Свойства степеней формулы 8 класс: Степень с отрицательным показателем — урок. Алгебра, 8 класс.

7}}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 11.

Реклама

Поддержать нас

8 класс

1. Формулы куба двучлена

1. Формулы сокращённого умножения. Справочник

 

2. Комбинаторика. Бином Ньютона. Справочник

 

3. Нестандартные задачи. Малый мехмат МГУ

 

2. Сумма кубов

4. Формулы сокращённого умножения. Справочник

 

5. Нестандартные задачи. Неравенства в треугольнике. Малый мехмат МГУ

 

3. Допустимые значения. Сокращение дробей

6. Алгебраические дроби. Видеоуроки

 

7. Допустимые значения. Дидактическая игра для двоих

 

8. Нестандартные задачи.  Малый мехмат МГУ

 

4. Умножение, деление дробей и возведение дробей в степень

9. Алгебраические дроби. Видеоуроки

 

10. Нестандартные задачи. Малый мехмат МГУ

 

5. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

11. Алгебраические дроби. Видеоуроки

 

12. Нестандартные задачи. Малый мехмат МГУ

 

6. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

13. Алгебраические дроби. Видеоуроки

 

14. Нестандартные задачи. Задачи на движение. Малый мехмат МГУ

 

7. Упрощение рациональных выражений

15. Алгебраические дроби. Видеоуроки

 

16. Алгебраические дроби. Электронный справочник.  Алгебраическая дробь. Сокращение дробей. Сложение и вычитание дробей. Умножение и деление дробей.

 

17. Нестандартные задачи. Малый мехмат МГУ

 

8. Дробные уравнения с одной переменной

18. Линейные уравнения с одним неизвестным и уравнения, сводящиеся к ним. Справочник

 

19. Нестандартные задачи. Малый мехмат МГУ

 

 

9. Прямая и обратная пропорциональность величин

20. Нестандартные задачи. Принцип Дирихле. Малый мехмат МГУ

 

10. Функция  у=k/x  и ее график 

CD-ROM «Математика. 5–11 классы». Дрофа, 2004. Глава «Алгебра». §4. Функции. п.4.3. Функция  у=k/x.

CD-ROM «Алгебра. Графики функций». Интерактивное нагялдное пособие. – М.: Дрофа, 2008.

 

21. Нестандартные задачи. Числа и графы. Малый мехмат МГУ

 

11. Определение степени с целым отрицательным показателем

22. Нестандартные задачи. Числа простые и составные. Малый мехмат МГУ

 

12. Свойства степеней с целыми показателями 

23. Нестандартные задачи. Малый мехмат МГУ

 

13. Стандартный вид числа 

24. Графы. Нестандартные задачи. Малый мехмат МГУ

 

14. Рациональные и иррациональные числа 

CD-ROM «Математика. 5–11 классы». Дрофа, 2004. Глава «Алгебра». §2. Неравенства. п.2.1 «Действительные числа».

 

25. Рациональные числа. Справочник

 

26. Иррациональные числа. Справочник

 

27. Иррациональные числа. История вопроса

 

28. Делимость. Нестандартные задачи. Малый мехмат МГУ

 

15. Периодические и непериодические бесконечные десятичные дроби

CD-ROM «Математика. 5–11 классы». Дрофа, 2004. Глава «Алгебра». §2. Неравенства. п.2.1 «Действительные числа» задания №7,8,10,12 на с.87, задание 9 на с.88.

 

29. Действительные числа. Видеоуроки

 

30. Проценты. Нестандартные задачи. Малый мехмат МГУ

 

16. Функция у=х2 и ее график 

CD-ROM «Алгебра. Графики функций». Интерактивное нагялдное пособие. – М.: Дрофа, 2008. на с.90

 

31. Игры. Нестандартные задачи. Малый мехмат МГУ

 

17. Понятие квадратного корня 

CD-ROM «Математика. 5–11 классы». Дрофа, 2004. Глава «Алгебра». §2. Неравенства. п.2.1 «Действительные числа». задания 1 и 2 перед упражнениями, задание 11 в №229, задания 1–5 в №245.

 

32. Арифметический квадратный корень. Справочник

 

33. Логические задачи. Нестандартные задачи. Малый мехмат МГУ

 

18. Свойства положительных квадратных корней

34. Множества. Нестандартные задачи. Малый мехмат МГУ

 

19. Внесение и вынесение множителя из-под знака корня 

35. Нестандартные задачи. Малый мехмат МГУ

 

20. Действия с квадратными корнями

36. Итоговый тест по алгебре. Дидактическая игра для двоих

 

37. Нестандартные задачи. Малый мехмат МГУ

 

21. Выделение полного квадрата

38. Квадратные уравнения. Видеоуроки

 

39. Квадратное уравнение. Справочник

 

40. Задачи на движение. Нестандартные задачи.   Малый мехмат МГУ

 

22. Решение квадратного уравнения в общем виде 

41. Квадратные уравнения. Видеоуроки. Урок 3.1, 3.2.

 

42. Алгебра. Обозначения. История вопроса

 

43. Теорема Пифагора. Нестандартные задачи.  Малый мехмат МГУ

 

23. Теорема Виета 

44. Теорема Виета. Видеоуроки. Урок 3.8, 3.9.

 

45. Теорема Виета. Справочник

 

46. Разложение квадратного трехчлена на множители. Справочник

 

47. Целые корни. Дидактическая игра для двоих

 

48. Нестандартные задачи. Малый мехмат МГУ

 

24. Частные случаи квадратного уравнения

49. Квадратные уравнения. Видеоуроки

 

50. Решение квадратного уравнения (приведенного и неприведенного).

Справочник

 

25. Задачи, приводящие к квадратным уравнениям

51. Квадратные уравнения. Видеоуроки. Урок 3.10, 3.11.

 

52. Задачи на движение. Нестандартные задачи. Малый мехмат МГУ

 

26. Решение системы уравнения способом подстановки

 

53. Системы квадратных и линейных уравнений. Дидактическая игра для двоих.

 

27. Решение задач с помощью систем уравнений

 

28. Вычисление вероятностей

54. Комбинаторика. Нестандартные задачи. Малый мехмат МГУ

 

29. Вероятность вокруг нас

55. Комбинаторика. Нестандартные задачи. Малый мехмат МГУ

 

Глава VI. Повторение

56. Олимпиадные задачи по всем разделам математики.  Нестандартные задачи с решениями

 

57. Электронная библиотека учебно-методической литературы по математике. Олимпиады, турниры

CBSE Class 8 Math Formulas

GeeksforGeeks выступили с инициативой снизить нагрузку на учащихся из-за того, что они собирают все важные формулы, используемые в их учебной программе для 8-го класса, в одном месте. Математические формулы класса 8 от GeeksforGeeks разработаны таким образом, что они охватывают все важные формулы и свойства, используемые в каждой главе, вкратце. Это помогает студенту пересматривать и учиться легко и быстро. Для ученика 8-го класса может быть трудно понять повышение уровня сложности по сравнению с предыдущими уроками. Кроме того, с такой дисциплиной, как математика, вы должны всегда оставаться в курсе. Эта тема очень важна как в учебе, так и в личной жизни. Чтобы получить высокий уровень знаний, вы должны сначала освоить математические формулы для 8-го класса, прежде чем переходить к их применению к своим вопросам.

Вам может быть интересно, где можно получить точные математические формулы для 8-го класса для определенного набора вопросов. Вот почему GeeksforGeeks предлагает вам эту информацию прямо сейчас. Ниже перечислены все математические формулы для 8-го класса на одной странице для вас, поэтому вам не нужно искать другую!

Глава 1: Рациональные числа

В арифметике к различным видам чисел относятся целые числа, действительные числа, натуральные числа, целые числа, дробные числа, простые числа и составные числа. Различные типы рациональных чисел рассматриваются в математических формулах «Рациональные числа 8 класса», которые помогут учащимся изучить концепции рациональных чисел, их уникальность среди остальных чисел и их использование в высшей арифметике.

Любое число, которое может быть выражено как a ⁄ b, где b ≠ 0 – рациональные числа. Ниже приведены формулы и свойства, используемые для рациональных чисел:

• Аддитивное тождество: (a ⁄ b + 0) = (a ⁄ b).
• Мультипликативная идентичность: (a ⁄ b) × 1 = (a/b).
• Обратное мультипликативное : (a ⁄ b) × (b/a) = 1.
• Обратное аддитивное: a + (-a) = (-a) + a = 0.
• Свойство замыкания – Дополнение: . Для любых двух рациональных чисел a и b число a + b также является рациональным числом.
• Свойство замыкания – вычитание: Для любых двух рациональных чисел a и b, a – b также является рациональным числом.
• Свойство замыкания — умножение: Для любых двух рациональных чисел a и b число a × b также является рациональным числом.
• Свойство замыкания – Деление: Рациональные числа не замыкаются при делении.
• Переместительное свойство – дополнение : Для любых рациональных чисел a и b, a + b = b + a.
• Коммутативное свойство – Вычитание: Для любых рациональных чисел a и b, a – b ≠ b – a.
• Коммутативное свойство – Умножение: Для любых рациональных чисел a и b (a x b) = (b x a).
• Коммутативное свойство – Деление: Для любых рациональных чисел a и b (a/b) ≠ (b/a).
• Ассоциативное свойство – Дополнение: Для любых рациональных чисел a, b и c (a + b) + c = a + (b + c).
• Ассоциативное свойство – вычитание: Для любых рациональных чисел a, b и c, (a – b) – c ≠ a – (b – c)
• Ассоциативное свойство – умножение: Для любых рациональных чисел a, b и c, (a x b) х с = а х (б х с).
• Ассоциативное свойство — деление: Для любых рациональных чисел a, b и c (a/b) / c ≠ a/(b/c).
• Распределительное свойство: Для любых трех рациональных чисел a, b и c, a × (b + c) = (a × b) +(a × c).

Глава 2. Линейные уравнения с одной переменной

Линейное уравнение с одной переменной — это выражение, которое обозначается как ax+b = 0, где a и b — любые два целых числа, а x — переменная и состоит только из одного решения. Как следует из названия линейное уравнение с одной переменной, уравнение этого типа имеет только одно решение. Существует четыре различных способа решения линейных уравнений с одной переменной:

1. Линейные уравнения типа Линейное выражение с одной стороны и числа с другой стороны :
   • Перенесите число в ту сторону, где присутствуют все числа, сохраняя знак числа.
   • Решите (сложите/вычтите) уравнение с обеих сторон, чтобы максимально упростить его, чтобы получить значение переменной.
2. Линейные уравнения типа с переменной с обеих сторон :
   • Транспонируйте и число, и переменную, чтобы получить каждую из них на одной стороне, сохраняя знак числа.
   • Решите (добавьте/вычтите) уравнение с обеих сторон, чтобы максимально упростить его, чтобы получить значение переменной.
3. Линейные уравнения типа с числом в знаменателе и переменными с обеих сторон уравнение выводится к простой форме, а затем решается как линейное уравнение типа, которое имеет переменные с обеих сторон, чтобы получить значение переменной.
4. Линейные уравнения типа Приводимые к линейной форме :
   • Такие уравнения имеют вид: (x + a / x + b) = c / d .
   • Таким образом, эти уравнения решаются методом перекрестного умножения числителя и знаменателя, чтобы привести его к простой линейной форме, такой как (x + a) d = c (x + b) . Это линейное уравнение типа, которое имеет переменные с обеих сторон, которые можно решить дальше, чтобы получить значение переменной.

Глава 3: Понимание четырехугольников

Четырехугольник — это замкнутый объект с четырьмя сторонами, четырьмя вершинами и четырьмя углами, который является своего рода многоугольником. Он состоит из четырех неколлинеарных точек, соединенных вместе. Сумма внутренних углов четырехугольника всегда равна 360 градусам. Давайте теперь поймем следующие важные замечания о формулах, обсуждаемых в этой главе:

• Классификация многоугольников : Многоугольники классифицируются в соответствии с количеством сторон (или вершин), которые они имеют, как указано ниже:

• Свойство суммы углов четырехугольник равен 360°.
• Сумма мер внешних углов многоугольника : Независимо от количества сторон в многоугольниках сумма измерений внешних углов равна 360 градусам.
• Типы четырехугольников : Измерения углов и длин сторон четырехугольников используются для их классификации. Вся площадь, занимаемая фигурой, равна площади четырехугольника. Периметр двумерной формы – это все расстояние, пройденное ее границами. Ниже приведены свойства, площади и уравнения периметра для различных четырехугольников:

Глава 4: Практическая геометрия

Эта глава посвящена построению четырехугольника. Четырехугольник — геометрическая фигура, представляющая собой четырехугольник с четырьмя углами и двумя диагоналями. Например, квадрат, прямоугольник, ромб и т. д. 

Для однозначного построения четырехугольника требуется пять измерений.

• Четырехугольник можно построить однозначно, если известны длины его четырех сторон и диагонали.
• Четырехугольник можно построить однозначно, если известны две его диагонали и три стороны.
• Четырехугольник можно построить однозначно, если известны две его смежные стороны и три угла.
• Четырехугольник можно построить однозначно, если известны его три стороны и два угла между ними.

Глава 5. Обработка данных

Обработка данных — это процесс сбора, организации и представления любой необработанной информации таким образом, чтобы она была полезна другим, например, в виде графиков, диаграмм и т. д. Любая проблема, которую нам необходимо изучить нуждается в сборе данных, которые затем должны быть представлены таким образом, чтобы обеспечить четкое визуальное представление специфики проблемы, а также изучить альтернативные решения. Ниже приводится список формул и важных терминов, обсуждаемых в этой главе:

• Данные: Данные — это систематическая запись фактов или отдельных значений количества.
• Упорядочивание данных для изучения их характерных особенностей называется представлением данных.
• Частота: Определяется как количество раз появления определенного объекта. Таблица используется для представления частоты различных объектов в заданных данных и называется Таблица распределения частот .
  • Если данные, представленные в таблице распределения частот, представлены в виде групп заданных значений, то она называется сгруппированной таблицей распределения частот . Эти групповые данные заданных значений группируются и называются интервалами классов. Однако количество значений, которые содержит каждый класс, называется размером или шириной класса.
    1. Нижнее значение в интервале классов называется Нижним пределом класса .
    2. Верхнее значение в интервале класса называется пределом верхнего класса .
• Графическое представление данных:
  1. Пиктограмма: Графическое представление данных с помощью символов.
  2. Гистограмма : Отображение информации с использованием столбцов одинаковой ширины, высота которых пропорциональна соответствующим значениям.
  3. Двойная гистограмма: Гистограмма, показывающая одновременно два набора данных. Это полезно для сравнения данных.
  4. Гистограмма : графическое представление частотного распределения в виде прямоугольников с интервалами классов в качестве оснований и высотами, пропорциональными соответствующим частотам, таким образом, что между любыми последовательными прямоугольниками нет промежутка.
  5. Круговая диаграмма или круговая диаграмма : Графическое представление числовых данных в виде секторов круга, где площадь каждого сектора пропорциональна величине данных, представленных сектором.
• Вероятность = Количество исходов, составляющих событие / Общее количество исходов, если исходы равновероятны.

Глава 6: Квадраты и квадратные корни

Квадратное число — это натуральное число (пусть q), которое может быть выражено как p ² , где n также является натуральным числом. например 4 — квадратное число, как 4 = 2 ² . Квадратный корень — это операция, обратная возведению в квадрат.

Если q — натуральное число такое, что p ² = q, то

√q = p и –p

 Некоторые важные свойства квадратов и квадратных корней перечислены ниже: представляют собой 2n несовершенных квадратных чисел между n ² и (n+1) ² .

Если полный квадрат состоит из n цифр, то его квадратный корень будет состоять из n/2 цифр, если n четное, или (n+1)/2, если n нечетное.

Глава 7. Кубы и кубические корни

Обратной формулой куба является формула кубического корня. Мы умножаем число три раза, чтобы получить его куб в формуле куба, поэтому в этой ситуации мы разбиваем число, которое нужно записать как произведение трех равных чисел, и получаем кубический корень .

Рассмотрим любое число m, которое может быть представлено как произведение любого числа трижды как m = n × n × n = n ³ . n ³ известен как куб из n, а m теперь известен как кубический корень из n:

³ √m = n

Метод нахождения кубического корня: Существует два различных способа определения кубического корня числа:

Глава 8: Сравнение величин

Класс 8. Формулы сравнения величин, представленные здесь, были тщательно подготовлены экспертами, чтобы помочь учащимся понять все концепции и формулы, используемые в Главе 8. Приведенные ниже формулы по некоторым важным темам, таким как различные Налоги, такие как налог с продаж, налог на добавленную стоимость, налог на товары и услуги, налог на прибыль и убытки, процентное изменение и скидки, предназначены для того, чтобы помочь учащимся своевременно внести изменения и получить более высокие баллы на экзаменах.

Следующие формулы помогут учащимся понять основы простой арифметики, связанной с деньгами:

• Прибыль = Цена продажи – Себестоимость
• Убыток = Себестоимость – Цена продажи
• Если SP > CP , то это прибыль.
• Если SP = CP, то это не прибыль и не убыток.
• Если CP > SP , то это потеря.
• Скидка = Маркированная цена – Цена продажи
• Скидка, % = Скидка × 100 / MP
• Процент прибыли = (Прибыль / Себестоимость) × 100
• Процент убытка = (Убыток / Себестоимость) × 100
• Увеличение процента = Изменение стоимости / Исходная стоимость
• Простые проценты = (Основная сумма × Ставка × Время)/100 налог или НДС = Налог с продажной цены = (Себестоимость × Ставка налога с продаж) / 100
• Сумма счета = Цена продажи + НДС

Глава 9. Алгебраические выражения и тождества класс 8, это сложная глава, в которой вы должны запомнить все уравнения и правильно их применять. GeeksforGeeks упростит им задачу, разместив все формулы на одной странице. Алгебраические формулы и алгебраические тождества для класса 8, как мы думаем, приведены здесь.

Эти формулы помогут учащимся быстро учиться и обеспечат легкий доступ к информации, когда это необходимо.

• (a + b) ² = a ² + 2ab + b ²
• (a – b) ² = a ² – 2ab + b ²
• (a + б) (a – b) = a ² – b ²
• (x + a) (x + b) = x ² + (a + b)x + ab
• (x + a) (x – b) = x ² + (a – b)x – ab
• (x – a) (x + b) = x ² + (b – a)x – ab
• (x – a) (x – b) = x ² – (a + b)x + ab
• (a + b)3 = a ³ + b ³ + 3ab(a + b)
• (a – b)3 = a ³ – b ³ – 3ab(a – b)

Объемная геометрия жизненно важна в повседневной жизни, поскольку помогает нам понять множество форм, с которыми мы сталкиваемся, и их свойства. Всестороннее понимание визуализации твердотельных объектов может помочь учащимся освоить более сложные принципы геометрии и решать реальные ситуации. В результате очень важно понимать многочисленные формулы, связанные с различными твердыми телами, которые помогут в повседневных вычислениях.

Давайте узнаем о некоторых важных понятиях и формулах, используемых в этой главе.

• Твердые тела определяются своей формой и тем фактом, что они занимают место. Грани твердого тела представляют собой многоугольные сечения, из которых состоит твердое тело.
• Многогранник: Многогранник — это твердотельный объект, окаймленный многоугольниками (платоническое тело).
• Формула Эйлера: Многогранник имеет определенное количество плоских граней, ребер и вершин, удовлетворяющих формуле:

F + V – E = 2

, где F – количество граней. Буквы V и E обозначают количество вершин и ребер соответственно.

• Призма: Призма является сплошной с параллелограммными боковыми гранями и конгруэнтными параллельными концами многоугольника (или основаниями). Две треугольные грани, три прямоугольные грани, шесть вершин и девять ребер составляют призму.
• Пирамида: Пирамида – это многогранник, основанием которого является многоугольник с любым числом сторон и дополнительными гранями, представляющими собой треугольники с одной вершиной. Одна квадратная грань, четыре треугольных грани, пять вершин и восемь ребер составляют пирамиду.
• Тетраэдр: Если основание пирамиды представляет собой треугольник, она называется треугольной пирамидой. Тетраэдр — другое название треугольной пирамиды.
• Размеры тела: Твердое тело имеет три измерения (измерения) – длину, ширину и высоту. Плоские формы имеют два измерения (измерения): длину и ширину (или глубину). В результате они называются двумерными и трехмерными формами соответственно. Их называют двумерными и трехмерными фигурами соответственно. Треугольники, прямоугольники и круги являются двухмерными формами, тогда как кубы, цилиндры, конусы и сферы являются трехмерными фигурами. Под разными углами трехмерные объекты кажутся разными. В результате они могут быть нарисованы под разными углами, такими как вид сверху, вид спереди и вид сбоку.
• Картирование : Карта — это не то же самое, что фотография. Карта показывает, где находится одна вещь или место по отношению к другим объектам или местам. Символы используются для обозначения различных предметов и мест. На карте нет привязки или перспективы. С другой стороны, перспектива имеет решающее значение при создании изображения. Кроме того, карты имеют масштаб, который устанавливается для каждой карты.
• Грани, вершины и ребра: Грани — это многоугольные сечения, составляющие многогранник. Ребра — это отрезки, соединяющие грани многогранника. Вершины многогранника — это точки пересечения ребер. В вершине многогранника сходятся три и более ребра.

Глава 11: Измерение

Формулы для измерения класса 8, глава 11, перечислены здесь. Здесь вы найдете ресурсы для измерения, основанные на программе CBSE (2021-2022) и самом последнем образце экзамена. Работайте с формулами и примерами, чтобы лучше понять идею измерения. Измерение — это процесс вычисления площади и периметра различных геометрических форм, таких как треугольники, трапеции, прямоугольники и т. д.

• Периметр: Длина контура любой простой замкнутой фигуры называется периметром.
  • Периметр прямоугольника = 2 × (l + b) единиц.
  • Периметр квадрата = 4 × сторона.
  • Периметр круга называется его окружностью. Следовательно, длина окружности равна 2 π r.
  • Периметр параллелограмма = 2 (основание + высота)
  • Периметр треугольника = a + b + c                                             (где a, b и c — длины сторон)
  • Периметр трапеции = A + B + C + D (где A, B, C, D — стороны трапеции)
  • Периметр воздушного змея = 2a + 2b (где A — длина первой пары b — длина второй пары)
  • Периметр ромба = 4 × сторона
  • Периметр шестиугольника = 6 × сторона
• Площадь криволинейной поверхности конуса = 1/2 × l × 2πr = πrl , где «r» — радиус основания, а «l» — наклонная высота. ‘l’ = √(r ² + h ² )
• Объем прямоугольного параллелепипеда = Площадь основания × Высота = Длина × Ширина × Высота
• Объем конуса = (1/3)πr ² h
• Объем сферы = (4/3) π r ³
• Объем полушария = (2/3) πr ³

число умножается само на себя.

Например, 5 × 5 × 5 можно записать как 5 ³ . Даже очень маленькие числа могут быть выражены в виде отрицательных показателей. Вот список некоторых законов, относящихся к экспонентам:

• Закон произведения: a ^m × a ⁿ  = a ^{m + n}
• Закон частного: a ^m /a n  = am – n
• Закон нулевого показателя степени: a ⁰ = 1
• Закон отрицательного показателя степени: a ^-m = 1/a ^m
• Закон степени степени27 м )n = a ^mn
• Закон мощности произведения: (ab) ⁿ = a ^m b ^m
• Закон мощности частного: (a/b) ^{m 8 a m /b m}

Глава 13. Прямые и обратные пропорции

Чтобы показать, как количества и количества связаны друг с другом, используется прямая и обратная пропорция. Прямо пропорциональные и обратно пропорциональные — это другие термины, используемые для их описания.

• Пропорции: Пропорциональность представлена ​​символом ∝. Например, если мы утверждаем, что p пропорционально q, это подразумевает p ∝ q , а если мы говорим, что p обратно пропорционально q, то это подразумевает «p∝1/q». Эти отношения регулируются некоторыми правилами пропорциональности. Теперь значение «p» изменяется с точки зрения «q» в обоих случаях, или когда значение «q» изменяется, значение «p» также изменяется. Константа пропорциональности равна изменению обоих значений. По сути, пропорция указывает на то, что два отношения, такие как p/q и r/s, эквивалентны, то есть p/q = r/s.
• Прямая пропорция или вариация: Можно сказать, что любые две величины a и b находятся в прямой зависимости, если они изменяются (увеличиваются или уменьшаются) друг с другом таким образом, что отношение их соответствующих значений остается одним и тем же. Отсюда следует, что если a/b = k, где k — любое положительное число, то говорят, что a и b прямо пропорциональны. например Если количество купленных вещей увеличивается, то увеличивается и общая стоимость покупки.
• Количества, которые увеличиваются или уменьшаются параллельно, не обязательно должны быть прямо пропорциональны, а обратная пропорция не всегда должна быть прямо пропорциональна.
• Обратная пропорция: Говорят, что две величины x и y находятся в обратной пропорции, если увеличение x вызывает пропорциональное уменьшение y (и наоборот ) таким образом, что произведение их соответствующих значений остается постоянный. То есть, если xy = k, то говорят, что x и y изменяются обратно пропорционально. например Если количество людей увеличивается, время, затрачиваемое на приготовление еды, уменьшается. Или если скорость увеличится, время, необходимое для преодоления заданного расстояния, уменьшится.

Глава 14. Факторизация

Факторизация — это один из наиболее распространенных способов приведения алгебраического или квадратного уравнения к его простейшей форме. В результате нужно быть знакомым с формулами факторизации, чтобы разложить сложное уравнение. Ниже приведен список различных формул и свойств, полезных для решения задач полиномов, тригонометрии, алгебры и квадратных уравнений.

• Факторизация : Факторизация — это процесс выражения алгебраического уравнения в виде произведения его компонентов. В качестве коэффициентов можно использовать числа, переменные или алгебраические выражения.
• Несократимый множитель: Компонент, который нельзя далее сформулировать как произведение сомножителей, называется неприводимым.
• Метод факторизации: Подход с общим фактором представляет собой метод методического разложения уравнения на множители. Есть три шага, чтобы решить эту проблему:
  • Каждый член утверждения должен быть записан как произведение неприводимых элементов.
  • Найдите и разделите похожие компоненты.
  • В каждом члене соедините оставшиеся элементы в соответствии с распределительным законом.
• Все термины в данном выражении могут иногда не иметь общего делителя, но термины могут быть сгруппированы так, чтобы все термины в каждой группе имели общий делитель. Когда мы это делаем, для всех групп появляется общий множитель, что приводит к необходимой факторизации выражения. Это метод перегруппировки.
• При факторинге путем перегруппировки имейте в виду, что любая перегруппировка (т. е. перестановка) членов в предоставленном уравнении может привести или не привести к факторизации. Мы должны соблюдать язык и использовать метод проб и ошибок, чтобы прийти к желаемой перегруппировке.
• Ряд факторизуемых выражений имеет вид или может быть разложен на множители в виде: ² и x ² + (a + b)x + ab . Эти выражения можно легко разложить на множители, используя приведенные ниже тождества:
  • a ² + 2ab + b ² = (a + b) ²
  • a 297 272 8 b ^{2 2 = (a + b) = (a – b) 2}
  • a ² – b ² = (a + b) (a – b)
  • x ² + (aab b)x + (a ab b)x = (x + a)(x + b)
• Помните, что числовой член дает ab в формулировках с факторами вида (х + а) (х + б) . Его коэффициенты а и b следует выбирать так, чтобы их сумма с учетом знаков равнялась коэффициенту х.
• При делении многочлена на одночлен мы можем разделить многочлен либо путем деления каждого члена на одночлен, либо с помощью метода общего множителя.
• Мы не можем разделить каждый член многочлена делимого на многочлен делителя при делении многочлена на другой многочлен. Вместо этого оба полинома факторизуются, а их общие делители сокращаются.
• У нас есть подразделения алгебраических выражений в случае подразделений алгебраических выражений, которые мы обсуждали в этой главе.

Dividend = Divisor × COVITION

или

Dividend = Divisor × COTITION + остаток

Глава 15: Введение в графики

информация. Ниже приведены некоторые примеры графических методов:

• При сравнении категорий гистограмма является наиболее подходящим инструментом.
• Круговые диаграммы — лучший способ сравнить части целого.
• Гистограмму можно использовать для упрощения интерпретации данных, когда они представлены в виде интервалов.
• Линейный график полезен в ситуации, когда данные постоянно меняются во времени.
• Координата x и координата y необходимы для фиксации точки на листе графика.
• График изображает отношение между зависимой переменной и независимой переменной.

Глава 16. Игра с числами

Говорят, что число имеет общую форму, если оно может быть представлено как сумма произведений его цифр и связанных с ними разрядных значений. Числа можно записывать разными способами. В результате ab = 10a +b будет выражаться двузначным числом. При решении головоломок или игре с числами полезна общая форма чисел. Когда числа изложены в общей форме, могут быть указаны причины, по которым они делятся на 10, 5, 2, 9 или 3.

Правила кратности:

• Признак делимости на 2: Число делится на 2, если его единица равна 0, 2, 4, 6 или 8. например. 100a +10b +c Здесь 100a и 10b делятся на 2, потому что 100 и 10 делятся на 2. Таким образом, данное число делится на 2 только тогда, когда a = 0, 2, 4, 6 или 8.
• Делимость на 3: A число делится на 3, когда сумма его цифр делится на 3. например. 61785 сумма цифр = 6+1+7+8+5 = 27, что делится на 3. Следовательно, 61785 делится на 3.
• Признак делимости на 4: число делится на 4, если число, состоящее из двух его последних цифр, делится на 4. Например: 6216, 548 и т. д. равно 0 или 5. например: 645, 540 и т. д.
• Признак кратности 6: число делится на 6, если оно делится и на 2, и на 3. например: 156, 5230 и т. д.
• Признак кратности 9: число делится на 9, когда сумма его цифр делится на 9. например: рассмотрим число 215847. Сумма цифр = 2+1+5+8+4+7 = 27, которое делится на 9. Следовательно, 215847 делится на 9.
• Делимость на 10: Число делится на 10, если его одна цифра равна 0. Например: 540, 890 и т. д. суммы его цифр в нечетных местах и ​​суммы его цифр в четных местах равно 0 или кратно 11.

Прямоугольный треугольник — формула, определение, свойства

Прямоугольный треугольник — это треугольник с одним из углов равным 90 градусов. Угол в 90 градусов называется прямым углом, поэтому треугольник с прямым углом называется прямоугольным. В этом треугольнике отношения между различными сторонами можно легко понять с помощью правила Пифагора. Сторона, противоположная прямому углу, является наибольшей стороной и называется гипотенузой. Кроме того, на основании других значений углов прямоугольные треугольники классифицируются как равнобедренный прямоугольный треугольник и разносторонний прямоугольный треугольник. Также длины сторон прямоугольного треугольника, такие как 3, 4, 5, называются тройками Пифагора.

1.	Что такое прямоугольный треугольник?
2.	Формула прямоугольного треугольника
3.	Периметр прямоугольного треугольника
4.	Площадь прямоугольного треугольника
5.	Свойства прямоугольного треугольника
6.	Типы прямоугольных треугольников
7.	Часто задаваемые вопросы о прямоугольном треугольнике

Что такое прямоугольный треугольник?

Определение прямоугольного треугольника гласит, что если один из углов треугольника является прямым углом — 90º, такой треугольник называется прямоугольным треугольником или просто прямоугольным треугольником. На данном изображении треугольник ABC является прямоугольным треугольником, в котором у нас есть основание, высота и гипотенуза. Здесь АВ — основание, АС — высота, ВС — гипотенуза. Гипотенуза является важной стороной прямоугольного треугольника, которая является наибольшей стороной и противоположна прямому углу внутри треугольника.

Здесь мы можем понять отличительные черты прямоугольного треугольника. Характеристики треугольника ABC следующие:

• AC высота, высота или перпендикуляр
• AB является базовым
• АС ⊥ АВ
• ∠А=90º
• Сторона ВС, противоположная прямому углу, называется гипотенузой и является наибольшей стороной прямоугольного треугольника.

Примерами прямоугольных треугольников в нашей повседневной жизни являются треугольный ломтик хлеба, квадратный лист бумаги по диагонали или 30-60-90 треугольная шкала в окне геометрии.

Формула прямоугольного треугольника

Великий греческий философ Пифагор вывел важную формулу для прямоугольного треугольника. Формула гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других катетов. Она была названа в его честь теоремой Пифагора. Формула прямоугольного треугольника может быть представлена ​​следующим образом: Квадрат гипотенузы равен сумме квадрата основания и квадрата высоты

.

В прямоугольном треугольнике мы имеем: (Гипотенуза) ² = (Основание) ² + (Высота) ²

Триплет Пифагора : Три числа, которые удовлетворяют приведенному выше уравнению, являются триплетами Пифагора. Например, (3, 4, 5) является пифагорейской тройкой, потому что мы знаем, что 3 ² = 9, 4 ² = 16 и 5 ² = 25 и 9 + 16 = 25. Следовательно, 3 ² + 4 ² = 5 ² Эти три числа, удовлетворяющие этому условию, называются пифагорейской тройкой. Некоторые другие примеры пифагорейских троек: (6, 8, 10) и (12, 5, 13).

Периметр прямоугольного треугольника

Периметр прямоугольного треугольника равен сумме мер всех трех сторон. Это сумма основания, высоты и гипотенузы прямоугольного треугольника. Здесь для нижнего прямоугольного треугольника периметр равен сумме сторон BC + AC + AB = (a + b + c) единиц. Периметр является линейной величиной и имеет единицу длины.

Площадь прямоугольного треугольника

Площадь прямоугольного треугольника определяет ширину или пространство, занимаемое треугольником. Он равен половине произведения основания и высоты треугольника. Это двумерная величина и поэтому представлена ​​в квадратных единицах. Единственные две стороны, необходимые для нахождения площади прямоугольного треугольника, — это основание и высота.

Применяя определение прямоугольного треугольника, площадь прямоугольного треугольника определяется по формуле: Площадь прямоугольного треугольника = (1/2 × основание × высота) квадратных единиц.

Свойства прямоугольного треугольника

Первое свойство прямоугольного треугольника состоит в том, что один из его углов равен 90º. Угол 90º является прямым углом и наибольшим углом прямоугольного треугольника. Кроме того, два других угла меньше 90º или являются острыми углами. Свойства прямоугольного треугольника перечислены ниже:

• Наибольший угол всегда равен 90º.
• Наибольшая сторона называется гипотенузой, которая всегда является стороной, противоположной прямому углу.
• Стороны измеряются по правилу Пифагора.
• У него не может быть тупого угла.

Типы прямоугольных треугольников

Мы узнали, что один из углов прямоугольного треугольника равен 90º. Это означает, что два других угла в треугольнике будут острыми углами. Есть несколько особых прямоугольных треугольников, а именно равнобедренные прямоугольные треугольники и разносторонние прямоугольные треугольники . Треугольник, у которого два других угла равны, называется равнобедренным прямоугольным треугольником, а треугольник, у которого два других угла имеют разные значения, называется разносторонним прямоугольным треугольником.

Равнобедренный прямоугольный треугольник

Равнобедренный прямоугольный треугольник называется треугольником с углами 90º-45º-45º. В треугольнике ABC угол A = 90º; поэтому по определению прямоугольного треугольника треугольник ABC является прямоугольным. Также АВ = АС; так как две стороны равны, треугольник также является равнобедренным треугольником. Так как АВ = АС, то углы при основании равны. Мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180º. Следовательно, сумма углов при основании равна 9.0º, что означает, что они по 45º каждая. Так в равнобедренном прямоугольном треугольнике углы всегда будут 90º-45º-45º.

Разносторонний прямоугольный треугольник

Разносторонний прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один угол равен 90°, а два других угла до 90° имеют разные измерения. В треугольнике PQR ∠Q =90º, следовательно, это прямоугольный треугольник. PQ не равен QR, следовательно, это разносторонний треугольник. Существует также особый случай разностороннего треугольника 30º-60º-90º, который также является прямоугольным треугольником, в котором отношение самой длинной стороны треугольника к его самой короткой стороне составляет 2: 1. Сторона, противоположная углу 30º, является самой короткой стороной.

Советы и рекомендации

Здесь перечислены некоторые важные советы и рекомендации, касающиеся прямоугольного треугольника.

• Измерения длин сторон всегда удовлетворяют теореме Пифагора.
• В прямоугольном треугольнике гипотенуза — это сторона, противоположная прямому углу, и это самая длинная сторона треугольника.
• Две другие ноги перпендикулярны друг другу; один — основание, а другой — высота.

Важные примечания

1. В прямоугольном треугольнике (гипотенуза) ² = (основание) ² + (высота) ²
2. Площадь прямоугольного треугольника равна 1/2 × основание × высота.
3. Периметр прямоугольного треугольника равен сумме мер всех трех сторон.
4. Равнобедренных прямоугольных треугольников имеют градусные меры 90º, 45º, 45º.

Похожие темы

Проверьте эти статьи, связанные с понятием прямоугольного треугольника.

• Гипотенуза
• Пифагорейская тройка
• Формула гипотенузы

 

Примеры прямоугольных треугольников

1. Пример 1: Может ли прямоугольный треугольник иметь размеры 11 дюймов, 60 дюймов и 61 дюйм?

   Решение:

   Если числа 11, 60 и 61 являются пифагоровой тройкой, они образуют прямоугольный треугольник. 11

   2 = 121; 60 ² = 3600; 61 ² = 3721. Мы видим, что: 121 + 3600 = 3721. Следовательно, данные числа являются пифагоровой тройкой и могут быть размерами прямоугольного треугольника. Следовательно, 11 дюймов, 60 дюймов и 61 дюйм образуют прямоугольный треугольник.

2. Пример 2: Найдите площадь прямоугольного треугольника, основание которого равно 12 единицам, а высота 5 единицам.

   Решение:

   Формула площади треугольника равна 1/2 × b × h. Подставляя b = 12 единиц и h = 5 единиц, мы имеем Площадь = 1/2 × 12 × 5 = 30 единиц ² . Следовательно, площадь прямоугольного треугольника равна 30 квадратных единиц.

3. Пример 3: Периметр прямоугольного бассейна составляет 720 единиц. Три стороны бассейна находятся в соотношении 3:4:5. Найдите площадь бассейна.

   Решение:

   Периметр прямоугольного треугольника равен сумме мер всех его сторон.

   Следовательно, 3x+4x+5x = 720
   . 12х = 720
   х = 60
   Стороны треугольника 3x=180 единиц, 4x=240 единиц и 5x=300 единиц. С 1809 г.0277 2 + 240 ² = 300 ² , эти стороны образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой 300 единиц. Следовательно, площадь бассейна составляет 1/2 × 180 × 240 = 21600 единиц ² . Таким образом, площадь бассейна составляет 21600 квадратных единиц.

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.

Записаться на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по прямоугольным треугольникам

 

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы о прямоугольном треугольнике

Что такое прямоугольный треугольник в геометрии?

Треугольник, в котором одна из мер углов равна 90 градусов, называется прямоугольным треугольником или прямоугольным треугольником.

Какие существуют типы прямоугольных треугольников?

Треугольники классифицируются на основе измерения сторон и углов. Ниже перечислены три типа прямоугольных треугольников.

• Равнобедренный прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором углы равны 90º, 45º и 45º.
• Разносторонний прямоугольный треугольник – это треугольник, в котором один угол равен 90º, а два других острых угла имеют разную величину.
• Треугольник 30º — 60º — 90º — еще один интересный прямоугольный треугольник, в котором отношение самой длинной стороны треугольника к его самой короткой стороне составляет 2:1.

Какова мера углов прямоугольного треугольника?

У прямоугольного треугольника один из углов равен 90º. Два других угла острые. И все три угла прямоугольного треугольника в сумме дают 180°, как и любого другого треугольника.

Какая формула прямоугольного треугольника?

Для прямоугольного треугольника используется формула Пифагора. В нем говорится, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон. Формула Пифагора: (Гипотенуза) ² = (Основание) ² < + (Высота) ² . Эта формула дала триплеты Пифагора, такие как 3, 4, 5.

Как найти площадь прямоугольного треугольника?

Площадь прямоугольного треугольника – это площадь, занимаемая треугольником, и равна половине произведения основания и высоты треугольника. Он двумерный и представлен в квадратных единицах.

Площадь прямоугольного треугольника = 1/2 × основание × высота в квадрате

Может ли прямоугольный треугольник иметь две равные стороны?

Да, прямоугольный треугольник может иметь две равные стороны. Самая длинная сторона называется гипотенузой, а две другие стороны могут быть равны или не равны друг другу. Прямоугольный треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным прямоугольным треугольником.

Как найти недостающую сторону прямоугольного треугольника?

Недостающую сторону прямоугольного треугольника можно найти по измерению двух других сторон.

No related posts.