Таблица углов косинусов синусов тангенсов: Углы 0°,30°,45°,60°,90°,180°,270°,360°,(π/6,π/4,π/3,π/2,π,3π/2,2π). Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов 30°,45°,60°,90°,180°,270°,360.

Содержание

Таблица тригонометрических функций.

Таблица тригонометрических функций — это записанные в таблицу посчитанные значения синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов от 0° до 360°. Используя таблицу тригонометрических функций Вы сможете провести расчеты даже если под руками не окажется инженерного калькулятора. Чтобы узнать значение тригонометрических функций от нужного Вам угла достаточно найти их в таблице.

Таблица тригонометрических функций углов от 0° до 90°

α	sin α	cos α	tg α	ctg α
0°	0	1	0	∞
1°	0.017452	0.999848	0.017455	57.289962
2°	0.034899	999391″>0.999391	0.034921	28.636253
3°	0.052336	0.99863	0.052408	19.081137
4°	0.069756	0.997564	0.069927	14.300666
5°	0.087156	0.996195	0.087489	11.430052
6°	0.104528	0.994522	0.105104	9.514364
7°	0.121869	0.992546	122785″>0.122785	8.144346
8°	0.139173	0.990268	0.140541	7.11537
9°	0.156434	0.987688	0.158384	6.313752
10°	0.173648	0.984808	0.176327	5.671282
11°	0.190809	0.981627	0.19438	5.144554
12°	0.207912	0.978148	0.212557	70463″>4.70463
13°	0.224951	0.97437	0.230868	4.331476
14°	0.241922	0.970296	0.249328	4.010781
15°	0.258819	0.965926	0.267949	3.732051
16°	0.275637	0.961262	0.286745	3.487414
17°	0.292372	0.956305	0.305731	3. 270853
18°	0.309017	0.951057	0.32492	3.077684
19°	0.325568	0.945519	0.344328	2.904211
20°	0.34202	0.939693	0.36397	2.747477
21°	0.358368	0.93358	0.383864	2.605089
22°	0.374607	0.927184	0.404026	2.475087
23°	390731″>0.390731	0.920505	0.424475	2.355852
24°	0.406737	0.913545	0.445229	2.246037
25°	0.422618	0.906308	0.466308	2.144507
26°	0.438371	0.898794	0.487733	2.050304
27°	0.45399	0.891007	0.509525	1.962611
28°	0. 469472	0.882948	0.531709	1.880726
29°	0.48481	0.87462	0.554309	1.804048
30°	0.5	0.866025	0.57735	1.732051
31°	0.515038	0.857167	0.600861	1.664279
32°	0.529919	0.848048	0.624869	1.600335
33°	0.544639	838671″>0.838671	0.649408	1.539865
34°	0.559193	0.829038	0.674509	1.482561
35°	0.573576	0.819152	0.700208	1.428148
36°	0.587785	0.809017	0.726543	1.376382
37°	0.601815	0.798636	0.753554	1.327045
38°	0.615661	0. 788011	0.781286	1.279942
39°	0.62932	0.777146	0.809784	1.234897
40°	0.642788	0.766044	0.8391	1.191754
41°	0.656059	0.75471	0.869287	1.150368
42°	0.669131	0.743145	0.900404	1.110613
43°	0.681998	0.731354	932515″>0.932515	1.072369
44°	0.694658	0.71934	0.965689	1.03553
45°	0.707107	0.707107	1	1
46°	0.71934	0.694658	1.03553	0.965689
47°	0.731354	0.681998	1.072369	0.932515
48°	0.743145	0.669131	1.110613	900404″>0.900404
49°	0.75471	0.656059	1.150368	0.869287
50°	0.766044	0.642788	1.191754	0.8391
51°	0.777146	0.62932	1.234897	0.809784
52°	0.788011	0.615661	1.279942	0.781286
53°	0.798636	0.601815	1.327045	0. 753554
54°	0.809017	0.587785	1.376382	0.726543
55°	0.819152	0.573576	1.428148	0.700208
56°	0.829038	0.559193	1.482561	0.674509
57°	0.838671	0.544639	1.539865	0.649408
58°	0.848048	0.529919	1.600335	0.624869
59°	857167″>0.857167	0.515038	1.664279	0.600861
60°	0.866025	0.5	1.732051	0.57735
61°	0.87462	0.48481	1.804048	0.554309
62°	0.882948	0.469472	1.880726	0.531709
63°	0.891007	0.45399	1.962611	0.509525
64°	0.898794	438371″>0.438371	2.050304	0.487733
65°	0.906308	0.422618	2.144507	0.466308
66°	0.913545	0.406737	2.246037	0.445229
67°	0.920505	0.390731	2.355852	0.424475
68°	0.927184	0.374607	2.475087	0.404026
69°	0.93358	0. 358368	2.605089	0.383864
70°	0.939693	0.34202	2.747477	0.36397
71°	0.945519	0.325568	2.904211	0.344328
72°	0.951057	0.309017	3.077684	0.32492
73°	0.956305	0.292372	3.270853	0.305731
74°	0.961262	0.275637	487414″>3.487414	0.286745
75°	0.965926	0.258819	3.732051	0.267949
76°	0.970296	0.241922	4.010781	0.249328
77°	0.97437	0.224951	4.331476	0.230868
78°	0.978148	0.207912	4.70463	0.212557
79°	0.981627	0.190809	5. 144554	0.19438
80°	0.984808	0.173648	5.671282	0.176327
81°	0.987688	0.156434	6.313752	0.158384
82°	0.990268	0.139173	7.11537	0.140541
83°	0.992546	0.121869	8.144346	0.122785
84°	0.994522	0.104528	9.514364	105104″>0.105104
85°	0.996195	0.087156	11.430052	0.087489
86°	0.997564	0.069756	14.300666	0.069927
87°	0.99863	0.052336	19.081137	0.052408
88°	0.999391	0.034899	28.636253	0.034921
89°	0.999848	0.017452	57.289962	017455″>0.017455
90°	1	0	∞	0

Таблица тригонометрических функций углов от 91° до 180°

α	sin α	cos α	tg α	ctg α
91°	0.999848	-0.017452	-57.289962	-0.017455
92°	0.999391	-0.034899	-28.636253	-0.034921
93°	0.99863	-0.052336	-19.081137	-0.052408
94°	997564″>0.997564	-0.069756	-14.300666	-0.069927
95°	0.996195	-0.087156	-11.430052	-0.087489
96°	0.994522	-0.104528	-9.514364	-0.105104
97°	0.992546	-0.121869	-8.144346	-0.122785
98°	0.990268	-0.139173	-7.11537	-0.140541
99°	987688″>0.987688	-0.156434	-6.313752	-0.158384
100°	0.984808	-0.173648	-5.671282	-0.176327
101°	0.981627	-0.190809	-5.144554	-0.19438
102°	0.978148	-0.207912	-4.70463	-0.212557
103°	0.97437	-0.224951	-4.331476	-0.230868
104°	970296″>0.970296	-0.241922	-4.010781	-0.249328
105°	0.965926	-0.258819	-3.732051	-0.267949
106°	0.961262	-0.275637	-3.487414	-0.286745
107°	0.956305	-0.292372	-3.270853	-0.305731
108°	0.951057	-0.309017	-3.077684	-0.32492
109°	945519″>0.945519	-0.325568	-2.904211	-0.344328
110°	0.939693	-0.34202	-2.747477	-0.36397
111°	0.93358	-0.358368	-2.605089	-0.383864
112°	0.927184	-0.374607	-2.475087	-0.404026
113°	0.920505	-0.390731	-2.355852	-0.424475
114°	913545″>0.913545	-0.406737	-2.246037	-0.445229
115°	0.906308	-0.422618	-2.144507	-0.466308
116°	0.898794	-0.438371	-2.050304	-0.487733
117°	0.891007	-0.45399	-1.962611	-0.509525
118°	0.882948	-0.469472	-1.880726	-0.531709
119°	87462″>0.87462	-0.48481	-1.804048	-0.554309
120°	0.866025	-0.5	-1.732051	-0.57735
121°	0.857167	-0.515038	-1.664279	-0.600861
122°	0.848048	-0.529919	-1.600335	-0.624869
123°	0.838671	-0.544639	-1.539865	-0.649408
124°	829038″>0.829038	-0.559193	-1.482561	-0.674509
125°	0.819152	-0.573576	-1.428148	-0.700208
126°	0.809017	-0.587785	-1.376382	-0.726543
127°	0.798636	-0.601815	-1.327045	-0.753554
128°	0.788011	-0.615661	-1.279942	-0.781286
129°	777146″>0.777146	-0.62932	-1.234897	-0.809784
130°	0.766044	-0.642788	-1.191754	-0.8391
131°	0.75471	-0.656059	-1.150368	-0.869287
132°	0.743145	-0.669131	-1.110613	-0.900404
133°	0.731354	-0.681998	-1.072369	-0.932515
134°	71934″>0.71934	-0.694658	-1.03553	-0.965689
135°	0.707107	-0.707107	-1	-1
136°	0.694658	-0.71934	-0.965689	-1.03553
137°	0.681998	-0.731354	-0.932515	-1.072369
138°	0.669131	-0.743145	-0.900404	-1.110613
139°	656059″>0.656059	-0.75471	-0.869287	-1.150368
140°	0.642788	-0.766044	-0.8391	-1.191754
141°	0.62932	-0.777146	-0.809784	-1.234897
142°	0.615661	-0.788011	-0.781286	-1.279942
143°	0.601815	-0.798636	-0.753554	-1.327045
144°	587785″>0.587785	-0.809017	-0.726543	-1.376382
145°	0.573576	-0.819152	-0.700208	-1.428148
146°	0.559193	-0.829038	-0.674509	-1.482561
147°	0.544639	-0.838671	-0.649408	-1.539865
148°	0.529919	-0.848048	-0.624869	-1.600335
149°	515038″>0.515038	-0.857167	-0.600861	-1.664279
150°	0.5	-0.866025	-0.57735	-1.732051
151°	0.48481	-0.87462	-0.554309	-1.804048
152°	0.469472	-0.882948	-0.531709	-1.880726
153°	0.45399	-0.891007	-0.509525	-1.962611
154°	438371″>0.438371	-0.898794	-0.487733	-2.050304
155°	0.422618	-0.906308	-0.466308	-2.144507
156°	0.406737	-0.913545	-0.445229	-2.246037
157°	0.390731	-0.920505	-0.424475	-2.355852
158°	0.374607	-0.927184	-0.404026	-2.475087
159°	358368″>0.358368	-0.93358	-0.383864	-2.605089
160°	0.34202	-0.939693	-0.36397	-2.747477
161°	0.325568	-0.945519	-0.344328	-2.904211
162°	0.309017	-0.951057	-0.32492	-3.077684
163°	0.292372	-0.956305	-0.305731	-3.270853
164°	275637″>0.275637	-0.961262	-0.286745	-3.487414
165°	0.258819	-0.965926	-0.267949	-3.732051
166°	0.241922	-0.970296	-0.249328	-4.010781
167°	0.224951	-0.97437	-0.230868	-4.331476
168°	0.207912	-0.978148	-0.212557	-4.70463
169°	190809″>0.190809	-0.981627	-0.19438	-5.144554
170°	0.173648	-0.984808	-0.176327	-5.671282
171°	0.156434	-0.987688	-0.158384	-6.313752
172°	0.139173	-0.990268	-0.140541	-7.11537
173°	0.121869	-0.992546	-0.122785	-8.144346
174°	104528″>0.104528	-0.994522	-0.105104	-9.514364
175°	0.087156	-0.996195	-0.087489	-11.430052
176°	0.069756	-0.997564	-0.069927	-14.300666
177°	0.052336	-0.99863	-0.052408	-19.081137
178°	0.034899	-0.999391	-0.034921	-28. 636253
179°	0.017452	-0.999848	-0.017455	-57.289962
180°	0	-1	0	∞

Таблица тригонометрических функций углов от 181° до 270°

α	sin α	cos α	tg α	ctg α
181°	-0.017452	-0.999848	0.017455	57.289962
182°	-0.034899	-0.999391	0.034921	28.636253
183°	052336″>-0.052336	-0.99863	0.052408	19.081137
184°	-0.069756	-0.997564	0.069927	14.300666
185°	-0.087156	-0.996195	0.087489	11.430052
186°	-0.104528	-0.994522	0.105104	9.514364
187°	-0.121869	-0.992546	0.122785	8.144346
188°	139173″>-0.139173	-0.990268	0.140541	7.11537
189°	-0.156434	-0.987688	0.158384	6.313752
190°	-0.173648	-0.984808	0.176327	5.671282
191°	-0.190809	-0.981627	0.19438	5.144554
192°	-0.207912	-0.978148	0.212557	4.70463
193°	224951″>-0.224951	-0.97437	0.230868	4.331476
194°	-0.241922	-0.970296	0.249328	4.010781
195°	-0.258819	-0.965926	0.267949	3.732051
196°	-0.275637	-0.961262	0.286745	3.487414
197°	-0.292372	-0.956305	0.305731	3.270853
198°	309017″>-0.309017	-0.951057	0.32492	3.077684
199°	-0.325568	-0.945519	0.344328	2.904211
200°	-0.34202	-0.939693	0.36397	2.747477
201°	-0.358368	-0.93358	0.383864	2.605089
202°	-0.374607	-0.927184	0.404026	2.475087
203°	390731″>-0.390731	-0.920505	0.424475	2.355852
204°	-0.406737	-0.913545	0.445229	2.246037
205°	-0.422618	-0.906308	0.466308	2.144507
206°	-0.438371	-0.898794	0.487733	2.050304
207°	-0.45399	-0.891007	0.509525	1.962611
208°	469472″>-0.469472	-0.882948	0.531709	1.880726
209°	-0.48481	-0.87462	0.554309	1.804048
210°	-0.5	-0.866025	0.57735	1.732051
211°	-0.515038	-0.857167	0.600861	1.664279
212°	-0.529919	-0.848048	0.624869	1.600335
213°	544639″>-0.544639	-0.838671	0.649408	1.539865
214°	-0.559193	-0.829038	0.674509	1.482561
215°	-0.573576	-0.819152	0.700208	1.428148
216°	-0.587785	-0.809017	0.726543	1.376382
217°	-0.601815	-0.798636	0.753554	1.327045
218°	615661″>-0.615661	-0.788011	0.781286	1.279942
219°	-0.62932	-0.777146	0.809784	1.234897
220°	-0.642788	-0.766044	0.8391	1.191754
221°	-0.656059	-0.75471	0.869287	1.150368
222°	-0.669131	-0.743145	0.900404	1.110613
223°	681998″>-0.681998	-0.731354	0.932515	1.072369
224°	-0.694658	-0.71934	0.965689	1.03553
225°	-0.707107	-0.707107	1	1
226°	-0.71934	-0.694658	1.03553	0.965689
227°	-0.731354	-0.681998	1.072369	0.932515
228°	743145″>-0.743145	-0.669131	1.110613	0.900404
229°	-0.75471	-0.656059	1.150368	0.869287
230°	-0.766044	-0.642788	1.191754	0.8391
231°	-0.777146	-0.62932	1.234897	0.809784
232°	-0.788011	-0.615661	1.279942	0.781286
233°	798636″>-0.798636	-0.601815	1.327045	0.753554
234°	-0.809017	-0.587785	1.376382	0.726543
235°	-0.819152	-0.573576	1.428148	0.700208
236°	-0.829038	-0.559193	1.482561	0.674509
237°	-0.838671	-0.544639	1.539865	0.649408
238°	848048″>-0.848048	-0.529919	1.600335	0.624869
239°	-0.857167	-0.515038	1.664279	0.600861
240°	-0.866025	-0.5	1.732051	0.57735
241°	-0.87462	-0.48481	1.804048	0.554309
242°	-0.882948	-0.469472	1.880726	0.531709
243°	891007″>-0.891007	-0.45399	1.962611	0.509525
244°	-0.898794	-0.438371	2.050304	0.487733
245°	-0.906308	-0.422618	2.144507	0.466308
246°	-0.913545	-0.406737	2.246037	0.445229
247°	-0.920505	-0.390731	2.355852	0.424475
248°	927184″>-0.927184	-0.374607	2.475087	0.404026
249°	-0.93358	-0.358368	2.605089	0.383864
250°	-0.939693	-0.34202	2.747477	0.36397
251°	-0.945519	-0.325568	2.904211	0.344328
252°	-0.951057	-0.309017	3.077684	0.32492
253°	956305″>-0.956305	-0.292372	3.270853	0.305731
254°	-0.961262	-0.275637	3.487414	0.286745
255°	-0.965926	-0.258819	3.732051	0.267949
256°	-0.970296	-0.241922	4.010781	0.249328
257°	-0.97437	-0.224951	4.331476	0.230868
258°	978148″>-0.978148	-0.207912	4.70463	0.212557
259°	-0.981627	-0.190809	5.144554	0.19438
260°	-0.984808	-0.173648	5.671282	0.176327
261°	-0.987688	-0.156434	6.313752	0.158384
262°	-0.990268	-0.139173	7.11537	0.140541
263°	992546″>-0.992546	-0.121869	8.144346	0.122785
264°	-0.994522	-0.104528	9.514364	0.105104
265°	-0.996195	-0.087156	11.430052	0.087489
266°	-0.997564	-0.069756	14.300666	0.069927
267°	-0.99863	-0.052336	19.081137	0.052408
268°	999391″>-0.999391	-0.034899	28.636253	0.034921
269°	-0.999848	-0.017452	57.289962	0.017455
270°	-1	0	∞	0

Таблица тригонометрических функций углов от 271° до 360°

α	sin α	cos α	tg α	ctg α
271°	-0.999848	0.017452	-57.289962	-0.017455
272°	-0.999391	034899″>0.034899	-28.636253	-0.034921
273°	-0.99863	0.052336	-19.081137	-0.052408
274°	-0.997564	0.069756	-14.300666	-0.069927
275°	-0.996195	0.087156	-11.430052	-0.087489
276°	-0.994522	0.104528	-9.514364	-0.105104
277°	992546″>-0.992546	0.121869	-8.144346	-0.122785
278°	-0.990268	0.139173	-7.11537	-0.140541
279°	-0.987688	0.156434	-6.313752	-0.158384
280°	-0.984808	0.173648	-5.671282	-0.176327
281°	-0.981627	0.190809	-5.144554	-0.19438
282°	978148″>-0.978148	0.207912	-4.70463	-0.212557
283°	-0.97437	0.224951	-4.331476	-0.230868
284°	-0.970296	0.241922	-4.010781	-0.249328
285°	-0.965926	0.258819	-3.732051	-0.267949
286°	-0.961262	0.275637	-3.487414	-0.286745
287°	956305″>-0.956305	0.292372	-3.270853	-0.305731
288°	-0.951057	0.309017	-3.077684	-0.32492
289°	-0.945519	0.325568	-2.904211	-0.344328
290°	-0.939693	0.34202	-2.747477	-0.36397
291°	-0.93358	0.358368	-2.605089	-0.383864
292°	927184″>-0.927184	0.374607	-2.475087	-0.404026
293°	-0.920505	0.390731	-2.355852	-0.424475
294°	-0.913545	0.406737	-2.246037	-0.445229
295°	-0.906308	0.422618	-2.144507	-0.466308
296°	-0.898794	0.438371	-2.050304	-0.487733
297°	891007″>-0.891007	0.45399	-1.962611	-0.509525
298°	-0.882948	0.469472	-1.880726	-0.531709
299°	-0.87462	0.48481	-1.804048	-0.554309
300°	-0.866025	0.5	-1.732051	-0.57735
301°	-0.857167	0.515038	-1.664279	-0.600861
302°	848048″>-0.848048	0.529919	-1.600335	-0.624869
303°	-0.838671	0.544639	-1.539865	-0.649408
304°	-0.829038	0.559193	-1.482561	-0.674509
305°	-0.819152	0.573576	-1.428148	-0.700208
306°	-0.809017	0.587785	-1.376382	-0.726543
307°	798636″>-0.798636	0.601815	-1.327045	-0.753554
308°	-0.788011	0.615661	-1.279942	-0.781286
309°	-0.777146	0.62932	-1.234897	-0.809784
310°	-0.766044	0.642788	-1.191754	-0.8391
311°	-0.75471	0.656059	-1.150368	-0.869287
312°	743145″>-0.743145	0.669131	-1.110613	-0.900404
313°	-0.731354	0.681998	-1.072369	-0.932515
314°	-0.71934	0.694658	-1.03553	-0.965689
315°	-0.707107	0.707107	-1	-1
316°	-0.694658	0.71934	-0.965689	-1.03553
317°	681998″>-0.681998	0.731354	-0.932515	-1.072369
318°	-0.669131	0.743145	-0.900404	-1.110613
319°	-0.656059	0.75471	-0.869287	-1.150368
320°	-0.642788	0.766044	-0.8391	-1.191754
321°	-0.62932	0.777146	-0.809784	-1.234897
322°	615661″>-0.615661	0.788011	-0.781286	-1.279942
323°	-0.601815	0.798636	-0.753554	-1.327045
324°	-0.587785	0.809017	-0.726543	-1.376382
325°	-0.573576	0.819152	-0.700208	-1.428148
326°	-0.559193	0.829038	-0.674509	-1.482561
327°	544639″>-0.544639	0.838671	-0.649408	-1.539865
328°	-0.529919	0.848048	-0.624869	-1.600335
329°	-0.515038	0.857167	-0.600861	-1.664279
330°	-0.5	0.866025	-0.57735	-1.732051
331°	-0.48481	0.87462	-0.554309	-1.804048
332°	469472″>-0.469472	0.882948	-0.531709	-1.880726
333°	-0.45399	0.891007	-0.509525	-1.962611
334°	-0.438371	0.898794	-0.487733	-2.050304
335°	-0.422618	0.906308	-0.466308	-2.144507
336°	-0.406737	0.913545	-0.445229	-2.246037
337°	390731″>-0.390731	0.920505	-0.424475	-2.355852
338°	-0.374607	0.927184	-0.404026	-2.475087
339°	-0.358368	0.93358	-0.383864	-2.605089
340°	-0.34202	0.939693	-0.36397	-2.747477
341°	-0.325568	0.945519	-0.344328	-2.904211
342°	309017″>-0.309017	0.951057	-0.32492	-3.077684
343°	-0.292372	0.956305	-0.305731	-3.270853
344°	-0.275637	0.961262	-0.286745	-3.487414
345°	-0.258819	0.965926	-0.267949	-3.732051
346°	-0.241922	0.970296	-0.249328	-4.010781
347°	224951″>-0.224951	0.97437	-0.230868	-4.331476
348°	-0.207912	0.978148	-0.212557	-4.70463
349°	-0.190809	0.981627	-0.19438	-5.144554
350°	-0.173648	0.984808	-0.176327	-5.671282
351°	-0.156434	0.987688	-0.158384	-6.313752
352°	139173″>-0.139173	0.990268	-0.140541	-7.11537
353°	-0.121869	0.992546	-0.122785	-8.144346
354°	-0.104528	0.994522	-0.105104	-9.514364
355°	-0.087156	0.996195	-0.087489	-11.430052
356°	-0.069756	0.997564	-0.069927	-14.300666
357°	052336″>-0.052336	0.99863	-0.052408	-19.081137
358°	-0.034899	0.999391	-0.034921	-28.636253
359°	-0.017452	0.999848	-0.017455	-57.289962
360°	0	1	0	∞

Таблицы значений тригонометрических функций Таблицу синусов Таблица косинусов Таблица тангенсов Таблица котангенсов

Тригонометрические формулы

Все таблицы и формулы

Таблица синусов, косинусов, тангенсов, котангенсов

Таблица синусов, косинусов, тангенсов, котангенсов содержит вычисленные значения тригонометрических функций для определенного угла от 0 до 360 градусов в виде простой таблицы и в виде таблицы Брадиса. Так же приведены значения тригонометрических функций в радианах для наиболее распространённых углов, применяемых при вычислениях.

Таблицы с вычисленными значениями sin, cos, tg, ctg применяются для упрощения и ускорения математических вычислений, когда нет возможности воспользоваться калькулятором или компьютером.

sin
cos
tg
ctg
триг. функции
Брадиса sin и cos
Брадиса tg и ctg

sin 0° = sin 360° = 0

α°	sin α	α°	sin α	α°	sin α	α°	sin α

α°	sin α	α°	sin α	α°	sin α	α°	sin α

cos 0° = cos 360° = 1

α°	cos α	α°	cos α	α°	cos α	α°	cos α

α°	cos α	α°	cos α	α°	cos α	α°	cos α

tg 0° = tg 360° = 0

α°	tg α	α°	tg α	α°	tg α	α°	tg α

α°	tg α	α°	tg α	α°	tg α	α°	tg α

ctg 0° = ctg 360° = ∞

α°	ctg α	α°	ctg α	α°	ctg α	α°	ctg α

α°	ctg α	α°	ctg α	α°	ctg α	α°	ctg α

Значения тригонометрических функций в радианах для наиболее распространённых углов.

Таблица Брадиса для синусов и косинусов

sin	0′	6′	12′	18′	24′	30′	36′	42′	48′	54′	60′	cos	1′	2′	3′
											0.0000	90°
0°	0.0000	0017	0035	0052	0070	0087	0105	0122	0140	0157	0175	89°	3	6	9
1°	0175	0192	0209	0227	0244	0262	0279	0297	0314	0332	0349	88°	3	6	9
2°	0349	0366	0384	0401	0419	0436	0454	0471	0488	0506	0523	87°	3	6	9
3°	0523	0541	0558	0576	0593	0610	0628	0645	0663	0680	0698	86°	3	6	9
4°	0698	0715	0732	0750	0767	0785	0802	0819	0837	0854	0. 0872	85°	3	6	9

5°	0.0872	0889	0906	0924	0941	0958	0976	0993	1011	1028	1045	84°	3	6	9
6°	1045	1063	1080	1097	1115	1132	1149	1167	1184	1201	1219	83°	3	6	9
7°	1219	1236	1253	1271	1288	1305	1323	1340	1357	1374	1392	82°	3	6	9
8°	1392	1409	1426	1444	1461	1478	1495	1513	1530	1547	1564	81°	3	6	9
9°	1564	1582	1599	1616	1633	1650	1668	1685	1702	1719	0. 1736	80°	3	6	9

10°	0.1736	1754	1771	1788	1805	1822	1840	1857	1874	1891	1908	79°	3	6	9
11°	1908	1925	1942	1959	1977	1994	2011	2028	2045	2062	2079	78°	3	6	9
12°	2079	2096	2113	2130	2147	2164	2181	2198	2215	2233	2250	77°	3	6	9
13°	2250	2267	2284	2300	2317	2334	2351	2368	2385	2402	2419	76°	3	6	8
14°	2419	2436	2453	2470	2487	2504	2521	2538	2554	2571	0. 2588	75°	3	6	8

15°	0.2588	2605	2622	2639	2656	2672	2689	2706	2723	2740	2756	74°	3	6	8
16°	2756	2773	2790	2807	2823	2840	2857	2874	2890	2907	2924	73°	3	6	8
17°	2924	2940	2957	2974	2990	3007	3024	3040	3057	3074	3090	72°	3	6	8
18°	3090	3107	3123	3140	3156	3173	3190	3206	3223	3239	3256	71°	3	6	8
19°	3256	3272	3289	3305	3322	3338	3355	3371	3387	3404	0. 3420	70°	3	5	8

20°	0.3420	3437	3453	3469	3486	3502	3518	3535	3551	3567	3584	69°	3	5	8
21°	3584	3600	3616	3633	3649	3665	3681	3697	3714	3730	3746	68°	3	5	8
22°	3746	3762	3778	3795	3811	3827	3843	3859	3875	3891	3907	67°	3	5	8
23°	3907	3923	3939	3955	3971	3987	4003	4019	4035	4051	4067	66°	3	5	8
24°	4067	4083	4099	4115	4131	4147	4163	4179	4195	4210	0. 4226	65°	3	5	8

25°	0.4226	4242	4258	4274	4289	4305	4321	4337	4352	4368	4384	64°	3	5	8
26°	4384	4399	4415	4431	4446	4462	4478	4493	4509	4524	4540	63°	3	5	8
27°	4540	4555	4571	4586	4602	4617	4633	4648	4664	4679	4695	62°	3	5	8
28°	4695	4710	4726	4741	4756	4772	4787	4802	4818	4833	4848	61°	3	5	8
29°	4848	4863	4879	4894	4909	4924	4939	4955	4970	4985	0. 5000	60°	3	5	8

30°	0.5000	5015	5030	5045	5060	5075	5090	5105	5120	5135	5150	59°	3	5	8
31°	5150	5165	5180	5195	5210	5225	5240	5255	5270	5284	5299	58°	2	5	7
32°	5299	5314	5329	5344	5358	5373	5388	5402	5417	5432	5446	57°	2	5	7
33°	5446	5461	5476	5490	5505	5519	5534	5548	5563	5577	5592	56°	2	5	7
34°	5592	5606	5621	5635	5650	5664	5678	5693	5707	5721	0. 5736	55°	2	5	7

35°	0.5736	5750	5764	5779	5793	5807	5821	5835	5850	5864	0.5878	54°	2	5	7
36°	5878	5892	5906	5920	5934	5948	5962	5976	5990	6004	6018	53°	2	5	7
37°	6018	6032	6046	6060	6074	6088	6101	6115	6129	6143	6157	52°	2	5	7
38°	6157	6170	6184	6198	6211	6225	6239	6252	6266	6280	6293	51°	2	5	7
39°	6293	6307	6320	6334	6347	6361	6374	6388	6401	6414	0. 6428	50°	2	4	7

40°	0.6428	6441	6455	6468	6481	6494	6508	6521	6534	6547	6561	49°	2	4	7
41°	6561	6574	6587	6600	6613	6626	6639	6652	6665	6678	6691	48°	2	4	7
42°	6691	6704	6717	6730	6743	6756	6769	6782	6794	6807	6820	47°	2	4	6
43°	6820	6833	6845	6858	6871	6884	6896	8909	6921	6934	6947	46°	2	4	6
44°	6947	6959	6972	6984	6997	7009	7022	7034	7046	7059	0. 7071	45°	2	4	6

45°	0.7071	7083	7096	7108	7120	7133	7145	7157	7169	7181	7193	44°	2	4	6
46°	7193	7206	7218	7230	7242	7254	7266	7278	7290	7302	7314	43°	2	4	6
47°	7314	7325	7337	7349	7361	7373	7385	7396	7408	7420	7431	42°	2	4	6
48°	7431	7443	7455	7466	7478	7490	7501	7513	7524	7536	7547	41°	2	4	6
49°	7547	7559	7570	7581	7593	7604	7615	7627	7638	7649	0. 7660	40°	2	4	6

50°	0.7660	7672	7683	7694	7705	7716	7727	7738	7749	7760	7771	39°	2	4	6
51°	7771	7782	7793	7804	7815	7826	7837	7848	7859	7869	7880	38°	2	4	5
52°	7880	7891	7902	7912	7923	7934	7944	7955	7965	7976	7986	37°	2	4	5
53°	7986	7997	8007	8018	8028	8039	8049	8059	8070	8080	8090	36°	2	3	5
54°	8090	8100	8111	8121	8131	8141	8151	8161	8171	8181	0. 8192	35°	2	3	5

55°	0.8192	8202	8211	8221	8231	8241	8251	8261	8271	8281	8290	34°	2	3	5
56°	8290	8300	8310	8320	8329	8339	8348	8358	8368	8377	8387	33°	2	3	5
57°	8387	8396	8406	8415	8425	8434	8443	8453	8462	8471	8480	32°	2	3	5
58°	8480	8490	8499	8508	8517	8526	8536	8545	8554	8563	8572	31°	2	3	5
59°	8572	8581	8590	8599	8607	8616	8625	8634	8643	8652	0. 8660	30°	1	3	4

60°	0.8660	8669	8678	8686	8695	8704	8712	8721	8729	8738	8746	29°	1	3	4
61°	8746	8755	8763	8771	8780	8788	8796	8805	8813	8821	8829	28°	1	3	4
62°	8829	8838	8846	8854	8862	8870	8878	8886	8894	8902	8910	27°	1	3	4
63°	8910	8918	8926	8934	8942	8949	8957	8965	8973	8980	8988	26°	1	3	4
64°	8988	8996	9003	9011	9018	9026	9033	9041	9048	9056	0. 9063	25°	1	3	4

65°	0.9063	9070	9078	9085	9092	9100	9107	9114	9121	9128	9135	24°	1	2	4
66°	9135	9143	9150	9157	9164	9171	9178	9184	9191	9198	9205	23°	1	2	3
67°	9205	9212	9219	9225	9232	9239	9245	9252	9259	9256	9272	22°	1	2	3
68°	9272	9278	9285	9291	9298	9304	9311	9317	9323	9330	9336	21°	1	2	3
69°	9336	9342	9348	9354	9361	9367	9373	9379	9383	9391	0. 9397	20°	1	2	3

70°	9397	9403	9409	9415	9421	9426	9432	9438	9444	9449	0.9455	19°	1	2	3
71°	9455	9461	9466	9472	9478	9483	9489	9494	9500	9505	9511	18°	1	2	3
72°	9511	9516	9521	9527	9532	9537	9542	9548	9553	9558	9563	17°	1	2	3
73°	9563	9568	9573	9578	9583	9588	9593	9598	9603	9608	9613	16°	1	2	2
74°	9613	9617	9622	9627	9632	9636	9641	9646	9650	9655	0. 9659	15°	1	2	2

75°	9659	9664	9668	9673	9677	9681	9686	9690	9694	9699	9703	14°	1	1	2
76°	9703	9707	9711	9715	9720	9724	9728	9732	9736	9740	9744	13°	1	1	2
77°	9744	9748	9751	9755	9759	9763	9767	9770	9774	9778	9781	12°	1	1	2
78°	9781	9785	9789	9792	9796	9799	9803	9806	9810	9813	9816	11°	1	1	2
79°	9816	9820	9823	9826	9829	9833	9836	9839	9842	9845	0. 9848	10°	1	1	2

80°	0.9848	9851	9854	9857	9860	9863	9866	9869	9871	9874	9877	9°	0	1	1
81°	9877	9880	9882	9885	9888	9890	9893	9895	9898	9900	9903	8°	0	1	1
82°	9903	9905	9907	9910	9912	9914	9917	9919	9921	9923	9925	7°	0	1	1
83°	9925	9928	9930	9932	9934	9936	9938	9940	9942	9943	9945	6°	0	1	1
84°	9945	9947	9949	9951	9952	9954	9956	9957	9959	9960	9962	5°	0	1	1

85°	9962	9963	9965	9966	9968	9969	9971	9972	9973	9974	9976	4°	0	0	1
86°	9976	9977	9978	9979	9980	9981	9982	9983	9984	9985	9986	3°	0	0	0
87°	9986	9987	9988	9989	9990	9990	9991	9992	9993	9993	9994	2°	0	0	0
88°	9994	9995	9995	9996	9996	9997	9997	9997	9998	9998	0. 9998	1°	0	0	0
89°	9998	9999	9999	9999	9999	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	0°	0	0	0
90°	1.0000
sin	60′	54′	48′	42′	36′	30′	24′	18′	12′	6′	0′	cos	1′	2′	3′

Таблица Брадиса для тангенсов и котангенсов

tg	0′	6′	12′	18′	24′	30′	36′	42′	48′	54′	60′	ctg	1′	2′	3′
											0	90°
0°	0,000	0017	0035	0052	0070	0087	0105	0122	0140	0157	0175	89°	3	6	9
1°	0175	0192	0209	0227	0244	0262	0279	0297	0314	0332	0349	88°	3	6	9
2°	0349	0367	0384	0402	0419	0437	0454	0472	0489	0507	0524	87°	3	6	9
3°	0524	0542	0559	0577	0594	0612	0629	0647	0664	0682	0699	86°	3	6	9
4°	0699	0717	0734	0752	0769	0787	0805	0822	0840	0857	0,0875	85°	3	6	9

5°	0,0875	0892	0910	0928	0945	0963	0981	0998	1016	1033	1051	84°	3	6	9
6°	1051	1069	1086	1104	1122	1139	1157	1175	1192	1210	1228	83°	3	6	9
7°	1228	1246	1263	1281	1299	1317	1334	1352	1370	1388	1405	82°	3	6	9
8°	1405	1423	1441	1459	1477	1495	1512	1530	1548	1566	1584	81°	3	6	9
9°	1584	1602	1620	1638	1655	1673	1691	1709	1727	1745	0,1763	80°	3	6	9

10°	0,1763	1781	1799	1817	1835	1853	1871	1890	1908	1926	1944	79°	3	6	9
11°	1944	1962	1980	1998	2016	2035	2053	2071	2089	2107	2126	78°	3	6	9
12°	2126	2144	2162	2180	2199	2217	2235	2254	2272	2290	2309	77°	3	6	9
13°	2309	2327	2345	2364	2382	2401	2419	2438	2456	2475	2493	76°	3	6	9
14°	2493	2512	2530	2549	2568	2586	2605	2623	2642	2661	0,2679	75°	3	6	9

15°	0,2679	2698	2717	2736	2754	2773	2792	2811	2830	2849	2867	74°	3	6	9
16°	2867	2886	2905	2924	2943	2962	2981	3000	3019	3038	3057	73°	3	6	9
17°	3057	3076	3096	3115	3134	3153	3172	3191	3211	3230	3249	72°	3	6	10
18°	3249	3269	3288	3307	3327	3346	3365	3385	3404	3424	3443	71°	3	6	10
19°	3443	3463	3482	3502	3522	3541	3561	3581	3600	3620	0,3640	70°	3	7	10

20°	0,3640	3659	3679	3699	3719	3739	3759	3779	3799	3819	3839	69°	3	7	10
21°	3839	3859	3879	3899	3919	3939	3959	3979	4000	4020	4040	68°	3	7	10
22°	4040	4061	4081	4101	4122	4142	4163	4183	4204	4224	4245	67°	3	7	10
23°	4245	4265	4286	4307	4327	4348	4369	4390	4411	4431	4452	66°	3	7	10
24°	4452	4473	4494	4515	4536	4557	4578	4599	4621	4642	0,4663	65°	4	7	11

25°	0,4663	4684	4706	4727	4748	4770	4791	4813	4834	4856	4877	64°	4	7	11
26°	4877	4899	4921	4942	4964	4986	5008	5029	5051	5073	5095	63°	4	7	11
27°	5095	5117	5139	5161	5184	5206	5228	5250	5272	5295	5317	62°	4	7	11
28°	5317	5340	5362	5384	5407	5430	5452	5475	5498	5520	5543	61°	4	8	11
29°	5543	5566	5589	5612	5635	5658	5681	5704	5727	5750	0,5774	60°	4	8	12

30°	0,5774	5797	5820	5844	5867	5890	5914	5938	5961	5985	6009	59°	4	8	12
31°	6009	6032	6056	6080	6104	6128	6152	6176	6200	6224	6249	58°	4	8	12
32°	6249	6273	6297	6322	6346	6371	6395	6420	6445	6469	6494	57°	4	8	12
33°	6494	6519	6544	6569	6594	6619	6644	6669	6694	6720	6745	56°	4	8	13
34°	6745	6771	6796	6822	6847	6873	6899	6924	6950	6976	0,7002	55°	4	9	13

35°	0,7002	7028	7054	7080	7107	7133	7159	7186	7212	7239	7265	54°	4	8	13
36°	7265	7292	7319	7346	7373	7400	7427	7454	7481	7508	7536	53°	5	9	14°
37°	7536	7563	7590	7618	7646	7673	7701	7729	7757	7785	7813	52°	5	9	14
38°	7813	7841	7869	7898	7926	7954	7983	8012	8040	8069	8098	51°	5	9	14
39°	8098	8127	8156	8185	8214	8243	8273	8302	8332	8361	0,8391	50°	5	10	15

40°	0,8391	8421	8451	8481	8511	8541	8571	8601	8632	8662	0,8693	49°	5	10	15
41°	8693	8724	8754	8785	8816	8847	8878	8910	8941	8972	9004	48°	5	10	16
42°	9004	9036	9067	9099	9131	9163	9195	9228	9260	9293	9325	47°	6	11	16
43°	9325	9358	9391	9424	9457	9490	9523	9556	9590	9623	0,9657	46°	6	11	17
44°	9657	9691	9725	9759	9793	9827	9861	9896	9930	9965	1,0000	45°	6	11	17

45°	1,0000	0035	0070	0105	0141	0176	0212	0247	0283	0319	0355	44°	6	12	18
46°	0355	0392	0428	0464	0501	0538	0575	0612	0649	0686	0724	43°	6	12	18
47°	0724	0761	0799	0837	0875	0913	0951	0990	1028	1067	1106	42°	6	13	19
48°	1106	1145	1184	1224	1263	1303	1343	1383	1423	1463	1504	41°	7	13	20
49°	1504	1544	1585	1626	1667	1708	1750	1792	1833	1875	1,1918	40°	7	14	21

50°	1,1918	1960	2002	2045	2088	2131	2174	2218	2261	2305	2349	39°	7	14	22
51°	2349	2393	2437	2482	2527	2572	2617	2662	2708	2753	2799	38°	8	15	23
52°	2799	2846	2892	2938	2985	3032	3079	3127	3175	3222	3270	37°	8	16	24
53°	3270	3319	3367	3416	3465	3514	3564	3613	3663	3713	3764	36°	8	16	25
54°	3764	3814	3865	3916	3968	4019	4071	4124	4176	4229	1,4281	35°	9	17	26

55°	1,4281	4335	4388	4442	4496	4550	4605	4659	4715	4770	4826	34°	9	18	27
56°	4826	4882	4938	4994	5051	5108	5166	5224	5282	5340	5399	33°	10	19	29
57°	5399	5458	5517	5577	5637	5697	5757	5818	5880	5941	6003	32°	10	20	30
58°	6003	6066	6128	6191	6255	6319	6383	6447	6512	6577	6643	31°	11	21	32
59°	6643	6709	6775	6842	6909	6977	7045	7113	7182	7251	1,7321	30°	11	23	34

60°	1,732	1,739	1,746	1,753	1,760	1,767	1,775	1,782	1,789	1,797	1,804	29°	1	2	4
61°	1,804	1,811	1,819	1,827	1,834	1,842	1,849	1,857	1,865	1,873	1,881	28°	1	3	4
62°	1,881	1,889	1,897	1,905	1,913	1,921	1,929	1,937	1,946	1,954	1,963	27°	1	3	4
63°	1,963	1,971	1,980	1,988	1,997	2,006	2,014	2,023	2,032	2,041	2,05	26°	1	3	4
64°	2,050	2,059	2,069	2,078	2,087	2,097	2,106	2,116	2,125	2,135	2,145	25°	2	3	5

65°	2,145	2,154	2,164	2,174	2,184	2,194	2,204	2,215	2,225	2,236	2,246	24°	2	3	5
66°	2,246	2,257	2,267	2,278	2,289	2,3	2,311	2,322	2,333	2,344	2,356	23°	2	4	5
67°	2,356	2,367	2,379	2,391	2,402	2,414	2,426	2,438	2,450	2,463	2,475	22°	2	4	6
68°	2,475	2,488	2,5	2,513	2,526	2,539	2,552	2,565	2,578	2,592	2,605	21°	2	4	6
69°	2,605	2,619	2,633	2,646	2,66	2,675	2,689	2,703	2,718	2,733	2,747	20°	2	5	7

70°	2,747	2,762	2,778	2,793	2,808	2,824	2,840	2,856	2,872	2,888	2,904	19°	3	5	8
71°	2,904	2,921	2,937	2,954	2,971	2,989	3,006	3,024	3,042	3,06	3,078	18°	3	6	9
72°	3,078	3,096	3,115	3,133	3,152	3,172	3,191	3,211	3,230	3,251	3,271	17°	3	6	10
73°	3,271	3,291	3,312	3,333	3,354	3,376							3	7	10
							3,398	3,42	3,442	3,465	3,487	16°	4	7	11
74°	3,487	3,511	3,534	3,558	3,582	3,606							4	8	12
							3,630	3,655	3,681	3,706	3,732	15°	4	8	13
75°	3,732	3,758	3,785	3,812	3,839	3,867							4	9	13
							3,895	3,923	3,952	3,981	4,011	14°	5	10	14
tg	60′	54′	48′	42′	36′	30′	24′	18′	12′	6′	0′	ctg	1′	2′	3′

Тригонометрия – раздел математики, изучающий зависимости углов и сторон треугольников, которые выражены функциями, называемыми тригонометрическими.

Угол — это геометрическая фигура, образованная двумя линиями, не лежащими на одной прямой и выходящими или пересекающимися в одной точке.

Треугольник – это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Отрезки называют сторонами треугольника, а точки – вершинами треугольника.

В зависимости от соотношения сторон и углов, треугольники можно разделить на группы:

гипотенуза – сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла и являющаяся самой длинной стороной прямоугольного треугольника.

катет – одна из сторон прямоугольного треугольника, образующая прямой угол треугольника. Может называться противолежащим или прилежащим. Противолежащий – это катет, расположенный напротив рассматриваемого угла треугольника, прилежащий – это катет, прилежащий к рассматриваемому углу треугольника.

Чтобы вычислить какой-либо неизвестный элемент (сторону или угол) имеющегося треугольника, зная часть элементов того же треугольника, используют определенные зависимости (правила) между величинами углов и длинами сторон этого треугольника. Такие зависимости называют тригонометрическими функциями.

То есть, тригонометрические функций позволяют, зная какой-либо угол и сторону, вычислить значения других неизвестных элементов треугольника.

Для ускорения расчетов, когда нет под рукой калькулятора, смартфона или компьютера, раньше были очень популярны таблицы с заранее вычисленными соотношениями сторон треугольников, выраженными в вычисленных значениях sin, cos, tg.

Например, зная из таблицы значения вычисленных заранее тригонометрических функций известного угла треугольника и длину одной из его сторон, можно быстро вычислить длины других сторон треугольника и величины неизвестных углов.

Таблица синусов и косинусов в радианах. Тригонометрические функции

Тригонометрия, как наука, зародилась на Древнем Востоке. Первые тригонометрические соотношения были выведены астрономами для создания точного календаря и ориентированию по звездам. Данные вычисления относились к сферической тригонометрии, в то время как в школьном курсе изучают соотношения сторон и угла плоского треугольника.

Тригонометрия – это раздел математики, занимающийся свойствами тригонометрических функций и зависимостью между сторонами и углами треугольников.

В период расцвета культуры и науки I тысячелетия нашей эры знания распространились с Древнего Востока в Грецию. Но основные открытия тригонометрии – это заслуга мужей арабского халифата. В частности, туркменский ученый аль-Маразви ввел такие функции, как тангенс и котангенс, составил первые таблицы значений для синусов, тангенсов и котангенсов. Понятие синуса и косинуса введены индийскими учеными. Тригонометрии посвящено немало внимания в трудах таких великих деятелей древности, как Евклида, Архимеда и Эратосфена.

Основные величины тригонометрии

Основные тригонометрические функции числового аргумента – это синус, косинус, тангенс и котангенс. Каждая из них имеет свой график: синусоида, косинусоида, тангенсоида и котангенсоида.

В основе формул для расчета значений указанных величин лежит теорема Пифагора. Школьникам она больше известна в формулировке: «Пифагоровы штаны, во все стороны равны», так как доказательство приводится на примере равнобедренного прямоугольного треугольника.

Синус, косинус и другие зависимости устанавливают связь между острыми углами и сторонами любого прямоугольного треугольника. Приведем формулы для расчета этих величин для угла A и проследим взаимосвязи тригонометрических функций:

Как видно, tg и ctg являются обратными функциями. Если представить катет a как произведение sin A и гипотенузы с, а катет b в виде cos A * c, то получим следующие формулы для тангенса и котангенса:

Тригонометрический круг

Графически соотношение упомянутых величин можно представить следующим образом:

Окружность, в данном случае, представляет собой все возможные значения угла α — от 0° до 360°. Как видно из рисунка, каждая функция принимает отрицательное или положительное значение в зависимости от величины угла. Например, sin α будет со знаком «+», если α принадлежит I и II четверти окружности, то есть, находится в промежутке от 0° до 180°. При α от 180° до 360° (III и IV четверти) sin α может быть только отрицательным значением.

Попробуем построить тригонометрические таблицы для конкретных углов и узнать значение величин.

Значения α равные 30°, 45°, 60°, 90°, 180° и так далее – называют частными случаями. Значения тригонометрических функций для них просчитаны и представлены в виде специальных таблиц.

Данные углы выбраны отнюдь не случайно. Обозначение π в таблицах стоит для радиан. Рад — это угол, при котором длина дуги окружности соответствует ее радиусу. Данная величина была введена для того, чтобы установить универсальную зависимость, при расчетах в радианах не имеет значение действительная длина радиуса в см.

Углы в таблицах для тригонометрических функций соответствуют значениям радиан:

Итак, не трудно догадаться, что 2π – это полная окружность или 360°.

Свойства тригонометрических функций: синус и косинус

Для того, чтобы рассмотреть и сравнить основные свойства синуса и косинуса, тангенса и котангенса, необходимо начертить их функции. Сделать это можно в виде кривой, расположенной в двумерной системе координат.

Рассмотри сравнительную таблицу свойств для синусоиды и косинусоиды:

Синусоида	Косинусоида
y = sin x	y = cos x
ОДЗ [-1; 1]	ОДЗ [-1; 1]
sin x = 0, при x = πk, где k ϵ Z	cos x = 0, при x = π/2 + πk, где k ϵ Z
sin x = 1, при x = π/2 + 2πk, где k ϵ Z	cos x = 1, при x = 2πk, где k ϵ Z
sin x = — 1, при x = 3π/2 + 2πk, где k ϵ Z	cos x = — 1, при x = π + 2πk, где k ϵ Z
sin (-x) = — sin x, т. е. функция нечетная	cos (-x) = cos x, т. е. функция четная
	функция периодическая, наименьший период — 2π
sin x › 0, при x принадлежащем I и II четвертям или от 0° до 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, при x принадлежащем I и IV четвертям или от 270° до 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, при x принадлежащем III и IV четвертям или от 180° до 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, при x принадлежащем II и III четвертям или от 90° до 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
возрастает на промежутке [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	возрастает на промежутке [-π + 2πk, 2πk]
убывает на промежутках [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	убывает на промежутках
производная (sin x)’ = cos x	производная (cos x)’ = — sin x

Определить является ли функция четной или нет очень просто. Достаточно представить тригонометрический круг со знаками тригонометрических величин и мысленно «сложить» график относительно оси OX. Если знаки совпадают, функция четная, в противном случае — нечетная.

Введение радиан и перечисление основных свойств синусоиды и косинусоиды позволяют привести следующую закономерность:

Убедиться в верности формулы очень просто. Например, для x = π/2 синус равен 1, как и косинус x = 0. Проверку можно осуществить обративших к таблицам или проследив кривые функций для заданных значений.

Свойства тангенсоиды и котангенсоиды

Графики функций тангенса и котангенса значительно отличаются от синусоиды и косинусоиды. Величины tg и ctg являются обратными друг другу.

Y = tg x.
Тангенсоида стремится к значениям y при x = π/2 + πk, но никогда не достигает их.
Наименьший положительный период тангенсоиды равен π.
Tg (- x) = — tg x, т. е. функция нечетная.
Tg x = 0, при x = πk.
Функция является возрастающей.
Tg x › 0, при x ϵ (πk, π/2 + πk).
Tg x ‹ 0, при x ϵ (— π/2 + πk, πk).
Производная (tg x)’ = 1/cos 2 ⁡x .

Рассмотрим графическое изображение котангенсоиды ниже по тексту.

Основные свойства котангенсоиды:

Y = ctg x.
В отличие от функций синуса и косинуса, в тангенсоиде Y может принимать значения множества всех действительных чисел.
Котангенсоида стремится к значениям y при x = πk, но никогда не достигает их.
Наименьший положительный период котангенсоиды равен π.
Ctg (- x) = — ctg x, т. е. функция нечетная.
Ctg x = 0, при x = π/2 + πk.
Функция является убывающей.
Ctg x › 0, при x ϵ (πk, π/2 + πk).
Ctg x ‹ 0, при x ϵ (π/2 + πk, πk).
Производная (ctg x)’ = — 1/sin 2 ⁡x Исправить

ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Таблица значений тригонометрических функций составлена для углов в 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 и 360 градусов и соответствующих им значений углов врадианах. Из тригонометрических функций в таблице приведены синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс. Для удобства решения школьных примеров значения тригонометрических функций в таблице записаны в виде дроби с сохранением знаков извлечения корня квадратного из чисел, что очень часто помогает сокращать сложные математические выражения. Для тангенса и котангенса значения некоторых углов не могут быть определены. Для значений тангенса и котангенса таких углов в таблице значений тригонометрических функций стоит прочерк. Принято считать, что тангенс и котангенс таких углов равняется бесконечности. На отдельной странице находятся формулы приведения тригонометрических функций.

В таблице значений для тригонометрической функции синус приведены значения для следующих углов: sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 в градусной мере, что соответствует sin 0 пи, sin пи/6, sin пи/4, sin пи/3, sin пи/2, sin пи, sin 3 пи/2, sin 2 пи в радианной мере углов. Школьная таблица синусов.

Для тригонометрической функции косинус в таблице приведены значения для следующих углов: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 в градусной мере, что соответствует cos 0 пи, cos пи на 6, cos пи на 4, cos пи на 3, cos пи на 2, cos пи, cos 3 пи на 2, cos 2 пи в радианной мере углов. Школьная таблица косинусов.

Тригонометрическая таблица для тригонометрической функции тангенс приводит значения для следующих углов: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360 в градусной мере, что соответствует tg 0 пи, tg пи/6, tg пи/4, tg пи/3, tg пи, tg 2 пи в радианной мере углов. Следующие значения тригонометрических функций тангенса не определены tg 90, tg 270, tg пи/2, tg 3 пи/2 и считаются равными бесконечности.

Для тригонометрической функции котангенс в тригонометрической таблице даны значения следующих углов: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270 в градусной мере, что соответствует ctg пи/6, ctg пи/4, ctg пи/3, tg пи/2, tg 3 пи/2 в радианной мере углов. Следующие значения тригонометрических функций котангенса не определены ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 пи, ctg пи, ctg 2 пи и считаются равными бесконечности.

Значения тригонометрических функций секанс и косеканс приведены для таких же углов в градусах и радианах, что и синус, косинус, тангенс, котангенс.

В таблице значений тригонометрических функций нестандартных углов приводятся значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов в градусах 15, 18, 22,5, 36, 54, 67,5 72 градусов и в радианах пи/12, пи/10, пи/8, пи/5, 3пи/8, 2пи/5 радиан. Значения тригонометрических функций выражены через дроби и корни квадратные для упрощения сокращения дробей в школьных примерах.

Еще три монстра тригонометрии. Первый — это тангенс 1,5 полутора градусов или пи деленное на 120. Второй — косинус пи деленное на 240, пи/240. Самый длинный — косинус пи деленное на 17, пи/17.

Тригонометрический круг значений функций синус и косинус наглядно представляет знаки синуса и косинуса в зависимости от величины угла. Специально для блондинок значения косинуса подчеркнуты зелененькой черточкой,чтоб меньше путаться. Так же очень наглядно представлен перевод градусов в радианы, когда радианы выражены через пи.

Эта тригонометрическая таблица представляет значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов от 0 нуля до 90 девяносто градусов с интервалом через один градус. Для первых сорока пяти градусов названия тригонометрических функций необходимо смотреть в верхней части таблицы. В первом столбце указаны градусы, значения синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов записаны в следующих четырех столбцах.

Для углов от сорока пяти градусов до девяноста градусов названия тригонометрических функций записаны в нижней части таблицы. В последнем столбце указаны градусы, значения косинусов, синусов, котангенсов и тангенсов записаны в предыдущих четырех столбцах. Следует быть внимательными, поскольку в нижней части тригонометрической таблицы названия тригонометрических функций отличаются от названий в верхней части таблицы. Синусы и косинусы меняются местами, точно так же, как тангенс и котангенс. Это связано с симметричностью значений тригонометрических функций.

Знаки тригонометрических функций представлены на рисунке выше. Синус имеет положительные значения от 0 до 180 градусов или от 0 до пи. Отрицательные значения синус имеет от 180 до 360 градусов или от пи до 2 пи. Значения косинуса положительны от 0 до 90 и от 270 до 360 градусов или от 0 до 1/2 пи и от 3/2 до 2 пи. Тангенс и котангенс имеют положительные значения от 0 до 90 градусов и от 180 до 270 градусов, что соответствует значениям от 0 до 1/2 пи и от пи до 3/2 пи. Отрицательные значения тангенс и котангенс имеют от 90 до 180 градусов и от 270 до 360 градусов или от 1/2 пи до пи и от 3/2 пи до 2 пи. При определении знаков тригонометрических функций для углов больше 360 градусов или 2 пи следует использовать свойства периодичности этих функций.

Тригонометрические функции синус, тангенс и котангенс являются нечетными функциями. Значения этих функций для отрицательных углов будут отрицательными. Косинус является четной тригонометрической функцией — значение косинуса для отрицательного угла будет положительным. При умножении и делении тригонометрических функций необходимо соблюдать правила знаков.

В таблице значений для тригонометрической функции синус приведены значения для следующих углов
Документ
Отдельной странице находятся формулы приведения тригонометрических функций . В таблице значений для тригонометрической функции синус приведены значения для следующих углов : sin 0, sin 30, sin 45 …
Предлагаемый математический аппарат является полным аналогом комплексного исчисления для n-мерных гиперкомплексных чисел с любым числом степеней свободы n и предназначен для математического моделирования нелинейных
Документ
… функции равно функции изображения. Из этой теоремы следует , что для нахождения координат U, V достаточно вычислить функцию … геометрии; полинарные функции (многомерные аналоги двухмерных тригонометрических функций ), их свойства, таблицы и применение; . ..

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…»)

Прежде всего напомню простой, но очень полезный вывод из урока «Что такое синус и косинус? Что такое тангенс и котангенс?»

Вот этот вывод:

Синус, косинус, тангенс и котангенс накрепко связаны со своими углами. Знаем одно — значит, знаем и другое.

Другими словами, у каждого угла есть свой неизменный синус и косинус. И почти у каждого — свой тангенс и котангенс. Почему почти? Об этом ниже.

Это знание здорово помогает в учёбе! Существует масса заданий, где требуется перейти от синусов к углам и наоборот. Для этого существует таблица синусов. Аналогично, для заданий с косинусом — таблица косинусов. И, как вы уже догадались, существует таблица тангенсов и таблица котангенсов. )

Таблицы бывают разные. Длинные, где можно посмотреть, чему равен, скажем, sin37°6’. Раскрываем таблицы Брадиса, ищем угол тридцать семь градусов шесть минут и видим значение 0,6032. Понятное дело, запоминать это число (и тысячи других табличных значений) совершенно не требуется.

В сущности, в наше время длинные таблицы косинусов синусов тангенсов котангенсов не особо-то и нужны. Один хороший калькулятор заменяет их полностью. Но знать о существовании таких таблиц не мешает. Для общей эрудиции.)

И зачем тогда этот урок?! — спросите вы.

А вот зачем. Среди бесконечного количества углов существуют особые, о которых вы должны знать всё . На этих углах построена вся школьная геометрия и тригонометрия. Это, своего рода, «таблица умножения» тригонометрии. Если вы не знаете, чему равен, например, sin50°, никто вас не осудит.) Но если вы не знаете, чему равен sin30°, будьте готовы получить заслуженную двойку…

Таких особых углов тоже прилично набирается. Школьные учебники обычно любезно предлагают к запоминанию таблицу синусов и таблицу косинусов для семнадцати углов. Ну и, разумеется, таблицу тангенсов и таблицу котангенсов для тех же семнадцати углов… Т.е. предлагается запомнить 68 значений. Которые, между прочим, очень похожи между собой, то и дело повторяются и меняют знаки. Для человека без идеальной зрительной памяти — та ещё задачка…)

Мы пойдём другим путём. Заменим механическое запоминание на логику и смекалку. Тогда нам придётся зазубрить 3 (три!) значения для таблицы синусов и таблицы косинусов. И 3 (три!) значения для таблицы тангенсов и таблицы котангенсов. И всё. Шесть значений запомнить легче, чем 68, мне кажется…)

Все остальные необходимые значения мы будем получать из этих шести с помощью мощной законной шпаргалки — тригонометрического круга. Если вы не изучали эту тему, сходите по ссылочке, не ленитесь. Этот круг не только для этого урока нужен. Он незаменим для всей тригонометрии сразу . Не пользоваться таким инструментом просто грех! Не хотите? Дело ваше. Заучивайте таблицу синусов. Таблицу косинусов. Таблицу тангенсов. Таблицу котангенсов. Все 68 значений для разнообразных углов.)

Итак, начнём. Для начала разобьём все эти особые углы на три группы.

Первая группа углов.

Рассмотрим первую группа углов из семнадцати особых . Это 5 углов: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°.

Вот так выглядит таблица синусов косинусов тангенсов котангенсов для этих углов:

Угол х (в градусах)	0	90	180	270	360
Угол х (в радианах)	0
sin x	0	1	0	-1	0
cos x	1	0	-1	0	1
tg x	0	не сущ.	0	не сущ.	0
ctg x	не сущ.	0	не сущ.	0	не сущ.

Желающие запомнить — запоминайте. Но сразу скажу, что все эти единички и нолики очень путаются в голове. Гораздо сильнее, чем хочется.) Поэтому включаем логику и тригонометрический круг.

Рисуем круг и отмечаем на нём эти самые углы: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°. Я эти углы отметил красными точками:

Сразу видно, в чём особенность этих углов. Да! Это углы, которые попадают точно на оси координат! Собственно, поэтому-то и путается народ… Но мы путаться не будем. Разберёмся, как находить тригонометрические функции этих углов без особого запоминания.

Кстати, положение угла в 0 градусов полностью совпадает с положением угла в 360 градусов. Это значит, что синусы, косинусы, тангенсы у этих углов совершенно одинаковы. Угол в 360 градусов я отметил, чтобы замкнуть круг.

Предположим, в сложной стрессовой обстановке ЕГЭ вы как-то засомневались… Чему равен синус 0 градусов? Вроде ноль… А вдруг единица?! Механическое запоминание такая штука. В суровых условиях сомнения грызть начинают…)

Спокойствие, только спокойствие!) Я подскажу вам практический приём, который выдаст стопроцентно правильный ответ и начисто уберёт все сомнения.

В качестве примера разберёмся, как чётко и надёжно определить, скажем, синус 0 градусов. А заодно, и косинус 0. Именно в этих значениях, как ни странно, частенько люди путаются.

Для этого на круге нарисуем произвольный угол х . В первой четверти, чтобы недалеко от 0 градусов было. Отметим на осях синус и косинус этого угла х, всё чин-чинарём. Вот так:

А теперь — внимание! Уменьшим угол х , приблизим подвижную сторону к оси ОХ. Наведите курсор на картинку (или коснитесь картинки на планшете) и всё увидите.

Теперь включаем элементарную логику!. Смотрим и размышляем: как ведёт себя sinx при уменьшении угла х? При приближении угла к нулю? Он уменьшается! А cosx — увеличивается! Остаётся сообразить, что станет с синусом, когда угол схлопнется совсем? Когда подвижная сторона угла (точка А) уляжется на ось ОХ и угол станет равным нулю? Очевидно, и синус угла уйдёт в ноль. А косинус увеличится до… до… Чему равна длина подвижной стороны угла (радиус тригонометрического круга)? Единице!

Вот и ответ. Синус 0 градусов равен 0. Косинус 0 градусов равен 1. Совершенно железно и безо всяких сомнений!) Просто потому, что иначе быть не может.

Совершенно аналогично можно узнать (или уточнить) синус 270 градусов, например. Или косинус 180. Нарисовать круг, произвольный угол в четверти рядышком с интересующей нас осью координат, мысленно подвигать сторону угла и уловить, чем станет синус и косинус, когда сторона угла уляжется на ось. Вот и всё.

Как видите, для этой группы углов ничего заучивать не надо. Не нужна здесь таблица синусов… Да и таблица косинусов — тоже.) Кстати, после нескольких применений тригонометрического круга все эти значения запомнятся сами по себе. А если забудутся — нарисовал за 5 секунд круг и уточнил. Куда проще, чем звонить другу из туалета с риском для аттестата, правда?)

Что касается тангенса и котангенса — всё то же самое. Рисуем на круге линию тангенса (котангенса) — и всё сразу видно. Где они равны нулю, а где — не существуют. Что, не знаете про линии тангенса и котангенса? Это печально, но поправимо.) Посетили Раздел 555 Тангенс и котангенс на тригонометрическом круге — и нет проблем!

Если вы поняли, как чётко определить синус, косинус, тангенс и котангенс для этих пяти углов — я вас поздравляю! На всякий случай сообщаю, что вы теперь можете определять функции любых углов, попадающих на оси. А это и 450°, и 540°, и 1800°, и ещё бесконечное количество. ..) Отсчитал (правильно!) угол на круге — и нет проблем с функциями.

Но, как раз, с отсчётом углов и случаются проблемы да ошибки… Как их избежать, написано в уроке: Как нарисовать (отсчитать) любой угол на тригонометрическом круге в градусах. Элементарно, но очень помогает в борьбе с ошибками.)

А вот урок: Как нарисовать (отсчитать) любой угол на тригонометрическом круге в радианах — покруче будет. В смысле возможностей. Скажем, определить на какую из четырёх полуосей попадает угол

вы сможете за пару секунд. Я не шучу! Именно за пару секунд. Ну конечно, не только 345 «пи»…) И 121, и 16, и -1345. Любой целый коэффициент годится для мгновенного ответа.

А если угол

Подумаешь! Верный ответ получается секунд за 10. Для любого дробного значения радианов с двойкой в знаменателе.

Собственно, этим и хорош тригонометрический круг. Тем, что умение работать с некоторыми углами он автоматически расширяет на бесконечное множество углов.

Итак, с пятью углами из семнадцати — разобрались.

Вторая группа углов.

Следующая группа углов — это углы 30°, 45° и 60°. Почему именно эти, а не, к примеру, 20, 50 и 80? Да как-то сложилось так… Исторически.) Дальше будет видно, чем хороши эти углы.

Таблица синусов косинусов тангенсов котангенсов для этих углов выглядит так:

Угол х (в градусах)	0	30	45	60	90
Угол х (в радианах)	0
sin x	0				1
cos x	1				0
tg x	0		1		не сущ.
ctg x	не сущ.		1		0

Я оставил значения для 0° и 90° из предыдущей таблицы для завершённости картины.) Чтобы было видно, что эти углы лежат в первой четверти и возрастают. От 0 до 90. Это пригодится нам дальше.

Значения таблицы для углов 30°, 45° и 60° надо запомнить. Зазубрить, если хотите. Но и здесь есть возможность облегчить себе жизнь.) Обратите внимание на значения таблицы синусов этих углов. И сравните со значениями таблицы косинусов…

Да! Они одни и те же! Только расположены в обратном порядке. Углы возрастают (0, 30, 45, 60, 90) — и значения синуса возрастают от 0 до 1. Можете убедиться с калькулятором. А значения косинуса — убывают от 1 до нуля. Причём, сами значения одни и те же. Для углов 20, 50, 80 так бы не получилось…

Отсюда полезный вывод. Достаточно выучить три значения для углов 30, 45, 60 градусов. И помнить, что у синуса они возрастают, а у косинуса — убывают. Навстречу синусу.) На половине пути (45°) они встречаются, т.е синус 45 градусов равен косинусу 45 градусов. А дальше опять расходятся… Три значения можно выучить, правда?

С тангенсами — котангенсами картина исключительно та же самая. Один в один. Только значения другие. Эти значения (ещё три!) тоже надо выучить.

Ну вот, практически всё запоминание и закончилось. Вы поняли (надеюсь), как определять значения для пяти углов попадающих на оси и выучили значения для углов 30, 45, 60 градусов. Всего 8.

Осталось разобраться с последней группой из 9 углов.

Вот эти углы:
120°; 135°; 150°; 210°; 225°; 240°; 300°; 315°; 330°. Для этих углов надо железно знать таблицу синусов, таблицу косинусов и т.д.

Кошмар, правда?)

А если добавить сюда углы, типа: 405°, 600°, или 3000° и много-много такого же красивого?)

Или углы в радианах? Например, про углы:

и многие другие, вы должны знать всё .

Самое забавное, что знать это всё — невозможно в принципе. Если использовать механическую память.

И очень легко, фактически элементарно — если использовать тригонометрический круг. Если вы освоите практическую работу с тригонометрическим кругом, все эти ужасные углы в градусах будут легко и элегантно сводиться к старым добрым:

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

В статье, мы полностью разберемся, как выглядит таблица тригонометрических значений, синуса, косинуса, тангенса и котангенса . Рассмотрим основное значение тригонометрических функций, от угла в 0,30,45,60,90,…,360 градусов. И посмотрим как пользоваться данными таблицами в вычислении значения тригонометрических функций.
Первой рассмотрим таблицу косинуса, синуса, тангенса и котангенса от угла в 0, 30, 45, 60, 90,. . градусов. Определение данных величин дают определить значение функций углов в 0 и 90 градусов:

sin 0 0 =0, cos 0 0 = 1. tg 00 = 0, котангенс от 00 будет неопределенным
sin 90 0 = 1, cos 90 0 =0, ctg90 0 = 0,тангенс от 90 0 будет неопределенным

Если взять прямоугольные треугольники углы которых от 30 до 90 градусов. Получим:

sin 30 0 = 1/2, cos 30 0 = √3/2, tg 30 0 = √3/3, ctg 30 0 = √3
sin 45 0 = √2/2, cos 45 0 = √2/2, tg 45 0 = 1, ctg 45 0 = 1
sin 60 0 = √3/2, cos 60 0 = 1/2, tg 60 0 =√3 , ctg 60 0 = √3/3

Изобразим все полученные значения в виде тригонометрической таблицы :

Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов!

Если использовать формулу приведения, наша таблица увеличится, добавятся значения для углов до 360 градусов. Выглядеть она будет как:

Так же исходя из свойств периодичности таблицу можно увеличить, если заменим углы на 0 0 +360 0 *z …. 330 0 +360 0 *z, в котором z является целым числом. В данной таблице возможно вычислить значение всех углов, соответствующими точками в единой окружности.

Разберем наглядно как использовать таблицу в решении.
Все очень прост. Так как нужное нам значение лежит в точке пересечения нужных нам ячеек. К примеру возьмем cos угла 60 градусов, в таблице это будет выглядеть как:

В итоговой таблице основных значений тригонометрических функций, действуем так же. Но в данной таблице возможно узнать сколько составит тангенс от угла в 1020 градусов, он = -√3 Проверим 1020 0 = 300 0 +360 0 *2. Найдем по таблице.

Таблица Брадиса. Для синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Таблицы Брадиса поделены на несколько частей, состоят из таблиц косинуса и синуса, тангенса и котангенса — которая поделена на две части (tg угла до 90 градусов и ctg малых углов).

Синус и косинус

tg угла начиная с 00 заканчивая 760, ctg угла начиная с 140 заканчивая 900.

tg до 900 и ctg малых углов.

Разберемся как пользоваться таблицами Брадиса в решении задач.

Найдем обозначение sin (обозначение в столбце с левого края) 42 минут (обозначение находится на верхней строчке). Путем пересечения ищем обозначение, оно = 0,3040.

Величины минут указаны с промежутком в шесть минут, как быть если нужное нам значение попадет именно в этот промежуток. Возьмем 44 минуты, а в таблице есть только 42. Берем за основу 42 и воспользуемся добавочными столбцами в правой стороне, берем 2 поправку и добавляем к 0,3040 + 0,0006 получаем 0,3046.

При sin 47 мин, берем за основу 48 мин и отнимаем от нее 1 поправку, т.е 0,3057 — 0,0003 = 0,3054

При вычислении cos работаем аналогично sin только за основу берем нижнюю строку таблицы. К примеру cos 20 0 = 0.9397

Значения tg угла до 90 0 и cot малого угла, верны и поправок в них нет. К примеру, найти tg 78 0 37мин = 4,967

а ctg 20 0 13мин = 25,83

Ну вот мы и рассмотрели основные тригонометрические таблицы. Надеемся это информация была для вас крайне полезной. Свои вопросы по таблицам, если они появились, обязательно пишите в комментариях!

Заметка: Стеновые отбойники — отбойная доска для защиты стен. Перейдите по ссылке настенные отбойники бескаркасные (http://www.spi-polymer.ru/otboyniki/) и узнайте подробнее.

В пятом веке до нашей эры древнегреческий философ Зенон Элейский сформулировал свои знаменитые апории, самой известной из которых является апория «Ахиллес и черепаха». Вот как она звучит:

Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Это рассуждение стало логическим шоком для всех последующих поколений. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт. .. Все они так или иначе рассматривали апории Зенона. Шок оказался настолько сильным, что «… дискуссии продолжаются и в настоящее время, прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось… к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса… » [Википедия, » Апории Зенона «]. Все понимают, что их дурят, но никто не понимает, в чем заключается обман.

С точки зрения математики, Зенон в своей апории наглядно продемонстрировал переход от величины к . Этот переход подразумевает применение вместо постоянных. Насколько я понимаю, математический аппарат применения переменных единиц измерения либо ещё не разработан, либо его не применяли к апории Зенона. Применение же нашей обычной логики приводит нас в ловушку. Мы, по инерции мышления, применяем постоянные единицы измерения времени к обратной величине. С физической точки зрения это выглядит, как замедление времени до его полной остановки в момент, когда Ахиллес поравняется с черепахой. Если время останавливается, Ахиллес уже не может перегнать черепаху.

Если перевернуть привычную нам логику, всё становится на свои места. Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Каждый последующий отрезок его пути в десять раз короче предыдущего. Соответственно, и время, затрачиваемое на его преодоление, в десять раз меньше предыдущего. Если применять понятие «бесконечность» в этой ситуации, то правильно будет говорить «Ахиллес бесконечно быстро догонит черепаху».

Как избежать этой логической ловушки? Оставаться в постоянных единицах измерения времени и не переходить к обратным величинам. На языке Зенона это выглядит так:

За то время, за которое Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. За следующий интервал времени, равный первому, Ахиллес пробежит ещё тысячу шагов, а черепаха проползет сто шагов. Теперь Ахиллес на восемьсот шагов опережает черепаху.

Этот подход адекватно описывает реальность без всяких логических парадоксов. Но это не полное решение проблемы. На Зеноновскую апорию «Ахиллес и черепаха» очень похоже утверждение Эйнштейна о непреодолимости скорости света. Эту проблему нам ещё предстоит изучить, переосмыслить и решить. И решение нужно искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.

Другая интересная апория Зенона повествует о летящей стреле:

Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.

В этой апории логический парадокс преодолевается очень просто — достаточно уточнить, что в каждый момент времени летящая стрела покоится в разных точках пространства, что, собственно, и является движением. Здесь нужно отметить другой момент. По одной фотографии автомобиля на дороге невозможно определить ни факт его движения, ни расстояние до него. Для определения факта движения автомобиля нужны две фотографии, сделанные из одной точки в разные моменты времени, но по ним нельзя определить расстояние. Для определения расстояния до автомобиля нужны две фотографии, сделанные из разных точек пространства в один момент времени, но по ним нельзя определить факт движения (естественно, ещё нужны дополнительные данные для расчетов, тригонометрия вам в помощь). На что я хочу обратить особое внимание, так это на то, что две точки во времени и две точки в пространстве — это разные вещи, которые не стоит путать, ведь они предоставляют разные возможности для исследования.

среда, 4 июля 2018 г.

Очень хорошо различия между множеством и мультимножеством описаны в Википедии . Смотрим.

Как видите, «во множестве не может быть двух идентичных элементов», но если идентичные элементы во множестве есть, такое множество называется «мультимножество». Подобную логику абсурда разумным существам не понять никогда. Это уровень говорящих попугаев и дрессированных обезьян, у которых разум отсутствует от слова «совсем». Математики выступают в роли обычных дрессировщиков, проповедуя нам свои абсурдные идеи.

Когда-то инженеры, построившие мост, во время испытаний моста находились в лодке под мостом. Если мост обрушивался, бездарный инженер погибал под обломками своего творения. Если мост выдерживал нагрузку, талантливый инженер строил другие мосты.

Как бы математики не прятались за фразой «чур, я в домике», точнее «математика изучает абстрактные понятия», есть одна пуповина, которая неразрывно связывает их с реальностью. Этой пуповиной являются деньги. Применим математическую теорию множеств к самим математикам.

Мы очень хорошо учили математику и сейчас сидим в кассе, выдаем зарплату. Вот приходит к нам математик за своими деньгами. Отсчитываем ему всю сумму и раскладываем у себя на столе на разные стопки, в которые складываем купюры одного достоинства. Затем берем с каждой стопки по одной купюре и вручаем математику его «математическое множество зарплаты». Поясняем математику, что остальные купюры он получит только тогда, когда докажет, что множество без одинаковых элементов не равно множеству с одинаковыми элементами. Вот здесь начнется самое интересное.

В первую очередь, сработает логика депутатов: «к другим это применять можно, ко мне — низьзя!». Дальше начнутся уверения нас в том, что на купюрах одинакового достоинства имеются разные номера купюр, а значит их нельзя считать одинаковыми элементами. Хорошо, отсчитываем зарплату монетами — на монетах нет номеров. Здесь математик начнет судорожно вспоминать физику: на разных монетах имеется разное количество грязи, кристаллическая структура и расположение атомов у каждой монеты уникально…

А теперь у меня самый интересный вопрос: где проходит та грань, за которой элементы мультимножества превращаются в элементы множества и наоборот? Такой грани не существует — всё решают шаманы, наука здесь и близко не валялась.

Вот смотрите. Мы отбираем футбольные стадионы с одинаковой площадью поля. Площадь полей одинакова — значит у нас получилось мультимножество. Но если рассматривать названия этих же стадионов — у нас получается множество, ведь названия разные. Как видите, один и тот же набор элементов одновременно является и множеством, и мультимножеством. Как правильно? А вот здесь математик-шаман-шуллер достает из рукава козырный туз и начинает нам рассказывать либо о множестве, либо о мультимножестве. В любом случае он убедит нас в своей правоте.

Чтобы понять, как современные шаманы оперируют теорией множеств, привязывая её к реальности, достаточно ответить на один вопрос: чем элементы одного множества отличаются от элементов другого множества? Я вам покажу, без всяких «мыслимое как не единое целое» или «не мыслимое как единое целое».

воскресенье, 18 марта 2018 г.

Сумма цифр числа — это пляска шаманов с бубном, которая к математике никакого отношения не имеет. Да, на уроках математики нас учат находить сумму цифр числа и пользоваться нею, но на то они и шаманы, чтобы обучать потомков своим навыкам и премудростям, иначе шаманы просто вымрут.

Вам нужны доказательства? Откройте Википедию и попробуйте найти страницу «Сумма цифр числа». Её не существует. Нет в математике формулы, по которой можно найти сумму цифр любого числа. Ведь цифры — это графические символы, при помощи которых мы записываем числа и на языке математики задача звучит так: «Найти сумму графических символов, изображающих любое число». Математики эту задачу решить не могут, а вот шаманы — элементарно.

Давайте разберемся, что и как мы делаем для того, чтобы найти сумму цифр заданного числа. И так, пусть у нас есть число 12345. Что нужно сделать для того, чтобы найти сумму цифр этого числа? Рассмотрим все шаги по порядку.

1. Записываем число на бумажке. Что же мы сделали? Мы преобразовали число в графический символ числа. Это не математическое действие.

2. Разрезаем одну полученную картинку на несколько картинок, содержащих отдельные цифры. Разрезание картинки — это не математическое действие.

3. Преобразовываем отдельные графические символы в числа. Это не математическое действие.

4. Складываем полученные числа. Вот это уже математика.

Сумма цифр числа 12345 равна 15. Вот такие вот «курсы кройки и шитья» от шаманов применяют математики. Но это ещё не всё.

С точки зрения математики не имеет значения, в какой системе счисления мы записываем число. Так вот, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа будет разной. В математике система счисления указывается в виде нижнего индекса справа от числа. С большим числом 12345 я не хочу голову морочить, рассмотрим число 26 из статьи про . Запишем это число в двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления. Мы не будем рассматривать каждый шаг под микроскопом, это мы уже сделали. Посмотрим на результат.

Как видите, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа получается разной. Подобный результат к математике никакого отношения не имеет. Это всё равно, что при определении площади прямоугольника в метрах и сантиметрах вы получали бы совершенно разные результаты.

Ноль во всех системах счисления выглядит одинаково и суммы цифр не имеет. Это ещё один аргумент в пользу того, что . Вопрос к математикам: как в математике обозначается то, что не является числом? Что, для математиков ничего, кроме чисел, не существует? Для шаманов я могу такое допустить, но для ученых — нет. Реальность состоит не только из чисел.

Полученный результат следует рассматривать как доказательство того, что системы счисления являются единицами измерения чисел. Ведь мы не можем сравнивать числа с разными единицами измерения. Если одни и те же действия с разными единицами измерения одной и той же величины приводят к разным результатам после их сравнения, значит это не имеет ничего общего с математикой.

Что же такое настоящая математика? Это когда результат математического действия не зависит от величины числа, применяемой единицы измерения и от того, кто это действие выполняет.

Табличка на двери Открывает дверь и говорит:

Ой! А это разве не женский туалет?
— Девушка! Это лаборатория по изучению индефильной святости душ при вознесении на небеса! Нимб сверху и стрелочка вверх. Какой еще туалет?

Женский… Нимб сверху и стрелочка вниз — это мужской.

Если у вас перед глазами несколько раз в день мелькает вот такое вот произведение дизайнерского искусства,

Тогда не удивительно, что в своем автомобиле вы вдруг обнаруживаете странный значок:

Лично я делаю над собой усилие, чтобы в какающем человеке (одна картинка), увидеть минус четыре градуса (композиция из нескольких картинок: знак минус, цифра четыре, обозначение градусов). И я не считаю эту девушку дурой, не знающей физику. Просто у неё дугой стереотип восприятия графических образов. И математики нас этому постоянно учат. Вот пример.

1А — это не «минус четыре градуса» или «один а». Это «какающий человек» или число «двадцать шесть» в шестнадцатеричной системе счисления. Те люди, которые постоянно работают в этой системе счисления, автоматически воспринимают цифру и букву как один графический символ.

Таблица косинусов от 0 до 180 градусов. Косинус острого угла можно определить с помощью прямоугольного треугольника

Вот этот вывод:

Синус, косинус, тангенс и котангенс накрепко связаны со своими углами. Знаем одно — значит, знаем и другое.

И зачем тогда этот урок?! — спросите вы.

Таких особых углов тоже прилично набирается. Школьные учебники обычно любезно предлагают к запоминанию таблицу синусов и таблицу косинусов для семнадцати углов. Ну и, разумеется, таблицу тангенсов и таблицу котангенсов для тех же семнадцати углов. .. Т.е. предлагается запомнить 68 значений. Которые, между прочим, очень похожи между собой, то и дело повторяются и меняют знаки. Для человека без идеальной зрительной памяти — та ещё задачка…)

Итак, начнём. Для начала разобьём все эти особые углы на три группы.

Первая группа углов.

Рассмотрим первую группа углов из семнадцати особых . Это 5 углов: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°.

Вот так выглядит таблица синусов косинусов тангенсов котангенсов для этих углов:

Угол х (в градусах)	0	90	180	270	360
Угол х (в радианах)	0
sin x	0	1	0	-1	0
cos x	1	0	-1	0	1
tg x	0	не сущ.	0	не сущ.	0
ctg x	не сущ.	0	не сущ.	0	не сущ.

Рисуем круг и отмечаем на нём эти самые углы: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°. Я эти углы отметил красными точками:

А если угол

Итак, с пятью углами из семнадцати — разобрались.

Вторая группа углов.

Таблица синусов косинусов тангенсов котангенсов для этих углов выглядит так:

Угол х (в градусах)	0	30	45	60	90
Угол х (в радианах)	0
sin x	0				1
cos x	1				0
tg x	0		1		не сущ.
ctg x	не сущ.		1		0

Осталось разобраться с последней группой из 9 углов.

Кошмар, правда?)

А если добавить сюда углы, типа: 405°, 600°, или 3000° и много-много такого же красивого?)

Или углы в радианах? Например, про углы:

и многие другие, вы должны знать всё . °}=\)\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\cos⁡\)\(\frac{π}{3}\) \(=\)\(\frac{1}{2}\)
\(\cos⁡2=-0,416…\)

Аргумент и значение

Косинус острого угла

Косинус острого угла можно определить с помощью прямоугольного треугольника — он равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

Пример :

1) Пусть дан угол и нужно определить косинус этого угла.

2) Достроим на этом угле любой прямоугольный треугольник.

3) Измерив, нужные стороны, можем вычислить косинус.

Косинус острого угла больше \(0\) и меньше \(1\)

Если при решении задачи косинус острого угла получился больше 1 или отрицательным, то значит где-то в решении есть ошибка.

Косинус числа

Числовая окружность позволяет определить косинус любого числа, но обычно находят косинус чисел как-то связанных с : \(\frac{π}{2}\) , \(\frac{3π}{4}\) , \(-2π\).

Например, для числа \(\frac{π}{6}\) — косинус будет равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) . А для числа \(-\)\(\frac{3π}{4}\) он будет равен \(-\)\(\frac{\sqrt{2}}{2}\) (приблизительно \(-0,71\)).

Косинус для других часто встречающихся в практике чисел смотри в .

Значение косинуса всегда лежит в пределах от \(-1\) до \(1\). При этом вычислен косинус может быть для абсолютно любого угла и числа.

Косинус любого угла

Благодаря числовой окружности можно определять косинус не только острого угла, но и тупого, отрицательного, и даже большего, чем \(360°\) (полный оборот). Как это делать — проще один раз увидеть, чем \(100\) раз услышать, поэтому смотрите картинку.

Теперь пояснение: пусть нужно определить косинус угла КОА с градусной мерой в \(150°\). Совмещаем точку О с центром окружности, а сторону ОК – с осью \(x\). После этого откладываем \(150°\) против часовой стрелки. Тогда ордината точки А покажет нам косинус этого угла.

Если же нас интересует угол с градусной мерой, например, в \(-60°\) (угол КОВ ), делаем также, но \(60°\) откладываем по часовой стрелке.

И, наконец, угол больше \(360°\) (угол КОС ) — всё аналогично тупому, только пройдя по часовой стрелке полный оборот, отправляемся на второй круг и «добираем нехватку градусов». Конкретно в нашем случае угол \(405°\) отложен как \(360° + 45°\).

Несложно догадаться, что для откладывания угла, например, в \(960°\), надо сделать уже два оборота (\(360°+360°+240°\)), а для угла в \(2640°\) — целых семь.

Стоит запомнить, что:

Косинус прямого угла равен нулю. Косинус тупого угла — отрицателен.

Знаки косинуса по четвертям

С помощью оси косинусов (то есть, оси абсцисс, выделенной на рисунке красным цветом) легко определить знаки косинусов по числовой (тригонометрической) окружности:

Там, где значения на оси от \(0\) до \(1\), косинус будет иметь знак плюс (I и IV четверти – зеленая область),
— там, где значения на оси от \(0\) до \(-1\), косинус будет иметь знак минус (II и III четверти – фиолетовая область). 2⁡x}\)
— и синусом того же угла (или числа): формулой \(ctgx=\)\(\frac{\cos{x}}{\sin⁡x}\)
Другие наиболее часто применяемые формулы смотри .

Функция \(y=\cos{x}\)

Если отложить по оси \(x\) углы в радианах, а по оси \(y\) — соответствующие этим углам значения косинуса, мы получим следующий график:

График данной называется и обладает следующими свойствами:

Область определения – любое значение икса: \(D(\cos{⁡x})=R\)
— область значений – от \(-1\) до \(1\) включительно: \(E(\cos{x})=[-1;1]\)
— четная: \(\cos⁡(-x)=\cos{x}\)
— периодическая с периодом \(2π\): \(\cos⁡(x+2π)=\cos{x}\)
— точки пересечения с осями координат:
ось абсцисс: \((\)\(\frac{π}{2}\) \(+πn\),\(;0)\), где \(n ϵ Z\)
ось ординат: \((0;1)\)
— промежутки знакопостоянства:
функция положительна на интервалах: \((-\)\(\frac{π}{2}\) \(+2πn;\) \(\frac{π}{2}\) \(+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
функция отрицательна на интервалах: \((\)\(\frac{π}{2}\) \(+2πn;\)\(\frac{3π}{2}\) \(+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
— промежутки возрастания и убывания:
функция возрастает на интервалах: \((π+2πn;2π+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
функция убывает на интервалах: \((2πn;π+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
— максимумы и минимумы функции:
функция имеет максимальное значение \(y=1\) в точках \(x=2πn\), где \(n ϵ Z\)
функция имеет минимальное значение \(y=-1\) в точках \(x=π+2πn\), где \(n ϵ Z\).

Таблица синусов углов, вычислить синус угла

Она содержит рассчитанные значения синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов, начиная с 0° до 360°. Воспользовавшись таблицей тригонометрических функций, можно производить расчеты и без инженерного калькулятора. В таблице можно легко найти значение тригонометрических функций от заданного Вам угла.

Как известно, прямоугольный треугольник имеет три угла, два катета и гипотенузу. Отношения сторон выражаются некоторыми числами. Отношение величины противолежащего от острого угла катета к величине гипотенузы называется синусом угла.

Для того, чтобы найти синус заданного угла, достаточно просто воспользоваться таблицей тригонометрических функций. В данной таблице помещены величины синусов всех углов, начиная с 0° до 360°. При решении многих задач требуется найти величину стороны треугольника, если известны противолежащий угол и гипотенуза. Воспользовавшись таблицей, находим синус угла, а потом требуемую сторону. Онлайн калькулятор вам поможет быстро и правильно совершить необходимые расчеты. Для этого вам потребуется лишь внести исходные данные.

sin (1°)	0,017452
sin (2°)	0,034899
sin (3°)	0,052336
sin (4°)	0,069756
sin (5°)	0,087156
sin (6°)	0,104528
sin (7°)	0,121869
sin (8°)	0,139173
sin (9°)	0,156434
sin (10°)	0,173648
sin (11°)	0,190809
sin (12°)	0,207912
sin (13°)	0,224951
sin (14°)	0,241922
sin (15°)	0,258819
sin (16°)	0,275637
sin (17°)	0,292372
sin (18°)	0,309017
sin (19°)	0,325568
sin (20°)	0,342020
sin (21°)	0,358368
sin (22°)	0,374607
sin (23°)	0,390731
sin (24°)	0,406737
sin (25°)	0,422618
sin (26°)	0,438371
sin (27°)	0,453990
sin (28°)	0,469472
sin (29°)	0,484810
sin (30°)	0,5
sin (31°)	0,515038
sin (32°)	0,529919
sin (33°)	0,544639
sin (34°)	0,559193
sin (35°)	0,573576
sin (36°)	0,587785
sin (37°)	0,601815
sin (38°)	0,615661
sin (39°)	0,629320
sin (40°)	0,642788
sin (41°)	0,656059
sin (42°)	0,669131
sin (43°)	0,681998
sin (44°)	0,694658
sin (45°)	0,707107
sin (46°)	0,719340
sin (47°)	0,731354
sin (48°)	0,743145
sin (49°)	0,754710
sin (50°)	0,766044
sin (51°)	0,777146
sin (52°)	0,788011
sin (53°)	0,798636
sin (54°)	0,809017
sin (55°)	0,819152
sin (56°)	0,829038
sin (57°)	0,838671
sin (58°)	0,848048
sin (59°)	0,857167
sin (60°)	0,866025
sin (61°)	0,874620
sin (62°)	0,882948
sin (63°)	0,891007
sin (64°)	0,898794
sin (65°)	0,906308
sin (66°)	0,913545
sin (67°)	0,920505
sin (68°)	0,927184
sin (69°)	0,933580
sin (70°)	0,939693
sin (71°)	0,945519
sin (72°)	0,951057
sin (73°)	0,956305
sin (74°)	0,961262
sin (75°)	0,965926
sin (76°)	0,970296
sin (77°)	0,974370
sin (78°)	0,978148
sin (79°)	0,981627
sin (80°)	0,984808
sin (81°)	0,987688
sin (82°)	0,990268
sin (83°)	0,992546
sin (84°)	0,994522
sin (85°)	0,996195
sin (86°)	0,997564
sin (87°)	0,998630
sin (88°)	0,999391
sin (89°)	0,999848
sin (90°)	1

sin (91°)	0,999848
sin (92°)	0,999391
sin (93°)	0,998630
sin (94°)	0,997564
sin (95°)	0,996195
sin (96°)	0,994522
sin (97°)	0,992546
sin (98°)	0,990268
sin (99°)	0,987688
sin (100°)	0,984808
sin (101°)	0,981627
sin (102°)	0,978148
sin (103°)	0,974370
sin (104°)	0,970296
sin (105°)	0,965926
sin (106°)	0,961262
sin (107°)	0,956305
sin (108°)	0,951057
sin (109°)	0,945519
sin (110°)	0,939693
sin (111°)	0,933580
sin (112°)	0,927184
sin (113°)	0,920505
sin (114°)	0,913545
sin (115°)	0,906308
sin (116°)	0,898794
sin (117°)	0,891007
sin (118°)	0,882948
sin (119°)	0,874620
sin (120°)	0,866025
sin (121°)	0,857167
sin (122°)	0,848048
sin (123°)	0,838671
sin (124°)	0,829038
sin (125°)	0,819152
sin (126°)	0,809017
sin (127°)	0,798636
sin (128°)	0,788011
sin (129°)	0,777146
sin (130°)	0,766044
sin (131°)	0,754710
sin (132°)	0,743145
sin (133°)	0,731354
sin (134°)	0,719340
sin (135°)	0,707107
sin (136°)	0,694658
sin (137°)	0,681998
sin (138°)	0,669131
sin (139°)	0,656059
sin (140°)	0,642788
sin (141°)	0,629320
sin (142°)	0,615661
sin (143°)	0,601815
sin (144°)	0,587785
sin (145°)	0,573576
sin (146°)	0,559193
sin (147°)	0,544639
sin (148°)	0,529919
sin (149°)	0,515038
sin (150°)	0,5
sin (151°)	0,48481
sin (152°)	0,469472
sin (153°)	0,453990
sin (154°)	0,438371
sin (155°)	0,422618
sin (156°)	0,406737
sin (157°)	0,390731
sin (158°)	0,374607
sin (159°)	0,358368
sin (160°)	0,342020
sin (161°)	0,325568
sin (162°)	0,309017
sin (163°)	0,292372
sin (164°)	0,275637
sin (165°)	0,258819
sin (166°)	0,241922
sin (167°)	0,224951
sin (168°)	0,207912
sin (169°)	0,190809
sin (170°)	0,173648
sin (171°)	0,156434
sin (172°)	0,139173
sin (173°)	0,121869
sin (174°)	0,104528
sin (175°)	0,087156
sin (176°)	0,069756
sin (177°)	0,052336
sin (178°)	0,034899
sin (179°)	0,017452
sin (180°)	0

sin (181°)	-0,017452
sin (182°)	-0,034899
sin (183°)	-0,052336
sin (184°)	-0,069756
sin (185°)	-0,087156
sin (186°)	-0,104528
sin (187°)	-0,121869
sin (188°)	-0,139173
sin (189°)	-0,156434
sin (190°)	-0,173648
sin (191°)	-0,190809
sin (192°)	-0,207912
sin (193°)	-0,224951
sin (194°)	-0,241922
sin (195°)	-0,258819
sin (196°)	-0,275637
sin (197°)	-0,292372
sin (198°)	-0,309017
sin (199°)	-0,325568
sin (200°)	-0,342020
sin (201°)	-0,358368
sin (202°)	-0,374607
sin (203°)	-0,390731
sin (204°)	-0,406737
sin (205°)	-0,422618
sin (206°)	-0,438371
sin (207°)	-0,453990
sin (208°)	-0,469472
sin (209°)	-0,484810
sin (210°)	-0,5
sin (211°)	-0,515038
sin (212°)	-0,529919
sin (213°)	-0,544639
sin (214°)	-0,559193
sin (215°)	-0,573576
sin (216°)	-0,587785
sin (217°)	-0,601815
sin (218°)	-0,615661
sin (219°)	-0,629320
sin (220°)	-0,642788
sin (221°)	-0,656059
sin (222°)	-0,669131
sin (223°)	-0,681998
sin (224°)	-0,694658
sin (225°)	-0,707107
sin (226°)	-0,719340
sin (227°)	-0,731354
sin (228°)	-0,743145
sin (229°)	-0,754710
sin (230°)	-0,766044
sin (231°)	-0,777146
sin (232°)	-0,788011
sin (233°)	-0,798636
sin (234°)	-0,809017
sin (235°)	-0,819152
sin (236°)	-0,829038
sin (237°)	-0,838671
sin (238°)	-0,848048
sin (239°)	-0,857167
sin (240°)	-0,866025
sin (241°)	-0,874620
sin (242°)	-0,882948
sin (243°)	-0,891007
sin (244°)	-0,898794
sin (245°)	-0,906308
sin (246°)	-0,913545
sin (247°)	-0,920505
sin (248°)	-0,927184
sin (249°)	-0,933580
sin (250°)	-0,939693
sin (251°)	-0,945519
sin (252°)	-0,951057
sin (253°)	-0,956305
sin (254°)	-0,961262
sin (255°)	-0,965926
sin (256°)	-0,970296
sin (257°)	-0,974370
sin (258°)	-0,978148
sin (259°)	-0,981627
sin (260°)	-0,984808
sin (261°)	-0,987688
sin (262°)	-0,990268
sin (263°)	-0,992546
sin (264°)	-0,994522
sin (265°)	-0,996195
sin (266°)	-0,997564
sin (267°)	-0,998630
sin (268°)	-0,999391
sin (269°)	-0,999848
sin (270°)	-1

sin (271°)	-0,999848
sin (272°)	-0,999391
sin (273°)	-0,998630
sin (274°)	-0,997564
sin (275°)	-0,996195
sin (276°)	-0,994522
sin (277°)	-0,992546
sin (278°)	-0,990268
sin (279°)	-0,987688
sin (280°)	-0,984808
sin (281°)	-0,981627
sin (282°)	-0,978148
sin (283°)	-0,974370
sin (284°)	-0,970296
sin (285°)	-0,965926
sin (286°)	-0,961262
sin (287°)	-0,956305
sin (288°)	-0,951057
sin (289°)	-0,945519
sin (290°)	-0,939693
sin (291°)	-0,933580
sin (292°)	-0,927184
sin (293°)	-0,920505
sin (294°)	-0,913545
sin (295°)	-0,906308
sin (296°)	-0,898794
sin (297°)	-0,891007
sin (298°)	-0,882948
sin (299°)	-0,874620
sin (300°)	-0,866025
sin (301°)	-0,857167
sin (302°)	-0,848048
sin (303°)	-0,838671
sin (304°)	-0,829038
sin (305°)	-0,819152
sin (306°)	-0,809017
sin (307°)	-0,798636
sin (308°)	-0,788011
sin (309°)	-0,777146
sin (310°)	-0,766044
sin (311°)	-0,754710
sin (312°)	-0,743145
sin (313°)	-0,731354
sin (314°)	-0,719340
sin (315°)	-0,707107
sin (316°)	-0,694658
sin (317°)	-0,681998
sin (318°)	-0,669131
sin (319°)	-0,656059
sin (320°)	-0,642788
sin (321°)	-0,629320
sin (322°)	-0,615661
sin (323°)	-0,601815
sin (324°)	-0,587785
sin (325°)	-0,573576
sin (326°)	-0,559193
sin (327°)	-0,544639
sin (328°)	-0,529919
sin (329°)	-0,515038
sin (330°)	-0,5
sin (331°)	-0,484810
sin (332°)	-0,469472
sin (333°)	-0,453990
sin (334°)	-0,438371
sin (335°)	-0,422618
sin (336°)	-0,406737
sin (337°)	-0,390731
sin (338°)	-0,374607
sin (339°)	-0,358368
sin (340°)	-0,342020
sin (341°)	-0,325568
sin (342°)	-0,309017
sin (343°)	-0,292372
sin (344°)	-0,275637
sin (345°)	-0,258819
sin (346°)	-0,241922
sin (347°)	-0,224951
sin (348°)	-0,207912
sin (349°)	-0,190809
sin (350°)	-0,173648
sin (351°)	-0,156434
sin (352°)	-0,139173
sin (353°)	-0,121869
sin (354°)	-0,104528
sin (355°)	-0,087156
sin (356°)	-0,069756
sin (357°)	-0,052336
sin (358°)	-0,034899
sin (359°)	-0,017452
sin (360°)	0

Таблица основных значений синусов косинусов тангенсов котангенсов – Telegraph

Таблица основных значений синусов косинусов тангенсов котангенсов

Таблицы значений тригонометрических функций.

=== Скачать файл ===

Тригонометрическая таблица

Таблица Брадиса: синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы

К этой теме имеются дополнительные материалы в Особом разделе Для тех, кто сильно ‘не очень Прежде всего напомню простой, но очень полезный вывод из урока ‘Что такое синус и косинус? Что такое тангенс и котангенс? Синус, косинус, тангенс и котангенс накрепко связаны со своими углами. Знаем одно — значит, знаем и другое. Другими словами, у каждого угла есть свой неизменный синус и косинус. И почти у каждого — свой тангенс и котангенс. Это знание здорово помогает в учёбе! Существует масса заданий, где требуется перейти от синусов к углам и наоборот. Для этого существует таблица синусов. Аналогично, для заданий с косинусом — таблица косинусов. И, как вы уже догадались, существует таблица тангенсов и таблица котангенсов. Раскрываем таблицы Брадиса, ищем угол тридцать семь градусов шесть минут и видим значение 0, Понятное дело, запоминать это число и тысячи других табличных значений совершенно не требуется. В сущности, в наше время длинные таблицы косинусов синусов тангенсов котангенсов не особо-то и нужны. Один хороший калькулятор заменяет их полностью. Но знать о существовании таких таблиц не мешает. Среди бесконечного количества углов существуют особые, о которых вы должны знать всё. На этих углах построена вся школьная геометрия и тригонометрия. Это, своего рода, ‘таблица умножения’ тригонометрии. Таких особых углов тоже прилично набирается. Школьные учебники обычно любезно предлагают к запоминанию таблицу синусов и таблицу косинусов для семнадцати углов. Ну и, разумеется, таблицу тангенсов и таблицу котангенсов для тех же семнадцати углов Которые, между прочим, очень похожи между собой, то и дело повторяются и меняют знаки. Для человека без идеальной зрительной памяти — та ещё задачка Мы пойдём другим путём. Заменим механическое запоминание на логику и смекалку. Тогда нам придётся зазубрить 3 три! Шесть значений запомнить легче, чем 68, мне кажется Все остальные необходимые значения мы будем получать из этих шести с помощью мощной законной шпаргалки — тригонометрического круга. Если вы не изучали эту тему, сходите по ссылочке, не ленитесь. Этот круг не только для этого урока нужен. Он незаменим для всей тригонометрии сразу. Не пользоваться таким инструментом просто грех! Все 68 значений для разнообразных углов. Рассмотрим первую группа углов из семнадцати особых. Желающие запомнить — запоминайте. Но сразу скажу, что все эти единички и нолики очень путаются в голове. Гораздо сильнее, чем хочется. Поэтому включаем логику и тригонометрический круг. Рисуем круг и отмечаем на нём эти самые углы: Я эти углы отметил красными точками:. Сразу видно, в чём особенность этих углов. Это углы, которые попадают точно на оси координат! Собственно, поэтому-то и путается народ Но мы путаться не будем. Разберёмся, как находить тригонометрические функции этих углов без особого запоминания. Кстати, положение угла в 0 градусов полностью совпадает с положением угла в градусов. Это значит, что синусы, косинусы, тангенсы у этих углов совершенно одинаковы. Угол в градусов я отметил, чтобы замкнуть круг. Предположим, в сложной стрессовой обстановке ЕГЭ вы как-то засомневались Чему равен синус 0 градусов? Механическое запоминание такая штука. В суровых условиях сомнения грызть начинают Я подскажу вам практический приём, который выдаст стопроцентно правильный ответ и начисто уберёт все сомнения. В качестве примера разберёмся, как чётко и надёжно определить, скажем, синус 0 градусов. А заодно, и косинус 0. Именно в этих значениях, как ни странно, частенько люди путаются. Для этого на круге нарисуем произвольный угол х. В первой четверти, чтобы недалеко от 0 градусов было. Отметим на осях синус и косинус этого угла х, всё чин-чинарём. А теперь — внимание! Уменьшим угол х , приблизим подвижную сторону к оси ОХ. Наведите курсор на картинку или коснитесь картинки на планшете и всё увидите. Теперь включаем элементарную логику!. При приближении угла к нулю? А cosx — увеличивается! Остаётся сообразить, что станет с синусом, когда угол схлопнется совсем? Когда подвижная сторона угла точка А уляжется на ось ОХ и угол станет равным нулю? Очевидно, и синус угла уйдёт в ноль. А косинус увеличится до Чему равна длина подвижной стороны угла радиус тригонометрического круга? Синус 0 градусов равен 0. Косинус 0 градусов равен 1. Совершенно железно и безо всяких сомнений! Просто потому, что иначе быть не может. Совершенно аналогично можно узнать или уточнить синус градусов, например. Нарисовать круг, произвольный угол в четверти рядышком с интересующей нас осью координат, мысленно подвигать сторону угла и уловить, чем станет синус и косинус, когда сторона угла уляжется на ось. Как видите, для этой группы углов ничего заучивать не надо. Не нужна здесь таблица синусов Да и таблица косинусов — тоже. Кстати, после нескольких применений тригонометрического круга все эти значения запомнятся сами по себе. А если забудутся — нарисовал за 5 секунд круг и уточнил. Куда проще, чем звонить другу из туалета с риском для аттестата, правда? Что касается тангенса и котангенса — всё то же самое. Рисуем на круге линию тангенса котангенса — и всё сразу видно. Где они равны нулю, а где — не существуют. Что, не знаете про линии тангенса и котангенса? Это печально, но поправимо. Посетили Раздел Тангенс и котангенс на тригонометрическом круге — и нет проблем! Если вы поняли, как чётко определить синус, косинус, тангенс и котангенс для этих пяти углов — я вас поздравляю! На всякий случай сообщаю, что вы теперь можете определять функции любых углов, попадающих на оси. Но, как раз, с отсчётом углов и случаются проблемы да ошибки Как их избежать, написано в уроке: Как нарисовать отсчитать любой угол на тригонометрическом круге в градусах. Элементарно, но очень помогает в борьбе с ошибками. Как нарисовать отсчитать любой угол на тригонометрическом круге в радианах — покруче будет. Скажем, определить на какую из четырёх полуосей попадает угол. Именно за пару секунд. Ну конечно, не только ‘пи’ И , и 16, и Любой целый коэффициент годится для мгновенного ответа. Верный ответ получается секунд за Для любого дробного значения радианов с двойкой в знаменателе. Собственно, этим и хорош тригонометрический круг. Тем, что умение работать с некоторыми углами он автоматически расширяет на бесконечное множество углов. Почему именно эти, а не, к примеру, 20, 50 и 80? Да как-то сложилось так Дальше будет видно, чем хороши эти углы. Чтобы было видно, что эти углы лежат в первой четверти и возрастают. От 0 до Это пригодится нам дальше. Но и здесь есть возможность облегчить себе жизнь. Обратите внимание на значения таблицы синусов этих углов. И сравните со значениями таблицы косинусов Они одни и те же! Только расположены в обратном порядке. Углы возрастают 0, 30, 45, 60, 90 — и значения синуса возрастают от 0 до 1. Можете убедиться с калькулятором. А значения косинуса — убывают от 1 до нуля. Причём, сами значения одни и те же. Для углов 20, 50, 80 так бы не получилось Достаточно выучить три значения для углов 30, 45, 60 градусов. И помнить, что у синуса они возрастают, а у косинуса — убывают. А дальше опять расходятся Три значения можно выучить, правда? С тангенсами — котангенсами картина исключительно та же самая. Эти значения ещё три! Ну вот, практически всё запоминание и закончилось. Вы поняли надеюсь , как определять значения для пяти углов попадающих на оси и выучили значения для углов 30, 45, 60 градусов. Для этих углов надо железно знать таблицу синусов, таблицу косинусов и т. Самое забавное, что знать это всё — невозможно в принципе. Если использовать механическую память. И очень легко, фактически элементарно — если использовать тригонометрический круг. Если вы освоите практическую работу с тригонометрическим кругом, все эти ужасные углы в градусах будут легко и элегантно сводиться к старым добрым:. Плюс к тому, умение рисовать углы на круге позволяет элементарно разобраться с последней, третьей группой углов. Как и таблица тангенсов-котангенсов. Все тайны последней, третьей группы особенных углов и секреты уверенной работы с ними — в следующем уроке. Перевод градусов в радианы и обратно. Вот здесь можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом! А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными. Hовое на сайте В разделе Решение задач на формулу n-го члена. Основа для решения заданий. Способы решения, приёмы упрощения, ловушки в заданиях. Что такое математическая модель? Как решать дробные уравнения? Содержание сайта Раздел 1. Таблица тангенсов и котангенсов. И зачем тогда этот урок?! Для начала разобьём все эти особые углы на три группы. Вот так выглядит таблица синусов косинусов тангенсов котангенсов для этих углов: Угол х в градусах. Копирование материалов разрешается только при указании работающей ссылки на этот сайт. Иное использование материалов допускается с разрешения автора. Нарушение авторских прав влечёт за собой административную и уголовную ответственность в соответствии с законодательством Российской Федерации.

Мичуринск сочи расписание поездов

Вязание пледа из остатков пряжи

Инструкция по охране труда для работников офиса

Сколько выдерживать вино на дубовой щепе

Карта троллейбусов екатеринбург

Как наказать девушку за непослушание

Войны после второй мировой войны таблица

Геосибирь 2015 сборник статей

Древняя история ставрополя

55 грамм это сколько столовых ложек

Расписание занятий пашковский колледж

Потеря тяги двигателя причины

Стихи с днем свадьбы годовщина

Где можно отдохнуть в минске недорого

Winter balls enabled перевод

Заявление о доступе к личному кабинету налогоплательщика

Шапка для новорожденного крючком схема и описание

Разобрать слова по составу смелость

Сколько калорий в салате с пекинской капустой

Новости руки вверх

Что такое синус, косинус и тангенс?

Знаете ли вы, что сказали друг другу два угла, живущие внутри одного и того же прямоугольного треугольника? Первый ракурс звучит так: «Эй, Тельма (или это Тета?), я не хочу отклоняться от темы, но какой у тебя синус?» На что второй угол отвечает: «Фил (или это Фи?), я не знаю, почему ты вообще спрашиваешь, мой синус, очевидно, совпадает с твоим косинусом!»

Ладно, возможно, это не самая лучшая шутка в мире, но как только вы понимаете синусы и косинусы, это довольно забавно. Конечно, это означает, что если вы не не знаешь разницы между синусом и косинусом, ты в настоящее время остаешься в метафорическом холоде.

Очевидно, мы не можем этого допустить — и не позволим! Потому что сегодня мы узнаем все о синусе, косинусе и тангенсе.

Резюме: тригонометрия и треугольники

Когда мы говорили о мире тригонометрии, мы узнали, что часть математики, называемая тригонометрией, имеет дело с треугольниками. И, в частности, это та часть математики, которая занимается выяснением отношений между тремя сторонами и тремя углами, составляющими каждый треугольник.

Особый интерес для нас представляет особый тип треугольников, известный как прямоугольные треугольники. У каждого прямоугольного треугольника есть один угол в 90 градусов (например, угол квадрата или прямоугольника) и два угла, каждый из которых находится в диапазоне от большего, чем 0 градусов, до меньшего, чем 90 градусов (при этом, как мы поговорим в будущем, сумма всех трех углов равна 180 градусов).

Для нашего обсуждения синуса, косинуса и тангенса (которые, не волнуйтесь, не так сложны, как кажутся), важно, чтобы у нас был способ обозначать стороны прямоугольных треугольников.

Как мы узнали в прошлый раз, самая длинная сторона треугольника называется его «гипотенуза». Сторона, противоположная углу, на который мы смотрим, известна как «противоположная» сторона (логически). А сторона, примыкающая к углу, на который мы смотрим (та, которая не является гипотенузой), известна как «прилегающая» сторона.

Синус, косинус и тангенс

Теперь, когда все эти предварительные сведения счастливо плещутся в нашем растущем бассейне математических знаний, мы, наконец, готовы разобраться со значением синуса, косинуса и тангенса. Вот ключевая идея:

Отношения сторон прямоугольного треугольника полностью определяются его углами.

Отношения сторон прямоугольного треугольника полностью определяются его углами.

Другими словами, значение, которое вы получаете, когда делите длины любых двух сторон прямоугольного треугольника — скажем, длину стороны, противолежащей одному из его углов, деленную на его гипотенузу, — полностью высечено в камне, как только углы высечены в камне.

Почему? Что ж, если углы фиксированы, увеличение или уменьшение треугольника не влияет на относительную длину его сторон. Но изменение углов треугольника, даже незначительное, имеет значение! Если вам нужно какое-то убеждение, попробуйте нарисовать несколько треугольников самостоятельно, и вы убедитесь, что это действительно так.

Тот факт, что у треугольника три стороны, означает, что существуют также три возможных отношения длин сторон треугольника. И, как вы уже могли догадаться, эти три отношения есть не что иное, как знаменитые тригонометрические функции синуса, косинуса и тангенса.

Что такое SOH-CAH-TOA?

Синус одного из углов прямоугольного треугольника (часто сокращенно «sin») — это отношение длины стороны треугольника, противоположной углу, к длине гипотенузы треугольника. Косинус (часто сокращенно «cos») — это отношение длины стороны, примыкающей к углу, к длине гипотенузы. А тангенс (часто сокращенно «тан») — это отношение длины стороны, противоположной углу, к длине стороны, примыкающей.

Поскольку это слишком сложно для запоминания, добрые люди на протяжении веков придумали удобную мнемонику, которая поможет вам (и бесчисленным поколениям детей в школе) разобраться. Все, что вам нужно помнить, это SOH-CAH-TOA. Другими словами:

SOH → sin = «противоположное» / «гипотенуза»
CAH → cos = «прилегающий» / «гипотенуза»
TOA → tan = «противоположный» / «соседний»

Тригонометрия в реальном мире

Вам может быть интересно, как тригонометрия применима в реальной жизни. Как вы будете использовать синус, косинус и тангенс вне классной комнаты и почему это важно?

Есть несколько карьерных путей, которые приводят к постоянному использованию этих уравнений. Например, предположим, что вы звукорежиссер, работающий над созданием нового альбома популярного исполнителя. Вы знаете, что звук распространяется волнами, и инженеры могут манипулировать этими волнами (измеряя и применяя тригонометрию) для создания различных компьютерных звуков.

Что делать, если вы архитектор, которому нужно знать высоту существующего здания в районе, который вам назначен? Вы можете использовать расстояние от здания и угол возвышения, чтобы определить высоту. Вы даже можете использовать триггер, чтобы определить, под каким углом солнце будет светить в здание или комнату.

Строители также используют синус, косинус и тангенс таким же образом. Им необходимо измерить размеры участков, углы крыши, высоту стен и ширину пола и многое другое.

Криминалисты используют тригонометрию для определения углов траектории пули, причины аварии или направления упавшего предмета.

А как насчет места преступления? Следователи могут использовать тригонометрию для определения углов траектории пули, причины аварии или направления упавшего предмета.

НАСА использует синус, косинус и тангенс. Его физики и астронавты часто используют роботизированные руки для выполнения заданий в космосе и используют тригонометрию, чтобы определить, куда и как двигать руку для выполнения своей задачи.

Думаете об изучении морской биологии? В этой карьере синус, косинус и тангенс иногда используются для определения размеров крупных морских существ на расстоянии, а также для расчета уровней освещенности на определенных глубинах, чтобы увидеть, как они влияют на фотосинтез.

Есть десятки профессий, которые используют тригонометрию в своих повседневных задачах. Таким образом, вы можете перестать говорить что-то вроде: «Я никогда не буду использовать тригонометрию в настоящий мир ».

Что дальше?

Хотя все эти разговоры об углах и сторонах прямоугольных треугольников и их соответствии друг другу посредством красоты и великолепия тригонометрии действительно прекрасны, они могут заставить вас немного задуматься о том, «Почему?» «Какая?» и когда?» всего этого. Под этим я подразумеваю:

Почему именно это полезно в реальном мире?
Для чего нужны кнопки sin, cos и tan на моем калькуляторе? (И как они работают?)
Когда мне действительно может понадобиться вычислить синус или косинус?

Очевидно, это очень важные (и очень разумные) вопросы. И это также очень важные вопросы, на которые нужно ответить. Именно за эту задачу мы и начнем браться в следующий раз.

Синус, косинус и тангенс — объяснение, таблица, примеры решений и часто задаваемые вопросы треугольника к отношениям длин двух сторон. Обратными величинами синуса, косинуса и тангенса являются секанс, косеканс и котангенс соответственно. Каждая из шести тригонометрических функций имеет соответствующие обратные функции (также известные как обратные тригонометрические функции). Тригонометрические функции, также известные как круговые функции, угловые функции или гониометрические функции, широко используются во всех областях науки, связанных с геометрией, таких как навигация, небесная механика, механика твердого тела и т. д.

Прочтите ниже, чтобы узнать, что такое функция синуса, функция косинуса и функция тангенса.

Синус Косинус Тангенс Определение

Прямоугольный треугольник включает один угол в 90 градусов и два острых угла. Каждый острый угол прямоугольного треугольника сохраняет свойство синуса косинуса тангенса. Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника определяются как отношение двух из трех сторон прямоугольного треугольника.

Как мы знаем, синус, косинус и тангенс основаны на прямоугольном треугольнике, было бы полезно дать имена каждому из треугольников, чтобы избежать путаницы.

(Изображение будет загружено в ближайшее время)

«Сторона гипотенузы» — самая длинная сторона.
«Смежная сторона» — это сторона, следующая за углом θ.
«Противоположная сторона» — сторона, противоположная углу θ.

Соответственно,

Sin θ = Противоположная сторона/Гипотенуза

Cos θ = Прилегающая/Гипотенуза

Tan θ = Противоположная/Прилегающая

Что такое функция синуса?

В прямоугольном треугольнике функция синуса определяется как отношение длины противоположной стороны к длине стороны гипотенузы.

Sin θ = противолежащая сторона/сторона гипотенузы.

(Изображение будет загружено в ближайшее время)

Например, функция синуса треугольника ABC с углом θ выражается как:

Sin θ = a/c

Что такое функция косинуса?

В прямоугольном треугольнике функция косинуса определяется как отношение длины прилежащей стороны к длине стороны гипотенузы.

Cos θ = смежная сторона/сторона гипотенузы

Пример:

Учитывая рисунок, приведенный выше, функция косинуса треугольника ABC с углом θ выражается как:

Cos θ = b/c

Что такое функция касательной?

В прямоугольном треугольнике функция касательной определяется как отношение длины противоположной стороны к длине прилежащей стороны.

Tan θ = Противоположная сторона/Смежная сторона

Пример:

Учитывая рисунок, приведенный выше, функция косинуса треугольника ABC с углом θ выражается как:

Tan θ = a/b

Синус Косинус Тангенс Таблица

Значения тригонометрических соотношений, таких как синус, косинус и тангенс, для некоторых стандартных углов, таких как 0°, 30°, 45°, 60° и 90 ° можно легко определить с помощью таблицы синус-косинус-тангенса, приведенной ниже. Эти значения очень важны для решения тригонометрических задач. Следовательно, важно знать значения тригонометрических отношений этих стандартных углов.

Приведенная ниже таблица синусов, косинусов и тангенсов включает значения стандартных углов, таких как 0°, 30°, 45°, 60° и 90°.

Углы в градусах	0°	30°	45°	60°	90°
Sin	0	1/2	1/√2	√3/2	1
Cos	1	√3/2	1/√2	1/2	0
Tan	0	1/√3	1	√3	Not Defined

Знаете ли вы?

Синус и косинус были введены Арьябхаттой, тогда как функция тангенса была введена Мухаммадом ибн Мусой аль-Хорезми (782 г. н.э. — 850 г. н.э.).
Формулы синуса, косинуса и тангенса можно легко выучить с помощью SOHCATOA. Поскольку синус — это сторона, противоположная стороне гипотенузы, косинус — сторона, примыкающая к стороне гипотенузы, а тангенс — сторона, противоположная стороне, примыкающей к стороне.

Решенные примеры:

1. Найдите Cos θ относительно следующего треугольника.

Ответ: Чтобы найти Cos θ, нам нужны и прилежащая сторона, и гипотенуза.

(Изображение будет загружено в ближайшее время)

Прилегающая сторона в приведенном выше треугольнике равна BC = 8 см

Но сторона гипотенузы, т.е. AC, не указана.

Чтобы найти сторону гипотенузы, воспользуемся теоремой Пифагора

AC² = AB² + BC² = 6² + 8² = 1000003

Cos θ = Adjacent/Hypotenuse = 8/10

= 4/5

Следовательно, Cos θ = 4/5

2. Найдите значение

Решение. Используя приведенную выше тригонометрическую таблицу, имеем:

Sin 45° = 1/√2

Cos 60° = 1/2

Tan 45° = 1

Чему равны синус, косинус и касательная?

Решение треугольников

Purplemath

Прямоугольные треугольники красивы и аккуратны, хорошо себя ведут, их длины сторон подчиняются теореме Пифагора; а именно, для любого прямоугольного треугольника длины его сторон a , b и c , где c — самая длинная из трех сторон, всегда верно, что a ² +; b ² = c ² .

Для любых двух прямоугольных треугольников, у которых меры (то есть размеры) двух других (то есть непрямых) углов одинаковы, говорят, что они «подобны», в техническом смысле, что их соответствующие стороны в пропорции.

Содержание продолжается ниже

MathHelp.com

Основные тригонометрические отношения

Например, следующие два треугольника (, а не , нарисованные в масштабе) имеют все одинаковые углы, поэтому они подобны, и, следовательно, соответствующие пары их сторон пропорциональны :

Когда мы говорим, что «соответствующие пары длин их сторон пропорциональны», мы имеем в виду, что мы можем создавать дроби, взяв длину стороны одного из подобных треугольников (скажем, большего, в данном случае ) и разделите его на длину соответствующей стороны другого подобного треугольника (в данном случае на меньшую). Выполнив это деление, мы обнаружим, что каждая из этих дробей приводит к одному и тому же значению для данной пары подобных треугольников.

Для приведенной выше пары подобных треугольников, сначала составив дробь из пары длин сторон гипотенузы (длина гипотенузы большего треугольника делится на длину гипотенузы меньшего треугольника), пары длин сторон основания и линии высоты пары, мы всегда получаем одно и то же значение 2, как показано ниже:

отношения соответствующих сторон: 10/5 = 8/4 = 6/3 = 2

другое значение обыкновенного отношения. Значение не так важно, как тот факт, что все дроби будут равны, что является свойством подобных треугольников.)

Мы также можем составить отношения, разделив одну сторону одного из подобных треугольников на одну из двух других сторон того же самого треугольника. Когда мы используем те же стороны в том же порядке, чтобы сформировать соответствующее отношение для другого из подобных треугольников, две дроби уменьшатся до одного и того же значения. Для наших двух треугольников выше (и снова используя значения большего треугольника в качестве наших числителей и деля на значения меньшего треугольника), мы получаем:

отношение гипотенузы к основанию: 10/8 = 5/4 = 1,25

отношение гипотенузы к высоте: 10/6 = 5/3 = 1,666…

отношение высоты к основанию: 6/8 = 3/4 = 0,75

Конечно, мы могли бы произвести деление и в другом порядке; это дает нам величины, обратные предыдущим отношениям, но дело в том, что совпадающие деления по-прежнему имеют соответствующие значения отношения:

отношение основания к гипотенузе: 8/10 = 4/5 = 0,8

отношение высоты к гипотенузе : 6/10 = 3/5 = 0,6

отношение основания к высоте: 8/6 = 4/3 = 1,333…

Полученные дроби обратны предыдущим значениям, но суть здесь заключается в том, что отношения двух треугольников все еще совпадают. Это также показывает, что на самом деле существует шести отношений пар сторон, которые мы можем составить для любых двух заданных подобных треугольников, и их значения будут согласованы.

Шесть соотношений совпадают не только для этих двух подобных треугольников, но и для любых и всех прямоугольных треугольников, подобных этим двум. Чтобы проиллюстрировать это, я вложил два треугольника выше, перекрывая их под углом основания; затем я продлил (вправо) линии основания и гипотенузы. Затем я провел несколько вертикальных (темно-зеленых) линий от линии гипотенузы до базовой линии, получив изображение ниже:

Вертикальные линии — это линии высот (или высот) лишь нескольких из бесконечно многих подобных прямоугольных треугольников, которые можно составить из одного угла при основании. Подобным треугольникам, имеющим один и тот же угол при основании, буквально нет конца. И каждый из них будет иметь одинаковые значения соотношения.

Где-то в четвертом или пятом веке нашей эры кто-то очень умный, живший в Индии или ее окрестностях, заметил эту согласованность в пропорциях сходных прямоугольных треугольников (то есть согласованность значений шести различных отношений прямоугольных треугольников, разделяющих одинаковый размер основного угла) и начал работать над таблицами отношений, соответствующих этим основным углам. Был бы один набор отношений для угла в один градус во всех 1-89.-90 треугольников, другой набор соотношений для угла в два градуса во всех треугольниках 2-88-90 и так далее. Эти соотношения называются «тригонометрическими» соотношениями прямоугольного треугольника.

Эти таблицы значений отношений очень длинные, отчасти потому, что они также включают значения для многих углов с размерами между целыми числами градусов; и занять некоторое время, чтобы использовать. В зависимости от того, насколько точным должен быть ваш ответ для инструктора (или приложения на рабочем месте), вы можете просмотреть более двадцати страниц триггерных таблиц (например, в этой книге) и 9 страниц.0005 все еще нужно использовать интерполяцию или различные формулы, чтобы получить числа, которые вам действительно нужны.

Зачем им нужны были эти триггерные таблицы? Потому что вычисления, необходимые для получения этих значений (вручную), длинные и сложные. (Обсуждение в Quora) Работа с распечатанными таблицами, возможно, в конце учебника или в карманном справочном руководстве, была единственным практическим способом выполнения тригонометрии до того, как электронные калькуляторы стали широко доступны. (Некоторые люди все еще используют карманные ссылки на работе, «в реальной жизни», даже сейчас, как показано здесь.)

Профессор колледжа, который у меня был на занятиях по тригонометрии, однажды даже упомянул, что в прошлом экзамены по тригонометрии должны были быть очень короткими, чтобы у студентов было все время, которое они должны были бы тратить на механический процесс таблицы. поиск значения. Так что очень радуйтесь, что у вас всегда есть калькулятор в кармане в виде смартфона. Откройте приложение-калькулятор, поверните телефон на бок и просто посмотрите на все причудливые вещи, которые вы можете сделать! Но экзамены по тригонометрии, как заметил профессор Горовара с огоньком в глазах, в наши дни могут быть намного длиннее, так что… смешанная ситуация, я полагаю?

Дан прямоугольный треугольник с углом при основании, обозначенным как θ («THAY-tuh»), мы можем обозначить гипотенузу (всегда сторона, противоположная прямому углу), а затем обозначить две другие стороны «относительно θ» ( то есть по отношению к базовому углу θ, с которым мы работаем), в том числе и для значений между целыми числами градусов.

Сторона, противолежащая углу θ, является «противоположной» стороной, а другая сторона, являющаяся основанием, является «прилегающей» стороной.

Теперь рассмотрим другой непрямой угол того же треугольника; а именно, угол в правом верхнем углу треугольника. Мы назовем его β («БАЙ-тьфу»). Что касается угла β, стороны будут обозначены по-разному. Основание теперь будет «противоположной» стороной, а линия высоты будет «примыкающей» стороной, как показано ниже:

Как видите, метки «противоположная» и «примыкающая» относятся к рассматриваемому углу. . Если вы переключитесь на другой угол (это не правильный угол), метки ног тоже будут переключены.

Давайте вернемся к первой маркировке, которую мы рассмотрели, с использованием угла θ в левом нижнем углу:

Вместо того, чтобы бросать вам все сразу, давайте пойдем шаг за шагом.

У этого прямоугольного треугольника три стороны; а именно, гипотенуза, линия высоты (сторона, противоположная углу) и основание внизу (сторона, прилегающая к углу). Есть шесть способов составить отношения трех сторон этого треугольника. В следующих таблицах я буду сокращать названия от «гипотенуза», «смежный» и «противоположный» до «hyp», «adj» и «opp» соответственно. В приведенных ниже таблицах показаны шесть коэффициентов в центральных столбцах.

Соотношения в строках одного цвета каждой таблицы обратны друг другу. Например, соотношение в розовой строке в первой таблице — это «adj/hyp», а соотношение в розовой строке во второй таблице — это его обратная дробь «hyp/adj».

Каждое из этих соотношений имеет формальное название. Эти имена были добавлены в левые столбцы таблиц ниже:

Каждое из названий этих соотношений имеет сокращенное обозначение, которое включает указание угла, с которым вы работаете, с использованием обозначения функции, как показано на правые столбцы заполненных таблиц ниже:

Отношения синуса, косинуса и тангенса являются «обычными» триггерными отношениями; косеканс, секанс и котангенс — их соответствующие обратные отношения (то есть значения перевернутых дробей для «правильных» отношений).

Между прочим, нет требования, чтобы греческие буквы использовались в качестве аргумента (то есть ввода) триггерной функции. Например, вполне нормально использовать x , если хотите.

Что означает SOH-CAH-TOA?

Многие учащиеся используют мнемонику «SOH-CAH-TOA» (произносится как «SOH-kuh-TOH-uh»), чтобы запомнить, как составлять соотношения для синуса, косинуса и тангенса прямоугольного треугольника. Буквы в этой мнемонике означают:

S ine is O pposite over H ypotenuse
C озин is A djacent over H ypotenuse
T угол O напротив А дальний

Как соотносятся косинус, -секанс и -тангенс?

Если два отношения имеют одно и то же имя, кроме «ко-» в начале одного из них, пара называется «ко-функциями». Пары кофункций связаны по форме их графиков; график каждой кофункции имеет ту же форму, что и исходная функция, за исключением того, что он был переведен или преобразован (то есть кроме того, что он был перемещен вбок или немного перевернут).

В частности, косинус выглядит точно так же, как и синус, но немного смещен влево; косеканс — сдвиг секущей влево; котангенс — это тангенс после переворачивания его вверх дном и последующего сдвига результата немного влево.

(Примечание: пропорции не получали своих нынешних европейских названий до XII века или около того, в результате того, что европейцы допустили некоторые ошибки при переводе арабских текстов. История тригонометрии довольно запутана. [источник])

URL: https://www.purplemath.com/modules/basirati.htm

Page 2

Формула синуса, косинуса, тангенса — GeeksforGeeks

Тригонометрия — это раздел математики, который связывает длину стороны с углом прямоугольного треугольника. Тригонометрия имеет дело с некоторыми специфическими функциями углов и их приложениями. Тригонометрия является важной частью математики. Тригонометрия имеет различные формулы, которые используются в разных областях. Эта статья посвящена самым основам тригонометрии, то есть функциям синуса, косинуса и тангенса, а также их формуле и объяснению. Эти тригонометрические функции имеют формулы, которые легко понять и применить. Эти формулы тригонометрических функций получены из сторон прямоугольного треугольника.

Треугольник, один из углов которого равен 90°, называется прямоугольным. У него есть стороны, называемые основанием, перпендикуляром (высотой) и гипотенузой. Прямоугольный треугольник следует теореме Пифагора.

Основание: Сторона, содержащая угол, называется основанием треугольника.
Перпендикуляр (высота): Сторона, образующая 90° с основанием, называется перпендикуляром или высотой треугольника.
Гипотенуза: Самая длинная сторона треугольника называется гипотенузой треугольника.

Что такое тригонометрические функции?

Тригонометрические функции также называются тригонометрическими отношениями. Существуют три основные и важные тригонометрические функции: синус, косинус и тангенс.

Тригонометрическая функция синуса записывается как sin , косинус как cos, и тангенс как tan в тригонометрии.
Есть еще три тригонометрические функции: cosec , sec и cot, которые являются обратными sin , cos , и tan .
Эти функции можно вычислить для прямоугольного треугольника.

Пусть прямоугольный треугольник с основанием b, перпендикуляром p и гипотенузой h образует с основанием угол θ. Тогда тригонометрические функции задаются следующим образом:

Тригонометрические функции	Формула тригонометрических функций
SIN θ	SINuCLICLICLAIL h)
cos θ	cosθ = base/hypotenuse cosθ = b / h or θ = cos ^-1 ( b / h)
tan θ = sin θ/cos θ	tanθ = perpendicular/base tanθ = p / b or θ = tan ^-1 ( p / b)
cosecθ = 1 /sin θ	cosecθ = гипотенуза /перпендикулярный secθ = гипотенуза / основание secθ = h / b или θ = sec ^-1 (h / b)
cotθ = 1/tan θ	cotθ = base/perpendicular cotθ = b / p or θ = cot ^-1( b / P)

θ	0°	30°	45°	60°	90°
sin	0	1/2	1/√2	√ 3/2	1
cos	1	√3/2	1/√2	1/2	0
tan	0	1/√3	1	√3	∞
косек	∞	2	√2	2/√3	1
sec	1	2/√3	√2	2	∞
cot	∞	√3	1	1/√3	0

.0566	Признак COSEC	СИНКА SEC	СИНКА КОМПЕР
0 °
0 °
0 °.	+ (положительный)	+ (положительный)	+ (положительный)	+ (положительный)	+ (положительный) 9018 2	+ (положительный) 9018 2	+ (положитель0179 90° to 180°	2 ^nd quadrant	+ (positive)	– (negative)	– (negative)	+ (positive)	– (negative)	– (negative)
180° to 270°	3 ^rd quadrant	– (negative)	– (negative)	+ (positive)	– (negative)	– (negative)	+ (positive)
270° to 360°	4 ^th Quadrant	— (отрицательный)	+ (положительный)	— (отрицательный)	— (отрицательный)	+ (положительный

Сокращение для тригонометрических функций Формула 8 производить красота
Запомнить
6
. 0178
У некоторых людей sinθ (некоторые) = перпендикуляр(люди)/гипотенуза(имеют)
вьющиеся черные волосы cosθ (кудрявый)= основание(черный)/гипотенуза(волосы)
tanθ (к) = перпендикуляр (производство)/основание (красота)
Тригонометрические функции для некоторых основных углов
В тригонометрии у нас есть основные углы 0°, 30°, 45°, 60°, и 90°. В таблице ниже приведены значения тригонометрических функций для основных углов:
θ 0° 30° 45° 60° 90°
sin 0 1/2 1/√2 √ 3/2 1
cos 1 √3/2 1/√2 1/2 0
tan 0 1/√3 1 √3 ∞
косек ∞ 2 √2 2/√3 1
sec 1 2/√3 √2 2 ∞
cot ∞ √3 1 1/√3 0
SINE, COSINE и TANGENT FUNDARS в Крадэнтах
СИНАНСКИ третий и четвертый квадранты.
Функции косинуса и секанса положительны в первом и четвертом квадрантах и отрицательны во втором и третьем квадрантах.
Функции тангенса и котангенса положительны в первом и третьем квадрантах и отрицательны во втором и четвертом квадрантах.
.0566
Признак COSEC
СИНКА SEC
СИНКА КОМПЕР
0 °
0 °
0 °.
+ (положительный)
+ (положительный)
+ (положительный)
+ (положительный)
+ (положительный)
9018 2
+ (положительный)
9018 2
+ (положитель0179
90° to 180°
2 ^nd quadrant
+ (positive)
– (negative)
– (negative)
+ (positive)
– (negative)
– (negative)
180° to 270°
3 ^rd quadrant
– (negative)
– (negative)
+ (positive)
– (negative)
– (negative)
+ (positive)
270° to 360°
4 ^th Quadrant
— (отрицательный)
+ (положительный)
— (отрицательный)
— (отрицательный)
+ (положительный
Взаимные тождества
Функция косеканса является обратной функцией синуса и наоборот. Точно так же функция секанса является обратной функцией функции косинуса, а функция котангенса является обратной функцией функции тангенса.
sin θ = 1/cosec θ
cos θ = 1/sec θ
tan θ = 1/cot θ
cosec θ = 1/sin θ
с θ = 1/cos θ
cot θ. = 1/тангенс θ
Pythagorean Identities
SIN ² θ + COS ² θ = 1
SEC ² θ — TAN ² θ
8848 θ — TAN ² θ8848 θ — TAN ² θ θ ². 1
Идентификация отрицательного угла
Отрицательный угол функции косинуса всегда равен положительному косинусу угла, тогда как отрицательный угол функции синуса и тангенса равен отрицательному синусу и тангенсу угла.
sin (– θ) = – sin θ
cos (– θ) = cos θ
tan (– θ) = – tan θ
Решенные примеры по формуле синус-косинус-тангенса

91:375 Стороны Основание прямоугольного треугольника = 3 см, перпендикуляр = 4 см, гипотенуза = 5 см. Найдите значение sinθ, cosθ и tanθ.

Решение:

Учитывая, что
Основание (b) = 3 см,
Перпендикуляр (p) = 4 см и
гипотенуза (h) = 5 см
Из формулы тригонометрических функций:
sinθ = p/h = 4/5
cosθ = b/h = 3/5
tanθ = p/b = 25 6 30075 7 4/3 9003 Пример 2: Стороны прямоугольного треугольника: основание = 3 см, перпендикуляр = 4 см и гипотенуза = 5 см. Найдите значение cosecθ, secθ и cotθ.
Решение:
Учитывая, что основание (b) = 3 см, перпендикуляр (p) = 4 см и гипотенуза (h) = 5 см
Из формулы тригонометрических функций:
cosecθ = 1/sinθ = h / p = 5/4
secθ = 1/cosθ = h / b = 5/3
cotθ = 1/tanθ = b / p = 3/4
Пример 3. Найдите θ, если основание = √3 и перпендикуляр = 1 прямоугольного треугольника.
Решение:
Поскольку перпендикуляр и основание прямоугольного треугольника заданы, используется tanθ.
tanθ = перпендикуляр/основание
= 1/√3
θ = tan ^-1 (1/√3) [Из таблицы основных углов тригонометрической функции]
θ = 30°
Пример 4: Найдите θ, если основание = √2 и гипотенуза прямоугольного треугольника.
Решение:
Поскольку основание и гипотенуза прямоугольного треугольника заданы, используется cosθ.
cosθ = основание/гипотенуза
cosθ = √3/2
θ = cos ^-1 (√3/2) [Из таблицы основных углов тригонометрической функции]
= 30°
Пример 5. Найдите θ, если перпендикуляр = 1 и гипотенуза = 2 прямоугольного треугольника.
Решение:
Так как перпендикуляр и гипотенуза прямоугольного треугольника заданы, поэтому используется sinθ.
sinθ = перпендикуляр/гипотенуза
sinθ = 1/2
θ = sin ^-1 (1/2) [Из таблицы основных углов тригонометрической функции]
= 30°

Как работают синус, косинус и тангенс?
МАТЕМАТИКА — Геометрия
Задумывались ли вы когда-нибудь.
..
Что такое тригонометрия?
Что такое синус, косинус и тангенс?
Как найти синус, косинус и тангенс?
Теги:
Просмотреть все теги
Математика,
Геометрия,
Тригонометрия,
Функция,
Синус,
Косинус,
Тангенс,
Треугольник,
Прямоугольный треугольник,
Формула,
Угол,
Гипотенуза
Сегодняшнее чудо дня было вдохновлено Саем. Sai Wonders , “ Как работают синус, косинус и тангенс? ”Спасибо, что ДУМАЕТЕ вместе с нами, Сай!
Многие из наших чудесных друзей уже знают о теореме Пифагора. Возможно, они читали о треугольнике Паскаля. Они могут даже знать другие типы треугольников. Сегодня нас интересует еще одна тема, связанная с треугольниками. О чем мы говорим? Синус, косинус и тангенс, конечно!
Что такое синус, косинус и тангенс? Это три основные функции в тригонометрии. Возможно, вы уже слышали о них на уроках математики. Тригонометрия связана с геометрией и другими разделами математики. Это может помочь нам лучше понять связи между сторонами и углами прямоугольников.
Синус, косинус и тангенс важны для изучения прямоугольных треугольников. Вы когда-нибудь видели такой треугольник? Если да, то вы знаете, что один из трех его углов всегда равен 90° (прямой угол). Два других угла могут иметь любые измерения, если сумма всех трех углов составляет 180°.
Как математики находят синус, косинус и тангенс? Начнем с одного из непрямых углов прямоугольного треугольника. Обычно они обозначают этот угол как тета (Θ). Затем они обозначают три стороны треугольника.
Сторона треугольника, расположенная непосредственно напротив прямого угла, называется гипотенузой. Это самая длинная сторона треугольника. Сторона напротив теты называется «противоположной». Это довольно легко запомнить — это на противоположной стороне от тета-угла! Наконец, сторона, которая касается теты, но не является гипотенузой, называется «прилегающей».
Правильное обозначение сторон очень важно при нахождении синуса, косинуса и тангенса. Это потому, что у каждого есть формула, которая делит длину одной стороны на длину другой. Вот формулы для поиска каждой из этих функций:
SINE θ = противоположность ÷ гипотенуза
косинус θ = прилегающий ÷ гипотеновый формулы могут показаться трудными для запоминания. Тем не менее, запоминание полезной мнемоники может помочь. При нахождении синуса, косинуса и тангенса просто помните SOHCATOA (sō-kŭ-tō-ŭ). В этом примере S, C и T обозначают синус, косинус и тангенс. O, A и H обозначают противоположность, смежность и гипотенузу.
Запомнив SOHCATOA, вы сможете правильно писать формулы для синуса, косинуса и тангенса. Затем просто введите правильные числа, и все готово! Чтобы найти эти функции, нужно запомнить формулы и использовать правильные измерения сторон. Многие люди считают полезным пометить треугольник перед тем, как начать.
Можете ли вы найти синус, косинус и тангенс угла? Мы уверены, что вы можете! Однако поначалу новые математические темы могут быть трудными. С практикой и помощью учителя или друга мы знаем, что скоро вы многое узнаете о тригонометрии!
Common Core, Научные стандарты следующего поколения и Национальный совет по социальным исследованиям. »> Стандарты: CCSS.MATH.HSF.TF.A.2, CCRA.R.1, CCRA.R.2, CCRA.R.4, CCRA.R.10, CCRA.L.1, CCRA.L.2, CCRA .L.3, CCRA.L.6, CCRA.W.2, CCRA.W.4, CCRA.W.9, CCRA.W.10, CCRA.SL.1, CCRA.SL.2
Интересно, что дальше?
Сегодняшнее чудо дня обычно выходит только ночью.
Попробуйте
Готовы продолжать учиться? Проверьте действия ниже с помощью друга или члена семьи!
Узнайте больше о синусе, косинусе и тангенсе, а также посмотрите полезные диаграммы на веб-сайте Math Is Fun. Помогло ли это вам глубже понять эти функции? Обобщите то, что вы узнали сегодня, для друга или члена семьи.
Теперь, когда у вас есть мнемоника, которая поможет вам запомнить формулы синуса, косинуса и тангенса, сделайте плакат, который поможет другим запомнить. Используйте мнемонику SOHCAHTOA и включите любые изображения или диаграммы, которые, по вашему мнению, помогут вашим друзьям или членам семьи научиться находить эти функции. Не забудьте также указать правильные формулы!
Чувствуете себя лукавым? Узнайте больше о геометрических фигурах и проявите творческий подход, создавая свои собственные! Вы можете попробовать сделать некоторые фигуры самостоятельно или следовать этому видео, чтобы научиться создавать трехмерные фигуры, используя только бумагу и ножницы. Убедитесь, что взрослый помогает вам, и получайте удовольствие, создавая свои фигуры.
Wonder Sources
https://www.khanacademy.org/math/geometry-home/right-triangles-topic/intro-to-the-trig-ratios-geo/v/basic-trigonometry
https ://www.mathsisfun.com/sine-cosine-tangent.html
https://www.livescience.com/51026-what-is-trigonometry.html
https://learnersdictionary.com/
Ты понял?
Проверьте свои знания
Wonder Words
ответвления
углы
этикетка
функций
формулы
измерений
тригонометрия
геометрия
математики
Примите участие в конкурсе Wonder Word
Оцените это чудо
Поделись этим чудом
×
ПОЛУЧАЙТЕ СВОЕ ЧУДО ЕЖЕДНЕВНО
Подпишитесь на Wonderopolis и получайте Wonder of the Day® по электронной почте или SMS
Присоединяйтесь к Buzz
Не пропустите наши специальные предложения, подарки и рекламные акции. Узнай первым!
Поделись со всем миром
Расскажите всем о Вандополисе и его чудесах.
Поделиться Wonderopolis
Wonderopolis Widget
Хотите делиться информацией о Wonderopolis® каждый день? Хотите добавить немного чуда на свой сайт? Помогите распространить чудо семейного обучения вместе.
Добавить виджет
Ты понял!
Продолжить
Не совсем!
Попробуйте еще раз
Эпизод о тригонометрии | Советы и рекомендации MCAT
Последнее обновление: 23 июня 2022 г., Лора Тернер
Я предполагаю, что к этому моменту подготовки к MCAT вы чувствуете себя так, как будто припарковали самосвал, полный информации, рядом со своим столом и закидываете факты в свой мозг, пока он не готов взорваться. А потом вы столкнулись с проблемой физики. Тот, который требует от вас знания синуса или косинуса? – 60 градусов.
Вы ищете на жестком диске своего разума ссылки на тригонометрию. Что-то есть в SOH CAH TOA… и в ² и в ² . О, Боже. Еще кое-что, что можно добавить в список «для запоминания», который разрастается до толщины вашего учебника по органической химии.
Об объявлениях
Существует множество видео и статей о приемах запоминания значений синуса и косинуса, и они являются хорошей отправной точкой, но на самом деле они не так уж полезны для MCAT. (позже мы увидим, почему). Все, что вам действительно нужно запомнить, чтобы выполнять какие-либо тригонометрические вычисления в день экзамена, это «синус — точка 5, точка 7, точка 9».». Вот и все! Давайте посмотрим, как это работает…
В разделе физики MCAT вам нужно будет уметь выполнять вычисления с синусом, косинусом и тангенсом пяти градусных мер — 0°, 30°, 45°, 60° и 90°. Если учащиеся что-нибудь помнят о тригонометрии, то это, вероятно, SOH CAH TOA (см. ниже), что напоминает нам о том, что синус (S) угла равен длине противоположной стороны треугольника (O), деленной на гипотенузу (H ), косинус (C) угла равен прилежащей стороне (A), деленной на гипотенузу (H), а тангенс (T) равен противолежащей стороне (O), деленной на прилежащую сторону (A).
На рисунке ниже мы видим два прямоугольных треугольника, вписанных в единичную окружность: один с гипотенузой под углом 30° к оси x, а другой с гипотенузой под углом 60° к оси x. Поскольку синус = противоположность/гипотенуза (SOH), синус угла связывает длину стороны треугольника в направлении y с гипотенузой. Чтобы запомнить это, может быть полезно подумать о том, что «sine» и «y» имеют похожие звуки. Вот почему мы пишем «синус» как «син» в рифме.
По мере увеличения степени угла длина треугольника в направлении Y увеличивается, как и синус угла. Sin(0°) = 0, потому что «треугольник» не будет иметь длины в направлении y, и sin(90°) = 1, потому что «треугольник» будет иметь всю свою длину в направлении y.
Косинус описывает отношение длины треугольника в направлении x и следует аналогичной схеме, но в обратном направлении. По мере увеличения угла длина треугольника в направлении x уменьшается, как и косинус угла. Косинус 0° = 1 и косинус 90° = 0,
Как насчет значений синуса и косинуса для остальных углов? Здесь вступают в действие точки 5, точки 7, точки 9 рифмы.
Начнем с синуса или «сина» из рифмы. Уловка, которой часто учат запоминать синус обыкновенных углов, состоит в том, чтобы начать с написания пустого знака квадратного корня, деленного на 2.
Теперь под знаком квадратного корня напишите числа 0, 1, 2, 3 и 4. в целях.
Некоторые из этих дробей легко упрощаются до десятичных, но синус 45° и 60° — нет.
Большинство видео и статей, посвященных этой теме, оставляют вас здесь, но поскольку вы не можете позволить себе роскошь работать с калькулятором, запоминание величин, например, не очень помогает. Вместо этого лучше запомнить десятичные аппроксимации и , где и появляется рифма. ≈ 0,7 и ≈ 0,9.
Если вам нужно вычислить триггер с синусоидой, вы можете быстро записать sin(0°) = 0, sin(90°) = 1 и запомнить рифму, «синус – точка 5, точка 7, точка 9(опять же «синус», потому что синус говорит нам о направлении треугольника по оси Y).
Если вы посмотрите на единичный круг, вы увидите, что значения косинуса для каждого из этих углов являются обратными значениям синуса. Таким образом, косинус 0° = 1, косинус 30° = 0,9 и т. д. Если вам нужен косинус, вы можете просто записать значения синуса, а затем расположить их в обратном порядке, запоминание не требуется.
Наконец, если вам нужен тангенс, разделите синус на косинус. Если у вас возникли проблемы с запоминанием, что на что делить, синус в таблице уже выше косинуса, поэтому вы можете думать о разделительной линии между ними как о дробной черте.
Тангенс 0°, 45° и 90° легко вычислить. Для тангенса 30° и 60° вы можете получить «достаточно близкий» ответ, аппроксимировав 0,9 с 1.
Фактическое значение тангенса (30°) ≈ 0,57 и тангенса (60°) ≈ 1,7.
Вот это да. Имея все это в памяти, давайте решим примерную задачу:
Ребенок начинает тянуть игрушку за собой с силой 8 Н под углом 45° к земле. Начальное ускорение игрушки 2 м/с ² . Какова масса игрушки?
a) 1,63 кг
b) 2,84 кг
c) 4,00 кг
d) 6,21 кг
Формула, связывающая силу, массу и ускорение: F = Ma. Поскольку мы хотим использовать силу и ускорение, чтобы найти массу, мы делим обе части на ускорение, чтобы получить формулу M = F/a.
Как и во многих физических задачах, полезно нарисовать схему того, что происходит. Вот ребенок тянет игрушку… гм… что-то такое.
В задаче даны сила и ускорение; однако сила 8 Н, приложенная к игрушке, находится под углом 45 °. Часть этой силы тянет игрушку в направлении y, а часть силы тянет ее в направлении x. Поскольку задача состоит в том, чтобы тянуть игрушку по земле, а не вверх, нас интересует х-компонент силы.
Сначала мы вспоминаем нашу рифму «синус — точка 5, точка 7, точка 9» и знаем, что в этой задаче будем использовать косинус, а не синус. Следовательно, чтобы вычислить x-составляющую силы, мы имеем F _x = F * косинус (45°). Беглый взгляд на нашу таблицу значений синуса и косинуса показывает, что cos(45°) = 0,7, поэтому F _x = F * косинус (45°) = 8 * 0,7 = 5,6. (Знайте свои таблицы умножения!)
Заполнение формулы M = F/a нашим новым вычисленным F _х из задачи получаем М = 5,6/2 ≈ 6/2 = 3кг, что ближе всего к ответу б) 2,84кг.
Другой пример:
Эвакуатор тянет автомобиль массой 25 000 кг с помощью буксировочного крюка, который встречает автомобиль под углом 30° к земле. Какую силу должен приложить эвакуатор, чтобы тянуть автомобиль с начальным ускорением 3 м/с ² ?
a) 33,612N
b) 50,319N
c) 75,000N
d) 86,206N
Вот краткое изображение нашего сценария.
Здесь силу, необходимую для тяги автомобиля в направлении x, можно рассчитать по формуле F _x = Ма.
В этом сценарии нам даны масса автомобиля и ускорение в задаче. Требуемая сила в направлении x равна F _x = 25 000 кг * 3 м/с 90 347 2 90 348 = 75 000 Н. В экспоненциальном представлении это 7,5 x 10 ⁴ Н.
автомобиль в обоих направлениях x и y.
В предыдущей задаче мы видели, что F _x = F * cos(Θ), где Θ — градус угла, который в данном случае равен 30°. Просмотрев нашу таблицу значений синуса и косинуса, мы видим, что cos(30°) ≈ 0,9.
No related posts.

Таблица тригонометрических функций.

Таблица тригонометрических функций углов от 0° до 90°

Таблица тригонометрических функций углов от 91° до 180°

Таблица тригонометрических функций углов от 181° до 270°

Таблица тригонометрических функций углов от 271° до 360°

Таблица синусов, косинусов, тангенсов, котангенсов

Таблица Брадиса для синусов и косинусов

Таблица Брадиса для тангенсов и котангенсов

Таблица синусов и косинусов в радианах. Тригонометрические функции

Основные величины тригонометрии

Тригонометрический круг

Свойства тригонометрических функций: синус и косинус

Свойства тангенсоиды и котангенсоиды

В таблице значений для тригонометрической функции синус приведены значения для следующих углов

Первая группа углов.

Угол х

0

90

180

270

360

Угол х

0

sin x

0

1

0

-1

0

cos x

1

0

-1

0

1

tg x

0

не сущ.

0

не сущ.

0

ctg x

не сущ.

0

не сущ.

0

не сущ.

Вторая группа углов.

Угол х

0

30

45

60

90

Угол х

0

sin x

0

1

cos x

1

0

tg x

0

1

не сущ.

ctg x

не сущ.

1

0

Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов!

среда, 4 июля 2018 г.

воскресенье, 18 марта 2018 г.

Таблица косинусов от 0 до 180 градусов. Косинус острого угла можно определить с помощью прямоугольного треугольника

Первая группа углов.

Угол х

0

90

180

270