Степень и ее свойства 7 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей
Степень и ее свойства
Степенью числа а QEс натуральным показателем n, большим 1, называется выражение an, равное произведению n множителей, каждый из которых равен a.
Степенью числа а с показателем 1 является само число а.
Запись an можно прочитать как «а в степени n», «n-я степень числа а». Если надо найти значение числа в какой-либо степени, то говорим, что надо возвести это число в степень.
При возведении положительного числа в любую степень получается положительное число. Сколько бы раз мы не умножили положительное число само на себя, получим положительное число.
Если возвести число ноль в степень с натуральным показателем, то получим ноль. Действительно, сколько бы раз мы не умножили ноль сам на себя, получится ноль.
А вот при возведении отрицательного числа в степень может получиться как положительное, так и отрицательное число.
Возьмем число -3.
(-4)2 = (-4) · (-4) = 16
(-4)3 = (-4) · (-4) · (-4) = 16 · (-4) = -64
(-4)4 = (-4) · (-4) · (-4) · (-4) = 16 · (-4) · (-4) = (-64) · (-4) = 256
Обратим внимание на то, что если отрицательное число мы возводим в четную степень (2,4 и т.д.), то получаем положительное число, а если в нечетную степень (3,5 и т.д.), то отрицательное число.
Какое же место занимает арифметическое действие возведения в степень, с которым мы только что познакомились в иерархии всех арифметических действий? Если выражение не содержит скобок, то возведение в степень выполняется в первую очередь, потом — умножение или деление, а потом – сложение или вычитание.
Рассмотрим пример: а2 · а4 = (а · а) · (а · а · а · а) = а · а · а · а · а · а = а6 = а2+4.
Для любого числа а и произвольных натуральных чисел m и n верно равенство
а m · an = am+n
При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели степеней складывают.
а m · an · а k = am+n+k
Посмотрим, что получается при делении степеней.
Например, а7:а5 = а · а · а · а · а · а · аа · а · а · а · а · а = а2 = а7-5
аm:аn = аm-n
При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
Рассмотрим такой случай: an: an = an-n = a0.
Но мы знаем, что если число разделить само на себя, то получится единица. То есть а0 = 1.
Любое а≠0 в нулевой степени равно 1.
Посмотрим, что будет, если возвести в степень произведение. Например:
(аb)3 = ab · ab · ab = a · b · a · b · a · b. Используем переместительное свойство умножения и запишем так: a · a · a · b · b · b = a 3 · b3.
Для любых а и b и произвольного натурального числа n верно равенство
(ab)n = anbn
Чтобы возвести в степень произведение, надо возвести в степень каждый множитель, а результаты перемножить.
Аналогично для частного:
abn=anbn
Рассмотрим еще один пример: (х5)2 = (х5) · (x5) = х5+5 = х10.
) — это оператор возведения числа в степень, ведь именно он обозначает эту операцию в математике. Однако в большинстве языков программирования этот знак выступает в качестве побитового xor.
В Python оператор возведения в степень обозначается двумя символами звездочки
Функциональность этого оператора дополняет возможности оператора умножения *: разница лишь в том, что второй оператор указывает на то, сколько раз первые операнд будет умножен сам на себя.
print(5**6)
Чтобы умножить число 5 само на себя 6 раз, используется ** между основанием 5 и операндом степени 6. Вывод:
15625
Проверим оператор с другими значениями.
Инициализируем целое число, отрицательное целое, ноль, два числа с плавающей точкой float, одно больше нуля, а второе — меньше. Степеням же присвоим случайные значения.
Копировать Скопировано Use a different Browser
num1 = 2 num2 = -5 num3 = 0 num4 = 1.8 = 0.00390625
pow() или math.power() для возведения в степень
Также возводить в степень в Python можно с помощью функции
pow()или модуля math, в котором есть своя реализация этого же модуля.В обе функции нужно передать два аргумента: основание и саму степень. Попробуем вызвать обе функции и посмотрим на результат.
Копировать Скопировано Use a different Browser
import math print(pow(-8, 7)) print(math.pow(-8, 7)) print(pow(2, 1.5)) print(math.pow(2, 1.5)) print(pow(4, 3)) print(math.pow(4,3)) print(pow(2.0, 5)) print(math.pow(2.0, 5))Вывод:
-2097152 -2097152.0 2.8284271247461903 2.8284271247461903 64 64.0 32.0 32.0Отличие лишь в том, что
math.pow()всегда возвращает значение числа с плавающей точкой, даже если передать целые числа. А вотpow()вернет число с плавающей точкой, если таким же был хотя бы один из аргументов.numpy.np() для возведения в степень
В модуле numpy есть своя функция
power()для возведения в степень.Она принимает те же аргументы, что иpow(), где первый — это основание, а второй — значение степени.Выведем те же результаты.
Копировать Скопировано Use a different Browser
print(np.power(-8, 7)) print(np.power(2, 1.5)) print(np.power(4, 3)) print(np.power(2.0, 5))-2097152 2.8284271247461903 64 32.0Как получить квадрат числа в Python?
Для возведения числа в квадрат, нужно указать2в качестве степени. Встроенной функции для получения квадрата в Python нет.
Например, квадрат числа 6 —6**2—> 36.Сравнение времени работы разных решений
Теперь сравним, сколько занимает выполнение каждой из трех функций и оператора
**. Для этого используем модульtimeit.Основанием будет 2, а значением степени — 9999999.
Копировать Скопировано Use a different Browser
import numpy as np import math import time start = time.** за 0.078125 ms pow() за 0.0625 ms np.power() за 0.0 ms Traceback (most recent call last): File "C:\Programs\Python\Python38\test.py", line 18, in val = math.pow(2, 9999999) OverflowError: math range errorВ первую очередь можно обратить внимание на то, что
math.pow()вернула ошибкуOverflowError. Это значит, что функция не поддерживает крупные значения степени.Различия между остальными достаточно простые, но можно увидеть, что
b$$, где a — целое число, такое что $$1≤ |a| <10$$ и b тоже целое число.np.power()— самая быстрая.Умножение: Чтобы умножить числа в экспоненциальном представлении, умножьте десятичные числа. Затем добавьте показатели степени числа 10. Поместите новую степень числа 10 с десятичной дробью в экспоненциальной форме. Если ваше десятичное число больше 10, подсчитайте, сколько раз десятичная дробь перемещается влево, и добавьте это число к показателю степени.
Раздел: Чтобы разделить числа в экспоненциальном представлении, сначала разделите десятичные числа. Затем вычтите показатели вашей степени 10. Поместите новую степень 10 с десятичной дробью в научной форме записи. Если полученное десятичное число меньше 1, переместите десятичную точку вправо и уменьшите показатель степени на количество знаков, на которые переместилась десятичная точка. 97$$
Тебе пригодится...
Он используется во многих местах, где необходимо измерить очень большие или очень маленькие величины.
Например:
Количество атомов в моле (химия).
Расстояния между планетами или звездами во Вселенной, измеряемые в милях.
И в другой крайности, для очень крошечных чисел, таких как размер или вес атома или молекулы.
Видео
Примеры научной записи
Смотреть видео Академии Хана »
Продолжительность: 12:49 Открывается в окне проигрывателяУмножение в научной записи окно
Практические задачи
Экспоненциальная запись »
Умножение и деление экспоненциальной записи »
Степени десяти | МС ГАРЦИЯ МАТЕМАТИКА
Powers 10Powers 10 могут быть записаны двумя способами:
• С показателем: 10³
• В расширенной форме: 1000 (1000 = 10³ ote, что Количество нулей эквивалентно показанию)
Умножение на положительную силу 10000910 делает число меньше.
5 x 10¹ = 5 x 10 = 50
5 x 10² = 5 x 100 = 500
5 x 10³ = 5 x 1000 = 5000
5 x 10⁴ = 5 x 10 000 = 50 000
целое число в степени десять, просто посчитайте, сколько нулей у вас есть, и присоедините это к целому числу.
Умножение на полномочия десяти PT06 Multiply_BY_10_100_1000 PT07 Умножение на 0,1, 0,01 и 0,001.0130 PT27 Multiply One-Digit × Multiples of Positive Powers of Ten PT05 Multiply a decimal by a power of ten PT08 Multiply a decimal number by a power of Ten 1 PT09 Multiply a decimal число в степени десятка 2 PT10 Умножить десятичную дробь на степень десятка 3 PT11 Умножить десятичную дробь на степень десятка 4 PT19 0131 Умножьте десятичный десятичный Степени десяти PT28 Умножение однозначных чисел на число, кратное отрицательным степеням десяти PT23 Умножение двузначных чисел на положительные степени числа Десять0131 Умножение двузначных чисел на отрицательные степени числа Десять
Чтобы разделить на степень 10, просто переместите десятичную точку влево на такое же количество знаков, что и показатель степени или количество нулей.
50/10¹ = 50/10 = 5
500/10² = 500/100 = 5
5000/10³ = 5000/1000 = 5
ПРИМЕЧАНИЕ: ПРИМАЛЬНА целого числа всегда справа от своего места.
Разделение на полномочия десяти PT14 Divide_by_powers из десяти 1 PT15 Divide_a ARIMAL на 10_100_1000 PT15 DIVIDE_A ARIMAL 10.100_1000 . PT17 Разделить_десятичное число на степени десяти 4 PT18 Разделить десятичное число на степени десяти 5 PT19 Разделить десятичное число на степени десяти 6 PT20 Divide_ A Decimal с помощью мощности десять 7 PT24 Разделите целое число ÷ мультипликации отрицательных способностей десяти PT26 Разделите INTEGER ÷ Multiples от положительных полномочий DEN019 .
PT02 Умножить и разделить на положительные степени числа Ten 2 PT03 Умножить и разделить на отрицательные степени числа TenПоложительные, отрицательные и нулевые экспоненты с базой из десяти
10000 = 1 x 10⁴
1000 = 1 x 10=
100 = 1 x 10000100009 100 = 1 x 1000099999
1/1000 = 0,01 = 1 x 10 *0008 1/100 = 0,01 = 1 x 10 *0008100009 . x 10ᴵ
1 = 10⁰
1/10 = 0,1 = 1 x 10⁻ᴵ
1/100 = 0,01 = 1 x 10⁻²
1/1000 = 0,001 = 1 x 10⁻2
1/1000 = 0,001 = 1 x 10 *0008
1/1000 = 0,01 = 1 x 10 *0008x 10⁻³
1/10000 = 0,0001 = 1 x 10⁻⁴
Когда мы умножаем число на положительную степень 10, мы сдвигаем десятичную точку числа вправо.
8 = 0.00390625
process_time()
val = 2**9999999
print('** за', time.process_time() - start, 'ms')
start = time.process_time()
val = pow(2, 9999999)
print('pow() за', time.process_time() - start, 'ms')
start = time.process_time()
val = np.power(2, 9999999)
print('np.power() за', time.process_time() - start, 'ms')
start = time.process_time()
val = math.pow(2, 9999999)
print('math.pow() за', time.process_time() - start, 'ms')
Пример: 
Умножить и разделить на положительные степени числа_Ten 1