7 класс. Геометрия. Соотношения между сторонами и углами треугольников. Прямоугольные треугольники. — Основные свойства прямоугольных треугольников.
Комментарии преподавателяОсновные свойства прямоугольных треугольников
1. Повторение теоретических сведений, первое свойство прямоугольного треугольника
Сначала вспомним, что такое прямоугольный треугольник. Прямоугольным называется треугольник, если у него хотя бы один из углов прямой (т. е. равен 90о).
На рисунке 1 изображён прямоугольный треугольник АВС, ∠C=90. Вспомним, что сумма углов произвольного треугольника равна 180о. Не есть исключением и прямоугольный. Сумма углов прямоугольного треугольника также равна 180о. Обозначим острые углы ∠A и ∠В. Вследствие того, что ∠А + ∠В + ∠ С = 180о, а ∠С=90 следует, что ∠А + ∠В = 180 — ∠С = 90. Немаловажно знать, что у сторон прямоугольного треугольника есть свои названия. К примеру, стороны, прилежащие к вершине прямого угла, называются катетами.
А сторона, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой. На рисунке 1 АС, ВС – катеты, АВ – гипотенуза.
Рис. 1. Прямоугольный треугольник
Свойство 1: Сумма острых углов треугольника равна 90о.
Вспомним из выученного материала факт, что в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла лежит большая сторона. Прямой угол – наибольший в прямоугольном треугольнике. Если один угол прямоугольного треугольника больше 90о (не учитывая действительный прямой угол), то данный треугольник перестаёт таковым являться, ведь сумма углов превысит 180о. Таким образом, гипотенуза – наибольшая сторона треугольника.
2. Второе свойство прямоугольного треугольникаСвойство 2: АB > AC, АB > BC.
Третье свойство прямоугольного треугольника связано с наличием угла 30о. На рисунке 2 дан прямоугольный треугольник АВС. Угол А равен 30о. Доказать, что ВС равна половине АВ.
Рис. 2. Прямоугольный треугольник АВС и равносторонний треугольник АBD
Доказательство:
Выполним дополнительное построение. А именно достроим треугольник АСD на стороне АС, равный треугольнику АВС. Поскольку АС в полученном треугольнике АBD является и биссектрисой, и высотой, то треугольник АBD – равнобедренный, а поскольку все его углы равны по 60о (∠В = 90о — ∠А = 90о – 30о = 60о), то треугольник АBD – равносторонний.
Поскольку треугольник АВD – равнобедренный, то ВD = АВ. Если АС – медиана и высота треугольника АВD, то СD = СВ. Поскольку ВD = АВ, то СВ = .
Что и требовалось доказать.
3. Третье свойство прямоугольного треугольника – наличие угла 30 градусовСвойство 3: Катет, лежащий против угла 30о, равен половине гипотенузы.
Справедливо и обратное утверждение: если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против данного катета равен 30о.
Доказательство:
Обозначим известную сторону АВ = с. Выполним дополнительное построение. А именно достроим треугольник АСD на стороне АС, равный треугольнику АВС. Поскольку АС в полученном треугольнике АBD является и медианой, и высотой, то треугольник АBD – равнобедренный, а поскольку все его стороны равны с, то треугольник АBD – равносторонний. Соответственно, в равнобедренном треугольнике все углы равны по 60о. Из этих соображений следует, что угол DAB = 60o. А поскольку, АС – биссектриса треугольника АBD (так как она есть медианой и высотой), то угол САВ равен половине угла DAB, то есть 30о.
Что и требовалось доказать.
4. Решение задачРассмотрим некоторые конкретные задачи.
Пример 1:
Найдите градусную меру острого угла в равнобедренном прямоугольном треугольнике.
Решение:
Выполним пояснительный рисунок.
Рис. 3. Чертёж к примеру 1
Гипотенуза всегда больше катета, потому что она лежит против большего угла, а значит если треугольник равнобедренный, выполняется равенство катетов. Поскольку в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то ∠А = ∠В. Используя известный факт, что сумма острых углов треугольника равна 90о, получаем, что ∠А = ∠В = 90/2 = 45.
Ответ: 45.
ИСТОЧНИК
http://x-uni.com/geometriya/7-klass/video/osnovnye-svoystva-pryamougolnyh-treugolnikov
http://nsportal.ru/sites/default/files/2012/02/27/nekotorye_svoystva_pryamougolnogo_treugolnika_0.ppt
https://otvet.imgsmail.ru/download/45720838_00b392ed21fd54ff5ad4a4af93b19e7c_800.jpg
http://istudy.su/wp-content/uploads/2015/09/6_Pryamougolnyj-treugolnik.jpg
Соотношения между сторонами и углами треугольника
Похожие презентации:
Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)
Применение производной в науке и в жизни
Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»
Знакомство детей с математическими знаками и монетами
Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10
Методы обработки экспериментальных данных
Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ
Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии
Дифференциальные уравнения
Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи
1. Соотношения между сторонами и углами треугольника
Проект по геометриивыполнила Манасян Луиза
ученица 7 в класса. Учитель
Садыкова Лилия Ренатовна
2. Теорема о сумме углов треугольника
ТеоремаСумма углов
треугольника равна
180⁰
Теорема
Внешний угол
треугольника равен
сумме двух углов
треугольника
3. Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника
ТеоремаСледствие 1
В треугольнике против
большей стороны лежит
больший угол обратно,
против большего угла
лежит большая
В гипотенуза больше
прямоугольном
треугольнике катета
Следствие 2
Если два угла треугольника равны то
треугольник равнобедренный
4.
Неравенство треугольникаТеоремаКаждая сторона
треугольника меньше
суммы двух других
сторон
Следствие
Для любых трех точек А ,
В и С, не лежащих на
одной прямой ,
справедливы неравенства
: AB<AC+CB
,AC<AB+BC,BC<BA+AC.
5. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы то угол лежащий против этого катета равен 30 градусов
Катет прямоугольноготреугольника лежащий
против угла в 30 градусов
равен половине
гипотенузы
Сумма двух острых углов
прямоугольного
треугольника равна 90⁰
6. Признаки равенства прямоугольных треугольников .
Из второго признака равенстваИз первого признака
равенства треугольников
следует :
Если катеты одного
прямоугольного треугольника
соответственно равны катетам
другого , то такие
треугольники равны .
треугольников следует :
Если катет и прилежащий к нему
острый угол одного
прямоугольного треугольника
соответственно равны катету и
прилежащему к нему острому углу
другого , то такие треугольники
равны.
7. Признаки равенства прямоугольных треугольников
Теорема :Теорема:
Если гипотенуза и катет
Если гипотенуза и катет
одного прямоугольного
одного прямоугольного
треугольника
треугольника
соответственно равны
соответственно равны
гипотенузе катету
гипотенузе и острому углу
другого , то такие
другого ,то такие
треугольники равны.
треугольники равны .
8. Расстояние от данной точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми.
Обратное доказанной теореме:Теорема
Все точки каждой из двух
параллельных прямых
равноудалены от другой
прямой.
Все точки плоскости
расположенные по одну сторону от
данной прямой и равноудалённые
от неё лежат на прямой
параллельной данной .
Из доказанной теоремы и ей
обратной следует ,что множества
всех точек плоскости находящихся на
заданном расстоянии от данной
прямой и лежащих по одну сторону то
неё , есть прямая ,параллельная
данной прямой .
9. Задача номер 229
10. Доказательство теоремы :каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
English Русский Правила
Как найти углы треугольника с отношением
Следующие шаги были бы полезны, чтобы найти углы треугольника по заданному отношению.
Шаг 1 :
Пусть углы треугольника находятся в отношении a : b : c. Чтобы получить три угла, умножьте каждый член отношения на неизвестное, скажем, «х».
Тогда три угла равны ax, bx и cx.
Шаг 2 :
Поскольку сумма углов треугольника составляет 180°,
ax + bx + cx = 180
Найдите x в приведенном выше уравнении и умножьте значение x на a, b и c отдельно, чтобы найти меру каждого угла.
Пример 1 :
Если углы треугольника относятся как 5 : 4 : 3, то найдите величину каждого угла.
Решение:
Из отношения 5 : 4 : 3 углы треугольника равны
5x, 4x и 3x
Сумма углов треугольника = 180° = 180
Упрощение.
12x = 180
Разделите каждую сторону на 12.
x = 15
1 ST Угол = 5 (15) = 75 °
2 ND Угол = 4 (15) = 60 °
3 rd угол = 3(15) = 45°
Пример 2 :
Если углы треугольника относятся как 3 : 4 : 8, то найдите величину каждого угла.
Решение:
Из соотношения 3 : 4 : 8 углы треугольника равны
3x, 4x и 8x
Сумма углов треугольника = 180°
3x + 4x + 8x = 180
Упростить.
15x = 180
Разделите каждую сторону на 15.
x = 12
1 ST Угол = 3 (12) = 36 °
2 ND Угол = 4 (12) = 48 °. Пример 3 меры углов B и C.
Решение :
Из соотношения 2 : 3 углы B и C равны 2x и 3x.
Сумма углов треугольника = 180°
m∠A + m∠B + m∠C = 180°
Замена.
90 + 2x + 3x = 180
Упростить.
90 + 5x = 180
Вычтите 90 с каждой стороны.
5x = 90
Разделите каждую сторону на 5.
x = 18
м∠B = 2(18) = 36°
м∠C = 3(18) = 54°
Пример 4 :
В треугольнике ABC мера ∠A совпадает с мерой ∠B, а отношение мер ∠B и ∠C равно 2 : 3. Найдите величину каждого угла.
Решение:
Дано: мера угла A является одной из мер угла B. : ∠B = 1 : 2 —-(1)
Дано: Меры ∠B и ∠C равны 2 : 3. Найдите величину каждого угла.
∠B : ∠C = 2 : 3 —-(3)
Из (1) и (2) ∠A, ∠B и ∠C находятся в соотношении 1 : 2 : 3.
Из отношение 1 : 2 : 3, меры ∠A, ∠B и ∠C равны
x, 2x и 3x
Сумма углов треугольника = 180° .
6x = 180
Разделить каждую сторону на 6.
x = 30
∠A = 30°
Помимо всего вышеперечисленного, если вам нужны какие-либо другие материалы по математике, воспользуйтесь нашим пользовательским поиском Google здесь.
Пожалуйста, отправьте ваш отзыв на v4formath@gmail. com
Мы всегда ценим ваши отзывы.
©Все права защищены. onlinemath5all.com
Чтобы лучше понять некоторые проблемы, связанные с самолетами и движение необходимо использовать некоторые математические идеи из тригонометрия, изучение треугольников. На другой странице мы ввели тригонометрические функции синус, косинус и тангенс углов прямоугольного треугольника и описал, как эти функции связать величину сторон треугольника. На этой странице мы продолжим изучение отношений между сторонами прямоугольного треугольника и показать что тригонометрические функции зависят только от углов треугольника, а не по размеру треугольник. На этой странице мы построили три прямоугольных треугольника
разного размера, но с одинаковым острым углом c внизу слева. Используя терминологию из
синус, косинус и тангенс страницы,
мы сделали сторону противоположной углу c равным
до 1,0 для красного треугольника. тангенс (с) = 1 / 2 = 0,5 Для синего треугольника мы сохраняем угол c таким же, но мы удвоили размер стороны , противоположной стороне , и рядом сбоку. Математики сказали бы, что синий и красные треугольники — это подобных треугольников; углы равны, но размер другой. Каково отношение противоположного к рядом с синим треугольником? тангенс (с) = 2 / 4 = 0,5 То же значение, что и для красного треугольника. Для желтого треугольника имеем
утроил размер красного треугольника. Сторона , противоположная , теперь равна 3 единицам.
длина, а соседняя сторона теперь имеет длину 6 единиц. Желтый треугольник
математически подобен красному и синему треугольнику. |