Сумма нескольких векторов вычитание векторов: Вычитание векторов — урок. Геометрия, 9 класс.

Сложение и вычитание векторов | Тест по геометрии (9 класс):

Практическая работа

«Сложение и вычитание векторов»

Вариант 1

Работу выполнил учащийся (учащаяся)  9 класса_____________________________

Цель работы:

• уяснить понятия: сумма двух векторов, сумма нескольких векторов, разность векторов, противоположные векторы;

• научиться выполнять сложение векторов по правилам треугольника, параллелограмма, многоугольника;

• научиться выполнять вычитание векторов.

Ход работы:

Выполните задания:  

Задание 1  Выполните сложение векторов  и .

         

           Задание 2   Выполните сложение векторов   и .

          Задание 3   Выполните сложение векторов и .

Задание 4  Найдите сумму векторов  и .

Вывод (По каким правилам можно выполнять сложение векторов? Как найти разность векторов): _______________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________  

---

Практическая работа  

«Сложение и вычитание векторов» Вариант 2

Работу выполнил учащийся (учащаяся)  9 класса_____________________________

Цель работы:

• уяснить понятия: сумма двух векторов, сумма нескольких векторов, разность векторов, противоположные векторы;

• научиться выполнять сложение векторов по правилам треугольника, параллелограмма, многоугольника;

• научиться выполнять вычитание векторов.

Ход работы:

Выполните задания:  

Задание 1  Выполните сложение векторов  и .

         

           Задание 2   Выполните сложение векторов   и .

          Задание 3   Выполните сложение векторов и .

Задание 4  Найдите сумму векторов  и .

Вывод (По каким правилам можно выполнять сложение векторов? Как найти сумму векторов):  _______________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________  

---

Практическая работа

«Сложение и вычитание векторов» Вариант 3

Работу выполнил учащийся (учащаяся)  9 класса_____________________________

Цель работы:

• уяснить понятия: сумма двух векторов, сумма нескольких векторов, разность векторов, противоположные векторы;

• научиться выполнять сложение векторов по правилам треугольника, параллелограмма, многоугольника;

• научиться выполнять вычитание векторов.

Ход работы:

Выполните задания:  

Задание 1  Выполните вычитание  векторов  и .

         

           Задание 2   Выполните вычитание векторов   и .

          Задание 3   Выполните сложение векторов и .

Задание 4  Найдите разность .

Вывод (По каким правилам можно выполнять сложение векторов? Как найти разность векторов):  _______________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________  

Справочник по высшей математике

Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. Изд-во «Наука». М. 1977 г. Справочник включает весь материал, входящий в программу основного курса математики высших учебных заведений. Детальная рубрикация и подробный предметный указатель позволяют быстро получать необходимую информацию. Книга окажет неоценимую помощь студентам, инженерам и научным работникам. Оглавление ПРЕДИСЛОВИЕ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ § 1. Понятие о предмете аналитической геометрии § 2. Координаты § 3. Прямоугольная система координат § 4. Прямоугольные координаты § 5. Координатные углы § 6. Косоугольная система координат § 7. Уравнение линии § 8. Взаимное расположение линии и точки § 9. Взаимное расположение двух линий § 10. Расстояние между двумя точками § 11. Деление отрезка в данном отношении § 11а. Деление отрезка пополам § 12. Определитель второго порядка § 13. Площадь треугольника § 14. Прямая линия; уравнение, разрешенное относительно ординаты (с угловым коэффициентом) § 15. Прямая, параллельная оси § 16. Общее уравнение прямой § 17. Построение прямой по ее уравнению § 18. Условие параллельности прямых § 19. Пересечение прямых § 20. Условие перпендикулярности двух прямых § 21. Угол между двумя прямыми § 22. Условие, при котором три точки лежат на одной прямой § 23. Уравнение прямой, проходящей через две точки § 24. Пучок прямых § 25. Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой § 26. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой § 27. Взаимное расположение прямой и пары точек § 28. Расстояние от точки до прямой § 29. Полярные параметры прямой § 30. Нормальное уравнение прямой § 31. Приведение уравнения прямой к нормальному виду § 32. Отрезки на осях § 33. Уравнение прямой в отрезках § 34. Преобразование координат (постановка вопроса) § 35. Перенос начала координат § 36. Поворот осей § 37. Алгебраические линии и их порядок § 38. Окружность § 39. Нахождение центра и радиуса окружности § 40. 2+bx+c § 51. Директрисы эллипса и гиперболы § 52. Общее определение эллипса, гиперболы и параболы § 53. Конические сечения § 54. Диаметры конического сечения § 55. Диаметры эллипса § 56. Диаметры гиперболы § 57. Диаметры параболы § 58. Линии второго порядка § 59. Запись общего уравнения второй степени § 60. Упрощение уравнения второй степени; общие замечания § 61. Предварительное преобразование уравнения второй степени § 62. Завершающее преобразование уравнения второй степени § 63. О приемах, облегчающих упрощение уравнения второй степени § 64. Признак распадения линий второго порядка § 65. Нахождение прямых, составляющих распадающуюся линию второго порядка § 66. Инварианты уравнения второй степени § 67. Три типа линий второго порядка § 68. Центральные и нецентральные линии второго порядка § 69. Нахождение центра центральной линии второго порядка § 70. Упрощение уравнения центральной линии второго порядка § 71. Равносторонняя гипербола как график уравнения y=k/x § 72. Равносторонняя гипербола как график уравнения y=(mx+n)/(px+q) § 73. Полярные координаты § 74. Связь между полярными и прямоугольными координатами § 75. Архимедова спираль § 76. Полярное уравнение прямой § 77. Полярное уравнение конического сечения АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ § 78. Понятие о векторах и скалярах § 79. Вектор в геометрии § 80. Векторная алгебра § 81. Коллинеарные векторы § 82. Нуль-вектор § 83. Равенство векторов § 84. Приведение векторов к общему началу § 85. Противоположные векторы § 86. Сложение векторов § 87. Сумма нескольких векторов § 88. Вычитание векторов § 89. Умножение и деление вектора на число § 90. Взаимная связь коллинеарных векторов (деление вектора на вектор) § 91. Проекция точки на ось § 92. Проекция вектора на ось § 93. Основные теоремы о проекциях вектора § 94. Прямоугольная система координат в пространстве § 95. Координаты точки § 96. Координаты вектора § 97. Выражения вектора через компоненты и через координаты § 98. Действия над векторами, заданными своими координатами § 99. Выражение вектора через радиусы-векторы его начала и конца § 100. Длина вектора. Расстояние между двумя точками § 101. Угол между осью координат и вектором § 102. Признак коллинеарности (параллельности) векторов § 103. Деление отрезка в данном отношении § 104. Скалярное произведение двух векторов § 104а. Физический смысл скалярного произведения § 105. Свойства скалярного произведения § 106. Скалярные произведения основных векторов § 107. Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей § 108. Условие перпендикулярности векторов § 109. Угол между векторами § 110. Правая и левая системы трех векторов § 111. Векторное произведение двух векторов § 112. Свойства векторного произведения § 113. Векторные произведения основных векторов § 114. Выражение векторного произведения через координаты сомножителей § 115. Компланарные векторы § 116. Смешанное произведение § 117. Свойства смешанного произведения § 118. Определитель третьего порядка § 119. Выражение смешанного произведения через координаты сомножителей § 120. Признак компланарности в координатной форме § 121. Объем параллелепипеда § 122. Двойное векторное произведение § 123. Уравнение плоскости § 124. Особые случаи положения плоскости относительно системы координат § 125. Условие параллельности плоскостей § 126. Условие перпендикулярности плоскостей § 127. Угол между двумя плоскостями § 128. Плоскость, проходящая через данную точку параллельно данной плоскости § 129. Плоскость, проходящая через три точки § 130. Отрезки на осях § 131. Уравнение плоскости в отрезках § 132. Плоскость, проходящая через две точки перпендикулярно данной плоскости § 133. Плоскость, проходящая через данную точку перпендикулярно двум плоскостям § 134. Точка пересечения трех плоскостей § 135. Взаимное расположение плоскости и пары точек § 136. Расстояние от точки до плоскости § 137. Полярные параметры плоскости § 138. Нормальное уравнение плоскости § 139. Приведение уравнения плоскости к нормальному виду § 140. Уравнения прямой в пространстве § 141. Условие, при котором два уравнения первой степени представляют прямую § 142. Пересечение прямой с плоскостью § 143. Направляющий вектор § 144. Углы между прямой и осями координат § 145. Угол между двумя прямыми § 146. Угол между прямой и плоскостью § 147. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости § 148. Пучок плоскостей § 149. Проекции прямой на координатные плоскости § 150. Симметричные уравнения прямой § 151. Приведение уравнений прямой к симметричному виду § 152. Параметрические уравнения прямой § 153. Пересечение плоскости с прямой, заданной параметрически § 154. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки § 155. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой § 156. Уравнения прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной плоскости § 157. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и данную прямую § 158. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и параллельной двум данным прямым § 159. Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую и параллельной другой данной прямой § 160. Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую и перпендикулярной данной плоскости § 161. Уравнения перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую § 162. Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую § 163. Условие, при котором две прямые пересекаются или лежат в одной плоскости § 164. Уравнения общего перпендикуляра к двум данным прямым § 165. Кратчайшее расстояние между двумя прямыми § 165а. Правые и левые пары прямых § 166. Преобразование координат § 167. Уравнение поверхности § 168. Цилиндрические поверхности, у которых образующие параллельны одной из осей координат § 169. Уравнения линии § 170. Проекция линии на координатную плоскость § 171. Алгебраические поверхности и их порядок § 172. Сфера § 173. Эллипсоид § 174. Однополостный гиперболоид § 175. Двуполостный гиперболоид § 176. Конус второго порядка § 177. Эллиптический параболоид § 178. Гиперболический параболоид § 179. Перечень поверхностей второго порядка § 180. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка § 181. Поверхности вращения § 182. Определители второго и третьего порядков § 183. Определители высших порядков § 184. Свойства определителей § 185. Практический прием вычисления определителей § 186. Применение определителей к исследованию и решению системы уравнений § 187. Два уравнения с двумя неизвестными § 188. Два уравнения с двумя неизвестными § 189. Однородная система двух уравнений с тремя неизвестными § 190. Два уравнения с двумя неизвестными § 190а. Система n уравнений с n неизвестными ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА § 192. Рациональные числа § 193. Действительные (вещественные) числа § 194. Числовая ось § 195. Переменные и постоянные величины § 196. Функция § 197. Способы задания функции § 198. Область определения функции § 199. Промежуток § 200. Классификация функций § 201. Основные элементарные функции § 202. Обозначение функции § 203. Предел последовательности § 204. Предел функции § 205. Определение предела функции § 206. Предел постоянной величины § 207. Бесконечно малая величина § 208. Бесконечно большая величина § 209. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами § 210. Ограниченные величины § 211. Расширение понятия предепа § 212. Основные свойства бесконечно малых величин § 213. Основные теоремы о пределах § 214. Число е § 215. Предел sinx/x при x стремящемся к 0 § 216. Эквивалентные бесконечно малые величины § 217. Сравнение бесконечно малых величин § 217а. Приращение переменной величины § 218. Непрерывность функции в точке § 219. Свойства функций, непрерывных в точке § 219а. Односторонний предел; скачок функции § 220. Непрерывность функции на замкнутом промежутке § 221. Свойства функций, непрерывных на замкнутом промежутке ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 223. Скорость § 224. Определение производной функции § 225. Касательная § 226. Производные некоторых простейших функций § 227. Свойства производной § 228. Дифференциал § 229. Механический смысл дифференциала § 230. Геометрический смысл дифференциала § 231. Дифференцируемые функции § 232. Дифференциалы некоторых простейших функций § 233. Свойства дифференциала § 234. Инвариантность выражения f'(x)dx § 235. Выражение производной через дифференциалы § 236. Функция от функции (сложная функция) § 237. Дифференциал сложной функции § 238. Производная сложной функции § 239. Дифференцирование произведения § 240. Дифференцирование частного (дроби) § 241. Обратная функция § 242. Натуральные логарифмы § 243. Дифференцирование логарифмической функции § 244. Логарифмическое дифференцирование § 245. Дифференцирование показательной функции § 246. Дифференцирование тригонометрических функций § 247. Дифференцирование обратных тригонометрических функций § 247а. Некоторые поучительные примеры § 248. Дифференциал в приближенных вычислениях § 249. Применение дифференциала к оценке погрешности формул § 250. Дифференцирование неявных функций § 251. Параметрическое задание линии § 252. Параметрическое задание функции § 253. Циклоида § 254. Уравнение касательной к плоской линии § 254а. Касательные к кривым второго порядка § 255. Уравнение нормали § 256. Производные высших порядков § 257. Механический смысл второй производной § 258. Дифференциалы высших порядков § 259. Выражение высших производных через дифференциалы § 260. Высшие производные функций, заданных параметрически § 261. Высшие производные неявных функций § 262. Правило Лейбница § 263. Теорема Ролля § 264. Теорема Лагранжа о среднем значении § 265. Формула конечных приращений § 266. Обобщенная теорема о среднем значении (Коши) § 267. Раскрытие неопределенности вида 0/0 § 268. Раскрытие неопределенности вида бесконесность на бесконечность § 269. Неопределенные выражения других видов § 270. Исторические сведения о формуле Тейлора § 271. Формула Тейлора § 272. Применение формулы Тейлора к вычислению значений функции § 273. Возрастание и убывание функции § 274. Признаки возрастания и убывания функции в точке § 274а. Признаки возрастания и убывания функции в промежутке § 275. Максимум и минимум § 276. Необходимое условие максимума и минимума § 277. Первое достаточное условие максимума и минимума § 278. Правило нахождения максимумов и минимумов § 279. Второе достаточное условие максимума и минимума § 280. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции § 281. Выпуклость плоских кривых; точка перегиба § 282. Сторона вогнутости § 283. Правило для нахождения точек перегиба § 284. Асимптоты § 285. Нахождение асимптот, параллельных координатным осям § 286. Нахождение асимптот, не параллельных оси ординат § 287. Приемы построения графиков § 288. Решение уравнений. Общие замечания § 289. Решение уравнений. Способ хорд § 290. Решение уравнений. Способ касательных § 291. Комбинированный метод хорд и касательных ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 293. Первообразная функция § 294. Неопределенный интеграл § 295. Геометрический смысл интегрирования § 296. Вычисление постоянной интегрирования по начальным данным § 297. Свойства неопределенного интеграла § 298. Таблица интегралов § 299. Непосредственное интегрирование § 300. Способ подстановки (интегрирование через вспомогательную переменную) § 301. Интегрирование по частям § 302. Интегрирование некоторых тригонометрических выражений § 303. Тригонометрические подстановки § 304. Рациональные функции § 304а. Исключение целой части § 305. О приемах интегрирования рациональных дробей § 306. Интегрирование простейших рациональных дробей § 307. Интегрирование рациональных функций (общий метод) § 308. О разложении многочлена на множители § 309. Об интегрируемости в элементарных функциях § 310. Некоторые интегралы, зависящие от радикалов § 311. Интеграл от биномиального дифференциала § 312. Интегралы вида … § 313. Интегралы вида S R(sinx, cosx)dx § 314. Определенный интеграл § 315. Свойства определенного интеграла § 316. Геометрический смысл определенного интеграла § 317. Механический смысл определенного интеграла § 318. Оценка определенного интеграла § 318а. Неравенство Буняковского § 319. Теорема о среднем интегрального исчисления § 320. Определенный интеграл как функция верхнего предела § 321. Дифференциал интеграла § 322. Интеграл дифференциала. Формула Ньютона — Лейбница § 323. Вычисление определенного интеграла с помощью неопределенного § 324. Определенное интегрирование по частям § 325. Способ подстановки в определенном интеграле § 326. О несобственных интегралах § 327. Интегралы с бесконечными пределами § 328. Интеграл функции, имеющей разрыв § 329. О приближенном вычислении интеграла § 330. Формулы прямоугольников § 331. Формула трапеций § 332. Формула Симпсона (параболических трапеций) § 333. Площади фигур, отнесенных к прямоугольным координатам § 334. Схема применения определенного интеграла § 335. Площади фигур, отнесенных к полярным координатам § 336. Объем тела по поперечным сечениям § 337. Объем тела вращения § 338. Длина дуги плоской линии § 339. Дифференциал дуги § 340. Длина дуги и ее дифференциал в полярных координатах § 341. Площадь поверхности вращения ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПЛОСКИХ И ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЛИНИЯХ § 342. Кривизна § 343. Центр, радиус и круг кривизны плоской линии § 344. Формулы для кривизны, радиуса и центра кривизны плоской линии § 345. Эволюта плоской линии § 346. Свойства эволюты плоской линии § 347. Развертка (эвольвента) плоской линии § 348. Параметрическое задание пространственной линии § 349. Винтовая линия § 350. Длина дуги пространственной линии § 351. Касательная к пространственной линии § 352. Нормальная плоскость § 353. Вектор-функция скалярного аргумента § 354. Предел вектор-функции § 355. Производная вектор-функции § 356. Дифференциал вектор-функции § 357. Свойства производной и дифференциала вектор-функции § 358. Соприкасающаяся плоскость § 359. Главная нормаль. Сопутствующий трехгранник § 360. Взаимное расположение линии и плоскости § 361. Основные векторы сопутствующего трехгранника § 362. Центр, ось и радиус кривизны пространственной линии § 363. Формулы для кривизны, радиуса и центра кривизны пространственной линии § 364. О знаке кривизны § 365. Кручение РЯДЫ § 367. Определение ряда § 368. Сходящиеся и расходящиеся ряды § 369. Необходимое условие сходимости ряда § 370. Остаток ряда § 371. Простейшие действия над рядами § 372. Положительные ряды § 373. Сравнение положительных рядов § 374. Признак Даламбера для положительного ряда § 375. Интегральный признак сходимости § 376. Знакопеременный ряд. Признак Лейбница § 377. Абсолютная и условная сходимость § 378. Признак Даламбера для произвольного ряда § 379. Перестановка членов ряда § 380. Группировка членов ряда § 381. Умножение рядов § 382. Деление рядов § 383. Функциональный ряд § 384. Область сходимости функционального ряда § 385. О равномерной и неравномерной сходимости § 386. Определение равномерной и неравномерной сходимости § 387. Геометрический смысл равномерной и неравномерной сходимости § 388. Признак равномерной сходимости; правильные ряды § 389. Непрерывность суммы ряда § 390. Интегрирование рядов § 391. Дифференцирование рядов § 392. Степенной ряд § 393. Промежуток и радиус сходимости степенного ряда § 394. Нахождение радиуса сходимости § 395. Область сходимости ряда, расположенного по степеням х – х0 § 396. Теорема Абеля § 397. Действия со степенными рядами § 398. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда § 399. Ряд Тейлора § 400. Разложение функции в степенной ряд § 401. Разложение элементарных функций в степенные ряды § 402. Применение рядов к вычислению интегралов § 403. Гиперболические функции § 404. Обратные гиперболические функции § 405. Происхождение наименований гиперболических функций § 406. О комплексных числах § 407. Комплексная функция действительного аргумента § 408. Производная комплексной функции § 409. Возведение положительного числа в комплексную степень § 410. Формула Эйлера § 411. Тригонометрический ряд § 412. Исторические сведения о тригонометрических рядах § 413. Ортогональность системы функций cos nx, sin nx § 414. Формулы Эйлера-Фурье § 415. Ряд Фурье § 416. Ряд Фурье для непрерывной функции § 417. Ряд Фурье для четной и нечетной функции § 418. Ряд Фурье для разрывной функции ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ § 420. Функция трех и большего числа аргументов § 421. Способы задания функций нескольких аргументов § 422. Предел функции нескольких аргументов § 424. Непрерывность функции нескольких аргументов § 425. Частные производные § 426. Геометрический смысл частных производных для случая двух аргументов § 427. Полное и частное приращения § 428. Частный дифференциал § 429. О выражении частной производной через дифференциал § 430. Полный дифференциал § 431. Геометрический смысл полного дифференциала (случай двух аргументов) § 432. Инвариантность выражения … полного дифференциала § 433. Техника дифференцирования § 434. Дифференцируемые функции § 435. Касательная плоскость и нормаль к поверхности § 436. Уравнение касательной плоскости § 437. Уравнения нормали § 438. Дифференцирование сложной функции § 439. Замена прямоугольных координат полярными § 440. Формулы для производных сложной функции § 441. Полная производная § 442. Дифференцирование неявной функции нескольких переменных § 443. Частные производные высших порядков § 444. Полные дифференциалы высших порядков § 445. Техника повторного дифференцирования § 446. Условное обозначение дифференциалов § 447. Формула Тейлора для функции нескольких аргументов § 448. Экстремум (максимум и минимум) функции нескольких аргументов § 449. Правило нахождения экстремума § 450. Достаточные условия экстремума (случай двух аргументов) § 451. Двойной интеграл § 452. Геометрический смысл двойного интеграла § 453. Свойства двойного интеграла § 454. Оценка двойного интеграла § 455. Вычисление двойного интеграла (простейший случай) § 456. Вычисление двойного интеграла (общий случай) § 457. Функция точки § 458. Выражение двойного интеграла через полярные координаты § 459. Площадь куска поверхности § 460. Тройной интеграл § 461. Вычисление тройного интеграла (простейший случай) § 462. Вычисление тройного интеграла (общий случай) § 463. Цилиндрические координаты § 464. Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты § 465. Сферические координаты § 466. Выражение тройного интеграла через сферические координаты § 467. Схема применения двойного и тройного интегралов § 468. Момент инерции § 471. Криволинейный интеграл § 472. Механический смысл криволинейного интеграла § 473. Вычисление криволинейного интеграла § 474. Формула Грина § 475. Условие, при котором криволинейный интеграл не зависит от пути § 476. Другая форма условия предыдущего параграфа ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 478. Уравнение первого порядка § 479. Геометрический смысл уравнения первого порядка § 480. Изоклины § 481. Частное и общее решения уравнения первого порядка § 482. Уравнения с разделенными переменными § 483. Разделение переменных. Особое решение § 484. Уравнение в полных дифференциалах § 484а. Интегрирующий множитель § 485. Однородное уравнение § 486. Линейное уравнение первого порядка § 487. Уравнение Клеро § 488. Огибающая § 489. Об интегрируемости дифференциальных уравнений § 490. Приближенное интегрирование уравнений первого порядка по методу Эйлера § 491. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов § 492. О составлении дифференциальных уравнений § 493. Уравнение второго порядка § 494. Уравнение n-го порядка § 495. Случаи понижения порядка § 496. Линейное уравнение второго порядка § 497. Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами § 498. Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами без правой части § 498а. Связь между случаями 1 и 3 § 498 § 499. Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью § 500. Линейные уравнения любого порядка § 501. Метод вариации постоянных § 502. Системы дифференциальных уравнений. Линейные системы НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ § 503. Строфоида § 504. Циссоида Диокла § 505. Декартов лист § 506. Верзьера Аньези § 507. Конхоида Никомеда § 508. Улитка Паскаля; кардиоида § 509. Линия Кассини § 510. Лемниската Бернулли § 511. Архимедова спираль § 512. Эвольвента (развертка) круга § 513. Логарифмическая спираль § 514. Циклоиды § 515. Эпициклоиды и гипоциклоиды § 516. Трактриса § 517. Цепная линия

Как найти сложение и вычитание векторов?

Мы можем использовать метод параллелограмма или метод треугольника, чтобы найти произведение двух векторов. Прочтите этот пост, чтобы узнать больше о сложении и вычитании векторов.

Поскольку величина и направление вектора различны, невозможно сложить два вектора. Когда дело доходит до добавления векторов, этот процесс не так прост, как добавление скаляров. Представьте, что автомобиль едет \(10\) миль на север и \(10\) миль на юг, чтобы лучше понять эту концепцию. Общее расстояние пути составляет \(20\) миль, а перемещение — \(0\) миль. Векторные величины северного и южного смещения компенсируют друг друга, когда они направлены в противоположные стороны. Результат — это математический термин, используемый для описания произведения двух или более векторов. Метод параллелограмма или метод треугольника можно использовать для нахождения произведения двух векторов.

Связанные темы

• Как найти компоненты вектора
• Как найти модуль вектора
• Как найти скалярное произведение векторов
• Введение в векторы

Пошаговое руководство по сложению и вычитанию векторов вычесть два вектора, добавить или вычесть соответствующие компоненты.

Если \(v⃗=(v_1,v_2)\) и \(u⃗ =(u_1,u_2)\)

Тогда сумма из \(v⃗ \) и \(u⃗\) является вектором:

\(\color{синий}{v⃗ + u⃗ =(v_1+u_1, v_2+u_2)}\)

разность из \( v⃗ \) и \(u⃗\):

\( \color{синий}{v⃗ – u⃗ = v⃗+( – u⃗)=(v_1-u_1, v_2-u_2)}\)

Сумма двух или более векторов называется равнодействующей. Метод параллелограмма или метод треугольника можно использовать для нахождения произведения двух векторов.

Метод параллелограмма:

Убедитесь, что начальные точки векторов совпадают. Затем нарисуйте линии, чтобы сформировать полный параллелограмм. Результатом является диагональ, которая проходит от начальной точки до противоположной вершины параллелограмма.

• Сложение векторов:

1. Поместите оба вектора \(u⃗\) и \(v⃗\) в одну и ту же начальную позицию при сложении векторов.
2. Соберите параллелограмм. Диагональ параллелограмма представлена ​​результирующим вектором \(u⃗ +v⃗\).

• Вычитание векторов:

1. Заполните пробелы на параллелограмме.
2. Из начальной точки проведите диагонали параллелограмма.

Метод треугольника:

Рисуйте векторы один за другим, совмещая начальную точку каждого последующего вектора с конечной точкой предыдущего вектора. Затем нарисуйте результат от начальной точки первого вектора до конечной точки конечного вектора. Подход «голова к хвосту» — другое название этой процедуры.

• Сложение векторов:

• Вычитание векторов:

Сложение и вычитание векторов — Пример 1:

Если \(u⃗ =(4,3)\) и \(v⃗=(-1, 5)\), найти \(u⃗ +v⃗\).

Используйте эту формулу, чтобы найти сумму векторов: \(\color{blue}{v⃗ + u⃗ = (v_1+u_1, v_2+u_2)}\).

\(u⃗ +v⃗=(4+(-1),3+5)\)

\(u⃗ +v⃗=(3,8)\)

Сложение и вычитание векторов – Пример 2:

Если \(v⃗=(6,3)\) и \(u⃗=(-2, 5)\), найти \(v⃗-u⃗ \).

Сначала нам нужно определить компоненты \(− u⃗ \). \(− u⃗ \) является скаляром, кратным \(−1\) умноженному на \(u\). Из определения скалярного умножения имеем:

\(−u⃗ =−1(u_1,u_2)\)

\(=-1(-2,5)\)

\(=(2,-5)\)

Теперь добавим компоненты \(v⃗\) и \(−u⃗\).

\( v⃗+ (-u⃗)=(6+2,3+(-5)\)

\(=(8,-2)\)

Упражнения по сложению и вычитанию векторов

1. Сложить векторы v \(=(13, 8)\) и u \(=(7,26)\).
2. вычесть векторы v \(=(4,5)\) из u \(=(12,2)\).
3. Складываем векторы v \(=(14, 10)\) и u \(=(-6,16)\).
4. вычесть векторы v \(=(-9,-6)\) из u \(=(-15,-3)\).
5. Складываем векторы v \(=(2, -4)\) и u \(=(4,8)\).

1. \(\цвет{синий}{ v⃗+𝑢⃗=(20,34)}\)
2. \(\цвет{синий}{ v⃗-𝑢⃗=(-8,3)}\)
3. \ (\color{blue}{ v⃗+𝑢⃗=(8,26)}\)
4. \(\color{blue}{ v⃗-𝑢⃗=(6,-3)}\)
5. \(\color{blue }{ v⃗+𝑢⃗=(6,4)}\)

Добавление векторов — Nexus Wiki

Мы описали математическую структуру, которая позволяет нам кодировать как направление, так и величину величины — вектора. Один из способов представить это как стрелку в системе координат, начинающуюся от начала координат и уходящую в определенном направлении на определенное расстояние. Основная физическая система, которую мы отображаем на эту математическую систему, — это перемещение объекта в пространстве.

Ментальная модель для сложения векторов

Эта физическая модель дает нам быстрый и простой способ подумать о том, как сложить два вектора. Вы начинаете в начале координат и проходите первый вектор от хвоста к голове. (Вы претерпеваете первое смещение.) Затем с того места, где вы находитесь, вы проходите вторую стрелу от хвоста к голове. (Вы претерпеваете второе смещение.) В результате получается стрелка, проведенная от хвоста первой стрелы прямо к острию второй. (Ваше общее водоизмещение.)

Этот смысл сложения векторов непосредственно дает нам графический способ сложения векторов. Например, если мы рассматриваем смещение в двумерном пространстве, описываемом «графиком для глаза», то есть плоскостью x-y, и у нас есть два смещения, помеченные $\overrightarrow{r_1}$  (показаны красным) и $\overrightarrow{ r_2}$ (показано синим цветом),  тогда сумма этих двух смещений $\overrightarrow{r}$ (показано черным) – это то, что вы получите, выполняя одно смещение за другим, как показано на рисунке:

$\overrightarrow{r} =$ $\overrightarrow{r_1}$ + $\overrightarrow{r_2}$

Предоставляет графический метод сложения двух векторов.

Алгебраический способ сложения векторов

При обсуждении векторов мы также показали, как мы можем представить их алгебраически, используя единичные направляющие векторы $\hat{i}$ и $\hat{j}$. Общий двумерный вектор может быть представлен суммой перемещений в двух перпендикулярных направлениях: $x$ и $y$. Произвольный вектор (на уроках математики его часто записывают как $(x,y)$), который имеет смещение на сумму $x$ в направлении $x$ и на величину $y$ в направлении $y$, можно записать

$$\overrightarrow{r} = x\hat{i} + y\hat{j}$$

Значения $x$ и $y$ называются компонентами $\overrightarrow{r }$.

Если у нас есть два таких вектора и мы хотим их сложить, мы можем сделать это с помощью простой алгебры: перестановки и перегруппировки.

$$\overrightarrow{r_1} = x_1\шляпа{i} + y_1\шляпа{j}$$

$$\overrightarrow{r_2} = x_2\шляпа{i} + y_2\шляпа{j}$$

$$\overrightarrow{r} = \overrightarrow{r_1} + \overrightarrow{r_2}$$

Замена $r_1$ и $r_2$ формами их компонентов:

$$\overrightarrow{r} =(x_1\hat{i} + y_1\hat{j}) + ( x_2\hat{i} + y_2 \hat{j})$$

и затем перегруппировка

$$\overrightarrow{r} =(x_1\ + x_2)\hat{i} + (y_1 +  y_2)\hat{j}$$

Если затем мы идентифицируем сумму r как имеющую компоненты $x$   и $y$, мы можем определить, что они собой представляют:

$$\overrightarrow{r} = \overrightarrow{r_1} + \overrightarrow{r_2 } = х\шляпа{i} + у\шляпа{j}$$

$$x = x_1 + x_2$$

$$y = y_1 + y_2$$

Итак, это дает удовлетворительный результат: чтобы добавить два вектора, мы просто добавляем компоненты $x$ и называем это новым $ компонент x$, добавьте компоненты $y$ и назовите его новым компонентом $y$.

Математический способ сложения векторов

Третий способ сложения векторов является естественным и подходящим, когда вы рассматриваете свойства набора векторов как . В этом случае все векторы перемещаются так, чтобы они начинались в начале координат. Затем, чтобы построить сумму двух векторов, вы строите воображаемый параллелограмм, используя два заданных вектора как две стороны. Сумма является диагональю параллелограмма (начиная с начала координат). Вы можете увидеть, как это делается на рисунке ниже.

Вы можете увидеть взаимосвязь между ними в различных формах методов сложения векторов, с которыми вы можете столкнуться. Тщательное рисование этих диаграмм может существенно помочь в выяснении того, что делать, и в выработке правильного ответа.

Вычитание векторов

Вычитание векторов не сложнее сложения, так как векторная математика подчиняется стандартным правилам алгебры. Вычитание вектора — это то же самое, что сложение отрицательного значения вектора.