Вектор обозначение: основные понятия и определения, формулы и онлайн калькуляторы

Содержание

Обозначение точечных данным с использованием векторов направления—ArcMap

Предварительное условие:

Перед выполнением процедуры необходимо, чтобы точечный слой трекинга находился на документе карты и имел соответствующий идентификатор. Если у слоя трассировки идентификатора трассировки, желаемые результаты при выполнении данной процедуры получены не будут. Можно установить или изменить идентификатор трассировки (ID) для слоя трекинга на вкладке Время в диалоговом окне Свойства слоя.

Векторы направления можно добавлять к событиям в точечном слое трекинга, чтобы показать направление, в котором движется объект трассировки, и его скорость.

В окне Таблица содержания дважды щелкните точечный слой трекинга и откройте диалоговое окно Свойства слоя. Выберите вкладку Символы.
На панели Показать выберите Дополнительные опции событий и убедитесь, что отметка Дополнительные опции событий установлена. Также убедитесь, что установлена отметка События выше.
Если вы хотите добавить векторы направления только самым последним событиям в каждом треке, щелкните Расширенные параметры последних событий вместо Расширенные параметры событий и продолжайте, следуя инструкции. Чтобы добавить векторы направления только самым последним событиям в каждом треке, необходимо определить идентификатор трассировки в вашем слое трекинга.
Поставьте отметку Векторы направлений на панели Расширенные типы в центре вкладки Символы, чтобы включить векторы направлений.
Нажмите кнопку Свойства… напротив отметки Векторы направлений на панели Расширенные типы. Откроется диалоговое окно Свойства визуализации вектора направления.
По умолчанию для всех свойств векторов направления для слоя трекинга установлены те же настройки, что и для глобальных свойств в вашем документе карты. Как только вы измените свойства векторов направления для одного конкретного слоя трекинга в диалоговом окне Свойства визуализации вектора направления, как это показано в дальнейшем, слой трекинга перестанет использовать глобальные свойства векторов направления.
После изменения свойств вы можете в любой момент вернуться к глобальным настройкам, нажав кнопку Использовать глобальные.
Как задать глобальные свойства вектора направления.
В диалоговом окне Свойства метода отображения вектора направления нажмите большую кнопку с символом линии. Откроется диалоговое окно Выбор символа. Выберите символ линии, которые будет представлять векторы направления в вашем слое трекинга.
При выборе символа для векторов направления рекомендуется выбирать символ со стрелкой на конце, похожий на символ, который используется по умолчанию. Это позволит видеть направления, в котором движутся отслеживаемые объекты.
В раскрывающемся списке Проецируемые интервалы времени выберите число из раскрывающегося списка. Также можно щелкнуть внутри текстового поля и ввести число.
В раскрывающемся списке выберите единицы измерения для проецируемого интервала времени.
Число и единицы измерения вместе определяют длину направления векторов. Например, если ввести 2 в первое текстовое поле и выбрать Часы в качестве единиц измерения, то каждый направленный вектор указывает, где будет отслеживаемый объект через два часа в будущем. Необходимо понимать данные и выбирать соответствующий проецируемый интервал времени.
Нажмите OK, чтобы закрыть диалоговое окно Свойства визуализации вектора направления.
Нажмите OK, чтобы закрыть диалоговое окно Свойства слоя и принять все изменения.

Теперь для событий в вашем слое трекинга отображаются векторы направления. При воспроизведении данных трекинга будут отображаться векторы направлений только тех событий, которые выбраны как видимые.

Подсказка:

Если векторы направления не видны, то связано это может быть, во-первых, с тем, что они слишком маленькие. Чтобы увидеть векторы, следует увеличить масштаб карты или выполнить описанные выше шаги, чтобы задать больший интервал времени проекции для вектором направления.

Обозначения Дирака — Azure Quantum

Статья
12/21/2022
Чтение занимает 10 мин

Нотация Дирака — это язык, который разработан для точного выражения состояния в квантовой механике. Примеры в этой статье можно рассматривать как предложения и использовать их для краткого выражения идей в квантовых вычислениях.

Ограничения нотации для вектора-столбца

Хотя нотация для векторов-столбцов широко используется в линейной алгебре, она часто может иметь громоздкий вид в квантовых вычислениях, особенно при работе с несколькими кубитами. Например, когда вы определяете $\psi$ как вектор, то не всегда очевидно, является ли $\psi$ вектором-строкой или вектором-столбцом. Таким образом, если $\phi$ и $\psi$ — векторы, то опять-таки непонятно, задан ли $\phi\psi$, поскольку в определенном контексте формы $\phi$ и $\psi$ могут быть не совсем ясны. Помимо неоднозначности в формах векторов, выражение даже простых векторов с использованием линейной алгебраические нотации может иметь громоздкий вид. Например, если вам нужно описать $n$-кубитное состояние, в котором каждый кубит принимает значение $0$, то формально выразите состояние как

$$\begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}\otimes\cdots\otimes\begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}. 2$.

Ниже приведен прием, который используется для описания квантовых состояний, которые кодируют значения 0 и 1 (однокубитные состояния на вычислительной базе):

$$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}=\ket{{0},\qquad\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}=\ket{{1}. $$

Пример. Представление операции Адамара с помощью нотации Дирака

Следующую нотацию часто используют для описания состояний, возникающих в результате применения вентиля Адамара к $\ket{0}$ и $\ket{1}$. Эти состояния соответствуют единичным векторам в направлениях $+x$ и $-x$ в сфере Блоха:

$$\frac{1}{\sqrt{{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}=H\ket{0}=\ket{+},\qquad\frac{1}{\sqrt{{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}=H\ket{{1}=\ket{{-} . $$

С помощью нотации Дирака эти состояния также можно развернуть в виде сумм $\ket{0}$ и $\ket{1}$:

$$\ket{+}=\frac{{1}{\sqrt{2}}(\ket{0} + \ket{1}),\qquad\ket{{-}=\frac{{1}{\sqrt{{2}}(\ket{{0} — \ket{1}). $$

Векторы вычислительной базы

Эти состояния часто называют вычислительной базой по следующей причине: каждое квантовое состояние всегда можно выразить в виде сумм векторов вычислительной базы, и такие суммы можно легко выразить с помощью нотации Дирака. Обратное утверждение также верно в том смысле, что состояния $\ket{+}$ и $\ket{-}$ также образуют базис для квантовых состояний. Это подтверждается тем фактом, что

$$\ket{{0}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{+} + \ket{-}),\qquad\ket{{1}=\frac{{1}{\sqrt{{2}}(\ket{+} — \ket{-}). $$

В качестве примера нотации Дирака рассмотрим braket $\braket{0 | 1}$, который является внутренним произведением $0$ и $1$. Это можно записать как

$$\braket{0 | 1}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\ 1\end{bmatrix}=0. $$

Этот пример говорит о том, что $\ket{{0}$ и $\ket{{1}$ являются ортогональными векторами, т. е. $\braket{0 | 1}=\braket{1 | 0}=0$. Кроме того, по определению $\braket{0 | 0}=\braket{1 | 1}=1$, что означает, что два вектора вычислительной базы также можно назвать ортонормальными.

Эти ортонормальные свойства пригодятся в следующем примере. Если у вас есть состояние $\ket{\psi}={\frac{3}{5}}\ket{{1} + {\frac{{4}{5}}\ket{0}$, то так как $\braket{1 | 0}=0$ вероятность измерения $1$ составляет

$$\big|\braket{1 |\psi}\big|^2=\left|\frac{{3}{5}\braket{1 | 1} +\frac{{4}{5}\braket{1 | 0}\right|^2=\frac{{9}{{25}. $$

Нотация тензорного произведения

Нотация Дирака также включает неявную структуру тензорного произведения. Эта структура важна, поскольку в квантовых вычислениях вектор состояния, описанный двумя некоррелированными квантовыми регистрами, является тензорным произведением двух векторов состояния. Сжатое описание структуры тензорного произведения или его отсутствие имеет критически важное значение, если необходимо разъяснить квантовые вычисления. Структура тензорного произведения подразумевает, что вы можете записать $\psi\otimes\phi$ для любых двух векторов квантового состояния $\phi$ и $\psi$ как $\ket{\psi}\otimes\ket{\phi}$. Но, как правило, запись $\otimes$ между векторами не требуется, и вы можете просто записать $\ket{\psi}\ket{\phi}=\ket{\psi\phi}$. Дополнительные сведения о векторах и тензорных произведениях см. в статье Векторы и матрицы в квантовых вычислениях. Например, состояние с двумя кубитами, инициализированное в нулевом состоянии, задано как

$$\ket{0}\otimes\ket{0}=\ket{{0}\ket{{0}=\ket{{00}=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}. \dagger$ для векторов квантовых состояний $\psi$ и $\phi$. Самый простой и, вероятно, наиболее распространенный пример этой нотации

$$\ket{{0}\bra{0}=\begin{bmatrix}1\\ 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 &0\\ 0 &0\end{bmatrix}\qquad\ket{1}\bra{1}=\begin{bmatrix}0\\ 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 &0\\ 0 &1\end{bmatrix}. $$

Ketbra часто называют проекторами, так как они проецируют квантовое состояние на зафиксированное значение. Так как эти операции не являются унитарными (и даже не сохраняют норму вектора), то квантовый компьютер не может детерминированно применить проектор. Однако проекторы выполняют полезную задачу, описывая воздействие, которое оказывает измерение на квантовое состояние. Например, если вы измеряете состояние $\ket{\psi}$ и получаете значение $0$, тогда результирующее преобразование состояния в результате измерения будет

$$\ket{\psi}\rightстрелка \frac{(\ket{{0}\bra{{0})\ket{\psi}}{|\braket{0 |\psi}|}=\ket{{0},$$

что и ожидалось, когда в результате измерения состояния получено значение $\ket{0}$. {\dagger}$ (то есть $\rho$ — это эрмитова матрица).

Каждое собственное значение $p$ матрицы $\rho$ равно $0 <= p <= 1$.

Сумма всех собственных значений матрицы $\rho$ равна 1.

В совокупности эти условия гарантируют, что матрицу $\rho$ можно рассматривать как ансамбль. Оператор плотности для вектора квантового состояния $\ket{\psi}$ имеет вид $\rho =\sum_i p_i \ket{\psi_i}\bra{\psi_i}$, то есть разложение собственного значения $\rho$. В этом случае $\rho$ описывает ансамбль $\rho ={\ket{\psi_i}\text{ с вероятностью }p_i}$.

Чистые квантовые состояния — это такие состояния, которые характеризуются одним кет-вектором или волновой функцией и не могут быть записаны в виде статистического сочетания (или выпуклой комбинации) других квантовых состояний. Смешанное квантовое состояние — это статистический ансамбль чистых состояний.

На сфере Блоха чистые состояния представлены точкой на поверхности сферы, тогда как смешанные состояния представлены внутренней точкой. Полностью смешанное состояние одного кубита представлено центром сферы, симметрией. Чистоту состояния можно визуализировать как степень, в которой оно близко к поверхности сферы.

Эта концепция представления состояния в виде матрицы, а не вектора зачастую удобна тем, что она позволяет удобный способ представления вычислений вероятности, а также позволяет описать как статистическую неопределенность, так и квантовую неопределенность в рамках одно и той же математической модели.

Совет

Библиотека Python QuTiP полезна при работе с квантовыми состояниями. Вы можете записывать квантовые состояния в нотации QuTiP, используя qt.basis(2, i) для представления $\ket{i}$ одного кубита. Дополнительные сведения о методах и функциях QuTiP см. в руководстве пользователя QuTiP.

Оператор плотности $\rho$ представляет чистое состояние в том и только в том случае, если выполняются следующие условия:

$\rho$ можно записать как внешнее произведение вектора состояния $\rho=\ket{\psi}\bra{\psi}$.

2$ можно получить так:

print((rho_pure ** 2).tr())

0.9999999999999996

Для однокубитных систем смешанные состояния могут отображаться на сфере Блоха так же, как векторы состояния. Чистые состояния — это те состояния, которые находятся на поверхности сферы Блоха, а смешанные состояния в общем случае могут находиться «внутри» нее.

import matplotlib.pyplot as plt
plt.figure(figsize=(6, 6))
bloch = qt.bloch.Bloch()
bloch.add_states([rho_pure], kind='point')
print(bloch.show())

plt.figure(figsize=(6, 6))
bloch = qt.bloch.Bloch()
bloch.add_states([rho_mixed], kind='point')
bloch.show()

Состояние в центре сферы Блоха является максимально смешанным. В отличие от чистых состояний максимально смешанное состояние возвращает результаты 50/50 для любого идеального измерения Паули.

Дополнительные сведения об операторах плотности и чистых и смешанных состояниях можно получить в одной из справочных книг, представленных в разделе Рекомендуемое содержимое. {\otimes n}\ket{0}$. Это экспоненциально более короткое описание состояния не только имеет то преимущество, что можно аргументировать его в рамках классической модели, но оно также четко определяет операции, которые необходимо распространить через программный стек для реализации алгоритма. По этой причине Q# предназначен для создания последовательностей ворот, а не квантовых состояний, однако на теоретическом уровне эти две перспективы эквивалентны.

Как создать вектор в Word

Создать вектор со стрелкой над

Word предлагает разные способы создания вектора в документе:

	Используя уравнение — *, мы настоятельно рекомендуем этот способ!*
	Использование Автозамены по математике
	Использование диалогового окна Symbol

I. Используя уравнение:

Этот способ идеально подходит, если вам не нужно заботиться о формате и совместимости с предыдущими версиями Microsoft Office (рекомендуемый подход для физико-математических наук, требующих большого количества математических выражений в тексте с согласованными шрифтами для всех уравнений и символов). ):

1. В абзаце, куда вы хотите вставить вектор , нажмите Alt+= , чтобы вставить блок экватора:

2. В блоке вождения введите модуль вектора и выберите его. Это может быть одна буква, несколько букв или даже выражение.

Например: .

3. На вкладке Уравнение в группе Конструкции нажмите кнопку Акцент :

В списке Акцент выберите Бар или Стрелка вправо Над :

или

Примечание . Если вы хотите продолжить работу с этим уравнением, дважды щелкните стрелку вправо, чтобы выйти из поля под вектором: &RightArrow; &Правая стрелка; . Итак, чтобы продолжить работу с уравнением, в нем не должно быть выделенных данных:

II. Использование автозамены для математики:

Когда вы работаете со многими документами и часто нужно вставить один специальный символ, вам не нужно каждый раз вставлять уравнение. Microsoft Word предлагает полезную функцию под названием AutoCorrect . Параметры AutoCorrect в Microsoft Word предлагают два разных способа быстрого добавления любого специального символа или даже больших фрагментов текста:

Использование Заменять текст при вводе функция автозамены вариантов.
Использование параметров Math AutoCorrect :

Используя этот метод, вы можете использовать параметры Math AutoCorrect без вставки уравнения. Чтобы включить или выключить AutoCorrect

символов Math , выполните следующие действия:

1. На вкладке Файл нажмите Параметры :

2. В Параметры Word диалоговое окно, на Вкладка Правописание нажмите кнопку Параметры автозамены… :

3. В диалоговом окне AutoCorrect на вкладке Math AutoCorrect выберите параметр Использовать правила Math AutoCorrect за пределами математических областей :

После нажатия OK вы можете использовать любое из перечисленных Имен символов , и Microsoft Word заменит их соответствующими символами:

Примечание : Если вам не нужна последняя замена, нажмите Ctrl+Z , чтобы отменить ее.

III. Использование диалогового окна «Символ»:

Microsoft Word предлагает удобную возможность комбинировать два символа (см. Наложение символов). Чтобы добавить какой-либо элемент к символу, например,

штрих , апостроф и т. д., введите символ и сразу вставьте векторную метку из Комбинирование диакритических знаков для символов подмножество любого шрифта (если оно существует).

Чтобы объединить элемент с введенным символом, откройте диалоговое окно Символ :

На вкладке Вставка в группе Символы выберите кнопку Символ , а затем нажмите Дополнительные символы.. :

В диалоговом окне Symbol :

В списке Font выберите шрифт Segoe IU Symbol ,
Опционально, чтобы найти символы быстрее, в Подмножество списка , выберите подмножество Комбинация диакритических знаков для символов ,
Выберите символ:
Нажмите кнопку Вставить , чтобы вставить символ,
Нажмите кнопку OK , чтобы закрыть диалоговое окно Symbol .

Создать вектор с тильдой под буквой

Что касается обычного знака вектора, то Word предлагает несколько способов создания вектора с тильдой под буквой:

— Используя уравнение — , мы настоятельно рекомендуем этот способ!
— использование диалогового окна Symbol .

I. Используя уравнение:

1. В абзаце, куда вы хотите вставить вектор , нажмите Alt+= , чтобы вставить блок экватора:

2. В блоке верховой езды введите один за другим:

векторная переменная, например, буква а ,
тип \ниже :
введите тильду ~ . Word автоматически меняет команду \ниже на соответствующий символ:

После нажатия пробела Word отображает букву с тильдой под ней:

II. Использование диалогового окна Символ:

Чтобы объединить элемент с введенным символом (например, буква a ), откройте диалоговое окно Символ :

1. На вкладке Вставка в группе Символы нажмите кнопку Символ и нажмите Дополнительные символы… .

2. В диалоговом окне Symbol :

В списке Font выберите шрифт Cambria Math или Lucinda Sans Unicode ,
При необходимости, чтобы быстрее находить символы, в списке Подмножество выберите Комбинирование диакритических знаков подмножество,
Выберите символ:
Нажмите кнопку Вставить , чтобы вставить символ,
Нажмите кнопку OK , чтобы закрыть диалоговое окно Symbol .

Украшенные символы (например, x-bar, q-dot, v-vector) в HTML

Украшенные символы (например, x-bar, q-dot, v-vector) в HTML
John Denker

1 Рекомендация по стилю A

В обычных ситуациях лучше использовать , а не . векторы вообще. То есть вместо того, чтобы представлять вектор как v→ (со стрелкой) или v (жирный шрифт), рекомендую писать простой v. Если вы хотите указать скалярную величину вектора v можно написать просто |v|.

Я использую символ v→ , только когда цитирую кого-то другого, не тогда, когда я пишу своим голосом.

Эта политика является обязательной при любых действиях с Клиффордом. Алгебра, потому что есть много степеней (скалярная, векторная, бивекторная и т. д.). так далее). Во-первых, просто не хватает украшений, чтобы выделить все возможности. Во-вторых, вы быстро узнаете что есть лучший способ сделать различия, которые должны быть made: Сделайте это частью определения символа. То есть, если вы хотите, чтобы s представляла скаляр, так и скажите. Если ты хочешь b для представления бивектора, скажем так.

По аналогии рассмотрим размерный анализ. Мы не украшаем символы для обозначения размеров соответствующей величины. Если мы хотим, чтобы x представлял длину, мы просто так говорим. Если мы хотим, чтобы v представляют собой скорость, мы просто так говорим. Отслеживание степени объект так же просто, как отслеживать размеры.

В сложном документе полезно иметь легенду или глоссарий , в котором приведены значения символов. В длинном документа, который по мере продвижения приобретает больше символов, вы можете иметь краткий глоссарий в начале и все более длинные глоссарии дальше. Пример:

10ar 90s 08 зависящий от кадра0035

2 рабочих украшения

Если вы решите украсить свои символы, вы обнаружите, что создать прилично выглядящие украшения в HTML непросто.

Я нашел способ, который достаточно хорошо работает при использовании Firefox для просмотра HTML-документов. Техника работает для точки (возможно, для обозначения производной по времени), для верхней черты (возможно, для обозначения среднее) и для стрелки (для указания вектора). вот мои лучшие результаты:

v	…	velocity	contravariant vector
a	…	acceleration	contravariant vector
m	…	масса	инвариантный скаляр
E	…	энергия

… A– … B — … X– …

… A‌ · … B‌ · … A‌ · … B‌ · … A‌ · … B‌ · … … X‌· … xx x‌· xx \|r\| \| р‌· \| r ² r‌· ²

… a→ … b→ … X→ …

(1)

Это было сделано с использованием функций позиционирования элементов HTML. Некоторые макросы для реализации этих украшений представлены в раздел 4.

3 Другие варианты: плюсы и минусы

Теперь мы обсудим преимущества и недостатки других методов. что у вас может возникнуть соблазн попробовать.

Давайте попробуем встроенный оператор \bar{…}. Н ^Е В ^Е А реализует это с помощью HTML. проблема в том, ч ^E V ^E A забывает использовать математический курсив, так что результат не очень хорошо выглядит в уравнениях, как мы видим на LHS следующего уравнения
…ā…b…X… ≠ … a– … b– … X– …
(не курсив) (математический курсив)
             (2)
Также обратите внимание, что ширина полосы забавным образом зависит от символ, который становится запрещенным, что может быть, а может и не быть тем, что вы хотите.
Если вы хотите использовать, вы можете исправить выпуск шрифта вручную, в необработанном HTML:
… а … б … Х …
             (3)
вроде все нормально. Это нормальное решение для перекладин; единственная проблема в том, что он не обобщает до точек и стрелки.
Встроенный оператор \dot{…} ненадежен. Это работает для некоторых букв (например, x), но не работает для других (например, q). Дополнительную информацию об этом см. в ссылке 1. Также обратите внимание, что еще раз у нас проблемы с математическим курсивом:
…ẋ…Ẋ… д
(4)

Как определено юникодом (не HTML как таковым), существуют некоторые «комбинированные диакритические знаки», включая точки и стрелки. Это похоже на правильное решение в теории; единственная проблема в том, что эти диакритические метки еще не поддерживаются должным образом.

В linux/firefox они выглядят уродливо, как вы можете видеть на левой стороне уравнения 5 … и на mac/safari и windows/IE вообще не поддерживаются.

…а⃗…б⃗…Х⃗… (5)

Не знаю проблема ли это со шрифтами или с код реализации в браузере. Для настоящих целей я не Забота. Я смотрю на это с точки зрения пользователя, и все, что я известно, что пользователь получает плохой результат.

Попытка разместить украшения поверх символа с помощью функция HTML неудовлетворительна. Расстояние неправильно, и, похоже, нет никакого способа исправить это.

Другая возможность — опубликовать уравнения в виде изображений. Для уравнения, набранного в L ^A T _E X, есть такие инструменты, как tex4ht которые знают, как сделать это как изображение. Это всегда вариант, но он имеет свою цену, а именно снижение гибкости.

Если вы собираетесь визуализировать уравнения в виде изображений, почему бы не использовать все кстати и опубликовать всю страницу как изображение??? Я делаю это иногда; многие из моих документов доступны как в формате HTML, так и в формате PDF.

Добавить комментарий Отменить ответ

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Комментарий *

Имя *

Email *

Сайт