Уравнения математической физики, с примерами
Дифференциальные уравнения математической физики
Математические модели естественнонаучных явлений и процессов зачастую представляют собой задачи, содержащие дифференциальные уравнения с частными производными первого и второго порядков. Дифференциальные уравнения существенные для физики, механики техники называют дифференциальными уравнениями математической физики.
Каждое уравнение математической физики описывает бесконечное множество качественно аналогичных явлений или процессов, так как дифференциальные уравнения, которыми занимается математическая физика, имеют бесконечное множество частных решений. Конкретное решение, описывающее рассматриваемое физическое явление, выделяется из множества частных решений с помощью начальных и граничных условий.
Общий вид дифференциального уравнения в частных производных первого порядка относительно неизвестной искомой функции таков:
Если F является линейной функцией относительно старших производных, то есть:
данное уравнение называется квазилинейным дифференциальным уравнением.
Если функции не зависят от u, а зависимость P от u линейна, то есть , тогда уравнение (2) называется линейным. Если , то уравнение (2) называется однородным линейным дифференциальным уравнением в частных производных первого порядка.
Решений уравнений математической физики
Рассмотрим квазилинейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка:
Для получения общего решения уравнения (3) рассматривают характеристическую систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
Если с=0, то система сводится к одному уравнению .
Если общий интеграл уравнения, тогда – общее решение.
Само дифференциальное уравнение содержит в себе только самую общую информацию об описываемом процессе. Необходимо задание начальных и граничных условий, для конкретизации.
Дифференциальные уравнения математической физики второго порядка
Большое количество процессов и явлений в физике описывается с помощью дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных, это связано с тем, что фундаментальные законы физики – законы сохранения – записываются в терминах вторых производных.
Методы решения уравнений математической физики зависят от типа к которому принадлежит рассматриваемое уравнение. Выделяют три основных типа дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка, поиск решения которых имеют качественные различия: уравнения параболического, гиперболического и эллиптического типов.
Рассмотрим линейное уравнение с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными:
где a, b, c некоторые функции от x, y, имеющие непрерывные производные до второго порядка включительно.
Уравнение (5) принадлежит в точке (x, y)
- параболическому типу, если Канонический вид такого уравнения:
где — независимые переменные. Кроме того — дважды дифференцируемая функция в рассматриваемой области. Уравнение (6) так же как и уравнение теплопроводности имеет только один член высшей производной.
- гиперболическому типу, если Канонический вид такого уравнения:
первая каноническая форма:
где — независимые переменные,
вторая каноническая форма:
где .
Левая часть уравнения (8) полностью совпадает с частью волнового уравнения. - эллиптическому типу, если Канонический вид такого уравнения:
где — независимые переменные. Левая часть этого уравнения совпадает с левой частью уравнения Лапласа.
Левая часть уравнения (8) полностью совпадает с частью волнового уравнения.Для того чтобы привести уравнение (5) к каноническому виду, надо записать так называемое характеристическое уравнение (10):
которое распадается на два уравнения:
и найти их общие интегралы.
В общем случае линейное уравнение с частными производными второго порядка параболического типа с n независимыми переменными можно записать так:
где
Уравнения параболического типа описывают неустановившиеся тепловые, диффузионные процессы, которые зависят от времени.
Уравнение (13) называют однородным, если =0.
Довольно часто при решении уравнения (13) ставят так называемую задачу Коши.
В которой, требуется найти функцию w, удовлетворяющую уравнению (13) (при -эвклидово пространство) и начальном условии w=f(x) при t=0 и граничному условию:
В общем случае — линейный дифференциальный оператор первого порядка по пространственным переменным, коэффициенты которого зависят от x и t.
Начальное условие называют однородным, если f(x)=0. Граничное условие называют однородным, если .
В общем случае линейное уравнение с частными производными второго порядка гиперболического типа с n независимыми переменными можно записать так:
где линейный дифференциальный оператор определен формулам (14). Уравнениями гиперболического типа описываются неустановившиеся волновые процессы, зависящие от времени.
При решении уравнения (15) ставят задачу Коши. В которой, требуется найти функцию w, удовлетворяющую уравнению (15) (при и начальным условиям:
Граничные условия задаются (14).
Уравнения эллиптического типа
В общем случае линейное уравнение с частными производными второго порядка эллиптического типа с n независимыми переменными можно записать в виде:
где
Уравнения эллиптического типа описывают установившиеся тепловые, диффузионные и другие процессы, которые не зависят от времени.
Уравнение (18) называется однородным, если
Граничные условия для эллиптического уравнения записывают так:
В общем случае — линейный дифференциальный оператор первого порядка.
Наиболее часто в прикладных примерах при описании различных процессов, происходящих в изотропных средах коэффициенты
таковыми и мы будем считать коэффициенты .
Для любых уравнений в частных производных второго порядка в зависимости от вида граничных условий принято выделять четыре типа краевых задач.
Первая краевая задача. На границе области S функция w(x,t) принимает заданные значения:
Вторая краевая задача. На границе области S задается производная по (внешней) нормали:
Третья краевая задача. На границе области S задана линейная связь между искомой функцией и ее производной по нормали:
Чаще всего В задачах массопереноса, где w – концентрация, граничное условие (22) при описывает поверхностную химическую реакцию.
Смешанные краевые задачи. В этом случае на различных участках границы S задают различные граничные условия.
Методы решения уравнений математической физики
Все методы решения уравнений математической физики можно разделить на две большие группы:
- аналитические методы решения уравнений, которые основаны на сведении уравнения в частных производных к обыкновенному или системе обыкновенных уравнений;
- численные методы решения (с помощью ЭВМ).
Среди аналитических методов решения уравнений следует выделить:
- Метод характеристик.
- Метод разделения переменных.
- Метод Фурье.
- Метод Деламбера.
- Метод интегральных преобразований.
- Преобразование Лапласа.
- Представление решений через функцию Грина.
Среди численных методов решения уравнений математической физики следует выделить:
- метод сеток;
- метод конечных разностей;
- методы расщепления: метод переменных направлений, метод дробных шагов;
- методы Эйлера;
- методы Рунге-Кутта;
- метод Адамса;
- символьно-численный метод.
Примеры решения задач
Уравнения и формулы физики — макеты
Физика заполнена уравнениями и формулами, которые имеют дело с угловым движением, двигателями Карно, жидкостями, силами, моментами инерции, линейным движением, простым гармоническим движением, термодинамикой, работой и энергией.
Вот список некоторых важных физических формул и уравнений, которые следует держать под рукой, упорядоченных по темам, чтобы вам не приходилось искать их.
Угловое движение
Уравнения углового движения применимы везде, где есть вращательные движения вокруг оси. Когда объект повернулся на угол θ с угловой скоростью ω и угловым ускорением α , то вы можете использовать эти уравнения, чтобы связать эти значения вместе.
Для измерения угла необходимо использовать радианы. Кроме того, если вы знаете, что расстояние от оси равно r, , то вы можете вычислить пройденное линейное расстояние, с , скорость, v , центростремительное ускорение, a c и силу , Ф с .
Когда объект с моментом инерции I (угловой эквивалент массы) имеет угловое ускорение α , тогда возникает чистый крутящий момент Στ.
Двигатели Карно
Тепловая машина берет тепло Q h от высокотемпературного источника при температуре T h и перемещает его к низкотемпературному стоку (температура T 9 0 ) по курсу Q c и при этом выполняет механическую работу, W . (Этот процесс можно обратить вспять, так что можно выполнить работу по перемещению тепла в противоположном направлении — тепловой насос.) Количество выполненной работы пропорционально количеству тепла, извлеченного из источника тепла, является КПД двигателя. Двигатель Карно является обратимым и имеет максимально возможный КПД, определяемый следующими уравнениями. Эквивалентом эффективности теплового насоса является коэффициент полезного действия.
Жидкости
Объем А, В , жидкости с массой, м , имеет плотность, ρ .
Сила, F , по площади, A , вызывает давление, P . Давление жидкости на глубине ч зависит от плотности и гравитационной постоянной, г . Объекты, погруженные в жидкость, создающие массу веса, Вт вода вытесненные , создают направленную вверх выталкивающую силу, F плавучесть . Из-за сохранения массы объемный расход жидкости, движущейся со скоростью v , через площадь поперечного сечения A , является постоянным. Уравнение Бернулли связывает давление и скорость жидкости.
Сил
Масса А, м , ускоряется со скоростью, a , из-за силы, F , действующей. Силы трения, F F , пропорциональны нормальной силе между материалами, F Н , с коэффициентом трения мк.
Две массы, M 1 и M 2 , разделенные на расстояние, R , притягивает друг друга гравитационной силой, приведенным следующим уравнением, в продовольственных гравитационная постоянная Г :
Моменты инерции
Вращательный эквивалент массы — это инерция, I , , которая зависит от того, как масса объекта распределена в пространстве. Здесь показаны моменты инерции для различных форм:
Диск, вращающийся вокруг своего центра:
Полый цилиндр, вращающийся вокруг своего центра: I = mr 2
Полая сфера, вращающаяся с осью, проходящей через ее центр:
Обруч, вращающийся вокруг своего центра: I = mr 2
Точечная масса, вращающаяся на радиусе r: I = mr 2
Прямоугольник, вращающийся вокруг оси вдоль одного края, где другой край имеет длину r :
Прямоугольник, вращающийся вокруг оси, параллельной одному краю и проходящей через центр, где длина другого края равна г :
Стержень, вращающийся вокруг оси, перпендикулярной ему и проходящей через его центр:
Стержень, вращающийся вокруг оси, перпендикулярной ей и через один конец:
Сплошной цилиндр, вращающийся вокруг оси вдоль ее центральной линии:
Кинетическая энергия вращающегося тела с моментом инерции I и угловой скоростью ω :
Угловой момент вращающегося тела с моментом инерции, I , а угловая скорость ω :
Линейное движение
Когда объект в положении x движется со скоростью v , и ускорением a, в результате перемещения s , каждый из этих компонентов связан следующими уравнениями:
Простое гармоническое движение
Определенные виды силы приводят к периодическому движению, когда объект повторяет свое движение с периодом, T , с угловой частотой ω, и амплитудой A .
Одним из примеров такой силы является пружина с жесткостью k . Положение
Термодинамика
Беспорядочные колебательные и вращательные движения молекул, составляющих объект вещества, обладают энергией; эта энергия называется тепловая энергия. Когда тепловая энергия перемещается из одного места в другое, она называется теплотой, Q . Когда объект получает некоторое количество тепла, его температура T , повышается.
Кельвина ( K ), Цельсия ( C ) и Фаренгейта (F ) — это температурные шкалы. Вы можете использовать эти формулы для преобразования одной температурной шкалы в другую:
Теплота, необходимая для изменения температуры массы, m , увеличивается с константой пропорциональности, c , называется удельной теплоемкостью.
В стержне из материала с площадью поперечного сечения A , длиной L и разностью температур на концах ΔT существует тепловой поток за время t , , определяемый выражением эти формулы:
Давление, P , и объем, V , из n молей идеального газа при температуре T определяется по этой формуле, где R — газовая постоянная:
В идеальном газе средняя энергия каждой молекулы KE avg пропорциональна температуре с постоянной Больцмана k :
Работа и энергия
Когда сила, F , перемещает объект на расстояние с , которое находится под углом Θ ,затем работа, W , выполнена. Импульс p является произведением массы m , и скорости v . Энергия, которой объект обладает благодаря своему движению, называется KE .
часто используемых уравнений – Гиперучебник по физике
[закрыть]
Механика
| уравнения движения |
|---|
| v = v 0 + at s = s 0 + v 0 t + 1 9 2 | 5 at
| работа | |||
|---|---|---|---|
| Вт = F ∆ с cos θ | |||
|
| питание | |||
|---|---|---|---|
| |||
|
| уравнения вращения |
|---|
| θ = θ 0 + ω 0 t + ½α t 2 ω 2 = ω 0 2 + 2α(θ − θ 0 ) ω = 1/2 (ω 6 6 0 900) 8 |
| крутящий момент |
|---|
| τ = rF sin θ |
| τ = r × F |
Теплофизика
| КПД | 9 | 9 904 0519 η реальный = 1 − | Q C |
|---|
| Q H |
| ? 15 Т С |
| T H |
c. |
|---|