Вектор x y: На рисунке 259 изображены векторы а, b , с , d , XY. Представьте вектор XY в виде суммы остальных или им противоположных векторов.

Обычно положительное направление по оси x обозначается единичным вектором \(\hat{i}\), а положительное направление по оси y — единичным вектором \(\hat{j}\). Единичные векторы осей \(\hat{i}\) и \(\hat{j}\) определяют два ортогональных направления на плоскости. Как показано на рисунке \(\PageIndex{1}\), компоненты вектора x и y теперь могут быть записаны в терминах единичных векторов осей:

\[ \begin{cases} \vec{A}_{x} = A_{x} \hat{i} \\ \vec{A}_{y} = A_{y} \hat{j} \end {случаи} \метка{2.11}\]

Векторы \(\vec{A}_{x}\) и \(\vec{A}_{y}\), определяемые уравнением 2.11, являются векторными компонентами вектора \(\vec{A}\). Числа A _x и A _y , которые определяют компоненты вектора в уравнении \ref{2. 11}, являются скалярными компонентами вектора \(\vec{A}\). Комбинируя уравнение \ref{2.10} с уравнением \ref{2.11}, мы получаем компонентную форму вектора :

\[\vec{A} = A_{x} \hat{i} + A_{y} \hat{j} \ldotp \label{2.12}\]

Если мы знаем координаты \(b(x_b, y_b)\) исходной точки вектора (где b означает «начало») и координаты e(x _e , y _e ) конца точки вектора (где e означает «конец»), мы можем получить скалярные компоненты вектора, просто вычитая координаты исходной точки из координат конечной точки:

\[ \begin{cases} A_{x} = x_{e} — x_{b} \\ A_{y} = y_{e} — y_{b} \ldotp \end{cases} \label{2.13} \]

Пример \(\PageIndex{1}\): смещение указателя мыши

Указатель мыши на мониторе компьютера в исходном положении находится в точке (6,0 см, 1,6 см) относительно левого нижнего угла боковой угол. Если вы переместите указатель на значок, расположенный в точке (2,0 см, 4,5 см), каков будет вектор смещения указателя?

Стратегия

Начало системы координат xy — нижний левый угол монитора компьютера. Таким образом, единичный вектор \(\hat{i}\) на оси x указывает горизонтально вправо, а единичный вектор \(\hat{j}\) на оси y указывает вертикально вверх. Начало вектора смещения расположено в точке b(6.0, 1.6), а конец вектора смещения расположен в точке e(2.0, 4.5). Подставьте координаты этих точек в уравнение \ref{2.13}, чтобы найти скалярные компоненты D _x и D _y вектора смещения \(\vec{D}\). Наконец, подставьте координаты в уравнение \ref{2.12}, чтобы записать вектор смещения в форме компонента вектора.

Решение

Отождествляем x _b = 6,0, x _e = 2,0, y _b = 1,6 и y _e = 4,5, где физическая единица равна 1 см. Скалярные x- и y-компоненты вектора смещения равны

\[D_{x} = x_{e} — x_{b} = (2,0 — 6,0)\; см = -4,0\; см,\]

\[D_{y} = y_{e} — y_{b} = (4.5 — 1.6)\; см = + 2,9\; см \ldotp\]

Форма векторной компоненты вектора смещения:

\[\vec{D} = D_{x}\; \шляпа{я} + D_{у}\; \шляпа{j} = (-4,0\; см)\; \шляпа{i} + (2,9\; см)\; \шляпа{j} = (-4. 0\; \шляпа{i} + 2.9\; \шляпа{j})\; cm \ldotp \label{2.14}\]

Это решение показано на рисунке \(\PageIndex{2}\).

Значение

Обратите внимание, что физическая единица — здесь 1 см — может быть помещена либо с каждым компонентом непосредственно перед единичным вектором, либо глобально для обоих компонентов, как в уравнении \ref{2.14}. Часто последний способ удобнее, потому что он проще.

Компонента вектора x \(\vec{D}_{x}\) = −4,0 \(\hat{i}\) = 4,0(\(- \hat{i}\)) вектора смещения имеет величину |\(\vec{D}_{x}\)| = |− 4,0||\(\шляпа{i}\)| = 4,0, потому что модуль единичного вектора равен |\(\hat{i}\)| = 1. Обратите внимание также, что направление x-компоненты равно \(− \hat{i}\), что антипараллельно направлению +x-оси; следовательно, вектор x-компоненты \(\vec{D}_{x}\) указывает налево, как показано на рисунке \(\PageIndex{2}\). Скалярная x-компонента вектора \(\vec{D}\) равна D _х = -4,0. Аналогично, векторная y-компонента \(\vec{D}_{y}\) = \(+ 2,9 \hat{j}\) вектора смещения имеет величину |\(\vec{D}_{y} \)| = |2.9||\(\шляпа{j}\)| = 2,9, потому что модуль единичного вектора равен |\(\hat{j}\)| = 1. Направление компонента y равно \(+ \hat{j}\), которое параллельно направлению оси +y. Следовательно, вектор y-компоненты \(\vec{D}_{y}\) направлен вверх, как показано на рисунке \(\PageIndex{2}\). Скалярная y-компонента вектора \(\vec{D}\) равна D _y = + 2,9. Вектор смещения \(\vec{D}\) является равнодействующей двух его компонент вектора.

Форма векторной составляющей вектора смещения Уравнение \ref{2.14} говорит нам, что указатель мыши переместился на мониторе на 4,0 см влево и на 2,9 см вверх от своего начального положения.

Упражнение 2.4

Синяя муха приземляется на лист миллиметровой бумаги в точке, расположенной на 10,0 см правее его левого края и на 8,0 см выше его нижнего края, и медленно движется к точке, расположенной на расстоянии 5,0 см от левого края и 5,0 см от нижнего края. Выберите прямоугольную систему координат с началом в левом нижнем углу листа и найдите вектор смещения мухи. Проиллюстрируйте свое решение графиком.

Зная скалярные компоненты A _x и A _y вектора \(\vec{A}\), мы можем найти его величину A и направляющий угол \(\theta_{A}\). Угол направления — или, для краткости, направление — это угол, который образует вектор с положительным направлением на оси x. Угол \(\theta_{A}\) измеряется против часовой стрелки от оси +x к вектору (рисунок \(\PageIndex{3}\)). Поскольку длины A, A _x и A _y образуют прямоугольный треугольник, они связаны по теореме Пифагора: 9{-1} \left(\dfrac{A_{y}}{A_{x}}\right) \ldotp \label{2.16}\]

Когда вектор лежит либо в первом квадранте, либо в четвертом квадранте, где компонент A _x положителен (рисунок \(\PageIndex{4}\)), угол \(\theta\) в уравнении \ref{ 2. 16}) идентичен дирекционному углу \(\theta_{A}\). Для векторов в четвертом квадранте угол \(\theta\) отрицателен, что означает, что для этих векторов направляющий угол \(\theta_{A}\) измеряется по часовой стрелке от положительной оси x. Точно так же для векторов во втором квадранте угол \(\theta\) отрицателен. Когда вектор лежит либо во втором, либо в третьем квадранте, где компонент A _x отрицательно, угол направления равен \(\theta_{A}\) = \(\theta\) + 180° (рисунок \(\PageIndex{4}\)).

Пример \(\PageIndex{2}\): величина и направление вектора смещения

Вы перемещаете указатель мыши на мониторе из исходного положения в точке (6,0 см, 1,6 см) к значку, расположенному в точке (2,0 см, 4,5 см). Каковы величина и направление вектора смещения указателя?

Стратегия

В примере \(\PageIndex{1}\) мы нашли вектор смещения \(\vec{D}\) указателя мыши (см. уравнение \ref{2.14}). Мы идентифицируем его скалярные компоненты D _x = -4,0 см и D _y = + 2,9 см и подставляем в уравнение \ref{2.15} и уравнение \ref{2.16}, чтобы найти величину D и направление \(\theta_{ Д}\) соответственно. 9{o} \ldotp\]

Упражнение 2.5

Если вектор смещения синей мухи, идущей по листу миллиметровой бумаги, равен \(\vec{D} = (−5,00\; \hat{i} − 3,00\ ; \hat{j})\) см, найти его величину и направление.

Во многих приложениях величины и направления векторных величин известны, и нам нужно найти равнодействующую многих векторов. Например, представьте, что 400 автомобилей движутся по мосту Золотые Ворота в Сан-Франциско при сильном ветре. Каждая машина дает мосту разные толчки в разных направлениях, и мы хотели бы знать, насколько большим может быть результирующий толчок. У нас уже есть некоторый опыт геометрического построения векторных сумм, поэтому мы знаем, что задача нахождения равнодействующей путем рисования векторов и измерения их длин и углов может довольно быстро стать неразрешимой, что приведет к огромным ошибкам. Подобного беспокойства не возникает, когда мы используем аналитические методы. Самый первый шаг в аналитическом подходе состоит в том, чтобы найти компоненты вектора, когда известны направление и величина вектора.

Вернемся к прямоугольному треугольнику на рисунке \(\PageIndex{3}\). Отношение смежной стороны A _x к гипотенузе A есть функция косинуса направляющего угла \(\theta_{A}\), A _x /A = cos \(\theta_{A}\), и отношение противоположной стороны A _y к гипотенузе A является синусоидальной функцией \(\theta_{A}\), A _y /A = sin \(\theta_{A}\). Когда величина A и направление \(\theta_{A}\) известны, мы можем решить эти соотношения для скалярных компонент:

\[\begin{cases} A_{x} = A \cos \theta_{A} \\ A_{y} = A \sin \theta_{A} \ldotp \end{cases} \label{2. 17}\]

При расчете компонентов вектора по уравнению \ref{2.17} следует соблюдать осторожность при выборе угла. Направленный угол \(\theta\) _A вектора представляет собой угол, измеренный против часовой стрелки от положительного направления по оси x к вектору. Измерение по часовой стрелке дает отрицательный угол.

Пример \(\PageIndex{3}\): компоненты векторов смещения

Группа спасения пропавшего ребенка следует за поисковой собакой по кличке Солдат. Десантник много бродит и делает много пробных обнюхиваний по разным тропам. Солдат в конце концов находит ребенка, и у истории счастливый конец, но его перемещения на разных ногах кажутся действительно запутанными. На одной из ног он проходит 200,0 м на юго-восток, затем бежит на север около 300,0 м. На третьем этапе он внимательно исследует запахи на протяжении 50,0 м в направлении 30° к западу от севера. На четвертом этапе Trooper идет прямо на юг на 80,0 м, улавливает свежий запах и поворачивает на 23° к западу от юга на 150,0 м. Найдите скалярные компоненты векторов смещения Десантника и его векторов смещения в форме векторных компонент для каждой ноги.

Стратегия

Давайте примем прямоугольную систему координат с положительной осью x в направлении географического востока с положительным направлением y, указывающим на географический север. В явном виде единичный вектор \(\hat{i}\) оси x указывает на восток, а единичный вектор \(\hat{j}\) оси y указывает на север. Десантник делает пять ног, поэтому есть пять векторов смещения. Начнем с определения их величин и углов направления, затем воспользуемся уравнением \ref{2.17}, чтобы найти скалярные компоненты перемещений, и уравнением \ref{2.12} для векторов смещения.

Решение

На первом участке величина смещения L ₁ = 200,0 м, направление юго-восточное. В качестве дирекционного угла \(\theta_{1}\) мы можем взять либо 45°, измеренные по часовой стрелке с востока, либо 45° + 270°, измеренные против часовой стрелки с востока. {o} = 141,4\; м,\] 9{о} = -138,1\; m,\]

\[\vec{L}_{5} = L_{5x}\; \шляпа{я} + L_{5у}\; \шляпа{j} = (-58,6\; \шляпа{i} — 138,1\; \шляпа{j})\; м \ldotp\]

Упражнение 2.6

Если десантник перед отдыхом пробежит 20 м на запад, каков вектор его перемещения?

Эта страница под названием 2.4: Системы координат и компоненты вектора (Часть 1) распространяется под лицензией CC BY 4.0 и была создана, изменена и/или курирована OpenStax посредством исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами. платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или страница

   Автор

   ОпенСтакс

   Лицензия

   СС BY

   Версия лицензии

   4,0

   Программа OER или Publisher

   ОпенСтакс

   Показать оглавление

   нет

2. Теги

   1. Угол направления
   2. скалярные компоненты
   3. источник@https://openstax.

      No related posts.