Уравнение с корнем квадратным как решать: Иррациональные уравнения — урок. Алгебра, 8 класс.

Арифметический квадратный корень

Вспомним, что такое арифметический квадратный корень.

Уравнение  имеет два решения:  и .

Это числа, квадрат которых равен .

А как решить уравнение ?

Если мы нарисуем график функции , то увидим, что и у этого уравнения есть два решения, одно из которых положительно, а другое отрицательно.

Но эти решения не являются целыми числами. Более того, они не являются рациональными. Для того чтобы записать эти решения, мы вводим специальный символ квадратного корня.

Арифметический квадратный корень из числа  — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен .

Запомните это определение.

Арифметический квадратный корень обозначается .

Согласно определению,

Приведем несколько примеров.

Еще раз повторим определение: Арифметический квадратный корень из числа a — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен a

Это значит, что (это наши первые два примера).

Очевидно,

А с третьим примером интереснее: поскольку по определению.

Обратите внимание:

1) В школьной математике мы извлекаем корень только из неотрицательных чисел. Выражение для нас сейчас имеет смысл только при

2) Выражение всегда неотрицательно, т. е. Например,

Свойства арифметического квадратного корня:

Запомним: выражения и не равны друг другу.Легко проверить.

, верно? Как вы думаете, чему в общем случае равен

На этот вопрос мы ответим немного позже. А сейчас решим несколько задач из вариантов Профильного ЕГЭ по математике.

1. Найдите значение выражения

Обратите внимание: не равен

Ответ: 6.

2. Найдите значение выражения

Применили формулу разности квадратов:

Ответ: 33.

3. Вычислите:

Применили формулу квадрата суммы.

4. Найдите значение выражения при

Ответ: 5

Иногда — например, при решении неравенств — надо сравнить два выражения, содержащих знак корня.

5. Что больше: или ?

Никаких приближенных вычислений!

Напомним еще раз, что , так что «убирать» корни мы не можем.

, значит,

График функции 

Построим график функции Возьмем несколько значений аргумента x, причем таких, что квадратный корень из них является целым числом.

	0	1	4	9	16	25
	0	1	2	3	4	5

Область определения функции:

Область значений функции:

Вот как выглядит график функции

Нарисуем в одной системе координат графики функций и при

Что же мы видим? При графики функций и симметричны относительно прямой

То, что для функции является областью определения, для функции — область значений (при неотрицательных x). 2=a. Нахождение приближенных значений квадратного корня 8 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей |

Решение неполных квадратных уравнений вида

 

Мы уже неоднократно сталкивались с уравнениями вида  или. Такие уравнения обычно называют неполными. Для начала давайте вспомним, как их решать. Самый простой способ – разложить левую часть по формуле разности квадратов. Для этого слева должна стоять действительно разность, ведь выражение, например,  по формуле разности квадратов не разложить. Так что давайте разберем три случая для разных значений .

 

1. . Квадрат действительного числа отрицательным не бывает, значит, уравнение  не имеет решений.
2. . Тогда получаем .
3. . Именно этот случай мы сейчас подробно разберём.

При решении задач обычно такие преобразования каждый раз не делают, а просто пишут: . Не забудьте про этот : раз скобок при разложении разности квадратов две, то и корня у уравнения будет два. А ведь есть соблазн, например, увидев , сразу написать: . Как вы уже поняли, это ошибка. Правильно будет написать: .

Замечание . Если у нас есть уравнение  (где ) – не забывайте про !

Замечание . Не путайте две ситуации: уравнение  и извлечение корня из . В первом случае ответом будут два числа – , как мы только что обсудили. Во втором же – только число , так как арифметический корень – это, по определению, неотрицательное число.

 

Примеры

 

 

Разберем несколько примеров.

 

3. ;
   Не забывайте проверять, чтобы правая часть уравнения была неотрицательна. В нашем случае , поэтому запись  корректна.
5. 
   Решений нет, так как правая часть отрицательна: , поэтому .
6. 
   Уравнение  решений не имеет, поэтому остается решить уравнение .
7. ; …

Ответ, конечно, верен, но можно записать и короче: . Но как догадаться, что этот корень извлекается?

 

Метод извлечения квадратного корня (уголком)

 

 

Любое извлечение квадратного корня по сути подбор. И сейчас мы разберем наиболее эффективные методы этого подбора.

 

Основной метод извлечения корня иногда называют извлечением уголком. Рассмотрим на примере, как он работает.

Пусть необходимо извлечь корень из .

1. Первым делом разбиваем число на пары цифр справа налево, получаем . Цифры могут и не разбиться на пары, если их количество нечетно. В этом случае мы просто будем считать за целую пару одну, крайнюю левую цифру, например, . Сколько пар получилось, столько цифр будет в числе, которое является ответом.
2. Далее рассмотрим крайнюю левую пару. Подберем такую цифру, квадрат которой ближе всего к нашей паре снизу. В данном случае это  (). Первую цифру 9 записываем в ответ. Далее считаем разность между  и . Получаем , сносим оставшиеся цифры вниз, как при делении в столбик (Рис. 1).
   
   Рис. 1. Шаг 2
3. Удвоим записанную нами цифру , получаем . Теперь найдем такое наибольшее , что . В данном случае подойдет . Приписываем его справа к . При этом разность равна , значит, корень извлекся, а ответ –  (Рис. 2).

Рис. 2. Шаг 3

Если бы было число не , а, например, , то корень бы не извлекался, и, чтобы найти приближенное значение, нужно продолжать извлечение корня уголком (Рис. 3).

Рис. 3. Извлечение корня для числа

Разберем еще один пример: извлечем корень из .

1. Разобьем число на группы:  – их три, значит, в результате должно получиться трехзначное число.
2. Подберем такую цифру, квадрат которой ближе всего к нашей паре снизу. Первая цифра результата , так как , тогда как . Вычтя  из , получим . Приписав к  следующую пару, получим .
3. Удвоив имеющуюся часть результата, т.е. число , получим . Подберем теперь такую наибольшую цифру , чтобы произведение двузначного числа  на  не превышало число . Такой цифрой будет , так как  – это меньше , тогда как  – это больше . Итак, вторая цифра результата  (Рис. 4).
   
   Рис. 4. Нахождение второй цифры корня
4. Вычтя  из , получим . Приписав к этому числу справа последнюю группу, получим . Удвоив имеющуюся часть результата, т.е. число , получим . Подберем теперь такую наибольшую цифру , чтобы произведение трехзначного числа  на  не превосходило . Такой цифрой будет , так как . Цифра  – последняя цифра результата. В ответе получили  (Рис. 5).

Рис. 5. Последний шаг

Обратите внимание, что если бы последняя цифра или последние две цифры исходного числа были другими, то деление можно бы было продолжать сколь угодно долго, тем самым получая более точное значение корня.

 

Пояснение метода

 

 

Почему это работает? На самом деле мы работаем с формулой квадрата суммы, только наоборот. Рассмотрим наш первый пример. Число  мы попытались представить в виде . Отсюда и отделение именно двух цифр справа: после возведения в квадрат мы получим , то есть два нуля на конце. Найдя , мы ищем такую цифру , что оставшаяся часть формулы  давала бы разность между исходным числом и квадратом первого слагаемого в скобках:  (Рис. 6). Вот откуда берется удвоение.

 

Рис. 6. Пояснение

Впрочем, есть один жульнический метод, который работает гораздо быстрее – об этом тоже стоит упомянуть.

---

 

Ветка. Более простой метод извлечения квадратного корня

Пусть требуется извлечь корень из некоторого числа, например, все те же .

Сперва заменим последние две цифры нулями и поищем ближайший снизу круглый квадрат –  (а ближайший сверху –  – квадрат , запомним это). Пока все как в методе уголком. Значит, наше искомое число .

Теперь подумаем, какая цифра может быть в конце. При возведении числа в квадрат, последней будет та же цифра, что и при возведении последней цифры в квадрат (вспомним умножение в столбик) А что в квадрате дает  на конце? Только  или . Значит, наше число либо , либо . Как определить, какое именно? Все просто: раз  ближе к , чем к , то и наше число ближе к , чем к . Получаем .

Рассмотрим еще один пример. . Заменили последние две цифры на . Получаем  – это между  и , значит, наше число начинается на . При этом на конце цифра, чей квадрат оканчивается на , это  или . Так как  ближе к , чем к , то искомое число .

Отметим два недостатка этого метода.

1. Если рассуждать точно так же, то и . Но это, разумеется, не верно. То есть метод работает только в том случае, если корень извлекается и равен натуральному числу.

2.Когда числа больше, чем -значные, применять метод становится труднее. Другой вопрос, что при решении задач школьного курса крайне редко возникают корни из -значных чисел, а вот из  и -значных очень часто.

---

 

 

Метод извлечения квадратного корня (вавилонский метод)

 

 

А что делать, если корень не извлекается нацело? В этом случае иногда требуется найти приближенное значение. И можно их находить… Все тем же уголком! Просто дописываем после запятой пары  и продолжаем процесс до той степени точности, которая требуется. Но есть и другой метод. Разберем так называемый вавилонский метод извлечения квадратного корня.

 

Пусть, например, требуется извлечь корень из , то есть решить уравнение . Запишем его так: .

Рассмотрим для начала близкое к нужному целое значение, например,  (а можно и  – все равно). . Подставим  в наше равенство. Очевидно, оно не выполняется. Тогда найдем  как среднее арифметическое  и . Получим: .

Дальше поступаем аналогично: .

Чем больше раз мы проделаем эту операцию, тем точнее получим оценку, уже на пятом шаге первые  знаков после запятой будут требуемыми: .

Почему метод работает? Попробуем объяснить на пальцах. Допустим, исходно мы выбрали , который меньше, чем нужно. Тогда число  больше искомого, ведь в произведении они дают . Но тогда их среднее арифметическое будет лежать строго между ними, и, когда мы посчитаем числа и , они будут еще ближе друг к другу. И так далее.

 

Заключение

 

 

На этом уроке мы познакомились с решением уравнений вида  для различных . Для отрицательных  решений нет, поэтому извлекать корень, не проанализировав правую часть уравнения, нельзя. Для  корень уравнения равен . Для положительного  всегда будет два корня, поэтому не забывайте про . Не путайте задания: решить квадратное уравнение и извлечь корень. В первом случае – два ответа, во втором – один. Также мы рассмотрели два метода для извлечения квадратных корней –

метод извлечения уголком и вавилонский метод (для приближенного нахождения значения корня).

 

 

Список рекомендованной литературы

1. Виленкин Н.Я., Сурвилло Г.С. Алгебра 8 класс с углубленным изучением математики. М.: Просвещение, 2010.
2. Алимов Ш.А. Алгебра 8 класс. М.: Просвещение, 2012.
3. Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра 8 класс Рабочая тетрадь. М.: Просвещение, 2010.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «nsportal.ru» (Источник)
2. Интернет-портал «festival.1september.ru» (Источник)
3. Интернет-портал «genius. pstu.ru» (Источник)

 

Домашнее задание

1. Решите уравнения: .
2. Чему равен ? (Воспользуйтесь методом уголка)
3. Найдите приближенное значение . (Воспользуйтесь вавилонским методом)

 

Интернет -урок — Основные уравнения квадратных корней

Share

Приоритет урока: Высокий

Algebra One $ \ longrightarrow $

Радикальные выражения и корни $ \ longrightarrow $

Использование корней

Цели

17 Сола.
• Решение уравнений, содержащих одно корневое выражение с переменной и другие переменные члены
• Проверка на посторонние решения при решении корневых уравнений

Описание урока

Одна из вещей, для которых мы можем использовать корневые свойства, — это решение уравнений, в которых есть корневые выражения. В этом уроке мы сделаем именно это — потренируемся выделять x в уравнении, когда x является частью корневого выражения.

 

Практические задачи

Практические задачи и рабочие листы скоро появятся!

 

Искоренить радикал и

Как мы уже говорили в прошлых уроках, посвященных решению уравнений, цель всегда одна и та же: изолировать переменную. Надеюсь, к настоящему моменту мы лучше понимаем, что это значит, и хорошо практикуемся в использовании арифметики или даже таких вещей, как факторинг, для получения решения уравнения. Этот урок намочит наши ноги, делая с обеими сторонами что-то, чего мы на самом деле еще не делали, — выровняйте обе стороны. Это действие мы обычно предпринимаем, только когда решаем уравнения, содержащие квадратный корень. В явном виде, когда мы говорим, что можем «возвести в квадрат обе стороны», мы имеем в виду, что мы можем возвести каждую часть в степень $2$, и по золотому правилу уравнений в сочетании со свойством показателей степени результаты, которые мы получаем с обеих сторон, будут по-прежнему равны друг другу, как и раньше.

Вы должны знать

Вы всегда можете возвести обе части уравнения в целое число и сохранить равенство. Это действие и некоторые другие (возврат к обеим сторонам, возведение обеих сторон в степень, логарифмирование обеих сторон и т. д.) — это действия, которые мы просто не видели до сих пор, потому что они нам пока не нужны. Вы увидите их все по мере прохождения курсов подготовки к математическому анализу.

Учиться на примере

Как мы часто делаем, изучая что-то новое, мы вместе рассмотрим пример. 92$$$$x-1 = 16$$Теперь у нас есть стандартное линейное уравнение, решение которого мы уже хорошо натренировали.$$x = 17$$Убедитесь, что решение действительно делает исходное уравнение верным . Мы еще поговорим о посторонних решениях ниже, но теперь знайте, что у нас выработается привычка проверять свои ответы, когда мы решаем эти типы уравнений.

 

Давайте формально определим процесс решения корневых уравнений.

Определение: Решение корневых уравнений Чтобы решить корневые уравнения, содержащие один корень, выполните следующие действия: 1. Изолировать корень2. Подровняйте обе стороны3. Решите полученное уравнение4. Проверьте наличие посторонних решений. Другими словами, как только вы изолируете корень и возведете в квадрат обе стороны, у вас останется что-то знакомое, что вы будете знать, как решить. И никогда, никогда не забывайте проверять наличие посторонних решений! Они могут появиться в любом корневом уравнении. Проверьте свои решения в исходной задаче, чтобы убедиться, что они действительно соответствуют уравнению.

Вот еще один пример для совместного прохождения.

 

Пример 2. Решить. $$10-\sqrt{3-x} = 7$$$\blacktriangleright$ На этот раз выражение квадратного корня не изолировано — мы не можем начать эту задачу с возведения в квадрат обеих сторон (см. предупреждение примечание ниже). Вместо этого нам следует изолировать корневой термин, а затем мы рассмотрим задачу, подобную первому примеру, где мы можем перейти к возведению в квадрат обеих сторон. 2$$$$\left( \sqrt{x} + 1 \ right) \left( \sqrt{x} + 1 \right) = 16$$$$x + 2\sqrt{x} + 1 = 16$$ Это сложнее, чем то, с чего мы начали, и не убрали подкоренное число .

Подводя итог еще раз, ключом к решению уравнений, содержащих квадратный корень, является выполнение трех довольно интуитивных действий:

• Переместить все, кроме выражения квадратного корня, на другую сторону
• Возведение в квадрат обеих частей уравнения
• Изолируйте $x$ с помощью знакомых шагов алгебры

Вы должны знать

Этот урок посвящен решению уравнений, в которых есть выражение с одним квадратным корнем. Можно решать уравнения, в которых есть два или более отдельных уравнения с квадратным корнем, но этот процесс немного сложнее и рассматривается в отдельном уроке по алгебре-два, посвященном решению корневых уравнений ».

Посторонние решения

В некоторых продвинутых методах решения уравнений, таких как этот урок и решение рациональных уравнений », вам нужно будет проверять наличие посторонних решений. 2 + x = 4x$$Теперь, $x = 0$ также сделало бы уравнение верным. Мы создали постороннее решение путем умножения на переменную. Решение $x=0$ не делает исходную задачу истинной. То же самое происходит, когда мы возводим в квадрат обе части уравнения, но просто не очевидно, что это происходит.

Определение: посторонние решения в корневых уравнениях Каждый случай возведения в квадрат обеих частей уравнения создает возможность для постороннего решения. Это не гарантирует, что он будет существовать, но это может произойти. По этой причине каждый раз, когда вы решаете какое-либо корневое уравнение, вы должны проверять свой окончательный ответ (ответы) в исходном уравнении, чтобы убедиться, что вы не сообщаете о посторонних решениях.

К вашему сведению, у нас не было посторонних решений в примерах 1 и 2 выше (эти примеры были выбраны намеренно, чтобы ни одно из них не всплывало), но мы должны каждый раз проверять каждое решение корневого уравнения. Обратите внимание, что мы по-прежнему дважды проверяли, что наши ответы на примеры 1 и 2 делают исходные уравнения верными. Вот пример корневого уравнения, которое не займет у нас много времени, чтобы определить, что посторонние решения существуют. 92$$$$x = 16$$Но подстановка 16$ в исходное уравнение дает $$\sqrt{16} = -4$$$$4 = -4$$Это уравнение является ложным. квадратный корень устанавливается равным отрицательному числу, так как это невозможно. Распространенность посторонних решений значительно возрастет, если мы рассмотрим решение уравнений с несколькими $x$ членами.

Помните!

Вы должны каждый раз проверять каждый ответ на каждое уравнение с корнями, которое вы когда-либо решали. Никогда не бывает очевидным, является ли решение посторонним, без проверки путем подстановки его в исходное уравнение.

Мистер Математика делает это

Как учителя мучают вас, решая уравнения с квадратным корнем? Как мы уже обсуждали, одна из самых больших ловушек — это необходимость проверки на наличие посторонних решений. Однако есть еще один распространенный способ, которым учителя пытаются сбить нас с толку — уравнения, в которых есть переменный член с квадратным корнем, но также есть другой переменный член. Основные шаги и интуиция одинаковы — изолируйте корневое выражение и возведите в квадрат обе части. Однако вы увидите, что есть некоторое умножение выражения переменной (обычно FOIL), которое должно произойти, чтобы уравнение оставалось верным, создавая квадратное уравнение ». Давайте посмотрим пример. 92 — 2x — 15$$$$0=(x-5)(x+3)$$По свойству нулевого произведения два возможных решения равны $x=5$ и $x=-3$. Однако, как мы уже обсуждали, любое корневое уравнение подвержено риску появления посторонних решений. Проверьте каждое из них в исходном уравнении: Когда $x=5$:$$\sqrt{19-2x} — 2 = x — 4$$$$\longrightarrow \sqrt{19 — 2(5)} — 2 = ( 5) — 4$$$$\sqrt{9} — 2 = 1$$$$1 = 1$$Поскольку мы получили тождество, $x=5$ является допустимым решением. Когда $x=-3$:$$ \sqrt{19-2x} — 2 = x — 4$$$$\longrightarrow \sqrt{19 — 2(-3)} — 2 = (-3) — 4$$$$\sqrt{25} — 2 = -7$$$$3 = -7$$Это ложь, поэтому $x=-3$ не является правильным решением уравнения.

 

Задачи с одним корневым выражением и другими переменными выражениями решаются аналогично. Опять же, шаги такие же, как мы видели на протяжении всего урока, это просто больше работы благодаря тому, что нужно решить квадратное уравнение.

Вы должны знать

Позже в Алгебре 2 мы научимся решать уравнения с несколькими корневыми выражениями » решая более сложные корневые уравнения одновременно с базовыми, убедитесь, что вы справитесь с наборами практических задач обоих уроков с безупречной победой.

Помните!

Несмотря ни на что, если уравнение, которое вы решаете, имеет только одно корневое выражение, изолируйте все корневое выражение, а затем возведите в квадрат каждую сторону. Решение корневых уравнений — это не столько шаги, которые вы должны запомнить, сколько интуитивный подход к выделению $x$. 2$$$$36 = 5x-4$$ $40 = 5x$$$$ x = 8$$Проверьте правильность решения:$$10 — 2\sqrt{5(8)-4} = -2$$$$10 — 2\sqrt{36} = — 2$$$$10 — 2(6) = -2$$$$-2 = -2$$

 

Выводы урока

• Понимать основные шаги, необходимые для решения уравнений с одним корнем
• Знать, как изолировать корень и возводить в квадрат обе части уравнения
• Понимать, как и зачем проверять посторонние решения
• уравнения, в которых $x$ стоит более чем в одном месте, более сложны и рассматриваются в отдельном уроке »

Видео с вопросами: поиск решения набора корневых уравнений с абсолютным значением

Стенограмма видео

Найдите решение уравнения квадратный корень из четырех 𝑥 в квадрате минус 28𝑥 плюс 49 равно абсолютному значению 𝑥 плюс четыре.

В этом вопросе нас просят найти множество решений заданного уравнения с радикалами и абсолютным значением. Для этого сначала напомним, что множество решений — это множество всех решений этого уравнения. Итак, нам нужно начать с решения этого уравнения. Это нахождение всех значений 𝑥 таких, что левая часть равна правой части уравнения. Итак, чтобы решить это уравнение, давайте начнем с рассмотрения уравнения.

В левой части у нас есть квадратный корень из четырех 𝑥 в квадрате минус 28𝑥 плюс 49. Обычно самый простой способ решить уравнение с квадратным корнем — возвести в квадрат обе части уравнения. Однако если мы это сделаем, то сможем ввести дополнительные решения. Так что нам нужно быть осторожными. Это особенно важно, потому что мы извлекаем квадратный корень из числа. Например, если мы возьмем квадратный корень из отрицательного числа, мы получим комплексное число.

Однако в этом примере стоит отметить одну интересную вещь. В левой части этого уравнения мы берем квадратный корень, что означает, что мы берем положительное значение. И с правой стороны мы берем абсолютное значение. Так что это тоже положительное значение. Таким образом, обе части уравнения уже положительны. Это может помочь оправдать взятие квадратов обеих частей уравнения. Это дает нам четыре 𝑥 в квадрате минус 28 𝑥 плюс 49.равно абсолютному значению 𝑥 плюс четыре в квадрате.

И мы можем упростить правую часть этого уравнения, вспомнив, что абсолютное значение числа — это его величина. Не имеет значения знак. Но если мы возводим это значение в квадрат, не имеет значения, возьмем ли мы положительное или отрицательное значение. Другими словами, для любого действительного числа 𝑎 величина 𝑎 в квадрате просто равна 𝑎 в квадрате. Следовательно, мы можем использовать это, чтобы упростить правую часть нашего уравнения до 𝑥 плюс четыре в квадрате.

А теперь мы можем еще больше упростить правую часть этого уравнения, распределив показатель степени по скобкам. Мы можем сделать это, используя метод FOIL или биномиальное разложение. В любом случае мы получаем 𝑥 в квадрате плюс восемь 𝑥 плюс 16. И помните, это должно быть равно четырем 𝑥 в квадрате минус 28𝑥 плюс 49. А сейчас мы просто решаем квадратное уравнение. Мы можем сделать это, собирая подобные термины. Таким образом, мы вычитаем 𝑥 в квадрате из обеих частей уравнения, восемь 𝑥 из обеих частей уравнения и 16 из обеих частей уравнения и упрощаем. Получаем три 𝑥 в квадрате минус 36𝑥 плюс 33 равно нулю.

А теперь есть много разных способов решения квадратного уравнения. Начнем с того, что заметим, что все три термина делят коэффициент три. Так что мы можем просто разделить на три. Это дает нам 𝑥 в квадрате минус 12𝑥 плюс 11 равно нулю. И мы можем решить это с помощью факторинга. Нам нужны два числа, которые умножаются, чтобы получить 11, и складываются, чтобы получить отрицательные 12. И, конечно же, отрицательное, умноженное на отрицательное 11, равно 11, а отрицательное, плюс отрицательное 11, равно отрицательному 12.

Следовательно, мы можем разложить этот квадрат, чтобы получить 𝑥 минус один, умноженный на 𝑥 минус 11, равно нулю. И, наконец, чтобы произведение двух чисел было равно нулю, один из двух множителей должен быть равен нулю.