Иррациональные уравнения. Можно ли писать ОДЗ?
Анна Малкова
Иррациональными называются уравнения, содержащие знак корня – квадратного, кубического или n-ной степени.
Мы помним из школьной программы: как только в уравнении или неравенстве встретились корни, дроби или логарифмы – пора вспомнить про область допустимых значений (ОДЗ) уравнения или неравенства.
По определению, ОДЗ уравнения (или неравенства) – это пересечение областей определения всех функций, входящих в уравнение или неравенство.
Например, в уравнении присутствует арифметический квадратный корень . Он определен
при .
В 2018-2019 году среди учителей появилось такое мнение, что писать слова «область допустимых значений» уже не модно. И что за это даже могут снизить оценку на экзамене.
Нет, оценку не снизят. И основных понятий школьной математики никто не отменял. Однако есть еще лучший способ оформления решения – в виде цепочки равносильных переходов. Смотрите, как решать и оформлять иррациональные уравнения:
1.
Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
Выражение под корнем должно быть неотрицательно. И сам корень – величина неотрицательная. Значит, и правая часть должна быть больше или равна нуля. Следовательно, уравнение равносильно системе:
Повторим, что решение таких уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов. Если вы не очень хорошо понимаете, что такое система уравнений и совокупность уравнений, — повторите эту тему.
или
В ответ запишем меньший из корней: — 9.
Теперь уравнение, в котором есть ловушка.
2. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
Что получилось у вас? Правильный ответ: . Если у вас получилось – это был посторонний корень. Запишите решение в виде цепочки равносильных переходов, как в задаче 1, и вы поймете, что
не может быть корнем этого уравнения.
3.
Решите уравнение:
Запишем решение как цепочку равносильных преобразований. Учитесь читать такую запись и применять ее.
Произведение двух (или нескольких) множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а другие при этом не теряют смысла.
4. Решите уравнение:
Ответ: или .
А теперь сложное уравнение. Как это часто бывает, нас выручит замена переменной.
Причем новая переменная будет не одна, а целых две.
5. Решите уравнение
Найдем ОДЗ:
.
Мы можем, как в задаче 10, возвести обе части уравнения в квадрат. Но после этого придется еще раз возводить в квадрат, а это долгий способ.
Есть короткий путь!
Сделаем замену: , .
Выразим через и :
и . Это выражения можно приравнять друг к другу.
Получим систему
Решим одно из уравнений. Все равно, какое, — ведь нам надо найти .
Ответ: .
Заметим, что является также и корнем уравнения
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Иррациональные уравнения. Можно ли писать ОДЗ?» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена: 08.05.2023
Экзамены, тесты по математике. Уравнения с корнями
Уважаемые школьники, выпускники, абитуриенты, этот раздел поможет подготовиться к экзаменам, тестам, внешнему независимому тестированию по математике в 2015 году. Ответы к тестам помогут Вам понять материал и методику вычислений, систематизировать и повысить накопленный уровень знаний по математике. Решение примеров будут интересны для школьников 9, 10, 11 классов, а так же их родителей.
Задача 2.34 Решите уравнение с корнями
Если уравнение имеет один корень, впишет его в ответ; если два корня — впишите их сумму.
Решение: Задано иррациональное уравнение, поэтому сначала исследуем область определения корней:
2x+5>0; x>-5/2=-2,5
x-1>0; x<1.
Общим для двух является интервал , на нем и будем искать решение.
Возносим обе части уравнения к квадрату и упрощаем
Опять получили уравнение с корнем, чтобы избавиться иррациональности подносим к квадрату
После группировки слагаемых получим квадратное уравнение
x2-372x+3620=0.
Вычисляем дискриминант
D=3722-4*3620=123904
и корни уравнения
Оба корня принадлежат ОДЗ, следовательно по условию задачи находим их сумму
362+10=372.
Ответ: 372.
Задача 2.35 Решите уравнение
Если уравнение имеет один корень, впишет его после слова «Ответ», если несколько корней, впишет их сумму.
Решение: Имеем уравнение с корнем, поэтому выписываем ОДЗ из условия ограничения на подкорнневую функцию
x2>7/8.
Далее подносим к квадрату обе части и сводим к квадратному уравнению
8x2-7=9x2-24x+16;
x2-24x+23=0
Поскольку коэффициенты отличаются на единицу, то решение находим по теореме Виета.
(x-23)(x-1)=0;
x=23; x=1.
Поскольку x = 1 не входит в ОДЗ, то x = 23 — единственное решение уравнения.
Ответ: 23.
Задача 2.36 Решите уравнение
Если уравнение имеет несколько корней, то в ответ запишите их сумму. Если уравнение имеет один корень, то запишите его в ответ.
Решение: Для данного уравнения ОДЗ находить не будем, а лишь проверим корни в конце вычислений подстановкой. Это порой помогает сохранить несколько минут на тестах. Подносим к квадрату, чтобы избавиться иррациональности
6-4x-x2=x2+8x+16;
2*x2+12*x+10=0;
x2+6*x+5=0.
Вычисляем дискриминант и корни уравнения
D=62-4*5=36-20=16
Выполним подстановку
Один корень лишний, таким образом x=-1 – единственный корень иррационального уравнения.
Ответ: -1.
Оставайтесь с нами и подготовка к ВНО 2015 по математике останется для Вас приятным воспоминанием и сэкономит много времени и денег на репетиторов. Помощь по математике в виде готовых решений облегчит учебу всех школьников и будет хорошей инструкцией на экзаменах и тестах.
- Назад
- Вперёд
Решение радикальных уравнений с более высокими индексами | Purplemath
ConceptsSimple EqnsHarder EqnsPainful Eqns
Purplemath
Хотя большинство («почти все»?) радикальных уравнений, которые вам предстоит решить, будут включать квадратные корни, вы также можете увидеть некоторые уравнения с более высоким индексом. Они работают примерно одинаково. Например, если вам дано уравнение, в котором радикал является кубическим корнем, вы возведете в куб обе части (после выделения радикала), чтобы преобразовать уравнение в полином, который вы сможете решить.
Так как это КУБИЧЕСКИЙ корень, а не квадратный корень , я отменю радикал, возведя в куб обе части уравнения, а не возводя в квадрат: винг Расширенные радикальные уравнения
Мой ответ:
x = 16
Вы можете удивиться, почему я не проверил свое решение. Я должен проверить свои решения для уравнений, где я возведен в квадрат или где я возвел обе части уравнения в какую-то другую четную степень. Почему?
Потому что возведение в квадрат и тому подобное избавляет от знаков минус, которые могут создавать решения, которых на самом деле не существует. Но процесс решения в приведенном выше упражнении включал кубирование, которое сохраняет знаки минус. Вот почему мне не нужно было проверять.
(Примечание: если ваш инструктор хочет, чтобы вы проверяли и показывали чек для каждого упражнения, независимо от индекса вовлеченных радикалов, то проверка каждый раз является «правильным способом» для этого класса.
Если вы не знаете, что делать, спросите сейчас, до следующего теста.)
Я заметил, что «плюс один» в левой части уравнения находится за пределами кубического корня. Мне нужно переместить его в правую часть уравнения, прежде чем я возьму в куб обе стороны.
Это решение включало в себя кубирование, а не возведение в квадрат, поэтому мне (технически) не нужно проверять свое решение. Мой ответ:
x = 1/3
Поскольку это корень четвертой степени, я возведу обе части в четвертую степень. (Кроме того, поскольку это корень с четным индексом, мне обязательно нужно проверить свой ответ.)
Исходное уравнение представляло собой корень четвертой степени, и в процессе решения я возводил обе части уравнения в четвертую степень (в частности, в степень и даже ). Так что мне придется проверить свои ответы. Вот одна из проверок:
x = −1 / 2 :
Левая часть (LHS) оказалась равной правой части (RHS), так что это решение проверяет.
(Я оставлю вам проверку другого решения.) Мой ответ:
x = -½, -1/3
Между прочим, график показывает, что оба решения верны. Если мы рассмотрим левую и правую части исходного уравнения как свои собственные функции, мы получим:
График, мы получим это:
Это довольно трудно увидеть, поэтому мы увеличим среднюю часть. пока мы не будем уверены, что видим две точки пересечения (и, следовательно, два решения исходного уравнения):
Если вам интересно, почему график радикальной стороны разбит на три части, то это потому, что у нас не может быть отрицательных значений внутри корня четвертой степени. График существует только в том случае, если аргумент радикала, представляющий собой полином x 4 + 4 x 3 − x , неотрицательный. Это происходит в трех частях, когда график аргумента находится на оси x или выше:
Не стесняйтесь использовать свой графический калькулятор для подтверждения (или исправления) ваших решений.
От вас может требоваться или не требоваться графическое представление решений, но если у вас есть графический калькулятор (поэтому для рисования графиков достаточно быстро нажать несколько кнопок), вы можете использовать графики для проверки своей работы на тестах .
Поскольку кубические корни могут содержать отрицательные числа, у вас не возникнет проблем с проверкой ответов, которые вы делали с квадратными корнями. Однако у вас будут трудности с корнями четвертой, шестой, восьмой и т. д.; а именно, любой корень с четным индексом. Будьте осторожны и не забывайте проверять свои решения, когда этого требует указатель. И помните, что у вас квадрат (или куб, или что угодно) стороны уравнения, а не отдельные члены.
Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в решении радикальных уравнений. Попробуйте введенное упражнение или введите свое собственное упражнение. Затем нажмите кнопку и выберите «Найти x», чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway.
Пожалуйста, примите куки «предпочтения», чтобы включить этот виджет.
(Нажмите «Нажмите, чтобы просмотреть шаги», чтобы перейти непосредственно на сайт Mathway для платного обновления.)
URL: https://www.purplemath.com/modules/solverad5.htm
Страница 1 Страница 2 Страница 3 Страница 4
Как решить уравнение квадратного корня это значение, которое , при умножении на себя дает исходное число. Например, квадратный корень из 0 равен 0, квадратный корень из 100 равен 10, а квадратный корень из 50 равен 7,071. Иногда вы можете вычислить или просто вспомнить квадратный корень из числа, которое само по себе является «полным квадратом», то есть произведением целого числа, умноженного само на себя; по мере того, как вы продвигаетесь в учебе, вы, вероятно, разработаете в уме список этих чисел (1, 4, 9, 25, 36 . . .).
Задачи на квадратные корни незаменимы в инженерии, вычислениях и практически во всех областях современного мира.
Хотя вы можете легко найти онлайн-калькуляторы уравнений с квадратным корнем (пример см. в разделе Ресурсы), решение уравнений с квадратным корнем — важный навык в алгебре, поскольку он позволяет вам ознакомиться с использованием радикалов и работать с рядом типов задач за пределами области. квадратных корней как таковых.
Квадраты и квадратные корни: основные свойства
Тот факт, что умножение двух отрицательных чисел вместе дает положительное число, важен в мире квадратных корней, поскольку подразумевает, что положительные числа на самом деле имеют два квадратных корня (например, квадратные корни из 16 равны 4 и −4, даже если только первый интуитивно понятен). Точно так же отрицательные числа не имеют действительных квадратных корней, потому что не существует действительного числа, которое принимает отрицательное значение при умножении само на себя. В этой презентации отрицательный квадратный корень из положительного числа будет игнорироваться, поэтому «квадратный корень из 361» можно принять за «19».
» вместо » -19 и 19″.
Кроме того, при попытке оценить значение квадратного корня, когда нет под рукой калькулятора, важно понимать, что функции, включающие квадраты и квадратные корни, не являются линейными. Вы увидите подробнее об этом в разделе о графиках позже, но в качестве грубого примера вы уже заметили, что квадратный корень из 100 равен 10, а квадратный корень из 0 равен 0. На первый взгляд это может привести вас к предположению, что квадратный корень для 50 (что находится на полпути между 0 и 100) должно быть 5 (что находится на полпути между 0 и 10).Но вы также уже узнали, что квадратный корень из 50 равен 7,071.
Наконец, вы, возможно, усвоили идею о том, что умножение двух чисел дает число, большее, чем оно само, а это означает, что квадратные корни чисел всегда меньше исходного числа. Это не вариант! У чисел от 0 до 1 тоже есть квадратные корни, и в каждом случае квадратный корень больше, чем исходное число. Это легче всего показать с помощью дробей. Например, 16/25, или 0,64, имеет полный квадрат как в числителе, так и в знаменателе.
Это означает, что квадратный корень дроби — это квадратный корень из ее верхней и нижней частей, то есть 4/5. Это равно 0,80, что больше, чем 0,64.
Терминология квадратного корня
«Квадратный корень из x » обычно записывается с использованием так называемого подкоренного знака или просто подкореня (√ ). Таким образом, для любого x :
\sqrt{x}
представляет собой его квадратный корень. Переворачивая это, квадрат числа x записывается с использованием показателя степени 2 ( x 2 ). Показатели принимают надстрочные индексы в текстовых процессорах и связанных с ними приложениях и также называются степенями. Поскольку радикальные знаки не всегда легко изготовить по запросу, другой способ записи «квадратный корень из 9{(y/z)}
означает «возвести x в степень y , затем взять из него корень z ». Таким образом, x 1/2 означает «возвести x в первую степень, что равно просто x , а затем извлечь из него корень 2 или квадратный корень».
Расширяя это, x (5/3) означает «возвести x в степень 5, затем найти третий корень (или кубический корень) результата».
Радикалы могут использоваться для представления корней, отличных от 2, квадратного корня. Это делается простым добавлением надстрочного индекса в верхнем левом углу радикала. 95}
представляет то же число, что и x (5/3) из предыдущего абзаца.
Большинство квадратных корней являются иррациональными числами. Это означает, что они не только не являются красивыми, аккуратными целыми числами (например, 1, 2, 3, 4…), но и не могут быть выражены в виде аккуратного десятичного числа, которое заканчивается без округления. Рациональное число можно представить в виде дроби. Таким образом, хотя 2,75 не является целым числом, это рациональное число, потому что это то же самое, что и дробь 11/4. Ранее вам сказали, что квадратный корень из 50 равен 7,071, но на самом деле это округление от бесконечного числа знаков после запятой.
Точное значение √50 равно 5√2, и вы скоро увидите, как оно определяется.
Графики функций квадратного корня
Вы уже видели, что уравнения с квадратными корнями нелинейны. Один простой способ запомнить это состоит в том, что графики решений этих уравнений не являются линиями. Это имеет смысл, потому что, если, как уже отмечалось, квадрат 0 равен 0, а квадрат 10 равен 100, но квадрат 5 не равен 50, график, полученный в результате простого возведения числа в квадрат, должен изогнуться до правильных значений.
Это случай с графиком 92
в чем вы сами можете убедиться, посетив калькулятор в Ресурсах и изменив параметры. Линия проходит через точку (0,0), а y не опускается ниже 0, чего и следовало ожидать, поскольку известно, что x 2 никогда не бывает отрицательным. Вы также можете видеть, что график симметричен относительно оси y , что также имеет смысл, поскольку каждый положительный квадратный корень данного числа сопровождается отрицательным квадратным корнем равной величины.
Следовательно, за исключением 0, каждые 9Значение 0009 y на графике y = x 2 связано с двумя x -значениями.
Задачи на квадратный корень
Один из способов решения основных задач на квадратный корень вручную — это поиск идеальных квадратов, «спрятанных» внутри задачи. Во-первых, важно знать о некоторых жизненно важных свойствах квадратов и квадратных корней. Один из них заключается в том, что √ x 2 просто равно x (поскольку радикал и показатель степени компенсируют друг друга): 92y} = x\sqrt{y}
То есть, если у вас есть полный квадрат под радикалом, умножающим другое число, вы можете его «вытащить» и использовать как коэффициент того, что осталось. Например, возвращаясь к квадратному корню из 50
\sqrt{50} = \sqrt{(25)(2)} = 5\sqrt{2}
Иногда вы можете получить число, включающее квадратные корни, которое равно выражается в виде дроби, но все же является иррациональным числом, потому что знаменатель, числитель или оба содержат радикал.