Примеры решения уравнений с модулем с ответами
Простое объяснение принципов решения уравнений с модулем и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.
Алгоритм решения уравнений с модулем
Теорема
Уравнения с модулем – это уравнения, содержащее неизвестные под знаком модуля.
При решении уравнений с модулем используется определение модуля числа.
Определение модуля числа.
Нужна помощь в написании работы?
Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.
Цена работы
Примеры решений уравнений с модулем
Пример 1
Задача
Решить уравнение:
Решение
Подмодульное выражение меняет знак в точке .
Рассмотрим два случая.
Первый случай:
При исходное уравнение принимает вид:
Отсюда – решений нет
Второй случай:
При исходное уравнение принимает вид:
Отсюда
Ответ
Пример 2
Задача
Решить уравнение:
Решение
Подмодульное выражение меняет знак в точке .
Рассмотрим два случая.
Первый случай:
При исходное уравнение принимает вид:
Отсюда
Второй случай:
При исходное уравнение принимает вид:
Отсюда
Ответ
Пример 3
Задача
Решить уравнение:
Решение
Подмодульное выражение меняет знак в точке .
Рассмотрим два случая.
Первый случай:
При исходное уравнение принимает вид:
Отсюда
Второй случай:
При исходное уравнение принимает вид:
Отсюда – решений нет
Ответ
Пример 4
Задача
Решить уравнение:
Решение
Подмодульное выражение меняет знак в точке .
Рассмотрим два случая.
Первый случай:
При исходное уравнение принимает вид:
Отсюда
Второй случай:
При исходное уравнение принимает вид:
Отсюда – решений нет
Ответ
Пример 5
Задача
Решить уравнение:
Решение
Подмодульное выражение меняет знак в точке .
Рассмотрим два случая.
Первый случай:
При исходное уравнение принимает вид:
Отсюда
Второй случай:
При исходное уравнение принимает вид:
Отсюда
Ответ
Пример 6
Задача
Решить уравнение:
Решение
Подмодульное выражение меняет знак в точке .
Рассмотрим два случая.
Первый случай:
При исходное уравнение принимает вид:
Отсюда
Второй случай:
При исходное уравнение принимает вид:
– не подходит по условию
Ответ
Пример 7
Задача
Решить уравнение:
Решение
Подмодульное выражение меняет знак в точке .
Рассмотрим два случая.
Первый случай:
Отсюда
Второй случай:
Отсюда
Ответ
Пример 8
Задача
Решить уравнение:
Решение
Подмодульное выражение меняет знак в точке .
Рассмотрим два случая.
Первый случай:
Решений нет
Второй случай:
Решений нет
Ответ
Решений нет
Пример 9
Задача
Решить уравнение:
Решение
Подмодульное выражение меняет знак в точке .
Рассмотрим два случая.
Первый случай:
При исходное уравнение принимает вид:
Отсюда
Второй случай:
При исходное уравнение принимает вид:
Отсюда
Ответ
Пример 10
Задача
Решить уравнение:
Решение
Рассмотрим три случая.
Первый случай:
При исходное уравнение принимает вид:
Отсюда – решений нет, т.к. по условию
Второй случай:
При исходное уравнение принимает вид:
Отсюда
Третий случай:
При исходное уравнение принимает вид:
Отсюда
Ответ
Средняя оценка 2.
9 / 5. Количество оценок: 15
Поставьте вашу оценку
Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!
Позвольте нам стать лучше!
Расскажите, как нам стать лучше?
46994
Закажите помощь с работой
Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке
Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке
Полезно
Модульные уравнения. Уравнения содержащие модуль.Решение уравнений с модулем.
Как решить простейшее модульное уравнение или уравнение содержащее модуль?
Обычно решение сводится к системе :
Уравнения содержащие модульСразу рассмотрим на примере решение уравнений.
Пример №1:
Решите уравнение | x – 6| = 18.
Решение:
Выражение стоящее под модулем приравниваем к 0:
x-6=0
x=6
Отмечаем 6 на координатной прямой, далее проверяем знак на каждом из получившихся интервалах.
На интервале (-∞; 6) возьмем число 0 и подставим
0-6=-6 получилось отрицательное число, значит на этом интервале будет знак “ – ”
На интервале (6;+∞) возьмем число 7 и подставим
7-6=1 получилось положительное число, значит на этом интервале будет знак “ + ”
Теперь решаем уравнения на каждом интервале.
(-∞; 6) здесь получился знак “ – ”, значит выражение под модулем поменяет знаки на противоположные:
-x+6=18
x=-12
Видно, что -12 лежит на интервале (-∞; 6) следовательно, является корнем уравнения.
(6;+∞) здесь получился знак “ + ”, значит выражение под модулем остается без изменения:
x-6=18
x=24
Видно, что 24 лежит на интервале (6;+∞) следовательно, является корнем уравнения.
Ответ: -12 и 24
Пример №2:
Решите уравнение | 2x – 5 |- | 4 — x | = -18.
Решение:
Выражения стоящие под модулем приравниваем к 0:
2x – 5 = 0 и 4 — x = 0
x=2,5 и x=4
Отмечаем x=2,5 и x=4 на координатной прямой, далее проверяем знак на каждом из получившихся интервалах.
На интервале (-∞; 2,5) возьмем число 0 и подставим в каждое выражение
2*0-5=-5 получилось отрицательное число, значит на этом интервале будет знак “ – ”
4-0=4 получилось положительное число, значит на этом интервале будет знак “ + ”
На интервале (2,5; 4) возьмем число 3 и подставим в каждое выражение
2*3-5=1 получилось положительное число, значит на этом интервале будет знак “ + ”
4-3=1 получилось положительное число, значит на этом интервале будет знак “ + ”
На интервале (4; +∞) возьмем число 5 и подставим в каждое выражение
2*5-5=5 получилось положительное число, значит на этом интервале будет знак “ + ”
4-5=-1 получилось отрицательное число, значит на этом интервале будет знак “ – ”
Теперь решаем уравнения на каждом интервале.
(-∞; 2,5) здесь получился знак “ – ” у выражения “ 2x – 5 ”, значит выражение под модулем поменяет знаки на противоположные и знак “ + ” у выражения “ 4 — x ”, значит выражение под модулем остается без изменения:
-2x + 5 — ( 4 — x ) = -18
-2x + 5 — 4 + x = -18
x=19
Видно, что 19 не лежит на интервале (-∞; 2,5) следовательно, не является корнем уравнения.
(2,5; 4) здесь получился знак “ + ” у обоих выражений, значит выражения под модулем останутся без изменений:
2x – 5 — ( 4 — x ) = -18
2x – 5 — 4 + x = -18
3x=-9
x=-3
Видно, что -3 лежит на интервале (2,5; 4) следовательно,не является корнем уравнения.
(4; +∞) здесь получился знак “ – ” у выражения “ 4 — x ”, значит выражение под модулем поменяет знаки на противоположные и знак “ + ” у выражения “ 2x – 5 ”, значит выражение под модулем остается без изменения:
2x – 5 — ( — 4 + x ) = -18
2x – 5 + 4 — x = -18
x=-17
Видно, что -17 лежит на интервале (4; +∞) следовательно,не является корнем уравнения.
Ответ: корней нет
Пример №3:
Решите уравнение ||x|-3|=15.
Решение:
Так как в правой части стоит простое число то распишем на два уравнения (раскроем внешний модуль):
|x|-3=15
|x|-3=-15
Перенесем в обоих уравнениях -3 вправо, получим:
|x|=15+3
|x|=-15+3
|x|=18
|x|=-12 (модуль не может равняться отрицательному числу, следовательно это уравнение не имеет решений)
Раскрываем модуль |x|=18
x=18
x=-18
Ответ: -18 и 18
Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн бесплатно. Без шуток. ЗДЕСЬ
Решение простых уравнений с абсолютной величиной | Purplemath
HarderSpecial Case
Purplemath
Когда мы берем абсолютное значение числа, мы всегда получаем положительное число (или ноль). Независимо от того, был ли ввод положительным или отрицательным (или нулем), вывод всегда положительный (или нулевой). Например, | 3 | = 3 и | −3 | = 3 также.
Это свойство — то, что и положительное, и отрицательное становятся положительными — делает решение уравнений с абсолютными значениями немного сложным.
Но как только вы научитесь «трюку», они не так уж и плохи. Начнем с простого:
Содержание продолжается ниже
MathHelp.com
Решение уравнений с абсолютными значениями
Решить |
х | = 3
Я уже решил эту проблему в своем обсуждении выше:
| 3 | = 3
| −3 | = 3
Итак, x должно быть равно 3 или равно -3.
Но как мне это решить, если я разве уже не знает ответ? Я буду использовать положительное/отрицательное свойство абсолютного значения, чтобы разделить уравнение на два случая, и я буду использовать тот факт, что знак «минус» в отрицательном случае указывает на «противоположный знак», а не на «отрицательное число».
Например, если у меня x = -6, то «- x » означает «противоположное x » или, в данном случае, -(-6) = +6, положительное число. Знак «минус» в «− x » просто указывает, что я меняю знак на х .
Каким бы ни было значение x , абсолютное значение x делает его положительным. Поскольку x изначально могло быть положительным, а могло быть отрицательным, я должен признать этот факт, когда удаляю столбцы абсолютного значения. Я делаю это, разбивая уравнение на два случая. Для этого упражнения эти случаи следующие:
a. Если значение x было неотрицательным (то есть, если оно было положительным или нулевым) для начала, тогда я могу вывести это значение из столбцов абсолютных значений, не меняя его знака, что даст мне уравнение x = 3.
б. Если значение x изначально было отрицательным, то я могу вывести это значение из столбцов абсолютных значений, изменив знак на x , что даст мне уравнение — x = 3, которое решается как
Тогда мое решение
x = ±3
Между прочим, мы можем проверить приведенное выше решение графически.
Когда мы пытаемся решить уравнение абсолютного значения | х | = 3, мы, по сути, устанавливаем два линейных уравнения равными друг другу и находим, где они пересекаются. Например:
Выше я построил график y 1 = | x | (это синяя линия, похожая на букву «V») и y 2 = 3 (это зеленая горизонтальная линия). Эти два графика пересекаются в x = -3 и x = +3 (две красные точки).
Если вы хотите проверить свои ответы на тесте (перед тем, как сдать его), может быть полезно ввести каждую часть исходного уравнения абсолютного значения в ваш калькулятор как свои собственные функции; затем запросите у калькулятора точки пересечения.
Конечно, любое решение также можно проверить, подключив его обратно к исходному упражнению и подтвердив, что левая часть (левая часть) уравнения упрощается до того же значения, что и правая часть (правая часть) уравнения. уравнение. Для уравнения выше, вот мой чек:
x = −3
Левая шкала: | х | = | −3 |
= 3 = RHS
x = +3
LHS: | х | = | +3 |
= 3 = RHS
Если вы когда-либо сомневались в своем решении уравнения, попробуйте построить график или попытаться снова включить свое решение в исходный вопрос.
Проверка вашей работы всегда в порядке!
Вышеупомянутый шаг, когда уравнение абсолютного значения было переформулировано в двух формах, одна с «плюсом», а другая с «минусом», дает нам удобный способ упростить вещи: когда мы выделили абсолютное значение значение и перейти к снятию баров, мы можем разделить уравнение на два случая; мы обозначим эти случаи, поставив «минус» на противоположной стороне уравнения (для одного случая) и «плюс» на противоположной стороне (для другого). Вот как это работает:
Абсолютное значение изолировано в левой части уравнения, поэтому я уже подготовил разделение уравнения на два случая. Чтобы очистить столбцы абсолютного значения, я должен разделить уравнение на два возможных случая, по одному на случай, если содержимое столбцов абсолютного значения (то есть, если «аргумент» абсолютного значения) является отрицательным, и если он неотрицательный (то есть положительный или нулевой). Для этого я создаю два новых уравнения, единственная разница между которыми заключается в знаке в правой части.
Во-первых, я сделаю «минус» случай:
x + 2 = -7
x + 2 = -7
x = -9
:
x + 2 = 7
x = 5
Теперь мне нужно проверить свои решения. Я сделаю это, подставив их обратно в исходное уравнение, поскольку оценщик не может видеть, как я проверяю графики на своем графическом калькуляторе.
x = −9:
Левая сторона: |(−9) + 2|
= |−7| = 7 = RHS
x = 5:
LHS: |(5) + 2|
= |7| = 7 = RHS
Оба решения проверяются, поэтому мой ответ таков:
x = −9, 5
Во-первых, я выделю абсолютную часть уравнения; то есть я получу выражение абсолютного значения с одной стороны знака «равно», а все остальное с другой стороны:
| 2 х — 3 | − 4 = 3
| 2 х − 3 | = 7
Теперь я уберу столбцы абсолютного значения, разделив уравнение на два случая, по одному для каждого знака аргумента.
2 x — 3 = -7
2 x = -4
x = -2
:
2 x − 3 = 7
2 x = 10
x = 5
Упражнение не говорит мне проверять, поэтому я не буду. (Но если бы я захотел, я мог бы подставить «abs(2X−3)−4» и «3» в свой калькулятор (как Y1 и Y2 соответственно) и увидеть, что точки пересечения находятся на моих 9 точках.0019 x -значения.) Мой ответ:
x = −2, 5
URL: https://www.purplemath.com/modules/solveabs.htm
Страница 2 Страница 3 Операторные уравнения на модулях Гильберта C* II
Брейден Х.: Уравнения A Т Х ± Х T A = B . СИАМ Дж. Матричный анал. заявл. 20 , 295–302 (1998)
Статья МАТЕМАТИКА MathSciNet Google Scholar
«>Чой М.Д., Чендлер Д.: Теорема спектрального отображения для совместного аппроксимирующего точечного спектра. Бык. Являюсь. Мат. соц. 80 , 317–321 (1974)
Статья МАТЕМАТИКА Google Scholar
Чой М.Д., Холбрук Дж.А., Крибс Д.В., Жычковски К.: Численные диапазоны высших рангов унитарных и нормальных матриц. Опер. Матрицы 1 , 409–426 (2007)
МАТЕМАТИКА MathSciNet Google Scholar
Чой М.Д., Крибс Д.В., Жычковски К.: Коды квантовой коррекции ошибок на основе формализма сжатия. Респ. Матем. физ. 58 , 77–86 (2006)
Статья МАТЕМАТИКА MathSciNet Google Scholar
Чой М.Д., Крибс Д.В., Жычковски К.: Численные диапазоны более высокого ранга и проблемы сжатия. Приложение линейной алгебры. 418 , 828–839 (2006)
Статья МАТЕМАТИКА MathSciNet Google Scholar
«>Чой М.Д., Крибс Д.В.: Метод нахождения квантовых бесшумных подсистем. физ. Преподобный Летт. 96 , 050501–050504 (2006)
Артикул Google Scholar
Чой М.Д., Ли С.К.: Окончательная оценка верхней границы нормы для суммирования операторов. Дж. Функц. Анальный. 232 , 455–476 (2006)
Статья МАТЕМАТИКА MathSciNet Google Scholar
Цветкович-Илич Д.С.: Пересчитать решения матричного уравнения AXB = C . Дж. Ост. Мат. соц. 84 , 63–72 (2008)
МАТЕМАТИКА MathSciNet Google Scholar
Цветкович-Илич Д.С., Дайич А., Колиха Ю.Ю.: Положительные и вещественно-положительные решения уравнения axa * = c в C *-алгебрах. Линейная полилинейная алгебра 55 , 535–543 (2007)
Статья МАТЕМАТИКА MathSciNet Google Scholar
«>Кросс Р.В.: О возмущении неограниченных линейных операторов с топологически дополняемыми образами. Дж. Функц. Анальный. 92 , 468–473 (1990)
Статья МАТЕМАТИКА MathSciNet Google Scholar
Крузе М.: Численный диапазон и функциональное исчисление в гильбертовом пространстве. Дж. Функц. Анальный. 244 , 668–690 (2007)
Статья МАТЕМАТИКА MathSciNet Google Scholar
Дайич А., Колиха Ю.Ю.: Положительные решения уравнений AX = C и XB = D для операторов гильбертова пространства. Дж. Матем. Анальный. заявл. 333 , 567–576 (2007)
Артикул МАТЕМАТИКА MathSciNet Google Scholar
Джорджевич Д.С.: Явное решение операторного уравнения A * X + X * A = B .
Дж. Вычисл. заявл. Мат. 200 , 701–704 (2007)
Статья МАТЕМАТИКА MathSciNet Google Scholar
Клык X.: Представление топологического группоида. Акта Математика. Грех. 39 , 6–15 (1996)
МАТЕМАТИКА Google Scholar
Клык X.: Индуцированное представление C*-группоидной динамической системы. Подбородок. Анна. Мат. (Б) 17 , 103–114 (1996)
МАТЕМАТИКА Google Scholar
Фанг Х.: Реализация мультипликаторного бимодуля Гильберта на пространстве бидулей и теорема Титце о продолжении. Подбородок. Анна. Матем.(Б) 21 , 375–380 (2000)
Артикул МАТЕМАТИКА Google Scholar
Fang X., Yu J., Yao H.: Решения операторных уравнений Гильберта C *-модули.
Приложение линейной алгебры. 431 , 2142–2153 (2009)
Статья МАТЕМАТИКА MathSciNet Google Scholar
Гросс Дж.: Явные решения матричной обратной задачи AX = B . Приложение линейной алгебры. 289 , 131–134 (1999)
Статья МАТЕМАТИКА MathSciNet Google Scholar
Гирибет Дж.И., Маэстрипьери А., Периа Ф.М.: Замыкающие самосопряженные операторы в гильбертовых пространствах. Приложение линейной алгебры. 428 , 1899–1911 (2008)
МАТЕМАТИКА MathSciNet Google Scholar
Хансен А.К.: Об аппроксимации спектров линейных операторов в гильбертовых пространствах. Дж. Функц. Анальный. 254 , 2092–2126 (2008)
Статья МАТЕМАТИКА MathSciNet Google Scholar
«>Дженсен К.К., Томсен К.: Элементы КК-теории. Биркхаузер, Бостон (1991)
МАТЕМАТИКА Google Scholar
Караев М.Т.: Символ Березина и обратимость операторов в функциональных гильбертовых пространствах. Дж. Функц. Анальный. 238 , 181–192 (2006)
Статья МАТЕМАТИКА MathSciNet Google Scholar
Хатри К.Г., Митра С.К.: Эрмитовы и неотрицательно определенные решения линейных матричных уравнений. СИАМ Дж. Заявл. Мат. 31 , 579–585 (1976)
Статья МАТЕМАТИКА MathSciNet Google Scholar
Лэнс Э.К.: Гильберт C *-Модули: набор инструментов для операторов алгебры. Издательство Кембриджского университета, Кембридж (1995)
Книга Google Scholar
«>Лаузон М.М., Трейл С.: Общие дополнения двух подпространств гильбертова пространства. Дж. Функц. Анальный. 212 , 500–512 (2004)
Статья МАТЕМАТИКА MathSciNet Google Scholar
Ли С.К., Цинг Н.К.: О диапазоне чисел k -й матрицы. Линейная полилинейная алгебра 28 , 229–239 (1991)
Статья MathSciNet Google Scholar
Wegge-Olsen NE: K-теория и C *-Алгебры: дружественный подход. Издательство Оксфордского университета, Оксфорд (1993)
Google Scholar
Ван К., Ян К.: Ре-неотрицательно определенные решения матричного уравнения AXB = C . Комментарий. Мат. ун-т Каролина 39 , 7–13 (1998)
МАТЕМАТИКА Google Scholar
«>Сюй Q.: Общие эрмитовы и положительные решения присоединяемых операторных уравнений AX = C , XB = D . Приложение линейной алгебры. 429 , 1–11 (2008)
Статья МАТЕМАТИКА MathSciNet Google Scholar
Сюй К., Шэн Л., Гу Ю.: Решения некоторых операторных уравнений. Приложение линейной алгебры. 429 , 1997–2024 (2008)
Статья МАТЕМАТИКА MathSciNet Google Scholar
Сюй К., Шэн Л.: Положительно полуопределенные матрицы присоединяемых операторов на гильбертовых C *-модулях. Приложение линейной алгебры. 428 , 992–1000 (2008)
Статья МАТЕМАТИКА MathSciNet Google Scholar
Юань Ю.: Разрешимость класса матричных уравнений и их приложений. Дж.