Тригонометрия кратко: Теория — Тригонометрия

Содержание

Доклад История тригонометрии кратко сообщение

Энциклопедия
Разное
История тригонометрии

История создания тригонометрии плотно связанна с космосом, а точнее с решением астрономических задач. Изначально на первых этапах развития этого направление в математики были положены в основу примитивные соотношение длин и сторон треугольника. Но со временем она развивалось и превратилось в сегодняшний вариант этого раздела. Сейчас это небольшой раздел геометрии, который включают в себя лишь некоторые программы обучения. Если взять современную математику, то тригонометрия это узкий раздел, изучающий взаимоотношения углов треугольника.

Изначально этот раздел не имел общего названия, а все древние математики называли тригонометрию по-своему. Впервые понятия «тригонометрия» было обнаружено в 1505 году в научной работе немецкого ученого Питискуса. Сам термин был родом из древнегреческого языка и при дословном переводе означал «измеряю углы треугольника». Речь об измерении, здесь употребляется в переносном смысле, то есть не буквальное измерение углов, а нахождение их при помощи формул и известных элементов.

Когда в руках историков оказались древние математические рукописи и манускрипты они смогли сделать несколько заключений. Они пришли к выводу, что основателем тригонометрии был древнегреческий математик и астроном Гипарх. В ходе своих научных работ он стал задумываться о новаторских способах решения геометрического треугольника. Гипарх был удивительным ученым своего времени, так как он смог создать начальный уровень современной тригонометрии, живя в втором веке до нашей эры. Также в это время жил и творил Пифагор, который смог создать правильное соотношения сторон прямоугольного треугольника, то есть теорему Пифагора.

Значительный вклад в тригонометрию внесли молодые ученые из Индии, но эти открытия были сделаны уже в средневековые времена. Также в эпоху средневековья были сделаны множества различных открытий и других направлениях науки, культуры и общества.

Доклад №2

История тригонометрии, как науки об соотношении углов и сторон различных геометрических фигур насчитывает несколько тысячелетий. Хоть наука обрела такое название сравнительно недавно, но сама наука весьма древняя. Об этом говорит тот факт, что древние ученые проводили расчеты лунного и солнечного затмения, сделать эти расчеты не прибегая к тригонометрии невозможно. Ещё древневавилонские учёные научились максимально точно рассчитывать дни и часы затмения, а это говорит о том, что уже они владели хотя бы базовыми знаниями этой науки.

Слово «Тригонометрия» происходит от греческого, буквальный перевод означает измерение треугольников. Впервые он был введён в употребление в 1595, богословом-математиком.

Возникновение тригонометрии, как науки связывают с такими науками, как астрономия, землемерие, а также строительное дело. То есть в результате того с чем обществу приходилось сталкиваться, какие задачи оно пыталось решить. Общество сталкивалось с этими задачами на практике.

Ещё во 2 веке до н.э были составлены тригонометрические таблицы, в это время их впервые засвидетельствовали, о существование более ранних таблиц свидетельств не было найдено. Эти таблицы не дошли к нам в исходном виде. Их создателем был астроном Гиппарх из Греции. Данные из таблиц были усовершенствованы астрономом Птолемеем из Александрии, а также они были включены в «Альмагест».

Тригонометрия не останавливалась в своем развитии, в средние века наибольшего её развития достигли учёные из Средней Азии и Закавказья. К этому времени наука смогла обрести самостоятельность, больше о ней не говорили, как о дополнении к астрономии. Европа в развитии тригонометрии отставала почти на два века.

Во время развития математики развивалась и тригонометрия. После введения в алгебре чисел с отрицательными знаками. Был получен шанс изучать числовой аргумент тригонометрических функций, а также просчитывать любое числовое значение с той точностью, которая была задана заранее.

Эйлер был одним из тех, кто значительно приложил руку для развития этой науки. Он сумел сформулировать определение тригонометрических функций которые используются по сей день, а также он смог установить связь между показательными и тригонометрическими функциями.

История тригонометрии

Ежик Апельсиновый — Тригонометрия читать онлайн

12 3 4 5 6 7 …32

ТРИГОНОМЕТРИЯ

Ежик Апельсиновый

И пусть в моих поступках не было логики

Я не умею жить по другому…

Привет. Меня зовут Габриэла, для знакомых и друзей можно просто Габи. Я работаю дизайнером, хотя это не совсем верно, у меня маленькая фирма, в которой я и занимаю почетное место дизайнера, директора и еще кучу должностей по совместительству. Когда же мне это все надоедает я звоню своему другу таксисту, беру у него напрокат машину и таким вот образом отдыхаю от своих забот. У каждого человека свое хобби, а мне просто нравится ездить по городу и смотреть на людей, которых я везу, счастливых, грустных, любящих поболтать или наоборот помолчать.

И вот однажды в один из таких дней, в мое такси села сногсшибательная девушка со слезами на глазах. На мой вопрос «Вам куда», был ответ «куда угодно, только подальше от этого места». Желание клиента закон, я тронула машину и, посмотрев в зеркало заднего вида, увидела как из ресторана, из которого вышла моя пассажирка, выбежала девушка и начала осматриваться по сторонам, а за ней парень. Он пытался ей что-то сказать но, судя по всему она послала его куда по дальше и, словив такси, уехала. Мы ехали уже минуты три, и я решила еще раз попробовать уточнить адрес. Мне ответили более внятно, но, тем не менее, дали очень любопытный адрес. Дословно «Ты отвези меня туда, где буду счастлива всегда». Я сначала хотела переспросить, но, посмотрев на свою пассажирку, передумала. Вместо этого я предложила ей, неожиданно для себя самой, поехать ко мне. Она только кивнула, и продолжила лить слезы, глядя в окошко. Мы добрались до моего дома, я вышла из машины и помогла ей выбраться. Судя по всему, все ее силы были в слезах, и она только что их все пролила. Поэтому мне ничего не оставалось, как взять ее на руки и занести в комнату на кровать, где она сразу же заснула. Я спустилась на кухню попить кофе и подумать. Меня очень заинтересовала эта девушка… Не своей историей, нет. Я почувствовала в ней что-то родное. Такое чувство, как будто ты нашел то, что давным-давно потерял, правда, до этого момента ты сам об этом даже и не подозревал. А мне до этого казалось, что я утратила способность чувствовать… Только вот не слишком ли тороплю события, я ведь совсем ее не знаю – подумала я. Интересно, что же с ней случилось? Наверное, застала своего парня с девушкой. Хотя сначала выбежала девушка значит, это была ее подруга. Тогда понятно чего она так расстроилась, в один день потерять и парня, и подругу, не очень весело — думала я. Допив свой кофе, я погремела посудой, помахала тряпкой и решила, что пора посмотреть на свою внезапную, но такую волнующую меня квартирантку. Войдя в спальню (ремонт закончен был только в ней и на кухне, так как я только недавно приобрела этот дом), я увидела, что она уже не спит, а любуется потолком. А я в свою очередь тайком залюбовалась ею.

-Как дела? – спросила я. Она подняла на меня свои голубые, оттенка летнего неба глаза, как бы вспоминая, кто я есть, но в этот миг я сама это забыла, утонув в этом омуте. Из этого ступора меня вывели ее слова, сопровождавшиеся самой грустной улыбкой, какую я когда-нибудь видела.

-Паршиво…

-Ты что-нибудь хочешь? — Я подумала, что говорить «вы» девушке, которая лежит в моей постели глупо, немного неприлично, да и не хочется…

-Нет, я и так уже злоупотребила твоей добротой, я лучше домой, – ответила она, поднимаясь. Услышав эту фразу, я почувствовала такое огорчение, что удивилась сама себе. Мои чувства начинали меня пугать. Но, не смотря на это, я решила, что не дам ей так просто уйти.

-Пустяки. Кстати, меня зовут Элла, — представилась я, но только почему-то другим своим уменьшительным именем. — А ты уверена, что это тебе так нужно, тебя там кто-нибудь ждет?

-А меня Дана. Нет, не уверена…

«Ура»,- подумала я — возможно, получится ее задержать. Хотя, что мне это даст, понять не могла…

-Тогда что ты теряешь? Мы друг друга совершенно не знаем (будем это исправлять – думала я) а тебе нужно высказаться, чтобы не погрязнуть в своих слезах еще больше. А кому, как не постороннему человеку лучше всего открыться?

Моя новая знакомая нахмурилась, но потом решительно тряхнула головой, словно что-то для себя решила, и ответила, — ты права. Только у тебя есть что выпить, а то на трезвую голову,даже жить противно.

-Вино подойдет? – спросила я, вдохнув воздух полной грудью, потому что неожиданно для себя самой я обнаружила, что я даже дыхание задержала, в ожидании ее ответа.

-Да, вполне. И, Элла, прости, что такая назойливая, но у тебя есть какой-нибудь халат, а то это платье меня уже достало.

-Прости, но халата нет, зато есть целый шкаф рубашек и маек с брюками, выбирай, — ответила я и махнула в сторону своей гардеробной. Я не стала ждать, что она там найдет и наблюдать процесс переодевания, хотя не скажу, что мне не хотелось, пошла на кухню за вином, пытаясь привести в порядок свои разбушевавшиеся чувства и отвлечь себя от картин, которые услужливо подсовывало мне мое воображение. Взяв бутылку красного, потом, подумав, белого, потом еще раз подумала и взяла обе, бокалы, штопор и корзину с фруктами.

Когда я пришла Дана ждала меня, переодевшись в мою голубую рубашку умудряясь в ней выглядеть еще бесподобнее, чем в платье.

-Классно выглядишь, она тебе идет, — сказала я, пытаясь привести в норму свое кровяное давление, правда, без особого успеха. «Да что со мной такое? — думала я. — Девушке плохо, а я ни о чем, кроме как о её теле и глазах, не могу думать. Как сексуальный маньяк, честное слово. Надо брать себя в руки».

-Спасибо за комплимент. Ничего, что я ее надела?

-Нет, я же сказала, все что захочешь. Кстати, какое вино ты предпочитаешь, красное или белое? – спросила я, пытаясь отвлечься от мыслей о… О господи, откуда у меня такие мысли в голове?

-Красное, или нет, белое. А какая разница, открывай любую – ответила Дана, махнув рукой, и заглянула мне в глаза. Лучше бы она этого не делала… Через несколько минут я пришла в себя и решила, что первое слово дороже второго и открыла красное. Разливая вино по бокалам, я думала о том, что много пить мне сегодня нельзя, а то не сдержусь и натворю что-нибудь, о чем потом буду жалеть. Протянув один из бокалов Дане, я отвернулась, не в силах смотреть, как она сама этого не желая, но, тем не менее, очень сексуально касается его губами. Пригубив вино, Дана изумленно сказала:

-Элла, а это вино не слишком дорогое для водителя такси?

-Не знаю, мне нравится – ответила я, психуя на свое сексуальное влечение к этой девушке. «Может все дело в том, что я давно ни с кем не была?» — подумала я. Наивная…

-Ясно, – ответила мне Дана и, вздохнув, продолжила. — Ну, ладно, думаю, ты права, когда сказала, что мне нужно выговориться. Моя история с одной стороны до жути банальна, а с другой — не совсем проста, как кажется на первый взгляд … Видишь ли, дело в том, что я люблю девушек , — начала свои откровения Дана и заглянула в мои глаза, чтобы узнать, как это на меня подействует. Ха, не буду же я ей признаваться, что сама этим грешна. Тем более, что сейчас пытаюсь разобраться, что же меня так в ней привлекло. Поэтому я, пожав плечами на эту фразу, сделала вид, что моё вино очень, очень и очень хорошее.

12 3 4 5 6 7 …32

Тригонометрия | Определение, формулы, отношения и тождества

тригонометрические функции

Просмотреть все СМИ

Ключевые люди:: Гиппарх Леонард Эйлер Региомонтан Абу аль-Вафах Франсуа Виет, сеньор де ла Биготьер

Похожие темы:: тригонометрическая таблица плоская тригонометрия сферическая тригонометрия аналитическая тригонометрия сферический треугольник

Просмотреть весь соответствующий контент →

Резюме

Прочтите краткий обзор этой темы

тригонометрия , раздел математики, связанный со специфическими функциями углов и их применением в вычислениях.

В тригонометрии обычно используются шесть функций угла. Их названия и сокращения: синус (sin), косинус (cos), тангенс (tan), котангенс (cot), секанс (sec) и косеканс (csc). Эти шесть тригонометрических функций по отношению к прямоугольному треугольнику показаны на рисунке. Например, треугольник содержит угол А , а отношение стороны, противолежащей А и стороны, противоположной прямому углу (гипотенузе), называется синусом А , или синусом А ; аналогично определяются другие тригонометрические функции. Эти функции являются свойствами угла A , не зависящими от размера треугольника, и расчетные значения для многих углов были сведены в таблицы до того, как компьютеры сделали тригонометрические таблицы устаревшими. Тригонометрические функции используются для получения неизвестных углов и расстояний от известных или измеренных углов в геометрических фигурах.

Тригонометрия возникла из-за необходимости вычислять углы и расстояния в таких областях, как астрономия, картографирование, геодезия и дальномер артиллерийских орудий.

Задачи, связанные с углами и расстояниями в одной плоскости, рассматриваются в плоской тригонометрии. Приложения к подобным задачам более чем в одной плоскости трехмерного пространства рассматриваются в сферической тригонометрии.

История тригонометрии

Классическая тригонометрия

Слово тригонометрия происходит от греческих слов тригонон («треугольник») и метрон («для измерения»). Примерно до 16 века тригонометрия в основном занималась вычислением числовых значений отсутствующих частей треугольника (или любой формы, которую можно разбить на треугольники), когда были даны значения других частей. Например, если известны длины двух сторон треугольника и величина прилежащего к нему угла, можно вычислить третью сторону и два оставшихся угла. Такие вычисления отличают тригонометрию от геометрии, которая исследует главным образом качественные отношения. Конечно, это различие не всегда абсолютно: теорема Пифагора, например, представляет собой утверждение о длинах трех сторон прямоугольного треугольника и, таким образом, носит количественный характер. Тем не менее, в своем первоначальном виде тригонометрия в целом была потомком геометрии; только в 16 веке эти две науки стали отдельными разделами математики.

Древний Египет и Средиземноморье

Несколько древних цивилизаций — в частности, египетская, вавилонская, индуистская и китайская — обладали значительными познаниями в практической геометрии, включая некоторые концепции, которые были прелюдией к тригонометрии. Папирус Райнда, египетский сборник из 84 задач по арифметике, алгебре и геометрии, датируемый примерно 1800 г. до н. э., содержит пять задач, касающихся секед . Тщательный анализ текста и сопровождающих его рисунков показывает, что это слово означает наклон склона — важное знание для крупных строительных проектов, таких как пирамиды. Например, в задаче 56 спрашивается: «Если высота пирамиды 250 локтей, а длина стороны ее основания 360 локтей, какова ее 9 локтей?0027 секед

? Решение дается как 5 ¹ / ₂₅ ладони на локоть, и, поскольку один локоть равен 7 ладоням, эта дробь эквивалентна чистому отношению ¹⁸ / ₂₅ .

На самом деле это отношение «длины к высоте» рассматриваемой пирамиды — по сути, котангенс угла между основанием и гранью. Это показывает, что египтяне хотя бы немного знали числовые отношения в треугольнике, своего рода «прототригонометрию».

Тригонометрия в современном понимании началась с греков. Гиппарх ( с. 190–120 гг. до н. э.) первым построил таблицу значений тригонометрической функции. Он рассматривал каждый треугольник — плоский или сферический — как вписанный в круг, так что каждая сторона становится хордой (то есть прямой линией, соединяющей две точки на кривой или поверхности, как показано вписанным треугольником

A ). B C на рисунке). Чтобы вычислить различные части треугольника, нужно найти длину каждой хорды как функцию центрального угла, который ее стягивает, или, что то же самое, длину хорды как функцию соответствующей ширины дуги. Это стало главной задачей тригонометрии на следующие несколько столетий. Как астронома Гиппарха в основном интересовали сферические треугольники, такие как воображаемый треугольник, образованный тремя звездами на небесной сфере, но он также был знаком с основными формулами плоской тригонометрии.

Во времена Гиппарха эти формулы выражались в чисто геометрических терминах как отношения между различными хордами и углами (или дугами), которые их стягивают; современные символы для тригонометрических функций не вводились до 17 века.

Изучите, как Птолемей пытался использовать деференты и эпициклы для объяснения ретроградного движения

Просмотреть все видео к этой статье

Нажмите здесь, чтобы увидеть таблицу в полном размереПервой крупной древней работой по тригонометрии, дошедшей до Европы в целости и сохранности после Средневековья, был Альмагест Птолемея ( ок. 100–170 н.э.). Он жил в Александрии, интеллектуальном центре эллинистического мира, но больше о нем мало что известно. Хотя Птолемей написал работы по математике, географии и оптике, в основном он известен своими Альмагест , сборник из 13 книг по астрономии, который стал основой для картины мира человечества, пока гелиоцентрическая система Николая Коперника не начала вытеснять геоцентрическую систему Птолемея в середине 16 века. Чтобы развить эту картину мира, сущностью которой была неподвижная Земля, вокруг которой по круговым орбитам движутся Солнце, Луна и пять известных планет, Птолемею пришлось использовать некоторую элементарную тригонометрию. Главы 10 и 11 первой книги Альмагеста касается построения таблицы хорд, в которой длина хорды в окружности дана как функция центрального угла, который ее стягивает, для углов в диапазоне от 0 ° до 180 ° с интервалами в полградуса. . По сути, это таблица синусов, которую можно увидеть, обозначив радиус r , дугу A и длину стягиваемой хорды c , чтобы получить c = 2 r sin ^А / ₂ . Поскольку Птолемей использовал вавилонские шестидесятеричные числа и системы счисления (основание 60), он провел свои вычисления со стандартным кругом радиуса 9.0027 r = 60 единиц, так что c = 120 sin ^A / ₂ . Таким образом, помимо коэффициента пропорциональности 120, это была таблица значений sin ^A / ₂ и, следовательно, (удвоением дуги) sin A . С помощью своей таблицы Птолемей усовершенствовал существующие геодезические меры мира и уточнил Гиппархову модель движения небесных тел.

Оформите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подпишитесь сейчас

Тригонометрия — Энциклопедия Нового Света

Робот-манипулятор Canadarm2 на Международной космической станции управляется за счет управления углами его суставов. Вычисление конечного положения космонавта на конце руки требует многократного использования тригонометрических функций этих углов.

Тригонометрия (от греческого Τριγωνομετρία «tri = три» + «gon = угол» + «metr[y] = измерять») — раздел математики, изучающий треугольники, особенно те плоские треугольники, в которых один угол имеет 90 градусов (прямоугольные треугольники) . Тригонометрия имеет дело с отношениями между сторонами и углами треугольников и с тригонометрическими функциями, которые описывают эти отношения.

Тригонометрия применяется как в чистой математике, так и в прикладной математике, где она необходима во многих областях науки и техники. Обычно его преподают в средних школах либо как отдельный курс, либо как часть курса предварительного исчисления. Тригонометрия неофициально называется «тригонометрия» или «триго».

Содержание

1 История
2 Обзор
- 2.1 Расширение определений
- 2.2 Мнемоника
- 2.3 Вычисление тригонометрических функций
3 Приложения тригонометрии
4 Общие формулы
- 4.1 Тригонометрические тождества
  - 4.1.1 Пифагорейские тождества
  - 4.1.2 Тождества суммы и произведения
    - 4.1.2.1 Сумма произведения
    - 4.1.2.2 Произведение на сумму ^[4]
    - 4.1.2.3 Синус, косинус и тангенс суммы
  - 4.1.3 Тождества полууглов
  - 4.1.4 Стереографические (или параметрические) тождества
- 4. 2 Тождества треугольников
  - 4.2.1 Закон синусов
  - 4.2.2 Закон косинусов
  - 4.2.3 Закон касательных
5 Примечания
6 Каталожные номера
7 Внешние ссылки
8 кредитов

Раздел тригонометрии, называемый сферической тригонометрией, изучает треугольники на сферах и играет важную роль в астрономии и навигации.

Все тригонометрические функции угла θ могут быть построены геометрически в терминах единичной окружности с центром в точке O .

История

Тригонометрическая таблица, 1728 Циклопедия

Тригонометрия была разработана для использования в парусном спорте в качестве навигационного метода, используемого в астрономии. ^[1] Истоки тригонометрии можно проследить до цивилизаций Древнего Египта, Месопотамии и долины Инда (Индия), более 4000 лет назад. Обычная практика измерения углов в градусах, минутах и секундах происходит от вавилонской системы счисления с основанием шестьдесят.

Первое зарегистрированное использование тригонометрии принадлежит эллинистическому математику Гиппарху ^[2] c. 150 г. до н. э. , который составил тригонометрическую таблицу, используя синус для решения треугольников. Птолемей развил тригонометрические расчеты c. 100 C.E.

Древние сингальцы на Шри-Ланке при строительстве водохранилищ в царстве Анурадхапура использовали тригонометрию для расчета градиента водного потока. Археологические исследования также свидетельствуют о применении тригонометрии в других уникальных гидрологических сооружениях, датируемых 4–9 гг.0225 г. до н. э.

Индийский математик Арьябхата в 499 г. дал таблицы полуаккордов, которые сейчас известны как таблицы синусов, наряду с таблицами косинусов. Он использовал зя для синуса, котизя для косинуса, и открам зя для обратного синуса, а также ввел версинус. Другой индийский математик, Брахмагупта, в 628 году использовал интерполяционную формулу для вычисления значений синусов вплоть до второго порядка интерполяционной формулы Ньютона-Стирлинга.

В десятом веке персидский математик и астроном Абул Вафа ввел функцию тангенса и усовершенствовал методы расчета тригонометрических таблиц. Он установил тождества сложения углов, например, sin ( a + b ), и открыл формулу синуса для сферической геометрии:

грех⁡Asin⁡a=sin⁡Bsin⁡b=sin⁡Csin⁡c.{\displaystyle {\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}.}

Также в конце десятого и начале одиннадцатого веков египетский астроном Ибн Юнус выполнил множество тщательных тригонометрических вычислений и продемонстрировал формулу 9{2}+2000} и нашел положительный корень этой кубической формулы, рассмотрев пересечение прямоугольной гиперболы и окружности. Затем путем интерполяции в тригонометрических таблицах находилось приближенное численное решение.

Подробные методы построения таблицы синусов для любого угла были даны индийским математиком Бхаскарой в 1150 году вместе с некоторыми формулами синуса и косинуса. Бхаскара также разработал сферическую тригонометрию.

Персидский математик тринадцатого века Насир ад-Дин Туси, наряду с Бхаскарой, вероятно, был первым, кто рассматривал тригонометрию как отдельную математическую дисциплину. Насир ад-Дин Туси в его Трактат о четырехугольнике был первым, кто перечислил шесть различных случаев прямоугольного треугольника в сферической тригонометрии.

В четырнадцатом веке персидский математик аль-Каши и тимуридский математик Улугбек (внук Тимура) составили таблицы тригонометрических функций в рамках своих астрономических исследований.

Математик Бартоломеус Питискус опубликовал влиятельную работу по тригонометрии в 1595 году, в которой, возможно, появилось само слово «тригонометрия».

Обзор

В этом прямоугольном треугольнике: sin A = a / c ; cos A = b / c ; загар А = а / б .

Если один угол треугольника равен 90 градусов и известен один из других углов, то третий угол тем самым фиксирован, потому что сумма трех углов любого треугольника составляет 180 градусов. Таким образом, два острых угла в сумме составляют 90 градусов: это дополнительные углы. Форма прямоугольного треугольника полностью определяется с точностью до подобия углами. Это означает, что если один из других углов известен, отношения различных сторон всегда одинаковы, независимо от общего размера треугольника. Эти отношения задаются следующими тригонометрическими функциями известного угла A, , где a, b, и c относятся к длинам сторон на прилагаемом рисунке:

Функция синуса (sin), определяемая как отношение стороны, противоположной углу, к гипотенузе.

sin⁡A = гипотенуза напротив = ac }}\,.}

Функция косинуса (cos), определяемая как отношение прилежащего катета к гипотенузе.

потому что⁡A=adjacenthypotenuse=bc.{\displaystyle \cos A={\frac {\textrm {adjacent}}{\textrm {hypotenuse}}}={\frac {b}{\,c\, }}\,.}

Функция тангенса (tan), определяемая как отношение противоположного катета к соседнему катету.

tan⁡A=противоположный соседний=ab=sin⁡Acos⁡A.{\displaystyle \tan A={\frac {\textrm {напротив}}{\textrm {смежный}}}={\frac {a} {\,b\,}}={\frac {\sin A}{\cos A}}\,.}

гипотенуза — сторона, противоположная углу 90 градусов в прямоугольном треугольнике; это самая длинная сторона треугольника и одна из двух сторон, примыкающих к углу A . Смежный отрезок представляет собой другую сторону, примыкающую к углу A . Противоположная сторона — это сторона, противоположная углу A . Термины перпендикулярно и основание иногда используются для противоположной и смежной сторон соответственно. Многим легко запомнить, какие стороны прямоугольного треугольника равны синусу, косинусу или тангенсу, заучив слово SOH-CAH-TOA (см. ниже в разделе «Мнемоника»).

Обратные величины этих функций называются косекансом (csc или cosec), секансом (sec) и котангенсом (cot) соответственно. Обратные функции называются арксинусом, арккосинусом, и арктангенсом, соответственно. Между этими функциями существуют арифметические соотношения, известные как тригонометрические тождества.

С помощью этих функций можно ответить практически на все вопросы о произвольных треугольниках, используя закон синусов и закон косинусов. Эти законы можно использовать для вычисления оставшихся углов и сторон любого треугольника, если известны две стороны и угол или два угла и сторона или три стороны. Эти законы полезны во всех разделах геометрии, поскольку каждый многоугольник можно описать как конечную комбинацию треугольников.

Расширение определений

Графики функций sin (x) и cos (x) , где угол x измеряется в радианах.

Графический процесс y = sin (x) с использованием единичного круга.

Графический процесс y = tan (x) с использованием единичного круга.

Графический процесс y = csc (x) с использованием единичного круга.

Приведенные выше определения относятся к углам от 0 до 9Только 0 градусов (0 и π/2 радиан). Используя единичный круг, их можно распространить на все положительные и отрицательные аргументы (см. тригонометрическую функцию). Тригонометрические функции являются периодическими с периодом 360 градусов или 2π радиан, за исключением тангенса и котангенса, у которых π является наименьшим периодом. Это означает, что их значения повторяются через эти интервалы.

Тригонометрические функции могут быть определены другими способами помимо геометрических определений, приведенных выше, с использованием инструментов исчисления и бесконечных рядов. С помощью этих определений тригонометрические функции могут быть определены для комплексных чисел. Сложная функция 9{ix}.}

См. формулы Эйлера и де Муавра.

Мнемотехника

Учащиеся часто используют мнемонику для запоминания фактов и отношений в тригонометрии. Например, отношения синуса , косинуса и тангенса в прямоугольном треугольнике можно запомнить, представив их в виде строк букв, как в SOH-CAH-TOA.

S ine = O pposite ÷ H ypotenuse

C озин = A djacent ÷ H ypotenuse

T angent = O pposite ÷ A djacent

В качестве альтернативы можно составить предложения, состоящие из слов, начинающихся с букв, которые необходимо запомнить. Например, чтобы вспомнить, что Тан = Противоположный/Смежный, нужно запомнить буквы Т-О-А. Подойдет любая запоминающаяся фраза, состоящая из слов, начинающихся с букв Т-О-А.

Представляет этнографический интерес отметить, что мнемоника TOA-CAH-SOH может быть переведена на местный сингапурский хоккиенский диалект как «женщина с большими ногами», что служит дополнительным учебным пособием для студентов в Сингапуре. ^[3]

Другой тип мнемоники описывает факты простым и запоминающимся способом, например: «Плюс вправо, минус влево; положительная высота, отрицательная глубина», что относится к тригонометрическим функциям, генерируемым вращающейся линией. .

Вычисление тригонометрических функций

Тригонометрические функции были одним из первых применений математических таблиц. Такие таблицы были включены в учебники по математике, и студентов учили искать значения и интерполировать между перечисленными значениями для повышения точности. Логарифмические линейки имели специальные шкалы для тригонометрических функций.

Современные научные калькуляторы имеют кнопки для вычисления основных тригонометрических функций (sin, cos, tan и иногда cis) и их обратных функций. Большинство из них позволяют выбирать методы измерения углов, градусы, радианы и, иногда, грады. Большинство языков программирования предоставляют библиотеки функций, включающие тригонометрические функции. Аппаратное обеспечение модуля с плавающей запятой, встроенное в микропроцессорные микросхемы, используемые в большинстве персональных компьютеров, имеет встроенные инструкции для вычисления тригонометрических функций.

Применение тригонометрии

Подобные морские секстанты используются для измерения угла наклона солнца или звезд по отношению к горизонту. Затем с помощью тригонометрии и морского хронометра положение корабля можно определить по нескольким таким измерениям.

Существует огромное количество приложений тригонометрии и тригонометрических функций. Например, метод триангуляции используется в астрономии для измерения расстояний до ближайших звезд, в географии для измерения расстояний между ориентирами и в спутниковых навигационных системах. Функции синуса и косинуса лежат в основе теории периодических функций, таких как те, которые описывают звуковые и световые волны.

Области, в которых используется тригонометрия или тригонометрические функции, включают астрономию (особенно для определения видимого положения небесных объектов, в которой необходима сферическая тригонометрия) и, следовательно, навигацию (в океанах, на самолетах и в космосе), теорию музыки , акустика, оптика, анализ финансовых рынков, электроника, теория вероятностей, статистика, биология, медицинская визуализация (компьютерная томография и УЗИ), фармация, химия, теория чисел (и, следовательно, криптология), сейсмология, метеорология, океанография, многие физические науки, землеустройство и геодезия, архитектура, фонетика, экономика, электротехника, машиностроение, гражданское строительство, компьютерная графика, картография, кристаллография и разработка игр.

Общие формулы

Некоторые уравнения, включающие тригонометрические функции, верны для всех углов и известны как тригонометрические тождества . Многие выражают важные геометрические отношения. Например, пифагорейские тождества являются выражением теоремы Пифагора. Вот некоторые из наиболее часто используемых тождеств, а также наиболее важные формулы, соединяющие углы и стороны произвольного треугольника. Чтобы узнать больше о тождествах, см. Тригонометрическое тождество. 9{2}\alpha \end{align}}}

Тождества суммы и произведения

Сумма произведения

sin⁡α±sin⁡β=2sin⁡(α±β2)cos⁡(α∓β2)cos ⁡α+cos⁡β=2cos⁡(α+β2)cos⁡(α−β2)cos⁡α-cos⁡β=−2sin⁡(α+β2)sin⁡(α−β2){\displaystyle {\begin {выровнено} \ sin \ alpha \ pm \ sin \ beta & = 2 \ sin \ left ({\ frac {\ alpha \ pm \ beta} {2}} \ right) \ cos \ left ({\ frac {\ alpha \mp \beta}{2}}\right)\\\cos\alpha+\cos\beta&=2\cos\left({\frac {\alpha+\beta}{2}}\right)\cos \ влево ({\ гидроразрыва {\ альфа — \ бета} {2}} \ справа) \\\ соз \ альфа — \ соз \ бета & = — 2 \ грех \ влево ({\ гидроразрыва {\ альфа + \ бета} {2}}\right)\sin \left({\frac {\alpha -\beta}{2}}\right)\end{выровнено}}}

Произведение на сумму

^[4]

cos⁡αcos⁡β=12[cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β)]sin⁡αsin⁡β=12[cos⁡(α −β)−cos⁡(α+β)]cos⁡αsin⁡β=12[sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β)]sin⁡αcos⁡β=12[sin⁡(α+β ) + грех ⁡ (α-β)] {\ displaystyle {\ begin {align} \ cos \ alpha \, \ cos \ beta & = {\ frac {1} {2}} [\ cos (\ alpha — \ beta )+\cos(\alpha +\beta)]\\\sin\alpha\,\sin\beta &={\frac {1}{2}}[\cos(\alpha -\beta)-\cos( \alpha +\beta)]\\\cos\alpha\,\sin\beta &={\frac {1}{2}}[\sin(\alpha +\beta)-\sin(\alpha-\beta )] \\\ грех \ альфа \, \ соз \ бета & = {\ гидроразрыва {1} {2}} [\ грех (\ альфа + \ бета) + \ грех (\ альфа — \ бета)] \ конец { выровнено}}}

Синус, косинус и тангенс суммы

⁡βtan⁡(α±β)=tan⁡α±tan⁡β1∓tan⁡αtan⁡β{\displaystyle {\begin{align}\sin(\alpha\pm\beta)&=\sin\alpha\cos\ бета \pm \cos \alpha \sin \beta \\\cos(\alpha \pm \beta )&=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \\\tan(\alpha \pm \beta )&={\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta}}{1\mp \tan \alpha \tan \beta}}\end{aligned}}}

Полуугольные тождества

Обратите внимание, что ±{\displaystyle \pm } является правильным, это означает, что это может быть любой из них, в зависимости от значения A/2 .

sin⁡A2=±1−cos⁡A2cos⁡A2=±1+cos⁡A2tan⁡A2=±1−cos⁡A1+cos⁡A=sin⁡A1+cos⁡A=1−cos⁡Asin⁡ А {\ displaystyle {\ begin {align} \ sin {\ frac {A} {2}} & = \ pm {\ sqrt {\ frac {1- \ cos A} {2}}} \\\ cos {\ frac {A} {2}} & = \ pm {\ sqrt {\ frac {1+ \ cos A} {2}}} \\\ tan {\ frac {A} {2}} & = \ pm {\ sqrt {\ frac {1- \ cos A} {1+ \ cos A}}} = {\ frac {\ sin A} {1+ \ cos A}} = {\ frac {1- \ cos A} {\ грех A}}\end{выровнено}}} 9{2}}{2ab}}}

В следующих тождествах A, B, и C — углы треугольника, a, b, и c — длины сторон треугольника, лежащих против соответствующих углов.

Закон синусов

Закон синусов (также известный как «правило синусов») для произвольного треугольника гласит:

asin ⁡ A = bsin ⁡ B = csin ⁡ C = 2R, {\ displaystyle {\ frac {a} {\ sin A}} = {\ frac {b} {\ sin B}} = {\ frac { c}{\sin C}}=2R,} 9{2}}{2ab}}.\,}

Закон касательных

Закон касательных :

а + ba-b = загар ⁡ [12 (A + B)] загар ⁡ [12 (AB − B)] {\ displaystyle {\ frac {a + b} {ab}} = {\ frac {\ tan \left[{\tfrac {1}{2}}(A+B)\right]}{\tan \left[{\tfrac {1}{2}}(AB)\right]}}}

Notes

↑ Кристофер М. Линтон, От Евдокса до Эйнштейна: история математической астрономии (Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Cambridge University Press, 2004, ISBN 978-0521045711).
↑ Джозеф Хант, Начало тригонометрии Рутгерс . Проверено 16 декабря 2021 г.
↑ Тригонометрия. Моя бабушка тоже может! Дневник частного репетитора по математике уровня O в Сингапуре. Проверено 16 декабря 2021 г.
↑ Эрик В. Вайсштейн, Тригонометрические формулы сложения Wolfram MathWorld . Проверено 16 декабря 2021 г.

Ссылки

Ссылки ISBN поддерживают NWE за счет реферальных сборов

Hill, Tim. Основы тригонометрии: самоучитель . Questing Vole Press, 2013. ISBN 978-1937842161
Лиал, Маргарет Л., Джон Хорнсби и Дэвид И. Шнайдер. Тригонометрия, 9-е изд. Бостон, Массачусетс: Pearson/Addison-Wesley, 2008. ISBN 0321528859.
Линтон, Кристофер М. От Евдокса до Эйнштейна: история математической астрономии. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета, 2004. ISBN 978-0521045711.
Веснер, Терри Х. Тригонометрия с приложениями . Вт. К. Браун, 1994. ISBN 978-0697122926

Внешние ссылки

Все ссылки получены 16 декабря 2021 г.

Указатель тригонометрии Mathwords.com .
Тригонометрия.
Краткий курс Дэйва по тригонометрии Дэвида Джойса из Университета Кларка.
СОХКАТОА Wolfram MathWorld .

Основные области математики	Править
Логика \| Теория множеств \| Комбинаторика \| Вероятность \| Математическая статистика \| Теория чисел \| Оптимизация \| Линейная алгебра \| Абстрактная алгебра \| теория категорий \| Алгебраическая геометрия \| Геометрия \| Топология \| Алгебраическая топология \| Анализ \| Дифференциальные уравнения \| Функциональный анализ \| Числовой анализ

Основные области математики

Править

Авторы

Энциклопедия Нового Света автора и редактора переписали и дополнили статью Википедии в соответствии со стандартами New World Encyclopedia .

Тригонометрия кратко: Теория — Тригонометрия

Доклад История тригонометрии кратко сообщение

Доклад №2

История тригонометрии

Популярные темы сообщений

Ежик Апельсиновый — Тригонометрия читать онлайн

Тригонометрия | Определение, формулы, отношения и тождества

Прочтите краткий обзор этой темы

История тригонометрии

Классическая тригонометрия

Древний Египет и Средиземноморье

Тригонометрия — Энциклопедия Нового Света

Содержание

История

Обзор

Расширение определений

Мнемотехника

Вычисление тригонометрических функций

Применение тригонометрии

Общие формулы

Тождества суммы и произведения

Сумма произведения

Произведение на сумму

Синус, косинус и тангенс суммы

Полуугольные тождества

Закон синусов

Закон касательных

Notes

Ссылки

Внешние ссылки

Авторы

Добавить комментарий Отменить ответ