Уравнения производной: Решение квадратных уравнений через производные / Хабр

alexxlab / / Разное

Решение квадратных уравнений через производные / Хабр

Здравствуйте, уважаемые читатели. После прочтения статьи у вас, вероятно, возникнет закономерный вопрос: «А зачем, собственно, это надо?». В силу этого сперва считаю необходимым заблаговременно сообщить, что искомый метод решения квадратных уравнений представлен скорее с морально-эстетической стороны математики, нежели со стороны практического сухого применения. Также заранее извиняюсь перед теми читателями, которые посчитают мои дилетантские изречения неприемлемыми. Итак, начнем забивать гвозди микроскопом.

Имеем алгебраическое уравнение второй степени (оно же квадратное) в общем виде:

Перейдем от квадратного уравнения к квадратичной функции:

Где, очевидно, необходимо найти такие значения аргумента функции, в которых оная возвратила бы ноль.

Кажется, нужно просто решить квадратное уравнение с помощью теоремы Виета или через дискриминант. Но мы ведь собрались здесь не для этого. Давайте-ка лучше возьмем производную!


Исходя из определения физического смысла производной первого порядка ясно, что подставляя аргумент в получившуюся выше функцию мы (в частности) получим скорость изменения функции в заданной этим аргументом точке.

Что же дальше делать? Непонятно. А в любом непонятном случае нужно брать производную ещё раз:

На этот раз мы получили «скорость скорости» изменения функции (то бишь ускорение) в конкретной точке. Немного проанализировав полученное, можно сделать вывод, что «ускорением» является константа, которая не зависит от аргумента функции — запомним это.

Сейчас вспомним немного физику и равноускоренное движение (РУД). Что у нас есть в арсенале? Верно, имеется формула для определения координаты перемещения по оси при искомом движении:

Где — время, — начальная скорость, — ускорение.
Нетрудно заметить, что наша изначальная функция как раз представляет из себя РУД.

Разве формула перемещения для РУД не является следствием решения квадратного уравнения?

Нет. Формула для РУД выше по факту есть результат взятия интеграла от формулы скорости при ПРУД. Или из графика можно найти площадь фигуры. Там вылезет трапеция.
Формула перемещения при РУД не вытекает из решения каких-либо квадратных уравнений. Это очень важно, иначе не было бы смысла статьи.

Теперь осталось разобраться что есть что, и чего нам не хватает.

«Ускорение» у нас уже есть — им является производная второго порядка , выведенная выше. А вот чтобы получить начальную скорость , нам нужно взять в общем-то любой (обозначим его как ) и подставить его в производную теперь уже первого порядка — ибо она и будет искомым.

В таком случае возникает вопрос, какой же нужно взять? Очевидно, такой, чтобы начальная скорость была равна нулю, чтобы формула «перемещения при РУД» стала иметь вид:

В таком случае составим уравнение для поиска :

[подставили в производную первого порядка ]

Корнем такого уравнения относительно будет:

А значением исходной функции при таком аргументе будет:

Вспомним, какой целью мы задались в самом начале: «необходимо найти такие значения аргумента функции, в которых оная возвратила бы ноль». Иными словами, нам от положения необходимо «дойти до нуля».

Так как теперь нам известна начальная скорость, ускорение и какой путь необходимо пройти, то настало время отметить следующее:

, также как и

Тогда, подставив все известные величины, получим:

Поделим все на :

Теперь становится очевидно, что:

Соединим все «детали пазла» воедино:

Вот мы и получили окончательное решение поставленной задачи. Вообще Америку мы не открыли — мы просто пришли к формуле решения квадратного уравнения через дискриминант окольными путями. Практического смысла это не несет (примерно таким же образом можно решать уравнения первой/второй степени любого (не обязательно общего) вида).

Целью этой статьи является, в частности, подогрев интереса к анализу мат. функций и вообще к математике.

С вами был Петр, спасибо за внимание!

Производные: значения функций, решение уравнений

Производные значения функций

Определение

Производная функции — это основное понятие дифференциального исчисления значений. {2}}\].

Пример №2:

Нужно вычислить приблизительное значение заданной функции arctg 1.02. При этом производя замену приращения функции ее дифференциалом. 

Рассмотрим подробно функцию y= arctg x.

Для данной функции нужно вычислить значение в точке равной 1,02.

Для этого выразим функцию в следующем выражении: \[x=x_{0}+\Delta x\].

Значения двух точек \[\mathrm{x}_{0}\]и \[\Delta x\] подбираются таким образом, чтобы при вычислении значений функции и ее производных было легко проводить расчеты. При этом желательно числа выбирать так, чтобы значение \[\Delta x\]. было достаточно минимальным по значению.

Учитывая все требования можно сделать следующий вывод:

\[x=1.02=1+0.02\] , а именно \[ x_{0}=1 \text { и } \Delta x=0,02 .\]

Определим значения для заданной функции y= arctg x в первой точке равной \[\mathrm{x}_{0} = 1\]

\[y\left(x_{0}\right)=y(1)=\operatorname{arctg} 1=\frac{\pi}{4}\]. {4}}\]

Производные формулы и приложения для вырожденных стохастических дифференциальных уравнений с дробными шумами

  • Алос, Э., Мазе, О., Нуаларт, Д.: Стохастическое исчисление по отношению к гауссовым процессам. Энн. Вероятно. 29 , 766–801 (2001)

    Статья MathSciNet МАТЕМАТИКА Google Scholar

  • Арнодон, М., Талмайер, А., Ван, Ф.Ю.: Градиентные оценки и неравенства Харнака на некомпактных римановых многообразиях. стох. Процесс. заявл. 119 , 3653–3670 (2009)

    Статья MathSciNet МАТЕМАТИКА Google Scholar

  • Аяче, А., Ши, Н.Р., Сяо, Ю.М.: Многопараметрическое многофракционное броуновское движение: локальный недетерминизм и совместная непрерывность местного времени. Энн. Инст. А. Пуанкаре, вероятно. Стат.

    47 , 1029–1054 (2011)

    Статья MathSciNet МАТЕМАТИКА Google Scholar

  • «>

    Бао, Дж., Ван, Ф.Ю., Юань, К.: Формула производной и неравенство Харнака для вырожденных функциональных СДУ. стох. Дин. 13 , 1–22 (2013)

    Статья MathSciNet МАТЕМАТИКА Google Scholar

  • Бао, Дж., Ван, Ф.Ю., Юань, К.: Формулы висмута и приложения для функциональных SPDE. Бык. науч. Мат. 137 , 509–522 (2013)

    Статья MathSciNet МАТЕМАТИКА Google Scholar

  • Бодуэн, Ф., Оуян, К.: Ядерное разложение с малым временем для решений стохастических дифференциальных уравнений, управляемых дробными броуновскими движениями. стох. Процесс. заявл.

    121 , 759–792 (2011)

    Статья MathSciNet МАТЕМАТИКА Google Scholar

  • Бодуэн, Ф., Оуян, К., Тиндел, С.: Верхние границы плотности решений стохастических дифференциальных уравнений, управляемых дробными броуновскими движениями. Энн. Инст. А. Пуанкаре, вероятно. Стат. 50 , 111–135 (2014)

    Статья MathSciNet МАТЕМАТИКА Google Scholar

  • Биаджини Ф., Ху Ю., Оксендал Б., Чжан Т.: Стохастическое исчисление дробного броуновского движения и приложения. Спрингер, Лондон (2008)

    Книга МАТЕМАТИКА Google Scholar

  • Бисмут, Дж. М.: Большое отклонение и исчисление Маллявена. Биркхойзер, Бостон (1984)

    МАТЕМАТИКА Google Scholar

  • Кутин Л., Цянь З.: Стохастический анализ, анализ грубых траекторий и дробные броуновские движения. Вероятно. Теория отн. Поля 122 , 108–140 (2002)

    Статья MathSciNet МАТЕМАТИКА Google Scholar

  • Да Прато, Г., Рёкнер, М., Ван, Ф. Ю.: Сингулярные стохастические уравнения в гильбертовом пространстве: неравенства Харнака для их полугрупп переходов. Дж. Функц. Анальный. 257 , 992–1017 (2009)

    Статья MathSciNet МАТЕМАТИКА Google Scholar

  • Decreusefond, L., Üstünel, A.S.: Стохастический анализ дробного броуновского движения. Потенциальный анал. 10 , 177–214 (1998)

    Статья MathSciNet МАТЕМАТИКА Google Scholar

  • Донг, З., Се, Ю.: Эргодичность линейного SPDE, управляемая шумом Леви. Дж. Сист. науч. Комплекс 23 , 137–152 (2010)

    Статья MathSciNet МАТЕМАТИКА Google Scholar

  • Драйвер, B.: Повторное рассмотрение интеграции по частям для измерения теплового ядра. Дж. Матем. Чистый Appl. 76 , 703–737 (1997)

    Статья MathSciNet МАТЕМАТИКА Google Scholar

  • «>

    Элворти, К.Д., Ли, X.М.: Формулы для производных тепловых полугрупп. Дж. Функц. Анальный. 125 , 252–286 (1994)

    Статья MathSciNet МАТЕМАТИКА Google Scholar

  • Fan, XL: Неравенство Харнака и формула производной для SDE, обусловленного дробным броуновским движением. науч. Китайская математика.

    561 , 515–524 (2013)

    Статья MathSciNet МАТЕМАТИКА Google Scholar

  • Fan, XL: Формула интегрирования по частям и приложения для SDE, управляемых дробными броуновскими движениями. стох. Анальный. заявл. 33 , 199–212 (2015)

    Статья MathSciNet МАТЕМАТИКА Google Scholar

  • Fan, XL: Логарифмические неравенства Соболева для дробной диффузии. Статист. Вероятно. лат. 106 , 165–172 (2015)

    Статья MathSciNet МАТЕМАТИКА Google Scholar

  • «>

    Фан, С.Л., Рен, Ю.: Формулы Висмута и приложения для стохастических (функциональных) дифференциальных уравнений, управляемых дробными броуновскими движениями. стох. Дин.

    7 , 19 (2017)

    МАТЕМАТИКА Google Scholar

  • Фанг, С., Ли, Х., Луо, Д.: Тепловые полугруппы и обобщенные потоки на полных римановых многообразиях. Бык. науч. Мат. 135 , 565–600 (2011)

    Статья MathSciNet МАТЕМАТИКА Google Scholar

  • Гуйлин, А., Ван, Ф.Ю.: Вырожденные уравнения Фоккера – Планка: формула Висмута, градиентная оценка и неравенство Харнака. Дж. Дифференц. Экв. 253 , 20–40 (2012)

    Статья MathSciNet МАТЕМАТИКА Google Scholar

  • Хайрер, М.: Эргодичность стохастических дифференциальных уравнений, управляемых дробным броуновским движением. Энн. Вероятно. 33 , 703–758 (2005)

    Статья MathSciNet МАТЕМАТИКА Google Scholar

  • Хайрер, М., Пиллаи, Н.С.: Эргодичность гипоэллиптических СДУ, обусловленных дробным броуновским движением. Энн. Инст. А. Пуанкаре, вероятно. Стат. 47 , 601–628 (2011)

    Статья MathSciNet МАТЕМАТИКА Google Scholar

  • Харамильо, А., Нуаларт, Д.: Асимптотические свойства производной местного времени самопересечения дробного броуновского движения. стох. Процесс. заявл. 127 , 669–700 (2017)

    Артикул MathSciNet МАТЕМАТИКА Google Scholar

  • Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики. Биркхойзер, Бостон (1988)

    Книга МАТЕМАТИКА Google Scholar

  • «>

    Нурдин И., Саймон Т.: Об абсолютной непрерывности одномерных СДУ, приводимых в движение дробным броуновским движением. Стат. Вероятно. лат. 76 , 907–912 (2006)

    Статья MathSciNet МАТЕМАТИКА Google Scholar

  • Нуаларт, Д.: Исчисление Маллявена и смежные темы, 2-е изд. Спрингер, Берлин (2006)

    МАТЕМАТИКА Google Scholar

  • Нуаларт, Д., Оукнин, Ю.: Регуляризация дифференциальных уравнений дробным шумом. стох. Процесс. заявл. 102 , 103–116 (2002)

    Статья MathSciNet МАТЕМАТИКА Google Scholar

  • Нуаларт, Д., Рэшкану, А.: Дифференциальные уравнения, основанные на дробном броуновском движении. Собирать. Мат. 53 , 55–81 (2002)

    MathSciNet МАТЕМАТИКА Google Scholar

  • «>

    Нуаларт, Д., Соссеро, Б.: Исчисление Маллявена для стохастических дифференциальных уравнений, управляемых дробным броуновским движением. стох. Процесс. заявл. 119 , 391–409 (2009)

    Статья MathSciNet МАТЕМАТИКА Google Scholar

  • Приола, Э.: Формулы для производных вырожденных диффузионных полугрупп. Дж. Эвол. Экв. 6 , 577–600 (2006)

    Статья MathSciNet МАТЕМАТИКА Google Scholar

  • Салофф-Кост, Л.: Сходимость к равновесию и логарифмическая постоянная Соболева на многообразиях с ограниченной снизу кривизной Риччи. Коллок. Мат. 67 , 109–121 (1994)

    Статья MathSciNet МАТЕМАТИКА Google Scholar

  • Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Дробные интегралы и производные, теория и приложения. Издательство Gordon and Breach Science Publishers, Yvendon (1993)

    МАТЕМАТИКА Google Scholar

  • Соссеро, Б.: Транспортные неравенства для стохастических дифференциальных уравнений, управляемых дробным броуновским движением. Бернулли 18 , 1–23 (2012)

    Статья MathSciNet МАТЕМАТИКА Google Scholar

  • Ван, Ф.Ю.: Производная формула и неравенство Харнака для СДУ, управляемых процессами Леви. стох. Анальный. заявл. 32 , 30–49 (2014)

    Статья MathSciNet МАТЕМАТИКА Google Scholar

  • Ван, Ф.Ю.: Неравенства Харнака для стохастических дифференциальных уравнений в частных производных. Springer, Берлин (2013)

    Книга МАТЕМАТИКА Google Scholar

  • «>

    Ван, Ф.Ю., Сюй, Л.: Производные формулы и приложения для гипердиссипативных стохастических уравнений Навье – Стокса/Бюргерса. инф. Размеры. Анальный. Квантовая вероятность. Относ. Вершина. 15 , 1–19 (2012)

    Статья Google Scholar

  • Wang, FY, Zhang, XC: Формула производной и приложения для вырожденных диффузионных полугрупп. Дж. Матем. Чистый Appl. 99 , 726–740 (2013)

    Статья MathSciNet МАТЕМАТИКА Google Scholar

  • Ян, Л.Т.: Дробная производная для дробного броуновского местного времени. Мат. З. 283 , 437–468 (2016)

    Статья MathSciNet МАТЕМАТИКА Google Scholar

  • Янг, Л.К.: Неравенство типа Гельдера, связанное с интегрированием Стилтьеса. Акта Математика. 67 , 251–282 (1936)

    Артикул MathSciNet МАТЕМАТИКА Google Scholar

  • «>

    Цэле, М.: Интегрирование с учетом фрактальных функций и стохастического исчисления I. Вероятность. Теория отн. Поля 111 , 333–374 (1998)

    Статья MathSciNet МАТЕМАТИКА Google Scholar

  • Чжан, С.К.: Неравенство Харнака для полулинейных SPDE с мультипликативным шумом. Стат. Вероятно. лат. 83 , 1184–1192 (2013)

    Статья MathSciNet МАТЕМАТИКА Google Scholar

  • Чжан, XC: Стохастические потоки и формулы Бисмута для стохастических гамильтоновых систем. стох. Процесс. заявл. 120 , 1929–1949 (2010)

    Статья MathSciNet МАТЕМАТИКА Google Scholar

    • §22.13 Производные и дифференциальные уравнения ‣ Свойства ‣ Глава 22 Эллиптические функции Якоби

    Содержимое
    1. §22.13(i) Производные инструменты
    2. §22. 13(ii) Дифференциальные уравнения первого порядка
    3. §22.13(iii) Дифференциальные уравнения второго порядка

    §22.13(i) Производные

    Таблица 22.13.1: Производные эллиптических функций Якоби по переменной.

    Обратите внимание, что каждая производная в таблице 22.13.1 постоянно кратна произведение соответствующих кополярных функций. (Модуль k опущен во всей таблице.)

    Альтернативные и симметричные формулировки этих результатов см. Карлсон (2004, 2006а) .

    §22.13(ii) Дифференциальные уравнения первого порядка

    22.13.1 (ддз⁡сн⁡(г,к))2 = (1−sn2⁡(z,k))⁢(1−k2⁢sn2⁡(z,k)),
    22.13.2 (ддз⁡сп⁡(г,к))2 = (1−cn2⁡(z,k))⁢(k′2+k2⁢cn2⁡(z,k)),
    22.13.3 (ддз⁡дн⁡(г,к))2 =(1−dn2⁡(z,k))⁢(dn2⁡(z,k)−k′2).
    22.13.4 (ддз⁡кд⁡(г,к))2 = (1−cd2⁡(z,k))⁢(1−k2⁢cd2⁡(z,k)),
    22.13.5 (ддз⁡сд⁡(г,к))2 = (1−k′2⁢sd2⁡(z,k))⁢(1+k2⁢sd2⁡(z,k)),
    22.13.6 (ddz⁡nd⁡(z,k))2 = (nd2⁡(z,k)−1)⁢(1−k′2⁢nd2⁡(z,k)),
    22.13.7 (ddz⁡dc⁡(z,k))2 =(dc2⁡(z,k)−1)⁢(dc2⁡(z,k)−k2),
    22.13.8 (ддз⁡нк⁡(г,к))2 = (k2+k′2⁢nc2⁡(z,k))⁢(nc2⁡(z,k)−1),
    22. 13.9 (ddz⁡sc⁡(z,k))2 = (1+sc2⁡(z,k))⁢(1+k′2⁢sc2⁡(z,k)),
    13.22.10 (ддз⁡нс⁡(г,к))2 =(ns2⁡(z,k)−k2)⁢(ns2⁡(z,k)−1),
    13.22.11 (ддз⁡дс⁡(г,к))2 = (ds2⁡(z,k)−k′2)⁢(k2+ds2⁡(z,k)),
    22.13.12 (ддз⁡ксс⁡(г,к))2 =(1+cs2⁡(z,k))⁢(k′2+cs2⁡(z,k)).

    Альтернативные и симметричные формулировки этих результатов см. Карлсон (2006а) .

    §22.13(iii) Дифференциальные уравнения второго порядка

    22.13.13 d2dz2⁡sn⁡(г,к) =-(1+k2)⁢sn⁡(z,k)+2⁢k2⁢sn3⁡(z,k),
    13. 22.14 d2dz2⁡сп⁡(г,к) =-(k′2−k2)⁢cn⁡(z,k)−2⁢k2⁢cn3⁡(z,k),
    22.13.15 d2dz2⁡dn⁡(г,к) =(1+k′2)⁢dn⁡(z,k)−2⁢dn3⁡(z,k).
    22.13.16 d2dz2⁡cd⁡(г,к) =-(1+k2)⁢cd⁡(z,k)+2⁢k2⁢cd3⁡(z,k),
    22.13.17 d2dz2⁡sd⁡(г,к) = (k2−k′2)⁢sd⁡(z,k)−2⁢k2⁢k′2⁢sd3⁡(z,k),
    22.13.18 d2dz2⁡nd⁡(г,к) = (1+k′2)⁢nd⁡(z,k)−2⁢k′2⁢nd3⁡(z,k),
    13.22.19 d2dz2⁡dc⁡(г, к) =-(1+k2)⁢dc⁡(z,k)+2⁢dc3⁡(z,k),
    22.

    No related posts.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

    © 2015 - 2019 Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение «Таловская средняя школа»

    Карта сайта