Формула полной вероятности | matematicus.ru
Пусть совокупность событий H1,H2,…,Hn — образуют полную группу событий, а также их объединение даёт достоверное событие и они попарно несовместные. В случае наступления каждого из событий Hi, событие А может настать с некоторой условной вероятностью PHi·(A)
События Hi называют гипотезами.
Запишем формулу полной вероятности:
P(A)=P(H1)·PH1(A)+P(H2)·Ph3(A)+…+P(Hn)
или эту формулу можно представить в следующем виде:
Пример 1
В пирамиде пять винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7.
Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки.
Решение
А — «мишень поражена»
H1 : «выстрел из винтовки с оптическим прицелом»
H2 : «выстрел из винтовки без оптического прицела»
Находим вероятности
Р(H1)=3/5=0.6, Р(H2) =2/5=0.4
Рh2(А)=0.95, Рh3(А)=0.7
Итак, по формуле полной вероятности находим вероятность
Р(А)=P(H1)·PH1(A)+P(H2)·Ph3(A)=0,57·0,92+0,43·0,8=0,524+0,344=0,868
Пример 2
В вычислительной лаборатории имеются шесть клавишных автоматов и четыре полуавтомата. Вероятность того, что за время выполнения некоторого расчета автомат не выйдет из строя, равна 0,95; для полуавтомата эта вероятность равна 0,8.
Студент производит расчет на наудачу выбранной машине. Найти вероятность того, что до окончания расчета машина не выйдет из строя.
Решение
А — «до конца расчета машина не выйдет из строя»
H1 — «клавишный автомат не выйдет из строя»
H2 — «полуавтомат не выйдет из строя»
Из условия задачи получаем
Р(H1)=6/10=0,6 Р(H2)=4/10=0,4
Условные вероятности равны
Рh2(А)=0.95, Рh3(А)=0.8
Воспользуемся формулу полной вероятности, имеем:
Р(А)=P(H1)·PH1(A)+P(H2)·Ph3(A)=
=0,6·0,95+0,4·0,8=0,89
Пример 3
Экзамен сдают студенты трех групп. В первой группе 7, во второй 6 и в третьей 8 студентов.
Студент из первой группы сдаст экзамен с вероятностью 0.9, из второй группы с вероятностью 0.8 и из третьей группы с вероятностью 0.7. С какой вероятностью сдаст экзамен случайно вызванный студент?
Решение
Cобитые А — «случайно вызванный студент сдаст экзамен»
Н1: студент из 1-ой группы
Р(H1)=7/21; Р(A|H1)=0.9
Н2: студент из 2-ой группы
Р(H2)=6/21; Р(A|H2)=0.8
Н3: студент из 3-ей группы
Р(H3)=8/21; Р(A|H3)=0.7
По формуле полной вероятности получаем:
Р(А)=P(H1)·Р(A|H1)+P(H2)·Р(A|H2)+P(H3)·P(A|H3)=
=7/21·0.9+6/21·0.8+8/21·0.7=0.795
Пример 4
В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне 20 шаров, из них 4 белых.
Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.
Решение
A— «наудачу извлечённый из двух выбранных шаров — белый шар»
H1: «шар извлечен из первой урны»
H2: «шар извлечен из второй урны»
По условию задачи, следует, что из каждой урны извлекается одинаковое количество шаров, тогда получаем вероятности
Р(H1)=Р(H2)=1/2
Найдем условные вероятности того, что из первой урны
Рh2(A)=8/10=3/10
и второй урны извлечен белый шар
Рh3(A)=4/20=1/5
Применяя формулу полной вероятности, найдем вероятность того, что взят белый шар
Р(А)=P(H1)·PH1(A)+P(H2)·Ph3(A)=
=1/2·4/5+1/2·1/5=1/2
Вариант 10
1.
В ящике 8 красных
и 10 белых шариков. Одновременно наугад
вынимают 2 шарика. Какова вероятность
того, что они разных цветов?
2. Из пяти карточек с буквами А, Б, В, Г, Д наугад одна за другой выбираются три и располагаются в ряд в порядке появления. Какова вероятность того, что получится слово «ДВА»?
3. При наборе телефонного номера абонент забыл две последние цифры и набрал их наудачу, помня только, что эти цифры нечётные и разные. Найти вероятность того, что номер набран правильно.
4. При помещении в урну тщательно перемешанных 10 шаров (6 белых 4 чёрных) один шар неизвестного цвета затерялся. Из оставшихся 9 шаров наудачу вынимают один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется белым?
5.
С первого станка-автомата на сборку
поступает 40 %, со второго 30 %, с третьего
20 %, с четвертого 10 % деталей. Среди
деталей, выпушенных первым станком 2 %
бракованных, вторым 1 %, третьим 0,5 %,
четвертым 0,2 %.
6. В группе из 20 стрелков пять отличных, девять хороших и шесть посредственных. При одном выстреле отличный стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,9, хороший с вероятностью 0,8, посредственный с вероятностью 0,7. Наугад выбранный стрелок выстрелил дважды; отмечено одно попадание и один промах. Каким, вероятнее всего, был этот стрелок: отличным, хорошим или посредственным?
7. Вероятность выигрыша по облигации займа за все его действия равна 0,25. Какова вероятность того, что некто, приобретя 6 облигаций, выигрывает по 4 из них?
8. Всхожесть семян оценивается вероятностью 0,9. Найти вероятность того, что из 400 посеянных семян взойдёт 350.
9.
Средний процент нарушения работы
кинескопа телевизора в течение
гарантийного срока равен 12. Вычислить
вероятность того, что из 66 наблюдаемых
телевизоров более 56 выдержат гарантийный
срок.
10. Бросается игральная кость до первого появления шестерки. Случайная величина х равна бросанию кости. Найдите закон распределения случайной величины х и вероятность события х < 5.
11. .
13.
14. а = 6, .
1. Из партии, в которой 30 деталей без дефекта и 5 с дефектом, берут наудачу 3 детали. Найти вероятность того, что по крайней мере одна деталь без дефекта.
2. Ребёнок играет с четырьмя буквами разрезной азбуки С. Т, У, Л. Какова вероятность того, что при случайном расположении в ряд он получит слово
3. Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 2-м, либо 5-ти, либо тому и другому одновременно.
4.
В первой урне содержится 10 шаров, из них
8 белых, во второй урне 20 шаров, из них 4
белых. Из каждой урны наудачу извлекли
по одному шару, а затем из этих шаров
наудачу взят один шар.
Найти вероятность
того, что взят белый шар.
5. Электролампы изготавливаются на 3-х заводах. Первый завод производит 45 % общего количества электроламп, второй 40 %, третий 15 %. Продукция первого завода содержит 70 % стандартных ламп, второго 80 %, третьего 81 %. В магазины поступает продукция всех трёх заводов. Какова вероятность того, что купленная в магазине лампа окажется стандартной?
6. Два стрелка независимо один от другого стреляют по одной мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8, для второго 0,4. После стрельбы в мишень обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что в мишень попал первый стрелок.
7. Пусть всхожесть семян ржи составляет 90 %.Чему равна вероятность, того что из 6 посеянных семян взойдут 4?
8.
100 станков работают независимо друг от
друга — причем вероятность бесперебойной
работы каждого из них в течение смены
равна 0,8.
Найти вероятность того, что в
течение смены бесперебойно работает
85 станков.
9. В среднем левши cоставляют 1 %. Какова вероятность того, что среди 1100 студентов не менее 20 левшей.
10. Дискретная случайная величина х – число мальчиков в семьях с 4 детьми. Предполагая равновероятным рождения мальчика и девочки.
2) постройте многоугольник распределения.
11. .
13. ;
14. а = 10,
В урне 10 шаров черного или красного цвета. При случайном выборе двух шаров из урны вероятность того, что будет выбран каждый цвет, равна \[\dfrac{8}{15}\]. Предполагая, что в урне больше черных, чем красных шаров, вероятность того, что при выборе двух шаров будет выбран хотя бы один черный шар, равна (a) \[\dfrac{18}{45}\](b) \[\dfrac{ 30}{45}\](c) \[\dfrac{39}{45}\](d) \[\dfrac{41}{45}\]
Дата последнего обновления: 06 февраля 2023 г.
•
Всего просмотров: 255.3k 9
255,3 тыс.+ просмотров такой, что \[x+y=10\]. Затем, используя вероятность выбора шаров каждого цвета при случайном выборе двух шаров как \[\dfrac{8}{15}\], мы должны найти \[x,y\]. Тогда мы можем легко найти вероятность того, что выпадет хотя бы один черный шар.
Полное пошаговое решение
Дано, что в урне 10 шаров
Предположим, что количество черных шаров = \[x\]
Предположим, что количество красных шаров = \ [y\]
Поскольку всего имеется 10 шаров, мы можем написать \[x+y=10\]
Кроме того, нам дано, что вероятность того, что будет выбран каждый шар каждого цвета, равна\[P=\dfrac{ 8}{15}\] при одновременном взятии двух мячей.
Подсчитаем, сколько у нас шансов вытащить по два шара каждого цвета 9{10}{{C}_{2}}=45 \\
\end{align}\]
Теперь, подставив это значение в уравнение (i), мы получим
\[\begin{align}
& \Rightarrow \dfrac{8}{15}=\dfrac{x.y}{45} \\
& \Rightarrow x.
y=8\times 3 \\
& \Rightarrow x.y=6\times 4 \\
\end{align}\ ]
Мы знаем, что \[x+y=10\] и \[x\] больше, чем \[y\] мы можем взять
\[x=6,y=4\]
Теперь давайте посчитаем число шансов у него будет, если будет взят хотя бы один черный шар из двух шаров 9{10}{{C}_{2}}=45\]
Теперь давайте посчитаем вероятность извлечения хотя бы одного черного шара как
\[\begin{align}
&\Rightarrow P=\dfrac{\ text{количество шансов на событие}}{\text{общее количество шансов}} \\
&\Rightarrow P=\dfrac{39}{45} \\
\end{align}\]
Следовательно , вариант (в) правильный.
Примечание: Некоторые учащиеся будут ошибаться, оценивая количество шансов на выпадение хотя бы одного черного шара. Некоторые учащиеся могут пропустить случай (ii), что очень важно. Они пропускают 9{6}{{C}_{2}}=\dfrac{6\times 5}{2}=15\]. Об этом нужно позаботиться.
Недавно обновленные страницы
Если пружина имеет период T и разрезана на n равных 11 класс физики CBSE
Планета движется вокруг Солнца по почти круговой орбите 11 класс физики CBSE
В любом треугольнике AB2 BC4 CA3 и D — середина математики класса 11 JEE_Main
В Delta ABC 2asin dfracAB+C2 равно IIT Математика класса 11 JEE_Main
Если в aDelta ABCangle A 45circ угол C 60circ, то математика класса 11 JEE_Main
Если в треугольнике rmABC сторона равна sqrt 3 + 1rmcm и угол класс 11 по математике JEE_Main
Если пружина имеет период T и разрезана на n равный класс 11 по физике CBSE
Планета движется вокруг Солнца почти по кругу орбита класса 11 по физике CBSE
В любом треугольнике AB2 BC4 CA3 и D является серединой класса 11 по математике JEE_Main
В треугольнике ABC 2asin dfracAB+C2 равно IIT Класс скрининга 11 по математике JEE_Main
Если в aDelta ABCangle A 45circ угол C 60circ затем 11 класс математики JEE_Main
Если в треугольнике rmABC сторона равна sqrt 3 + 1rmcm и классу угла 11 по математике JEE_Main
Тенденции сомнения
1) В урне 10 шаров, 2 красных, 5 синих и 3 зеленых шара.
Выньте 3 шара наугад, без замены. Вы выигрываете 2 за
каждый зеленый шар, который вы выбираете и теряете3, за каждый красный шар, который вы
выбирать. Пусть случайная величина X обозначает сумму вашего выигрыша,
определить функцию массы вероятности X.
2) Каждый из 60 учеников в классе принадлежит ровно к одному из
три группы A, B или C. Членские номера для трех групп 15 студентов
25 Первый, Следующий,
а. б. в.
студенты
студенты
случайным образом выберите одного из 60 студентов и пусть X будет размером
эта студенческая группа;
случайным образом выберите одну из трех групп и пусть Y будет ее размером.
Запишите pmf для X и Y.
Вычислите 𝐸(𝑋) 𝑎𝑛𝑑 𝐸(𝑌).
Вычислите 𝑉𝑎𝑟(𝑋) 𝑎𝑛𝑑 𝑉𝑎𝑟(𝑌).
3. Несколько раз бросьте правильный кубик. Пусть X обозначает количество четверок в
первые 6 бросков, и пусть Y обозначает количество бросков, необходимых для
получить 2.
а. Запишите функцию масс вероятности X. б.
Запишите функцию массы вероятности Y. в. Найдите выражение для
𝑃(𝑋 ≥ 3).
д. Найдите выражение для 𝑃(𝑌 > 6).
Вопрос
Пошаговый ответ
Видеоответ:
Решает проверенный эксперт
1) В урне 10 шаров, 2 красных, 5 синих и 3 зеленых шара.
Выньте 3 шара наугад, без замены. Вы выигрываете $2 за
каждый зеленый шар, который вы выбираете, и теряете 3 доллара за каждый красный шар, который вы
выбирать. Пусть случайная величина X обозначает сумму вашего выигрыша,
определить функцию массы вероятности X.
2) Каждый из 60 учеников в классе принадлежит ровно к одному из
три группы A, B или C. Членские номера для трех групп
следующие:
А: 15 студентов
Б: 20 В: 25 Первый, Следующий,
а. б. в.
студенты
студенты
случайным образом выберите одного из 60 студентов и пусть X будет размером
эта студенческая группа;
случайным образом выберите одну из трех групп и пусть Y будет ее размером.
Запишите pmf для X и Y.
Вычислите 𝐸(𝑋) 𝑎𝑛𝑑 𝐸(𝑌).
Вычислите 𝑉𝑎𝑟(𝑋) 𝑎𝑛𝑑 𝑉𝑎𝑟(𝑌).
3. Несколько раз бросьте правильный кубик. Пусть X обозначает количество четверок в
первые 6 бросков, и пусть Y обозначает количество бросков, необходимых для
получить 2.
Рекомендуемые видео
Стенограмма
Итак, в этом вопросе предоставлена информация о том, что у нас всего 10 шаров, из которых 2 красных, что обозначается только r 5, то есть обозначается b и 3 зеленых . Далее это обозначается буквой g. Дано, что из этих 10 шаров наугад без замены вынимаются 3 вольта. Итак, это заданное условие. Мы должны сделать функцию массы вероятности для x, где x — это сумма uwen, при условии, что вы выигрываете 2 доллара за каждую зеленую облигацию, тогда как это происходит тогда, когда вы теряете за каждую красную облигацию 3 доллара, верно, 4 доллара, синюю, a 4 доллара за синий мяч. Сейчас нет ни проигрыша, ни игры. Пусть x будет суммой, u n! Итак, делаем стол. Заголовок bean-компонента resultnext равен x. Это указанная сумма. Далее следует вероятность того, что x придет к результатам.
Подбираем 2 болта так 3 c 2 из 2 красных шариков. Мы выбираем 1 мяч, то есть 2 c 1, деленное на 10 c 3. Таким образом, это будет равно зеленому зеленому сараю 6, деленному на 120 очков. Точно так же мы можем рассчитать для отдыха. Рассчитаем еще на 1, то есть вероятность зеленого, красного и синего, так что это равно вероятности того, что х равен минус 1, то есть 3 зеленых шара. Мы выбираем 1, то есть 3 con из 2 красных шаров. Выбираем 1, то есть 2 конуса из 5 синих шаров. Мы выбираем 1, то есть 5 с 1, деленное на 10 с 3. Так что это будет равно этому будет равно. Я предполагаю, что это минус 1, так что это будет равно 30, деленному на 120 пунктов справа, поэтому мы будем вычислять одинаково для каждого. Давайте сведем в таблицу значения для 6. У нас есть 1, деленное на 1. 20 баллов для 1. У нас есть 6, деленные на 120 баллов, для 4. У нас есть 15, деленные на 120 баллов. Рядом с минус 4. Имеем 3 делим на 120 минус 65, делим на 12230, делим на 120, минус 320, делим на 120, минус 130, делим на 12010, делим на 120 пункт.