| 1 | Найти точное значение | sin(30) | |
| 2 | Найти точное значение | sin(45) | |
| 3 | Найти точное значение | sin(30 град. ) | |
| 4 | Найти точное значение | sin(60 град. ) | |
| 5 | Найти точное значение | tan(30 град. ) | |
| 6 | Найти точное значение | arcsin(-1) | |
| 7 | Найти точное значение | sin(pi/6) | |
| 8 | cos(pi/4) | ||
| 9 | Найти точное значение | sin(45 град. ) | |
| 10 | Найти точное значение | sin(pi/3) | |
| 11 | Найти точное значение | arctan(-1) | |
| 12 | Найти точное значение | cos(45 град. ) | |
| 13 | Найти точное значение | cos(30 град. ) | |
| 14 | Найти точное значение | tan(60) | |
| 15 | Найти точное значение | csc(45 град. ) | |
| 16 | Найти точное значение | tan(60 град. ) | |
| 17 | Найти точное значение | sec(30 град. ) | |
| 18 | Найти точное значение | cos(60 град. ) | |
| 19 | Найти точное значение | cos(150) | |
| 20 | Найти точное значение | sin(60) | |
| 21 | Найти точное значение | ||
| 22 | Найти точное значение | tan(45 град. ) | |
| 23 | Найти точное значение | arctan(- квадратный корень из 3) | |
| 24 | Найти точное значение | csc(60 град. ) | |
| 25 | Найти точное значение | sec(45 град. ) | |
| 26 | Найти точное значение | csc(30 град. ) | |
| 27 | Найти точное значение | sin(0) | |
| 28 | Найти точное значение | sin(120) | |
| 29 | Найти точное значение | cos(90) | |
| 30 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/3 | |
| 31 | Найти точное значение | tan(30) | |
| 32 | Преобразовать из градусов в радианы | 45 | |
| 33 | Найти точное значение | cos(45) | |
| 34 | Упростить | sin(theta)^2+cos(theta)^2 | |
| 35 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/6 | |
| 36 | Найти точное значение | cot(30 град. ) | |
| 37 | Найти точное значение | arccos(-1) | |
| 38 | Найти точное значение | arctan(0) | |
| 39 | Найти точное значение | cot(60 град. ) | |
| 40 | Преобразовать из градусов в радианы | 30 | |
| 41 | Преобразовать из радианов в градусы | (2pi)/3 | |
| 42 | Найти точное значение | sin((5pi)/3) | |
| 43 | Найти точное значение | sin((3pi)/4) | |
| 44 | Найти точное значение | tan(pi/2) | |
| 45 | Найти точное значение | sin(300) | |
| 46 | Найти точное значение | cos(30) | |
| 47 | Найти точное значение | cos(60) | |
| 48 | Найти точное значение | cos(0) | |
| 49 | Найти точное значение | cos(135) | |
| 50 | Найти точное значение | cos((5pi)/3) | |
| 51 | Найти точное значение | cos(210) | |
| 52 | Найти точное значение | sec(60 град. ) | |
| 53 | Найти точное значение | sin(300 град. ) | |
| 54 | Преобразовать из градусов в радианы | 135 | |
| 55 | Преобразовать из градусов в радианы | 150 | |
| 56 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/6 | |
| 57 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/3 | |
| 58 | Преобразовать из градусов в радианы | 89 град. | |
| 59 | Преобразовать из градусов в радианы | 60 | |
| 60 | Найти точное значение | sin(135 град. ) | |
| 61 | Найти точное значение | sin(150) | |
| 62 | Найти точное значение | sin(240 град. ) | |
| 63 | Найти точное значение | cot(45 град. ) | |
| 64 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/4 | |
| 65 | Найти точное значение | sin(225) | |
| 66 | Найти точное значение | sin(240) | |
| 67 | Найти точное значение | cos(150 град. ) | |
| 68 | Найти точное значение | tan(45) | |
| 69 | Вычислить | sin(30 град. ) | |
| 70 | Найти точное значение | sec(0) | |
| 71 | Найти точное значение | cos((5pi)/6) | |
| 72 | Найти точное значение | csc(30) | |
| 73 | Найти точное значение | arcsin(( квадратный корень из 2)/2) | |
| 74 | Найти точное значение | tan((5pi)/3) | |
| 75 | Найти точное значение | tan(0) | |
| 76 | Вычислить | sin(60 град. ) | |
| 77 | Найти точное значение | arctan(-( квадратный корень из 3)/3) | |
| 78 | Преобразовать из радианов в градусы | (3pi)/4 | |
| 79 | Найти точное значение | sin((7pi)/4) | |
| 80 | Найти точное значение | arcsin(-1/2) | |
| 81 | Найти точное значение | ||
| 82 | Найти точное значение | csc(45) | |
| 83 | Упростить | arctan( квадратный корень из 3) | |
| 84 | Найти точное значение | sin(135) | |
| 85 | Найти точное значение | sin(105) | |
| 86 | Найти точное значение | sin(150 град. ) | |
| 87 | Найти точное значение | sin((2pi)/3) | |
| 88 | Найти точное значение | tan((2pi)/3) | |
| 89 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/4 | |
| 90 | Найти точное значение | sin(pi/2) | |
| 91 | Найти точное значение | sec(45) | |
| 92 | Найти точное значение | cos((5pi)/4) | |
| 93 | Найти точное значение | cos((7pi)/6) | |
| 94 | Найти точное значение | arcsin(0) | |
| 95 | Найти точное значение | sin(120 град. ) | |
| 96 | Найти точное значение | tan((7pi)/6) | |
| 97 | Найти точное значение | cos(270) | |
| 98 | Найти точное значение | sin((7pi)/6) | |
| 99 | Найти точное значение | arcsin(-( квадратный корень из 2)/2) | |
| 100 | Преобразовать из градусов в радианы | 88 град. |
Математические и тригонометрические функции (справочник)
Чтобы просмотреть более подробные сведения о функции, щелкните ее название в первом столбце.
Примечание: Маркер версии обозначает версию Excel, в которой она впервые появилась.
В более ранних версиях эта функция отсутствует. Например, маркер версии 2013 означает, что данная функция доступна в выпуске Excel 2013 и всех последующих версиях.
|
Функция |
Описание |
|
ABS |
Возвращает модуль (абсолютную величину) числа. |
|
ACOS |
Возвращает арккосинус числа. |
|
ACOSH |
Возвращает гиперболический арккосинус числа. |
|
ACOT
|
Возвращает арккотангенс числа. |
|
ACOTH
|
Возвращает гиперболический арккотангенс числа. |
|
АГРЕГАТ |
Возвращает агрегат для списка или базы данных. |
|
АРАБСКОЕ
|
Преобразует римские числа в арабские в виде числа. |
|
ASIN |
Возвращает арксинус числа. |
|
ASINH |
Возвращает гиперболический арксинус числа. |
|
ATAN |
Возвращает арктангенс числа. |
|
ATAN2 |
Возвращает арктангенс для заданных координат x и y. |
|
ATANH |
Возвращает гиперболический арктангенс числа. |
|
ОСНОВАНИЕ
|
Преобразует число в текстовое представление с данным основанием (базой). |
|
ОКРВВЕРХ |
Округляет число до ближайшего целого или кратного. |
|
ОКРВВЕРХ.МАТ
|
Округляет число в большую сторону до ближайшего целого или кратного. |
|
ОКРВВЕРХ.ТОЧН |
Округляет число до ближайшего целого или кратного. Число округляется до большего значения вне зависимости от его знака. |
|
ЧИСЛКОМБ |
Возвращает количество комбинаций для заданного числа объектов. |
|
ЧИСЛКОМБА
|
Возвращает количество комбинаций с повторами для заданного числа элементов. |
|
COS |
Возвращает косинус числа. |
|
COSH |
Возвращает гиперболический косинус числа. |
|
COT
|
Возвращает котангенс угла. |
|
COTH
|
Возвращает гиперболический котангенс числа. |
|
CSC
|
Возвращает косеканс угла. |
|
CSCH
|
Возвращает гиперболический косеканс угла. |
|
ДЕС
|
Преобразует текстовое представление числа в заданном основании в десятичное число. |
|
ГРАДУСЫ |
Преобразует радианы в градусы. |
|
ЧЁТН |
Округляет число до ближайшего четного целого. |
|
EXP |
Возвращает число e, возведенное в указанную степень. |
|
ФАКТР |
Возвращает факториал числа. |
|
ДВФАКТР |
Возвращает двойной факториал числа. |
|
ОКРВНИЗ |
Округляет число до ближайшего меньшего по модулю значения. |
|
ОКРВНИЗ.МАТ
|
Округляет число в меньшую сторону до ближайшего целого или кратного. |
|
ОКРВНИЗ.ТОЧН |
Округляет число в меньшую сторону до ближайшего целого или кратного. Число округляется в меньшую сторону независимо от знака. |
|
НОД |
Возвращает наибольший общий делитель. |
|
ЦЕЛОЕ |
Округляет число до ближайшего меньшего целого. |
|
ISO.ОКРВВЕРХ
|
Округляет число в большую сторону до ближайшего целого или кратного. |
|
НОК |
Возвращает наименьшее общее кратное. |
|
LN |
Возвращает натуральный логарифм числа. |
|
LOG |
Возвращает логарифм числа по заданному основанию. |
|
LOG10 |
Возвращает десятичный логарифм числа. |
|
МОПРЕД |
Возвращает определитель матрицы массива. |
|
МОБР |
Возвращает обратную матрицу массива. |
|
МУМНОЖ |
Возвращает матричное произведение двух массивов. |
|
ОСТАТ |
Возвращает остаток от деления. |
|
ОКРУГЛТ |
Возвращает число, округленное с требуемой точностью. |
|
МУЛЬТИНОМ |
Возвращает мультиномиальный коэффициент множества чисел. |
|
МЕДИН
|
Возвращает матрицу единицы или заданный размер. |
|
НЕЧЁТ |
Округляет число до ближайшего нечетного целого. |
|
ПИ |
Возвращает число пи. |
|
СТЕПЕНЬ |
Возвращает результат возведения числа в степень. |
|
ПРОИЗВЕД |
Возвращает произведение аргументов. |
|
ЧАСТНОЕ |
Возвращает целую часть частного при делении. |
|
РАДИАНЫ |
Преобразует градусы в радианы. |
|
СЛЧИС |
Возвращает случайное число в интервале от 0 до 1. |
|
Функция СЛУЧМАССИВ |
Возвращает массив случайных чисел в интервале от 0 до 1. |
|
Функция СЛУЧМЕЖДУ |
Возвращает случайное число в интервале между двумя заданными числами. |
|
РИМСКОЕ |
Преобразует арабские числа в римские в виде текста. |
|
ОКРУГЛ |
Округляет число до указанного количества десятичных разрядов. |
|
ОКРУГЛВНИЗ |
Округляет число до ближайшего меньшего по модулю значения. |
|
ОКРУГЛВВЕРХ |
Округляет число до ближайшего большего по модулю значения. |
|
SEC
|
Возвращает секанс угла. |
|
SECH
|
Возвращает гиперболический секанс угла. |
|
РЯД.СУММ |
Возвращает сумму степенного ряда, вычисленную по формуле. |
|
ЗНАК |
Возвращает знак числа. |
|
SIN |
Возвращает синус заданного угла. |
|
SINH |
Возвращает гиперболический синус числа. |
|
КОРЕНЬ |
Возвращает положительное значение квадратного корня. |
|
КОРЕНЬПИ |
Возвращает квадратный корень из значения выражения (число * пи). |
|
ПРОМЕЖУТОЧНЫЕ.ИТОГИ |
Возвращает промежуточный итог в списке или базе данных. |
|
СУММ |
Суммирует аргументы. |
|
СУММЕСЛИ |
Суммирует ячейки, удовлетворяющие заданному условию. |
|
СУММЕСЛИМН |
Суммирует ячейки в диапазоне, удовлетворяющие нескольким условиям. |
|
СУММПРОИЗВ |
Возвращает сумму произведений соответствующих элементов массивов. |
|
СУММКВ |
Возвращает сумму квадратов аргументов. |
|
СУММРАЗНКВ |
Возвращает сумму разностей квадратов соответствующих значений в двух массивах. |
|
СУММСУММКВ |
Возвращает сумму сумм квадратов соответствующих элементов двух массивов. |
|
СУММКВРАЗН |
Возвращает сумму квадратов разностей соответствующих значений в двух массивах. |
|
TAN |
Возвращает тангенс числа. |
|
TANH |
Возвращает гиперболический тангенс числа. |
|
ОТБР |
Отбрасывает дробную часть числа. |
Но вы можете указать количество заполняемых строк и столбцов, минимальное и максимальное значения, а также какие значения необходимо возвращать: целые или десятичные.
Важно: Вычисляемые результаты формул и некоторые функции листа Excel могут несколько отличаться на компьютерах под управлением Windows с архитектурой x86 или x86-64 и компьютерах под управлением Windows RT с архитектурой ARM. Подробнее об этих различиях.
Примечание . В данной таблице значений тригонометрических функций используется знак √ для обозначения квадратного корня. Для обозначения дроби — символ «/». См. также полезные материалы: Для определения значения тригонометрической функции , найдите его на пересечении строки с указанием тригонометрической функции. Например, синус 30 градусов — ищем колонку с заголовком sin (синус) и находим пересечение этой колонки таблицы со строкой «30 градусов», на их пересечении считываем результат — одна вторая. Синус пи, косинус пи, тангенс пи и других углов в радианахПриведенная ниже таблица косинусов, синусов и тангенсов также подходит для нахождения значения тригонометрических функций, аргумент которых задан в радианах . Для этого воспользуйтесь второй колонкой значений угла. Благодаря этому можно перевести значение популярных углов из градусов в радианы. Например, найдем угол 60 градусов в первой строке и под ним прочитаем его значение в радианах. 60 градусов равно π/3 радиан. Число пи однозначно выражает зависимость длины окружности от градусной меры угла. Таким образом, пи радиан равны 180 градусам. Любое число, выраженное через пи (радиан) можно легко перевести в градусную меру, заменив число пи (π) на 180 . Примеры : 2. Косинус пи . 3. Тангенс пи Таблица значений синуса, косинуса, тангенса для углов 0 — 360 градусов (часто встречающиеся значения)
Если в таблице значений тригонометрических функций вместо значения функции указан прочерк (тангенс (tg) 90 градусов, котангенс (ctg) 180 градусов) значит при данном значении градусной меры угла функция не имеет определенного значения. Таблица значений тригонометрических функций sin, cos, tg для наиболее популярных углов0, 15, 30, 45, 60, 90 … 360 градусов (цифровые значения «как по таблицам Брадиса»)
| В пятом веке до нашей эры древнегреческий философ Зенон Элейский сформулировал свои знаменитые апории, самой известной из которых является апория «Ахиллес и черепаха».|||||||
| Табличка на двери |
Рассмотрим основное значение тригонометрических функций, от угла в 0,30,45,60,90,…,360 градусов. И посмотрим как пользоваться данными таблицами в вычислении значения тригонометрических функций.
Выглядеть она будет как:
Отрицательные значения тангенс и котангенс имеют от 90 до 180 градусов и от 270 до 360 градусов или от 1/2 пи до пи и от 3/2 пи до 2 пи. При определении знаков тригонометрических функций для углов больше 360 градусов или 2 пи следует использовать свойства периодичности этих функций.
..
Аналогично находим косинус 60 градусов, синус 60 градусов (еще раз, в пересечении колонки sin (синус) и строки 60 градусов находим значение sin 60 = √3/2) и т.д. Точно так же находятся значения синусов, косинусов и тангенсов других «популярных» углов.
Если же прочерка нет — клетка пуста, значит мы еще не внесли нужное значение. Мы интересуемся, по каким запросам к нам приходят пользователи и дополняем таблицу новыми значениями, несмотря на то, что текущих данных о значениях косинусов, синусов и тангенсов самых часто встречающихся значений углов вполне достаточно для решения большинства задач.
Вот как она звучит:
..
Мы не будем рассматривать каждый шаг под микроскопом, это мы уже сделали. Посмотрим на результат.
И математики нас этому постоянно учат. Вот пример.Тригонометрические функции | это… Что такое Тригонометрические функции?
Запрос «sin» перенаправляется сюда; см. также другие значения.
Запрос «sec» перенаправляется сюда; см. также другие значения.
Запрос «Синус» перенаправляется сюда; см. также другие значения.
Рис. 1
Графики тригонометрических функций: синуса косинуса тангенса котангенса секанса косеканса
Тригонометри́ческие фу́нкции — элементарные функции, которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе (или, что эквивалентно, зависимость хорд и высот от центрального угла в круге).
Эти функции нашли широчайшее применение в самых разных областях науки. Впоследствии определение тригонометрических функций было расширено, их аргументом теперь может быть произвольное вещественное или даже комплексное число. Наука, изучающая свойства тригонометрических функций, называется тригонометрией.
К тригонометрическим функциям относятся:
- прямые тригонометрические функции
- синус (sin x)
- косинус (cos x)
- производные тригонометрические функции
- тангенс (tg x)
- котангенс (ctg x)
- другие тригонометрические функции
- секанс (sec x)
- косеканс (cosec x)
В западной литературе тангенс, котангенс и косеканс обозначаются tan x, cot x, csc x.
Кроме этих шести, существуют также некоторые редко используемые тригонометрические функции (версинус и т.д.), а также обратные тригонометрические функции (арксинус, арккосинус и т.
д.), рассматриваемые в отдельных статьях.
Синус и косинус вещественного аргумента являются периодическими непрерывными и неограниченно дифференцируемыми вещественнозначными функциями. Остальные четыре функции на вещественной оси также вещественнозначные, периодические и неограниченно дифференцируемые на области определения, но не непрерывные. Тангенс и секанс имеют разрывы второго рода в точках ±πn + π/2, а котангенс и косеканс — в точках ±πn.
Содержание
|
1 Простейшие тождестваСпособы определения
Геометрическое определение
Рис. 2
Определение тригонометрических функций
Обычно тригонометрические функции определяются геометрически. Пусть нам дана декартова система координат на плоскости, и построена окружность радиуса R с центром в начале координат O. Измерим углы как повороты от положительного направления оси абсцисс до луча OB.
Направление против часовой стрелки считается положительным, по часовой стрелке отрицательным. Абсциссу точки В обозначим xB, ординату обозначим yB (см. рисунок).
- Синусом называется отношение
- Косинусом называется отношение
- Тангенс определяется как
- Котангенс определяется как
- Секанс определяется как
- Косеканс определяется как
Рис. 3
Численные значения тригонометрических функций угла в тригонометрической окружности с радиусом, равным единице
Ясно, что значения тригонометрических функций не зависят от величины радиуса окружности R в силу свойств подобных фигур. Часто этот радиус принимают равным величине единичного отрезка, тогда синус равен просто ординате yB, а косинус — абсциссе xB. На рисунке 3 показаны величины тригонометрических функций для единичной окружности.
Если α — вещественное число, то синусом α в математическом анализе называется синус угла, радианная мера которого равна α, аналогично для прочих тригонометрических функций.
Определение тригонометрических функций для острых углов
Рис. 4
Тригонометрические функции острого угла
Во многих учебниках элементарной геометрии до настоящего времени тригонометрические функции острого угла определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника. Пусть OAB — треугольник с углом α. Тогда:
- Синусом угла α называется отношение AB/OB (отношение противолежащего катета к гипотенузе).
- Косинусом угла α называется отношение ОА/OB (отношение прилежащего катета к гипотенузе).
- Тангенсом угла α называется отношение AB/OA (отношение противолежащего катета к прилежащему).
- Котангенсом угла α называется отношение ОА/AB (отношение прилежащего катета к противолежащему).
- Секансом угла α называется отношение ОB/OA (отношение гипотенузы к прилежащему катету).
- Косекансом угла α называется отношение ОB/AB (отношение гипотенузы к противолежащему катету).
Построив систему координат с началом в точке O, направлением оси абсцисс вдоль OA и в случае необходимости изменив ориентацию (перевернув) треугольник так, чтобы он находился в первой четверти системы координат, и затем, построив окружность с радиусом, равным гипотенузе, сразу находим, что такое определение функций приводит к тому же результату, что и предыдущее.
Данное определение имеет некоторое педагогическое преимущество, так как не требует введения понятия системы координат, но также и такой крупный недостаток, что невозможно определить тригонометрические функции даже для тупых углов, которые необходимо знать при решении элементарных задач про тупоугольные треугольники (см.: Теорема синусов, Теорема косинусов).
Определение тригонометрических функций как решений дифференциальных уравнений
Функции косинус и синус можно определить как чётное (косинус) и нечётное (синус) решение дифференциального уравнения
с начальными условиями , то есть как функций одной переменной, вторая производная которых равна самой функции, взятой со знаком минус:
Определение тригонометрических функций как решений функциональных уравнений
Функции косинус и синус можно определить как непрерывные решения (f и g соответственно) системы функциональных уравнений:
Определение тригонометрических функций через ряды
Используя геометрию и свойства пределов, можно доказать, что производная синуса равна косинусу и что производная косинуса равна минус синусу.
Тогда можно воспользоваться теорией рядов Тейлора и представить синус и косинус в виде степенны́х рядов:
Пользуясь этими формулами, а также уравнениями и можно найти разложения в ряд Тейлора и других тригонометрических функций:
где
- — числа Бернулли,
- — числа Эйлера.
Значения тригонометрических функций для некоторых углов
Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса для некоторых углов приведены в таблице. («∞» означает, что функция в указанной точке не определена, а в её окрестности стремится к бесконечности).
| 0°(0 рад) | 30° (π/6) | 45° (π/4) | 60° (π/3) | 90° (π/2) | 180° (π) | 270° (3π/2) | 360° (2π) | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Значения косинуса и синуса на окружности.
Значения тригонометрических функций нестандартных углов
Значения тригонометрических функций прочих углов
Свойства тригонометрических функций
Простейшие тождества
Основная статья: Тригонометрические тождества
Поскольку синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу α, то, согласно уравнению единичной окружности или теореме Пифагора, имеем:
Это соотношение называется основным тригонометрическим тождеством.
Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно имеем далее:
Непрерывность
Синус и косинус — непрерывные функции. Тангенс и секанс имеют точки разрыва котангенс и косеканс —
Чётность
Косинус и секанс — чётные. Остальные четыре функции — нечётные, то есть:
Периодичность
Функции — периодические с периодом 2π, функции и — c периодом π.
Формулы приведения
Формулами приведения называются формулы следующего вида:
Здесь f — любая тригонометрическая функция, g — соответствующая ей кофункция (то есть косинус для синуса, синус для косинуса, тангенс для котангенса, котангенс для тангенса, секанс для косеканса и косеканс для секанса), n — целое число. Перед полученной функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция в заданной координатной четверти при условии, что угол α острый, например:
Некоторые формулы приведения:
Формулы сложения
Значения тригонометрических функций суммы и разности двух углов:
Аналогичные формулы для суммы трёх углов:
Формулы для кратных углов
Формулы двойного угла:
Формулы тройного угла:
Прочие формулы для кратных углов:
- следует из формулы дополнения и формулы Гаусса для Гамма-функции
Формулы половинного угла:
Произведения
Формулы для произведений функций двух углов:
Аналогичные формулы для произведений синусов и косинусов трёх углов:
Формулы для произведений тангенсов и котангенсов трёх углов можно получить, поделив правые и левые части соответствующих равенств, представленных выше.
Степени
Суммы
Для функций от аргумента существует представление:
где угол находится из соотношений:
Однопараметрическое представление
Все тригонометрические функции можно выразить через тангенс половинного угла.
Производные и интегралы
Все тригонометрические функции непрерывно и неограниченно дифференцируемы на всей области определения:
Интегралы тригонометрических функций на области определения выражаются через элементарные функции следующим образом:
См. также: Список интегралов от тригонометрических функций
Тригонометрические функции комплексного аргумента
Определение
Формула Эйлера:
позволяет определить тригонометрические функции от комплексных аргументов через экспоненту или (с помощью рядов) как аналитическое продолжение их вещественных аналогов:
- где
Соответственно, для вещественного x,
Комплексные синус и косинус тесно связаны с гиперболическими функциями:
Большинство перечисленных выше свойств тригонометрических функций сохраняются и в комплексном случае.
Некоторые дополнительные свойства:
- комплексные синус и косинус, в отличие от вещественных, могут принимать сколь угодно большие по модулю значения;
- все нули комплексных синуса и косинуса лежат на вещественной оси.
Комплексные графики
На следующих графиках изображена комплексная плоскость, а значения функций выделены цветом. Яркость отражает абсолютное значение (чёрный — ноль). Цвет изменяется от аргумента и угла согласно карте.
История названий
Линия синуса у индийских математиков первоначально называлась «арха-джива» («полутетива», то есть половина хорды), затем слово «арха» было отброшено и линию синуса стали называть просто «джива». Арабские переводчики не перевели слово «джива» арабским словом «ватар», обозначающим тетиву и хорду, а транскрибировали арабскими буквами и стали называть линию синуса «джиба».
Так как в арабском языке краткие гласные не обозначаются, а долгое «и» в слове «джиба» обозначается так же, как полугласная «й», арабы стали произносить название линии синуса «джайб», что буквально обозначает «впадина», «пазуха». При переводе арабских сочинений на латынь европейские переводчики перевели слово «джайб» латинским словом sinus, имеющим то же значение.
Современные краткие обозначения sin и cos введены Уильямом Отредом и закреплены в трудах Эйлера.
Термины «тангенс» (от лат. tangens — касающийся) и «секанс» (лат. secans — секущий) были введены датским математиком Томасом Финке (1561—1656) в его книге «Геометрия круглого» (Geometria rotundi, 1583).
Сам термин тригонометрические функции введён Клюгелем в 1770 году.
См. также
- Гиперболические функции
- Интегральный синус
- Интегральный косинус
- Обратные тригонометрические функции
- Решение треугольников
- Синус-верзус
- Сферическая тригонометрия
- Функция Гудермана
- Четырёхзначные математические таблицы (Таблицы Брадиса)
- Эллиптические функции
Литература
- Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Прямолинейная тригонометрия // Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — С. 179—184.
- Г. Б. Двайт Тригонометрические функции // Таблицы интегралов и другие математические формулы. — 4-е изд. — М.: Наука, 1973. — С. 70—102.
Н., Семендяев К. А. Прямолинейная тригонометрия // Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — С. 179—184.Ссылки
- GonioLab — прояснённая единичная окружность, тригонометрические и гиперболические функции (Java Web Start)
- Weisstein, Eric W. Тригонометрические функции (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Онлайн калькулятор: вычисление значений тригонометрических функций
- Интерактивная карта значений тригонометрических функций
Как репетитор по математике находит значения тригонометрических функций — Колпаков Александр Николаевич
Ох, сколько мучений доставляет ученикам изучение тригонометрии. Определенные сложности возникают даже в том случае, если рядом сидит репетитор по математике и разжевывает каждую мелочь.
Это и понятно, одних только базовых формул существует более двадцати. А уж если считать их производные … Недавно один начинающий репетитор по математике прислал письмо, в котором попросил рассказать о методике практической работы с формулам приведения. Его ученик путается в вычислениях и никак не может запомнить механизмы, при помощи которых эти формулы позволяют найти, например, . С огромным удовольствием удовлетворяю его просьбу.
Cразу отмечу актуальность темы, ибо подготовка к ЕГЭ по математике обязывает репетитора включить в план работы разбор номера B7 (по новому стандарту ЕГЭ 2012 года). С высокой вероятностью можно предположить, что именно тригонометрические вычисления составят содержание задачи B7 на реальном экзамене.
Итак, будем считать, что репетитор по математике определил с учеником, что такое синус и косинус, объяснил радианы, свойства четности и нечетности тригонометрических функций, повторил или изучил заново технику преобразований по формулам приведения.
Какой материал следует разобрать после этих обязательных этапов? Безусловно, нужно научить вычислять синусы и косинусы для углов, расположенных вне первой четверти. Уверен, что опытный репетитор по математике не откроет в алгоритме ничего нового с точки зрения математики, но какие-то коррективы, возможно, внесет по части методики.
Долгое время я относился к изложенному ниже приему как к единственному в данной теме, пока не столкнулся с разными ошибками в подходах других репетиторов по математике и школьных преподавателей (через школьные тетеради своих учеников). Оказывается, что некоторые преподаватели, например, переводят углы в градусы и вычисляют через них.
Задача репетитора по математике в работе с произвольными углами состоит прежде всего том, чтобы предложить четкий алгоритм приведения угла к острому. Очень важно разбить его на этапы и продумать комфортные для восприятия комментарии к каждому из них. Итак, приступим.
Я предпочитаю сразу начать с варианта, в котором придется выполнить все пункты общего алгоритма.
Почему? Основная работа репетитора по математике должна быть направлена на запоминание приема, ибо смысловая работа, осталась в пройденных темах, когда изучались определения тригонометрических функций, формулы приведения и действия с углами.
Именно по этой причине репетитору по математике стоит начать с примера, в котором под знаком синуса стоит отрицательный угол.
1) Ученик удаляет знак минус по свойству четности / нечетности. Это обязательная и первоочередная операция. Если проводить дальнейшие преобразования вместе со знаком, то репетитор по математике потеряет в дальнейших этапах своего алгоритма возможность дать четкие и удобные описания действий с радианами. Вынесение (удаление) знака учащимися производится, как правило, без каких-либо проблем, если помнить соответствующие свойства. Если репетитор по матем атике обратит внимание на то, что косинус – единственная из изучаемых четная функция, то проблем не будет вообще.
2) Удаление «полных оборотов». Репетитор показывает, как можно заменить положительный угол тем, который находится в промежутке от 0 до .
Для этого из дроби выделяется целая часть. При этом буква располагается в виде множителя рядом с правильной дробью, то есть получается . Поскольку при вычитании из этого угла полного оборота, то есть угла , мы вычитаем 2 из коэффициента 5, то репетитору по математике не составит труда донести до ребенка логику многократного вычитания «полного оборота», то есть вычитания из 5 ближайшего четного к нему числа. Я специально выбираю для демонстрации алгоритма угол, в котором остается целая часть, равная единице. Почему? Если репетитор по математике начнет с нуля целых, то из поля зрения ученика ускользнет важный этап алгоритма: перевода в неправильную дробь полученного коэффициента для сравнения с оновными углами. Слабый ученик вряд ли догадается до этого самостоятельно. В результате все равно придется разбирать вариант с единичкой и тратить лишнее время. Лучше использовать его для самостоятельной работы ученика.
3) Перевод дроби в неправильную: . Важно удалить целую часть, чтобы она не мешала в дальнейших сравнениях.
4) Определение четверти, в которой лежит угол. Для этого нужно сравнить его с основными углами, приводя их к общему знаменателю. Как репетитор по математике упрощает работу ученика? Углов то 4 штуки: . Если изучается угол со знаменателем 3, то с учетом необходимости сравнивать его с придется менять оба знаменатеоля на 6. Это не совсем удобно. Какое решение предлагает репетитор по математике для сравнения? Надо исключить из процесса дробные основные углы. Почему? Для определения четверти репетитору хватит и . Их удобнее подстроить под любой знаменателю изучаемого угла из задания. В нашем примере получаем и . Понятно, что находится ближе к чем к . Поэтому вопрос о четверти снимается. C гордостью отмечу, что за всю историю еще ни один ученик не промахнулся с ответом на вопрос о четверти после такой подготовки. Если репетитор по математике откажется от преобразования коэффициента перед в неправильную дробь, то определить четверть будет сложнее.
Репетитор по математике обязывает иллюстрировать решение.
Я настоятельно рекомендую отмечать полученный угол на тригонометрическом круге после того, как определилась его четверть. Основные углы и отмечаются как и . Это делается для того, чтобы не растерять информацию на этапе подбора главного персонажа всего алгоритма – приведенного угла. Затем репетитор по математике ставит перед учеником такую задачу: подобрать действие с ближайшим основным углом к углу и записать его под знак синуса. Можно добавить: «Ставим основной угол в скобку принудительно . Если репетитором по математике была проведена описанная выше подготовительная работа, выровнены знаменатели и сделан рисунок, то ученику не составит труда найти разность и тем самым определить угол , к которому сводится вычисление.
7) Остальное — дело техники. Ученик удаляет по формуле приведения и обращается к таблице значений синуса для острого угла .
Заключение: К сожалению дидактика всех без исключения школьных учебников по вычислительной части с радианами сильно хромает.
Все что может найти репетитор — один или два номера, объединяющих задания на градусы и радианы. Но искать, например, гораздо проще, чем выполнить эквивалентный подсчет в радианах. Я не советую репетиторам по математике переводить углы в градусы, ибо все основные операции в тригонометрии выполняются в радианах и в этой связи практика описанной выше работы ученика будет для него хорошей подготовкой к будущим задачам.
К сожалению репетитор по математике не в праве выбирать учебник. Это делает за него школа. Жаль, так как последовательность разбора тем по тригонометри в некоторых из них мгяко скажем не идеальная. До изучения формул приведения рассматриваются тригонометрические уравнения. И не только уравнения. Дети еще толком не осознали как считается синус и косинус, а им уже формулы двойного угла навязывают.
Александр Николаевич, репетитор по математике и тригонометрии. Москва.
Тригонометрия в жизни — Тригонометрия
ТРИГОНОМЕТРИЯ В НАШЕЙ ЖИЗНИ
Многие
задаются вопросами: зачем нужна тригонометрия? Как она используется в нашем
мире? С чем может быть связана тригонометрия? И вот ответы на эти вопросы.
Тригонометрия
или тригонометрические функции используются в астрономии (особенно для расчётов положения небесных объектов), когда требуется сферическая тригонометрия, в морской и воздушной навигации, в теории музыки, в акустике, в оптике, в анализе финансовых рынков, в электронике, в теории вероятности, в статистике, в биологии, в медицинской визуализации ,например, компьютерной томографии и ультразвук, в аптеках, в химии, в теории чисел, в сейсмологии, в метеорологии, в океанографии, во многих физических науках, в межевании и геодезии, в архитектуре, в фонетике, в экономике, в электротехнике, в машиностроении, в гражданском строительстве, в компьютерной графике, в картографии, в кристаллографии, в разработке игр и многих других
областях.
Геодезия
Часто
с синусами и косинусами приходится сталкиваться геодезистам. Они имеют
специальные инструменты для точного измерения углов. При помощи синусов и
косинусов углы можно превратить в длины или координаты точек на земной
поверхности.
Древняя астрономия
Зачатки тригонометрии можно найти в математических рукописях Древнего Египта, Вавилона и Древнего Китая. 56-я задача из папируса Ринда (II тысячелетие до н. э.) предлагает найти наклон пирамиды, высота которой равна 250 локтей, а длина стороны основания — 360 локтей.
Дальнейшее развитие
тригонометрии связано с именем астронома Аристарха Самосского (III век
до н. э.). В его трактате «О величинах и расстояниях Солнца и Луны»
ставилась задача об определении расстояний до небесных тел; эта задача
требовала вычисления отношения сторон прямоугольного треугольника при
известном значении одного из углов. Аристарх рассматривал прямоугольный
треугольник, образованный Солнцем, Луной и Землёй во время квадратуры. Ему требовалось вычислить
величину гипотенузы (расстояние от Земли до Солнца) через катет (расстояние от
Земли до Луны) при известном значении прилежащего угла (87°), что эквивалентно
вычислению значения sin угла 3. По
оценке Аристарха, эта величина лежит в промежутке от 1/20 до 1/18, то есть
расстояние до Солнца в 20 раз больше, чем до Луны; на
самом деле Солнце почти в 400 раз дальше, чем Луна, ошибка возникла из-за
неточности в измерении угла.
Несколько десятилетий спустя Клавдий Птоломей в своих трудах «География», «Аналемма» и «Планисферий» даёт подробное изложение тригонометрических приложений к картографии, астрономии и механике. Среди прочего, описана стереографическая проекция, исследованы несколько практических задач, например: определить высоту и азимут небесного светила по его склонению и часовому углу. С точки зрения тригонометрии, это значит, что надо найти сторону сферического треугольника по другим двум сторонам и противолежащему углу.
В общем, можно сказать, что тригонометрия использовалась для:
·
точного определения времени суток;
· вычисления
будущего расположения небесных светил, моментов их восхода и заката, затмений Солнца и Луны;
·
нахождения географических координат текущего
места;
· вычисления расстояния между городами с известными географическими координатами.
Гномон— древнейший астрономический инструмент, вертикальный предмет (стела, колонна, шест),
позволяющий по наименьшей
длине его тени (в полдень) определить угловую
высоту солнца.
Так, под котангенсом понималась длина тени от вертикального гномонавысотой 12 (иногда 7) единиц; первоначально эти понятия использовались для расчёта солнечных часов. Тангенсом называлась тень от горизонтального гномона. Косекансом и секансом назывались гипотенузы соответствующих прямоугольных треугольников (отрезки AO на рисунке слева)
Архитектура
Широко используется тригонометрия в строительстве, а особенно в архитектуре. Большинство композиционных решений и построений
рисунков проходило именно с помощью геометрии. Но теоретические данные мало что значат. Хочу привести пример на построение одной скульптуры французского мастера Золотого века искусства.
Пропорциональное соотношение в построении статуи было идеально. Однако при
поднятии статуи на высокий пьедестал, она смотрелась уродливой. Скульптором не
было учтено, что в перспективе к горизонту уменьшаются многие детали и при
взгляде снизу вверх уже не создается впечатления ее идеальности.
Велось
множество расчетов, чтобы фигура с большой высоты смотрелась пропорционально. В основном они были основаны на методе визирования, то есть приблизительного измерения, на глаз. Однако коэффициент разности тех или иных пропорций позволили сделать фигуру более приближенной к идеалу. Таким образом, зная примерное расстояние от статуи до точки зрения, а именно от верха статуи до глаз человека и высоту статуи, можно рассчитать синус угла падения взгляда с помощью таблицы (тоже самое мы можем сделать и с нижней точкой зрения), тем самым найдем точку зрения
Ситуация меняется , так как статую поднимают на высоту, поэтому
расстояние от верхушки статуи до глаз человека увеличивается, следовательно и
синус угла падения увеличивается. Сравнив изменения расстояния от верхушки статуи до
земли в первом и во втором случаи, можно найти коэффициент пропорциональности.
Впоследствии мы получим чертеж, а потом скульптуру, при поднятии которой
зрительно фигура будет приближена к идеалу
Медицина и
биология.
Модель боритмов можно построить с помощью тригонометрических функций.
Для построения модели биоритмов необходимо ввести дату рождения человека, дату
отсчета (день, месяц, год) и длительность прогноза (кол-во дней).
Формула сердца. В результате исследования, проведенного студентом иранского университета Шираз Вахидом-Резой Аббаси, медики впервые получили возможность упорядочить информацию, относящуюся к электрической активности сердца или, другими словами, электрокардиографии. Формула представляет собой комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии. Как утверждают медики, эта формула в значительной степени облегчает процесс описания основных параметров деятельности сердца, ускоряя, тем самым, постановку диагноза и начало собственно лечения.
Также
тригонометрия помогает нашему мозгу определять расстояния до объектов.
Американские ученые утверждают, что мозг оценивает расстояние до объектов, измеряя угол между плоскостью земли и плоскостью зрения. Строго говоря, идея «измерения углов» не является новой. Еще художники Древнего Китая рисовали удаленные объекты выше в поле зрения, несколько пренебрегая законами перспективы. Сформулировал теорию определения расстояния по оценке углов арабский ученый XI века Альхазен. После долгого забвения в середине прошлого столетия идею реанимировал психолог Джеймс
Гибсон (James Gibson), строивший свои выводы на основе опыта работы с пилотами военной авиации. Однако после того о теории
вновь позабыли.
Движение рыб в воде происходит по закону синуса или косинуса, если зафиксировать точку на хвосте, а потом рассмотреть траекторию движения. При плавании тело рыбы принимает форму
кривой, которая напоминает график функции y=tgx.
Измерительные работы
Тригонометрией пользуются при измерение
расстояния между точек на местности.
Предположим, что нам надо найти расстояние d от пункта А до недоступного пункта «дерево». На местности можно выбрать точку
d B и измерим длину с отрезка АВ. Затем измерим, например
с помощью астролябии, углы A и B. Эти данные, т.е. c, a и b
позволяют решить треугольник АВС и найти искомое
расстояние d=AC.
Сначала находим угол С sinC:
С=180-а-b, sinC=sin(180-a-b)=sin(a+b)
Затем с помощью теоремы синусов находим d.
Точные значения триггеров — математика GCSE
Введение
Как отвечать на вопросы, связанные с точными значениями триггера
Таблица точных значений триггера
Распространенные заблуждения
Практикуйте вопросы с точными значениями триггеров
Точные значения триггеров Вопросы GCSE
Контрольный список обучения
Следующие уроки
Вы знали?
Все еще застряли?
Индивидуальные занятия по математике, созданные для успеха KS4
Теперь доступны еженедельные онлайн-уроки повторения математики GCSE
Узнать больше
Введение
Как отвечать на вопросы, связанные с точными значениями триггера
Таблица точных значений триггера
Распространенные заблуждения
Практикуйте вопросы с точными значениями триггеров
Точные значения триггеров Вопросы GCSE
Контрольный список обучения
Следующие уроки
Вы знали?
Все еще застряли?
Здесь мы узнаем о точных значениях триггеров, в том числе о том, что они из себя представляют, как мы можем их быстро получить и как мы можем использовать их для ответов на вопросы с помощью тригонометрии.
Существуют также рабочие листы с точными значениями триггеров , основанные на экзаменационных вопросах Edexcel, AQA и OCR, а также дополнительные рекомендации о том, что делать дальше, если вы все еще застряли.
Каковы точные значения триггера?
Точные тригонометрические значения — это точные тригонометрические значения для определенных углов, которые вы должны знать для математики GCSE.
В тригонометрии на выпускных экзаменах в школе есть три тригонометрических отношения, которые мы используем: синус, косинус и тангенс, хотя мы записываем их как sin, cos и tan. Эти тригонометрические отношения показывают связь между углом в прямоугольном треугольнике и длинами его сторон.
Угол в прямоугольном треугольнике часто обозначается \theta (греческая буква «тета»).
\sin(\theta)=\frac{\text{Противоположный}}{\text{Гипотенуза}}
\cos(\theta)=\frac{\text{Смежный}}{\text{Гипотенуза}}
\tan(\theta)=\frac{\text{Противоположный}}{\text{Смежный}}
Пошаговое руководство: SOHCATOA
Каковы точные значения триггера?
Точные тригонометрические соотношения
Мы используем три тригонометрических соотношения ; синус , косинус, и тангенс для вычисления углов и длин в прямоугольных треугольниках .
Мы можем представить тригонометрические соотношения для углов 30, 45, 60 и 90, все они имеют точных тригонометрических соотношений .
Мы можем использовать эти точных тригонометрических соотношений , чтобы найти длины и углы в прямоугольных треугольниках без использования калькулятора.
Запишите точное значение cos 60.
потому что 60 = \ гидроразрыва {1} {2}
Найдите точное значение sin 30 + cos 60.
грех 30 = \ гидроразрыва {1} {2}
потому что 60 = \ гидроразрыва {1} {2}
sin 30 + cos 60 = \frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1
Найдите точное значение x.
Метод 1
грех 30 = \ гидроразрыва {5} {x}
грех 30 =\фракция{1}{2}
х = 5 ÷ \frac{1}{2} = 10 см
Метод 2
потому что 60 = \ гидроразрыва {5} {x}
потому что 60 = \ гидроразрыва {1} {2}
х = 5 ÷ \frac{1}{2} = 10 см
Получение точных тригонометрических значений
Используя два прямоугольных треугольника ниже, мы можем определить все точные тригонометрические значения, которые нам нужны.
{\circ} . 9{\circ} , следующие:
Сводка
Вот таблица точных значений триггеров, которые вы должны выучить:
Примечание: \tan(90) не определено.
Некоторые точные значения записываются с символом квадратного корня. Эти числа называются сурдами. (В математике сурды, как правило, пишутся так, чтобы в знаменателях не было квадратных корней. Это называется рационализацией сурдов и рассматривается в высшей математике GCSE.) Здесь мы записали нерациональную форму, поскольку они коррелируют со значениями из треугольники выше.
Как отвечать на вопросы с точными значениями триггера
Чтобы ответить на вопросы с точными значениями триггера:
- Запишите требуемое точное значение триггера.
- Подставьте точное значение триггера в требуемую формулу/уравнение.
- Решите уравнение.
- Напишите ответ, включая единицы измерения.
Как отвечать на вопросы с точными значениями триггера
Рабочий лист точных значений триггера
Получите бесплатный рабочий лист точных значений триггера, содержащий более 20 вопросов и ответов.
Включает рассуждения и прикладные вопросы.
СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО
ИксРабочий лист с точными значениями триггера
Получите бесплатный рабочий лист с точными значениями триггера, содержащий более 20 вопросов и ответов. Включает рассуждения и прикладные вопросы.
СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО
Примеры точных значений триггера
Пример 1: указание значения
Запишите точное значение \cos(30) .
- Запишите точное требуемое значение триггера .
Нам нужно точное значение \cos(30)
2 Подставьте точное значение триггера в требуемую формулу/уравнение.
Для этого вопроса у нас нет уравнения для решения, поэтому мы можем перейти к шагу 4.
3 Решите уравнение.
Перейдите к шагу 4 .
4 Напишите ответ, включая единицы измерения.
Для этого вопроса нет определенных единиц, поэтому мы можем просто указать точное значение триггера:
\cos(30)=\frac{\sqrt{3}}{2}
Пример 2: указание значения
Запишите точное значение \sin(90)
Запишите точное требуемое значение триггера .
Нам нужно точное значение \sin(90)
Подставьте точное значение триггера в требуемую формулу/уравнение.
Для этого вопроса у нас нет уравнения для решения, поэтому мы можем перейти к шагу 4.
Решите уравнение.
Перейдите к шагу 4 .
Напишите ответ, включая единицы измерения.
Для этого вопроса нет определенных единиц измерения, поэтому мы можем просто указать точное значение триггера:
\sin(90)=1
Пример 3: использование точных значений
Запишите точное значение \cos (90)+\tan(45)
Запишите точное требуемое значение триггера .
Нам нужно точное значение \cos(90) и \tan(45)
Подставьте точное значение триггера в требуемую формулу/уравнение.
Поскольку \cos(90)=0 и \tan(45)=1 , подставив эти значения в уравнение, получим \cos(90)+\tan(45)=0+1
Решить уравнение .
0+1=1 .
Напишите ответ, включая единицы измерения.
Для этого вопроса нет определенных единиц, поэтому мы можем просто указать решение:
\cos(90)+\tan(45)=1
Пример 4: использование точных значений
Запишите точное значение \sin(45)+\tan(60) . Представьте свой ответ в виде одной дроби с рационализированным знаменателем в его простейшей форме.
Запишите точное требуемое значение триггера .
Нам нужно точное значение \sin(45) и \tan(60)
Подставьте точное значение триггера в требуемую формулу/уравнение.
Поскольку \sin(45)=\frac{1}{\sqrt{2}} и \tan(60)=\sqrt{3} , подставляя эти значения в уравнение, мы имеем \sin(45)+ \tan(60)=\frac{1}{\sqrt{2}}+\sqrt{3}.
Решите уравнение.
\ начало {выровнено} \\\frac{1}{\sqrt{2}}+\sqrt{3}&=\frac{1}{\sqrt{2}}+\sqrt{3}\times\frac{\sqrt{2} }{\sqrt{2}}\\ \\&=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}\\ \\&=\frac{1+\sqrt{6}}{\sqrt{2}}\\ \\&=\frac{\sqrt{2}(1+\sqrt{6})}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}\\ \\&=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{12}}{2}\\ \\&=\frac{\sqrt{2}+2\sqrt{3})}{2}\\ \end{align}
Напишите ответ, включая единицы измерения.
Для этого вопроса нет определенных единиц, поэтому мы можем просто указать решение:
\sin(45)+\tan(60)=\frac{1}{\sqrt{2}}+\sqrt{3}=\frac{\sqrt{2}+2\sqrt{3}} {2}
Пример 5: использование точного значения для поиска отсутствующей стороны
Вычислите длину стороны x .
Запишите точное требуемое значение триггера .
Подпишите треугольник.
В этой задаче используется отношение синусов:
\sin(\theta)=\frac{\text{Противоположный}}{\text{Гипотенуза}}
Нам нужно точное значение \sin(30) .
Подставьте точное значение триггера в требуемую формулу/уравнение.
Для этого вопроса имеем:
- противоположная сторона = x
- гипотенуза = 7 см
- \sin(30)=\frac{1}{2}.
Подставив эти значения в \sin(\theta)=\frac{\text{Противоположный}}{\text{Гипотенуза}} , мы получим
\frac{1}{2}= \frac{x {7}
Решите уравнение.
Умножив обе части уравнения на 7, мы получим
x=\frac{1}{2}\times 7=3.5 .
Напишите ответ, включая единицы измерения.
Длина стороны x=3,5\text{ см}
Пример 6: использование точного значения для нахождения недостающей стороны
Вычислите точную длину стороны x .
Запишите точное требуемое значение триггера .
Обозначая треугольник соответствующими сторонами треугольника по отношению к известному углу, мы имеем:
Таким образом, эта задача включает отношение косинусов:
\cos(\theta)=\frac{\text{Adjacent}}{\text{Гипотенуза}}
Нам нужно значение \cos(45) .
Подставьте точное значение триггера в требуемую формулу/уравнение.
Теперь мы знаем, что:
- Смежные = 5 см
- гипотенуза = x
- \cos(45)=\frac{1}{\sqrt{2}}.
\begin{align} \cos(\theta)&=\frac{\text{Adjacent}}{\text{гипотенуза}}\\\\ \frac{1}{\sqrt{2}}& =\frac{5}{x} \end{выровнено}
Решите уравнение.
Умножив обе части уравнения на x , мы получим
\frac{x}{\sqrt{2}}=5 .
Умножив обе части уравнения на \sqrt{2} , получим
x=5\sqrt{2}
Запишите ответ, включая единицы измерения.
Длина стороны x равна 5\sqrt{2}\text{ см}
Распространенные заблуждения
- Точные значения
Если вас спросят о точном значении, вы должны оставить свой ответ в грубой форме.
Нет необходимости записывать свой ответ в виде десятичной дроби и округлять. Это уже не будет точным значением.
- Использование точных значений
Если вам дали ответ, вы должны четко указать, что использовали точное значение триггера в своей работе.
- Запоминание точных значений греха
Точные значения sin сложно запомнить, но есть закономерность.
Вот.
Они действительно упрощаются до знакомых точных значений запуска.
- Запоминание точных значений cos
Точные значения cos запомнить сложно, но закономерность есть. Вот.
Они действительно упрощаются до знакомых точных значений запуска.
Практика вопросов о точных триггерных значениях
\frac{\sqrt{3}}{2}
\frac{1}{2}
\frac{\sqrt{2}}{2}
\cos(60)=\frac{1}{2}
\frac{\sqrt{3}}{3}
\sqrt{3}
\tan(30)=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}
\frac{1+\sqrt{3}}{2}
1\frac{1}{2}
\frac{1}{2}
\cos(0)+sin(30)=1+\frac{1}{2}=1\frac{1}{2}
\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3}
\frac{1+\sqrt{2}}{2}
\frac{1+\sqrt{ 3}}{2}
\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2}
\ cos (45) + sin (60) = \ frac {\ sqrt {3}} {2} + \ frac {1} {2} = \ frac {\ sqrt {3} + \ sqrt {2}} {2 }
4.
5 \text{ см}
3 \text{ см}
2\sqrt{3} \text{ см}
3\sqrt{2} \text{ см}
3 90 обозначить треугольник.
Тогда нам нужно использовать \cos(60)=\frac{1}{2}
\begin{выровнено} \cos(\theta)&= \frac{\text{Смежный}}{\text{Гипотенуза}} \\\\ \frac{1}{2}&= \frac{x}{6} \end{выровнено}
Умножив обе части уравнения на 6, мы получим
\begin{выровнено} x&=6\times \frac{1}{2} \\\\ х&=3 \text{ см} \end{выровнено}
4\sqrt{3} \text{см}
\frac{\sqrt{3}}{4} \text{см}
(4+\sqrt{3}) \text{см}
4.3 \text{ cm}
Нам нужно пометить треугольник.
Тогда нам нужно использовать \tan(30)=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}
\begin{выровнено} \tan(\theta) &= \frac{\text{Противоположный}}{\text{Смежный}} \\\\ \ frac {\ sqrt {3}} {3} &= \ frac {x} {12} \\\\ х &= 12 \times \frac{\sqrt{3}}{3} \\\\ х &= 4 \sqrt{3} \text{см} \end{выровнено}
Точные значения триггеров Вопросы GCSE
1.
Обведите значение \cos(90) .
0 \quad \quad \quad\frac{1}{2} \quad \quad \quad \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \quad \quad 1
(1 балл)
Показать ответ
2. Найдите точное значение 8 \sin(45) .
(2 балла)
Показать ответ
8\times \frac{\sqrt{2}}{2}
(1)
4\квадрат{2}
(1)
3. С помощью тригонометрии докажите, что длина стороны ВС этого треугольника равна 10 см .
(3 балла)
Показать ответ
(1)
\frac{1}{2}=\frac{5}{x}
(1)
х=5\раз{2}=10 9{\circ}
Знаете ли вы?
Точные значения tan можно найти, разделив значения sin на значения cos.
Все еще зависает?
Подготовьте своих учеников KS4 к успешной сдаче выпускных экзаменов по математике с помощью программы Third Space Learning. Еженедельные онлайн-уроки повторения GCSE по математике, которые проводят опытные преподаватели математики.
Узнайте больше о нашей программе повторения GCSE по математике.
Мы используем необходимые и необязательные файлы cookie для улучшения работы нашего веб-сайта. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашей Политикой в отношении файлов cookie, чтобы узнать, как мы используем файлы cookie и как управлять вашими настройками файлов cookie или изменять их. решение и решение задач, связанных с измерением длины и углов прямоугольного треугольника. 0°, 30°, 45°, 60° и 90° — обычно используемые значения тригонометрической функции для решения тригонометрических задач.
Понятие о тригонометрических функциях и значениях является одной из наиболее важных частей математики, а также в нашей повседневной жизни.
Тригонометрические соотношения
Тригонометрические значения основаны на трех основных тригонометрических соотношениях: синусе, косинусе и тангенсе.
Синус или sin θ = сторона, противоположная θ / гипотенуза = BC / AC
Косинусы или cos θ = сторона, примыкающая к θ / гипотенуза = AB / AC
Касательная или тангенс θ = сторона, противоположная θ / сторона, примыкающая к θ = BC / AB
Аналогичным образом мы запишем тригонометрические значения для обратных свойств, отношений Sec, Cosec и Cot.
Sec θ = 1/Cos θ = Гипотенуза / Сторона, примыкающая к углу θ = AC / AB
Cosec θ = 1/Sin θ = Гипотенуза / Сторона, противоположная углу θ = AC / BC
- 1 Cot θ = 1/tan θ = Сторона, примыкающая к углу θ / Сторона, противоположная углу θ = AB / BC 9{\circ} \]
Угол (в радианах)
0
\[\frac{\pi}{2\frac{\pi}{2\frac]
6 9017 {4}\]\[\frac{\pi}{3}\]
\[\frac{\pi}{2}\]
Sin θ 970003 6
0
\[ \frac{1}{2}\]
\[ \frac{1}{\sqrt{2}}\]
\[ \frac{\sqrt {3}}{2}\]
1
Cos θ
1
\[ \frac{\sqrt{3}}{2}\]
\[ \frac{1}{ \ sqrt {2}} \]
\ [\ frac {1} {2} \]
0
TAN θ
969TAN θ 9017
TAN θ 9017
{1}{\sqrt{3}}\]
1
\[\sqrt{3}\]
\[\infty\]
COT θ
\ [\ Infty \]
\ [\ SQRT {3} \]
1
96 \ 9000 301012\.
{3}} \]0
Sec θ
1
\ [\ FRAC {
\ \sqrt{2}\]
2
\[\infty\]
Cosec θ
\[\infty\]
2
\[\sqrt{2}\]
}[sq{\frac{\frac{\frac{\frac{\frac{\frac{171}}1} ] 1
Знак тригонометрических функций
(изображение будет загружено в ближайшее время)
Тригонометрия Форма
,
Тригонометрия Форма
,
.
cos (90°- θ) = sin θ
тангенс (90°- θ) = cot θ
cot (90°- θ) = tan θ
сек (90°- θ) = cosec θ
cosec θ = θ сек (90°- θ)
SIN (90 °+ θ) = COS θ
COS (90 °+ θ) = -SIN θ
TAN (90 °+ θ) = -COT θ
TAN (90 °+ θ) = -COT θ
TAN (90 °+ θ) = -COT θ
(90 °+ θ) = -COT θ
.
90°+ θ) = -tan θсек (90°+ θ) = -cosec θ
cosec (90°+ θ) = сек θ
sin (180°) грех θ
COS (180 ° — θ) = -cos θ
Тан (180 ° — θ) = -tan θ
Cot (180 ° -θ) = -Cot θ
00 0 0 0 0 0 21 9021 COT (180 ° -θ) = -COT θ
9021(180 ° -θ) = -COT θ
902100 0 0 0 . (180°- θ) = -сек θ
cosec (180°- θ) = cosec θ
sin (180°+ θ) = -sin θ 180+2 cosec
88211 90 θ) = -cos θtan (180°+ θ) = tan θ
ctg (180°+ θ) = cot θ
сек (180°+ θ)9 с0003
COSEC (180 °+ θ) = -cosec θ
SIN (360 ° — θ) = -SIN θ
COS (3600 ° — -θ
COS (3600 ° — -° -θ θ) θ) θ) θ).
tan (360°- θ) = -tan θcot (360°- θ) = -cot θ
сек (360°- θ) = сек θ
cosec (36003
cosec ) = -cosec θ
sin (360°+ θ) = sin θ
cos (360°+ θ) = cos θ
tan (360°+ θ) = -tan θ
cot (360°+ θ) = -cot θ
сек (360°+ θ) = сек θ
- coсек θ) = -cosec θ
sin (270°- θ) = -cos θ
cos (270°- θ) = -sin θ
cos (270°+ θ) = sin θ
Tan θ = sin θ/cos θ
Cot θ = cos 1 902 θ/sin 00821
sin θ = tan θ/cos θ
cos θ = sin θ/tan θ
Sec θ = tan θ θ
Cose θ = cos θ/tan/tan/tan/tan/tan/tan/tan/tan/tan/tan/tan/tan/tan/tan/tan/tan/tan/tan/tan/tan/tan/tan/tan/tan/tan/tan/tan/tan/tan/tan/tan/tan/tan/tan/tan/tan/tan/tan/tan/tan/tan/tan/tan/tan/tan/tan/tan
22222 Отсюда мы можем сказать, что
сек θ .
Cos θ =1Cosec θ . Sin θ =1
Cot θ. Tan θ =1
Тригонометрические таблицы в основном предназначены для перечисления отношений углов, таких как 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, а также таких углов, как 180°, 270°, 360°. °. Это табличная сводка значений. Прогнозирование значений в тригонометрических таблицах и использование этой таблицы в качестве справочного материала для расчета значений тригонометрических функций под различными другими углами на основе закономерностей, обнаруженных в тригонометрических соотношениях и даже между углами, становится простым при решении задач.
Функция синуса, функция косинуса, функция тангенса, функция раскладушки, функция сек и функция косинуса — все это тригонометрические функции. Вы можете использовать тригонометрические таблицы, чтобы найти значения углов для стандартных тригонометрических функций, таких как 0 ∘ , 30 ∘ , 45 ∘ , 60 ∘ , 90 ∘ .
Существуют различные тригонометрические отношения, такие как синус, косинус, тангенс, котангенс, секунда, котангенс и так далее. Согласно математическим критериям, sin, cos, tan, cosec, sec и cot являются аббревиатурами этих отношений. Чтобы решить задачу по тригонометрии, учащимся необходимо запомнить эти стандартные значения.Тригонометрические таблицы представляют собой набор значений тригонометрических соотношений стандартных углов, включая 0°, 30°, 45°, 60° и 90°. Его также можно использовать для поиска значений других углов, таких как 180°, 270°, 360°, в виде таблицы. Вы можете заметить различные закономерности в тригонометрических соотношениях и между каждым углом, зная, что это может значительно облегчить быстрое решение задач. Поэтому легко предсказать значения в тригонометрических таблицах, а также вы можете использовать таблицу в качестве справочника для расчета тригонометрических значений для других нестандартных углов. Различные тригонометрические функции в математике — это функции синуса, косинуса, тангенса, раскладушки, сек и косек.
Уловки для запоминания тригонометрических значений
Один из простых способов запомнить значения — сначала выучить значения sin. Запомните значения sin от 0° до 90°, а затем значения cos будут просто обратными значениями sin, т.е. от sin 90° до 0° будут значения Cos 0° — 90°.
После этого следуйте формулам, например, значение Tan равно sin/cos, значение Cosec является обратным значению sin, значение Sec является обратным значениям Cos, а значение Cot является обратным значению tan.
Для значений Sin посчитайте пальцы на руке от 0 до 4 слева направо и считайте их углами от 0° до 90°. Разделите каждый из них на 4 ( 0/4, 1/4…) и извлеките квадратный корень из значений (0, 1/2…), чтобы получить требуемые углы. За исключением угла 45°, который получается путем взятия квадрата корень предыдущего угла, т.
е. угла 30°.
Тригонометрические функции — формулы, графики, примеры, значения
Тригонометрические функции — это шесть основных функций, которые имеют входное значение домена в виде угла прямоугольного треугольника и числовой ответ в виде диапазона. Тригонометрическая функция (также называемая «тригонометрической функцией») f(x) = sinθ имеет область определения, которая представляет собой угол θ, заданный в градусах или радианах, и диапазон [-1, 1]. Точно так же у нас есть домен и диапазон от всех других функций. Тригонометрические функции широко используются в исчислении, геометрии, алгебре.
Здесь, в приведенном ниже содержании, мы будем стремиться понять тригонометрические функции в четырех квадрантах, их графики, область и диапазон, формулы и дифференцирование, интегрирование тригонометрических функций. Мы решим несколько примеров, используя эти шесть триггерных функций, чтобы лучше понять их и их приложения.
1. Что такое тригонометрические функции? 2. Формулы тригонометрических функций 3. Значения тригонометрических функций 3. Триггерные функции в четырех квадрантах 4. График тригонометрических функций 5. Область определения и область значений тригонометрических функций 6. Тождества тригонометрических функций 7. Обратные тригонометрические функции 8. Производные тригонометрических функций 9. Интегрирование тригонометрических функций 10. Часто задаваемые вопросы о тригонометрических функциях Что такое тригонометрические функции?
В тригонометрии используются шесть основных тригонометрических функций.
Эти функции являются тригонометрическими отношениями. Шесть основных тригонометрических функций — это функция синуса, функция косинуса, функция секанса, функция косеканса, функция тангенса и функция котангенса. Тригонометрические функции и тождества — отношения сторон прямоугольного треугольника. Сторонами прямоугольного треугольника являются перпендикулярная сторона, гипотенуза и основание, которые используются для вычисления значений синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса и котангенса с использованием тригонометрических формул.Формулы тригонометрических функций
У нас есть определенные формулы для нахождения значений триггерных функций с использованием сторон прямоугольного треугольника. Для записи этих формул мы используем сокращенную форму этих функций. Синус записывается как sin, косинус — как cos, тангенс — как tan, секанс — как sec, косеканс — как cosec, а котангенс — как cot. Основные формулы для нахождения тригонометрических функций следующие:
- sin θ = Перпендикуляр/Гипотенуза
- cos θ = основание/гипотенуза
- тангенс θ = Перпендикуляр/Основание
- с θ = гипотенуза/основание
- cosec θ = гипотенуза/перпендикуляр
- кроватка θ = основание/перпендикуляр
Как видно из приведенных выше формул, синус и косеканс обратны друг другу.
Точно так же обратными парами являются косинус и секанс, тангенс и котангенс.Значения тригонометрических функций
Тригонометрические функции имеют область определения θ, выраженную в градусах или радианах. Некоторые из главных значений θ для различных тригонометрических функций представлены ниже в таблице. Эти главные значения также называются стандартными значениями триггерных функций при определенных углах и часто используются в расчетах. Главные значения тригонометрических функций были получены из единичной окружности. Эти значения также удовлетворяют всем тригонометрическим формулам.
Триггерные функции в четырех квадрантах
Угол θ является острым углом (θ < 90°) и измеряется относительно положительной оси x против часовой стрелки. Кроме того, эти триггерные функции имеют разные числовые знаки (+ или -) в разных квадрантах, которые основаны на положительной или отрицательной оси квадранта. Тригонометрические функции Sinθ, Cosecθ положительны в квадрантах I и II и отрицательны в квадрантах III и IV.
Все тригонометрические функции имеют положительный диапазон в первом квадранте. Тригонометрические функции Tanθ, Cotθ положительны только в квадрантах I и III, а тригонометрические отношения Cosθ, Secθ положительны только в квадрантах I и IV.Тригонометрические функции имеют значения θ, (90° — θ) в первом квадранте. Тождества кофункций обеспечивают взаимосвязь между различными дополнительными тригонометрическими функциями для угла (90 ° — θ).
- sin(90°-θ) = cos θ
- cos(90°-θ) = sin θ
- тангенс (90°-θ) = раскладушка θ
- раскладушка (90°-θ) = тангенс θ
- сек (90°-θ) = cosec θ
- cosec(90°-θ) = sec θ
Значение домена θ для различных тригонометрических функций во втором квадранте равно (π/2 + θ, π — θ), в третьем квадранте равно (π + θ, 3π/2 — θ), а в четвертом квадранте равно ( 3π/2 + θ, 2π — θ). Для π/2, 3π/2 тригонометрические величины изменяются как их дополнительные отношения, такие как Sinθ⇔Cosθ, Tanθ⇔Cotθ, Secθ⇔Cosecθ.
Для π, 2π тригонометрические значения остаются прежними. Изменение тригонометрических отношений в разных квадрантах и углах можно понять из приведенной ниже таблицы.Тригонометрическое отношение I — Квадрант II — Квадрант III квадрант IV квадрант θ π/2 — θ π/2 + θ π-θ π + θ 3π/2 — θ 3π/2 + θ 2π — θ Синθ Косθ Косθ Синθ -Sinθ -Косθ -Косθ -Sinθ Cosθ Синθ -Sinθ -Косθ -Косθ -Sinθ Синθ Косθ Танθ Детская кроватка — Кот θ -Танθ Танθ Детская кроватка — Кот θ -Тан θ Кот θ Танθ -Тан θ — Кот θ Детская кроватка Танθ -Тан θ — Кот θ Секθ Косекθ -Косекθ -сек -сек -Косекθ Косекθ сек θ Косекθ сек θ сек θ Косекθ -Косекθ -сек -сек -Косекθ График тригонометрических функций
На графиках тригонометрических функций значение домена θ представлено по горизонтальной оси x, а значение диапазона представлено по вертикальной оси y.
Графики Sinθ и Tanθ проходят через начало координат, а графики других тригонометрических функций через начало координат не проходят. Диапазон Sinθ и Cosθ ограничен [-1, 1]. Диапазон бесконечных значений представлен пунктирными линиями.Область и диапазон тригонометрических функций
Значение θ представляет область определения тригонометрических функций, а результирующее значение представляет собой диапазон тригонометрической функции. Значения домена θ указаны в градусах или радианах, а диапазон представляет собой действительное числовое значение. Как правило, область определения тригонометрической функции представляет собой действительное числовое значение, но в некоторых случаях некоторые значения углов исключаются, поскольку это приводит к бесконечному значению диапазона. Тригонометрические функции являются периодическими функциями. В таблице ниже представлены область и диапазон шести тригонометрических функций.
Тригонометрические функции Домен Диапазон Синθ (-∞, + ∞) [-1, +1] Cosθ (-∞ +∞) [-1, +1] Танθ Р — (2n + 1)π/2 (-∞, +∞) Детская кроватка Р — № (-∞, +∞) Секθ Р — (2n + 1)π/2 (-∞, -1] U [+1, +∞) Косекθ Р — № (-∞, -1] U [+1, +∞) Тождества тригонометрических функций
Тождества тригонометрических функций в широком смысле делятся на тождества взаимности, формулы Пифагора, тождества суммы и разности тригонометрических функций, формулы для кратных и дольных углов, тождеств суммы и произведения.
Все приведенные ниже формулы можно легко вывести, используя отношение сторон прямоугольного треугольника. Более высокие формулы могут быть получены с использованием основных формул тригонометрических функций. Взаимные тождества часто используются для упрощения тригонометрических задач.Взаимные тождества
- cosec θ = 1/sin θ
- сек θ = 1/cos θ
- раскладушка θ = 1/загар θ
- sin θ = 1/косек θ
- cos θ = 1/сек θ
- загар θ = 1/кот θ
Пифагорейские тождества
- Sin 2 θ + Cos 2 θ = 1
- 1 + Тан 2 θ = Секунда 2 θ
- 1 + Cot 2 θ = Cosec 2 θ
Тождества суммы и разности
- sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)
- cos(x+y) = cos(x)cos(y) – sin(x)sin(y)
- тангенс(х+у) = (тангенс х + тангенс у)/(1-тангенс х тангенс у)
- sin(x–y) = sin(x)cos(y) – cos(x)sin(y)
- cos(x–y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)
- тангенс(х-у) = (тангенс х-тангенс у)/(1+тангенс х тангенс у)
Полуугольные тождества
- sin A/2 = ±√[(1 — cos A) / 2]
- cos A/2 = ±√[(1 + cos A) / 2]
- tan A/2 = ±√[(1 — cos A) / (1 + cos A)] (или) sin A / (1 + cos A) (или) (1 — cos A) / sin A
Тождества с двойным углом
- sin(2x) = 2sin(x) cos(x) = [2tan x/(1+tan 2 x)]
- cos(2x) = cos 2 (x)–sin 2 (x) = [(1-tan 2 x)/(1+tan 2 x)]
- cos(2x) = 2cos 2 (x)−1 = 1–2sin 2 (x)
- tan(2x) = [2tan(x)]/[1−tan 2 (x)]
- раскладушка(2x) = [раскладушка 2 (x) — 1]/[2раскладушка(x)]
- сек (2x) = сек 2 x/(2-сек 2 x)
- косек (2x) = (сек х косек х)/2
Трехугольные тождества
- Sin 3x = 3sin x – 4sin 3 x
- Cos 3x = 4cos 3 x — 3cos x
- Tan 3x = [3tanx-tan 3 x]/[1-3tan 2 х]
Идентификаторы продуктов
- 2sinx⋅cosy=sin(x+y)+sin(x−y)
- 2cosx⋅cosy=cos(x+y)+cos(x−y)
- 2sinx⋅siny=cos(x−y)−cos(x+y)
Сумма тождеств
- sinx+siny=2sin((x+y)/2) . cos((х-у)/2)
- sinx-siny=2cos((x+y)/2) . грех((х-у)/2)
- cosx+cosy=2cos((x+y)/2) . cos((х-у)/2)
- cosx-cosy=-2sin((x+y)/2 . sin((x-y)/2)
Обратные тригонометрические функции
Обратные тригонометрические функции являются обратными соотношениями основных тригонометрических соотношений. Здесь базовую тригонометрическую функцию Sin θ = x можно изменить на Sin -1 x = θ. Здесь x может иметь значения в целых числах, десятичных дробях, дробях или показателях степени. Для θ = 30° имеем θ = Sin -1 (1/2). Все тригонометрические формулы могут быть преобразованы в формулы обратной тригонометрической функции.
Произвольные значения: Формула обратной тригонометрической пропорции для произвольных значений применима ко всем шести тригонометрическим функциям. Для обратных тригонометрических функций синуса, тангенса, косеканса отрицательные значения переводятся как отрицательные значения функции.
А для функций косеканса, секанса, котангенса минусы домена переводятся как вычитание функции из значения π.- Sin -1 (-x) = -Sin -1 x
- Тан -1 (-x) = -Tan -1 x
- Cosec -1 (-x) = -Cosec -1 x
- Cos -1 (-x) = π — Cos -1 x
- Секунда -1 (-x) = π — Секунда -1 x
- Детская кроватка -1 (-x) = π — Детская кроватка -1 x
Обратные тригонометрические функции обратных и дополнительных функций аналогичны основным тригонометрическим функциям. Взаимоотношения основных тригонометрических функций, синуса-косеканса, косеканса, тангенса-котангенса, можно интерпретировать для обратных тригонометрических функций. Также дополнительные функции, так как косинус, тангенс-котангенс и секанс-косеканс, можно интерпретировать как:
Обратные функции: Обратная тригонометрическая формула арксинуса, арккосинуса и арктангенса также может быть выражена в следующих формах.
- Sin -1 x = Cosec -1 1/x
- Cos -1 x = сек -1 1/x
- Желто-коричневый -1 x = Детская кроватка -1 1/x
Дополнительные функции: Дополнительные функции синуса-косинуса, тангенса-котангенса, секанса-косеканса дают в сумме π/2.
- Sin -1 x + Cos -1 x = π/2
- Желто-коричневый -1 x + Детская кроватка -1 x = π/2
- сек -1 х + косек -1 х = π/2
Производные тригонометрических функций
Дифференцирование тригонометрических функций дает наклон касательной кривой. Дифференцирование Sinx есть Cosx, и здесь, применяя значение x в градусах для Cosx, мы можем получить наклон касательной кривой Sinx в конкретной точке. Формулы дифференцирования тригонометрических функций полезны для нахождения уравнения касательной, нормали, для нахождения погрешностей в вычислениях.
- д/дх. Синкс = Коскс
- д/дх. Cosx = -Sinx
- д/дх. Tanx = Секунда 2 x
- д/дх. Cotx = -Cosec 2 x
- d/dx.Secx = Secx.Tanx
- д/дх. Cosecx = — Cosecx.Cotx
Интегрирование тригонометрической функции
Интегрирование тригонометрических функций помогает найти площадь под графиком тригонометрической функции. Как правило, площадь под графиком тригонометрической функции может быть рассчитана относительно любой из осевых линий и в пределах определенного предельного значения. Интегрирование тригонометрических функций помогает найти площадь плоских поверхностей неправильной формы.
- ∫ cosx dx = sinx + C
- ∫ sinxdx = -cosx + C
- ∫ сек 2 х dx = tanx + C
- ∫ cosec 2 x dx = -cotx + C
- ∫ secx.tanx dx = secx + C
- ∫ cosecx.cotx dx = -cosecx + C
- ∫ tanx dx = log|secx| + С
- ∫ cotx. dx = log|sinx| + С
- ∫ secx dx = log|secx + tanx| + С
- ∫ cosecx.dx = log|cosecx — cotx| + С
См. также
Следующие ссылки по теме помогают лучше понять тригонометрические тождества.
- Тригонометрия
- Суммировать формулы произведения
- Алгебраические тождества
Решенные примеры на тригонометрические функции
Пример 1: Найдите значение Sin75°.
Решение:
Цель состоит в том, чтобы найти значение Sin75°.
Здесь мы можем использовать формулу Sin(A + B) = SinA.CosB + CosA.SinB.
Здесь мы имеем A = 30° и B = 45°
Sin 75° = Sin(30° + 45°)
= Sin30°.Cos45° + Cos30°.Sin45°
= (1/2) (1/√2) + (√3/2) (1/√2)
= 1/2√2 + √3/2√2
= (√3 + 1) / 2√2
Ответ: Sin75° = (√3 + 1) / 2√2
Пример 2: Найдите значение тригонометрических функций для заданного значения 12Tanθ = 5,
Решение:
Указано 12tanθ = 5, и у нас есть Tanθ = 5/12
Tanθ = Perpendicular/Base = 5/12
Применение Pythagorean Theoorem Мы имеем:
Гиплена 2 = Перпендикулярный.
2 + Основание 2 HYP 2 = 12 2 + 5 2
= 144 + 25
= 169
Hyp = 13
. Следовательно
Sinθ = Perp/Hyp = 5/13
Cosθ = База/Hyp = 12/13
Cotθ = База/Perp = 12/5
Secθ = Hyp/Base = 13/12
Cosecθ = Hyp/Perp = 13/5
Пример 3: Найдите значение произведения шести тригонометрических функций.
Решение: Мы знаем, что cosec x является обратной величиной sin x, а sec x является обратной величиной cos x. Кроме того, tan x можно записать как отношение sin x и cos x, cot x можно записать как отношение cos x и sin x. Итак, у нас
sinx × cosx × tanx × cotx × secx × cosecx = sinx × cosx × (sinx/cosx) × (cosx/sinx) × (1/cosx) × (1/sinx)
= (sinx × cosx) / (sinx × cosx) × (sinx/cosx) × (cosx/sinx)
= 1 × 1
= 1
Ответ: Произведение шести тригонометрических функций равно 1.
перейти к слайду перейти к слайду перейти к слайду
Отличное обучение в старшей школе с использованием простых подсказок
Увлекаясь зубрежкой, вы, скорее всего, забудете понятия. С Cuemath вы будете учиться визуально и будете удивлены результатами.
Записаться на бесплатный пробный урок
Практические вопросы по тригонометрическим функциям
перейти к слайдуперейти к слайду
Часто задаваемые вопросы по тригонометрическим функциям
Что такое шесть тригонометрических функций?
Тригонометрические функции являются результатом отношения сторон прямоугольного треугольника. Для трех сторон треугольника, таких как гипотенуза, основание, высота, и для угла между гипотенузой и основанием, равного θ, значение шести тригонометрических отношений следующее.
- Sinθ = Высота/Гипотенуза
- Cosθ = Основание/Гипотенуза
- Tanθ = высота/база
- Cotθ = База/Высота
- секθ = гипотенуза/основание
- Cosecθ = гипотенуза/высота
Как найти тригонометрические функции?
Тригонометрические функции представляют собой отношение сторон прямоугольного треугольника.
Далее также применим правило Пифагора Гипотенуза 2 = Высота 2 + Основание 2 . Кроме того, тригонометрические функции имеют разные значения для разных значений угла между гипотенузой и основанием прямоугольного треугольника.Что такое область определения и диапазон тригонометрических функций?
Область определения тригонометрической функции — это значение θ в Sinθ, а диапазон — конечное числовое значение Sinθ. Это понятие можно аналогичным образом применить ко всем другим тригонометрическим функциям. Далее значения домена могут быть любыми угловыми значениями, но здесь мы имеем главные значения углов как 0°, 30°, 45°, 60°, 90°. И диапазоном являются самые высокие и самые низкие значения, которые получены. Это [-1, 1] для sinθ, cosθ и (-∞, +∞) для tanθ, cotθ.
Какой результат умножения шести тригонометрических функций?
Результат умножения шести тригонометрических функций выглядит следующим образом. Sinθ.Cosθ.Tanθ.
Cotθ.Secθ.Cosecθ = Sinθ.Cosθ.Sinθ/Cosθ.Cosθ/Sinθ.1/Cosθ.1/Sinθ = 1.Каково общее решение тригонометрической функции Sinx?
Общее решение Sinx равно nπ + (-1) н х. Это представляет все более высокие значения угла Sinx. Для x = π/3 мы имеем более высокие значения x как 2π/3, 7π3, а общее решение x равно nπ +(-1) n π/3.
Каково общее решение тригонометрической функции Cosx?
Общее решение Cosx равно 2nπ + x. Это общее решение представляет все более высокие значения угла Cosx. Для x = π/4 высшие значения x равны 7π/4, 9π/4, а общее решение x равно 2nπ .+ π/4.
Каково общее решение триггерной функции Tanx?
Общее решение Tanx равно nπ + x. Общее решение представляет собой все более высокие значения углов Tanx. При x = π/6 более высокие значения x равны 7π/6, 13π/6, а общее решение x равно nπ + π/6.
Как дифференцировать тригонометрические функции?
Дифференцирование тригонометрической функции приводит к наклону касательной к кривой тригонометрической функции.
Дифференцирование sinx приводит к cosx, который путем замены значения x в градусах дает значение наклона касательной к кривой sinx. Дифференциация рассчитывается с использованием первого принципа производных. Далее, у нас есть дифференцирование шести тригонометрических функций следующим образом.- д/дх. Синкс = Коскс
- д/дх. Cosx = -Sinx
- д/дх. Tanx = Секунда 2 x
- д/дх. Cotx = -Cosec 2 x
- d/dx.Secx = Secx.Tanx
- д/дх. Cosecx = — Cosecx.Cotx
Каковы применения тригонометрических функций?
Тригонометрические функции имеют множество приложений в исчислении алгебры координатной геометрии. Наклон линии, нормальная форма уравнения лжи, параметрические координаты параболы, эллипса, гиперболы — все это вычисляется и представляется с помощью тригонометрических функций. Тригонометрические функции можно использовать для нахождения высоты дерева при заданном расстоянии дерева от точки наблюдения.
Кроме того, тригонометрические функции широко используются в астрономии для определения расстояний до звезд и небесных тел с помощью заданного значения угла. 9\circ$ и их кратные.Триггерные значения кратных $\dfrac{\pi}{2}$
$\тета$ $\sin\тета$ $\cos\тета$ $\загар\тета$ $\кот\тета$ $\сек\тета$ $\csc\тета$ 0 0 1 0 не определено 0 не определено $\dfrac{\pi}{2}$ 1 0 не определено 0 не определено 0 $\пи$ 0 $-1$ 0 не определено $-1$ не определено $\dfrac{3\pi}{2}$ $-1$ 0 не определено 0 не определено $-1$ Доказательство: Поскольку длина окружности равна задается формулой $C=2\pi r$, длина окружности единичного круга равна $2\pi$.
Одна четвертая часть этого расстояния, $\dfrac{\pi}{2}$, будет длиной дуги окружности между соседними осями координат. Следовательно, точка с координатами
$(0,1)$ будет соответствовать длине дуги $\dfrac{\pi}{2}$, а
Определение единичной окружности предоставит значения шести тригонометрических функций $\dfrac{\pi}{2}$. Доказательства для других длин дуг аналогичны.♦ 9\circ$. Потому что ни один из
эти значения являются острым углом, нет доказательства с участием треугольников
для этих значений.Триггерные значения кратных $\dfrac{\pi}{4}$
$\тета$ $\sin\тета$ $\cos\тета$ $\загар\тета$ $\кот\тета$ $\сек\тета$ $\csc\тета$ $\dfrac{\pi}{4}$ $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 9\circ$. Предположим, что сторона $AC$ имеет длину 1. Тогда сторона $BC$ также имеет длину 1, и по теореме Пифагора сторона $AC$ имеет длину $\sqrt{2}$. Ценности
для шести тригонометрических функций следует теорема о соотношениях треугольников.♦Триггерные значения кратных $\dfrac{\pi}{6}$
$\тета$ $\sin\тета$ $\cos\тета$ $\загар\тета$ $\кот\тета$ $\сек\тета$ $\csc\тета$ $\dfrac{\pi}{6}$ $\dfrac12$ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ $\sqrt{3}$ $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ 2 $\dfrac{\pi}{3}$ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $\dfrac12$ $\sqrt{3}$ $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ 2 $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ Доказательство: Пусть $A$ будет точкой $(1,0)$ на единичной окружности и выбираем точки $B$ и $C$ в первом квадранте так, что длина дуги $AB$ равна $\dfrac{\pi}{6}$, а длина дуги $AC$ равна $\dfrac{\pi}{3}$.
2=1$. Решение этой системы дает \
$\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac12\right)$ как координаты точки $B$. Определение и основные
затем тождества производят значения шести тригонометрических
функции.♦Альтернативное доказательство: Пусть $ABC$ будет равносторонний треугольник. Пусть точка $D$ будет пересечением сторона $BC$ с высотой от вершины $A$. Посредством Теорема о гипотенузе-ноге геометрии, треугольники $ABD$ и $ACD$ конгруэнтны. Поэтому высота из $A$ делится пополам сторона $BC$. Если сторона $AB$ имеет длину 2, то $BD$ имеет длину 1, и по теореме Пифагора сторона $AD$ имеет длина $\sqrt{3}$. Шесть тригонометрических функций будут следовать теореме об отношениях треугольников.♦
В дополнение к этим основным значениям мы также можем определить точное значения функции синуса под углами, кратными 15 градусам и кратными 18 градусам.
3. Значения тригонометрических функций
М. Борна
В последнем разделе «Синус, косинус, тангенс и обратные отношения» мы узнали, как определяются тригонометрические отношения и как мы можем использовать x -, y — и r -значения ( r находится с помощью теоремы Пифагора) для оценки отношений.
Теперь мы рассмотрим несколько примеров этих соотношений.
Нахождение точных значений тригонометрических отношений
Найдите точных указанных значений. Это означает, что не используйте свой калькулятор, чтобы найти значение (которое обычно будет десятичной аппроксимацией). Держите все в терминах surds (квадратный корень). Вам нужно будет использовать Пифагор Теорема.
Пример 1
92)=кв.(65)`Так
`sin theta=y/r=4/sqrt(65)`
Пример 2
Найдите точные значения всех 6 тригонометрических соотношений числа θ , если конечная сторона θ проходит через «(2, 10)».
Ответить
«Найти все 6 тригонометрических соотношений θ »
означает
«найти sin θ , cos θ , tan θ 2 θ , csc
102)=sqrt104=2sqrt26`Теперь мы используем r , чтобы найти требуемые тригонометрические отношения.
`sin theta=y/r=10/(2sqrt26)=5/sqrt26`
`cos theta=x/r=2/(2sqrt26)=1/sqrt26`
`tan theta=y/x=10/2=5`
`csc theta=r/y=(2sqrt26)/10= sqrt26/5`
`sec theta=r/x=(2sqrt26)/2=sqrt26`
`cot theta=x/y=2/10=1/5`
Следующие два случая очень распространены при изучении точных тригонометрических соотношений. 9″o») = sqrt2`
Нахождение тригонометрических соотношений с помощью калькулятора
Предложение: Найди инструкцию к своему калькулятору. Он вам обязательно понадобится в этом разделе. Каждая марка и модель калькулятора немного отличается — пожалуйста, не ожидайте, что ваш учитель знает, как использовать каждую модель калькулятора каждой марки!
Внимание: Убедитесь, что ваш калькулятор правильно настроен на режим градусов (не режим радиан !) для этого раздела. [Мы узнаем о радианах позже. Очень легко запутаться в этих задачах, когда вы смешиваете градусы и радианы — всегда проверяйте, разумен ли ваш ответ, прежде чем двигаться дальше.
]Пример 4
Найти с помощью калькулятора. Ответ правильный с точностью до 4 знаков после запятой.
а. грех 49 или
б. cos 27.53 или
в. желтовато-коричневый 26 или 35 футов 57 дюймов
д. csc 18.34 или
эл. сек 5 o 34’72»
ф. детская кроватка 73 или
Ответить
а. Это всего лишь один шаг на калькуляторе.
sin 49 o = 0,7547
б. Этот вопрос также является всего лишь одним шагом на калькуляторе, поскольку он представлен в виде десятичной степени.
cos 27,53 o = 0,8868
г. Для этого следующего вам нужно убедиться, что вы знаете, как вводить угол в форме DMS (градусы — минуты — секунды).
тан 26 o 35’57» = 0,5007
д. У вас на калькуляторе нет кнопки «csc», поэтому вам нужно сделать это в 2 шага.
Найдите грех 18,34 или , затем нажмите кнопку «1/x» (или кнопку « x -1 »), чтобы найти обратную величину.csc 18,34 или = 3,1781
эл. Аналогично с этим, вам нужно сначала найти cos 5 o 34’72», а затем нажать кнопку «1/x».
сек 5 o 34’72» = 1,0048
ф. Как и в случае с номерами 4) и 5), вам нужно сначала найти tan 73 o , а затем нажать кнопку «1/x».
детская кроватка 73 или = 0,3057
Нахождение углов по коэффициенту триггера
Теперь мы будем работать наоборот. Мы можем знать окончательное тригонометрическое отношение, но не знать первоначальный угол.
Пример 5
Найдите θ , учитывая, что тангенс θ = 0,3462 и что 0 o ≤ θ < 90 o .
Решение:
Нам нужно использовать 9-1`».
Вы часто будете встречать «арктан» в этом
сайт, а не тан -1 . Это помогает нам помнить разницу между , обратным отношением («cot») и обратной функцией («arctan»).В приведенном выше примере мы бы написали:
θ = арктангенс 0,3462 = 19,096 o .
Вы также увидите «`arcsin`», «`arccos`», «`»arccsc»`» и т. д. Подробнее об этом см. в разделе Тригонометрические функции любого угла. 9-1`» и «`csc`». Это НЕ одно и то же!
Пример: sin -1 0,935 = 69,23 o (эта дает нам угол ).
Но csc 0,935 = 1,2429 (знака степени на 0,935 нет, поэтому оно должно быть в радианах).
Это «csc» угла «0,935» радиан. Это отношение , а не угол, и как видите имеет другое значение. Мы встречаемся с радианами позже в 7. Радианы.
Для записи: `csc 0.935` означает:
`csc 0,935=1/(sin 0,935)=1,2429` (в радианах)
Упражнения — Нахождение углов
Найдите θ для 0 o ≤ θ < 90 o , учитывая, что
1.
«o»` до `9Кнопка -1` для получения:θ = sin -1 0,12019 = arcsin 0,12019 = 6,9032 o
4. Как и в случае с Q3, сначала нужно найти обратную величину.
«сек\ θ = 6,96», что дает нам «cos θ = 1/6,96 = 0,143678».
Поэтому
θ = cos -1 0,143678 = arccos 0,143678 = 81,739 o
Объяснение урока: Точные значения тригонометрических отношений
В этом объяснении мы узнаем, как найти точное значение тригонометрической функции для углов в радианах.
Мы нашли точные значения тригонометрических соотношений углов в градусах. Важные, о которых следует помнить, перечислены ниже. стол.
𝑥 0∘ 30∘ 45∘ 60∘ 90∘ sin𝑥 0 12 √22 √32 1 cos𝑥 1 √32 √22 12 0 tan𝑥 0 √33 1 √3 Undefined Мы нашли эти значения либо с помощью определения тригонометрических отношений с использованием единичной окружности с центром в начале координат или путем построения прямоугольных треугольников с известными углами и длинами сторон.
Мы могли бы повторить эти процессы еще раз, чтобы найти точные значения тригонометрических отношений в радианы. Однако нам не нужно этого делать; вместо этого мы можем просто преобразовать углы, которые мы уже нашли в радианы. Это дало бы нам таблицу точных значений углов, измеренных в радианы.
Мы можем преобразовать измеренный угол 𝑥 в градусах в единицу, измеренную в радианах, путем умножения это на 𝜋180. Это означает, что 5 углов в нашей таблице можно записать как 0×𝜋180=0,30×𝜋180=𝜋6,45×𝜋180=𝜋4,60×𝜋180=𝜋3,90×𝜋180=𝜋2.radradradradrad
Это дает нам следующую таблицу для точных значений тригонометрических функций для углов, измеренных в радианы.
Свойство: Точные значения тригонометрических отношений для углов, измеренных в радианах
𝑥 0 rad 𝜋6 rad 𝜋4 rad 𝜋3 rad 𝜋2 rad sin𝑥 0 12 √22 √32 1 cos𝑥 1 √32 √22 12 0 tan𝑥 0 √33 1 √3 Undefined This allows us to easily оценивайте любые тригонометрические функции при этих значениях с помощью вспоминая таблицу или даже их значения в градусах.
Например, мы можем просто сказать, что tan𝜋3=√3
поскольку мы знаем, что это то же самое, что и tan60∘. Мы
иногда обращаюсь к этим
как специальные углы, так как мы можем легко вычислить тригонометрические
работает под этими углами.Мы видели, как использовать эти известные значения с различными тождествами для определения точного значения тригонометрических функций при других значениях. Например, мы знаем что касательная функция является периодической с периодом 180∘ или 𝜋 рад. Это означает что тантан(𝑥+𝑛𝜋)=(𝑥) для любого целого числа 𝑛 и угол 𝑥 измеряется в радианах.
Мы можем использовать это тождество и эти известные значения тригонометрической функции, чтобы найти другие значения. Рассмотрим загар7𝜋6; мы знаем, что 7𝜋6=𝜋+𝜋6, поэтому, используя периодичность касательной функции, мы имеем тантантан7𝜋6=𝜋+𝜋6=𝜋6.
Затем заметим, что tan𝜋6=√33. Следовательно, загар7𝜋6=√33.
Результаты в таблице можно объединить и с другими тригонометрическими тождествами. Например, мы можем напомним, что тождества кофункций скажите нам, что cossin(90+𝑥)=−(𝑥)∘; в в радианах, то есть косинус𝜋2+𝑥=−(𝑥). Мы также можем использовать это тождество, чтобы найти точное значение тригонометрической функции. Если мы установим 𝑥=𝜋4, тогда у нас есть cossincos𝜋2+𝜋4=−𝜋43𝜋4=−√22.
В нашем первом примере мы будем вычислять тригонометрическую функцию под особым углом измеряется в радианах.
Пример 1. Нахождение точного значения косинуса в радианах
Найдите значение cos𝜋3.
Ответ
Один из способов ответить на этот вопрос — сначала преобразовать угол в радианах в угол в градусах. Мы делаем это по умножив на 180𝜋. У нас есть 𝜋3×180𝜋=1803=60∘
Тогда мы можем вспомнить cos60∘. Следовательно, cos𝜋3=12.
Конечно, полезно совершать преобразования полезных углов и точные значения тригонометрических соотношений под этими особыми углами к памяти.
В любом случае имеем cos𝜋3=12.
В нашем следующем примере мы будем использовать тождество для вычисления тригонометрического функция без калькулятора с использованием тождества.
Пример 2. Нахождение точного значения отношения тангенса с использованием тождества
Найдите значение tan5𝜋6.
Ответ
Прежде всего заметим, что аргумент функции 5𝜋6 не является стандартным углом, поэтому мы не можем напрямую оценить это выражение. Вместо этого нам нужно будет использовать идентификатор для перепишем выражение в терминах углов, которые мы умеем вычислять.
Мы можем сделать это, вспомнив следующее тождество для функции тангенса: тантан(𝜋−𝑥)=−(𝑥).
Чтобы использовать это тождество, мы должны сначала отметить, что 5𝜋6=𝜋−𝜋6. Затем мы можем подставить 𝑥=𝜋6 в тождество, чтобы получить тантантантан𝜋−𝜋6=−𝜋65𝜋6=−𝜋6.
Заметим, что угол 𝜋6 радиан эквивалентен под углом 𝜋6×180𝜋=30∘ и что тангенс(30)=√33∘.
Таким образом, −𝜋6=−√33tan.Следовательно, загар5𝜋6=−√33.
В нашем следующем примере мы определим точное значение тригонометрическая функция для угла, измеренного в радианах, путем применения тригонометрического тождества.
Пример 3. Использование тождеств кофункций для перезаписи и нахождения тригонометрических отношений
Не используя калькулятор, определите точное значение cos3𝜋4.
Ответ
Прежде всего заметим, что аргумент функции 3𝜋4 не является стандартным углом, поэтому мы не можем напрямую оценить это выражение. Вместо этого нам нужно будет использовать тождество, чтобы переписать выражение в терминах углов, которые мы знаем, как вычислять.
Мы можем сделать это, вспомнив следующее тождество для функции косинуса: coscos(𝜋−𝑥)=−(𝑥).
Далее мы можем заметить, что 3𝜋4=𝜋−𝜋4. Следовательно, мы можем тогда подставьте 𝑥=𝜋4 в тождество, чтобы получить coscoscoscos𝜋−𝜋4=−𝜋43𝜋4=−𝜋4.
Теперь заметим, что угол в 𝜋4 радиана эквивалентен углу 𝜋4×180𝜋=45∘ и что cos(45)=√22∘. Таким образом, −𝜋4=−√22cos.
Следовательно, cos3𝜋4=−√22.
В нашем следующем примере мы будем использовать периодическое тождество, чтобы найти точное значение тригонометрического отношения под углом, измеряемым в радианах.
Пример 4. Использование тождеств для перезаписи и нахождения тригонометрических соотношений
Определите точное значение sin13𝜋6, не используя калькулятор.
Ответ
Чтобы определить точное значение sin13𝜋6 без использования калькулятор, нам нужно переписать выражение в терминах углов, которые мы умеем вычислять. Для этого мы можем сначала заметить, что 13𝜋6=12𝜋+𝜋6=2𝜋+𝜋6. Поскольку аргумент больше, чем полный оборот, мы можем переписать его, используя периодичность функция синуса, равная 360∘ или 2𝜋 рад. Следовательно, sinsin(𝑥+2𝜋𝑛)=𝑥 для любого угла 𝑥 в радианы и любое целое число 𝑛.
Замена 𝑛=1 и 𝑥=𝜋6 в тождестве дает sinsinsinsin𝜋6+2𝜋(1)=𝜋613𝜋6=𝜋6.
Теперь мы можем вычислить, что угол 𝜋6 рад эквивалентен углу из 𝜋6×180𝜋=30∘, поэтому sinsin𝜋6=30=12.∘
Следовательно, грех13𝜋6=12.
В нашем последнем примере мы определим точное значение тригонометрической функции, аргумент которой отрицательный угол, измеряемый в радианах.
Пример 5. Использование тригонометрических тождеств для перезаписи и нахождения тригонометрических соотношений
Не используя калькулятор, определите точное значение sin−5𝜋3.
Ответ
Чтобы определить точное значение sin−5𝜋3 без использования калькулятора нам нужно переписать выражение в терминах углов мы знаем, как оценить. Есть много разных способов, которыми мы можем это; однако мы рассмотрим только один из этих методов.
Во-первых, мы можем вспомнить, что синусоидальная функция имеет периодичность 360∘ или 2𝜋 рад.
1 -cos θ
- 1 Cot θ = 1/tan θ = Сторона, примыкающая к углу θ / Сторона, противоположная углу θ = AB / BC 9{\circ} \]
{3}} \]