Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах с примерами
Оглавление:
Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатахПри вычислении тройного интеграла, как и двойного, часто применяется метод подстановки, т. е. совершается преобразование переменных.
Пусть совершена подстановка , , . Если эти функции имеют в некоторой области пространства непрерывные частные производные и отличный от нуля определитель
То справедлива формула замены переменных в тройном интеграле:
Здесь — определитель Якоби, или якобиан преобразования (примем без доказательства).
Для вычисления тройного интеграла часто используют так называемые цилиндрические координаты.
Положение точки в пространстве можно определить заданием трех чисел , где — длина радиуса-вектора проекции точки на плоскость , — угол, образованный этим радиусом-вектором с осью , — аппликата точки (см.
рис. 228).
Эти три числа () называются цилиндрическими координатами точки .
Цилиндрические координаты точки связаны с ее декартовыми координатами следующими соотношениями:
Возьмем в качестве цилиндрические координаты и вычислим якобиан преобразования:
Формула замены переменных (54.4) принимает вид
Таким образом, вычисление тройного интеграла приводится к интегрированию по , по и по аналогично тому, как это делается в декартовых координатах.
Замечание. К цилиндрическим координатам бывает удобно перейти в случае, если область интегрирования образована цилиндрической поверхностью.
Пример №54.2.Вычислить , где — область, ограниченная верхней частью конуса и плоскостью .
Решение:
На рис. 229 изображена область интегрирования . Вычислим интеграл путем перехода к цилиндрическим координатам: , . Здесь . Уравнение конуса примет вид , т.е. . Уравнение окружности (границы области ) запишется так: .
Новые переменные изменяются в следующих пределах: — от 0 до 1, — от 0 до , a — от до 1 (прямая, параллельная оси , пересекающая область , входит в конус и выходит из него на высоте ).
Таким образом, согласно формуле (54.5), получаем:
Заметим, что, не переходя к цилиндрическим координатам, получим:
Сферическими координатами, точки пространства называется тройка чисел , где — длина радиуса-вектора точки , — угол, образованный проекцией радиуса-вектора на плоскость и осью , — угол отклонения радиуса-вектора от оси (см. рис. 230).
Сферические координаты связаны с декартовыми координатами соотношениями:
В некоторых случаях вычисление тройного интеграла удобно производить, перейдя к сферическим координатам. Для этого нужно воспользоваться формулой замены переменных в тройном интеграле (54.4). Так как якобиан преобразования
то
Замечание. Переходить к сферическим координатам удобно, когда область интегрирования есть шар (уравнение его границы в сферических координатах имеет вид ) или его часть, а также если подынтегральная функция имеет вид .
Вычислить
где — шар .
Решение:
Вычислим интеграл путем перехода к сферическим координатам: . Тогда
Граница области — сфера и ее уравнение имеет вид , подынтегральная функция после замены переменных примет вид , т. е. . Новые переменные изменяются в следующих пределах: — от 0 до 1, — от 0 до , — от 0 до . Таким образом, согласно формуле (54.6),
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
- Решение задач по высшей математике
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
Переход к сферическим координатам в тройном интеграле. Примеры решения задач
Образовательные онлайн сервисы: теория и практика
- Главная
- Примеры
- Математический анализ
- Векторная алгебра и аналитическая геометрия
- Линейная алгебра
- Теория вероятностей и математическая статистика
- Математическое программирование
Методы оптимизации - Математика в экономике
Экономическая статистика
- Видео-уроки
- Математический анализ
- Векторная алгебра и Аналитическая геометрия
- Линейная алгебра
- Теория вероятностей и математическая статистика
- Математическое программирование.
Методы оптимизации
- Готовые работы
- Математический анализ
- Векторная алгебра и аналитическая геометрия
- Линейная алгебра
- Теория вероятностей и математическая статистика
- Математическое программирование
Методы оптимизации - Математика в экономике
Экономическая статистика - Другое
- Контакты
Методы оптимизации
Полезные материалы:
- Учебники
- Справочники
- Онлайн калькуляторы
- Помощь в решении
- Онлайн занятия в Zoom
Переход к сферическим координатам в тройном интеграле
Задача
Вычислить тройной интеграл , перейдя к сферической системе координат, где V-часть области, ограниченной поверхностями , , , , лежащая выше плоскости .
Решение
Область интегрирования – это часть шара , лежащая выше плоскости в первом октанте.
Если область интегрирования ограничена сферической поверхностью, то переход к сферическим координатам, как правило, значительно облегчает вычисление интеграла.
В сферической системе координат, центр которой совпадает с началом декартовой системы координат, каждой точке с декартовыми координатами соответствуют сферические координаты , где r – длина вектора , – угол между вектором и положительным направлением оси , – угол между вектором и положительным направлением оси .
Переменные могут принимать следующие значения: , , .
Формулы перехода от декартовой системы координат к
сферической системе координат имеют вид
Якобиан перехода .
Следовательно,
.
Уравнениям границ области в декартовых координатах будут соответствовать уравнения в сферических координатах: ,
или , ; .
Следовательно, для области : , ,
Задачи 2.
Найти объем тела, заданного неравенствами
Сферическая система координат:
Задать вопрос
Заказать помощь
Отзывы
+7-911-7987704
vk.com/id286009794
Написать в Whatsapp
Написать в Viber
@matem96
Skype: matem96.ru
Исчисление III. Тройные интегралы в сферических координатах
Онлайн-заметки Пола
Главная
/
Исчисление III
/
Несколько интегралов
/ Тройные интегралы в сферических координатах
Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания
Мобильное уведомление
Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т.
е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.
Раздел 15.7: Тройные интегралы в сферических координатах
В предыдущем разделе мы рассмотрели вычисление интегралов в терминах цилиндрических координат, а теперь нам нужно быстро рассмотреть вычисление интегралов в терминах сферических координат.
Во-первых, нам нужно вспомнить, как определяются сферические координаты. На следующем рисунке показана взаимосвязь между декартовой и сферической системами координат.
Вот формулы преобразования сферических координат.
\[\begin{array}{c}x = \rho \sin \varphi \cos\theta\hspace{0,25in}y = \rho\sin\varphi\sin\theta\hspace{0,25in}z = \rho \ cos \ varphi \\ {x ^ 2} + {y ^ 2} + {z ^ 2} = {\ rho ^ 2} \ конец {массив} \]
У нас также есть следующие ограничения на координаты.
{\frac{\pi} {2}}\\ & = 4\pi \end{align*}\]
92} = 4\) и конус (направленный вверх), образующий угол \(\frac{\pi }{3}\) с отрицательной осью \(z\) и имеющий \(x \le 0\ ).
Показать решение
Во-первых, нам нужно позаботиться об ограничениях. Область \(E\) в основном представляет собой перевернутый рожок мороженого, который был разрезан пополам, так что осталась только часть с \(x \le 0\). Следовательно, поскольку мы находимся внутри части сферы радиуса 2, мы должны иметь
\[0 \le \rho \le 2\]
Для \(\varphi\) нужно быть осторожным. В постановке задачи говорится, что конус образует угол \(\frac{\pi }{3}\) с отрицательной осью \(z\). Однако помните, что \(\varphi\) отсчитывается от положительной оси \(z\). Следовательно, первый угол, измеренный от положительной оси \(z\), который «запустит» конус, будет равен \(\varphi = \frac{{2\pi }}{3}\), и он пойдет к отрицательной оси \(z\).
Таким образом, мы получаем следующие пределы для
\[\варфи\].
\[\frac{{2\pi }}{3} \le \varphi \le \pi \]
Наконец, для \(\theta \) мы можем использовать тот факт, что нам также сказали, что \(x \le 0\). Это означает, что мы находимся слева от оси \(y\), поэтому диапазон \(\theta\) должен быть равен
. \[\ frac{\pi }{2} \le \theta \le \frac{{3\pi}}{2}\]
Теперь, когда у нас есть пределы, мы можем вычислить интеграл.
92}} \конец{массив}\] Диапазон для \(x\) говорит нам, что у нас есть часть правой половины диска радиуса 3 с центром в начале координат. Поскольку мы ограничиваем \(y\) положительными значениями, похоже, что у нас будет четверть круга в первом квадранте. Следовательно, поскольку \(D\) находится в первом квадранте, область \(E\) должна быть в первом октанте, а это, в свою очередь, говорит нам, что у нас есть следующий диапазон для \(\тета\) (поскольку это угол вокруг оси \(z\)).
2} & = 9\\ z & = 3\end{выравнивание*}\]
Обратите внимание, что мы можем предположить, что \(z\) здесь положительно, поскольку мы знаем, что у нас есть верхняя половина конуса и/или сферы. Наконец, подключите это к преобразованию для \(z\) и воспользуйтесь тем фактом, что мы знаем, что \(\rho = 3\sqrt 2 \), так как мы пересекаемся на сфере. Это дает,
\[\begin{align*}\rho \cos \varphi & = 3\\ 3\sqrt 2 \cos \varphi & = 3\\ \cos \varphi = \frac{1}{{\sqrt 2 }} & = \ frac {{\ sqrt 2}} {2} \ hspace {0,5 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,5 дюйма} \ varphi = \ frac {\ pi} {4} \ end {align *} \]
Итак, у нас есть следующий диапазон,
\[0 \le \varphi \le \frac{\pi }{4}\]
Другой способ получить этот диапазон — из самого конуса. Преобразовав уравнение сначала в цилиндрические координаты, а затем в сферические координаты, мы получим следующее:
\[\begin{align*}z& = r\\ \rho \cos \varphi & = \rho \sin \varphi \\ 1 & = \tan \varphi \hspace{0.
5in} \Rightarrow \hspace{0.5in} \varphi = \frac{\pi }{4}\end{align*}\]
94}\sin\varphi\,d\rho}}\,d\theta}}\,d\varphi}}\]
Тройные интегралы в сферических координатах
Сферические координаты точки M ( x , y , z ) определяются как три числа:
- ρ — длина радиус-вектора до точки M ;
- φ угол между проекцией радиус-вектора ОМ на плоскости xy и оси x ;
- θ — угол отклонения радиус-вектора ОМ от положительного направления оси z (рис. 1).
Важно учитывать, что определение \(\rho\) различается в сферических и цилиндрических координатах.
Рис. 1.Сферические координаты точки связаны с ее декартовыми координатами следующим образом:
\[x = \rho \cos \varphi \sin\theta ,\;\;y = \rho \sin \varphi \sin \theta ,\;\; г = \ ро \ соз \ тета , \]
\[\text{где}\;\;\rho \ge 0,\;\; 0 \le \varphi \le 2\pi ,\;\; 0 \ле \тета \ле \пи .
\]
Якобиан преобразования декартовых координат в цилиндрические записывается как
\[ я \ влево ( {\ rho , \ varphi , \ тета } \ вправо) = \ влево | {\начать{массив}{*{20}{с}} {\ frac {{\ partial x}} {{\ partial \ rho}}} & {\ frac {{\ partial x}} {{\ partial \ varphi}}} & {\ frac {{\ partial x}} {{\ парциальное \ тета}}} \\ {\ frac {{\ partial y}} {{\ partial \ rho}}} & {\ frac {{\ partial y}} {{\ partial \ varphi}}} & {\ frac {{\ partial y}} {{\ парциальное \ тета}}} \\ {\ frac {{\ partial z}} {{\ partial \ rho}}} & {\ frac {{\ partial z}} {{\ partial \ varphi}}} & {\ frac {{\ partial z}} {{\ парциальное \ тета}}} \end{массив}} \right|,\]
, где частные производные равны
\[\frac{{\partial x}}{{\partial \rho}} = \cos \varphi \sin\theta,\;\; \frac{{\partial x}}{{\partial \varphi}} = — \rho \sin \varphi \sin\theta,\;\; \ frac {{\ partial x}} {{\ partial \ theta}} = \ rho \ cos \ varphi \ cos \ theta, \; \; \frac{{\partial y}}{{\partial \rho}} = \sin \varphi \sin\theta,\;\; \frac{{\partial y}}{{\partial \varphi}} = — \rho \cos \varphi \sin\theta,\;\; \ frac {{\ partial y}} {{\ partial \ theta}} = \ rho \ sin \ varphi \ cos \ theta, \; \; \ frac {{\ partial z}} {{\ partial \ rho}} = \ cos \ theta, \; \; \frac{{\partial z}}{{\partial \varphi}} = 0,\;\; \frac{{\partial z}}{{\partial \theta}} = -\rho \sin \theta .