Уравнение прямой привести к каноническому виду: 1.11. Приведение общих уравнений прямой к каноническому виду

5.Б. Приведение общих уравнений прямой к каноническому виду.

Пусть прямая линия задана общими уравнениями:

, (23)

где ,– нормальные векторы заданных плоскостей .

Выберем на прямой определенную точку . Для этого, например, зададим произвольно, а и получим из системы (23).

В качестве направляющего вектора возьмем вектор :

.

Следовательно, каноническое уравнения прямой, соответствующее системе (23), имеет вид:

(24)

6. Угол между двумя прямыми. За угол между двумя прямыми

, ,

принимается угол между их направляющими векторами.

Здесь ,– направляющие вектора данных прямых:

(25)

Условие параллельности двух прямых:

(26)

Условие перпендикулярности двух прямых:

(27)

Пример 4. Составить каноническое уравнение прямой , проходящей через две заданные точки:,.

Согласно формуле (21) запишем:

.

Пример 5. Составить уравнение прямой , проходящей через точкупараллельно прямой:

Решение. На прямой образуем текущий вектор. Из канонического уравнения прямойнаходим направляющий вектор, здесь. Так как, тодля любой точки. Используя теперь условие параллельности, получаем канонические уравнения прямой:

.

Пример 6. Известны уравнения двух прямых:

: , и:

1. Проверить, являются ли ипараллельными.

2. Проверить, являются ли иперпендикулярными.

3. Найти угол между прямымии.

Решение.

а) Из условия параллельности прямых имеем, , если их направляющие вектораипараллельны. Координаты векторалегко получаются из заданных канонических уравнений прямой:. Для прямой, определяемой пересечением плоскостей, направляющий векторнаходится как векторное произведение:=, где,.

Вычисляем,

.

Так как координаты векторов ине пропорциональны, то условие параллельности для векторовине выполняется, а значит,не параллельна.

b) Из условия перпендикулярности прямых, , если. Так как, то условие перпендикулярности векторовине выполняется. Стало быть,не перпендикулярна к.

c) Угол между прямыми найдем по формуле (25):

.

Пример 7. Привести к каноническому виду уравнения прямой:

.

Решение.

Найдем направляющий вектор прямой :

.

За точку , через которую проходит искомая прямая в уравнении (20), можно принять точку пересечения ее с любой из координатных плоскостей, например с плоскостью. Так как при этом, то координатыопределяются из заданного уравнения прямой, если в нем положить:

.

Откуда находим ,и.

Итак, воспользовавшись теперь общей формулой (20), получаем:

.

7.

Прямая и плоскость.

1. Угол между прямой и плоскостью.

Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость (рис. 11).

Пусть даны плоскость:c нормальным вектором и прямаяс направляющим вектором.

Угол между векторами иотличается от угла между прямой и плоскостью на;или

(28)

2) Условие параллельности прямой и плоскости:

(29)

3. Условие перпендикулярности прямой и плоскости:

(30)

Условие того, что прямая лежит в данной плоскости.

Пусть данная плоскость,

— каноническое уравнения прямой, проходящей через точку , параллельно вектору.

Условие принадлежности прямой плоскости имеет вид:

(31)

Если прямая лежит в плоскости, то она этой плоскости параллельна (первое уравнение) и любая точка прямой удовлетворяет уравнению плоскости (второе уравнение).

Привести уравнение прямой к каноническому виду

Общие уравнения прямой

(*)
преобразовать к каноническому виду (1).

Из системы (*) исключим сначала y и выразим z через x, потом исключим x и выразим z уже через y.

1) Для того, чтобы из системы (*) исключить y, умножим второе из уравнений системы (*) на 3 и сложим его почленно с первым. Получим, что 7x — z — 7 = 0, откуда z = 7x — 7,

2) Умножая первое уравнение из (*) на -2 и складывая почленно со вторым, получим, исключая x из системы (*),

Содержание

• Привести уравнение прямой к каноническому виду
• Решение задач
• Популярные репетиторы:
• Каноническое уравнение прямой на плоскости
• Приведение канонического уравнения прямой на плоскости к параметрическому виду
• Приведение канонического уравнения прямой на плоскости к общему виду

Привести уравнение прямой к каноническому виду

Привести уравнение прямой к каноническому виду
Уравнение прямой: 9x^2+4xy+6y^2+2x-4y-4=0; Ребят, никак не могу разобраться в данном вопросе. 2-4x+2y и определить тип поверхности

Решение задач

Привести к каноническому виду общие уравнения прямой l.

Задача представлена репетитором по высшей математике Быстровым Александром Анатольевичем.

Прямая задана общими уравнениями, которые представляют систему двух уравнений

По условию задачи имеем коэффициенты равными

Решение:

По существу данная система уравнений представляет два уравнения для плоскостей Р₁ и Р₂. Данные плоскости имеют соответственные нормальные векторы N₁ и N₂ , то есть перпендикулярные к этим плоскостям. Причем координаты векторов определяются коэффициентами уравнений N ₁ (A1,B1,C1) N ₂ (A2,B2,C2).

Необходимо составить уравнения в каноническом виде

1) Находим координаты точки М( x ₀, y ₀, z ₀), которая лежит на прямой l. Положим z ₀=0 и запишем систему исходных уравнений для прямой l , положив в них z =0:

Решим эту систему уравнений и получим x₀=-1, y₀=1 .

То есть мы нашли координаты точки М ( x ₀ =-1, y ₀ =1, z ₀=0).

2) Нам необходимо определить координаты направляющего вектора N(l,m,n). Тогда уравнение прямой в каноническом виде имеет вид:

3)Составляем направляющий вектор N(l,m,n) . Он находится, как векторное произведение нормальных векторов плоскостей, которые при пересечении образуют линию l, из исходной системы уравнений

Записываем векторное произведение, как определитель по тройке векторов i, j, k:

i	j	k
A1	B1	C1
A2	B2	C2

=li+mj+nk

Подставляем наши значения:

i	j	k
2	0	-3
0	1	5

=(0·5-(-3)·1)i-0·(2·5-0·(-3))j+(-3)·(2·1-0·0)k=3·i+0·j+(-6)·k

То есть нашли вектор N(l=3,m=0,n=-6).

4) Записываем уравнение нашей прямой l в каноническом виде:

.Итак, мы привели к каноническому виду общие уравнения прямой.

Популярные репетиторы:

Когда еще учился в аспирантуре, я мечтал собрать вместе 2 моих основных пристрастий: Математику и Обучение, c самого истока своей карьеры.

Безупречный математик для школьников и студентов, кандидат физмат. наук, докторант, педагогический стаж более 15 лет, самолетом подготовит без посредников учащихся к экзамену в институте по математике в 10 класс с помощью тайных способов по усовершенствованию памяти и мед-допинг мышления.

Впечатляюще поработал по развитию в стартапе по Нейронным сетям и Машинному обучению. Шутя программирует на JavaScript, Perl и Scala. Участвует в ведущих научных симпозиумах ACL, ICCV и WWW . Консультации по математическим программам Microsoft Mathematics, MathLab и Maple .

Занятия ведутся в Москве м. Китай-город и дистанционно по Viber. Опыт учителя по высшей математике для аспирантов более 20 лет. Более 320 учащихся поступили «на бюджет» в ВУЗы Москвы: МГУ, МЭИ, Школа Анализа Данных Яндекса и ВШЭ и многие другие. Er spricht Deutsch.

Каноническое уравнение прямой на плоскости

В данной статье мы рассмотрим каноническое уравнение прямой на плоскости. Определим понятие направляющего вектора прямой. Рассмотрим примеры построения канонического уравнения прямой, если известны две точки этой прямой или если известна одна точка и направляющий вектор этой прямой. Представим метод преобразования уравнения в каноническом виде в параметрический и общий виды.

Определение 1. Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой называется направляющим вектором этой прямой.

На рисунке Рис.1 представлена прямая L и векторы q₁, q₂, q₃, q₄. Из определения следует, что векторы q₁, q₂, q₄ являются направляющими векторами прямой L, а q₃ − нет.

Каноническое уравнение прямой L на плоскости представляется следующей формулой:

где x₁, y₁ координаты некоторой точки M₁ на прямой L. Вектор q=<m, p> является направляющим вектором прямой L.

Надо отметить, что при записи уравнения прямой в каноническом виде, допускается, чтобы один из чисел m и p была равна нулю (одновременно m и p не могут быть равным нулю, т.к. направляющий вектор прямой не должен быть нулевым вектором). Равенство нулю одного из знаменателей означает равенство нулю соответствующего числителя. В этом можно убедится, записав уравнение (1) в следующем виде:

Выше мы отметили, что прямая L проходит через точку M₁(x₁, y₁). В этом можно убедится, подставив x=x₁, y=y₁ в уравнение (1).

Чтобы убедится, что точки M₁(x₁, y₁) и M₂(x₂, y₂) находятся на прямой L, поочередно подставим в уравнение (3) координаты точек M₁ и M₂. Получим тождества, следовательно эти точки принадлежат прямой L.

Сравним уравнения (1) и (3). Тогда можно записать q=<m, p>=<x₂−x₁, y₂−y₁>. На рисунке Рис.2 представлен вектор q, которая является разностью векторов, соответствующих точкам M₂ и M₁. Этот вектор является направляющим вектором прямой L. Следовательно, для определения направляющего вектора прямой, достаточно взять две точки на данной прямой и найти разность между соответсвующими координатами этих точек.

Таким образом, прямая на плоскости определяется точкой и направляющим вектором или двумя точками.

Онлайн калькулятор, для построения прямой через две точки находится тут.

Пример 1. Прямая проходит через точку M=(3,−1) и имеет направляющий вектор q=<−3, 5>. Построить каноническое уравнение прямой.

Решение. Для построения канонического уравнения прямой, подставим координаты точки и направляющего вектора в уравнение (1):

Пример 2. Прямая проходит через точку M=(2, 2) и имеет направляющий вектор q=<0, 3>. Построить каноническое уравнение прямой.

Решение. Для построения канонического уравнения прямой, подставим координаты точки и направляющего вектора в уравнение (1):

На рисунке Рис.3 изображена прямая L, точка M=(2, 2) и направляющий вектор q=<0, 3>. Прямая проходит через точку M и параллельна направляющему вектору q.

Пример 3. Прямая проходит через точки M₁=(−7, 2) и M₂=(−4, 4). Построить каноническое уравнение прямой. Воспользуемся формулой (3). Подставим координаты точек в уравнение (3):

Упростим полученное уравнение:

Приведение канонического уравнения прямой на плоскости к параметрическому виду

Для приведения канонического уравнения прямой на плоскости к параметрическому виду, обозначим каждую часть уравнения (1) переменным t:

Выразим переменные x и y через t:

где t называется параметром, а уравнение (4) называется параметрическим уравнением прямой.

Для построения уравнения прямой, представленной параметрическом виде (4), достаточно задать параметру t любые значения и вычислить из уравнений (4) соответствующие координаты x и y некоторых точек. Затем провести через эти точки прямую.

Обратное преобразование смотрите здесь.

Пример 4. Каноническое уравнение прямой задана следующим уравнением:

Найти параметрическое уравнение прямой.

Решение. Обозначим через t левую и правую части уравнения (5):

Выразим переменные x и y через t:

Приведение канонического уравнения прямой на плоскости к общему виду

Пусть прямая на плоскости задана каноническим уравнением прямой (1). Преобразовав (1) получим:

Сделаем следующие обозначения:

A=p, B=−m, C=−px1+my1.

Тогда уравнение (6) можно записать в следующем виде:

Ax+By+C=0,

где n=<A,B> − называется нормальным вектором прямой.

Нетрудно заметить, что нормальный и направляющий векторы прямой перепендикулярны, т.е. скалярное произведение этих векторов равно нулю:

(n,q)=(<A,B>,<m,p>) =(<p,−m>,<m,p>)=pm−mp=0.

Обратное преобразование смотрите здесь.

Пример 5. Каноническое уравнение прямой задана следующим уравнением:

Записать общее уравнение прямой.

Решение. Сделаем преобразования уравнения (7):

»

Дата публикации: 29.05.2019

линейная алгебра — Как быстро преобразовать уравнение прямой в параметрическую форму?

Задавать вопрос

спросил 5 лет, 1 месяц назад

Изменено 5 лет, 1 месяц назад

Просмотрено 8к раз

$\begingroup$

У меня есть прямая линия: $$ \begin{случаи} х — у — 4з + 12 = 0\ 2х + у -2г + 3 = 0 \end{cases}$$

Я хочу преобразовать его в параметрическую форму прямой линии следующим образом:

$$\vec{r} = p_1 + t\vec{v}$$

Путь В настоящее время я делаю это:

1. Удалите одну переменную — в этом случае $-3x-3y+6=0 \ подразумевает x+y=2$
2. Пусть одна переменная равна $t$ — в этом случае $y=t$
3. Запишите $t$ через другие переменные — в данном случае это $t=2-x$ и $t=\frac{14-4z}{2}$
4. Запишите все в одну строку: $\frac{x-2}{-1} = y = \frac{z-\frac{14}{4}}{- \frac{1}{2}}$
5. Напишите параметрическую форму: $\vec{r} = (2, 0, \frac{14}{4}) + t (-1, 1, -\frac{1}{2})$

Во-первых, правильный ли мой метод? Во-вторых, это довольно долгий метод и дает некрасивую параметрическую форму, можно ли сделать это быстрее и качественнее?

• линейная алгебра
• аналитическая геометрия

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Уравнения можно записать в виде $$ \begin{bmatrix} 1&-1\\ 2 и 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} Икс\\ у \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 4з-12\\ 2з-3 \end{bmatrix} $$ Инвертируйте матрицу, чтобы получить $$ \начать{выравнивать} \begin{bmatrix} Икс\\ у \end{bmatrix} &=\frac13\begin{bmatrix} 1&1\\ -2&1 \end{bmatrix} \begin{bматрица} 4з-12\\ 2з-3 \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} 2з-5\\ -2з+7 \end{bmatrix} \end{выравнивание} $$ Таким образом, параметрическая форма $$ \begin{bmatrix} Икс\\ у\\ г \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 2\\ -2\\ 1 \end{bmatrix}t +\begin{bmatrix} -5\\ 7\\ 0 \end{bmatrix} $$

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Шаг 4 не требуется. Вы можете сразу согласиться на

$\begin{cases} х=2-t\\ у=т\\ z=\dfrac{7-t}2 \end{cases}$

И обратите внимание, что у вас уже есть параметрическое представление!

$M=(2,0,\frac 72)+t(-1,1,-\frac 12)$

В любом случае, вы также можете выбрать два значения $t$, которые дают «хорошие» точки $A $ и $B$, если вас не устраивают дробные коэффициенты.

Например, $t=1$ дает $A=(1,1,3)$, а $t=-1$ дает $B=(3,-1,4)$

Вычислить вектор направления $\vec u=\vec{AB}=(2,-2,1)$

И вы получите свою строку: $M=A+t\vec u=(1+2t,1-2t,3+t)$

$\endgroup$

$\begingroup$

В общем виде, как вы выразили две плоскости, нормаль к каждой плоскости задается переменными коэффициентами. Если вы просто возьмете векторное произведение этих двух норм, вы получите вектор направления линии. Итак, $$(1,-1,-4)\otimes (2,1,-2)=(6,-6,3)$$ Теперь вам нужна точка, которая находится на прямой.

Чтобы получить это, выберите одну из переменных и установите ее в ноль, затем решите для двух других. Это в значительной степени то, что вы сделали. Если я позволю z=0, то $A=(-5,7,0)$

Итак, строка $$(x,y,z)=(-5,7,0)+t(6,-6,3)$$

$\endgroup$

Объяснение урока: Уравнение прямой в пространстве: Параметрическая форма

В этом объяснении мы научимся находить параметрические уравнения прямых в пространстве.

Напомним сначала о различных формах уравнений прямой в 𝑥𝑦-плоскости (т. е. в двух измерениях, 2D). Форма 𝑦=𝑚𝑥+𝑏 дает нам наклон 𝑚 и 𝑦-перехват 𝑏. Другими словами, вектор направления линии равен ⃑𝑑=(1,𝑚) и прямая проходит через точку (0,𝑏).

Из формы 𝑦−𝑦=𝑚(𝑥−𝑥) мы знаем, что вектор направления линии равен ⃑𝑑=(1,𝑚) и что точка координат (𝑥,𝑦) на линии.

И, наконец, когда уравнение прямой имеет вид 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0, находим, что направление вектор линии равен ⃑𝑑=(−𝑏,𝑎) (или (𝑏,−𝑎) или 1,−𝑎𝑏 и т.

д.) и что прямая проходит через точку 0,−𝑐𝑏, где 𝑏≠0.

Какой бы ни была форма уравнения, двумя ключевыми частями информации, определяющими линию, являются ее вектор направления и одна из ее точек. Давайте посмотрим, как рассуждения работают в 2D, прежде чем перейти к трем измерениям (3D).

Если у нас есть линия вектора направления ⃑𝑑=(1,𝑚) которая проходит через две точки 𝐴(𝑥,𝑦) и 𝐵(𝑥,𝑦), затем вектор 𝐴𝐵 с компонентами (𝑝,𝑞)=(𝑥−𝑥,𝑦−𝑦) коллинеарно вектору ⃑𝑑. Другими словами, 𝐴𝐵 является скалярным числом, кратным ⃑𝑑. Таким образом, у нас есть (𝑝,𝑞)=𝑘(1,𝑚), где 𝑘 — действительное число.

Из приведенного выше уравнения мы находим, что

𝑥−𝑥=𝑘

(1)

и

𝑦−𝑦=𝑘𝑚.

(2)

Подставляя (1) в (2), находим, что 𝑦−𝑦=(𝑥−𝑥)𝑚.

Следовательно, наклон 𝑚 прямой, проходящей через точки 𝐴 и 𝐵 задается 𝑚=𝑦−𝑦𝑥−𝑥=𝑞𝑝. 

Рассмотрим теперь прямую в пространстве, вектор направления которой ⃑𝑑=(𝑙,𝑚,𝑛) и проходит через точку (𝑥,𝑦,𝑧). Для любой другой точки 𝑀(𝑥,𝑦,𝑧) которая лежит на прямой, 𝐴𝑀 и ⃑𝑑 коллинеарный; следовательно, 𝐴𝑀=𝑡⃑𝑑, где 𝑡 является действительным числом. На рисунке ниже показано это векторное уравнение, где 𝑀 является точкой строки такой, что 𝑡0.

Мы можем найти то же уравнение, переписав 𝐴𝑀 как 𝐴𝑂+𝑂𝑀 и, используя положение вектора для 𝑀, ⃑𝑟=𝑂𝑀 и для 𝐴, ⃑𝐴=𝑂𝐴, находим, что 𝐴𝑀=⃑𝑟−⃑𝐴=𝑡⃑𝑑; то есть, ⃑𝑟=⃑𝐴+𝑡⃑𝑑; это уравнение линии в векторной форме.

Учитывая компоненты 𝐴𝑀 и ⃑𝑑, так как 𝐴𝑀=𝑡⃑𝑑, находим (𝑥−𝑥,𝑦−𝑦,𝑧−𝑧)=𝑡(𝑙,𝑚,𝑛); то есть, 𝑥=𝑥+𝑡𝑙,𝑦=𝑦+𝑡𝑚,𝑧=𝑧+𝑡𝑛.

Если позволить 𝑡 изменяться от −∞ до +∞, три приведенных выше уравнения описывают координаты всех точек на прямой. Они описывают координаты точки 𝐴 при 𝑡=0.

Эта система из трех уравнений называется параметрическими уравнениями прямой в пространстве. Так как на прямой лежит бесконечно много точек и любой вектор (𝑙′,𝑚′,𝑛′)=𝑘(𝑙,𝑚,𝑛) является вектором направления линии, уникального набора параметрических уравнений не существует. Однако все они будут описывают координаты всех точек на прямой (при изменении 𝑡 от −∞ до +∞, ограничений нет!), и все они однозначно определяют одну и ту же прямую.

Определение: Параметрические уравнения прямой в пространстве

Параметрические уравнения прямой в пространстве представляют собой неуникальный набор из трех уравнений вида 𝑥=𝑥+𝑡𝑙,𝑦=𝑦+𝑡𝑚,𝑧=𝑧+𝑡𝑛. где (𝑥,𝑦,𝑧) — координаты точки, лежащей на прямой, (𝑙,𝑚,𝑛) — вектор направления прямой, а 𝑡 — действительное число (параметр), меняющееся от −∞ до +∞.

Давайте посмотрим на первый пример.

Пример 1. Нахождение параметрического уравнения прямой по заданной точке и ее вектору направления

Приведите параметрическое уравнение прямой в точке (2,−4,4), с вектором направления (1,−1,5).

Ответ

Параметрические уравнения прямой имеют вид 𝑥=𝑥+𝑡𝑙,𝑦=𝑦+𝑡𝑚,𝑧=𝑧+𝑡𝑛. где (𝑥,𝑦,𝑧) — координаты точки, лежит на прямой, (𝑙,𝑚,𝑛) — направление вектор линии, а 𝑡 — действительное число (параметр), меняющееся от −∞ до +∞.

Здесь мы знаем, что (2,−4,4) лежит на прямой; поэтому мы заменим эти координаты в уравнение для (𝑥,𝑦,𝑧); компоненты вектора направления равны (1,−1,5), поэтому мы подставляем это для (𝑙,𝑚,𝑛). Мы нашли 𝑥=2+𝑡,𝑦=−4−𝑡,𝑧=4+5𝑡.

Это параметрическое уравнение прямой в точке (2,−4,4), с вектором направления (1,−1,5).

Стоит отметить, что этот набор уравнений, определяющий прямую в точке (2,−4,4), с вектором направления (1,−1,5) не уникален. Мы могли бы взять, например, 2(1,−1,5)=(2,−2,10) как вектор направления линии и найти параметрические уравнения 𝑥=2+2𝑡,𝑦=−4−2𝑡,𝑧=4+10𝑡.

Мы также можем найти координаты другой точки, лежащей на прямой, выбрав значение для 𝑡. Например, при 𝑡=1 мы находим, используя наш первый набор параметрических уравнений, что точка с координатами (3,−5,9) лежит на прямой. Использование этих координат дает другой набор параметрических уравнений; а именно, 𝑥=3+𝑡,𝑦=−5−𝑡,𝑧=9+5𝑡.

Найдем теперь параметрические уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.

Пример 2. Нахождение параметрического уравнения прямой через две точки

Напишите уравнение прямой 𝐿, проходящей через точки 𝑃=(4,1,5) и 𝑃=(−2,1,3) в параметрической форме.

1. 𝑥=−2−6𝑡, 𝑦=1, 𝑧=3+2𝑡, для −∞𝑡∞
2. 𝑥=4−6𝑡, 𝑦=1, 𝑧=5−2𝑡, для −∞𝑡∞
3. 𝑥=4+2𝑡, 𝑦=1+𝑡, 𝑧=5+3𝑡, для −∞𝑡∞
4. 𝑥=−2+6𝑡, 𝑦=1+𝑡, 𝑧=3+2𝑡, для −∞𝑡∞
5. 𝑥=6+4𝑡, 𝑦=1, 𝑧=5+2𝑡, для −∞𝑡∞

Ответ

Параметрические уравнения прямой имеют вид 𝑥=𝑥+𝑡𝑙,𝑦=𝑦+𝑡𝑚,𝑧=𝑧+𝑡𝑛, где (𝑥,𝑦,𝑧) — координаты точки, лежащей на прямой, (𝑙,𝑚,𝑛) — вектор направления прямой, а 𝑡 — действительное число (параметр), которое изменяется от −∞ до +∞.

Здесь нам даны две точки, лежащие на прямой. Чтобы найти компоненты вектора направления, нам просто нужно найти компоненты, например, 𝑃𝑃. Они равны

Теперь мы можем заменить координаты 𝑃 или 𝑃 для (𝑥,𝑦,𝑧) и компонентов (−6,0,−2) (или, например, (3,0,1)=−12(−6,0,−2)) для (𝑙,𝑚,𝑛).

Поскольку здесь у нас ограниченный выбор ответов, мы можем начать с определения компонентов направления векторы, используемые в каждом наборе уравнений — они задаются коэффициентами 𝑡 в каждом уравнении:

1. (-6,0,2)
2. (-6,0,-2)
3. (2,1,3)
4. (6,1,2)
5. (4,0,2)

Мы видим, что только ответ B использует правильный вектор направления. Теперь проверим, что координаты (𝑥,𝑦,𝑧), используемые в уравнениях в ответе B, верны — это константы в каждом уравнении, то есть координаты, полученные при 𝑡=0. Находим (4,1,5), то есть координаты 𝑃. Следовательно, ответ B — правильный набор параметрических уравнений.

Обратите внимание, что координаты (𝑥,𝑦,𝑧), используемые в уравнениях, могут быть ни 𝑃, ни 𝑃, но уравнения все же могут быть правильный. В этом случае, найдя вектор направления линии ((−6,0,−2)), мы должны были бы проверить, что точка 𝑃 координат (𝑥,𝑦,𝑧) лежит на линии. Для этого нужно убедиться, что вектор 𝑃𝑃 (или 𝑃𝑃) коллинеарно 𝑃𝑃=(−6,0,−2), то есть проверить, что 𝑃𝑃=𝑘𝑃𝑃=𝑘(−6,0,−2).

Мы видим, что это эквивалентно проверке существования значения 𝑘 такого, что координаты 𝑃 проверить параметрические уравнения: 𝑥=𝑥−6𝑘,𝑦=𝑦,𝑧=𝑧−2𝑘.

Как найти параметрические уравнения прямой из ее декартовых уравнений? Помните, что декартовы уравнения линии в пространстве имеют вид 𝑥−𝑥𝑙=𝑦−𝑦𝑚=𝑧−𝑧𝑛, где (𝑥,𝑦,𝑧) — координаты точки, лежащей на прямой, а (𝑙,𝑚,𝑛) — вектор направления линии, где 𝑙, 𝑚 и 𝑛 — все ненулевые действительные числа. Эта форма уравнений тесно связаны с набором параметрических уравнений, поскольку они просто дают три выражения для 𝑡 что мы получаем из каждого из параметрических уравнений: 𝑡=𝑥−𝑥𝑙=𝑦−𝑦𝑚=𝑧−𝑧𝑛 эквивалентно 𝑥=𝑥+𝑡𝑙,𝑦=𝑦+𝑡𝑚,𝑧=𝑧+𝑡𝑛.

Когда одна компонента вектора направления равна нулю, это означает, что соответствующие координаты всех точек, лежащих на прямой, постоянна. Например, если вектор направления прямой (𝑙,𝑚,0) и точка 𝐴(𝑥,𝑦,𝑧) лежит на прямой, то параметрические уравнения прямой имеют вид 𝑥=𝑥+𝑡𝑙,𝑦=𝑦+𝑡𝑚,𝑧=𝑧.

Декартовы уравнения линии тогда 𝑥−𝑥𝑙=𝑦−𝑦𝑚,𝑧=𝑧.

Прямая перпендикулярна оси 𝑧 и лежит в плоскости, параллельной плоскости (𝑥,𝑦).

Если вектор направления одномерен, то есть две его компоненты равны нулю, то прямая параллельна к одной из осей. Например, если прямая параллельна оси 𝑥 и проходит через точку 𝐴(𝑥,𝑦,𝑧), его параметрические уравнения 𝑥=𝑡,𝑦=𝑦,𝑧=𝑧, и его декартовы уравнения будут 𝑦=𝑦, 𝑧=𝑧. Сравните это уравнение в 3D с уравнением линии в 2D, параллельной оси 𝑥: 𝑦=𝑦. Значение 𝑦 одинаково для всех точек (𝑦) и ничего не сказано о 𝑥-координата, потому что она может принимать любые значения; набор 𝑥 -координат всех точек, лежащих на прямой, равно ℝ. В этом смысл 𝑥=𝑡 также, когда 𝑡 изменяется от −∞ до +∞. Обратите внимание, что мы могли бы также взять 𝑥=𝑥+𝑡𝑙 — все значения 𝑥 также описал бы ℝ, когда 𝑡 изменяется от −∞ до +∞.

Попрактикуемся в преобразовании декартовых уравнений прямой в параметрические уравнения.

Пример 3. Нахождение параметрического уравнения прямой по ее декартовым уравнениям

Найдите параметрические уравнения прямой линии 3𝑥−7−9=8𝑦−34=−8−6𝑧−9.

Ответ

Приведенные здесь декартовы уравнения были немного изменены по сравнению со стандартной формой 𝑥−𝑥𝑙=𝑦−𝑦𝑚=𝑧−𝑧𝑛. Однако это не имеет значения, так как нам просто нужно написать, что 3𝑥−7−9=𝑡,8𝑦−34=𝑡,−8−6𝑧−9=𝑡 найти набор параметрических уравнений, переставляя каждое уравнение. Мы нашли 3𝑥−7−9=𝑡⟺3𝑥−7=−9𝑡⟺3𝑥=7−9𝑡⟺𝑥=73−3𝑡,8𝑦−34=𝑡⟺8𝑦−3=4𝑡⟺8𝑦=3+4𝑡⟺𝑦=38+12𝑦 ,−8−6𝑧−9=𝑡⟺−8−6𝑧=−9𝑡⟺−6𝑧=8−9𝑡⟺𝑧=−43+32𝑡.

Обратите внимание, что не существует уникального набора параметрических уравнений, как и не существует уникального набора декартовых уравнений. той же линии либо. Здесь, например, поскольку мы обнаружили, что вектор направления равен −3,12,32, мы могли бы взять (−6,1,3), чтобы записать наши параметрические уравнения. Это эквивалентно принять в качестве параметра 𝑡′=𝑡2 вместо 𝑡=3𝑥−7−9=8𝑦−34=−8−6𝑧−9, то есть имея в качестве декартовых уравнений 3𝑥−7−18=8𝑦−38=−8−6𝑧−18(=𝑡′).

Теперь рассмотрим последний пример, где нам нужно найти параметрические уравнения диагонали куба.

Пример 4. Нахождение параметрического уравнения прямой за два шага

Куб со стороной 3 расположен с вершиной в начале координат и тремя сторонами вдоль положительных осей. Найдите параметрические уравнения главной диагонали из начала координат.

Ответить

Давайте начнем с рисования диаграммы куба.

Главная диагональ куба идет от начала координат (0,0,0) в самую дальнюю от начала координат вершину, а именно в точку (3,3,3), так как сторона куба равна 3 единицам длины.

Таким образом, линия, содержащая диагональ, имеет в качестве вектора направления вектор, из начала координат в точку (3,3,3), то есть вектор компонент (3,3,3)

Параметрические уравнения линии имеют вид 𝑥=𝑥+𝑡𝑙,𝑦=𝑦+𝑡𝑚,𝑧=𝑧+𝑡𝑛, где (𝑥,𝑦,𝑧) — координаты точки, лежащей на прямой, (𝑙,𝑚,𝑛) — вектор направления прямой, а 𝑡 — действительное число (параметр), меняющееся от −∞ до +∞.

Взяв здесь начало координат (0,0,0) точки, лежащей на прямой, находим 𝑥=3𝑡,𝑦=3𝑡,𝑧=3𝑡.

Обратите внимание, что вместо этого мы могли бы взять точку (3,3,3), что привело бы к 𝑥=3+3𝑡,𝑦=3+3𝑡,𝑧=3+3𝑡.

Или мы могли бы взять (1,1,1) в качестве вектора направления, приводит к простейшим уравнениям 𝑥=𝑡,𝑦=𝑡,𝑧=𝑡.

Короче говоря, любая точка на этой прямой имеет равные 𝑥-, 𝑦- и 𝑧-координаты.

В предыдущем примере мы могли бы ограничить возможные значения параметра t так, чтобы он описывал только диагональ куба, то есть отрезок, идущий от (0,0,0) до (3,3,3). С уравнениями 𝑥=3𝑡, 𝑦=3𝑡, 𝑧=3𝑡, значит, 0≤𝑡≤1. Диапазон 𝑡 зависит от используемых уравнений. Если мы возьмем параметрические уравнения 𝑥=𝑡, 𝑦=𝑡, 𝑧=𝑡, то диапазон 0≤𝑡≤3 заставляет эти уравнения описывать диагональ куба.

Ключевые моменты

• Параметрические уравнения прямой представляют собой неуникальный набор из трех уравнений вида 𝑥=𝑥+𝑡𝑙,𝑦=𝑦+𝑡𝑚,𝑧=𝑧+𝑡𝑛, где (𝑥,𝑦,𝑧) — координаты точки, лежащей на прямой, (𝑙,𝑚,𝑛) — вектор направления прямой, а 𝑡 — действительное число (параметр), меняющееся от −∞ до +∞.
• Когда 𝑙, 𝑚 и 𝑛 ненулевые действительные числа, параметрические уравнения прямой линии можно вывести из ее декартовых уравнений, написав 𝑡=𝑥−𝑥𝑙=𝑦−𝑦𝑚=𝑧−𝑧𝑛 и переставляя каждое из трех полученных уравнений.

  No related posts.