Умножение интегралов: Что такое интеграл — это умножение

Что такое интеграл — это умножение

Интегралы чаще всего описываются как “площадь под кривой”. Это описание сбивает с толку. Точно также, как если сказать, что умножение — это “нахождение площади прямоугольника”. Нахождение площади — это одно из полезных применений умножения, но не его суть. Интегралы помогают нам комбинировать числа тогда, когда умножение бессильно.

Так я размышлял про себя на парах математики в ВУЗе:

“Интегралы позволяют нам ‘умножать’ изменяющиеся числа. Мы привыкли к “3 × 4 = 12”, но что если одно из чисел изменяется? Мы не можем умножать меняющиеся числа, поэтому используем интегралы вместо умножения.

Вы услышите много разговоров насчет площади — но это всего лишь один из способов визуализировать умножение. Ключом является не площадь, а идея объединения множеств воедино. Конечно, мы можем интегрировать (“умножать”) длину и ширину, чтобы получить площадь на плоскости. Но мы также можем интегрировать скорость и время, чтобы получить расстояние, или длину, ширину и высоту для получения объема.

Когда мы хотим использовать обычное умножение, но не можем, мы достаем свое оружие и начинаем интегрировать. Площадь — это всего лишь прием визуализации, не зацикливайтесь на нем слишком сильно. А теперь давайте учить математику!”

И вот он, мой момент истины: интегрирование — это улучшенная версия умножения, которая работает с изменяющимися величинами. Давайте изучать интегралы в таком свете.

Понятие умножения

Вот как во все времена и эпохи понимали умножение:

• Если речь идет о натуральных числах (3 × 4), умножение — это повторяющееся сложение.
• С вещественными числами (3.12 × √2 ), умножение — это масштабирование.
• В случае с отрицательными числами (-2.3 × 4.3), умножение — это поворот и масштабирование.
• С комплексными числами (3 × 3i), умножение выступает вращением и масштабированием.

Мы ходим вокруг да около “применения” одного числа к другому, и действия, которые мы применяем (повторное суммирование, масштабирование, зеркальное отображение или вращение), могут быть разными. Интегрирование — это всего лишь еще один шаг в этом направлении.

Понятие площади

Площадь — очень тонкое понятие. На данный момент, давайте представим площадь как визуальную интерпретацию умножения:

Мы можем “применять” числа на разных осях друг к другу (3 применяется к 4) и получить результат (12 единиц площади). Свойства каждого вводного значения (длина и длина) превратились в результат (единицы площади).

Легко, правда? Не так, как кажется на первый взгляд. Умножение может привести к “отрицательному результату” (3×(-4) = -12), которого не существует.

Мы понимаем график как представление умножения, и используем эту аналогию из-за удобства. Если бы все были слепыми, и в мире не существовало диаграмм, мы бы все равно хорошо справлялись с умножением. Площадь — это всего лишь интерпретация.

Умножение по частям

А теперь давайте умножим 3 × 4.5:

Что происходит? Ну, 4.5 — это не целочисленное число, но мы же можем воспользоваться “частичным” умножением. Если 3×4 = 3 + 3 + 3 + 3, то

3 × 4.5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3×0.5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 1.5 = 13.5

Мы берем 3 (значение) 4.5 раза. Таким образом, мы объединили 3 с 4 полными сегментами (3 × 4 = 12), а также одним частичным сегментом (3 × 0.5 = 1.5).

Мы так привыкли к умножению, что даже забываем, как здорово оно работает. Мы можем разбить число на единицы (целые или частичные), умножать каждый кусочек и складывать результаты. Заметьте, как мы легко расправились с дробной частью? Это и есть начало интегрирования.

Проблема с числами

Числа не всегда ведут себя постоянно для наших расчетов. Сценарии типа “Вы ехали 3 часа со скоростью 30 км/ч” не имеют ничего общего с реальностью. Так условия описываются просто для удобства.

Формулы по типу “расстояние = скорость × время” только маскируют проблему; нам все еще нужно брать постоянные числа и умножать. А как узнать пройденное расстояние, если наша скорость постоянно изменялась во времени?

Описываем изменение

Первым испытанием для нас будет описание изменяющегося числа. Мы можем просто сказать: “Моя скорость менялась с 0 до 30 км/ч”. Это не совсем точно: как быстро она изменялась? Были ли изменения плавными?

Давайте будем точны: моя скорость в каждый момент времени равнялась удвоенному количеству секунд. В 1 секунду я двигался со скоростью 2 км/ч. Во 2 секунду скорость уже была 4 км/ч, в 3 секунду — уже 6 км/ч, и так далее:

Вот теперь у нас есть хорошее описание, достаточно подробное, чтобы знать свою скорость в каждый момент времени. Формальное описание звучит как “скорость — это функция времени”, и оно означает, что мы можем взять любой момент времени (t) и узнать нашу скорость в тот момент (“2t” км/ч).

(Это, конечно, не дает ответа на вопрос, почему скорость и время связаны. Я могу ускоряться за счет гравитации, или ослик может толкать меня сзади. Мы всего лишь установили, что с изменением времени изменяется и скорость).

Наше произведение “расстояние = скорость × время”, возможно, лучше написать так:

расстояние = скорость(t) × t

где скорость (t) — это скорость в любой момент времени. В нашем случае скорость (t) = 2t, так что мы пишем:

расстояние = 2t × t

Но это уравнение выглядит странно! “t” по-прежнему выглядит как единичный момент, который нужно выбирать (например, t=3 секунды), а значит и скорость (t) примет единичное значение (6 км/ч). А это нехорошо.

При обычном умножении, мы можем взять одну скорость и предположить, что она одинаковая во всем прямоугольнике. Но изменяющаяся скорость требует совмещения скорости и времени по частям (секунда за секундой). В каждый момент ситуация может быть разной.

Вот как это выглядит в большой перспективе:

• Обычное умножение (прямоугольник): берем расстояние, на которое мы продвинулись за секунду, предполагая, что эта величина была постоянной во все последующие секунды движения, и “масштабируем ее”.
• Интегрирование (по частям): рассматриваем время как ряд мгновений, в каждое из которых скорость разная. Суммируем расстояния, пройденные посекундно.

Мы видим, что обычное умножение — это частный случай интегрирования, когда количество пройденных метров не изменяется.

Насколько большая эта “часть”?

Насколько велика “часть”, при прохождении дистанции по частям? Секунда? Миллисекунда? Наносекунда?

Ответ навскидку: достаточно мала, чтобы значение было постоянным все время. Нам не нужна идеальная точность.

Более длинный ответ: такие понятия, как пределы, были придуманы, чтобы помочь в покусочном умножении. Принося пользу, они просто решают проблему и отвлекают от сути “объединения величин”. Мне очень не нравится, что пределы проходят в самом начале матанализа, еще перед тем, как студенты вникнут в проблему, которую они решают.

А что по поводу начала и конца?

Скажем, мы исследуем интервал от 3 до 4 секунд.

Скорость вначале (3×2 = 6 км/ч) отличается от скорости в конце (4×2 = 8 км/ч). Так какое же значение мне брать при вычислении “скорости × время”?

Решением будет разбить наши кусочки времени на достаточно мелкие отрезки (от 3.00000 до 3.00001 секунд), пока разность скоростей от начала до конца интервала будет для нас незначительной. Опять же, это более длинный разговор, но “поверьте мне”, что это временной отрезок, который делает разницу незначительной.

На графике представьте, что каждый интервал — это одна точка на прямой. Вы можете нарисовать ровную линию к каждой скорости, и ваша “площадь” будет представлять собой множество отрезков, которое и будет измерять умножение.

Где же “часть”, и каково ее значение?

Разделение части и ее значения далось мне нелегко.

“Часть” — это интервал, который мы рассматриваем (1 секунда, 1 миллисекунда, 1 наносекунда). “Позиция” — это то, где начинается секундный, миллисекундный или наносекундный интервал. Значение — это наша скорость в той позиции.

Например, рассмотрим интервал от 3.0 до 4.0 секунд:

• “Ширина” отрезка времени составляет 1.0 секунду
• Позиция (начальное время) равно 3.0
• Значение (скорость(t)) — это скорость(3.0) = 6.0 км/ч

Опять же, матанализ учит нас сокращать интервал до тех пор, пока разница между значениями в начале и конце интервала будет на столько мала, что ею можно пренебречь, считая этот интервал «точкой». Не выпускайте из вида большую картинку: мы умножаем набор частей.

Понимание записи интеграла

У нас есть здравая идея “покусочного умножения”, но мы никак не можем ее выразить. “Расстояние = скорость(t) × t” все еще выглядит, как обычное уравнение, где t и скорость(t) принимают одно единственное значение.

В матанализе мы пишем это соотношение как

расстояние = ∫скорость(t)dt

• знак интеграла (s-образная кривая) означает, что мы умножаем покусочно и суммируем значения в одно.
• dt представляет временной “интервал”, который мы рассматриваем. Его называют “дельта t” а не “d раз по t”.
• t представляет положение dt (если dt — это промежуток от 3.0 до 4.0, то t равно 3.0)
• скорость(t) — это значение, на которое мы умножаем (скорость(3.0) = 6.0))

У меня есть парочка претензий к этой записи:

• То, как здесь используются буквы, немного смущает. “dt” выглядит как “d раз по t” в отличие от любого уравнения, которое вы ранее видели.
• Мы пишем скорость(t) × dt, вместо скорость(t_dt) × dt. Последний вариант четко указывает, что мы исследуем “t” на конкретном участке “dt”, а не какое-то глобальное “t”
• Вы часто встретите ∫скорость(t), без dt. Это вообще помогает легко забыть, что мы выполняем покусочное умножение двух элементов.

Похоже, уже поздно менять форму записи интегралов. Просто запомните эту идею насчет “умножения” чего-то, что изменяется.

Как это понимать

Когда я вижу вот это:

расстояние = ∫скорость(t)dt

Я думаю “Расстояние равно скорости t раз (читая левую часть первой) или “совместите скорость и время, чтобы получить расстояние” (читая правую часть первой).

В уме я перевожу “скорость(t)” как скорость и “dt”, и это превращается в умножение, при условии, что скорости позволено изменяться. Представление интегрирования подобным образом помогает мне сконцентрироваться на том, что на самом деле происходит (“Мы совмещаем скорость и время, чтобы получить расстояние!”) вместо зацикливания на деталях действия.

Бесплатный сюрприз: новые идеи

Интегралы — это очень глубокая идея, также, как и умножение. У вас могло появиться много вопросов, основанных на этой аналогии:

• Если интегралы умножают изменяющиеся величины, есть ли что-то, что делит их? (ДА — производные).
• Являются ли интегралы (умножение) и производные (деление) взаимообратными? (Да, с некоторыми тонкостями).
• Можем ли мы преобразовать уравнение “расстояние = скорость × время” в “скорость = расстояние / время”? (Да).
• Можем ли мы совмещать несколько величин одновременно? (Да — это называется многократное интегрирование).
• Влияет ли как-то порядок совмещения на результат? (Обычно нет).

Как только вы начнёте воспринимать интегралы как “улучшенное умножение”, вы сразу начнете задумываться о таких вещах, как “улучшенное деление”, “повторное интегрирование” и так далее. Застряв на “площади под кривой”, вы не уловите связи между этими темами. (Математических заучек видение “площади под кривой” и “угла наклона кривой” обратными понятиями ставит в тупик).

Как читать интегралы

У интегралов масса применений. Одним из них является объяснение того, что две величины были “умножены” для получения результата.

Вот как мы представляем площадь круга с помощью интегралов:

Площадь = ∫Длина окружности (r) · dr = ∫2πr · dr = π · r²

Нам бы очень хотелось взять площадь кривой умножением. Но мы не можем — высота изменяется в каждой ее точке. Если мы “развернем” круг, мы увидим, что частичка площади под каждой порцией радиуса будет равна “радиус × отрезок окружности”. Мы можем описать эту связь с помощью интеграла (как описано выше).

А вот как интеграл описывает идею, что “масса = плотность × объем”:

масса = ∫_V  ρ(r) ∙ dv

Что здесь сказано? Греческая буква «ро» («ρ») — это функция плотности, которая говорит нам, насколько плотен материал в определенном положении. Так, r∙dv — это частичка объема, который мы рассматриваем. Так что мы умножаем маленький кусочек объема (dv) на плотность в том интервале ρ(r), и потом складываем все эти части, чтобы получить массу.

Мы привыкли просто умножать плотность на объем, но если плотность изменяется, то нужно интегрировать. Индекс V просто означает “интеграл объема”, что по сути является тройным интегралом длины, ширины и высоты! Интеграл предполагает четыре “умножения”: 3 для поиска объема, и еще одно для умножения на плотность.

Что это нам дало?

Сегодняшней целью было не научное понимание интегральных исчислений. Наша цель — расширить модель мышления, и получить представление об интеграле как о надстройке над такими низкоуровневыми операциями как сложение, вычитание, умножение и деление.

Рассматривайте интегралы как улучшенный способ умножения: вычисления станут проще, и вам под силу станут понятия типа кратного интеграла и производной. Приятных вычислений!

Перевод статьи «A Calculus Analogy: Integrals as Multiplication».

«Где в практической жизни используется интеграл?» — Яндекс Кью

Математика и математики

Популярное

Сообщества

Не, скрою, слово интеграл запомнилось не только из уроков математики, но и любимому фильму «Электроник». Поэтому этот интеграл-интригал вспоминается иногда.

Вопрос — где он используется в повседневной жизни, какое практическое применение, кроме вычислений, у него есть. Как говорится, где увидеть, как пощупать?)

Спасибо!

МатематикаИнтегралы

Плотонова Ольга

Математика и математики

16 сентября 2021  ·

27,1 K

ОтветитьУточнить

Andrei Novikov

Математика

2,3 K

кандидат физико-математических наук, математик, исследователь, data scientist, предпринима…  · 16 сент 2021

На интегралах по вероятности держится половина статистического вывода. Отказываетесь от интегралов — отказываетесь от умений в области анализа данных.

1 эксперт согласен

Комментарий был удалён за нарушение правил

Комментировать ответ…Комментировать…

Владимир Горбацевич

Математика

1,7 K

математика нестандартный психоанализ  · 27 сент 2021

В практической (обыденной) жизни используются не сами интегралы, а результаты их применения. Любой сложный прибор (от микросхемы до самолета и ракеты) разрабатывается с использованием интегралов. А вот объем реального физического тела интегралом вовсе не вычисляется — для этого нужно этот предмет задать уравнениями, а это очень сложно. Но можно этот объем вычислить… Читать далее

1 эксперт согласен

Комментировать ответ…Комментировать…

Maxim Vyalkov

Математика

1,3 K

Интересующие темы: история математики, история христианства, библеистика.   · 28 сент 2021

1. При вычислении площадей и объёмов вообще. 2. Везде, где в принципе нужно посчитать площадь криволинейной трапеции на графике (интеграл Римана) 3. Везде, где в принципе нужно определить «меру» чего-либо (интеграл Лебега). Пункты 2-3 имеют самое широкое применение от агропорма до финансовой аналитики. 4. Оценка рыночного равновесия и исследование функций спроса и… Читать далее

1 эксперт согласен

Георгий Степико

4 октября 2021

А в повседневной то жизни где?

Комментировать ответ…Комментировать…

Владимир Горбацевич

Математика

1,7 K

математика нестандартный психоанализ  · 10 июн

Ответ зависит от того, что понимать под «повседневной жизнью». Если понимать это как  жизнь ученого или инженера, то интеграл там нужен  очень часто (даже иногда повседневно!) при проведении множества теоретических расчетов, которые затем могут быть использованы на практике. Но для некоторых людей (например, для меня) интеграл используется просто как средство для… Читать далее

Комментировать ответ…Комментировать…

Архип

Математика

23

студент Физфака МГУ, интересуюсь (на уровне научпоп статей) биологией, химией…  · 30 сент 2021

Зависит от того, что вы называете «повседневной жизнью». У кого-то, кто работает инженером, статистическим аналитиком, физиком, интегралы встречаются чаще, чем математики на мехмате. Если же человек работает грузчиком — интеграл ему вряд ли нужен, даже если он знает, что это такое и с чем его едят. Вывод: интеграл используется везде, где есть слово «образование», кроме… Читать далее

Если есть какие-либо вопросы/замечания, пишите

Перейти на vk. com/bpem9l_0t4ucjlehu9l

Комментировать ответ…Комментировать…

Достоверно

Ильяс Вербинский

19

Студент университета, участник различных интеллектуальных, творческих конкурсов, межрегио…  · 6 июн

1) При расчетах площади, объема фигур, ограниченных одной или несколькими кривыми. 2) При решении различных физических задач, где применяется интегральная сумма для нахождения величин, состоящей из множества маленьких величин. 3) При проверки правильности нахождения производных тех или иных функций. Читать далее

2 эксперта согласны

Леонид Коганов

10 июня

«При проверкЕ…». Предложный падеж русского языка, госп. Вербинский. При ком, при чём. На ус намотать и по… Читать дальше

Комментировать ответ…Комментировать…

Дмитрий Заварзин

5

Структурирую хаос  · 19 мая

У всех жизнь разная. Я в своей повседневной жизни не использую сварочные аппараты, а вот сварщик — каждый рабочий день. Так и тут. Можно, конечно, ту же сумму дать как интеграл по соответствующему пространству — тогда вот — при суммировании. А если вы инженер, ученый (физик, экономист…) и далее — то это ваш рабочий инструмент, как сварочный аппарат для сварщика. Вот там… Читать далее

1 эксперт согласен

Леонид Коганов

20 мая

Простите, уважаемый Коллега, вопрос в строну: просто мне (по близорукости? не могу знать! — Л.К.) показалось,что… Читать дальше

Комментировать ответ…Комментировать…

Dmitry Maslov

4,8 K

Инженер путей сообщения – строитель  · 16 сент 2021

Если хочется именно пощупать, возьмите в руки абсолютно любой предмет. Его объём можно вычислить через интеграл ∫∫∫dxdydz. Если мы сможем этот предмет разрезать, то его площадь сечения опять будет интегралом ∫∫dydz.

А если не щупать, то в инженерно-технических расчётах без интеграла вообще никак, он практически везде.

1 эксперт согласен

Михаил Мулюков

подтверждает

17 сентября 2021

Остроумный и достойный ответ, вызывающий массу аналогий: вес предметов, длина пути, электрический заряд — всё это… Читать дальше

Комментировать ответ…Комментировать…

Константин Астахов

17

Инженер (тот самый, с лысой головой на бубликовом спейсшаттле в «Прометее» 🙂  · 14 июн

Типичный случай повседневного неосознанного использования операции интегрирования — усреднение, т.е. получение среднего значения: 1. Среднеквадратичное значение напряжения в домашней сети 230 В (где-то еще бывает 220, но это не катастрофа, техника держит). Это значит, что если проинтегрировать по времени квадрат мгновенного значения напряжения между фазой и нулем за.

.. Читать далее

Комментировать ответ…Комментировать…

Леонид Коганов

182

Член ММО — Московского математического Общества. Кстати, старейшего в мире. Л.М. Коганов.  · 20 мая

Везде, где используются понятия величины и меры, где мы вынуждены суммировать плотность / удельную меру вдоль чего-то, будь то отрезок / кусок линии, площадка или ограниченный как правило замкнутой поверхностью об’ём, мы обязаны представить указанную «результирующую» величину в виде интеграла. Того или иного вида. Взятие интеграла есть некоторое отдельное «искусство»… Читать далее

Alexey Buldakov

24 мая

Интегралы используются в различных расчëтах. Часто применяю интегралы Фурье. Один раз при расчёта помех от блока… Читать дальше

Комментировать ответ…Комментировать…

О сообществе

Математика и математики

Сообщество практикующих математиков разного уровня. Оригинальные решения, нетворкинг и общение. Не отвечаем на школьные задачки!

Неопределенные интегралы — Задача 3

Одним из полезных свойств неопределенных интегралов является правило постоянного кратного числа. Это правило означает, что вы можете вытащить константы из интеграла, что может упростить задачу. Например, интеграл от 2x + 4 равен 2, умноженному на интеграл от x + 2. Однако важно, чтобы из интеграла извлекались только константы, а не переменные.

Другим свойством является степенное правило первообразных (помните, что взятие интеграла от чего-либо равнозначно антидифференцированию). Правило мощности утверждает, что первообразная a x ⁿ равно x ⁿ⁺¹ /n + c, где c — некоторая константа.

Для первообразных не существует правила произведения или частного, поэтому для решения интеграла от произведения необходимо умножить или разделить две функции.

неопределенный интеграл первообразная антидифференциация дифференцирование

Давайте рассмотрим более сложные примеры. Я хочу найти некоторые первообразные. В этом примере я не собираюсь проверять свою антидифференцировку дифференцированием. Помните, что вы всегда можете это сделать, если не уверены в своем ответе. Это хорошая привычка. Позвольте мне вернуться к этому позже, когда я почувствую, что наша работа немного более подвержена ошибкам. На этот раз пропустим.

Итак, здесь я хочу антидифференцировать x³ раз (2x² минус 3). Теперь помните, что для антидифференциации нет правила произведения. Вы не можете просто антидифференцировать каждого из этих парней и умножать их продукты. Вы должны умножить через.

Так давайте. Если я умножу это, я получу x³, умноженное на 2x², то есть 2x в 5-м. Помните, что вы добавляете показатели степени. Итак, 2x в 5-м минус 3x³. Намного лучше. Теперь я могу антидифференцировать это, просто отделив его и получив константы.

Итак, сначала давайте разделим его на сумму. У меня 2x к 5-му dx плюс интеграл от -3x³ dx. Итак, что я только что сделал, так это воспользовался правилом сумм. У вас есть интеграл от суммы, он равен сумме интегралов. Теперь я воспользуюсь правилом постоянного умножения, чтобы извлечь 2 и -3 из каждого из этих интегралов соответственно. 2-кратный интеграл от x до 5-го dx минус 3-кратный интеграл от x³.

Теперь у меня есть каждый из этих интегралов в форме, в которой я могу применить это свойство; х к н. Интеграл равен 1 на n плюс 1, x на n плюс 1. Итак, здесь, где мое n равно 5, n плюс 1 будет 6. Таким образом, это будет 2 раза 1/6 x до 6-го минус 3 раза 1/4x до 4-го. Здесь n равно 3, поэтому n плюс 1 будет 4. Затем я добавляю свой плюс c в конце.

Осталось только упростить дроби. 2 на 6 равно 1/3, 3/4 x до четвертой плюс c. На этот раз мы не проверяем. Так что, надеюсь, это правильный ответ. 1/3x до шестой минус 3/4x до четвертой плюс c. Это первообразные этой функции.

Давайте сделаем еще один. Теперь у нас есть частное двух функций. Точно так же, как нет правила произведения для антидифференциации, нет и правила частного. Так что вам действительно нужно объединить их, чтобы получить сумму или разность степеней x.

Это первое, что я собираюсь сделать. Я собираюсь записать каждое из них как просто степени x. У меня 22x³ минус 4 на кубический корень из x такой же, как x в 1/3dx. Итак, это равно; теперь, что я могу сделать, я могу по существу распределить этот x на 1/3 по каждому из этих терминов. Подумайте об этом так. Думайте об этом как 22x³ на x в 1/3 минус 4 на x в 1/3.

Итак, позвольте мне упростить каждое из них, чтобы у меня была одна степень х. У меня 22x³ больше x на 1/3 равно x на 3 минус 1/3. 3 равно 9/3. 9/3 минус 1/3 равно 8/3 минус 4. Тогда 4 на x до 1/3 равно x до -1/3. Так что это гораздо более удобная форма для целей интеграции. У меня каждое из них записано как степень х. Теперь я могу отделить сумму.

Итак, это один термин. Другой — уведомление, я сказал «сумма», хотя здесь стоит знак «минус». Я могу втянуть этот негатив внутрь. Это то же самое, что добавить -4x к -1/3. Итак, от -4x до -1/3. Затем я могу вытащить константы наружу.

Очень скоро я буду делать эти два шага за один шаг. Когда-то вы привыкнете ко всем свойствам, а пока я их разделяю. Так что я хочу вытащить это -4. Интеграл от -1/3 до х.

Теперь у меня есть каждый интеграл как интеграл от некоторой степени x. Так что помните, х к 8/3, я должен добавить 1 к показателю степени, что становится 11 на 3. Итак, х на 11 на 3. Я должен разделить на 11 на 3, что то же самое, что умножить на обратное ; 3/11, минус 4. Я должен сделать то же самое с x до -1/3. Я добавляю 1. -1/3 плюс 1 равно 2/3. Так что я получаю х к 2/3. Мне нужно разделить на 2/3, что то же самое, что умножить на 3/2, а затем я добавлю букву «с» в конце.

Произошли некоторые отмены. 22 и 11 отменяются, остается 2. 2 умножить на 3, это 6, 6x до 11/3, минус, здесь у меня есть отмена. 4 и 2 сокращаются, оставляя 2. 2 умножить на 3 снова — это 6 x до 2/3, а затем плюс c. Это мои первообразные; 6x до 11/3 минус 6x до 2/3 плюс c.

Расчет 2 Справка

Студенты, нуждающиеся в помощи по исчислению 2, получат большую пользу от нашей интерактивной программы. Мы разбираем все ключевые элементы, чтобы вы могли получить адекватную помощь по исчислению 2. Имея под рукой обязательные концепции обучения и актуальные практические вопросы, вы быстро получите много помощи по Calculus 2. Получите помощь сегодня с нашей обширной коллекцией необходимой информации по исчислению 2.

Исчисление 2 продолжается математическим исследованием изменений, впервые представленным студентам во время Исчисления 1. Курс охватывает интеграцию, применение интегрирования и ряды, а также рассматривает и расширяет понятия, введенные в Исчислении 1, такие как пределы и производные. Это преимущественно курс математики на уровне колледжа, и большинство студентов, которые проходят этот курс, делают это либо на первом, либо на втором курсе. Поскольку «Исчисление 2» является продолжением «Исчисления 1», рекомендуется, чтобы учащиеся проходили два курса последовательно. Хотя Calculus 2 обычно не является обязательным курсом в колледже, он настоятельно рекомендуется студентам, изучающим математику или любую другую область, требующую продвинутых математических понятий, таких как инженерное дело, физика или экономика. Нужен ли вам репетитор по математическому анализу в Атланте, репетитор по математическому анализу в Хьюстоне или в Сан-Франциско, работа один на один с экспертом может быть именно тем, что вам нужно для учебы.

Бесплатный инструмент обучения Learn by Concept от The Varsity Tutors предлагает учебные материалы для студентов, которым нужна помощь в изучении Calculus 2 или которые просто хотят повторить предмет. Инструмент обучения построен как интерактивная учебная программа с рядом разделов и тем, подробно описывающих исчисление 2. Нажав на любую тему, вы перейдете к серии примеров вопросов с несколькими вариантами ответов. Затем вы можете просмотреть образец вопроса и возможные ответы, решить проблему и выбрать ответ, который вы считаете правильным. Правильный ответ указан под вариантами ответов, что позволяет вам проверить правильность своего ответа. Varsity Tutors предлагает ресурсы, такие как бесплатные практические тесты по исчислению II, которые помогут вам в самостоятельном обучении, или вы можете подумать о репетиторах по исчислению II.

Было бы полезно просто задавать вопросы и ответы, но инструмент «Узнай по концепции» делает больше. Подробное пошаговое описание того, как прийти к правильному ответу, прилагается к каждому примерному вопросу, что помогает упростить задачу. Эти описания показывают каждое уравнение, концепцию и теорию, которые применимы к проблеме, будь то получение производной функции или просто переписывание уравнения. Если вы дали неправильный ответ, вы можете выяснить, где вы ошиблись, и что вам нужно сделать, чтобы в будущем задать правильный вопрос. Если вы дали правильный ответ с первой попытки, вы можете проверить свою работу, чтобы убедиться, что понимаете, почему ваш ответ был правильным.

Если вы только начали изучать Calculus 2 или готовитесь к выпускному экзамену, вы можете использовать инструмент «Учиться по концепции» в качестве учебного пособия. Инструмент охватывает широкие единицы деривативов; интегралы; лимиты; параметрический, полярный и векторный; и серии в исчислении. Это также входит в особенности в каждой категории. Вы можете пройти весь блок сразу или сосредоточиться на одной теме или подтеме. Благодаря тысячам примеров вопросов по Calculus 2 в базе данных средств обучения охвачены все возможные темы. В дополнение к справочному разделу по исчислению II и репетиторству по исчислению II вы также можете рассмотреть некоторые из наших карточек с исчислением II.

Инструмент «Обучение по концепции» лучше всего использовать вместе с другими инструментами обучения. Прохождение бесплатного полного практического теста поможет вам определить, какие темы Calculus 2 вы уже знаете и на чем следует сосредоточить свое внимание. Пройдя один из сотен бесплатных тематических практических тестов по исчислению 2, вы также можете использовать карточки по тем же темам. Практические тесты и карточки можно сортировать по категориям или настраивать в соответствии с вашими потребностями.