Угол cdb adc 4 5: Дано:аdс и cdb смежные cdb:adc=4:5 найдите adc и cdb

4. Если ¯CB ¯AD и CAB ~= CDB, как показано на рис. 12.10, то ACB~= DCB.

5. Если ¯CB ¯AD и ¯AC ~= ¯CD, как показано на рис. 12.12, то ACB ~= DCB.

	Заявление	Причины
1.	¯cb ¯ad и ¯ac ~ = ¯cd	, данный
2.	ABC и DBC — правые треугольники	Определение правого треуурина
3.	вели ~ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ~ = = = = = = ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ = = = ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
3.	. ¯BC	Рефлексивное свойство ~=
4.	ACB ~= DCB	HL Теорема для прямоугольных треугольников

6. Если P ~= R и показано на рис. 12.17, тогда N ~= Q.

	Заявление	Причины
1.	P ~ = R, а M — средняя точка ¯pr	, данный
2.	¯pm ~ = ¯mr
2.	¯pm ~ = ¯mr
2.	дет
3.	NMP and RMQ are vertical angles	Definition of vertical angles
4.	NMP ~= RMQ	Theorem 8.1
5.	PMN ~= RMQ	ASA постулат
6.	N ~ = Q	CPOCTAC

SMILIAR TRINGLES

1. X = 110008
2. X = 12
3. 40CT 13.6, тогда ^BC / _AB = ^CE / _DE .

5. 150 -го.

Открытие дверей с помощью подобных треугольников

1. Если прямая параллельна одной стороне треугольника и проходит через середину второй стороны, то она проходит через середину третьей стороны.

¯DE ¯AC, а D — середина ¯AB.

Дано: ¯DE ¯AC и D – середина ¯AB.

Докажите: E — середина ¯BC.

	Заявление	Причины
1.	¯DE ¯AC и D – середина ¯AB.	Given
2.	¯DE ¯AC and is cut by transversal AB	Definition of transversal
3.	BDE and BAC are corresponding angles	Definition of corresponding angles
4	BDE ~ = BAC	Постулат 10.1
5.	B ~ = B	Рефлексивное свойство ~ =
6.	ABC ~ DBE	AA.0030
7.	DB / AB = BE / BC	CSSTAP
8.	DB = AB / 2	Theorem 9.1
9.	DB / AB = 1 / 2	Algebra
10.	1 / 2 = BE / BC	Substitution ( шаги 7 и 9)
11.	BC = 2BE	Algebra
12.	BE + EC = BC	Segment Addition Postulate
13.	BE + EC = 2BE	Substitution ( steps 11 and 12)
14.	EC = BE	Algebra
15.	E is the midpoint of ¯BC	Definition of midpoint

2. AC = 43 , АВ = 8, РС = 16, РТ = 83

3. AC = 42 , BC = 42

Четырехугольники на первый план

1. AD = 63, BC = 27, RS = 45
2. ¯AX, ¯CZ и ¯DY

3. Теорема 15.5. В воздушном змее одна пара противоположных углов конгруэнтна.

Воздушный змей ABCD.

Дано: Воздушный змей ABCD.

Доказать: B ~= D.

4. Theorem 15.6 : Диагонали воздушного змея перпендикулярны, а диагональ, противоположная конгруэнтным углам, делит другую диагональ пополам.

Воздушный змей ABCD.

Дано: Воздушный змей ABCD.

Докажите: ¯BD ¯AC и ¯BM ~= ¯MD.

	Statement	Reasons
1.	ABCD is a kite	Given
2.	¯AB ~= ¯AD and ¯BC ~= ¯DC	Definition воздушного змея
3.	¯AC ~= ¯AC	Рефлексивное свойство ~=
4.	ABC ~= ADC	SSS Postulate
5.	BAC ~= DAC	CPOCTAC
6.	¯AM ~= ¯AM	Reflexive property of ~=
7.	ABM ~ = ADM	SAS Postulate
8.	¯BM ~= ¯MD	CPOCTAC
9.	BMA ~= DMA	CPOCTAC
10.	mBMA = mDMA	Определение ~=
11.	MBD is a straight angle, and mBMD = 180º	Definition of straight angle
12.	mBMA + mDMA = mBMD	Angle Addition Postulate
13.	MBMA + MDMA = 180º	Замена (шаги 9 и 10)
14.	2MBMA = 180º	Заместитель0030
16.	BMA — это прямой угол	Определение правого угла
17.	¯BD ¯AC	Определение

5. The ParallELELELELELELELELELELELELELELELELELELELELELELELELELELELELELELELELELELELELELELELELELELELELELELELELELELELELELELELELELELELELELELELELELELELELELELEL. конгруэнтны.

Параллелограмм ABCD.

Дано: Параллелограмм ABCD.

Докажите: ABC ~= ADC.

6. 144 units ²

7. 180 шт. ²

8. Воздушный змей ABCD имеет площадь 48 шт. ² .

Параллелограмм ABCD имеет площадь 150 единиц ² .

Прямоугольник ABCD имеет площадь 104 единицы ² .

Ромб ABCD имеет площадь ³⁵ / ₂ единиц ² .

Anatomy of a Circle

1. Circumference: 20 feet, length of ˆRST = ¹⁵⁵ / ₁₈ feet
2. 9 feet ²
3. 15 feet ²
4. 28º

The Unit Circle and Тригонометрия

1. ³ / ₃₄ = ³³⁴ / ₃₄
2. ¹ / ₃ = ³ / ₃
3. ТАНГАТНЫЕ Отношение = ⁴⁰ / ₃ , соотношение синуса = ^{40241 / ₇}
4. . 56 , отношение косинуса = ⁵⁶ / ₉

Выдержки из The Complete Idiot’s Guide to Geometry в любой форме. Используется по договоренности с Alpha Books , член Penguin Group (USA) Inc.

Чтобы заказать эту книгу непосредственно у издателя, посетите веб-сайт Penguin USA или позвоните по телефону 1-800-253-6476. Вы также можете приобрести эту книгу на Amazon.com и в Barnes & Noble.

• Геометрия: использование и проверка угловых добавок

Диффузионно-тензорная визуализация показывает различное топографическое поражение таламуса при прогрессирующем надъядерном параличе и кортикобазальной дегенерации

AJNR Am J Neuroradiol. 2009 г.сент.; 30 (8): 1482–1487.

doi: 10.3174/ajnr.A1615

, ^a , ^{a, c} , ^a , ^a , ^a , ^b , ^a , ^b , ^a и ^b

Информация об авторе Примечания к статье Информация об авторских правах и лицензии Отказ от ответственности базальные ганглии и их корковые связи. Диффузионно-тензорная томография (ДТИ) — это метод МРТ, чувствительный к целостности микроструктуры серого и белого вещества. Это исследование было проведено, чтобы определить, может ли DTI демонстрировать микроструктурные различия между PSP и CBD, особенно в таламусе и его корковых связях.

МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ:

Девять пациентов с вероятным ПНП, 11 с вероятным КБД и 7 контрольных составили группу исследования. Среднее значение кажущегося коэффициента диффузии (ADC _ave) и значения фракционной анизотропии (FA) измерялись в исследуемых областях, расположенных в вентролатеральных (моторных), медиальных, передних и задних областях таламуса, базальных ганглиях, лобно-орбитальном белом веществе. , цингулум, дополнительную моторную зону (SMA), а также прецентральные и постцентральные извилины у пациентов и контрольной группы.

РЕЗУЛЬТАТЫ:

При ПСП значения ADC _и были повышены в нескольких областях: таламусе, особенно в его переднем и медиальном ядрах; цингулум; двигательная зона; и СМА. Значения FA были особенно снижены в лобно-орбитальном белом веществе, передней части поясной извилины и двигательной области. В CBD ADC _ave был увеличен в моторном таламусе, в прецентральной и постцентральной извилинах, ипсилатерально пораженной лобно-теменной коре и в двусторонней SMA. ФА была в основном снижена в прецентральной извилине и СМА, затем в постцентральной извилине и поясной извилине.

ВЫВОДЫ:

У пациентов с ПНП поражение таламуса было диффузным и преобладало в его переднем отделе, тогда как при ОЖП поражение было асимметричным и ограничивалось двигательным таламусом. DTI может быть полезен в дифференциальной диагностике этих двух паркинсонических расстройств.

Прогрессирующий надъядерный паралич (ПНП) ​​и кортико-базальная дегенерация (КБД) являются патологически различными причинами прогрессирующего атипичного паркинсонизма, плохо поддающегося или не поддающегося лечению леводопой. Оба заболевания характеризуются отложением τ-белка (изоформа 4R) в нейронах и глии. ¹ Однако области мозга, вовлеченные в 2 состояния, различаются: ² в основном кора головного мозга при КБД и подкорковые области при ПНП. ³ Хотя диагностические критерии основаны на двигательных нарушениях, всегда присутствуют клинические признаки этих состояний, ^4,5 как при снижении когнитивных функций, так и при отклонениях в поведении, часто наблюдается деменция. ^6,7

При ПНП дисфункция передней лобной доли является наиболее инвалидизирующим когнитивным дефицитом, отчасти из-за выраженной деафферентации префронтальных областей в результате дегенерации стриатоталамокортикальных путей. ^8,9 Цепи, участвующие в поведенческом контроле, включают таламус, в основном медиальный таламус, связанный с лобно-орбитальной корой, и передний таламус, связанный с поясной извилиной. ¹⁰

При КБД часты когнитивные и моторные дисфункции, а наиболее характерными высшими корковыми расстройствами являются конечностно-кинетическая апраксия, идеомоторная апраксия и феномен чужеродной конечности, вероятно, связанные с поражением перироландальных областей. ¹¹ Эти области коры функционально связаны с моторным таламусом, группой ядер в латеральной части таламуса.

Традиционная МРТ при ПНП показывает атрофию среднего мозга, особенно дорсальной части среднего мозга; изменения интенсивности сигнала в покрышке и околоводопроводном сером веществе, ¹² и заметное увеличение третьего желудочка, что предполагает потерю таламической ткани. ¹³ Недавние исследования морфометрии на основе вокселей (VBM) подтвердили таламическую атрофию и дополнительно сообщили о симметричной потере ткани в орбитофронтальной коре и передней поясной коре. ^14,15

Традиционная МРТ при холедохе показывает асимметричную атрофию коры в лобно-теменных областях, которая сильнее выражена на противоположной стороне с клиническим поражением; поражение базальных ганглиев и таламуса видно редко. ⁷

Диффузионно-тензорная визуализация (DTI) измеряет поступательное движение молекул воды в биологических тканях. Он измеряет фракционную анизотропию (FA), индекс когерентности белого вещества и упаковки аксонов, а также среднее значение кажущегося коэффициента диффузии (ADC _{ave 9).0243), индекс средней величины скорости диффузии в каждом вокселе. Снижение линейной организации путей белого вещества будет определять снижение FA. Повреждение белого и серого вещества, даже на микроструктурном уровне, будет определять увеличение ADC ave .}

Посмертные патологические исследования показали потерю нейронов с агрегатами τ-белка в таламусе при обеих таупатиях; однако топографическое распределение поражений различается между PSP и CBD. ²

Целью данного исследования было определить, может ли DTI при этих заболеваниях обнаруживать различное распределение микроструктурных повреждений тканей, происходящих в таламусе, базальных ганглиях и их связях с областями коры. Таким образом, показатели DTI в таламусе можно использовать для дифференциальной диагностики двух паркинсонических расстройств.

Девять пациентов с ПНП (5 женщин, 4 мужчины, средний возраст 66,5 лет, диапазон 51–73 года), 11 пациентов с ХБП (7 женщин и 4 мужчины, средний возраст 66,4 года, диапазон 51–77 лет) ) и 7 здоровых добровольцев в контрольной группе по возрасту, максимально приближенному к возрасту пациентов (2 женщины и 5 мужчин; средний возраст 60,4 года; диапазон 55–66 лет). У контрольной группы не было истории или признаков неврологических заболеваний или когнитивных нарушений, и у них были нормальные результаты МРТ головного мозга. Для МРТ-исследований от всех участников было получено письменное информированное согласие.

Пациенты были диагностированы в соответствии с принятыми клиническими критериями ^4,5 и имели типичные признаки заболевания. Унифицированная шкала оценки болезни Паркинсона (UPDRS III) использовалась для оценки двигательной инвалидности; Мини-тест психического состояния (MMSE) для оценки психического состояния. У пациентов с CBD акинетический ригидный синдром и апраксия конечностей были более выражены на стороне, противоположной атрофии полушарий, обнаруженной на МРТ, и нарушениях интенсивности сигнала (6 клинически хуже справа, 5 слева).

Визуализация

Использовалась система МР-томографии 1,5 Тл (Avanto; Siemens, Эрланген, Германия). Аксиальное протонное затухание/T2-взвешенные изображения (TR = 3500 мс; TE = 17 и 84 мс; толщина 5 мм), корональное турбо-спиновое эхо T2-взвешенные изображения (TR = 4100 мс, TE = 143 мс, 5 мм толщина) и аксиальные градиент-эхо Т2*-взвешенные изображения (TR = 700 мс, TE = 26 мс, толщина 5 мм). Объемные Т1-взвешенные изображения были получены с помощью быстрого получения последовательности градиентных эхо-сигналов с намагничиванием (160 сагиттальных срезов, TR = 1640 мс, TE = 2,0 мс, TI = 552 мс, размер вокселя = 1 мм9).0240 3 , угол поворота = 12°).

DTI выполняли с использованием дважды перефокусированных однократных спин-эхо-эхо-планарных последовательностей в аксиальных срезах со следующими настройками: TR = 7500 мс, TE = 80 мс, NEX = 10, матрица = 192 × 256, FOV = 180 × 240 мм, толщина профиля = 2,5 мм, без стыкового зазора. ДТИ выполняли по 12 направлениям с b = 1000 с/мм ² . Кроме того, были получены изображения без диффузионного взвешивания, соответствующие b = 0 с/мм ² . Диффузионно-взвешенные изображения были скорректированы с учетом вихревых токов, а затем скорректированы с учетом движения головы с помощью программного обеспечения Linear Image Registration Tool Центра функциональной магнитно-резонансной томографии головного мозга (Оксфордский университет, Оксфорд, Великобритания) с номером 12 df . Сбор данных повторялся 5 раз для улучшения отношения интенсивности сигнала к шуму, а затем усреднялся.

Традиционные изображения оценивались совместно двумя старшими нейрорадиологами (A.E., M.G.) на наличие супратенториальной и инфратенториальной атрофии и изменений интенсивности сигнала. Особое внимание уделялось наличию/отсутствию двусторонней/унилатеральной лобно-теменной атрофии, дилатации ипсилатерального желудочка, увеличению третьего желудочка, аномалиям интенсивности сигнала коры или подкорки, атрофии базальных ганглиев, атрофии среднего мозга (с измерением переднезаднего диаметра) и интенсивности сигнала покрышки. аномалии. МРТ-изображения контрольной группы оценивались аналогичным образом.

Анализ изображения

Тензор был оценен статистически с использованием модели многомерной линейной регрессии, предполагающей моноэкспоненциальную зависимость между интенсивностью сигнала и произведением матрицы b и компонентов матрицы тензора диффузии. ¹⁶ Карты ADC _ave и FA были рассчитаны с использованием программного обеспечения DTIStudio ¹⁷ (Университет Джона Хопкинса, Балтимор, Мэриленд) и были измерены в нескольких представляющих интерес областях. Интересующие круговые области были независимо идентифицированы одними и теми же двумя нейрорадиологами на цветных картах DTI и на эхо-планарных изображениях DTI с б = 0 с/мм ² . Области интереса были переданы на карты ADC _ave и FA. Чтобы свести к минимуму эффекты частичного объема, мы выбрали интересующие области диаметром от 2 до 4 мм. В темных серых ядрах интересующие области располагались билатерально в головке хвостатого ядра; в центральной части бледного шара и скорлупы; и в переднем, медиальном, латеральном (двигательном) и заднем таламусе, идентифицированном в соответствии со Стереотаксическим атласом таламуса и базальных ганглиев человека год Анны Морель. ^18,19 Более конкретно, исследуемая область, расположенная в переднем таламусе, располагалась в передней части ядра рядом с коленом внутренней капсулы, заднелатеральнее передней колонны свода. Области интереса в медиальном и моторном таламусе располагались в одной и той же коронарной плоскости корково-спинномозгового пути в задней ножке внутренней капсулы, вблизи третьего желудочка и задней ножки внутренней капсулы соответственно. Область интереса в заднем таламусе располагалась на 8–10 мм позади моторного таламуса.

Интересующие области белого вещества располагались в верхних ножках мозжечка, латеральных префронтальных и лобно-орбитальных областях, цингулуме, белом веществе вблизи дополнительной двигательной области (ДМА) и белом веществе прецентральной области (область ручек) и постцентральные извилины на одинаковом расстоянии от средней линии. Ниже приведены более подробные положения: 1) в префронтальной латеральной области области интереса располагались в белом веществе лобной покрышки в нижней лобной извилине; 2) в лобно-орбитальной области области интереса располагались в белом веществе медиальной надглазничной извилины; 3) цингулюм оценивали в его переднем сегменте (перед коленом мозолистого тела) и заднем сегменте (позади валика), где пучки проходят каудокраниально и на цветовой карте кажутся голубыми; 4) SMA была идентифицирована как парасагиттальная извилина, ограниченная сзади первичной моторной корой и спереди коронарной плоскостью, содержащей вертикальную линию, пересекающую переднюю комиссуру и перпендикулярную плоскости переднезадней комиссуры. ²⁰ Значения ADC измерялись во всех исследуемых областях, как в белом, так и в сером веществе. Измерения ФА были получены в белом веществе и в таламусе из-за высокого содержания в них волокон белого вещества. Все положения интересующей области показаны на и .

Открыть в отдельном окне

Позиционирование областей интереса для измерения ADC и FA в таламусе. AT указывает на передний таламус; моторный Т, моторный таламус; MT, медиальный таламус; PT, задний таламус.

Открыть в отдельном окне

Позиционирование областей интереса для измерения ADC и FA в базальных ганглиях и белом веществе. CN указывает на хвостатое ядро; ГП, бледный шар; Pt, скорлупа; SCP, верхняя ножка мозжечка; FO, лобно-орбитальная извилина; IFG, нижняя лобная извилина; AC, передний пояс; ПК, задний цингулум; SMA, дополнительная двигательная зона.

Статистический анализ

Различие в распределении по полу между группами оценивали по критерию χ ² тест. Возрастные различия исследовали с помощью однофакторного дисперсионного анализа (ANOVA) с последующей поправкой Тьюки. Различия в длительности заболевания и баллах UPDRS и MMSE оценивали с помощью непараметрического критерия Манна-Уитни U из-за небольшого размера выборки. Межэкспертная и внутриэкспертная надежность измерений ADC _и и FA определялась коэффициентами внутриклассовой корреляции, полученными с использованием односторонней модели случайных эффектов ANOVA. Межэкспертная надежность оценивалась на всех сканах. Внутриэкспертная надежность оценивалась по 10 сканам, оцененным первым оценщиком. Затем значения усреднялись, и использовалось среднее значение.

После подтверждения отсутствия латерализации ADC _и и изменения FA у пациентов с ПНП и контрольной группой с помощью парного теста t мы усреднили измерения по 2 полушариям. Для пациентов с CBD измерения с каждой стороны были усреднены для областей, для которых не было обнаружено различий между двумя сторонами; в противном случае использовалось значение наиболее затронутой стороны (т. е. более высокое значение ADC _или и более низкое значение FA).

Односторонний дисперсионный анализ с группой в качестве фактора с последующим тестом Тьюки для множественных сравнений был использован для оценки различий в ADC _и и измерения FA среди 3 групп после определения того, что распределения значений были нормальными с помощью теста Шапиро-Уилка на нормальность. Различия считались значимыми для P < 0,05. Результаты представлены в виде средних значений и стандартных отклонений. Анализы проводились с помощью Статистического пакета для социальных наук, версия 13.0 для Windows (SPSS, Чикаго, штат Иллинойс).

Демографические и клинические данные пациентов и контрольной группы представлены в интерактивной таблице 1. Дисперсионный анализ не выявил существенной разницы в возрасте между группами. Межэкспертный и интраэкспертный анализ надежности показали хорошее совпадение ( r > 0,85, r > 0,83 соответственно). Результаты статистического анализа выбранных областей мозга для ADC _и представлены в онлайн-таблице 2, а для FA — в онлайн-таблице 3. _пр. в хвостатом ядре (F = 5,343, P = 0,012), бледный шар (F = 3,952, P = 0,033), передний (F = 7,433, P = 0,003), медиальные (F = 4,360, P = 0,024) и двигательные таламусы (F = 7,713, P = 0,003), верхние ножки мозжечка (F = 4,503, P = 0,022) , передняя (F = 3,542, P = 0,045) и задняя цингула (F = 4,085, P = 0,030), SMA (F = 7,416, P = 0,003) и прецентральная (F = 20,37) , P < 0,001) и постцентральные извилины (F = 12,51, P < 0,001).

У пациентов с ПНП по сравнению с контрольной группой тест Тьюки показал ADC _ave увеличение головки хвостатого ядра ( P = .015), бледного шара ( P = .026), переднего таламуса ( P = .004) и медиального ( P = .004). 049) и двигательные таламусы ( P = 0,015). ADC _ave также был повышен в верхних ножках мозжечка ( P = 0,04), передней поясной извилине ( P = 0,043) и задней поясной извилине ( P = 0,027), SMA ( P ). = 0,045), а прецентральная извилина ( P = 0,027).

У пациентов с ХБД по сравнению с контрольной группой мы обнаружили увеличение ADC _аве в головке хвостатого ядра ( P = 0,028), двигательном таламусе ( P = 0,002), SMA ( P = 0,002), предцентральная извилина ( P < 0,001) и постцентральная извилина ( P < 0,001).

При сравнении пациентов с ПНП и КБД мы обнаружили более высокие значения ADC _и у пациентов с ПНП в переднем таламусе ( P = 0,018), медиальный таламус ( P = 0,041) и верхние ножки мозжечка ( P = 0,042). Более высокие значения ADC _и были обнаружены у пациентов с CBD в прецентральной ( P = 0,004) и постцентральной извилинах ( P = 0,021).

Фракционная анизотропия

ANOVA показал значительные различия между группами для FA в лобно-орбитальной области (F = 5,764, P = 0,009), передней (F = 14,85, P < 0,001) и задней (F = 5,263, P = 0,013) поясная извилина, SMA (F = 7,19, P = 0,004), прецентральная извилина (F = 29,032, P < 0,001) и постцентральная извилина (F = 4,760, P = 0,018). У пациентов с ПНП по сравнению с контрольной группой тест Тьюки показал, что ФА была ниже в лобно-орбитальной области ( P = 0,007), передней части поясной извилины ( P < 0,001), задней части поясной извилины ( P = . 012), СМА ( P = 0,031), предцентральная извилина ( P < 0,001) и постцентральная извилина ( P = 0,031). У пациентов с CBD по сравнению с контролем мы обнаружили, что FA была ниже в передней части поясной извилины ( P = 0,028), задней части поясной извилины ( P = 0,047), SMA ( P = 0,003), прецентральной извилине ( P < 0,001) и постцентральной извилине ( P = 0,027). При сравнении пациентов с ПНП и КБД мы обнаружили, что ФА была ниже в передней части поясной извилины ( P = 0,013) у пациентов с ПНП.

Наиболее важным открытием этого исследования было то, что показатели DTI (ADC _ave ) достаточно чувствительны, чтобы выявить различия в топографии поражения в таламусе между пациентами с ПНП и ХБП. Переднее и медиальное ядра таламуса поражались только у пациентов с ПНП. Моторный таламус был вовлечен в обе таупатии, но аномалии были асимметричными при КБД и симметричными при ПСП.

Значимые различия в ADC _и , аномалии FA были обнаружены и в других областях мозга. Передний пояс, функционально связанный с передним таламусом, характеризовался высоким ADC 9.0242 ave и низкая ФА у пациентов с ПНП. Лобно-орбитальная область, функционально связанная с медиальным таламусом, характеризовалась аномально низкой ФА у пациентов с ПНП. Аномальные значения ADC _и и FA были измерены в первичной моторной коре и SMA, которые функционально связаны с моторным таламусом при обеих таупатиях. В постцентральной извилине FA была аномальной у обоих, тогда как ADC _и были повышены только у пациентов с CBD. Это исследование показывает, что DTI обнаруживает микроструктурные изменения в уязвимых областях серого и белого вещества у пациентов с таупатиями, несмотря на отсутствие аномалий интенсивности сигнала на обычной МРТ. Особенностью этого исследования была демонстрация того, что значительные FA и ADC _ave аномалии обнаруживаются в анатомических областях мозга, о функциональной связи которых априори известно.

Это исследование предполагает, что патологические изменения, такие как образование агрегатов τ-белка и потеря нейронов в сером веществе у пациентов с ПНП и ХЗК, приводят к повышению ADC _ave , вероятно, из-за сниженной организации ткани, которая представляет собой микроструктурные барьеры. к диффузии воды в интерстиций. Снижение FA в белом веществе, соединяющем пораженные области серого вещества, может означать потерю когерентности, уменьшение упаковки аксонов и демиелинизацию, вероятно, вторичную по отношению к валлеровской дегенерации. При нейродегенеративных заболеваниях снижение FA часто связано с повышением ADC 9.0242 ave , хотя эти 2 показателя измеряют разные физические явления. Хотя при нейродегенеративных заболеваниях ADC _или в основном связаны со структурой ткани и амплитудой внеклеточных пространств, ограничивающих движения молекул воды (и поэтому подходят для изучения как серого, так и белого вещества), ФА зависит от ограничение движения воды в определенном направлении, поскольку оно возникает в анизотропной ткани, в которой волокна белого вещества имеют преобладающую направленность.

Это исследование было первым, в котором изучался региональный анализ в таламусе с параметрами DTI. Два предыдущих исследования ^21,22 также продемонстрировали аномальное увеличение ADC _ave в таламусе по сравнению со здоровыми субъектами, но с одной большой интересующей областью. Padovani et al. ²¹ обнаружили аномально сниженную ФА в двусторонних лучевых лучах заднего таламуса и переднего таламуса.

В 1990-х годах несколько подробных нейропатологических исследований изучали топографическое распределение и плотность нейрофибриллярных клубков в таламусе у пациентов с ПНП. ^23–25 Впоследствии было продемонстрировано наличие большого количества внутриклеточных нейрофибриллярных клубков в медиальном таламусе пациентов с ПНП с аналогичным, но менее распространенным поражением переднего таламуса. ²⁶ Передние ядра таламуса связаны с поясной извилиной, а медиальные ядра таламуса связаны с лобно-орбитальной извилиной. Эти связи являются частью лимбических цепей, участвующих в поведенческом контроле. ¹⁰ Аномалии в этих цепях у пациентов с ПНП могут объяснить апатию, снижение беглости речи и двигательную заторможенность. Наши выводы об аномальном ADC _ave или значения FA в передних и медиальных таламусах, передней поясной извилине и лобно-орбитальных областях также согласуются с морфометрическими аномалиями, выявленными с помощью VBM. ¹⁴ Кроме того, они хорошо коррелируют с функционально-анатомическими моделями поведенческих нарушений, характерных для ПНП. ⁷

В соответствии с Seppi et al., ²⁷ аномально высокий ADC _ave в головке хвостатого ядра был задокументирован. Головка хвостатого ядра связана с дорсолатеральными префронтальными областями и является компонентом стриатоталамокортикальных цепей, участвующих в исполнительных функциях, которые также нарушаются при ПНП. Однако мы обнаружили, что ADC _ave и FA были нормальными в нижней лобной извилине, части дорсолатеральной префронтальной области, возможно, из-за небольшого размера областей интереса по сравнению с анализируемой областью.

Бледный шар сильно поражается при ПНП, преимущественно в его наружной части. ²⁸ Вместе с вентролатеральным и вентропередним ядрами таламуса (моторный таламус) бледный шар участвует в моторной цепи, связывающей базальные ганглии с моторной корой, премоторной корой и СМА. ^28–31 Наши данные об аномально высоких значениях ADC _и в бледном шаре и латеральной части таламуса вместе с низким уровнем FA в первичной моторной коре и SMA согласуются с результатами патологоанатомических исследований. ³² Наши результаты в первичной двигательной области также согласуются с результатами других исследований изображений. ^21,22,27,33 Эти аномалии в нескольких областях двигательной цепи могут помочь объяснить двигательные дисфункции, такие как кинетическая апраксия, часто наблюдаемые у пациентов с ПНП. ³⁴

ADC _ave аномалий в скорлупе не обнаружено, несмотря на ее участие в ПСП. Анатомическая архитектура скорлупы и ее соединений сложна, и для выявления отдельных топографических аномалий может потребоваться анализ нескольких областей интереса, например, выполненный в таламусе.

Как и ожидалось, мы обнаружили аномально высокие значения ADC _и в верхних ножках мозжечка только у пациентов с ПНП, что соответствует данным визуализирующих и патологоанатомических исследований, показывающих атрофию. ³⁵ Однако FA не была аномальной в этой структуре, что свидетельствует о сохранении когерентности и упаковки пучков.

В этом исследовании в CBD было показано аномально повышенное ADC _ave в моторном таламусе, прецентральных и постцентральных извилинах атрофического полушария и двусторонне в хвостатом и SMA. Были показаны аномально низкие ФА в первичной двигательной области, СМА, постцентральной извилине, передней и задней поясной извилинах. Эти данные согласуются с результатами посмертных исследований. Макроскопическое исследование головного мозга обычно выявляет асимметричную атрофию извилин, наиболее выраженную в пре- и постцентральных областях, где обнаруживаются набухшие и вакуолизированные корковые нейроны (баллонные нейроны) и нейрофибриллярные клубки. ^36,37 Потеря нейронов, глиоз и нейрофибриллярные клубки также характерны для поражений моторного таламуса. ³⁸ Традиционная МРТ в большинстве случаев демонстрирует асимметричную перицентральную кортикальную атрофию, а гиперинтенсивность атрофической коры и нижележащего белого вещества можно увидеть на изображениях восстановления инверсии с ослаблением жидкости. ³⁹ Исследования VBM подтвердили, что атрофия коры в перицентральных областях явно асимметрична при CBD и в этом отношении отличается от таковой при PSP. ⁴⁰

Хотя обычные МРТ исследования не выявляют вовлечения таламуса в ХЗК, фтордезоксиглюкозо-позитронно-эмиссионная томография и гексаметилпропиленаминооксим-однофотонная эмиссионная КТ показали асимметричный гипометаболизм в таламусе, прецентральных и постцентральных извилинах и стриатуме. ⁴¹ Наши данные описывают вовлечение таламуса в CBD с большей пространственной детализацией, демонстрируя аномально высокий ADC _ave в моторном таламусе, противоположном стороне с клиническим поражением. Мы также обнаружили повышенный АЦП _ave в головке хвостатого ядра, но не в скорлупе или бледном шаре. Ввиду аномальных ADC _ave и FA в постцентральной извилине мы отметили, что ADC _ave был нормальным в функционально связанном ипсилатеральном заднем таламусе.

Распределение аномалий, наблюдаемых у наших пациентов с CBD, согласуется с клинической картиной, характеризующейся корковыми сенсорными нарушениями, двигательной неуклюжестью и конечностно-кинетической апраксией. Наши результаты также согласуются с исследованием DTI 9.0240 42 в CBD, который показал снижение FA в дорсолатеральных лобно-теменных ассоциативных путях и в интратеменных (аркуатных) пучках, несмотря на существенные методологические различия в анализе данных. В этом исследовании специально не оценивались параметры DTI в субрегионах таламуса, за исключением pulvinar. Более недавнее диффузионное исследование, в котором оценивались только значения ADC _и , показало, что полушарная асимметрия позволяет отличить пациентов с CBD от пациентов с PSP и болезнью Паркинсона. Однако различия в таламусах не достигали статистической значимости. ⁴³

Ограничения

В этом исследовании есть несколько ограничений. Подтверждения клинического диагноза патологоанатомическими исследованиями не проводилось. Число пациентов было небольшим, как и ожидалось, при относительно редких заболеваниях. Некоторые из областей, которые мы оценивали, такие как нижняя лобная извилина, имеют значительное количество пересекающихся волокон. В будущих исследованиях более оптимизированные методологии DTI, такие как визуализация диффузионного спектра, могут помочь решить эту проблему. ⁴⁴ Использование большей напряженности магнитного поля (3 Тл) и протокола с более чем 12 направлениями также будет иметь дополнительные преимущества в будущих исследованиях.

Несмотря на эти ограничения, наше исследование показало, что параметры DTI чувствительны к микроскопической дегенерации отдельных тканей в отдельных областях таламуса и связям их белого вещества с корой. Пространственное распределение изменений диффузионной способности в таламусе было различным у пациентов с ПНП и ХБП. Таким образом, показатели DTI могут быть полезны при дифференциальной диагностике этих двух паркинсонических расстройств. Тем не менее, оценка когнитивных и поведенческих нарушений у большей группы пациентов с ПНП и ХБП, обследованных с ДТН, необходима для установления более точных корреляций между конкретными когнитивными и двигательными дисфункциями и анатомическими областями, в которых проявляются микроструктурные аномалии.

указывает на статью с дополнительной онлайн-таблицей.

1. Ди Мария Э., Табатон М., Виго Т. и др. Кортикобазальная дегенерация имеет общий генетический фон с прогрессирующим надъядерным параличом. Энн Нейрол 2000 г.; 47: 374– 77 [PubMed] [Google Scholar]

2. Хаттори М., Хасидзуме Ю., Йошида М. и др. Распределение астроцитарных бляшек в корково-базальной дегенерации головного мозга и сравнение с пучковидными астроцитами при прогрессирующем надъядерном параличе головного мозга. Акта Нейропатол 2003 г.; 106: 143– 49Epub 2003 2 мая [PubMed] [Google Scholar]

3. Арванитакис З., Вшолек З.К. Последние достижения в понимании тау-белка и двигательных расстройств. Карр Опин Нейрол 2001 г.; 14: 491– 97 [PubMed] [Google Scholar]

4. Литван И., Агид Ю., Калне Д. и др. Клинические критерии исследования для диагностики прогрессирующего надъядерного паралича синдрома Стила-Ричардсона-Ольшевского: отчет международного семинара NINDS-SPSP. неврология 1996 год; 47: 1– 9 [PubMed] [Google Scholar]

5. Кумар Р., Бержерон С., Полланен М.С. и соавт. Янкович Дж., Толоса Э.ред. Корково-базальная ганглиозная дегенерация. Болезнь Паркинсона и двигательные расстройства. 3-е изд. Балтимор: Уильямс и Уилкинс Пресс; 1998: 297– 316 [Google Scholar]

6. Махер Э.Р., Лис А.Дж. Клинические особенности и естественное течение прогрессирующего надъядерного паралича при синдроме Стила-Ричардсона-Ольшевского. неврология 1986 год; 36: 1005– 08 [PubMed] [Google Scholar]

7. Соливери П., Монца Д., Париди Д. и др. Когнитивные и магнитно-резонансные аспекты кортико-базальной дегенерации и прогрессирующего надъядерного паралича. неврология 1999 г.; 53: 502– 07 [PubMed] [Google Scholar]

8. Соливери П., Монца Д., Париди Д. и др. Нейропсихологическое наблюдение за пациентами с болезнью Паркинсона, мультисистемной атрофией по типу стриатонигральной дегенерации и прогрессирующим надъядерным параличом. J Neurol Нейрохирург Психиатрия 2000 г.; 69: 313– 18 [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]

9. Литван И., Фиппс М., Фарр В.Л. и др. Рандомизированное плацебо-контролируемое исследование донепезила у пациентов с прогрессирующим надъядерным параличом. неврология 2001 г.; 57: 467– 73 [PubMed] [Google Scholar]

10. Каммингс Дж.Л. Фронтально-подкорковые цепи в поведении человека. Арка Нейрол 1993 год; 50: 873– 80 [PubMed] [Google Scholar]

11. Шнайдер Дж.А., Уоттс Р.Л., Гиринг М. и др. Кортикобазальная дегенерация: нейропатологическая и клиническая гетерогенность. неврология 1997; 48: 959– 69 [PubMed] [Google Scholar]

12. Савоярдо М., Страда Л., Джиротти Ф. и др. МРТ при прогрессирующем надъядерном параличе и синдроме Шай-Дрейгера. J Comput Assist Томогр 1989 год; 13: 555– 60 [PubMed] [Google Scholar]

13. Савоярдо М., Джиротти Ф., Страда Л. и др. Магнитно-резонансная томография при прогрессирующем надъядерном параличе и других заболеваниях паркинсонизма. Приложение J Neural Transm 1994 год; 42: 93– 110 [PubMed] [Google Scholar]

14. Cordato NJ, Duggins AJ, Halliday GM, et al. Клинические нарушения коррелируют с регионарной церебральной атрофией при прогрессирующем надъядерном параличе. Мозг 2005 г.; 128: 1259– 66 [PubMed] [Google Scholar]

15. Боксер А.Л., Гешвинд М.Д., Белфор Н. и соавт. Паттерны атрофии головного мозга, которые отличают синдром корково-базальной дегенерации от прогрессирующего надъядерного паралича. Арка Нейрол 2006 г.; 63: 81– 86 [PubMed] [Google Scholar]

16. Бассер П.Дж., Маттьелло Дж. , ЛеБихан Д. Оценка эффективного тензора самодиффузии по спиновому эху ЯМР. J Magn Reson B 1994 год; 103: 247– 54 [PubMed] [Google Scholar]

17. Цзян Х., ван Зийл П.С., Ким Дж. и др. DtiStudio: ресурсная программа для вычисления тензора диффузии и отслеживания пучков волокон. Вычислительные методы Программы Биомед 2006 г.; 81: 106– 16 [PubMed] [Академия Google]

18. Wiegell MR, Tuch DS, Larsson HB, et al. Автоматическая сегментация ядер таламуса по данным диффузионно-тензорной магнитно-резонансной томографии. Нейроизображение 2003 г.; 19: 391– 401 [PubMed] [Google Scholar]

19. Ниманн К., Менникен В.Р., Жанмонод Д. и др. Стереотаксический атлас таламуса человека Мореля: регистрация атласа в МРТ внутренне согласованной канонической модели. НейроИзображение 2000 г.; 12: 601– 16 [PubMed] [Google Scholar]

20. Пикард Н., Стрик П.Л. Моторные зоны медиальной стенки: обзор их расположения и функциональной активации. Кора головного мозга 1996; 6: 342– 53 [PubMed] [Google Scholar]

21. Падовани А., Боррони Б., Брамбати С.М. и др. Диффузионно-тензорная визуализация и морфометрия на основе вокселей при раннем прогрессирующем надъядерном параличе. J Neurol Нейрохирург Психиатрия 2006 г.; 77: 457– 63 [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]

22. Павиур Д.К., Прайс С.Л., Стивенс Дж.М. и др. Количественное измерение МРТ верхней ножки мозжечка при прогрессирующем надъядерном параличе. неврология 2005 г.; 64: 675– 79 [PubMed] [Академия Google]

23. Стил Дж., Ричардсон Дж., Ольшевски Дж. Прогрессирующий надъядерный паралич: гетерогенная дегенерация ствола головного мозга, базальных ганглиев и мозжечка с вертикальным взором и псевдобульбарным параличом, затылочной дистонией и деменцией. Арка Нейрол 1964 год; 10: 333– 59 [PubMed] [Google Scholar]

24. Лантос ПЛ. Невропатология прогрессирующего надъядерного паралича. Приложение J Neural Transm 1994 год; 42: 137– 52 [PubMed] [Google Scholar]

25. Мацумото Р., Накано И., Араи Н. и др. Прогрессирующий надъядерный паралич с асимметричными поражениями таламуса и мозжечка, с особым упором на одностороннее преобладание множества торпед. Акта Нейропатол 1996; 92: 640– 44 [PubMed] [Google Scholar]

26. Хендерсон Дж.М., Карпентер К., Картрайт Х. и др. Потеря интраламинарных ядер таламуса при прогрессирующем надъядерном параличе и болезни Паркинсона: клинические и терапевтические последствия. Мозг 2000 г.; 123: 1410– 21 [PubMed] [Google Scholar]

27. Сеппи К., Шоке М.Ф., Эстерхаммер Р. и соавт. Диффузионно-взвешенная визуализация отличает прогрессирующий надъядерный паралич от БП, но не от паркинсонического варианта множественной системной атрофии. неврология 2003 г.; 60: 922– 27 [PubMed] [Google Scholar]

28. CD Хардмана, Холлидей GM. Внешний бледный шар у пациентов с болезнью Паркинсона и прогрессирующим надъядерным параличом. мов расстройство 1999 г.; 14: 626– 33 [PubMed] [Google Scholar]

29. ДеВито Дж.Л., Андерсон М.Э. Авторадиографическое исследование эфферентных связей бледного шара у Macaca mulatta. Мозг опыта 1982 год; 46: 107– 17 [PubMed] [Google Scholar]

30. Стрик пл. Анатомический анализ вентролатерального таламического входа в моторную кору приматов. J Нейрофизиол 1976; 39: 1020– 31 [PubMed] [Google Scholar]

31. Шелл Г.Р., Стрик П.Л. Происхождение таламических входов в дугообразную премоторную и дополнительную моторную области. Джей Нейроски 1984 год; 4: 539– 60 [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]

32. Холлидей Г.М., Макдональд В., Хендерсон Дж.М. Сравнение дегенерации моторного таламуса и коры между прогрессирующим надъядерным параличом и болезнью Паркинсона. Мозг 2005 г.; 128( п. 10): 2272– 80 [PubMed] [Google Scholar]

33. Николетти Г., Лоди Р., Кондино Ф. и др. Измерение кажущегося коэффициента диффузии средней ножки мозжечка позволяет отличить паркинсоновский вариант MSA от болезни Паркинсона и прогрессирующего надъядерного паралича. Мозг 2006 г.; 129( п. 10): 2679– 87 Epub 2006 30 июня [PubMed] [Google Scholar]

34. Соливери П., Пьячентини С., Джиротти Ф. Апраксия конечностей и когнитивные нарушения при прогрессирующем надъядерном параличе. Нейрокейс 2005 г.; 11: 263– 67 [PubMed] [Google Scholar]

35. Tsuboi Y, Slowinski J, Joseph KA, et al. Атрофия верхних ножек мозжечка при прогрессирующем надъядерном параличе. неврология 2003 г.; 60: 1766– 69 [PubMed] [Google Scholar]

36. Диксон Д.В., Бержерон С., Чин С.С. и др. Управление редких заболеваний, невропатологические критерии кортико-базальной дегенерации. J Нейропатол Эксперт Нейрол 2002 г.; 61: 935– 46 [PubMed] [Google Scholar]

37. Ребейз Дж.Дж., Колодный Э.Х., Ричардсон Э.П. Кортикодентатонигральная дегенерация с ахромазией нейронов. Арка Нейрол 1968 год; 18: 20– 33 [PubMed] [Google Scholar]

38. Гибб В.Р., Лютерт П.Дж., Марсден К.Д. Кортикобазальная дегенерация. Мозг 1989 год; 112: 1171– 92 [PubMed] [Google Scholar]

39. Савоярдо М., Гризоли М., Джиротти Ф. Магнитно-резонансная томография при CBD, связанных с ним атипичных паркинсонических расстройствах и деменции. Ад Нейрол 2000 г.; 82: 197– 208 [PubMed] [Академия Google]

40. Джозефс К.А., Уитвелл Дж.Л., Диксон Д.В. и соавт. Морфометрия на основе вокселей при вскрытии подтвержденных PSP и CBD. Нейробиол Старение 2008 г.; 29: 280– 89 [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]

41. Брукс диджей. Функциональные визуализирующие исследования при кортикобазальной дегенерации. Ад Нейрол 2000 г.; 82: 209– 15 [PubMed] [Google Scholar]

42. Боррони Б., Гариботто В., Агости С. и др. Изменения белого вещества при синдроме корково-базальной дегенерации и корреляция с апраксией конечностей. Арка Нейрол 2008 г.; 65: 796– 801 [PubMed] [Google Scholar]

43. Риццо Г., Мартинелли П., Мэннерс Д. и др. Диффузионно-взвешенное исследование изображений головного мозга пациентов с клиническим диагнозом корково-базальной дегенерации, прогрессирующего надъядерного паралича и болезни Паркинсона. Мозг 2008 г.; 131: 2690– 700 [PubMed] [Google Scholar]

44. Ведин В.Дж., Ван Р.П., Шмахманн Д.Д. и др. Диффузионно-спектральная магнитно-резонансная томография (ДСИ) трактография пересекающихся волокон. Нейроизображение 2008 г.; 41: 1267– 77 [PubMed] [Академия Google]

Q14 Используйте информацию, приведенную на следующем рисунке, чтобы доказать, что треугольники ABD и CBD равны A.

Перейти к

• Упражнение 19

• Целые числа
• Рациональное число
• Фракции (включая задачи)
• Десятичные дроби (десятичные дроби)
• Показатели (включая законы показателей)
• Соотношение и пропорция (включая долю в соотношении)
• Унитарный метод (включая время и работу)
• Процент и процент
• Прибыль, убыток и дисконт
• Простой интерес
• Основные понятия (включая основные операции)
• Простые линейные уравнения (включая текстовые задачи)
• Понятия набора (некоторые простые деления по ведическому методу)
• Линии и углы (включая построение углов)
• Треугольники
• Теорема Пифагора
• Симметрия (включая отражение и вращение)
• Распознавание твердых тел (представление 3D в 2D)
• Конгруэнтность: конгруэнтные треугольники
• Измерение
• Обработка данных
• Вероятность

Главная > Селина Солюшнс Класс 7 Математика > Глава 19. Конгруэнтность: конгруэнтные треугольники > Упражнение 19 > Вопрос 14

Вопрос 14 Упражнение 19{\circ}

Похожие вопросы

Q1) Укажите, равны ли пары треугольников, изображенных на следующих рисунках:

Q2) По данному рисунку докажите, что: ∆ABD ≅ ∆ACD

Q3) Докажите, что: (i) ∆ABC ≡∆ADC (ii) ∠B = ∠D (iii) AC делит пополам угол DCB

Q4) Докажите, что: (i) ∆ABD ≡ ∆ACD (ii) ∠B = ∠C(iii) ∠ADB = ∠ADC (iv) ∠ADB = 90°

Q5) На данном рисунке докажите, что: (i) ∆ACB ≅ ∆ECD (ii) AB = ED

Q6) Докажите, что: (i) ∆ ABC ≅ ∆ ADC (ii) ∠B = ∠D

Фейсбук WhatsApp

Копировать ссылку

Было ли это полезно?

Упражнения

Упражнения 19

Главы

Целые числа

Рациональные числа

Фракции (включая проблемы)

Десятичные фракции (Decimals)

(включая законы экспонентов)

Унитарный метод (включая время и работу)

Проценты и проценты

Прибыль, убыток и дисконт

Простые проценты

Основные понятия (включая основные операции)

Простые линейные уравнения (включая текстовые задачи) Углы (включая построение углов)

Треугольники

Теорема Пифагора

Симметрия (включая отражение и вращение)

Распознавание твердых тел (представление 3D в 2D)

Конгруэнтность: конгруэнтные треугольники

Измерение

Обработка данных

Вероятность

Курсы

Быстрые ссылки

Условия и политика

Условия и политика

2022 © Quality Tutorials Pvt Ltd Все права защищены . Одно из свойств параллелограмма состоит в том, что противоположные углы равны, как мы сейчас покажем.

Поскольку это свойство любого параллелограмма, оно также верно для любого специального параллелограмма, такого как прямоугольник, квадрат или ромб.

Задача

ABCD — параллелограмм, AD||BC и AB||DC. Докажите, что ∠BAD ≅ ∠DCB и что ∠ADC ≅ ∠CBA

Strategy

Это можно сделать двумя способами. Во-первых, использовать конгруэнтные треугольники, чтобы показать, что соответствующие углы конгруэнтны, а во-вторых, использовать теорему о чередующихся внутренних углах и применить ее дважды.

Давайте сначала воспользуемся конгруэнтными треугольниками, потому что это требует меньше дополнительных линий. Проведите диагональ BD, и мы покажем, что ΔABD и ΔCDB конгруэнтны.

Чтобы показать, что эти два треугольника конгруэнтны, мы будем использовать тот факт, что это параллелограмм, и в результате две противоположные стороны параллельны, а диагональ действует как поперечная линия.

Диагональ является общей стороной, а также секущей, которая пересекает обе пары противоположных сторон параллелограмма, образуя две пары конгруэнтных альтернативных внутренних углов.

Треугольники ΔABD и ΔCDB конгруэнтны на основании постулата угол-сторона-угол, и мы можем показать, что противоположные углы параллелограмма конгруэнтны как соответствующие углы (используя теорему сложения углов для одной из пар).

Доказательство

Вот как вы доказываете, что в параллелограммах противоположные углы равны:

(1) ABCD — параллелограмм        //Дано

(2) AD || BC                                //Из определения параллелограмма

(3) ∠ADB ≅ ∠CBD                      // Теорема о альтернативных внутренних углах

(4) AB || DC // Из определения параллелограммы

(5) ♂дба ≅ Ϫcdb // Альтернативные внутренние углы Теорема

(6) BD = BD // ОБЩАЯ СТО // (3), (6), (5) Постулат Угол-Сторона-Угол

(8) ∠BAD ≅ ∠DCB                      // Соответственные углы в конгруэнтных треугольниках (CPCTC)

(9) m∠ADC = m∠ADB+m∠BDC   //теорема сложения углов

(10) m∠CBA = m∠CBD+m∠DBA   //теорема сложения углов

(11) m∠ADC = m∠CBD+m∠BDC   //(3), (7), замена

(12) m∠ADC = m∠CBD+m∠DBA   //(5), (9), замена

(13) ) m∠CBA = m∠ADC                //(10), (8), транзитивное свойство равенства

(14) ∠CBA ≅ ∠ADC                      //(11), определение конгруэнтных углов

Теперь давайте по-другому, без конгруэнтности треугольников. Мы проведем другую диагональ, AC:

Обе диагонали, AC и BD, являются поперечными линиями, пересекающими оба набора параллельных прямых, каждая из которых создает два набора равных чередующихся внутренних углов, и с учетом постулата сложения углов сумма этих частичных углов равна.

Далее будет много уравнений, потому что я доказываю их очень формально. Но для простоты я делаю так:

Углы, отмеченные одной дугой (черный и красный), равны между собой (одна черная дуга равна одной черной дуге, одна красная дуга равна одной красной дуге). ). Углы, отмеченные двумя дугами, равны между собой (двойные черные дуги равны двойным черным дугам, двойные красные дуги равны двойным красным дугам).

Таким образом, сложение одной черной дуги с двойной черной дугой на противоположных сторонах параллелограмма дает равные углы, а сложение одиночных красных дуг с двойными красными дугами на противоположных сторонах параллелограмма также дает равные углы.

Итак, начиная с диагонали BD, как указано выше:

Доказательство

(1) ABCD — параллелограмм        //Дано

(2) AD || BC                                // Из определения параллелограмма

(3) ∠ADB ≅ ∠CBD                      // Альтернативные внутренние углы Теорема

(4) АВ || DC // Из определения параллелограмма

(5) ↑дба ≅ Ϫcdb // Альтернативные внутренние углы Теорема

и теперь, с диагональными переменными:

(6).

(7) ∠BAC≅ ∠DCA                    // Теорема об альтернативных внутренних углах

и сложение частичных углов по теореме сложения углов:

(8) m∠ADC = m∠ADB+m∠BDC   // теорема сложения углов

(9) m∠CBA = m∠CBD+m∠DBA   //теорема сложения углов

(10) m∠ADC = m∠CBD+m∠BDC   //(3), (8), подстановка

(11) m∠ADC = m∠CBD+m∠DBA   //(5), (10), замена

(12) m∠CBA = m∠ADC                 //(11), (9), транзитивность равенство

(13) ∠CBA ≅ ∠ADC                   //(11), определение равных углов

И мы можем сделать то же самое для другого набора углов.

(14) m∠BAD = m∠BAC+m∠CAD   // теорема сложения углов

(15) m∠DCB = m∠DCA+m∠ACB   //теорема сложения углов

(16) m∠BAD = m∠DCA+m∠CAD   //(7), (14), подстановка

(17) m∠BAD = m∠DCA+m∠ACB   //(6), (16), замена

(18) m∠BAD = m∠DCB                 //(15), (17), транзитивность равенство

(19) ∠BAD ≅ ∠DCB                      //(18), определение конгруэнтных углов

Итак, мы доказали, что в параллелограмме две пары противоположных углов конгруэнтны.

Нестандартное мышление

Вот третий способ решить эту проблему без всяких диагоналей. Продолжим стороны AD и AB за края параллелограмма в точки T и P соответственно:

Теперь, поскольку AB||CD, ∠TAB ≅ ∠ADC, как соответствующие углы параллельных прямых. А так как AD||BC, ∠TAB ≅ ∠ABC, как чередующиеся внутренние углы. Таким образом, по транзитивному свойству равенства ∠ADC ≅ ∠ABC.

Аналогично, поскольку BC||AD, ∠PBC ≅ ∠BAD, как соответствующие углы параллельных прямых. А поскольку AB||CD, ∠PBC ≅ ∠BCD, как альтернативные внутренние углы. Таким образом, по транзитивному свойству равенства ∠BAD ≅ ∠BCD.

Это самое короткое доказательство, но оно требует мышления «нестандартно», или, в данном случае, вне параллелограмма.

Доказательство №3

(1) ABCD — параллелограмм        //Дано
(2) AB || CD                               // Из определения параллелограмма
(3) ∠TAB ≅ ∠ADC // Соответственные углы параллельных прямых
(4) AD || BC             //Из определения параллелограмма
(5) ∠TAB ≅ ∠ABC // Альтернативные внутренние углы
(6) ∠ADC ≅ ∠ABC //(3) , (5) , Транзитивность равенства
(7) г. до н.э. || AD                               //Из определения параллелограмма
(8) ∠PBC ≅ ∠BAD // Соответственные углы параллельных прямых
(9) AB || CD            //Из определения параллелограмма
(10) ∠PBC ≅ ∠BCD // Альтернативные внутренние углы
(11) ∠BAD ≅ ∠BCD //(8) , (10) , Транзитивное свойство равенства

Острый / Тупоугольные треугольники — математика верхнего уровня SSAT

Все математические ресурсы верхнего уровня SSAT

6 диагностических тестов 311 практических тестов Вопрос дня Карточки Учитесь по концепции

← Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Следующая →

Справка по математике верхнего уровня SSAT » Геометрия » Свойства треугольников » Острые/тупые треугольники

Найдите измерение угла .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Сумма всех углов треугольника должна составлять

Сообщить об ошибке

Найдите измерение угла .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Сумма всех углов треугольника должна составлять .

Сообщить об ошибке

В равнобедренном треугольнике есть угол, мера которого равна .

Что можно  — меры одного из других его углов?

(a)

(b)  

(c)

Возможные ответы:

(a) или (c) только

(b) только (b) только

(a), (b) или (c)

Правильный ответ:

(a), (b) или (c)

Пояснение:

По теореме о равнобедренном треугольнике у равнобедренного треугольника два внутренних угла равны. Есть два возможных сценария, если один угол имеет меру :

Сценарий 1: Два других угла равны друг другу. Суммарные градусные меры внутренних углов треугольника, поэтому если мы допустим общую меру этих углов:

Это делает (b) возможным ответом.

Сценарий 2. Один из других углов измеряет также, что делает (c) возможным ответом. Градусная мера третьего угла равна

,

, что делает (а) возможным ответом. Следовательно, правильный выбор – (а), (б) или (в).

Сообщить об ошибке

Измеряет один из внутренних углов разностороннего треугольника . Что из нижеперечисленного может быть мерой другого из его внутренних углов?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

Разносторонний треугольник имеет три стороны разной величины, поэтому согласно теореме, обратной теореме о равнобедренном треугольнике, каждый угол также имеет разную величину. Поэтому мы можем устранить  немедленно.

Кроме того, если у треугольника также есть угол, то, поскольку сумма градусных мер углов равна , следует, что третий угол имеет меру

.

Следовательно, у треугольника два угла, измеряемые одинаково, и их можно исключить.

Аналогично, если у треугольника также есть угол, то, поскольку сумма градусных мер углов равна , следует, что третий угол имеет меру

.

В треугольнике есть два угла, которые измеряются . Этот выбор можно исключить.

 можно исключить, так как третий угол имел бы меру

,

невозможная ситуация, так как меры угла должны быть положительными.

Остается вариант . Это означало бы, что размер третьего угла равен

.

Три угла имеют разную меру, поэтому треугольник неравносторонний. правильный выбор.

Сообщить об ошибке

Дано:  с . Найдите так, чтобы это была биссектриса угла . Что такое ?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

Выше показан рисунок.

The measures of the interior angles of a triangle total , so the measure of  is

Since  bisects this angle, 

and 

Сообщить об ошибке

Дано:  с . расположен на так, что делит пополам и образует равнобедренный треугольник .

Укажите меру .

Возможные ответы:

Недостаточно информации для ответа на вопрос.

Правильный ответ:

Пояснение:

Если   является равнобедренным, то по теореме о равнобедренном треугольнике два его угла должны быть равны.

Случай 1:

Так как делит пополам два равных угла, один из которых должен быть,

Однако это невозможно, так как и  являются двумя углами исходного треугольника; их общая мера равна

Случай 2:

Тогда, поскольку градусные меры внутренних углов треугольника составляют

,

and

Case 3: 

Then

, which is not possible.

Таким образом, единственно возможной мерой  является .

Сообщить об ошибке

Измерение внутренних углов треугольника . Из этих трех мер степени дайте наибольшую.

Возможные ответы:

Этот треугольник не может существовать.

Правильный ответ:

Explanation:

The degree measures of the interior angles of a triangle total 180 degrees, so 

One angle measures 

The other two angles measure 

and

.

Нам нужен наибольший из трех, или .

Сообщить об ошибке

 это прямоугольный треугольник с прямым углом . расположен на так, что при построении образуются равнобедренные треугольники и .

Что является мерой ?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

Ниже приведена ссылка на рисунок:

Так как  является равнобедренным прямоугольным треугольником, его острые углы, в частности  , измеряют каждый. Поскольку этот угол образует линейную пару с :

.

  также является равнобедренным, поэтому по теореме о равнобедренном треугольнике у него два угла равны. Так как  тупой, и ни один треугольник не имеет двух тупых углов:

.

Кроме того,  является внешним углом , мера которого равна сумме двух его удаленных внутренних углов, которые являются конгруэнтными углами . Следовательно,

Сообщить об ошибке

Периметр треугольника . Если одна сторона имеет длину, а другая сторона имеет длину, то какова длина третьей стороны?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Периметр — это сумма всех сторон.

Используя информацию, указанную в вопросе,

Теперь найдите сторону 3.

Сообщить об ошибке

Если периметр треугольника равен   и две стороны указаны на рисунке ниже, какова длина третьей стороны?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

Чтобы найти периметр треугольника, сложите все его стороны.

Пусть будет длина третьей стороны.

Длина третьей стороны .

Сообщить об ошибке

← Назад 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Далее →

Уведомление об авторских правах

Все математические ресурсы верхнего уровня SSAT

6 Диагностические тесты 311 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

Математика, часть II Решения для 9-го класса Математика, глава 3

Математика, часть II Решения Решения для 9-го классаМатематика Глава 3 Треугольники представлены здесь с простыми пошаговыми объяснениями. Эти решения для треугольников чрезвычайно популярны среди учащихся 9 класса по математике. Решения для треугольников пригодятся для быстрого выполнения домашних заданий и подготовки к экзаменам. Все вопросы и ответы из книги решений по математике, часть II, глава 3 по математике для класса 9, предоставляются здесь для вас бесплатно. Вам также понравится безрекламный опыт решения Mathematics Part II Solutions Solutions от Meritnation. Все решения по математике, часть II Решения для 9 классаМатематика подготовлена ​​экспертами и на 100% точна.

Страница № 27:

Вопрос 1:

На данном рисунке ∠ACD — внешний угол ∆ABC. ∠В = 40 ^°, ∠А = 70^°.

Найдите меру ∠ACD.

Ответ:

в ∆ABC,
ϩCd = секрет + ♂ (свойство наружного угла)
= 70 ^∘ + 40 ^∘
= 110 ^{∘ ∘
= 110 ∘ ∘
= 110240 ∘ ∘
= 110240 ∘ ∘ . 110 ∘ ​.}
 

Страница № 27:

Вопрос 2:

В ∆PQR ∠P = 70 ^° , ∠Q = 65 °, затем найдите ∠R.

Ответ:

в ∆PQR,
секрет + ♂ + ♂ = 180 ^∘ (свойство угловой суммы)
⇒ 70 ^∘ + 65 ^∘ + retrg1240 + 65 ^∘ + 180240 + 65 ^∘ + 180241 + 65 ^{. 135 ∘ + Ϫr = 180 ∘
⇒ тий = 180 ∘ — 135 ∘
= 45 ∘
, aector of at of reck rab reck reck reck reck reck reck reck reck reck reck reck r.}
 

Page No 27:

Question 3:

The measures of angles of a triangle are x ^° , ( x -20) ^° , ( x- 40) ° . Найдите величину каждого угла.

Answer:

Let us suppose the angles ∠P, ∠Q, ∠Rof a ∆PQR be  x ^° , ( x  — 20) ^° , ( x  — 40) ° соответственно.
∠P + ∠Q + ∠R = 180 ^∘    (свойство суммы углов)
⇒ x ^∘ + ( x -20) ^° + ( x -40) ^° = 180 ^°