Показательные уравнения. Решения
Решение множества показательных уравнений не обходится без замен, квадратных уравнений и сложных преобразований. Приведенные ниже примеры помогут Вам в этом быстро разобраться и научат решать самые сложные из них. Также Вы сможете выучить некоторые свойства логарифмов без которых показательные уравнения в простой способ не решить. Начнем с самых азов — теоретического материала об уравнениях.
Показательными называют уравнения в которых неизвестная величина содержится в показателе степени, при этом основа степени не содержит неизвестной величины. Самое простое показательных уравнения ax=b решают логарифмированием x=log[a](b).
При решении показательных уравнений используют свойство показателей: если в уравнение степени с одной и той же основой то равные показатели степени или основание равно единице.
Из равенства следует или .
Некоторые уравнения требуют замены переменной и сводится к решению степенного уравнения.
Например уравнения
легко сводится к квадратному если сделать замену
При этом исходное уравнение примет вид
После его решения нужно вернуться к замене и решить полученное уравнение.
Если показательной уравнение содержит две различные показательные функции ( основы не сводятся к одной) , то выполняют деления уравнения на одну из основ в соответствующей степени и переход до показательного уравнения которое содержит функцию с дробной основой.
Находя решения показательных уравнений следует помнить что показательная функция принимает только положительные значения. Отрицательные значения или нули замененной переменной не принимаются к рассмотрению.
На этом необходимый теоретический материал заканчивается и переходим к рассмотрению распространенных примеров.
Пример 1.Решить показательное уравнение
Решение. Перепишем уравнение к следующему виду
Второе слагаемое распишем как произведение
и сделаем замену в уравнении
Исходное уравнение преобразуем к следующему
Областью допустимых значений будет действительная ось за исключением точки y=0.
Умножим его на y и переносим все в левую сторону
Получили квадратное уравнение корни которого находим по теореме Виета. Нетрудно убедиться что они принимают значения
Возвращаемся к замене и находим решения
Выполняем проверку
Итак оба решения удовлетворяют уравнению.
Пример 2. Решить показательное уравнение
Решение. Используя одну из свойств логарифма записываем правую сторону уравнения в виде
Приравнивая показатели находим
Пример 3. Решить уравнение
Решение. Такого сорта примеры решают логарифмированием обеих сторон что приводит к сведению показательного уравнения к простому виду.
Полученное уравнение относительно переменной решаем через дискриминант
Корни уравнения приобретут значения
Другого метода позволяющего аналитически получить решения Вы не найдете ни в интернете, ни на форумах.
Пример 4.
Решить уравнение
Решение. Выполним некоторые преобразования с показателями чтобы упростить уравнение
Эквивалентные значения подставим в уравнение, в результате получим
Выполняем замену
Уравнение превратится к квадратному
Вычисляем дискриминант
Найденное значение подставляем в формулу корней
Возвращаемся к замене и находим
Задача решена.
Пример 5.Решить уравнение
Решение. Такого типа уравнения решают с постоянной основой . За основу классически берут 10 , однако , если взять другую (для данного примера 5 или 9 ) то решение примет компактный вид
Рассмотрим оба метода.
1. Прологарифмируем обе части равенства
Раскрываем скобки и группируем слагаемые при неизвестных
Такой интересный результат.
2. Прологарифмируем обе части равенства по основанию 9
Группируя слагаемые содержащие переменную получим
Оба метода достаточно быстрые и эффективные, для себя выбирайте который Вам больше подходит.
Пример 6.Решить уравнение
Решение.Такого рода задачи решают по следующей схеме. Показательное уравнения превращают к виду
Все слагаемые разделяем на величину чтобы свести к дробному виду
После этого выполняем замену
Уравнение переписываем в виде
Умножаем на переменную и решаем квадратное уравнение
Дискриминант принимает нулевое значение, при етом корни уравнения совпадают
Возвращаемся к замене и решаем
Итак x=2 — единственное решение.
Используйте приведенную схему в подобных задач и гарантированно получите верный результат.
Пример 7. Решить уравнение
Решение. На первый взгляд уравнения достаточно сложное и неизвестно как его упрощать, однако схема решения данного примера и подобных довольно проста и интересна. Выполним над уравнением преобразования
Нужно это уравнение преобразовать к квадратному
Выполним замену
и перепишем уравнение в виде следуещого
Вычисляем дискриминант
и корни уравнения
Возвращаемся к совершенной замене
Такое уравнение сводим к квадратному, выполнив замену
В результате получим
Решаем через дискриминант
Возвращаемся к замене и определяем переменную x
Второе значение рассматривать не будем, поскольку оно отрицательное, а показательная функция всюду положительная.
Решаем вторую половину задачи
Используя предыдущую замену получим
Дискриминант примет значение
Находим корни уравнения
Первый корень имеет место бить, второй — отрицательный и не подходит.
Получили два решения показательного уравнения
Хорошо разберитесь с приведенными методами решения показательных уравнений, возможно некоторые из них пригодятся при прохождении ВНО, экзамене или контрольной работе. Будьте внимательны при упрощении, первое время используйте подстановку для проверки результатов.
Похожие материалы:
- Решение показательных уравнений
- Показательные уравнения на примерах
Решение показательных уравнений. Основы | О математике понятно
Что такое показательное уравнение? Примеры.
Итак, показательное уравнение… Новый уникальный экспонат на нашей общей выставке самых разнообразных уравнений!) Как это почти всегда бывает, ключевым словом любого нового математического термина является соответствующее прилагательное, которое его характеризует.
Так и тут. Ключевым словом в термине «показательное уравнение» является слово «показательное». Что оно означает? Это слово означает, что неизвестное (икс) находится в показателях каких-либо степеней. И только там! Это крайне важно.
Например, такие простые уравнения:
3x+1 = 81
5x + 5x+2 = 130
4·22x-17·2x+4 = 0
Или даже такие монстры:
2sinx = 0,5
И так далее, и тому подобное…
Прошу сразу обратить внимание на одну важную вещь: в основаниях степеней (снизу) — только числа. А вот в показателях степеней (сверху) — самые разнообразные выражения с иксом. Совершенно любые.) Всё от конкретного уравнения зависит. Если, вдруг, в уравнении вылезет икс где-нибудь ещё, помимо показателя (скажем, 3x = 18+x2), то такое уравнение будет уже уравнением смешанного типа.
Такие уравнения не имеют чётких правил решения. Поэтому в данном уроке мы их рассматривать не будем. На радость ученикам.) Здесь мы будем рассматривать только показательные уравнения в «чистом» виде.
Вообще говоря, даже чистые показательные уравнения чётко решаются далеко не все и не всегда. Но среди всего богатого многообразия показательных уравнений есть определённые типы, которые решать можно и нужно. Вот именно эти типы уравнений мы с вами и рассмотрим. И примеры обязательно порешаем.) Так что устраиваемся поудобнее и — в путь! Как и в компьютерных «стрелялках», наше путешествие будет проходить по уровням.) От элементарного к простому, от простого — к среднему и от среднего — к сложному. По пути вас также будет ждать секретный уровень — приёмы и методы решения нестандартных примеров. Те, о которых вы не прочитаете в большинстве школьных учебников… Ну, а в конце вас, разумеется, ждёт финальный босс в виде домашки.)
Уровень 0. Что такое простейшее показательное уравнение? Решение простейших показательных уравнений.
Для начала рассмотрим какую-нибудь откровенную элементарщину. С чего-то же надо начинать, верно? Например, такое уравнение:
2х = 22
Даже безо всяких теорий, по простой логике и здравому смыслу ясно, что х = 2. Иначе же никак, верно? Никакое другое значение икса не годится… А теперь обратим наш взор на запись решения этого крутого показательного уравнения:
2х = 22
х = 2
Что же у нас произошло? А произошло следующее. Мы, фактически, взяли и… просто выкинули одинаковые основания (двойки)! Совсем выкинули. И, что радует, попали в яблочко!
Да, действительно, если в показательном уравнении слева и справа стоят одинаковые числа в каких угодно степенях, то эти числа можно отбросить и просто приравнять показатели степеней. Математика разрешает.) И дальше можно работать уже отдельно с показателями и решать куда более простое уравнение.
Здорово, правда?
Вот и ключевая идея решения любого (да-да, именно любого!) показательного уравнения: с помощью тождественных преобразований необходимо добиться того, чтобы слева и справа в уравнении стояли одинаковые числа-основания в различных степенях. А дальше можно смело убрать одинаковые основания и приравнять показатели степеней. И работать с более простым уравнением.
А теперь запоминаем железное правило: убирать одинаковые основания можно тогда и только тогда, когда в уравнении слева и справа числа-основания стоят в гордом одиночестве.
Что значит, в гордом одиночестве? Это значит, безо всяких соседей и коэффициентов. Поясняю.
Например, в уравнении
3·3x-5 = 32x+1
тройки убирать нельзя! Почему? Потому что слева у нас стоит не просто одинокая тройка в степени, а произведение 3·3x-5.
Лишняя тройка мешает: коэффициент, понимаешь.)
То же самое можно сказать и про уравнение
53x = 52x+5x
Здесь тоже все основания одинаковые — пятёрка. Но справа у нас не одинокая степень пятёрки: там — сумма степеней!
Короче говоря, убирать одинаковые основания мы имеем право лишь тогда, когда наше показательное уравнение выглядит так и только так:
af(x) = ag(x)
Такой вид показательного уравнения называют простейшим. Или, по-научному, каноническим. И какое бы накрученное уравнение перед нами ни было, мы его, так или иначе, будем сводить именно к такому простейшему (каноническому) виду.
Или, в некоторых случаях, к совокупности уравнений такого вида. Тогда наше простейшее уравнение можно в общем виде переписать вот так:
f(x) = g(x)
И всё. Это будет эквивалентным преобразованием. При этом в качестве f(x) и g(x) могут стоять совершенно любые выражения с иксом. Какие угодно.
Возможно, особо любознательный ученик поинтересуется: а с какой такой стати мы вот так легко и просто отбрасываем одинаковые основания слева и справа и приравниваем показатели степеней? Интуиция интуицией, но вдруг, в каком-то уравнении и для какого-то основания данный подход окажется неверным? Всегда ли законно выкидывать одинаковые основания? К сожалению, для строгого математического ответа на этот интересный вопрос нужно довольно глубоко и серьёзно погружаться в общую теорию устройства и поведения функций. А чуть конкретнее — в явление строгой монотонности. В частности, строгой монотонности показательной функции y=ax.
Поскольку именно показательная функция и её свойства лежат в основе решения показательных уравнений, да.) Развёрнутый ответ на этот вопрос будет дан в отдельном спецуроке, посвящённом решению сложных нестандартных уравнений с использованием монотонности разных функций.)
Объяснять подробно этот момент сейчас — это лишь выносить мозг среднестатистическому школьнику и отпугивать его раньше времени сухой и грузной теорией. Я этого делать не буду.) Ибо наша основная на данный момент задача — научиться решать показательные уравнения! Самые-самые простые! Посему — пока не паримся и смело выкидываем одинаковые основания. Это можно, поверьте мне на слово!) А дальше уже решаем эквивалентное уравнение f(x) = g(x). Как правило, более простое, чем исходное показательное.
Предполагается, конечно же, что решать хотя бы линейные, квадратные и дробные уравнения, уже без иксов в показателях, народ на данный момент уже умеет.) Кто до сих пор не умеет — смело закрывайте эту страницу, гуляйте по соответствующим ссылочкам и восполняйте старые пробелы.
Иначе несладко вам придётся, да…
Я уж молчу про иррациональные, тригонометрические и прочие зверские уравнения, которые также могут всплыть в процессе ликвидации оснований. Но не пугайтесь, откровенную жесть в показателях степеней мы с вами пока рассматривать не будем: рано ещё. Будем тренироваться лишь на самых простых уравнениях.)
Теперь рассмотрим уравнения, которые требуют некоторых дополнительных усилий для сведения их к простейшим. Для отличия назовём их простыми показательными уравнениями. Итак, двигаемся на следующий уровень!
Уровень 1. Простые показательные уравнения. Распознаём степени! Натуральные показатели.
Ключевыми правилами в решении любых показательных уравнений являются правила действий со степенями. Без этих знаний и умений ничего не получится. Увы. Так что, если со степенями проблемы, то для начала милости прошу сюда. Кроме того, ещё нам понадобятся базовые тождественные преобразования уравнений.
Эти преобразования (целых два!) — основа решения всех уравнений математики вообще. И не только показательных. Так что, кто забыл, тоже прогуляйтесь по ссылочке: я их не просто так ставлю.
Но одних только действий со степенями и тождественных преобразований мало. Необходима ещё личная наблюдательность и смекалка. Нам ведь требуются одинаковые основания, не так ли? Вот и осматриваем пример и ищем их в явном или замаскированном виде!
Например, такое уравнение:
32x — 27x+2 = 0
Первый взгляд на основания. Они… разные! Тройка и двадцать семь. Но паниковать и впадать в отчаяние рано. Самое время вспомнить, что
27 = 33
Числа 3 и 27 — родственнички по степени! Причём близкие.) Стало быть, имеем полное право записать:
27x+2 = (33)x+2
А вот теперь подключаем наши знания о действиях со степенями (а я предупреждал!).
Есть там такая очень полезная формулка:
(am)n = amn
Если теперь запустить её в ход, то вообще отлично получается:
27x+2 = (33)x+2 = 33(x+2)
Исходный пример теперь выглядит вот так:
32x — 33(x+2) = 0
Отлично, основания степеней выровнялись. Чего мы и добивались. Полдела сделано.) А вот теперь запускаем в ход базовое тождественное преобразование — переносим 33(x+2) вправо. Элементарных действий математики никто не отменял, да.) Получаем:
32x = 33(x+2)
Что нам даёт такой вид уравнения? А то, что теперь наше уравнение сведено к каноническому виду: слева и справа стоят одинаковые числа (тройки) в степенях. Причём обе тройки — в гордом одиночестве.
Смело убираем тройки и получаем:
2х = 3(х+2)
Решаем это линейное уравнение и получаем:
x = -6
Вот и все дела. Это правильный ответ.)
А теперь осмысливаем ход решения. Что нас спасло в этом примере? Нас спасло знание степеней тройки. Как именно? Мы опознали в числе 27 зашифрованную тройку! Этот приёмчик (шифровка одного и того же основания под разными числами) — один из самых популярных в показательных уравнениях! Если только не самый популярный. Да и в логарифмах тоже, кстати. Именно поэтому в показательных уравнениях так важна наблюдательность и умение распознавать в числах степени других чисел!
Практический совет:
Степени популярных чисел надо знать. В лицо!
Конечно, возвести двойку в седьмую степень или тройку в пятую может каждый. Не в уме, так хотя бы на черновике. Но в показательных уравнениях гораздо чаще надо не возводить в степень, а наоборот — узнавать, какое число и в какой степени скрывается за числом, скажем, 128 или 243.
А это уже посложнее, чем простое возведение, согласитесь. Почувствуйте разницу, что называется!
Поскольку умение распознавать степени в лицо пригодится не только на этом уровне, но и на следующих, вот вам небольшое задание:
Определить, какими степенями и каких чисел являются числа:
4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.
Ответы (вразброс, естественно):
272; 210; 36; 72; 26; 92; 34; 43; 102; 25; 35; 73; 162; 27; 53; 28; 62; 33; 29; 24; 22; 45; 252; 44; 63; 82; 93.
Да-да! Не удивляйтесь, что ответов побольше, чем заданий. Например, 28, 44 и 162 — это всё 256.
А теперь движемся дальше.)
Уровень 2. Простые показательные уравнения. Распознаём степени! Отрицательные и дробные показатели.
На этом уровне мы уже используем наши знания о степенях на полную катушку. А именно — вовлекаем в сей увлекательный процесс отрицательные и дробные показатели! Да-да! Нам же надо наращивать мощь, верно?
Например, такое страшное уравнение:
Опять первый взгляд — на основания. Основания — разные! Причём на этот раз даже отдалённо не похожие друг на друга! 5 и 0,04… А для ликвидации оснований нужны одинаковые… Что же делать?
Ничего страшного! На самом деле всё то же самое, просто связь между пятёркой и 0,04 визуально просматривается плохо. Как выкрутимся? А перейдём-ка в числе 0,04 к обычной дроби! А там, глядишь, всё и образуется.)
0,04 = 4/100 = 1/25
Ух ты! Оказывается, 0,04 — это 1/25! Ну кто бы мог подумать!)
Ну как? Теперь связь между числами 5 и 1/25 легче углядеть? Вот то-то и оно…
А теперь уже по правилам действий со степенями с отрицательным показателем можно твёрдой рукой записать:
Вот и отлично.
Вот мы и добрались до одинакового основания — пятёрки. Заменяем теперь в уравнении неудобное нам число 0,04 на 5-2 и получаем:
Опять же, по правилам действий со степенями, теперь можно записать:
(5-2)x-1 = 5-2(x-1)
На всякий случай, напоминаю (вдруг, кто не в курсе), что базовые правила действий со степенями справедливы для любых показателей! В том числе и для отрицательных.) Так что смело берём и перемножаем показатели (-2) и (х-1) по соответствующему правилу. Наше уравнение становится всё лучше и лучше:
Всё! Кроме одиноких пятёрок в степенях слева и справа больше ничего нет. Уравнение сведено к каноническому виду. А дальше — по накатанной колее. Убираем пятёрки и приравниваем показатели:
x2–6x+5=-2(x-1)
Пример практически решён. Осталась элементарная математика средних классов — раскрываем (правильно!) скобки и собираем всё слева:
x2–6x+5 = -2x+2
x2–4x+3 = 0
Решаем это квадратное уравнение и получаем два корня:
x1 = 1; x2 = 3
Вот и всё.
)
А теперь снова поразмышляем. В данном примере нам вновь пришлось распознать одно и то же число в разной степени! А именно — увидеть в числе 0,04 зашифрованную пятёрку. Причём на этот раз — в отрицательной степени! Как же нам это удалось? С ходу — никак. А вот после перехода от десятичной дроби 0,04 к обыкновенной дроби 1/25 всё и высветилось! И дальше всё решение пошло как по маслу.)
Поэтому очередной зелёный практический совет.
Если в показательном уравнении присутствуют десятичные дроби, то переходим от десятичных дробей к обыкновенным. В обыкновенных дробях гораздо проще распознать степени многих популярных чисел! После распознавания переходим от дробей к степеням с отрицательными показателями.
Имейте в виду, что такой финт в показательных уравнениях встречается очень и очень часто! А человек не в теме. Смотрит он, например, на числа 32 и 0,125 и огорчается. Неведомо ему, что это одна и та же двойка, только в разных степенях… Но вы-то ведь уже в теме!)
Дальше — больше! Развлекаться, так развлекаться.
)
Решить уравнение:
Во! На вид — тихий ужас… Однако внешность обманчива. Это простейшее показательное уравнение, несмотря на его устрашающий внешний вид. И сейчас я вам это покажу.)
Конечно, возиться да считать побольше придётся, но ведь и наш с вами уровень тоже растёт, не правда ли? Итак, ничего не боимся и приступаем.)
Во-первых, разбираемся со всеми чиселками, сидящими в основаниях и в коэффициентах. Они, ясное дело, разные, да. Но мы всё же рискнём и попробуем сделать их одинаковыми! Попробуем добраться до одного и того же числа в разных степенях. Причём, желательно, числа самого возможно малого. Итак, начинаем расшифровку!
Ну, с четвёркой сразу всё ясно — это 22. Так, уже кое-что.)
С дробью 0,25 — пока непонятно. Проверять надо. Используем практический совет — переходим от десятичной дроби к обыкновенной:
0,25 = 25/100 = 1/4
Уже гораздо лучше.
Ибо теперь уже отчётливо видно, что 1/4 — это 2-2. Отлично, и число 0,25 тоже сроднили с двойкой.)
Пока всё идёт хорошо. Но осталось самое нехорошее число из всех – корень квадратный из двух! А с этим перцем что делать? Можно ли его тоже представить как степень двойки? А кто ж его знает…
Что ж, снова лезем в нашу сокровищницу знаний о степенях! На этот раз дополнительно подключаем наши знания о корнях. Из курса 9-го класса мы с вами должны были вынести, что любой корень, при желании, всегда можно превратить в степень с дробным показателем.
Вот так:
В нашем случае:
Во как! Оказывается, корень квадратный из двух – это 21/2. Вот оно что!
Вот и прекрасно! Все наши неудобные числа на самом деле оказались зашифрованной двойкой.) Не спорю, где-то весьма изощрённо зашифрованной. Но и мы ведь тоже повышаем свой профессионализм в разгадке подобных шифров! А дальше уже всё очевидно.
Заменяем в нашем уравнении числа 4, 0,25 и корень из двух на степени двойки:
Всё! Основания всех степеней в примере стали одинаковыми — двойка. А теперь в ход идут стандартные действия со степенями:
am·an = am+n
am:an = am-n
(am)n = amn
Для левой части получится:
2-2·(22)5x-16 = 2-2+2(5x-16)
Для правой части будет:
И теперь наше злое уравнение стало выглядеть вот так:
Кто не врубился, как именно получилось это уравнение, то тут вопрос не к показательным уравнениям. Вопрос — к действиям со степенями. Я же просил срочно повторить тем, у кого проблемы!
Вот и финишная прямая! Получен канонический вид показательного уравнения! Ну как? Убедил я вас, что не всё так страшно? 😉 Убираем двойки и приравниваем показатели:
Осталось всего лишь решить это линейное уравнение.
Как? С помощью тождественных преобразований, вестимо.) Дорешайте, чего уж там! Умножайте обе части на двойку (чтобы убрать дробь 3/2), переносите слагаемые с иксами влево, без иксов вправо, приводите подобные, считайте — и будет вам счастье!
Должно всё получиться красиво:
x = 4
А теперь снова осмысливаем ход решения. В данном примере нас выручил переход от квадратного корня к степени с показателем 1/2. Причём только такое хитрое преобразование нам помогло везде выйти на одинаковое основание (двойку), которое и спасло положение! И, если бы не оно, то мы бы имели все шансы навсегда зависнуть и так и не справиться с этим примером, да…
Поэтому не пренебрегаем очередным практическим советом:
Если в показательном уравнении присутствуют корни, то переходим от корней к степеням с дробными показателями. Очень часто только такое преобразование и проясняет дальнейшую ситуацию.
Конечно же, отрицательные да дробные степени уже гораздо сложнее натуральных степеней.
Хотя бы с точки зрения визуального восприятия и, особенно, распознавания справа налево!
Понятно, что напрямую возвести, например, двойку в степень -3 или же четвёрку в степень -3/2 не такая уж и большая проблема. Для знающих.)
А вот поди, например, с ходу сообрази, что
0,125 = 2-3
или
Тут только практика и богатый опыт рулят, да. И, конечно же, чёткое представление, что такое отрицательная и дробная степень. А также — практические советы! Да-да, те самые зелёные.) Надеюсь, что они всё-таки помогут вам лучше ориентироваться во всём разношёрстном многообразии степеней и значительно увеличат ваши шансы на успех! Так что не пренебрегаем ими. Я не зря зелёным цветом пишу иногда.)
Зато, если вы станете на «ты» даже с такими экзотическими степенями, как отрицательные и дробные, то ваши возможности в решении показательных уравнений колоссально расширятся, и вам уже будет по плечу практически любой тип показательных уравнений.
Ну, если не любой, то процентов 80 всех показательных уравнений — уж точно! Да-да, я не шучу!
Итак, наша первая часть знакомства с показательными уравнениями подошла к своему логическому завершению. И, в качестве промежуточной тренировки, я традиционно предлагаю немного порешать самостоятельно.)
Задание 1.
Чтобы мои слова о расшифровке отрицательных и дробных степеней не пропали даром, предлагаю сыграть в небольшую игру!
Представьте в виде степени двойки числа:
Ответы (в беспорядке):
Получилось? Отлично! Тогда делаем боевое задание — решаем простейшие и простые показательные уравнения!
Задание 2.
Решить уравнения (все ответы — в беспорядке!):
52x-8 = 25
25x-4 — 16x+3 = 0
Ответы:
x = 16
x1 = -1; x2 = 2
x = 5
Получилось? Действительно, уж куда проще-то!
Тогда решаем следующую партию:
(2x+4)x-3 = 0,5x·4x-4
351-x = 0,2—x·7x
Ответы:
x1 = -2; x2 = 2
x = 0,5
x1 = 3; x2 = 5
И эти примеры одной левой? Отлично! Вы растёте! Тогда вот вам на закуску ещё примерчики:
Ответы:
x = 6
x = 13/31
x = -0,75
x1 = 1; x2 = 8/3
И это решено? Что ж, респект! Снимаю шляпу.
) Значит, урок прошёл не напрасно, и начальный уровень решения показательных уравнений можно считать успешно освоенным. Впереди — следующие уровни и более сложные уравнения! И новые приёмы и подходы. И нестандартные примеры. И новые сюрпризы.) Всё это — в следующем уроке!
Что-то не получилось? Значит, скорее всего, проблемы в действиях со степенями. Или в тождественных преобразованиях. Или в том и другом сразу. Тут уж я бессилен. Могу в очередной раз предложить лишь одно — не лениться и прогуляться по ссылочкам.)
Продолжение следует.)
Экспоненциальные уравнения — определение, решение, примеры
Экспоненциальные уравнения , как следует из названия, включают показатели степени. Мы знаем, что показатель степени числа (основания) показывает, сколько раз число (основание) умножается. Но что произойдет, если степень числа является переменной? Когда мощность является переменной и если она является частью уравнения, то это называется показательным уравнением.
Нам может понадобиться использовать связь между показателями степени и логарифмами для решения экспоненциальных уравнений.
Давайте изучим определение показательных уравнений вместе с процессом их решения, когда основания одинаковы и когда основания не совпадают, а также несколько решенных примеров и практических вопросов.
| 1. | Что такое экспоненциальные уравнения? |
| 2. | Уравнения с показателями |
| 3. | Формулы экспоненциальных уравнений |
| 4. | Решение экспоненциальных уравнений с одинаковыми основаниями |
| 5. | Решение экспоненциальных уравнений с разными основаниями |
| 6. | Часто задаваемые вопросы об экспоненциальных уравнениях |
Что такое экспоненциальные уравнения?
Показательное уравнение – это уравнение с показателями степени, где показатель степени (или часть показателя степени) является переменной.
Например, 3 x = 81, 5 x — 3 = 625, 6 2y — 7 = 121 и т. д. — некоторые примеры экспоненциальных уравнений. Мы можем столкнуться с использованием экспоненциальных уравнений при решении задач алгебры, сложных процентов, экспоненциального роста, экспоненциального распада и т. д.
Типы экспоненциальных уравнений
Существует три типа экспоненциальных уравнений. Они следующие:
- Уравнения с одинаковыми основаниями с обеих сторон. (Пример: 4 х = 4 2 )
- Уравнения с разными базами, которые можно сделать одинаковыми. (Пример: 4 x = 16, что можно записать как 4 x = 4 2 )
- Уравнения с разными основаниями, которые нельзя сделать одинаковыми. (Пример: 4 x = 15)
Уравнения с показателями
Уравнения в алгебре с переменными показателями называются уравнениями с показателями или показательными уравнениями.
Другими словами, мы можем сказать, что алгебраические уравнения, в которых переменные входят в качестве показателей, известны как уравнения с показателями. Некоторые из примеров такого уравнения: 3
Формулы экспоненциальных уравнений
При решении экспоненциального уравнения основания в обеих частях могут быть одинаковыми или разными. Вот формулы, которые используются в каждом из этих случаев, которые мы подробно изучим в следующих разделах.
Свойство равенства для показательных уравнений
Это свойство полезно для решения показательного уравнения с теми же основаниями. В нем говорится, что если основания в обеих частях экспоненциального уравнения равны, то показатели степени также должны быть равны. то есть
а х = а у ⇔ х = у.
Экспоненциальные уравнения в логарифмической форме
Мы знаем, что логарифмы не что иное, как показатели степени, и наоборот.
Следовательно, показательное уравнение может быть преобразовано в логарифмическую функцию. Это помогает в процессе решения показательного уравнения с разными основаниями. Вот формула для преобразования показательных уравнений в логарифмические уравнения.
б х = а ⇔ log б а = х
Решение экспоненциальных уравнений с одинаковыми основаниями
Иногда экспоненциальное уравнение может иметь одинаковые основания в обеих частях уравнения. Например, 5 x = 5 3 имеет одинаковое основание 5 с обеих сторон. Иногда, хотя показатели с обеих сторон неодинаковы, их можно сделать одинаковыми. Например, 5 x = 125. Хотя у него разные основания в обеих частях уравнения, их можно сделать одинаковыми, написав 5 x 9.0054 = 5 3 (как 125 = 5 3 ). Чтобы решить показательные уравнения в каждом из этих случаев, мы просто применяем свойство равенства показательных уравнений, используя которое, мы устанавливаем показатели равными и решаем для переменной.
Вот еще один пример, когда базы не одинаковые, но их можно сделать одинаковыми.
Пример: Решите показательное уравнение 7 y + 1 = 343 y .
Решение:
Мы знаем, что 343 = 7 3 . Используя это, данное уравнение можно записать как
7 y + 1 = (7 3 ) y
7 y + 1 = 7 3y 900 54
Теперь основания с обеих сторон одинаковы. Таким образом, мы можем установить показатели степени одинаковыми.
y + 1 = 3y
Вычитание y с обеих сторон,
2y = 1
Деление обеих сторон на 2,
y = 1/2
Решение экспоненциальных уравнений с разными основаниями
Иногда основания в обеих частях экспоненциального уравнения могут быть разными (или) не могут быть сделаны одинаковыми. Мы решаем показательные уравнения с помощью логарифмов, когда основания не совпадают в обеих частях уравнения.
Например, 5 x = 3 не имеет одинаковых оснований с обеих сторон, и основания не могут быть одинаковыми. В таких случаях мы можем сделать одну из следующих вещей.
- Преобразуйте показательное уравнение в логарифмическую форму, используя формулу b x = a ⇔ log b a = x и найдите переменную.
- Примените логарифм (log) к обеим частям уравнения и найдите переменную. В этом случае нам придется использовать свойство логарифма, log a m = m log a.
Решим уравнение 5 x = 3 каждым из этих способов.
Способ 1:
Преобразуем 5 x = 3 в логарифмическую форму. Тогда получаем,
log 5 3 = x
Используя изменение базового свойства,
x = (log 3) / (log 5)
Метод 2:
Мы применим log с обеих сторон 5 x 900 54 = 3. Тогда мы получаем log 5 x = log 3. Используя свойство log a m = m log a в левой части уравнения, мы получаем x log 5 = log 3.
Разделив обе части на log 5,
x = (log 3) / (log 5)
Важные примечания к экспоненциальным уравнениям:
Вот несколько важных замечаний относительно экспоненциальных уравнений.
- Чтобы решить экспоненциальные уравнения с одним и тем же основанием, просто приравняйте показатели степени.
- Чтобы решить экспоненциальные уравнения с разными основаниями, примените логарифмирование к обеим частям.
- Показательные уравнения с тем же основанием также могут быть решены с использованием логарифмов.
- Если экспоненциальное уравнение имеет 1 с любой стороны, то мы можем записать его как 1 = a 0 для любого ‘a’. Например, чтобы решить 5 х = 1, мы можем записать это как 5 х = 5 0 , тогда мы получим х = 0,
- Чтобы решить экспоненциальное уравнение с помощью логарифмов, мы можем либо применить «log», либо применить «ln» к обеим сторонам.
Связанные статьи:
- Экспоненциальная форма
- Экспоненциальные правила
- Экспоненциальные функции
- Калькулятор экспоненциального уравнения
Часто задаваемые вопросы об экспоненциальных уравнениях
Что такое экспоненциальные уравнения?
Экспоненциальное уравнение — это уравнение, которое имеет переменную в показателях.
Например, 5 2x — 3 = 125, 3 7 — 2x = 91 и т. д. являются показательными уравнениями.
Какие бывают типы экспоненциальных уравнений?
Существует три типа экспоненциальных уравнений. Вот они:
- Показательные уравнения с одинаковыми основаниями с обеих сторон.
- Показательные уравнения с разными основаниями с обеих сторон, которые можно сделать одинаковыми.
- Показательные уравнения с разными основаниями с обеих сторон, которые нельзя сделать одинаковыми.
Как решать экспоненциальные уравнения?
Для решения показательных уравнений с равными основаниями мы приравниваем показатели степени, тогда как для решения показательных уравнений с разными основаниями мы применяем логарифмы с обеих сторон.
Как записать экспоненциальное уравнение в логарифмической форме?
Запись показательного уравнения в логарифмической форме помогает нам решить его. Это можно сделать по формуле b х = а ⇔ log б а = х.
Что такое свойство равенства экспоненциальных уравнений?
Свойство равенства экспоненциальных уравнений говорит о том, что показатели степени должны быть равны, если основания в обеих частях уравнения равны. т. е. а х = а у ⇔ х = у.
Как решать экспоненциальные уравнения с одинаковыми основаниями?
Если экспоненциальное уравнение имеет одинаковые основания с обеих сторон, просто приравняйте показатели степени и найдите переменную. Вот например 4 2х — 1 = 4 1 — х . Здесь основания с обеих сторон равны. Таким образом, мы можем установить показатели равными.
2х — 1 = 1 — х
3x = 2
х = 2/3.
Как решать экспоненциальные уравнения с разными основаниями?
Если экспоненциальное уравнение имеет разные основания с обеих сторон, примените log к обеим сторонам и найдите переменную. Вот пример, 4
журнал 4 х — 5 = журнал 8
(х — 5) журнал 4 = журнал 8
х — 5 = (логарифм 8) / (логарифм 4)
x = [(log 8) / (log 4)] + 5.
Как решать экспоненциальные уравнения с помощью логарифмов?
Мы решаем показательные уравнения с помощью логарифмов двумя способами.
- Преобразуйте показательное уравнение в логарифмическое, используя b x = a ⇔ log b a = x.
- Нанесите «log» или «ln» на обе стороны и решите.
Решение экспоненциальных уравнений с помощью логарифмов
Из определения с помощью калькуляторов
Purplemath
Большинство экспоненциальных уравнений не решаются аккуратно; не будет способа преобразовать основания в одно и то же, например, преобразовать 4 и 8 в степень двойки. При решении этих более сложных уравнений вам придется использовать логарифмы.
Логарифмирование позволит нам воспользоваться правилом журнала, которое гласит, что степени внутри журнала могут быть вынесены вперед в виде множителей. Взяв логарифм экспоненты, мы можем затем переместить переменную (находящуюся в экспоненте, которая теперь находится внутри логарифма) вперед как множитель логарифма.
Другими словами, правило журнала позволит нам переместить переменную обратно на землю, где мы сможем ее заполучить.
Например:
Содержание продолжается ниже
MathHelp.com
Изменение базовой формулы
Решить 2
x = 30
Если бы это уравнение попросило меня «Решить 2 x = 32», то найти решение было бы легко, потому что я мог бы преобразовать 32 в 2 5 , приравнять показатели степени и решить для « x = 5″. Но, в отличие от 32, 30 не является степенью двойки, поэтому я не могу установить степени равными друг другу. Мне нужен какой-то другой метод получения x , потому что я не могу решить с уравнением с переменной, плавающей там над 2. Мне нужно, чтобы она вернулась на землю, где ей место, где я могу добраться до нее. И мне придется использовать логарифмы, чтобы свести эту переменную вниз
При работе с уравнениями я могу делать с уравнением все, что захочу, при условии, что я делаю одно и то же с обеими сторонами И, чтобы решить уравнение, я должен получить переменную саму по себе по одну сторону от знака «равно»; чтобы изолировать переменную, я должен «отменить» все, что было сделано с переменной.
0005
В этом случае в показатель степени была помещена переменная x . Обратные (технически «обратные») экспоненты являются логарифмами, поэтому мне нужно отменить экспоненту, взяв логарифм обеих частей уравнения. Это полезно для меня из-за правила журнала, которое гласит, что показатели степени внутри журнала могут быть превращены в множители перед журналом:
log b ( m n ) = n · log б ( m )
Когда я беру логарифм обеих частей уравнения, я могу использовать любой логарифм, который мне нравится (логарифм по основанию 10, логарифм по основанию 2, натуральный логарифм и т. д.), но некоторые из них иногда более полезны чем другие. Поскольку основание в уравнении «2 x x = 30» равно «2», я могу попробовать использовать логарифм по основанию 2:
log 2 (2 x ) = log 2 901 22 (30)
Любой журнал базы журнала возвращает значение 1, поэтому log 2 (2) = 1.
Тогда:
x · журнал 2 (2) = журнал 2 (30)
x (1) = журнал 2 (30)
9038 7 x = журнал 2 (30)
Если вас попросят «найти решение», приведенный выше ответ должен быть приемлемым. Однако это значение, хотя и «точное», не будет очень полезным для текстовых задач (или в «реальной жизни»), если вам нужно числовое приближение.
Но мы не можем вычислить это выражение в наших калькуляторах в его нынешнем виде. Во-первых, нам нужно применить формулу замены базы, чтобы преобразовать выражение в нечто в базе, понятной нашим калькуляторам; а именно, натуральный бревно или обыкновенный бревно. Это преобразование выглядит так:
x = log 2 (30)
= ln(30)/ln(2)
журнал» на английском языке. Аббревиатура произносится как «элл-энн» и пишется строчной буквой «L», за которой следует строчная «N». В названии функции нет «я» («глаз»)!
Что произойдет, если я просто буду использовать натуральный логарифм вместо логарифма с основанием два? Процесс был бы точно таким же, и окончательный ответ был бы эквивалентным.
2 x = 30
ln(2 x ) = ln(30)
x · ln(2 ) = ln(30)
x = ln(30 )/ln(2)
В любом случае, я получаю тот же ответ, но в первую очередь использование натурального логарифма было проще и короче.
Примечание. Я мог бы использовать обычный (по основанию 10) журнал вместо естественного (то есть по основанию и ) журнала и все равно получить то же значение (при оценке в калькуляторе).
Поскольку в науке так часто используется натуральный логарифм, и поскольку это один из двух логарифмов, которые могут оценить калькуляторы, я склонен брать натуральный логарифм обеих сторон при решении экспоненциальных уравнений. Это (обычно) не требуется, но часто более полезно, чем другие варианты.
Поскольку 212 не является степенью числа 5, то для решения этого уравнения мне придется использовать логи. Я мог бы взять логарифм по основанию 5 для каждой стороны, решить, а затем применить формулу изменения основания, но я думаю, что лучше просто использовать натуральный логарифм в первую очередь:
5 x = 212
ln(5 x ) = ln(212)
x · ln (5) = ln(212)
x = ln(212 )/ln(5)
.
..или около 3,328, округленное до трех знаков после запятой.
Решить 10
2 x = 52
Поскольку 52 не является степенью числа 10, мне придется использовать журналы, чтобы решить эту проблему. В этом конкретном случае, поскольку основание равно 10 и поскольку логарифм по основанию 10 можно сделать на калькуляторе, я буду использовать обычный логарифм вместо натурального логарифма для решения этого конкретного уравнения:
10 2 x = 52
log(10 2 x ) = log(52)
2 x · log 90 388 (10) = log(52)
2 x (1) = log(52)
2 x = log(52)
x = log(52) / 2
…или около 0,858, округляется до трех знаков после запятой.
Решить 3(2
x +4 ) = 350
Прежде чем я начну рассматривать экспоненту, мне сначала нужно избавиться от 3, поэтому я разделю ее, чтобы получить:
2 x +4 = 350 / 3 9000 5
Поскольку 350 / 3 не является степенью числа 2, мне придется использовать логи.