степень остатка больше или равна степени делителя, то в качестве делимого используем этот остаток и переходим к пункту 2 для получения следующего члена частного.

Если же степень остатка меньше степени делителя, то процесс деления завершен, последний остаток и будет остатком от деления исходных многочленов.

Если при этом остаток равен нулю, значит, многочлены разделились нацело, без остатка.

Рассмотрим работу алгоритма деление многочленов столбиком на примерах.

Калькуляторы для решение примеров и задач по математике

Лучшие математические приложения для школьников и их родителей, студентов и учителей. Подробнее …

Деление многочлена на многочлен с остатком

Пример 1.

Разделить многочлен 3x⁵ + 2x⁴ + x² — x + 1 на многочлен x³ + 2x² + x.

Решение.

Опишем алгоритм деления многочленов для этого примера по шагам.

1. Запишем оба многочлена по убыванию степеней
3x⁵ + 2x⁴ + x² — x + 1 = 3x⁵ + 2x⁴ + 0*x³ + x² — x + 1,
x³ + 2x² + x = x³ + 2x² + x

2. Делим первый член делимого 3x⁵ на первый член делителя x³. Получаем первый член частного 3x².

3. Умножаем первый член частного 3x² на делитель x³ + 2x² + x. Получаем многочлен 3x⁵ + 6x⁴ + 3x³ и записываем его под делимым.

4. Вычитаем из делимого 3x⁵ + 2x⁴ + 0*x³ + x² — x + 1 написанный под ним многочлен.

Получаем первый остаток -4x⁴ — 3x³ + x² — x + 1.

5. Делим первый член первого остатка -4x⁴ на первый член делителя x³. Получаем второй член частного -4x.

6. Умножаем второй член частного -4x на делитель x³ + 2x² + x. Получаем многочлен -4x⁴ — 8x³ — 4x² и записываем его под первым остатком.

7. Вычитаем из первого остатка -4x⁴ — 3x³ + x² — x + 1 написанный под ним многочлен. Получаем второй остаток 5x³ + 5x² — x + 1.

8. Делим первый член второго остатка 5x³ на первый член делителя x³. Получаем третий член частного 5.

9. Умножаем третий член частного 5 на делитель x³ + 2x² + x. Получаем многочлен 5x³ + 10x² + 5x и записываем его под вторым остатком.

10. Вычитаем из второго остатка 5x³ + 5x² — x + 1 написанный под ним многочлен. Получаем третий остаток -5x² — 6x + 1.

11. Степень третьего остатка меньше степени делителя, следовательно, процесс деления завершен. Частное от деления 3x² — 4x + 5, остаток -5x² — 6x + 1.

Запишем деление многочленов в виде деления «уголком».

Ответ: 3x⁵ + 2x⁴ + x² — x + 1 = (3x² — 4x + 5)*(x³ + 2x² + x) — 5x² — 6x + 1.

Пример 2. Деление многочлена на многочлен с остатком.
Разделить многочлен 5x⁴ — 4x³ + 2x² + 1 на многочлен x² + x + 1.

Решение.

Деление многочлена на многочлен столбиком (уголком)

Ответ: 5x

4 — 4x³ + 2x² + 1 = (5x² — 9x + 6)*(x² + x + 1) + 3x — 5.

Пример 3. Деление многочлена на многочлен столбиком.
Разделить многочлен 2x⁴ — 11x³ + 19x² — 13x + 3 на многочлен 2x² — 3x + 1. n)mod y. Уже когда-то копал этот вопрос и обнаружил теорему Эйлера (теория чисел).
Не относится к вопросу: Но вся проблема в том, что я учусь в школе, и мы не проходили еще подобных выражений, найденных мною на wiki, и теории чисел.

---

Объясните пожалуйста:

• Как использовать эту теорему на практике(например, реализация на C).
• (Не так важно, но просто интересно)Кратко значение формулировки на
  wiki. Буду рад какой-нибудь статье, etc для тех, кто еще не знаком с теорией чисел и математикой >9 классов.

• алгоритм
• математика

7

В украинской (также как и в английской и немецкой [остальные не проверял]) версии википедии есть хороший пример использования Теоремы Эйлера:

Наприклад ми хочемо обчислити 7²²² (mod 10). Маємо, що 7 і 10 є взаємно простими і φ(10) = 4. Одже згідно з теоремою Ейлера 7⁴ ≡ 1 (mod 10) і як наслідок

7²²² ≡ 7^{4×55 + 2} ≡ (7⁴)⁵⁵ x 7² ≡ 1⁵⁵ x 7² ≡ 49 ≡ 9 (mod 10).

Моя попытка перевода:

Например мы хотим вычислить «7²²² (mod 10)». 7 и 10 являются взаимно-простыми и φ(10) = 4 (это число натуральных чисел не больших чем 10 и являющихся взаимнопростыми по отношению к

10. Это следующие числа: 1,3,7,9 и всего их 4).

Следовательно согласно теореме Эйлера 7⁴ ≡ 1 (mod 10) и как следствие:

7²²² ≡ 7^{4×55 + 2} ≡ (7⁴)⁵⁵ x 7² ≡ 1⁵⁵ x 7² ≡ 49 ≡ 9 (mod 10).

Следствия из теоремы:

если a^φ(n) ≡ 1 (mod n), то и (a^φ(n))^k ≡ 1 (mod n) для любого положительного k, т.к.

(a^φ(n))^k ≡ a^φ(n) mod n * (a^φ(n))^{k — 1} mod n ≡ (a^φ(n))^{k — 1} (mod n) и т. д.

1

Зарегистрируйтесь или войдите

Регистрация через Google

Регистрация через Facebook

Регистрация через почту

Отправить без регистрации

Почта

Необходима, но никому не показывается

Отправить без регистрации

Почта

Необходима, но никому не показывается

Нажимая на кнопку «Отправить ответ», вы соглашаетесь с нашими пользовательским соглашением, политикой конфиденциальности и политикой о куки

Гарвардская школа повышения квалификации | Получите диплом или профессиональный сертификат

Приобретите навыки, чтобы изменить мир.

Где бы вы ни находились в своей карьере и жизни, вы можете получить доступ к опытным преподавателям и коллегам — и получить знания следующего уровня для достижения своих целей.

• Курсы
• Дипломы и сертификаты
• Степени бакалавриата и сертификаты
• Предмедицинские исследования
• Исследуйте все: Поиск программ

В чем уникальность расширений

Глубокое обучение возникает благодаря взаимодействию между людьми. Вот почему мы так усердно работаем, чтобы объединить людей — будь то живой виртуальный класс или личный семинар в кампусе.

• Доступ

  Наши гибкие схемы и прозрачное зачисление подчеркивают, на что вы способны сегодня, а не тесты или курсы, которые вы прошли много лет назад.

• Качество

  Ожидайте вызова. Вы будете учиться у отраслевых экспертов и преподавателей из Гарварда и других учебных заведений.

• Гибкость

  Вы много балансируете. Мы получим это. Наши курсы разработаны, чтобы помочь вам учиться, управляя карьерой и жизненными обязательствами.

• Воздействие

  Получите важную информацию и установите ценные связи. Затем заставьте их работать в вашей карьере и жизни.

Зачем учиться в Гарвардской школе расширения?

Большинство студентов приходят в Harvard Extension с обширным опытом и опытом работы . .. Они осознают, что образование и тяжелая работа жизненно важны для достижения их целей. И это вдохновляет учиться вместе с ними».

Тануджа Корлепра

Познакомьтесь с нашими студентами и выпускниками

О школе повышения квалификации

Гарвардская школа повышения квалификации сильно изменилась за эти годы. Но наша миссия остается прежней: открытый доступ и активное обучение для каждого студента, у которого есть стремление и стремление добиться успеха в Гарварде.

О Гарвардской школе повышения квалификации

Ознакомьтесь с нашими программами

• Сертификаты выпускников

  Развивайте новые навыки и накапливайте опыт, чтобы продвигаться по карьерной лестнице.

• Ученая степень

  Получите критические идеи и практические навыки для успеха в вашей карьере или научных занятиях.

• Сертификаты бакалавриата

  Исследуйте тему для обогащения или достижения профессиональной цели.

• Степень бакалавра

  Получите диплом на неполный рабочий день, не прерывая своей карьеры.

• Предварительные исследования

  Подготовьтесь к поступлению в медицинскую или стоматологическую школу.

• Каталог курсов

  Узнайте что-то новое на осеннем или весеннем уроке.

Последние блоги, новости и объявления

Views of Higher Education Divided by Party

Ким Паркер

19 августа 2019 г.

Американцы видят ценность в высшем образовании независимо от того, окончили они колледж или нет. Большинство говорят, что диплом колледжа важен, если не необходим, для того, чтобы помочь молодому человеку добиться успеха в жизни, а сами выпускники колледжей говорят, что диплом помог им расти и развивать навыки, необходимые для работы. В то время как менее половины сегодняшних молодых людей учатся в двухгодичных или четырехгодичных колледжах, их доля неуклонно росла в течение последних нескольких десятилетий. И экономические преимущества выпускников колледжей по сравнению с теми, у кого нет диплома, очевидны и растут.

Несмотря на это, среди общественности существует скрытая неудовлетворенность — даже подозрение — по поводу роли колледжей в обществе, того, как принимаются решения о приеме, и степени, в которой свобода слова ограничена в кампусах колледжей. И эти взгляды все больше связаны с партийностью.

Новое исследование исследовательского центра Pew Research Center показало, что только половина взрослых американцев считает, что колледжи и университеты оказывают положительное влияние на то, как идут дела в стране в эти дни. Около четырех из десяти (38%) говорят, что они оказывают негативное влияние — по сравнению с 26% в 2012 году9.0003

Доля американцев, утверждающих, что колледжи и университеты имеют негативное влияние, увеличилась на 12 процентных пунктов с 2012 года. Увеличение числа негативных мнений почти полностью исходит от республиканцев и независимых сторонников республиканцев. С 2015 по 2019 год доля говорящих, что колледжи негативно влияют на страну, среди этой группы увеличилась с 37% до 59%. За тот же период взгляды демократов и независимых сторонников демократов оставались в основном стабильными и в подавляющем большинстве положительными.

Только половина взрослых американцев считает, что колледжи и университеты положительно влияют на то, как идут дела в стране в наши дни.

Гэллап обнаружил аналогичный сдвиг во взглядах на высшее образование. В период с 2015 по 2018 год доля американцев, заявивших, что они очень или весьма доверяют высшему образованию, упала с 57% до 48%, причем падение было больше среди республиканцев (с 56% до 39%), чем среди демократов. (от 68% до 62%). ¹

Два дополнительных опроса исследовательского центра Pew Research Center подчеркивают неравноправие во взглядах на высшее образование. В конце 2018 года 84% демократов и независимых кандидатов, склоняющихся к Демократической партии, заявили, что они в значительной степени или в достаточной степени доверяют профессорам колледжей и университетов, которые действуют в интересах общества. Только около половины (48%) республиканцев и сторонников республиканцев сказали то же самое. На самом деле 19% республиканцев заявили, что совсем не верят в то, что профессора колледжей действуют в интересах общества. А в начале 2019 года 87% демократов — но менее половины (44%) республиканцев — заявили, что колледжи и университеты открыты для самых разных мнений и точек зрения.

Республиканцы и демократы расходятся во мнениях относительно проблем с высшим образованием. Сначала в опросе задавался вопрос о том, движется ли система высшего образования в США в целом в правильном или неправильном направлении. Большинство американцев (61%) говорят, что они идут в неправильном направлении. Республиканцы и сторонники республиканцев значительно чаще выражают эту точку зрения, чем демократы и сторонники демократов (73% против 52%).

Среди тех, кто говорит, что высшее образование движется в неправильном направлении, некоторые причины, почему они так считают, различаются в зависимости от партийной принадлежности. Большинство республиканцев (77%) и демократов (92%) говорят, что высокая стоимость обучения является основной причиной, по которой они считают, что колледжи и университеты движутся в неправильном направлении.

Демократы, которые видят проблемы в системе высшего образования, чаще ссылаются на рост расходов, чем на другие факторы, как на основную причину своего беспокойства, в то время как республиканцы столь же склонны указывать на другие проблемы как на причины своего недовольства. Примерно восемь из десяти республиканцев (79%) считают, что преподавание профессорами своих политических и социальных взглядов в классе является основной причиной того, что система высшего образования движется в неправильном направлении (то же самое считают только 17% демократов). И три четверти республиканцев (по сравнению с 31% демократов) указывают на чрезмерную заботу о защите студентов от взглядов, которые они могут счесть оскорбительными, как на главную причину своих взглядов. Кроме того, республиканцы чаще, чем демократы, говорят, что отсутствие у студентов навыков, необходимых им для достижения успеха на рабочем месте, является основной причиной того, что система высшего образования движется в неправильном направлении (73% против 56%).

Среди республиканцев существует значительная разница в возрасте. Пожилые республиканцы гораздо чаще, чем их более молодые коллеги, указывают на идеологические факторы, такие как то, что профессора высказывают свои взгляды в классе, и слишком много заботы о политкорректности в кампусе. Например, 96% республиканцев в возрасте 65 лет и старше, которые считают, что высшее образование движется в неправильном направлении, говорят, что основной причиной этого является то, что профессора доносят свои взгляды до аудитории. Только 58% республиканцев в возрасте от 18 до 34 лет разделяют эту точку зрения.

Республиканцы и демократы расходятся во мнениях относительно влияния личных взглядов профессоров на ценность высшего образования.

Опрос, проведенный Gallup в 2017 году, выявил аналогичные межпартийные разногласия, когда тех, кто выражал лишь некоторое или очень малое доверие американским колледжам и университетам, спросили, почему они так считают. Демократы, как правило, уделяли больше внимания затратам и качеству: 36% добровольно заявили, что колледжи слишком дороги, 14% заявили, что в колледжах плохое руководство и плохое управление, а 11% заявили, что общее качество высшего образования снижается. Республиканцы больше сосредоточились на политических и идеологических факторах: 32% сказали, что колледжи и университеты слишком политизированы или слишком либеральны (только 1% демократов добровольно ответили таким образом). А 21% республиканцев указали на то, что колледжи не позволяют студентам думать самостоятельно и продвигают свои собственные планы, как на причины, по которым они не доверяют им.

Другое общенациональное исследование, проведенное в прошлом году базирующейся в Бостоне компанией WGBH News, более внимательно изучило мнения о политическом климате в колледжах и университетах. Большинство взрослых (59%) заявили, что политика в кампусах колледжей склоняется к определенной точке зрения, а 28% заявили, что кампусы являются беспартийными. Из тех, кто считает, что политика склоняется к одной конкретной точке зрения, 77% заявили, что склоняются к либерализму, а 15% заявили, что склонны к консерватизму. Около половины (47%) тех, кто видит идеологический перекос в колледжах и университетах, назвали это серьезной проблемой, а 32% назвали ее незначительной.

Эти мнения существенно различались в зависимости от партии. Большинство демократов (60%) заявили, что студенты слышат самые разные точки зрения в кампусах колледжей, но только 26% республиканцев разделяют эту точку зрения. ² Кроме того, республиканцы гораздо чаще, чем демократы, замечали политический уклон в университетских городках: 72% республиканцев по сравнению с 48% демократов заявили, что университетские городки склоняются к одной конкретной точке зрения. Среди тех, кто видел политический уклон, большинство республиканцев (85%) и демократов (68%) заявили, что кампусы склоняются скорее к либерализму, чем к консерватизму. Но республиканцы гораздо чаще, чем демократы, говорили, что студенческие городки, склоняющиеся к определенной точке зрения, являются серьезной проблемой — так сказали 67% республиканцев против 26% демократов.

Взгляды на процесс приема в колледжи

В последнее время справедливость процесса приема в колледжи стала подвергаться сомнению, поскольку многие обеспокоены тем, что богатство и привилегии оказывают чрезмерное влияние. Ранее в этом году Совет колледжей объявил, что он начнет включать «оценку неблагополучия» вместе с оценкой студента SAT, чтобы предоставить больше информации об образовании и социально-экономическом положении студентов.

Согласно опросу WGBH News, подавляющее большинство американцев считают, что для колледжей и университетов важно иметь разнообразный студенческий состав с точки зрения расы и этнической принадлежности. Около шести из десяти (63%) говорят, что это чрезвычайно или очень важно, и еще 22% говорят, что это несколько важно. Только 13% говорят, что разнообразие в кампусах не имеет значения.

Однако недавний опрос исследовательского центра Pew Research Center показал, что общественность не поддерживает колледжи и университеты, которые учитывают расовую или этническую принадлежность при принятии решения о зачислении. Около 73% всех взрослых говорят, что раса или этническая принадлежность не должны быть фактором при принятии решения о приеме в колледж. Примерно каждый пятый (19%) говорит, что это должно быть второстепенным фактором, а 7% считают, что это должно быть важным фактором. Большинство расовых и этнических групп — 62% чернокожих, 65% латиноамериканцев, 58% азиатов и 78% белых — говорят, что раса и этническая принадлежность не должны быть фактором при принятии решения о приеме. Республиканцы чаще, чем демократы, говорят, что раса и этническая принадлежность не должны быть фактором при принятии решений о приеме, но большинство представителей обеих групп выражают эту точку зрения (85% среди республиканцев, 63% среди демократов).

В последнее время справедливость процесса приема в колледжи оказалась под вопросом, поскольку многие обеспокоены тем, что богатство и привилегии оказывают чрезмерное влияние.

Итак, какие факторы, по мнению общественности, должны влиять на решения о приеме в школу? Рейтинги старшей школы возглавляют список: 67% говорят, что оценки должны быть основным фактором при принятии этих решений, а 26% считают, что они должны быть второстепенным фактором. Около половины (47%) считают, что результаты стандартизированных тестов должны быть основным фактором, а 41% считают, что они должны быть второстепенным фактором.

Эти два в значительной степени объективных фактора выделяются среди других потенциальных критериев приема. Меньше взрослых говорят, что участие в общественных работах (21% называют это важным фактором, 48% — второстепенным) или принадлежность к первому поколению студентов колледжа (20% — основные, 27% — второстепенные) должны быть факторами при принятии решения о приеме в колледж. И еще меньше людей говорят, что спортивные способности (8% большие, 34% второстепенные) или наследственный статус (8% основные, 24% второстепенные) должны быть факторами.

В некоторых случаях у выпускников колледжей другое мнение по этому поводу, чем у тех, кто не окончил колледж. Например, в то время как 57% тех, кто имеет четырехлетнее высшее образование, считают, что вопрос о том, будет ли кто-то первым в их семье учиться в колледже, должен быть важным или второстепенным фактором при принятии решения о приеме, 43% тех, у кого нет степени бакалавра, говорят то же самое. .

Ценность диплома о высшем образовании

Несмотря на все более негативное отношение общественности к высшему образованию и его роли в обществе, большинство американцев считают, что высшее образование важно, если не необходимо, для того, чтобы помочь молодому человеку добиться успеха в современном мире. Опрос Центра 2018 года показал, что 31% взрослых считают высшее образование необходимым, а еще 60% говорят, что оно важно, но не обязательно. Тем не менее, намного больше людей говорят, что хорошая трудовая этика (89%), умение ладить с людьми (85%) и рабочие навыки, приобретенные на работе (75%), необходимы для успеха молодого человека.

Что касается их собственного опыта получения высшего образования, то более раннее исследование Центра показало, что подавляющее большинство выпускников колледжей (как двухгодичных, так и четырехгодичных учебных заведений) говорят, что колледж был для них полезен с точки зрения их личного роста и интеллектуально (62% говорят, что это было очень полезно в этом отношении, 31% считают, что это было несколько полезно). Подавляющее большинство также считают, что это помогло открыть двери к возможностям трудоустройства (53% сказали, что очень полезно, 29% сказали, что частично) и помогло им развить определенные навыки и знания, которые можно было бы использовать на рабочем месте (49).% очень, 35% несколько).

Тем не менее общественность по-прежнему скептически относится к тому, что современные колледжи готовят людей к работе. Только 16% говорят, что четырехлетняя степень в колледже или университете очень хорошо готовит кого-то к хорошо оплачиваемой работе в современной экономике, а 51% говорят, что она их достаточно хорошо готовит. Местные колледжи получают еще меньше положительных оценок: 12% говорят, что двухгодичная степень в этих колледжах очень хорошо готовит кого-то к работе, а 46% говорят, что она готовит их довольно хорошо.

Эти взгляды, как правило, не сильно различаются в зависимости от уровня образования. 13% взрослых, получивших четырехлетнее высшее образование или выше, говорят, что четырехлетнее образование очень хорошо готовит кого-то к хорошо оплачиваемой работе; 11% тех, кто имеет степень младшего специалиста, говорят то же самое, а также 12% тех, кто имеет некоторый опыт работы в колледже, но не имеет диплома, и 17% тех, кто не имеет образования, кроме средней школы. Однако среди тех, кто не закончил среднюю школу, намного больше — 40% — говорят, что четырехлетний диплом колледжа очень хорошо готовит кого-то к хорошо оплачиваемой работе.

Республиканцы и демократы придерживаются схожих мнений по этому поводу, хотя демократы чаще, чем республиканцы, считают, что четырехлетнее обучение в какой-то мере хорошо готовит людей к высокооплачиваемой работе в современной экономике.

Наблюдается больший партийный разрыв во взглядах на основную цель колледжа. Большинство республиканцев (58%) говорят, что это должно быть обучение конкретным навыкам и знаниям, которые можно использовать на рабочем месте, и только 28% говорят, что это должно помочь человеку расти лично и интеллектуально. Демократы разделились по этому вопросу более равномерно: 43% говорят, что основной целью колледжа должно быть развитие навыков и знаний, в то время как примерно столько же (42%) указывают на личностный и интеллектуальный рост.

Даже несмотря на сомнения в том, в какой степени колледж готовит людей к сегодняшнему рынку труда, и разногласия по поводу того, какой должна быть роль колледжа, факт остается фактом: четырехлетнее обучение в колледже имеет вполне реальную экономическую выгоду. Разрыв в доходах между выпускниками колледжей и теми, у кого нет степени бакалавра, значительно вырос за последние несколько десятилетий. В 1990 году средний годовой заработок штатного работника в возрасте от 25 до 37 лет со степенью бакалавра или выше составлял 53 600 долларов. В то время это составляло 40 200 долларов США для работника с некоторым опытом работы в колледже, но без степени бакалавра, и 33 600 долларов США для работника без опыта работы в колледже. В 2018 году разница была еще более заметной: 56 000 долларов для работника со степенью бакалавра или выше, 36 000 долларов для человека с высшим образованием и 31 300 долларов для выпускника средней школы.

Этот широкий обзор данных о взглядах на высшее образование в США раскрывает сложную совокупность взглядов — общественность, которая все еще видит преимущества образования в колледже, но стала настороженно относиться к политике и культуре в университетских городках и к ценности образования. четырехлетняя степень, которая имеет постоянно растущий ценник.