Великие задачи математики: 1. Великие задачи . Величайшие математические задачи

Содержание

1. Великие задачи . Величайшие математические задачи

Телепередачи о математике попадаются редко, а хорошие и того реже. Одной из наиболее удачных среди них, причем не только по содержанию, но и по степени увлекательности и вовлеченности зрителей, стала программа о Великой теореме Ферма, которую в 1996 г. снял для научно-популярной серии Horizon британской корпорации BBC Джон Линч. Саймон Сингх, который также участвовал в создании этой программы, превратил рассказанную в ней историю в захватывающую книгу-бестселлер. На своем сайте он рассказал, что поразительный успех передачи стал для всех сюрпризом.

«В нашей программе целых 50 минут математики рассказывают о математике. Не сказать, чтобы это был надежный рецепт создания телевизионного блокбастера, но наша передача взбудоражила зрителей и привлекла внимание критиков. Она получила премию BAFTA как лучшая документальная программа, Приз Италии, другие международные награды и была номинирована на Emmy. Это доказывает, что математика может быть не менее захватывающей темой, чем любая другая».

Я думаю, что успех телепрограммы и книги был обусловлен несколькими причинами, которые имеют немаловажное значение и для моего рассказа. Но чтобы не слишком разбрасываться, я буду говорить только о документальном фильме.

Последняя теорема Ферма – одна из величайших математических проблем, но возникла она из невинного на первый взгляд замечания, сделанного одним из ведущих математиков XVII в. на полях классического учебника. Постепенно проблема приобрела известность, поскольку никто не мог ни доказать, ни опровергнуть утверждение, содержавшееся в оставленной Пьером Ферма заметке на полях. Несмотря на усилия, предпринимавшиеся множеством необычайно умных людей, такое положение вещей сохранялось более 300 лет, поэтому когда в 1995 г. британскому математику Эндрю Уайлсу удалось наконец справиться с этой проблемой, масштаб его достижения был очевиден каждому. Не нужно было даже знать, в чем заключается проблема, не говоря уже о ее решении. В какой-то мере достижение Уайлса – то же самое, что покорение Эвереста.

Помимо научного значения, успешное доказательство теоремы Ферма связано с интереснейшей жизненной историей. В 10 лет Эндрю Уайлс так заинтересовался этой проблемой, что решил стать математиком и обязательно решить ее. Он выполнил первую часть плана и даже выбрал своей специализацией теорию чисел – обширную область математики, к которой относится и Великая теорема Ферма. Однако чем больше он узнавал о математике, тем труднее казалось выполнить задуманное. Теорема Ферма – загадочная диковинка, обособленный вопрос из разряда тех, которые умеет задавать любой специалист по теории чисел (ведь для этого не нужно никаких доказательств). Она не укладывается ни в одну систему мощных доказательных средств. Великий Гаусс в письме к Генриху Ольберсу попросту отмахнулся от нее, заметив, что эта проблема «мне не особенно интересна, поскольку легко можно сформулировать множество подобных утверждений, которые никто не может ни доказать, ни опровергнуть». Уайлс решил, что его детская мечта неосуществима, и отложил теорему Ферма в долгий ящик.

Однако затем, будто по волшебству, другие математики совершили прорывное открытие, неожиданно связавшее теорему со стержневой темой теории чисел, причем именно той, которой и занимался Уайлс. Гаусс, как оказалось, в свое время недооценил значение этой проблемы, что для него вообще-то было нехарактерно; он не подозревал, что она может быть связана с глубокой, но на первый взгляд достаточно далекой областью математики.

Теперь, когда связь была установлена, Уайлс мог работать над загадкой Ферма и одновременно проводить значимые исследования в рамках современной теории чисел. Даже если с доказательством Великой теоремы ничего бы не получилось, все, что удалось открыть в ходе исследований, было бы достойно публикации. Так что старые наработки были извлечены на свет божий, и Уайлс начал всерьез обдумывать проблему. Через семь лет усердных трудов (а работал он втайне от ученого сообщества, что для математиков совсем не характерно) Уайлс пришел к выводу, что решение найдено. На престижной конференции по теории чисел он прочел серию лекций под невнятным названием, которое никого не обмануло.

Новость разлетелась и произвела сенсацию, причем не только в академических кругах, но и в средствах массовой информации. Теорема Ферма доказана!

Полученное Уайлсом доказательство, полное оригинальных идей, оказалось красивым и элегантным. К несчастью, специалисты вскоре обнаружили в его логике серьезный пробел. Как это ни печально, при решении великих (и обычно очень известных) математических задач такое происходит сплошь и рядом, и, как правило, для очередного доказательства такой поворот событий оказывается роковым. Однако на этот раз судьба была благосклонна: при помощи бывшего своего ученика Ричарда Тейлора Уайлсу удалось ликвидировать пробел, исправить доказательство и завершить работу. Эмоциональное напряжение этого момента очень хорошо видно на экране: пожалуй, это единственный случай, когда ученый-математик расплакался перед камерой при одном только воспоминании о тех драматических событиях и последовавшем за ними триумфе.

найти этот ответ. И дело вовсе не в самоуважении: это означало, что в существующих математических теориях не хватает чего-то принципиально важного. К тому же теорема очень просто формулируется, и это добавляет загадочности всей ситуации. Как может что-то настолько на первый взгляд простое оказаться таким сложным?

Математиков не слишком заботил ответ на вопрос, поставленный Ферма, зато глубоко заботил тот факт, что они ответа не знают. К тому же им хотелось найти метод решения этой проблемы, поскольку он, по идее, должен был пролить свет не только на вопрос Ферма, но и на множество других вопросов. Опять же так нередко случается с математическими загадками: методы, использованные для их решения, часто важнее результатов. Разумеется, иногда результат тоже важен – все зависит от его следствий.

Доказательство Уайлса слишком сложно для телепередачи, разобраться в нем могут только специалисты. В нем есть математическая красота и интрига, как мы убедимся в свое время, но любая попытка объяснить что-то подобное по телевизору привела бы к немедленной потере интереса у большей части аудитории. Поэтому программа разумно сосредоточилась на более личном вопросе: каково это – решить математическую проблему, известную своей сложностью и влекущую за собой целый шлейф исторических ассоциаций? Телезрителям показали, что существует небольшая, но увлеченная группа математиков, разбросанных по всему миру, что все они глубоко погружены в предмет своих исследований, общаются друг с другом, следят за последними разработками и вообще посвящают значительную часть жизни продвижению математических знаний.

Создатели фильма очень живо показали эмоциональную вовлеченность и социальное единство этих людей. Это не разумные автоматы, а реальные люди, любящие свое дело. В этом и заключается главный посыл фильма.

Мы можем сформулировать три основные причины успеха этой программы: серьезная и известная проблема, герой с увлекательной, по-человечески интересной историей и группа поддержки – целая каста эмоционально вовлеченных в процесс людей. Но я подозреваю, что существует и четвертая причина, не столь явная. Люди, не связанные с математикой, по многим объективным причинам редко слышат о новых достижениях в этой области, да и не так уж сильно интересуются этим. В газетах лишь изредка упоминается что-нибудь связанное с математикой, а если и упоминается, то лишь приводятся какие-то отрывочные или тривиальные факты. Наконец, действия и достижения математиков где-то там за кулисами не оказывают, на первый взгляд, никакого влияния на повседневную жизнь. А школьная математика зачастую предстает перед учащимися как уже закрытая книга, где на каждый вопрос есть готовый ответ.

Школьникам обычно кажется, что ничего нового в математике днем с огнем не сыщешь.

Если смотреть под таким углом зрения, то главное в достижении Уайлса – не то, что Великая теорема Ферма была доказана, а то, что наконец-то в математике свершилось хоть что-то новое. Поскольку на поиск доказательства теоремы у ученых ушло больше 300 лет, многие зрители восприняли открытие Уайлса как первое существенное достижение в математике за весь этот период. Я не говорю, что все действительно именно так и решили. Понятно, что подобная позиция рассыпалась бы в прах при первом же очевидном вопросе вроде: «Почему правительство тратит немалые деньги на финансирование университетских математических исследований?» Но на подсознательном уровне все сочли, что это именно так, не задаваясь вопросами и не размышляя. Поэтому достижение Уайлса приобрело в глазах нематематиков еще большие масштабы.

Одна из целей этой книги – наглядно продемонстрировать всем, в том числе и неспециалистам, что математика сейчас на подъеме, а новые открытия в ней – совсем не редкость. Вы почти ничего об этом не слышите просто потому, что большая часть математических работ слишком сложна для неспециалистов, а средства массовой информации с опаской относятся к интеллектуалам и боятся публиковать что-либо сложнее «X-фактора». Кроме того, практическое приложение математики обычно скрыто от глаз потребителя, причем зачастую намеренно, чтобы не волновать его. «Что? Работа моего айфона построена на математических формулах? Но у меня же по математике всегда была пара! Как я буду входить в “Фейсбук”?»

Зачастую он вместо ответа на вопрос просто дает иную его формулировку. Так, с его помощью некоторые задачи можно легко записать в виде специальной формулы, известной как дифференциальное уравнение. Решение этого уравнения и есть искомый ответ. Но это решение еще надо найти. Тем не менее дифференциальное исчисление послужило мощным стартом. Оно показало, что ответ в принципе возможен, и снабдило ученых эффективным методом его поиска. До сих пор, хотя прошло уже больше 300 лет, этот метод помогает математикам совершать крупные открытия.

По мере того как росла сумма математических знаний человечества, все большую роль в мотивации новых исследований стал играть еще один фактор: внутренние запросы самой математики. Если, к примеру, вы умеете решать алгебраические уравнения первой, второй, третьей и четвертой степеней, вам не нужно обладать очень уж богатым воображением, чтобы задаться вопросом об уравнениях пятой степени. (По существу, степень уравнения есть мера его сложности, но чтобы задать очевидный вопрос, не обязательно даже знать, что это такое. ) Если решение не дается – как, собственно, и было, – то этот факт сам по себе заставляет математиков еще более усердно искать его, и при этом неважно, будет ли вожделенный результат иметь какую-либо практическую пользу.

Я не утверждаю, что практическое приложение не имеет значения. Но если какая-то конкретная математическая составляющая раз за разом возникает в вопросах, скажем, физики волн – океанских волн, вибраций, звука, света, – то понятно, что исследовать ее закономерности было бы полезно. Не обязательно знать заранее, какое приложение найдет новая идея: тема волн фигурирует во многих важных областях, так что серьезные результаты непременно где-нибудь пригодятся. В данном случае этим «где-нибудь» стали радио, телевидение и радары. Если кто-то придумает новый подход к тепловым потокам и без всякого математического обоснования предложит новый блестящий метод, то, безусловно, будет очень полезно разобраться во всем этом как в чисто математической задаче. И даже если вам нет никакого дела до тепловых потоков, результат обязательно пригодится где-то еще. Фурье-анализ, разработанный в ходе исследования именно этой области, оказался, возможно, самой полезной математической идеей всех времен. Это, по существу, основа современных телекоммуникаций: он обеспечивает работу цифровых камер, помогает реставрировать старые кинофильмы и звукозаписи, а его современное расширение использует ФБР для хранения отпечатков пальцев.

За несколько тысячелетий подобная взаимосвязь между практическим применением математики и ее внутренней структурой привела к тому, что они тесно переплелись и стали почти неотделимы друг от друга. Тем не менее математика делится на две области: чистую и прикладную. Это деление помогает оценить место математических открытий в структуре человеческого знания, однако оно довольно условно. В лучшем случае так можно различить два конца одного непрерывного спектра математических стилей и методов. В худшем – такая классификация вводит нас в заблуждение относительно того, что именно приносит пользу и что служит источником идей. Как и в других областях науки, силу математике придает сочетание абстрактных рассуждений и вдохновения, почерпнутого из внешнего мира. Говоря попросту, они питают друг друга. Разделить математику на две составляющие не просто невозможно – это бессмысленно.

Большинство по-настоящему важных математических задач – великих задач, которым посвящена эта книга, – возникли внутри математического поля в процессе своеобразной интеллектуальной медитации. Причина проста: это сугубо математические задачи. Математика часто представляется набором изолированных областей, в каждой из которых господствуют собственные методы: это алгебра, геометрия, тригонометрия, математический анализ, комбинаторика, теория вероятностей. Ее обычно так и преподают, и не без причины: четкое разделение тем помогает учащимся разложить по полочкам учебный материал в своей голове. И действительно, такое деление – вполне разумный способ понять в первом приближении структуру математической науки, особенно классической, давно устоявшейся. Однако на переднем крае исследований это четкое деление часто рушится. И дело не только в том, что границы между основными областями математики размыты, – в реальности их просто нет.

Каждый математик-исследователь знает, что в любой момент внезапно и непредсказуемо может оказаться, что проблема, над которой он работает, требует свежих идей из какой-то совершенно посторонней, на первый взгляд, области. Более того, новые исследования часто захватывают сразу несколько областей. К примеру, мои исследования сосредоточены по большей части на формировании структур в динамических системах – системах, которые изменяются во времени по определенным правилам. Типичный пример – движение животных. Лошадь при движении рысью раз за разом повторяет одну и ту же последовательность движений ног, и в этих движениях есть четкая закономерность: копыта ударяют по земле попеременно, диагональными парами. Иными словами, лошадь ставит сначала левую переднюю и правую заднюю ноги, затем правую переднюю и левую заднюю. О чем же эта задача? О паттернах, и тогда решать ее надо методами теории групп – алгебры симметрий? Или это задача из динамики – и тогда к решению нужно привлекать ньютоновские дифференциальные уравнения?

Ответ таков: эта задача по определению относится к обеим названным областям. Причем это не пересечение областей, где мог бы находиться материал, общий для обеих, – они почти не пересекаются. Нет, это новая «область», охватывающая два традиционных раздела математики. Она как мост через реку, разделяющую две страны, связывает их, но не принадлежит ни одной. Но этот мост – не узкая полоса дороги: по размерам его можно сравнить с каждой из соединяемых стран. И, что еще важнее, используемые здесь методы не ограничиваются теми, что используются на прилежащих территориях. Фактически в моих исследованиях пригодились знания во всех областях математики, которые я когда-либо изучал. Так, курс по теории Галуа, который я слушал в Кембридже студентом, был посвящен решению (или, точнее, анализу причин, по которым мы не можем их решить) алгебраических уравнений пятой степени. В курсе по теории графов говорилось о сетях, т. е. о точках, соединенных линиями. Я не занимался динамическими системами, поскольку защищал докторскую по алгебре, но с годами познакомился с основными понятиями по этой теме – от статических состояний до хаоса. Итак, теория Галуа, теория графов, динамические системы: три отдельные области. По крайней мере я считал их таковыми до 2011 г., когда меня вдруг заинтересовал вопрос распознавания хаотической динамики в сети динамических систем, и тогда необходимым для исследования оказалось все то, что я узнал 45 лет назад на курсе по теории Галуа.

Итак, математика не похожа на политическую карту мира, где страны разделяются четкими границами и аккуратно окрашиваются каждая в свой цвет: розовый, зеленый или голубой. Она скорее напоминает естественный ландшафт, где никогда нельзя сказать наверняка, где заканчивается долина и начинаются предгорья, где лес переходит в лесостепь, кустарниковые заросли и настоящие степи, где озера вплавляют в окружающий ландшафт свои водяные зеркала, а реки связывают заснеженные горные склоны с далеким океаном. Но этот вечно меняющийся математический ландшафт состоит не из скал, воды и растений, а из идей, и соединяет все вместе не география, а логика. К тому же это динамичный ландшафт: он изменяется с появлением новых идей, с каждым новым открытием, с изобретением каждого нового метода. Важные концепции с множеством приложений подобны горным пикам, универсальные методики – широким рекам, несущим путешественников через плодородные равнины. Чем четче вырисовывается ландшафт, тем проще разглядеть на нем непокоренные еще вершины или неисследованные местности, которые часто воздвигают перед путником неожиданные и нежеланные препятствия. Со временем некоторые из этих пиков и препятствий становятся знаковыми. Это и есть великие проблемы математики.

Что делает математическую задачу великой? Интеллектуальная глубина в сочетании с простотой и элегантностью. Плюс к тому она должна быть сложной. Кто угодно может взобраться на холмик, но Эверест – совсем другое дело. Сформулировать великую задачу обычно нетрудно, хотя условия могут быть как элементарными, так и очень специальными и понятными только профессионалу. Если Великая теорема Ферма и проблема четырех красок без особых пояснений понятны всякому, кто знаком со школьной математикой, то, к примеру, гипотезу Ходжа или теорию Янга – Миллса даже сформулировать невозможно без привлечения глубоких концепций с переднего края науки (в конце концов, последняя имеет непосредственное отношение к квантовой теории поля). Тем не менее для специалиста в соответствующей области формулировки этих проблем звучат просто и естественно. Для их изложения не нужны многие страницы непонятного текста. И, наконец, существуют задачи, для детального понимания которых требуется уровень хотя бы университетского курса математики. Но более общий уровень понимания существа проблемы – откуда она взялась, почему важна, что можно было бы сделать, имея ее решение, – как правило, доступен любому интересующемуся, и именно это я попытаюсь вам объяснить. Правда, гипотеза Ходжа – крепкий орешек в этом отношении, поскольку она очень технична и очень абстрактна. Однако это одна из семи математических задач тысячелетия, за решение которых Институт Клэя предлагает приз в 1 млн долларов, и потому о ней непременно стоит рассказать.

Великие задачи несут в себе громадный творческий потенциал: они помогают создавать новую математику. В 1900 г. на Международном конгрессе математиков в Париже Давид Гильберт прочел лекцию, в которой перечислил 23 важнейшие математические проблемы. Он не включил в свой список Великую теорему Ферма, но упомянул ее во вступительном слове. Надо отметить, что, когда выдающийся математик перечисляет великие, по его мнению, проблемы, остальные математики относятся к этому очень серьезно. Понятно, что ни одна задача не оказалась бы в этом списке, не будь она важной и сложной. Для человека естественно отвечать на вызов и преодолевать препятствия. С тех самых пор решение одной из гильбертовых проблем стало отличным способом завоевать себе математические «золотые шпоры». Многие из этих задач слишком специальны, чтобы включать их в эту книгу, другие представляют собой скорее программу, направление исследований, чем конкретные задачи, а некоторые мы рассмотрим позже по отдельности. Но сам список тоже заслуживает упоминания, и я включил его с кратким комментарием в примечаниях{1}.

Именно это делает великие математические задачи великими. Проблема редко заключается в том, чтобы найти ответ. Математики очень четко представляют себе, какими должны быть ответы буквально всех великих задач, – или представляли, если на сегодняшний день решение уже известно. В самом деле, ожидаемый ответ часто заключен уже в формулировку вопроса. Гипотеза представляет собой правдоподобную догадку, предположение, основанное на совокупности данных. Как правило, хорошо изученные гипотезы со временем находят подтверждение, хотя так происходит не всегда. А в случае теоремы Ферма слово «теорема» употребляется (или, точнее, употреблялось) неверно – у теоремы обязательно должно быть доказательство, а его-то, пока не появился Уайлс, и не хватало.

Доказательство – вот то, чего требуют великие задачи и что делает их такими сложными. Любой человек, обладающий определенными знаниями, способен провести несколько вычислений, заметить явную закономерность и кратко сформулировать ее суть. Но математики требуют большего: они настаивают на полном, логически безупречном доказательстве. Или, если гипотеза не подтверждается, на столь же полном опровержении. Вообще же невозможно оценить всю чарующую привлекательность великой задачи, не понимая до конца жизненно важную роль доказательства в любом математическом предприятии. Обоснованное предположение может сделать кто угодно, трудно лишь доказать его истинность. Или ложность.

Концепция математического доказательства менялась с течением времени, причем требования к логике, как правило, становились все строже. Многочисленные высокоинтеллектуальные философские дискуссии о природе доказательства поднимали важные вопросы. Предлагались и внедрялись точные определения понятия «доказательство». Сегодня мы учим студентов, что доказательство начинается с набора некоторых явных допущений, известных как аксиомы. Аксиомы – это, так сказать, правила игры. В принципе возможны и другие аксиомы, но они относятся к другим играм. Первым такой подход предложил древнегреческий математик Евклид, но и сегодня он вполне применим. Доказательство на основе принятых аксиом представляет собой серию шагов, каждый из которых является логическим следствием либо аксиом, либо уже доказанных утверждений, либо того и другого. По существу, математика исследует логический лабиринт, перекрестками в котором служат утверждения, а проходами – достоверные умозаключения. Доказательство – путь через лабиринт, который начинается с аксиом. Утверждение, на котором он заканчивается, и есть то, что требовалось доказать.

Однако такое правильное и «причесанное» представление о доказательстве – еще не вся история и даже не самая главная ее часть. Это все равно что сказать: симфония – последовательность музыкальных нот, которая подчиняется законам гармонии. Определение верно, но где же творчество? Такое определение ничего не говорит нам не только о том, как искать доказательство, но и о том, как проверить его, когда оно предложено кем-то другим. Это определение ничего не говорит нам о том, какие места в лабиринте важнее других. Не говорит и о том, какие проходы в нем элегантны, а какие безобразны, какие значительны, а какие бесполезны. Это всего лишь формальное, механическое описание процесса, у которого немало и других аспектов, в частности человеческое измерение. Доказательства ищут люди, и математические исследования – отнюдь не воплощение пошаговой логики.

Формальный подход к определению доказательства может породить доказательства почти нечитаемые, поскольку основные усилия придется бросить на копание в мелочах и «расставление точек над логическими i», в то время как решающий вывод будет буквально бросаться в глаза. Поэтому практикующие математики спрямляют путь и оставляют за бортом все рутинные или очевидные шаги. На пропуски обычно указывают фразы вроде «несложно показать, что…» или «из стандартных расчетов следует, что…» Зато ни один математик не пройдет – по крайней мере сознательно – мимо логической трудности и не попытается сделать вид, что ее нет. Более того, компетентный математик постарается обратить особое внимание на слабые с точки зрения логики звенья цепочки рассуждений и потратит бо?льшую часть времени и усилий на то, чтобы укрепить их и сделать достаточно надежными. Дело в том, что на практике доказательство – это математическая история с собственным сюжетом. У нее есть завязка, кульминация и развязка. В ней часто можно обнаружить боковые сюжетные ходы, которые вырастают из основного ствола, но ведут каждый к своему результату. Британский математик Кристофер Зиман однажды заметил, что любая теорема – это своего рода интеллектуальная точка покоя, где можно сделать остановку, перевести дыхание и ощутить некоторую определенность. Побочная сюжетная линия помогает свести концы с концами в основном сюжете. Доказательство напоминает литературный сюжет и в других отношениях: в них часто имеются один или несколько главных героев – конечно, это не люди, а идеи, – сложные взаимоотношения которых ведут к развязке и финалу.

Как явствует из формального определения, доказательство начинается с неких четких предположений, движется шаг за шагом от одного логического вывода к другому и заканчивается выводом о том, что вы, собственно, хотели доказать. Но доказательство – не просто список последовательных умозаключений, и логика в нем – не единственный критерий. Доказательство – это рассказ, который выслушивают и разбирают по косточкам люди, посвятившие большую часть жизни искусству прочтения таких историй и поиска в них ошибок и противоречий. Основная цель этих людей – доказать, что автор доказательства не прав. Эти люди обладают поразительной способностью замечать слабые места и без устали долбить в них, пока вся конструкция не рухнет, подняв облако пыли. Вообще, если какой-нибудь математик заявляет, что ему удалось решить крупную проблему (одну из великих, например, или что-нибудь попроще, но тоже достойное), остальные математики не спешат кричать «Ура!» и открывать шампанское. Профессиональный инстинкт велит им прежде всего постараться опровергнуть предложенное доказательство.

Так или иначе, доказательство – это единственный надежный инструмент, при помощи которого математики могут убедиться в собственной правоте. Предвидя реакцию математического сообщества, исследователи тратят огромные усилия на проверку собственных выводов и поиск противоречий в них. Так проще. Если же история успешно выдерживает критический анализ коллег, сообщество вскоре приходит к выводу, что она верна, и в этот момент создатель доказательства получает заслуженные похвалы и награды. Во всяком случае, обычно бывает именно так, хотя непосредственным участникам событий это может видеться иначе. Когда ты вовлечен во что-то, то воспринимаешь все не так, как сторонний наблюдатель.

Как математики решают задачи? Этот вопрос почти не изучался. Современные образовательные исследования на базе когнитивистики в основном ограничиваются изучением образования от начальной до высшей школы. Есть исследования, посвященные преподаванию математики в вузах, но их не так уж много. Кроме того, есть большая разница между освоением и преподаванием математики и новыми исследованиями в этой области. Многие из нас умеют играть на каком-нибудь музыкальном инструменте, но мало кто способен сочинить симфонический концерт или хотя бы написать популярную песенку.

Когда речь заходит о творчестве на высочайшем уровне, почти все, что мы знаем – или думаем, что знаем, – мы получаем путем самоанализа. Мы просим математиков объяснить ход их мыслей и пытаемся выделить в этих описаниях общие принципы. Одной из первых серьезных попыток понять, как думают математики, можно считать книгу Жака Адамара «Исследование психологии процесса изобретения в области математики»[1], вышедшую в 1945 г. Адамар расспросил ведущих математиков и физиков своего времени и попросил описать, как они думают в процессе работы над сложной задачей. И тут выявилась важная и даже необходимая роль того, что за неимением лучшего термина следует назвать интуицией. Их мысли направляло нечто подсознательное. Самые плодотворные их идеи и озарения не приходили постепенно, в результате логической пошаговой проработки, а возникали неожиданно, и весь процесс развивался скачкообразно.

Одно из самых подробных описаний этого на первый взгляд нелогичного подхода к логическим вопросам дал французский математик Анри Пуанкаре – один из ведущих ученых конца XIX – начала XX в. Пуанкаре отметился едва ли не во всех областях математической науки, внес радикальные изменения во многие из них и основал несколько новых ее разделов. В последующих главах мы не раз будем возвращаться к его работам. Кроме того, Пуанкаре писал научно-популярные книги, и, возможно, именно огромный опыт и широта кругозора помогли ему глубже понять процесс собственного мышления. Во всяком случае, он был твердо убежден, что осознанная логика – лишь часть творческого процесса. Да, бывают моменты, когда без нее не обойтись: к примеру, без логики невозможно понять, в чем именно состоит проблема, как невозможно и проверить полученный ответ. Но в промежутке, считал Пуанкаре, его мозг нередко работал над задачей самостоятельно, ничего не сообщая хозяину, причем работал так, что хозяин был просто не в состоянии постичь его методы.

Его описание творческого процесса различает три ключевых этапа: подготовка, вынашивание и озарение. Подготовка представляет собой сознательные логические усилия, направленные на то, чтобы увидеть проблему, точно сформулировать ее и попробовать решить традиционными методами. Этот этап, когда подсознание получает задание и материал для работы, Пуанкаре считал очень важным. Вынашивание происходит, когда вы прекращаете думать о задаче, отвлекаетесь от нее и занимаетесь чем-то другим. А подсознание тем временем начинает перебирать и комбинировать идеи, часто довольно дикие, и продолжается это до тех пор, пока вдали не забрезжит свет. Если повезет, результатом станет озарение: подсознание даст вам сигнал, и в вашем мозгу как будто вспыхнет лампочка – возникнет готовый ответ.

Такое творчество подобно хождению по натянутому канату. С одной стороны, вы не можете решить сложную проблему, пока не познакомитесь как следует с областью, к которой она относится, а также с множеством других тем, которые могут пригодиться, а могут и не пригодиться в работе, просто на всякий случай. С другой стороны, если, изучая все нужные области математики, вы обратитесь к стандартному, уже много раз безрезультатно опробованному пути, то, возможно, уже не сумеете выбраться из наезженной колеи и ничего нового не откроете. Фокус в том, чтобы много знать и сознательно собирать свои знания воедино, работать над этим неделю за неделей… а затем отложить проблему в сторону. Тогда за дело возьмется интуитивная часть вашего сознания: она отсмотрит все идеи, повертит их так и эдак, оценит, где «холодно», а где «горячо», и сообщит вам, если что-нибудь найдет. Произойти это может в любой момент: Пуанкаре однажды понял, как нужно решать задачу, мучившую его несколько месяцев, выходя из автобуса. Шриниваса Рамануджан, индийский математик-самоучка, создававший замечательные формулы, часто видел новые идеи во сне. А Архимед, согласно легенде, нашел способ определить содержание золота в сплаве, принимая ванну.

Пуанкаре особо указал, что без первоначального периода подготовки успеха не достичь. Подсознанию, настаивал он, необходимо дать как можно больше пищи для размышления, в противном случае удачные идеи, которые в конечном итоге могут привести к решению, просто не возникнут. Вдохновения без трудового пота не бывает. Кроме того, Пуанкаре наверняка знал – ведь об этом знает любой математик-исследователь, – что одного такого трехэтапного процесса редко бывает достаточно. Решение серьезной задачи, как правило, требует нескольких озарений. Этап вынашивания одной идеи может быть прерван вспомогательным процессом подготовки, вынашивания и озарения какой-то другой задачи, решение которой оказалось необходимым для работы над первой, основной идеей. Решение любой стоящей задачи, великой или не слишком, обычно включает в себя множество таких последовательностей, заключенных одна в другой, как замысловатые фракталы Бенуа Мандельброта. Вы решаете задачу, разбивая ее на подзадачи. Вы убеждаете себя, что если удастся решить эти подзадачи, то затем из полученных результатов можно будет собрать решение задачи в целом. Иногда они решаются, иногда приходится возвращаться к началу пути. Иногда подзадача сама рассыпается на несколько кусочков. Даже уследить за происходящим и удержать в голове общую картину порой очень и очень непросто.

Я назвал работу подсознания «интуицией». «Интуиция» – одно из удобных, но вводящих в заблуждение слов, таких как «инстинкт», которые широко используются, хотя и не имеют четкого значения. Подобными словами называют нечто непонятное, присутствие чего тем не менее отрицать невозможно. Математическая интуиция – это способность разума чувствовать форму и структуру и распознавать закономерности, которые мы не в состоянии уловить на сознательном уровне. Интуиция не обладает кристальной чистотой осознанной логики, зато способна привлечь наше внимание к вещам, которые мы никогда не стали бы рассматривать сознательно. Нейробиологи еще только начинают понимать, как человеческий мозг справляется с гораздо более простыми задачами. Понятно, однако, что интуиция, как бы она ни работала, существует благодаря структуре мозга и его взаимодействию с внешним миром.

Зачастую главное, чем помогает в работе интуиция, – она подсказывает, где у задачи слабые места, где к ней можно подступиться с максимальными шансами на успех. Математическое доказательство подобно сражению или, если вы предпочитаете менее воинственные сравнения, шахматной партии. Как только потенциально слабое место выявлено, исследователь бросает в бой (т. е. на его изучение) все свои возможности исследователя, весь математический аппарат, которым владеет. Как Архимед нуждался в точке опоры, чтобы перевернуть Землю, так и математик-исследователь нуждается в рычагах воздействия на задачу. Одна-единственная ключевая идея может раскрыть ее, сделать доступной для стандартных методов. Ну а после этого довести решение задачи до конца – дело техники.

Мой любимый пример рычагов такого рода – задачка, которая не имеет особого математического смысла, но помогает объяснить важный момент. Предположим, у вас есть шахматная доска из 64 клеток и набор костяшек домино, каждая из которых по размеру точно закрывает две соседние клетки доски. Очевидно, 32 костяшек достаточно, чтобы закрыть всю доску. Но теперь представьте, что из доски удалили две противоположных по диагонали угловых клетки, как показано на рис. 1. Можно ли закрыть оставшиеся 62 клетки при помощи 31 костяшки? Попробовав, вы поймете, что ничего не получается. С другой стороны, явных причин, по которым это задание можно было бы счесть невыполнимым, вроде бы тоже не видно. Но ровно до тех пор, пока вы не сообразите, что каждая костяшка домино, как их ни раскладывай, должна закрывать одну черную и одну белую клетку доски. Вот ваш рычаг, и теперь остается только применить его. Он подразумевает, что любая площадь, закрытая костяшками домино, содержит равное число черных и белых клеток. Но противоположные по диагонали клетки – одного цвета (в данном случае – белые), так что при их удалении возникает фигура, в которой черных клеток на две больше, чем белых. А никакую фигуру такого рода полностью закрыть костяшками невозможно. Наблюдение о том, что любая костяшка домино обязательно закрывает две клетки разного цвета, и есть слабое место этой головоломки. Поняв это, вы получаете точку, к которой можно приложить логический рычаг – и нажать. Если бы вы были средневековым бароном и осаждали замок, это стало бы для вас слабым местом замковой стены – местом, где следует сосредоточить огонь требушетов или начать делать подкоп.

Однако в одном существенном моменте математические исследования отличаются от сражения. Любая территория, которую вам однажды удалось оккупировать, остается вашей навсегда, и после этого вы можете сосредоточить усилия на чем-то ином. Но доказанная теорема никуда не исчезает. И именно благодаря этому математики достигают прогресса в решении задачи, даже если дойти до конца им не удается. Однажды установленный факт становится доступен всем, и воспользоваться им может кто угодно и совершенно в любом контексте. Нередко отправной точкой новой атаки на древнюю как мир проблему становится незамеченное ранее сокровище, затерявшееся в целой куче разнообразных фактов. И это одна из причин, по которым любые новые математические расчеты ценны сами по себе, даже если польза от них не видна сразу. Это еще один кусок завоеванной территории, еще одно оружие в арсенале. Возможно, его время еще придет – но этого не случится, если его посчитают «бесполезным» и забудут или просто не дадут увидеть свет, потому что не поймут, какой в нем смысл.

Данный текст является ознакомительным фрагментом.

Читать онлайн «Величайшие математические задачи», Иэн Стюарт – ЛитРес

Переводчик Наталья Лисова

Редактор Наталья Нарциссова

Руководитель проекта И. Серёгина

Корректоры Е. Аксёнова, М. Миловидова

Компьютерная верстка А. Фоминов

Дизайн обложки О. Сидоренко

Все права защищены. Никакая часть электронного экземпляра этой книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, включая размещение в сети Интернет и в корпоративных сетях, для частного и публичного использования без письменного разрешения владельца авторских прав.

* * *

Фонд некоммерческих программ «Династия» основан в 2002 г. Дмитрием Борисовичем Зиминым, почетным президентом компании «Вымпелком».

Приоритетные направления деятельности Фонда – поддержка фундаментальной науки и образования в России, популяризация науки и просвещение.

В рамках программы по популяризации науки Фондом запущено несколько проектов.

В их числе – сайт elementy.ru, ставший одним из ведущих в русскоязычном Интернете тематических ресурсов, а также проект «Библиотека «Династии» – издание современных научно-популярных книг, тщательно отобранных экспертами-учеными.

Книга, которую вы держите в руках, выпущена в рамках этого проекта.

Более подробную информацию о Фонде «Династия» вы найдете по адресу www.dynastyfdn.ru.

* * *

Мы должны знать – мы будем знать!
Давид Гильберт,
речь о математических проблемах, произнесенная в 1930 г. по случаю присвоения Гильберту звания Почетного гражданина Кёнигсберга

Предисловие

Математика – обширная, непрерывно растущая и столь же непрерывно меняющаяся область знания. Среди бесчисленных вопросов, которыми задаются математики и на которые они по большей части находят ответы, есть немало и таких, которые стоят особняком и возвышаются над всеми прочими, словно горные пики – над предгорьями. Это действительно сложные проблемы, и любой математик отдал бы правую руку за возможность первым найти решение одной из таких масштабных задач. Некоторые из них оставались нерешенными десятилетиями, иные – столетиями, а есть и такие, что не поддавались усилиям математиков несколько тысячелетий. И до сих пор существуют проблемы, которые ученым только предстоит разрешить. Так, последняя теорема Ферма оставалась для математиков камнем преткновения 350 лет, пока Эндрю Уайлс не доказал ее, потратив на эту работу семь лет жизни. Гипотеза Пуанкаре была неприступна больше 100 лет, пока эксцентричный гений Григорий Перельман не нашел доказательство и не превратил ее в теорему (отказавшись при этом от всяких академических почестей и премии в миллион долларов за эту работу). А гипотеза Римана и сегодня, через 150 лет после того, как была сформулирована, остается нерешенной.

Книга «Великие математические задачи» рассказывает о некоторых крупнейших математических проблемах, работа над которыми открыла перед научной мыслью совершенно новые направления и возможности. Читатель познакомится с истоками этих задач, узнает, почему они так важны и какое место занимают в общем контексте математики и естественных наук. В книге представлены как решенные, так и нерешенные задачи из самых разных периодов истории математики. По существу, рассказ охватывает две с лишним тысячи лет развития науки, однако основное внимание в книге сосредоточено на вопросах, которые либо до сих пор остаются нерешенными, либо были решены относительно недавно, в последние полвека.

Фундаментальная цель математики – раскрывать внутреннюю простоту сложных на первый взгляд вопросов. Это заявление может показаться неочевидным и даже странным, поскольку математическое представление о «простоте» опирается на множество сложных технических концепций. Но важная особенность этой книги заключается именно в том, что акцент в ней сделан на глубинную простоту, а сложности мы стараемся обойти стороной или объясняем простыми словами.

Математика – более молодая и многообразная наука, чем многие думают. По приблизительным оценкам в мире сегодня живет около 100 000 математиков-исследователей, которые каждый год выпускают более двух миллионов страниц новых математических изысканий. Это не «новые числа», поисками которых математики не занимаются вообще. И не «новые величины», подобные уже известным, только больше, хотя мы действительно иногда работаем с достаточно большими величинами. Так, про одно недавнее алгебраическое исследование, проведенное командой из 25 математиков, какой-то шутник сказал: «Расчет размером с Манхэттен». Но и это не совсем верно – ребята поскромничали. Размером с Манхэттен у них был ответ, а расчет занимал гораздо больше места. Впечатляет, не правда ли? Но главное в математических исследованиях все-таки качество, а не размер и даже не количество. Расчет размером с Манхэттен, о котором шла речь, котируется в обоих отношениях, поскольку дает важную информацию о группе симметрии, играющей существенную роль в математике и, судя по всему, в квантовой физике. Блестящие математические рассуждения и выводы могут уложиться в одну строчку – а могут занять целую энциклопедию. Все зависит от существа и сложности задачи.

При мысли о математике на ум в первую очередь приходят страницы, заполненные малопонятными значками и формулами. Однако те два миллиона страниц, о которых мы говорили, содержат по большей части слова, а не специальные символы. Слова необходимы для объяснения существа проблемы, описания хода мысли и смысла вычислений, и, кроме того, без них невозможно объяснить, какое место все это занимает в постоянно строящемся здании математики. Как заметил на границе XVIII и XIX вв. великий Карл Гаусс, главное в математике – «идеи, а не символы». Тем не менее обычно математические идеи излагаются языком символов. И многие исследовательские работы содержат больше символов, чем слов. Четкости, которую обеспечивают формулы, не всегда можно достичь словами.

Тем не менее нередко математические идеи можно объяснить словами, оставив в стороне большую часть специальных символов. И именно этот принцип лег в основу книги, которую вы держите в руках. Она рассказывает, чем занимаются математики, как они думают и почему предмет их исследований интересен и важен для всего человечества. Она показывает также (и это очень важно), как сегодняшние математики справляются с вызовами своих предшественников, как одна за другой великие загадки прошлого уступают мощным методикам настоящего, тем самым изменяя и математику, и естественные науки будущего. Математика по праву относится к величайшим достижениям человечества, и ее важнейшие задачи – решенные и нерешенные – уже не одну тысячу лет направляют и стимулируют творческие силы человека.

Ковентри, июнь 2012 г.

1. Великие задачи

«В нашей программе целых 50 минут математики рассказывают о математике. Не сказать, чтобы это был надежный рецепт создания телевизионного блокбастера, но наша передача взбудоражила зрителей и привлекла внимание критиков. Она получила премию BAFTA как лучшая документальная программа, Приз Италии, другие международные награды и была номинирована на Emmy. Это доказывает, что математика может быть не менее захватывающей темой, чем любая другая».

Вы, наверное, заметили, что я так и не рассказал вам, в чем, собственно, заключается Великая теорема Ферма. Я сделал (или, вернее, не сделал) это намеренно: о самой теореме речь пойдет в свое время. Ведь успех телепередачи с сутью теоремы почти не связан. Мало того, математики никогда не придавали особого значения тому, верна ли теорема, которую Ферма небрежно набросал на полях книги, или нет. От ответа на этот вопрос ничего особенно важного не зависит. Откуда же такой интерес к нему? Все очень просто. Огромное значение может иметь именно то, что все математическое сообщество было не в состоянии найти этот ответ. И дело вовсе не в самоуважении: это означало, что в существующих математических теориях не хватает чего-то принципиально важного. К тому же теорема очень просто формулируется, и это добавляет загадочности всей ситуации. Как может что-то настолько на первый взгляд простое оказаться таким сложным?

Исторически новые достижения в математике часто следуют за открытиями в других областях знания. Исаак Ньютон, разработав законы механики и всемирного тяготения, которые описывают движение планет, не избавился разом от всех проблем в понимании устройства Солнечной системы. Наоборот, после этого перед математиками встал ряд новых вопросов: да, конечно, мы знаем законы, но что они подразумевают? В поисках ответов Ньютон придумал дифференциальное (интегральное) исчисление, но и у нового метода обнаружились ограничения. Зачастую он вместо ответа на вопрос просто дает иную его формулировку. Так, с его помощью некоторые задачи можно легко записать в виде специальной формулы, известной как дифференциальное уравнение. Решение этого уравнения и есть искомый ответ. Но это решение еще надо найти. Тем не менее дифференциальное исчисление послужило мощным стартом. Оно показало, что ответ в принципе возможен, и снабдило ученых эффективным методом его поиска. До сих пор, хотя прошло уже больше 300 лет, этот метод помогает математикам совершать крупные открытия.

Великие проблемы математики на сайте Игоря Гаршина. Величайшие математические загадки

«Математика содержит в себе черты волевой деятельности, умозрительного рассуждения и стремления к эстетическому совершенству. Ее основные и взаимно противоположные элементы — логика и интуиция, анализ и конструкция, общность и конкретность…» (Р. Курант, Г. Роббинс. Что такое математика?)

Американский математик Джно Данциг, будучи аспирантом, опоздал на урок и принял написанные на доске уравнения за домашнее задание. Оно ему показалось сложнее обычного, но через несколько дней он смог его выполнить. Оказалось, что он решил 2 «нерешаемые» проблемы в статистике, над которыми бились многие ученые. [Неужели правда?]

В течение тысячелетия математика породила 7 величайших загадок. 25 мая 2000 г. Институт математики Клея объявил о награде в $1 млн за решение каждой из этих главных математических проблем. Их обзорный список:

Уравнение Навье-Стокса о турбулентных потоках, 1822 [гидроаэродинамика]. Решения этих уравнений неизвестны [эмпирические степенные функции-многочлены?], и при этом даже неизвестно, как их решать. Необходимо показать, что решение существует и является достаточно гладкой функцией. Это позволит существенно изменить способы проведения гидро- и аэродинамических расчетов. [Интегрирование криволинейных тензоров как матрицы роторов и дивергенций?].
Гипотеза Римана, 1859 [теория чисел]. Считается, что распределение простых чисел среди натуральных не подчиняется никакой закономерности. Однако немецкий математик Риман высказал предположение, касающееся свойств последовательности простых чисел. Если гипотеза Римана будет доказана, то это приведет к революционному изменению наших знаний в области шифрования и к невиданному прорыву в области безопасности Интернета.
Гипотеза Пуанкаре, 1904 [топология или геометрия многомерных пространств]: всякое односвязное замкнутое трехмерное многообразие гомеоморфно трехмерной сфере [т.е. 4-мерного тороида быть не может, а наша Вселенная — трехмерная сфера?].
Гипотеза Ходжа, 1941 [алгебра, топология?]. В ХХ веке математики открыли мощный метод исследования формы сложных объектов — использование вместо самого объекта простых «кирпичиков», которые склеиваются между собой и образуют его подобие [разве это не есть «кубические интегралы»?]. Гипотеза Ходжа связана с некоторыми предположениями относительно свойств таких «кирпичиков» и объектов.
Теория Янга-Миллса [связь геометрии с квантовой физикой], 1954. Уравнения квантовой физики описывают мир элементарных частиц. Физики Янг и Миллс, обнаружив связь между геометрией и физикой элементарных частиц [!!!], написали свои уравнения. Тем самым они нашли путь к объединению теорий электромагнитного, слабого и сильного взаимодействий [!!]. Из уравнений Янга-Миллса следовало существование частиц, которые действительно наблюдались в лабораториях, поэтому теория Янга — Миллса принята большинством физиков. несмотря на то, что в рамках этой теории до сих пор не удается предсказывать массы элементарных частиц.
Гипотеза Берча и Свиннертона-Дайера, 1960 [алгебра и теория чисел?]. Связана с описанием множества решений некоторых алгебраических уравнений от нескольких переменных с целыми коэффициентами. Примером подобного уравнения является выражение x² + y² = z². [Гипотеза Пьера Ферма — частный случай гипотезы Берча и Свиннертона-Дайера? А нельзя ли ее также доказать с помощью модальных функций?]
Гипотеза Кука, 1971 [математическая логика и кибернетика?]: может ли проверка правильности решения задачи быть более длительной, чем само получение решения, независимо от алгоритма проверки? Эта проблема — также одна из нерешенных задач логики и информатики. Ее решение революционно изменило бы основы криптографии [также как и доказательство гипотезы Римана — ниже].
И ещё одна большая тайна в математике, восьмая — Гипотеза Эстерле-Массера, 1988? (также из теории чисел).

Разделы страницы о нерешённых проблемах математики:

Обзоры о великих проблемах математики
Проблемы теории чисел (гипотезы Берча-Свиннертона-Дайера, Римана, Великая теорема Ферма)
Проблемы анализа пространства (гипотезы Пуанкаре, Ходжа, Янга-Миллса, теорема Шварца-Кристоффеля)
Проблемы движения тел и среды (уравнение Навье-Стокса, задача трёх тел) — физические
Проблемы логики (гипотеза Кука)
Другие важные задачи математики (проблемы Гильберта, гипотезы геометризации)

Смотрите также о нерешённых проблемах физики. И читайте об истории решения Великой теоремы Ферма.

Семь величайших загадок математики. Михаил Витебский
Приз в 1 миллион долларов за решение каждой из семи математических проблем.

Диофант Александрийский (3-й век) — древнегреческий математик. В основном труде «Арифметика» (сохранились 6 книг из 13) [ее любил штудировать Пьер Ферма] дал решение задач, приводящихся к т.н. диофантовым уравнениям (решения которых только в целых числах), и впервые ввел буквенную символику в алгебру.

Задачи по теории чисел принадлежат к области высшей арифметики.

Гипотеза Берча-Свиннертона-Дайера

Математики Берч и Свиннертон-Дайер предпoложили, что числo решений опрeделяeтся значением связанной с уравнением дзета-функции в точке 1: если значение дзета-функции в точке 1 равно 0, то имеется бескoнечнoе число решeний, и наобopот, если не равно 0, то имеется только конечное число таких решений (например, доказательство отсутствия целых решений уравнения xⁿ + yⁿ = zⁿ [ВТФ]).

Проблемы 2000 года: Гипотеза Берча-Свиннертон-Дайера.
Ученые нашли решение древней математической задачи. Задача 1000-летней давности заключается в вычислении натурального числа, способного составлять площадь прямоугольного треугольника, стороны которого представлены выраженными рациональными числами. Значение площади такого треугольника и называется конгруэнтным. Наименьшее известное конгруэнтное число — 5 (длины сторон соответствующего ему треугольника — 3/2, 20/3 и 41/6). Потом следуют 6, 7, 13, 14, 15, 20 и так далее. Существует простое правило: если число s конгруэнтно, то конгруэнтным будет и число s?n2, где n — натуральное. Таким образом, основная сложность здесь — это именно поиск новых конгруэнтных чисел, свободных от квадратов. Возможное доказательство тесно связано с одной из открытых проблем современной математики — гипотезой Бёрча и Свиннертон-Дайера.

Гипотеза Римана и распределение простых чисел

Простые числа (те, которое делится без остатка только на единицу и на само себя) — это ключ к разрешению многих математических проблем, они также играют большую роль в криптографии (шифровании), благодаря чему интересуют не только математиков, но и военных, разведку и контрразведку. Первым проблему определения простых чисел поставил древнегреческий ученый Эратосфен примерно в 220 году до нашей эры, предложив один из путей определения простых чисел. С тех пор ученые постепенно продвигались вперед.

Знаменитая «Гипотеза Римана» была сформулирована немецким математиком Георгом Фридрихом Бернардом Риманом в 1859 году. Согласно ей, характер распределения простых чисел может существенно отличаться от предполагаемого в настоящее время. Дело в том, что математикам до сих пор не удавалось обнаружить какой-либо системы в характере распределения простых чисел. Так, считается, что в окрестности целого числа х среднее расстояние между последовательными простыми числами пропорционально логарифму х. Тем не менее, уже давно известны так называемые парные простые числа (простые числа-близнецы, разность между которыми равна 2): 11 и 13, 29 и 31, 59 и 61. Иногда они образуют целые скопления, например 101, 103, 107, 109 и 113. У математиков давно существовало подозрение, что такие скопления существуют и в области очень больших простых чисел, однако ни доказать, ни опровергнуть это утверждение до сих пор не удавалось. Если такие «кластеры» будут найдены, стойкость криптографических ключей, используемых в настоящее время, может в одночасье оказаться под очень большим вопросом.

Математическое сообщество в полной мере оценило важность задачи — гипотеза Римана была признана одной из 7 важнейших научных проблем тысячелетия. Институт математики Clay в США предложил $1 млн. за ее доказательство либо опровержение. (Источник — Преамбула с «Арбузного блога»)

Великая теорема Ферма [частный случай гипотезы БСД?]

Статьи о Великой Теореме Ферма

Великая теорема Ферма.

История решения Великой Теоремы Ферма. [Взято из Интернета]

Статьи математиков (любителей и профессионалов) с попыткой доказать ВТФ

Читайте также статью В.А. Белотелова и статьи в сборнике А.Ф. Рудыкина (помещены выше в разделе о проблеме распределения простых чисел).

Доказательство ВТФ Смолиным. И ряд статей с гипотезами и решениями по Великой Теореме.
Гипотеза П. Ферма или его Великая теорема? Рудыкин А. Ф. Zip [100K] | Word Doc [630K]. Автором в доступной форме изложено доказательство Великой теоремы Ферма. Доказательство основано на уравнении из книги: Gerhard Frey, Links between stable elliptic curves and certain Diophantine equations, Ann. Univ. Saraviensis, Series Mathematicae 1 (1986), 1-40.
Статьи А.А. Назарова:
1. Элементарное доказательство Великой теоремы Ферма и его обобщение — Zip. [8К] | Word Doc [40K]. Арону Рувимовичу Майзелису, школьному учителю, посвящается.
2. Элементарное доказательство Великой теоремы Ферма для школьников старших классов — Word Doc [120K]. Доказательство ВТФ, которое доведено до школьного уровня. Доказательство основывается на геометрическом представлении натурального числа в его аксиоматическом определении. Центральным соотношением x^n-1 + y^n-1 – z^n-1 = (x + y – z)^n-1 дается обоснование справедливости доказательств из предыдущей статьи. Само предлагаемое доказательство, методически, может оказаться полезным для средней школы (6-9 классы) в качестве одного из приемов введения в комбинаторику и теорию групп. Имеется также самое краткое, на взгляд автора, доказательство ВТФ, 3 части которого находятся в Zip-архиве. [27К] |
3. Об элементарном доказательстве ВТФ: Word Doc [80K].
Великая теорема Ферма Сорокин. : Zip [25K] | Word Doc [100K].

Гипотеза Эстерле-Массера

Независимо друг от друга abc-гипотеза предложена математиками Дэвидом Массером в 1985 году и Джозефом Эстерле в 1988 году, а ее решение составляет одну из главных проблем теории чисел. Гипотеза утверждает, что для любого действительного числа r > 1 существует не более конечного числа троек натуральных чисел a, b и c таких, что для них выполняются условия: a + b = c; a, b и c взаимно просты в совокупности (то есть у них нет общих делителей) и c > rad (abc)r.

Радикалом (rad) натурального числа N называется число, которое представляет собой произведение всех различных простых (отличных от единицы чисел, делящихся только на себя и на единицу) делителей числа N. Например, rad(15) = 15, так как у этого числа простые делители 3 и 5, а rad(18) = 6, поскольку простых делителей у числа 18 ровно два — это 3 и 2.

Гипотеза Эстерле-Массера важна для теории диофантовых уравнений, а ее справедливость позволит провести еще одно доказательство великой теоремы Ферма для больших степеней.

«Японский Перельман» согласился объяснить главнейшую тайну математики. Доказательство Мотидзуки занимает более 500 страниц текста, а понять и проверить его способно небольшое число математиков. У эксперта может уйти до 500 часов работы для понимания доказательства, тогда как у математика-аспиранта это займет около десяти лет.

Статьи математиков-энтузиастов по решению задач теории чисел

Гипотезы и возможные доказательства решения проблем простых чисел, в т.ч. Диофантовых уравнений, проблем Ландау и Гольдбаха.

Белотелов В.А. (г. Заволжье) — статьи о числах:
- Алгоритм решения Диофантовых уравнений. . [ZIP 260К] Статья была представлена на X Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике, Санкт-Петербург, 19 мая 2009 г. В статье затронуты вопросы:
  1. Диофантовы уравнения.
  2. Великая теорема Ферма.
  3. Уранение Пелля.
  4. Поиск Пифагоровых троек.
  5. Решение уравнения Каталана.
  6. Гипотеза Биля.
- Признак сходимости Диофантовых уравнений.
- Закономерность распределения простых чисел в ряду натуральных чисел. [ZIP 190К].
- Интервалы числовой оси не содержащие простых чисел.
- О формулах простых чисел.. [ZIP 28К] Автор приходит к выводу: формул простых чисел не существует.
- Прогрессии. О математических прогрессиях. Решение обратной задачи методом трапеции.
- Проблема Гольдбаха. Решение первой и второй проблем Ландау.
Богомолов Сергей. Локализация области поиска сомножителей произведения простых чисел: RTF-файл [21K].
Немлихер И.А., Немлихер Е.А., Никулин Г.И. Методика определения делимости чисел натурального числового ряда и ее практическое применение. Можете скачать статью [RTF, упакованный в ZIP 30К] или загрузить сам RTF-файл [320 Кбайт].
Рудыкин А.Ф. Некоторые «доказательства»: Великая теорема Ферма и прочее: Zip-файл [400 К, упакованные в 90 К]. Предлагаемая статья призвана послужить исключению распространенных ошибок при доказательстве Великой теоремы Ферма и других математических задач. Представлено:
1. 1. Завершение проблемы Великой теоремы Ферма (Бледнов В. А., 2004).
2. 2. Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечётных показателей n (А. Ф. Горбатов).
3. 3. Доказательство теоремы Ферма методами элементарной алгебры (Бобров А.В.).
4. 4. Великая теорема Ферма – два коротких доказательства (Бобров А.В. — доказательство аналогично предыдущему).
5. 5. Доказательство Великой теоремы Ферма с помощью метода бесконечных (неопределенных) спусков (А.В. Тарасов, 2008).
6. 6. Алгоритм решения Диофантовых уравнений (X Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике. Санкт-Петербург, 19 мая 2009 г.). В работе рассмотрен метод исследования Диофантовых уравнений и представлены решенные этим методом: — Великая теорема Ферма; — Уравнение Пелля; — поиск Пифагоровых троек; — Уравнение Каталана; — уравнение Гипотезы Билля; — уравнения эллиптических кривых и др.
7. 7. Общее доказательство Гипотезы Биля, Великой теоремы Ферма и Теоремы Пифагора (Н.М. Козий, 2007).
8. 8. Закономерность распределения простых чисел в ряду натуральных чисел (Белотелов В.А., 2008).
Фомюк Г.А., Кудина Е.А. Закономерность распределения простых чисел в натуральном числовом ряду. Доказательство гипотезы Римана. Скачать книгу можно со страниц по обзору этой работы («Гипотеза Римана доказана?»): на русском, а также Zip [90K] на этом сайте.
Геннадий и Елена Фомюки нашли простую (арифметическую) формулу для нахождения простых чисел:
Q = A + 18 * X, где Q — искомое простое число, A – базовое простое число (1, 5, 7, 11, 13 или 17), x – любое натуральное число (1, 2, 3, 4, …).
[Правда, эта формула в ряде случаев (нашел пока 2) дает и квадраты простых чисел: 7 + 18 * 1 = 25 = 5², 13 + 18 * 2 = 49 = 7².
Справедливости ради заметим, что это доказательство критикуется другими исследователями.
Статьи Александра Щербакова о чётных числах:
- О четных числах в виде разности двух вычетов (двух простых чисел) [PDF, 230К].
- О четных числах в узлах квадратных решеток [PDF, 210К].

Научные новости о попытках решения проблем с простыми числами

Математики справились с задачей, мучившей человечество 2200 лет. [Утро.ру] В последние десятилетия на помощь математикам в проверке делимости огромных чисел пришли компьютеры. Трое математиков индийского института технологии в городе Канпур, объявили, что разработали метод, позволяющий безошибочно и быстро определять, простым ли является то или иное число.

Геометрия многомерных пространств и гипотеза Пуанкаре

Над гипотезой о вероятных формах Вселенной бились лучшие умы 20 века.

Проблема Пуанкаре. И другие 6 математических проблем.
Проблемы 2000 года: гипотеза Пуанкаре.
Игры разума: доказательство стоимостью в миллион долларов.

Решение гипотеза Пуанкаре Григорием Перельманом

Российский математик Григорий Перельман решил гипотезу Пуанкаре. В 2002-2003 годах он совершил прорыв, предложив ряд новых идей. Он развил и довел до конца метод, предложенный в 1980-е годы Ричардом Гамильтоном. В своих работах Перельман утверждает, что построенная им теория позволяет доказать не только гипотезу Пуанкаре, но и гипотезу геометризации Тёрстона.

Суть метода состоит в том, что для геометрических объектов можно определить некоторое уравнение «плавной эволюции», похожее на уравнение ренормализационной группы в теорфизике. Исходная поверхность в ходе этой эволюции будет деформироваться и, как показал Перельман, в конце концов плавно перейдет именно в сферу. Сила этого подхода состоит в том, что, минуя все промежуточные моменты, можно сразу заглянуть «в бесконечность», в самый конец эволюции, и обнаружить там сферу.

В 2002 году Г. Перельман опубликовал решение гипотезы Пуанкаре, и до сих пор ни один пристрастный анализ не нашел в нем ошибки.

Г.Перельман родился 13 июня 1966 года в Ленинграде, в семье служащих [Папа — физик, написавший известный учебник]. Окончил знаменитую среднюю школу № 239 с углубленным изучением математики.

В 1982 году в составе команды советских школьников участвовал в Международной математической олимпиаде, проходившей в Будапеште. Был без экзаменов зачислен на матмех Ленинградского государственного университета. Побеждал на факультетских, городских и всесоюзных студенческих математических олимпиадах. Получал Ленинскую стипендию. Окончив университет, Перельман поступил в аспирантуру при Санкт-Петербургском отделении Математического института им.В.А.Стеклова. Кандидат физико-математических наук. Работает в лаборатории математической физики [работал].

Полное доказательство гипотезы Пуанкаре предъявлено уже тремя независимыми группами математиков.
Notes and commentary on Perelman’s Ricci flow papers.
Ученый отказался от награды. Гениальный математик Перельман уже отказался от европейской математической премии и, возможно, откажется от миллионного вознаграждения и медали Филда. [Взгляд]
Научный мир боится странностей российского гения.
Россиянин решил знаменитую математическую задачу. Шэрон Бегли.
Математик Перельман отказался от высшей награды. Ему присудили медаль заочно. Г.Перельман заявил американским журналистам, что принял такое решение в знак протеста против царящих в современном математическом мире нравов. По его мнению большинство математиков – люди честные, но они почему-то мирятся с существованием рядом с собой всяких шарлатанов. [2006]
Григорий Перельман не отказывался от миллиона. Он не принял медаль Филдса.

Топология и гипотеза Ходжа

Гипотеза Ходжа сформулирована в 1941 году и состоит в том, что для особенно хороших типов пространств, называемых проективными алгебраическими многообразиями, так называемые циклы Ходжа являются комбинациями объектов, имеющих геометрическую интерпретацию, — алгебраических циклов.

В XX веке математики изобрели мощные методы исследования формы сложных объектов. Основная идея состоит в том, чтобы выяснить, до какой степени мы можем аппроксимировать форму данного объекта, склеивая вместе простые тела возрастающей размерности. Этот метод оказался эффективным при описании разнообразных объектов встречающихся в математике. При этом были не ясны геометрические обоснования метода: в некоторых случаях было необходимо прибавлять части, которые не имели никакого геометрического истолкования.

Доказать гипотезу Ходжа удалось для некоторых частных случаев. Более общее доказательство пока не найдено, не найдено и доказательство обратного — что гипотеза неверна.

Проблемы 2000 года: гипотеза Ходжа. [2005]

Квантовая физика и геометрия (гипотеза Янга-Миллса)

Тео́рия Я́нга—Ми́ллса — калибровочная теория с неабелевой калибровочной группой. Калибровочные поля в этой теории называются полями Янга — Миллса. Такие теории были предложены в 1954 году Чж. Янгом (Yang) и Р. Миллсом (Mills), однако долгое время рассматривались лишь как математические изыски, не имеющие отношения к реальности.

Несмотря на это, именно на основе теорий Янга — Миллса в 1970-х годах были созданы две краеугольные теории Стандартной Модели в физике элементарных частиц: квантовая хромодинамика (теория сильных взаимодействий) на основе группы SU(3) и теория электрослабых взаимодействий на основе группы SU(2).

Теория Янга-Миллса. [Компутерра]

Теория графов и теорема Шварца-Кристоффеля

Теорема Шварца — Кристоффеля относится к теории функций комплексного переменного и носит название немецких математиков Карла Шварца и Элвина Кристоффеля. Она касается проблемы о конформном отображении некой канонической области (единичного круга Δ или верхней полуплоскости H⁺) на внутренность произвольного многоугольника. Теорема дает общий вид таких отображений, что важно с практической точки зрения.

Сформулированная 140 лет назад формула Шварца–Кристоффеля является незаменимой для проектирования различных объектов, включая здания, мосты, а также самолеты. Она определяет уровень внешней и внутренней сопротивляемости структуры и степень запаса ее прочности. Однако классическая формула не могла быть применена для сложных объектов, имеющих отверстия и сложные формы.

Британский профессор решил теорему Шварца–Кристоффеля.
Доказательства великих завихрений.

Обьявленные здесь проблемы динамики дискретных тел и непрерывной среды — фактически, физические, но сводимые к математическим формулам.

Уравнение Навье-Стокса [УНС]

Уравнения Навье — Стокса описывают движение вязкой ньютоновской жидкости и являются основой гидродинамики. Численные решения уравнений Навье — Стокса используются во многих практических приложениях и научных работах. Однако в аналитическом виде решения этих уравнений найдены лишь в некоторых частных случаях, поэтому нет полного понимания свойств уравнений Навье — Стокса. В частности, решения уравнений Навье — Стокса часто включают в себя турбулентность, которая остаётся одной из важнейших нерешённых проблем в физике, несмотря на её огромную важность для науки и техники. (Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса, Википедия)

Среди 7 проблем тысячелетия 6-я проблема является чисто прикладной задачей. От ее решения зависит качество проектирования самолетов, ракет, снарядов, гидротурбин, подводных лодок, газо- и нефтепроводов. В биологии и медицине решение этого уравнения дает всю правду о течении крови в сосудах, жидкости в клетках сосудов и т.д.

Решить уравнения Навье-Стокса не могут с 1822 года. Более того, не могут доказать: правильно ли мы решаем это уравнение, а их приходится решать на компьютерах в силу большой размерности, где 3 — уже много. Поэтому, прежде, чем вычислять, надо доказать теорему существования и единственности решения (СЕР), что составляет суть проблемы и важно потому, что аварии на газопроводах, гидростанциях, авиакатастрофы могут оказаться следствием неправильных расчетов уравнения Навье-Стокса, а не слепой случайности. (Чоро Тукембаев)

Исследователи, занимавшиеся или занимающиеся УНС, внёсшие свой вклад или взгляд в решение этого типа уравнений; их работы:

Американка Пенелопа Смит (Penelope Smith) из Университета Лихай (Lehigh University, Вифлеем, штат Пенсильвания) опубликовала 26. 09.2006 сатью «Immortal Smooth Solution of the Three Space Dimensional Navier-Stokes System«. Она выяснила, что уравнения Навье-Стокса могут быть перезаписаны в форме дифференциальных уравнений, которые она знала, как решать. В статье представлено это решение и она уверена в нём. Смит когда-то также посещала те же самые семинары, что и наш Григорий Перельман.
Большой вклад в развитие теории уравнений Навье-Стокса внесла некогда [?] и наша петербургская женщина-математик Ольга Ладыженская. Главным результатом Ладыженской в этой области стало полное решение проблемы в двумерном случае.

Статьи Чоро Тукембаева:
- О решении шестой проблемы тысячелетия. Чоро Тукембаев [Doc, 50K]
Работы Талайбека Омурова, Кыргызстан:
- Нестационарная задача Навье-Стокса для несжимаемой жидкости. Т.Д.Омуров. Кыргызский Национальный Университет им. Ж. Баласагына, Бишкек 2010. [PDF, 320K]
- Nonstationary Navier-Stokes Problem for Incompressible Fluid with Viscosity. Taalaibek D. Omurov. American Journal of Mathematics and Statistics 2013, 3(6): 349-356. [PDF, 330K]
- Existence, Singleness and Smoothness in the Problem of Navier-Stokes for the Incompressible Fluid with Viscosity. Taalaibek D. Omurov. Doctor of Physics and Mathematics, professor of Z. Balasagyn Kyrgyz National University, Bishkek, Kyrgyzstan. [PDF, 2M]. Статья опубликована в «American Journal of Fluid Dynamics». Она имеется также на сайте Теренса Тао (IQ=230) — «Why global regularity for Navier-Stokes is hard» с комментариями Чоро Тукембаева. Для уравнений Эйлера Омуров применил пространства типа Соболева в 2013 году.
Работы Намаза Алтаева (Казахстан, г.Шымкент):
- Доклады-презентации о способе решения Уранения Навье-Стокса на русском [PPTX 1 Мб] и английском [PPT 0,3 Мб] языках.
- Новый подход к интерпретации природы уравнения Навье-Стокса и ее решению. Алтаев Н.К.. Это полная версия доклада на русском языке [PDF 800 Кб].
- New approach to interpretation of the nature of the Navier-Stokes equation and its solution. Altayev N.K. Полная версия доклада на английском языке [PDF 700 Кб].
- Упакованный архив [Zip 500 Кб] с этими статьями в формате Word Docx на русском и английском языках.
Намаз считает, что принятые подходы к решению уравнений Эйлера и Навье-Стокса методами математической физики ведут в тупик. Он полагает, что природу этих уравнений можно удовлетворительно интерпретировать, если за основу анализа брать основополагающие принципы теоретической и эмпирической физики.

Задача притяжения трех тел

Задача о движении трех материальных точек под действием ньютоновских сил взаимного притяжения — «задача трех тел» — получила в математике, механике и астрономии широкую известность. Достаточно просмотреть посвященные этой задаче главы в книгах Уиттекера, Биркгофа, Зигеля и статьи Арнольда и Смейла, чтобы убедиться в богатстве и плодотворности круга идей, так или иначе обязанных ей своим возникновением. [Странно, почепму это математическая, а не физическая задача.]

Задача трех тел описывается системой дифференциальных уравнений; ей соответствует фазовый поток в 18-мерном фазовом пространстве.

Сербские физики нашли новые решения ньютоновской задачи трех тел.
Найдено 152 новых решения ньютоновской задачи трех тел.
Решена неподвластная человеку задача (на самом деле, частично, и с помощью искусственного интеллекта).

Гипотеза Кука

Может ли проверка правильности решения задачи быть более длительной, чем само получение решения, независимо от алгоритма проверки? Недавно установлена связь между гипотезой Ж.Эдмондса и проблемой С.А.Кука.

Допустим, находясь в большой компании, Вы хотите убедиться, что там же находится Ваш знакомый. Если Вам скажут, что он сидит в углу, то Вам достаточно доли секунды, чтобы, бросив взгляд, убедиться в истинности информации. В отсутствии этой информации Вы будете вынуждены обойти всю комнату, рассматривая гостей. Точно так же, если кто-то сообщит Вам, что число 13717421 можно представить, как произведение двух меньших чисел, непросто быстро убедиться в истинности информации, но если Вам сообщат, что исходное число можно разложить на множители 3607 и 3803, то это утверждение легко проверяется с помощью калькулятора.

Это примеры иллюстрируют общее явление: решение какой-либо задачи часто занимает больше времени, чем проверка правильности решения. Стивен Кук сформулировал проблему: может ли проверка правильности решения задачи быть более длительной, чем само получение решения, независимо от алгоритма проверки. Эта проблема является одной из нерешенных проблем логики и информатики. Ее решение могло бы революционным образом изменить основы криптографии, используемой при передаче и хранении данных.

Обзоры. статьи и новости о других важных математических проблемах и задачах: проблемах Гилберта, теореме Атия-Сингера…

ABC-гипотеза (гипотеза Эстерле-Массера)

Независимо друг от друга abc-гипотеза предложена математиками Дэвидом Массером в 1985 году и Джозефом Эстерле в 1988 году. Ее решение составляет одну из главных проблем теории чисел. Гипотеза утверждает, что для любого действительного числа r > 1 существует не более конечного числа троек натуральных чисел a, b и c таких, что для них выполняются условия: a + b = c; a, b и c взаимно просты в совокупности (то есть у них нет общих делителей) и c > rad(abc)r.

Радикалом (rad) натурального числа N называется число, которое представляет собой произведение всех различных простых (отличных от единицы чисел, делящихся только на себя и на единицу) делителей числа N. Например, rad (15) = 15, так как у этого числа простые делители 3 и 5, а rad (18) = 6, поскольку простых делителей у числа 18 ровно два — это 3 и 2.

Гипотеза Эстерле-Массера важна для теории диофантовых уравнений, а ее справедливость позволит провести еще одно доказательство великой теоремы Ферма для больших степеней.

И вот, в 2012 году японский математик Синъити Мотидзуки представил доказательство abc-гипотезы, которое занимает более 500 страниц текста. Понять и проверить его способно небольшое число математиков. У эксперта может уйти до 500 часов работы для понимания доказательства, тогда как у математика-аспиранта это займет около 10 лет. В настоящее время проверкой работы Мотидзуки занимаются десять математиков. Отдельные этапы доказательства математика ясны, но «всеобъемлющая стратегия остается совершенно неуловимой». Считается, что проверить корректность доказательства Мотидзуки удастся к 2017 году,

Работа японского ученого содержит революционные идеи и использует оригинальные обозначения, ранее не встречавшиеся в математической литературе.

Доказательство «японского Перельмана» совершило революцию в математике. [29.07.16]

Атия-Сингера теорема

Теорема Атьи — Зингера об индексе — один из наиболее популярных математических результатов последнего пятилетия. Такой интерес к проблеме индекса объясняется ее положением на стыке анализа и топологии, а также тем, что для ее решения потребовались новейшие математические разработки.

Пале. Р. Семинар по теореме Атьи — Зингера об индексе.

Гильберта проблемы

Пробле́мы Ги́льберта — список из 23 кардинальных проблем математики, представленный Давидом Гильбертом на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Тогда эти проблемы (охватывающие основания математики, алгебру, теорию чисел, геометрию, топологию, алгебраическую геометрию, группы Ли, вещественный и комплексный анализ, дифференциальные уравнения, математическую физику и теорию вероятностей, а также вариационное исчисление) не были решены.

На данный момент решены 16 проблем из 23. Ещё 2 не являются корректными математическими проблемами (одна сформулирована слишком расплывчато, чтобы понять, решена она или нет, другая, далёкая от решения, — физическая, а не математическая). Из оставшихся 5 проблем две не решены никак, а три решены только для некоторых случаев. (Из Википедии)

Проблемы Гильберта.
23 проблемы Гильберта. Сборник комментариев

Новые математические гипотезы

Thurston’s Geometrization Conjecture. Гипотезы геометризации

Новости о «неключевых», но важных математических достижениях

Высшей награды в области математики удостоена работа 40-летней давности. Высшая награда в области математики — норвежская Премия Абеля – присуждена двум ученым: британцу сэру Майклу Фрэнсису Атьи и Айсадору М. Зингеру из США за работу на стыке двух наук – физики и математики. Норвежская Академия наук и литературы выделила 6 млн крон «за их открытие и доказательство теоремы об индексе с помощью топологии, геометрии и математического анализа, а также за их выдающуюся роль в создании новых связей между математикой и теоретической физикой». 75-летний Атья из университета Эдинбурга и 79-летнйи Зингер из технологического института Массачусетса еще 40 лет назад разработали то, что сейчас называется теоремой Атия-Сингера. [2004]

На правах рекламы (см. условия):

Страница обновлена 29. 09.2022

Великие математические революции и нерешенные задачи // Алексей Савватеев

Главная ≫ Инфотека ≫ Математика ≫ Видео ≫ Великие математические революции и нерешенные задачи // Алексей Савватеев

Лекция математика Алексея Владимировича Савватеева в СУНЦ МГУ про великие математические революции и нерешенные задачи, многие из которых уже решены, а некоторые — ждут своих героев. Для старших и «продвинутых» школьников, интересующихся математикой.

Похожее

Математика для гуманитариев

Алексей Савватеев

Лекции были прочитаны доктором физико-математических наук Алексеем Владимировичем Савватеевым в Университете Дмитрия Пожарского (Москва) в 2014 году.
Математика на шахматной доске

Гик Е. Я.

В книге рассказывается о разнообразных связях, существующих между математикой и шахматами: о математических легендах о происхождении шахмат, об играющих машинах, о необычных играх на шахматной доске и т. д. Затронуты все известные типы математических задач и головоломок на шахматную тему: задачи о шахматной доске, о маршрутах, силе, расстановках и перестановках фигур на ней. Рассмотрены задачи «о ходе коня» и «о восьми ферзях», которыми занимались великие математики Эйлер и Гаусс. Дано математическое освещение некоторых чисто шахматных вопросов — геометрические свойства шахматной доски, математика шахматных турниров, система коэффициентов Эло.
Алгебра для всех

Алексей Савватеев

Вводный миникурс по алгебре, ориентированный на студентов-первокурсников, но всем остальным может быть интересно тоже. r элементов, мультипликативная группа и структура их вложимости друг в друга. Единственность конечного поля.
Теория групп

Алексей Савватеев

В миникурсе ликвидируются пробелы школьного образования, относящиеся к теории групп и к конкретным примерам групп. Будут установлены базовые факты про вычеты, доказана малая теорема Ферма, исследованы подгруппы групп перестановок на трёх и четырёх символах, введено понятие нормальной подгруппы данной группы и простоты группы. Затем будет доказано, что группа чётных перестановок на n≥5 символах — простая (что откроет желающим дорогу к вопросам о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах), а также что подгруппа переносов плоскости (пространства) — нормальная в группе всех (аффинных) движений соответствующего объекта. Маломерные группы движений получат полную характеризацию (теорема Шаля и законы композиции движений разных видов).
Связь успехов в олимпиадах с будущими научными достижениями

Алексей Савватеев

Чем определяется успех на математических олимпиадах? Коррелируют ли олимпиадные успехи с будущими научными достижениями? Какие навыки необходимы для того, чтобы стать настоящим учёным? Рассказывает Алексей Савватеев, математик и матэкономист, доктор физико-математических наук, научный руководитель Кавказского Математического Центра АГУ, ректор Университета Дмитрия Пожарского, профессор МФТИ, научный руководитель ЦДПО РЭШ, ведущий научный сотрудник ЦЭМИ РАН, популяризатор математики среди детей и взрослых.
Жизнь после Хиггса

Алексей Семихатов

Лекция доктора физико-математических наук, ведущего научного сотрудника Отделения теоретической физики Физического института имени П.Н. Лебедева РАН (ФИАН), переводчика, члена жюри премии «Просветитель» Алексея Михайловича Семихатова, прочитанная 9 сентября 2012 года в рамках цикла «Публичных лекций «Полит.ру» на книжном фестивале под открытым небом BookMarket в парке искусств «Музеон».
Избранные вопросы неевклидовой геометрии

Алексей Савватеев

Геометрия — классическая Евклидова, Лобачевского, проективная и сферическая — не получает достаточного внимания в программах современных мат.факультетов (не говоря уже о школах). В то же время она наглядна и на редкость красива. Многие утверждения визуально очевидны и в то же время неожиданные (почему самолёт, летящий из Иркутска в Лиссабон, стартует сперва в направлении Норильска?) За 8 лекций слушатели ознакомятся с начальными сведениями в этой области математики, берущей своё начало более двух тысячелетий назад. Закончим мы гораздо более сложным материалом, непосредственно выводящим на современные разделы науки. Будут затронуты основы теории групп и алгебр Ли.
«Гриша Перельман, яблоко и бублик»

Сергей Дужин

1 февраля 2015 года не стало талантливого математика, докт. физ.-мат.наук, старшего научного сотрудника Санкт-Петербургского отделения Математического института РАН Сергея Васильевича Дужина. Публикуем расшифровку его лекции «Гриша Перельман, яблоко и бублик», с которой он выступил 22 сентября 2011 года.
Что такое фракталы

Николай Долбилин

Лекция прочитана 5 июля 2006 года в поселке Московский в рамках II конференции лауреатов Всероссийского конкурса учителей математики и физики фонда «Династия».

Далее >>>

Великие математики и задачи тысячилетия

Великие математики и задачи тысячелетия

Жюль Анри́ Пуанкаре́ — французский математик, физик, астроном и философ. Глава Парижской академии наук (1906), член Французской академии (1908) и ещё более 30 академий мира, в том числе иностранный член-корреспондент Петербургской академии наук (1895).

Историки причисляют Анри Пуанкаре к величайшим математикам всех времён. Он считается, наряду с Гильбертом, последним математиком-универсалом, учёным, способным охватить все математические результаты своего времени. Его перу принадлежат более 500 статей и книг. «Не будет преувеличением сказать, что не было такой области современной ему математики, „чистой“ или „прикладной“, которую бы он не обогатил замечательными методами и результатами».

Среди его самых крупных достижений:

Создание топологии.
Качественная теория дифференциальных уравнений.
Теория автоморфных функций.
Разработка новых, чрезвычайно эффективных методов небесной механики.
Создание математических основ теории относительности.
Наглядная модель геометрии Лобачевского.

Анри Пуанкаре родился 29 апреля1854 года в Нанси (Лотарингия, Франция). Его отец, Леон Пуанкаре (1828—1892), был профессором медицины в Университете Нанси. Мать Анри, Эжени Лануа (EugénieLaunois), всё свободное время посвящала воспитанию детей — сына Анри и младшей дочери Алины.

С самого детства за Анри закрепилась репутация рассеянного человека, которую он сохранил на всю жизнь. В детстве он перенёс дифтерию, которая осложнилась временным параличом ног и мягкого нёба. Болезнь затянулась на несколько месяцев, в течение которых он не мог ни ходить, ни говорить. За это время у него очень сильно развилось слуховое восприятие и, в частности, появилась необычная способность — цветовое восприятие звуков, которое осталось у него до конца жизни. Хорошая домашняя подготовка позволила Анри в восемь с половиной лет поступить сразу на второй год обучения в лицее. Там его отметили как прилежного и любознательного ученика с широкой эрудицией. В последующие годы математические таланты Пуанкаре проявлялись всё более и более явно. В октябре 1873 года он стал студентом престижной парижской Политехнической школы, где на вступительных экзаменах занял первое место. Его наставником по математике был Шарль Эрмит. В следующем году Пуанкаре опубликовал в «Анналах математики» свою первую научную работу по дифференциальной геометрии.

По результатам двухлетнего обучения (1875) Пуанкаре приняли в Горную школу, наиболее авторитетное в то время специальное высшее учебное заведение. Там он через несколько лет (1879), под руководством Эрмита, защитил докторскую диссертацию, о которой Гастон Дарбу, входивший в состав комиссии, сказал: «С первого же взгляда мне стало ясно, что работа выходит за рамки обычного и с избытком заслуживает того, чтобы её приняли. Она содержала вполне достаточно результатов, чтобы обеспечить материалом много хороших диссертаций». Получив учёную степень, Пуанкаре начал преподавательскую деятельность в университете города Кан в Нормандии (декабрь 1879 года). Тогда же он опубликовал свои первые серьёзные статьи — они посвящены введённому им классу автоморфных функций. Там же, в Кане, он познакомился со своей будущей женой Луизой Пуленд’Андеси. 20 апреля 1881 года состоялась их свадьба. У них родились сын и три дочери. Оригинальность, широта и высокий научный уровень работ Пуанкаре сразу поставили его в ряд крупнейших математиков Европы и привлекли внимание других видных математиков. В 1881 году Пуанкаре был приглашён занять должность преподавателя на Факультете наук в Парижском университете и принял это приглашение. Параллельно, с 1883 по 1897, он преподавал математический анализ в Высшей Политехнической школе. В 1881—1882 годах Пуанкаре создал новый раздел математики — качественную теорию дифференциальных уравнений. Он показал, каким образом можно, не решая уравнения (поскольку это не всегда возможно), получить практически важную информацию о поведении семейства решений. Этот подход он с большим успехом применил к решению задач небесной механики и математической физики. Десятилетие после завершения исследования автоморфных функций (1885—1895) Пуанкаре посвятил решению нескольких сложнейших задач астрономии и математической физики. Он исследовал устойчивость фигур планет, сформированных в жидкой (расплавленной) фазе, и обнаружил, кроме эллипсоидальных, несколько других возможных фигур равновесия.

Математическая деятельность Пуанкаре носила междисциплинарный характер, благодаря чему за тридцать с небольшим лет своей напряжённой творческой деятельности он оставил фундаментальные труды практически во всех областях математики. Работы Пуанкаре, опубликованные Парижской Академией наук в 1916—1956, составляют 11 томов. Это труды по созданной им топологии, автоморфным функциям, теории дифференциальных уравнений, интегральным уравнениям, неевклидовой геометрии, теории вероятностей, теории чисел, небесной механике, физике, философии математики и философии науки.

Во всех разнообразных областях своего творчества Пуанкаре получил важные и глубокие результаты. Хотя в его научном наследии немало крупных работ по «чистой математике» (абстрактная алгебра, алгебраическая геометрия, теория чисел и др.), всё же существенно преобладают труды, результаты которых имеют непосредственное прикладное применение. Особенно это заметно в его работах последних 15—20 лет. Тем не менее открытия Пуанкаре, как правило, имели общий характер и позднее с успехом применялись в других областях науки.

Творческий метод Пуанкаре опирался на создание интуитивной модели поставленной проблемы: он всегда сначала полностью решал задачи в голове, а затем записывал решение. Пуанкаре обладал феноменальной памятью и мог слово в слово цитировать прочитанные книги и проведённые беседы (память, интуиция и воображение Анри Пуанкаре даже стали предметом настоящего психологического исследования). Кроме того, он никогда не работал над одной задачей долгое время, считая, что подсознание уже получило задачу и продолжает работу, даже когда он размышляет о других вещах. Свой творческий метод Пуанкаре подробно описал в докладе «Математическое творчество» (парижское Психологическое общество, 1908).

После защиты докторской диссертации, посвящённой изучению особых точек системы дифференциальных уравнений, Пуанкаре написал ряд мемуаров под общим названием «О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями» . В этих статьях он построил новый раздел математики, который получил название «качественная теория дифференциальных уравнений». Пуанкаре показал, что даже если дифференциальное уравнение не решается через известные функции, тем не менее из самого вида уравнения можно получить обширную информацию о свойствах и особенностях поведении семейства его решений. В частности, Пуанкаре исследовал характер хода интегральных кривых на плоскости, дал классификацию особых точек (седло, фокус, центр, узел), ввёл понятия предельного цикла и индекса цикла, доказал, что число предельных циклов всегда конечно, за исключением нескольких специальных случаев.

Отзывы о Пуанкаре как о человеке чаще всего восторженные. В любой ситуации он неизменно выбирал благородную позицию. В научных спорах был твёрд, но неукоснительно корректен. Никогда не был замешан в скандалах, приоритетных спорах, оскорблениях. Равнодушен к славе: он неоднократно добровольно уступал научный приоритет, даже если имел серьёзные права на него; например, он ввёл термины «фуксовы функции», «группа Клейна», «устойчивость по Пуассону», «числа Бетти» — хотя имел все основания назвать эти объекты своим именем. Друзья Пуанкаре отмечают его скромность, остроумие, терпимость, чистосердечность и доброжелательность. Внешне он мог производить впечатление человека замкнутого и малообщительного, но в действительности такое поведение было следствием его застенчивости и постоянной сосредоточенности.

В 1906 году Пуанкаре избран президентом Парижской академии наук. В 1908 году он тяжело заболел и не смог сам прочитать свой доклад «Будущее математики» на Четвёртом математическом конгрессе. Первая операция закончилась успешно, но спустя 4 года состояние Пуанкаре вновь ухудшилось. Скончался в Париже после операции от эмболии17 июля1912 года в возрасте 58 лет. Похоронен в семейном склепе на кладбище Монпарнас.

Вероятно, Пуанкаре предчувствовал свою неожиданную смерть, так как в последней статье описал нерешённую им задачу («последнюю теорему Пуанкаре»), чего никогда раньше не делал. Спустя несколько месяцев эта теорема была доказана Джорджем Биркгофом. Позже при содействии Биркгофа во Франции был создан Институт теоретической физики имени Пуанкаре.

Гипотеза Пуанкаре́ является одной из наиболее известных задач топологии. Она даёт достаточное условие того, что пространство является трёхмерной сферой с точностью до деформации.

Всякое односвязное компактное трёхмерное

многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере.

В исходной форме гипотеза

Пуанкаре утверждает:

Обобщённая гипотеза Пуанкаре утверждает:

Для любого натурального числа n всякое многообразие размерности nгомотопически эквивалентно сфере размерности n тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно ей.

Исходная гипотеза Пуанкаре является частным случаем обобщённой гипотезы при n = 3.

В 1900 году Пуанкаре сделал предположение, что трёхмерное многообразие со всеми группами гомологий как у сферы гомеоморфно сфере. В 1904 году он же нашёл контр-пример, называемый теперь сферой Пуанкаре, и сформулировал окончательный вариант своей гипотезы. Попытки доказать гипотезу Пуанкаре привели к многочисленным продвижениям в топологии многообразий.

Соль премии

Мораль в том, что если смотреть сильно вблизи, поверхность шарика (сфера) неотличима от плоскости. Двинемся дальше. Возьмем обычный круг на плоскости. У него есть граница — окружность. Ясно, что если вырезать этот круг ножницами, а потом стянуть границу в одну точку и надуть что получится воздухом, то круг расправится в двумерную сферу (тут надо думать о воздушных шарах и все такое).

Мораль — двумерная сфера получается из круга склеиванием всех точек границы в одну. И наоборот, если вырезать в двумерной сфере маленькую дырку и растянуть ее, то двумерная сфера расправится в плоский круг.

Аналогично, если взять обычный шарик и склеить все точки его границы в одну, то получится трехмерная сфера.

Аналогично, наше трехмерное пространство — это просто трехмерная сфера с вырезанной дыркой. Если смотреть на трехмерную сферу вблизи, то ее нельзя отличить от трехмерного пространства — дырка сильно далеко, и мы ее не замечаем.

Так вот. Трехмерная сфера — пример трехмерного многообразия (это значит, что, глядя вблизи, она неотличима от трехмерного пространства). На самом деле, разных трехмерных многообразий столько же, сколько натуральных чисел. Взглянуть на них издалека мы не можем — воображения не хватает. А вблизи они все устроены одинаково. Как быть?

Французский математик Пуанкаре высказал гипотезу, что если трехмерное многообразие удовлетворяет некоторым свойствам, то ничем иным, кроме трехмерной сферы, оно быть не может. Потом институт Клея решил, что если кто это докажет — то тот сильно умный и заслуживает миллиона денег.

Лет тридцать назад Терстон придумал, что хоть трехмерных многообразий и сильно много, но они все должны быть устроены вроде конструктора Лего. То есть, достаточно задаться восемью типами деталек и по-разному клеить их друг к другу, чтобы можно было получить вообще все возможные трехмерные многообразия. Идея была шибко красивая, но опять же, доказать ее Терстон не мог. Позже она получила название «гипотеза геометризации». Среди деталек Терстона только одна удовлетворяла условиям Пуанкаре — трехмерная сфера. То есть, доказательство гипотезы геометризации влекло бы за собой доказательство гипотезы Пуанкаре.

Заслуга Григория Перельмана — доказательство гипотезы геометризации. За это ему сразу, как только поняли, что доказательство правильное, дали Филдса и 15k, от коих он отказался. И немедленно стали говорить о том, что ему дадут миллион. Но по правилам института Клея для того, чтобы претендовать на миллион, нужно, чтобы доказательство было опубликовано в уважаемом журнале.

Доказательство исходной гипотезы Пуанкаре было найдено только в 2002 году Григорием Перельманом. Впоследствии доказательство Перельмана было проверено и представлено в развёрнутом виде как минимум тремя группами учёных.

Григо́рий Я́ковлевич Перельма́н (р. 13 июня1966, Ленинград, СССР) — выдающийся российский математик, первым доказавший гипотезу Пуанкаре.

Григорий Перельман родился 13 июня1966 года в Ленинграде в еврейской семье. Его отец Яков был инженером-электриком, в 1993 году эмигрировал в Израиль. Мать, Любовь Лейбовна, осталась в Санкт-Петербурге, работала учителем математики в ПТУ. Именно мать, игравшая на скрипке, привила будущему математику любовь к классической музыке.

До 9 класса Перельман учился в средней школе на окраине города, однако, в 5 классе начал заниматься в математическом центре при Дворце пионеров под руководством доцента РГПУ Сергея Рукшина, чьи ученики завоевали множество наград на математических олимпиадах. В 1982 году в составе команды советских школьников завоевал золотую медаль на Международной математической олимпиаде в Будапеште, получив полный балл за безукоризненное решение всех задач. Перельман окончил 239-ю физико-математическую школу города Ленинграда. Хорошо играл в настольный теннис, посещал музыкальную школу. Золотую медаль не получил только из-за физкультуры, не сдав нормы ГТО.

Был без экзаменов зачислен на математико-механический факультет Ленинградского государственного университета. Побеждал на факультетских, городских и всесоюзных студенческих математических олимпиадах. Все годы учился только на «отлично». За успехи в учёбе получал Ленинскую стипендию. Окончив с отличием университет, поступил в аспирантуру (руководитель — академик А. Д. Александров) при Ленинградском отделении Математического института им. В. А. Стеклова (ЛОМИ — до 1992 г.; затем — ПОМИ). Защитив в 1990 году кандидатскую диссертацию, остался работать в институте старшим научным сотрудником.

В начале 1990-х годов Перельман приехал в США, где работал научным сотрудником в разных университетах. Удивлял коллег аскетичностью быта, любимой едой были молоко, хлеб и сыр. В 1996 году вернулся в Санкт-Петербург, где продолжил работу в ПОМИ. В декабре 2005 года он ушёл с поста ведущего научного сотрудника лаборатории математической физики, уволился из ПОМИ и практически полностью прервал контакты с коллегами. К дальнейшей научной карьере интереса не проявлял. В настоящее время живёт в Купчино в одной квартире с матерью, ведёт замкнутый образ жизни, игнорирует прессу. Будучи представителем ленинградской геометрической школы, развил и применил сугубо ленинградскую теорию пространств Александрова для анализа потоков Риччи. В 2002 году Перельман впервые опубликовал свою новаторскую работу, посвящённую решению одного из частных случаев гипотезы геометризации Уильяма Тёрстона, из которой следует справедливость знаменитой гипотезы Пуанкаре, сформулированной французским математиком, физиком и философом Анри Пуанкаре в 1904 году. Описанный учёным метод изучения потока Риччи получил название теории Гамильтона — Перельмана. В 1996 году был удостоен премии Европейского математического общества для молодых математиков, но отказался её получать.

В 2006 году Григорию Перельману за решение гипотезы Пуанкаре присуждена международная премия «Медаль Филдса», однако он отказался и от неё.

В 2006 году журнал Science назвал доказательство теоремы Пуанкаре научным «прорывом года» («BreakthroughoftheYear»). Это первая работа по математике, заслужившая такое звание. В 2006 году Сильвия Назар и Дэвид Грубер опубликовали статью «ManifoldDestiny», которая рассказывает о Григории Перельмане и математическом сообществе и содержит редкое интервью с ним самим. В 2007 году британская газета TheDailyTelegraph опубликовала список «Сто ныне живущих гениев», в котором Григорий Перельман занимает 9-е место. Кроме Перельмана в этот список попали всего лишь 2 россиянина — Гарри Каспаров (25-е место) и Михаил Калашников (83-е место). В марте 2010 года Математический институт Клэя присудил Григорию Перельману премию в размере одного миллиона долларов США за доказательство гипотезы Пуанкаре, что стало первым в истории присуждением премии за решение одной из Проблем тысячелетия. В июне 2010 года Перельман проигнорировал математическую конференцию в Париже, на которой предполагалось вручение «Премии тысячелетия», а 1 июля2010 года публично заявил о своём отказе от премии:

Я отказался. Вы знаете, у меня было очень много причин и в ту, и в другую сторону. Поэтому я так долго решал. Если говорить совсем коротко, то главная причина — это несогласие с организованным математическим сообществом. Мне не нравятся их решения, я считаю их несправедливыми. Я считаю, что вклад в решение этой задачи американского математика Гамильтона ничуть не меньше, чем мой.

Г. Я. Перельман

Задачи математики, которые ещё не решены учёными их называют «Задачи тысячелетия»

Задачи тысячелетия

Равенство классов P и NP

Гипотеза Ходжа

~~Гипотеза Пуанкаре~~

Гипотеза Римана

Квантовая теория
Янга — Миллса

Существование и гладкость
решений уравнений
Навье — Стокса

Гипотеза
Бёрча — Свиннертон-Дайера

Ресурсы:

http://ru. wikipedia.org/w/index.php?title=Гипотеза_Пуанкаре&oldid=48363787

http://ru.wikipedia.org/wiki

Великие задачи древности (стр. 1 из 2)

Реферат ученика 10 ф/м б класса Кожевникова Кирилла.

Февраль 2002 г.

С глубокой древности известны три задачи на построение: об удвоении куба, трисекции угла и квадратуре круга. Они сыграли особую роль в истории математики. В конце концов было доказано, что эти задачи невозможно решить, пользуясь только циркулем и линейкой. Но уже сама постановка задачи — «доказать неразрешимость» — была смелым шагом вперёд. Вместе с тем предлагалось множество решений при помощи нетрадиционных инструментов. Всё это привело к возникновению и развитию совершенно новых идей в геометрии и алгебре. Немало преуспели в нестандартных и различных приближённых решениях любители математики — среди них три знаменитые задачи древности особенно популярны. Задачи кажутся доступными любому: вводят в заблуждение их простые формулировки. До сих пор редакции математических журналов время от времени получают письма, авторы которых пытаются опровергнуть давно установленные истины и подробно излагают решение какой-либо из знаменитых задач с помощью циркуля и линейки.

КЛАССИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ДРЕВНОСТИ

Древнегреческие математики достигли чрезвычайно большого искусства в геометрических построениях с помощью циркуля и линейки. Однако три задачи не поддавались их усилиям. Прошли тысячелетия, и только в наше время, наконец, были получены их решения.

История нахождения квадратуры круга длилась четыре тысячелетия, а сам термин стал синонимом неразрешимых задач. Как следует из подобия кругов, отношение длины окружности к ее диаметру есть величина постоянная, не зависящая от радиуса круга, она обозначается буквой п. Таким образом, длина окружности круга радиуса rравна 2pr², а так как площадь круга равна S = 2pr², то задача о квадратуре круга сводится к задаче построения треугольника с основанием 2pr² и высотой r. Для него потом уже без труда может быть построен равновеликий квадрат.

Итак, задача сводилась к построению отрезка, длина которого равна длине окружности данного круга. Это было показано еще Архимедом в сочинении «Измерение круга», где он доказывает, что число p меньше чем

, но больше чем

т.е. 3,1408 < p < 3,1429.

В наши дни с помощью ЭВМ число p вычислено с точностью до миллиона знаков, что представляет скорее технический, чем научный интерес, потому что такая точность никому не нужна. Десяти знаков числа p (p =3,141592653…) вполне достаточно для всех практических целей. Долгое время в качестве приближенного значения я использовали число 22/7, хотя уже в V в. в Китае было найдено приближение 355/113 == 3,1415929…, которое было открыто вновь в Европе лишь в XVI в. В Древней Индии p считали равным

=3,1622…. Французский математик Ф. Виет вычислил в 1579 г. я с 9 знаками. Голландский математик Лудольф Ван Цейлен в 1596 г. публикует результат своего десятилетнего труда — число p,вычисленное с 32 знаками.

Но все эти уточнения значения числа л производились методами, указанными еще Архимедом: окружность заменялась многоугольником со все большим числом сторон (рис. 1,а). Периметр вписанного многоугольника при этом был меньше длины окружности, а периметр описанного многоугольника— больше. Но при этом оставалось неясным, является ли число p рациональным, т.е. отношением двух целых чисел, или иррациональным. Лишь в 1767 г. немецкий математик И. Г. Ламберт доказал, что число л иррационально, а еще через сто с лишним лет в 1882 г. другой немецкий математик— Ф. Линдеман доказал его трансцендентность, что означало и невозможность построения при помощи циркуля и линейки квадрата, равновеликого данному кругу.

Конечно, способов приближенного решения квадратуры круга с помощью циркуля и линейки было придумано великое множество. Так, в Древнем Египте было распространено правило: площадь круга равна площади квадрата со стороной, равной 8/9; p =256/81 = =3,1604….

Были найдены и другие пути определения квадратуры круга: кроме циркуля и линейки использовали другие инструменты или специально построенные кривые. Так, в V в. до н.э. греческий математик Гиппий из Элиды изобрел кривую, впоследствии получившую название квадратрисы Динострата (ее назвали по имени другого древнегреческого математика, жившего несколько позже и указавшего способ построения квадратуры круга при помощи этой кривой).

Чрезвычайно любопытно, что квадратриса Динострата решает и вторую из знаменитых задач древности- задачу о трисекции угла. Для этого нужно отложить данный угол так, чтобы его вершина находилась в точкеО, а одна из сторон совпала с лучом ОА. Из точки N пересечения квадратрисы со вторым лучом угла опускаем перпендикуляр NК на ОА, а затем делим отрезок KА на три равные части. Если восставить , в точках деления перпендикуляры к прямой ;

ОА до пересечения с квадратрисой , а затем соединить полученные точки пересечения l с точкой О, то полученные углы окажутся равными. Это следует из метода построения квадратрисы. Аналогичным образом можно делить любой угол на произвольное количество равных частей.

Напомним, что в классической постановке задачи о трисекции угла такое построение требовалось произвести лишь с помощью циркуля и линейки! В 1837 г. французский математик П. Ванцель доказал, что в общем виде задача не имеет решения, а возможно такое деление лишь в нескольких исключительных случаях, в частности для угла а = p/2 и всех углов вида p/2ⁿ.

Решение задачи сводится к уравнению х³ — Зх — а = 0. Оказалось, что трисекция угла возможна для тех углов a, для которых корни этого уравнения выражаются через параметр а и целые числа лишь с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратного корня.

К кубическому уравнению сводится и знаменитая «делосская задача» удвоения куба. Свое название она получила от острова Делос в Эгейском море, где, по легенде, чтобы избавить жителей от эпидемии, оракул повелел удвоить алтарь, имевший форму куба. Но в действительности она, наверное, возникла в умах математиков как обобщение задачи об удвоении квадрата. Для того чтобы построить квадрат вдвое большей площади, чем данный, достаточно провести у данного квадрата диагональ (рис. 1д) и принять ее за сторону нового квадрата.

Задача об удвоении куба оказалась существенно более трудной. Если обозначить через а длину стороны исходного куба, а через х-длину стороны вдвое большего куба, то получим соотношение х³ = 2а³ -снова кубическое уравнение. В 1837 г. тот же П. Ванцель доказал, что невозможно построить с по мощью только циркуля и линейки отрезок, в 1/2 раз больший данного, т.е. подтвердил неразрешимость задачи удвоения куба.

Естественно, что существовали способы приближенного решения этой задачи и решения ее с помощью других инструментов и кривых. Так, уже в IV в. до н.э. древнегреческие математики умели находить корень уравнения x³ = 2a³ как абсциссу точки пересечения двух парабол х² = aу и у² = 2ах, а также других конических сечений.

На протяжении многих веков три знаменитые задачи древности привлекали внимание выдающихся математиков. В процессе их решения рождались и совершенствовались многие математические методы.

УДВОЕНИЕ КУБА

В этой задаче требуется построить циркулем и линейкой куб вдвое большего объёма, чем заданный. Ребро искомого куба равно а ,где а — ребро исходного куба. Если принять, что а = 1, то искомое ребро х есть корень уравнения x³ — 2 = 0. У данного уравнения нет рациональных, а значит, и квадратично-ирациональных корней. Следовательно, удвоение куба нельзя осуществить циркулем и линейкой. Примерно такое расуждение было применено в начале XIX в., когда был подготовлен необходимый для этого алгебраический аппарат.

Считают, что задача об удвоении куба появилась во времена пифагорейцев, около 540 г. до н. э. Возможно, она возникла из задачи об удвоении квадрата, которую легко решить, опираясь на теорему Пифагора, — надо построить квадрат на диагонали данного квадрата. Согласно легенде, жители Афин, на которых боги ниспослали эпидемию чумы, отправили делегацию к оракулу на остров Делос за советом, как задобрить богов и избавиться от морового поветрия. Ответ был таков:

«Удвойте жертвенник храма Аполлона, и чума прекратится». Жертвенник имел кубическую форму. Афиняне решили, что задание простое, и построили новый жертвенник, с вдвое большим ребром. Однако чума только усилилась. Вторично обратились к оракулу и получили ответ: «Получше изучайте геометрию». История умалчивает о том, как удалось умилостивить богов, но чума в конце концов покинула город. А задачу об удвоении куба стали называть делосской задачей.

Известна и другая легенда. Греческий комментатор VI в. до н. э. сообщает о письме, предположительно написанном царю Птолемею I. В нём говорится, что царь Минос построил на могиле сына надгробие кубической формы, но остался недоволен размерами памятника и приказал удвоить его, увеличив вдвое ребро куба. Комментатор указывает на ошибку царя Миноса (площадь поверхности памятника в результате увеличилась в четыре, а объём — в восемь раз) и рассказывает, что тогда геометры попытались решить эту задачу.

Но так и не сумев с ней справиться с помощью циркуля и линейки, греки попробовали применить другие инструменты, механизмы и даже специальные кривые. Гиппократ Хиосский, знаменитый геометр V в. до н. э., свёл удвоение куба к построению «двух средних пропорциональных» х и у для данных отрезков а и b, т. е. к решению уравнений

6 обманчиво простых математических задач, которые никто не может решить : ScienceAlert

Мы все знаем, что математика действительно сложна. На самом деле настолько сложно, что буквально целая страница Википедии посвящена нерешенным математическим задачам, несмотря на то, что некоторые из величайших умов мира работают над ними круглосуточно.

Но, как отмечает Эйвери Томпсон в Popular Mechanics , , по крайней мере с самого начала, некоторые из этих задач кажутся удивительно простыми — настолько простыми, что их может понять любой, обладающий некоторыми базовыми математическими знаниями… включая нас. К сожалению, оказывается, что доказать их немного сложнее.

Вдохновившись списком Томпсона, мы составили собственный список обманчиво простых математических задач, чтобы расстроить (и, надеюсь, вдохновить) вас.

Гипотеза о простых числах-близнецах

Простые числа — это те волшебные единороги, которые делятся только на себя и на 1. Насколько нам известно, существует бесконечное количество простых чисел, и математики постоянно работают над поиском следующего по величине простого числа. количество.

Но существует ли бесконечное количество пар простых чисел, отличающихся на два, например 41 и 43? По мере того, как простые числа становятся все больше и больше, эти простые числа-близнецы все труднее найти, но теоретически они должны быть бесконечными… проблема в том, что пока никто не смог это доказать.

Проблема с движущимся диваном

Клаудио Роккини

Это то, с чем большинство из нас сталкивалось раньше — вы переезжаете в новую квартиру и пытаетесь взять с собой старый диван. Но, конечно же, вам придется маневрировать за углом, прежде чем вы сможете удобно расположиться на нем в своей гостиной.

Вместо того, чтобы сдаться и просто купить погремушку, сейчас математики хотят знать: какой самый большой диван вы могли бы разместить вокруг угла в 90 градусов, независимо от формы, без изгиба? (Хотя они смотрят на все это с двухмерной точки зрения.)

Томпсон объясняет:

«Самая большая площадь, которая может поместиться за углом, называется — я не шучу — константой дивана.
Никто точно не знает, насколько он велик, но у нас есть довольно большие диваны, которые работают, поэтому мы знаем, что он должен быть как минимум таким же большим, как они. У нас также есть несколько диванов, которые не работают, поэтому они должны быть меньше, чем те. Все вместе мы знаем, что константа дивана должна быть между 2,2195 и 2,8284».

Спорим, что Росс из друзей хотел бы, чтобы кто-нибудь сказал ему это.

Friends/NBC

Гипотеза Коллатца

XKCD

Гипотеза Коллатца — одна из самых известных нерешенных математических задач, потому что она настолько проста, что вы можете объяснить ее ребенку младшего школьного возраста, и они Вероятно, вы будете достаточно заинтригованы, чтобы попытаться найти ответ для себя.

Вот как это делается: выберите номер, любой номер.

Если число четное, разделите его на 2. Если число нечетное, умножьте его на 3 и прибавьте 1. Теперь повторите эти шаги еще раз с новым числом. В конце концов, если вы продолжите, вы в конечном итоге будете получать 1 каждый раз (попробуйте сами, мы подождем).

Как бы просто это ни звучало, это действительно работает. Но проблема в том, что хотя математики и доказали, что это так с миллионами чисел, они не нашли ни одного числа, которое не соответствовало бы правилам.

«Возможно, что существует какое-то действительно большое число, которое вместо этого стремится к бесконечности, или, может быть, число, которое застревает в цикле и никогда не достигает 1», — объясняет Томпсон. «Но никому никогда не удавалось доказать это наверняка».

Гипотеза Била

Гипотеза Била в основном звучит так…

Если A ^x + B ^y = C ^z

И A, B, C, x, y и z все положительные целые числа (целые числа больше 0), то A, B и C должны иметь общий простой делитель.

Общий простой делитель означает, что каждое из чисел должно делиться на одно и то же простое число. Таким образом, числа 15, 10 и 5 имеют общий простой делитель 5 (все они делятся на простое число 5).

Пока все просто, и это похоже на то, что вы решали бы в средней школе по алгебре.

Но вот проблема. Математикам никогда не удавалось решить гипотезу Била, где x, y и z больше 2.

Например, давайте воспользуемся нашими числами с общим простым множителем 5 из предыдущего….

5 ¹ + 10 ¹ = 15 ¹

но

5 ² + 10 ^{2 6 ⁹⁰}

В настоящее время разыгрывается приз в размере 1 миллиона долларов США для каждого, кто предложит проверенное доказательство этой гипотезы… так что приступайте к расчетам.

Задача о вписанном квадрате

Клаудио Роккини

Для этого требуется небольшой рисунок. На листе бумаги нарисуйте петлю — она не обязательно должна быть какой-то заданной формы, просто замкнутая петля, которая не пересекается сама с собой.

В соответствии с гипотезой о вписанном квадрате, внутри этой петли вы сможете нарисовать квадрат, все четыре угла которого соприкасаются с петлей, как на диаграмме выше.

Звучит просто… но с математической точки зрения существует множество возможных форм петель, и в настоящее время невозможно сказать, сможет ли квадрат касаться их всех.

«Это уже было решено для ряда других форм, таких как треугольники и прямоугольники, — пишет Томпсон, — но квадраты сложны, и до сих пор формальное доказательство ускользало от математиков».

Гипотеза Гольдбаха

Подобно гипотезе о простых числах-близнецах, гипотеза Гольдбаха — еще один известный и, казалось бы, простой вопрос о простых числах. Это звучит так: всякое ли четное число больше 2 является суммой двух простых чисел?

Кажется очевидным, что ответ будет положительным, ведь 3 + 1 = 4, 5 + 1 = 6 и так далее. По крайней мере, такова была первоначальная гипотеза немецкого математика Кристиана Гольдбаха еще в 1742 году. целые числа больше 4 можно представить в виде суммы двух простых чисел.

И все же, несмотря на столетия попыток, до сих пор никому не удалось доказать, что так будет всегда. В начале 2000-х за это даже рекламировалась премия, но она осталась невостребованной.

Реальность такова, что по мере того, как мы продолжаем вычислять все большие и большие числа, мы можем в конце концов найти число, которое не является суммой двух простых чисел… или такое число, которое бросает вызов всем правилам и логике, которые у нас есть до сих пор. И вы можете быть уверены, что математики не перестанут искать, пока не найдут его.

Примечание редактора (19 мая 2021 г.): В более ранней версии этой статьи приводился неверный пример гипотезы Гольдбаха. Это было разъяснено, чтобы объяснить, как гипотеза изменилась с момента ее возникновения.

«Великие математические задачи» — профильные книги

Мягкая обложка
Электронная книга

Заглянуть внутрь

Ян Стюарт

Купить у

Амазонка Кобо Apple Books

«Величайший популяризатор математики в Великобритании» Ян Стюарт раскрывает главные вопросы, которые подводят нас к пределам математики — теперь они доступны в мягкой обложке.

Есть некоторые математические проблемы, значение которых выходит за рамки обыденного — например, Великая теорема Ферма или гипотеза Гольдбаха — это загадки, определяющие математику.

Великие математические проблемы объясняет, почему эти проблемы существуют, почему они важны, что заставляет математиков прилагать невероятные усилия для их решения и какое место они занимают в контексте математики и науки в целом. В ней есть решенные проблемы — вроде гипотезы Пуанкаре, раскрытой эксцентричным гением Григорием Перельманом, который отказался от академических почестей и премии в миллион долларов за свою работу, и таких, которые, как и гипотеза Римана, остаются загадочными спустя столетия.

Стюарт — проводник в этот таинственный и захватывающий мир, показывающий, как современные математики постоянно решают задачи, поставленные их предшественниками, как великие математические проблемы прошлого уступают новым методам и идеям настоящего.

Дата публикации: 07.03.2013

£ 9,99

ISBN: 9781847653512

ISBN 10/ASIN: B00Bikesoa

IMMT: Profile Books

.0003

Заглянуть внутрь

Ян Стюарт

Купить у

Книжный магазин.org Водные камни Фойлз Блэквелла Amazon.co.uk Hive

«Величайший популяризатор математики в Великобритании» Ян Стюарт раскрывает главные вопросы, которые ведут нас к пределам математики — теперь они доступны в мягкой обложке.

Дата публикации: 03. 06.2014

9,99 фунтов стерлингов

ISBN: 9781846683374

Выходные данные: Profile Books

Тема: Science & Mathematics 90:00ed 90:003 90 Джон Дэйви

Рецензии на Великие математические задачи

«Волшебные, часто остроумные анекдоты, аналогии и диаграммы Стюарта успешно освещают… некоторые очень трудные идеи. Он очарует энтузиастов математики, а также обычных читателей, которые уделяют пристальное внимание ».

Kirkus Reviews

«Самый блестящий и плодовитый популяризатор математики в Великобритании»

Алекс Беллос Гардиан

‘

Похвалы за предыдущие книги:

‘Это не чистая математика. Это математика, смешанная с остроумием, мудростью и удивлением. Ян действительно непревзойденный рассказчик мира чисел. Он ведет нас в головокружительном путешествии от сверхтривиального к глубокому. Очень интересно

‘

New Scientist

‘Стюарт подал поучительный эквивалент дегустационного меню, отмеченного звездой Мишлен, или, возможно, шведский стол из закусок. И, конечно же, закуски предназначены для того, чтобы вызвать у вас аппетит».

Хранитель

Ян Стюарт

Какая польза?

Ян Стюарт

Автор бестселлеров пытается реабилитировать область, в которой много клеветы

Играют ли кости в Бога?

Ян Стюарт

Профессор Ян Стюарт исследует развитие и ограничения математики, которая укрощает неопределенность

Значимые фигуры

Ян Стюарт

Яркие рассказы о жизни 25 величайших математиков мира с четкими описаниями их далеко идущих открытий

Расчет космоса

Ян Стюарт

Один из величайших математиков мира исследует происхождение, историю и будущее Вселенной

Математика жизни

Ян Стюарт

Математики и биологи противостоят загадкам природы

Великие математические задачи | Европейское математическое общество

Научно-популярный писатель Ян Стюарт занимается великими проблемами математики , то есть гипотезами, получившими известность потому, что они оставались нерешенными в течение многих лет или до сих пор не решены. Они важны, поскольку часто генерируют совершенно новую математику, за решение которой присуждаются престижные призы. Стюарт описывает происхождение, историю и развитие некоторых из них. Это нелегко, но Стюарт, по крайней мере, пытается, с некоторым успехом, должен сказать, Стюарт в значительной степени преуспевает в передаче идей без изобилия формул и сложных математических понятий, которых можно было бы ожидать. Он также показывает, что часто прорыв связан с развитием, казалось бы, несвязанной области математики.

Первая тема — это гипотеза Гольдбаха (1742): каждое целое число, большее 2, является суммой 2 простых чисел. Стюарт не торопится, чтобы представить простые числа, их историю и их вычисление. Это окупается, потому что некоторые из последующих задач также связаны с простыми числами. Он объясняет, что было показано, а что нет, как это было связано с гипотезой Римана и открытыми проблемами, оставленными для настоящего и будущих поколений.

Квадрат круга — это задача, восходящая к грекам и явно связанная с $\pi$. Это хорошая иллюстрация того, как явно геометрическая задача переформулируется в алгебраическую, решает полиномиальные уравнения, приводит к вещественному, а затем к комплексному анализу (чтобы доказать, что $\pi$ иррациональна и трансцендентна). Гораздо более поздней является проблема четырех цветов (1852). Опять же, решение не важно для картографии, потому что есть много других причин для выбора цвета для карты, но оно положило начало исследованиям сетей и графиков, и оно было обобщено. раскрашивать задачи на гораздо более сложных топологических поверхностях. Окончательно это было доказано в 1976 Аппеля и Хакена, и это произвело революцию в концепции доказательства, поскольку это был первый случай, когда доказательство основывалось на проверке с помощью компьютера многих случаев, к которым была сведена проблема. Слишком много, чтобы их могли проверить люди.

Хотя первоначальная версия 1611 года гипотезы Кеплера появилась в его брошюре о шестиконечных снежинках, она задается вопросом, как можно упаковать плотные сферы. Каждый бакалейщик знает, как монтировать апельсины в пирамиду, но потребовалось 387 лет, чтобы найти доказательство. Опять же, для решения задачи глобальной оптимизации понадобился компьютер. Формальное доказательство, избегающее компьютера, все еще находится в стадии разработки. 92=1$ с рациональными числами, а затем к обобщению, в котором окружность заменяется эллиптической кривой.

Хотя Пуанкаре получил награду шведского короля Оскара II в 1887 году, он действительно решил первоначально поставленную задачу трех тел , предложенную Миттаг-Леффлером. В настоящее время существуют численные методы приближенного решения уравнений с хаотическим решением, строгие доказательства и многие вопросы остаются без ответа. Ответы напрямую связаны с фундаментальными вопросами стабильности нашей Солнечной системы.

Вернемся к распределению простых чисел с гипотезой Римана (1859). Снова теория чисел поднимается до комплексного анализа при изучении ζ-функции (Стюарту нужно немало страниц, чтобы прийти к этому пункту). Объясняется, как это приводит к гипотезе о том, что нули ζ-функции находятся на критической прямой $x=1/2$ комплексной плоскости. На сегодняшний день это одна из самых известных открытых задач в математике. Она пережила нерешенные проблемы Гильберта 1900 года и переформулирована как одна из проблем тысячелетия Клея. Большинство математиков верят, что это верно, как показывают числа, но доказательства до сих пор отсутствуют.

Остальные шесть проблем тысячелетия являются предметом следующих 6 глав, в которых математика, необходимая Стюарту, становится более жесткой. Гипотеза Пуанкаре (1904) была решена Перельманом в 2002 году, но поскольку математическому сообществу потребовалось 8 лет, чтобы проверить его доказательство, интроверт и эксцентричный Перельман, полностью разочарованный этой ситуацией, отошел от математики и отказывается от любых контактов. со СМИ. Он отказался от премии EMS (1996 г.), медали Филдса (2006 г.) и премии тысячелетия Клэя (2010 г.).

Задача P/NP все еще открыта, и ее исход неясен: можно ли решить сложные задачи, такие как задача о коммивояжере, с помощью алгоритмов с полиномиальным временем? Ответ на этот вопрос сам по себе кажется NP-сложным.

Решение уравнения Навье-Стокса — задача из области прикладной математики. Можно ли проверить, что небольшие изменения, сделанные численными процедурами, не пропускают какое-либо турбулентное решение, потому что аппроксимация недостаточно точна. В январе 2014 года Отелбаев утверждает, что решил эту проблему. Доказательство все еще находится на рассмотрении. Гипотеза разрыва масс относится к квантовой теории поля элементарных частиц. Эти квантовые частицы имеют ненулевую нижнюю границу своей массы, хотя волны распространяются со скоростью света. В теории относительности масса была бы равна нулю. Гипотеза Берча-Суиннертона-Дайера — еще одна проблема тысячелетия о рациональных решениях некоторых уравнений эллиптических кривых. Наконец, гипотеза Ходжа связывает топологию, алгебру, геометрию и анализ, чтобы иметь возможность сказать что-то об алгебраических циклах на проективных алгебраических многообразиях.

Хотя Стюарт очень старается познакомить неподготовленного читателя с задачами и методами решения последних четырех задач, гораздо более сложные математические потребности делают эти главы определенно более трудными для чтения, чем предыдущие. В качестве заключения он дает собственное мнение о том, что будет и что не будет доказано в (ближайшем) будущем. На тот случай, если читатель отказался от гипотезы Римана и ищет вдохновения, чтобы найти другую действительно сложную проблему, Стюарт предлагает список из 12 несколько менее известных открытых вопросов, которые до сих пор не решены.

Развлекательный стиль Стюарта, его тщательное описание исторического контекста, его острый анализ важности и последствий, его широкое понимание широкого спектра математики и, поскольку он сам был математиком, его понимание человека, стоящего за математиком, борьба за решения и признание, делает эту книгу очень интересной и рекомендуемой к прочтению.

100 Великие задачи элементарной математики

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
	1.	Задача Архимеда Бычий
	2.	Проблема веса Баше де Мезириака
	3.	Проблема Ньютона о полях и коровах
	4.	Задача Бервика о семи семерках
	5.	Проблема школьницы Киркмана
	6.	Проблема Бернулли-Эйлера о неправильно адресованных письмах
	7.	Задача Эйлера о делении многоугольника
	8.	Проблема Лукаса о супружеских парах
	9.	Биномиальное разложение Омара Хайяма
	10.	Теорема Коши о среднем
	11.	Задача Бернулли на сумму
	12.	Число Эйлера
	13.	Экспоненциальный ряд Ньютона
	14.	Логарифмический ряд Николауса Мацератора
	15.	Серия синусов и косинусов Ньютона
	16.	Вывод секущей и касательной Серии 9 Андре0328
	17.	Серия арктангенсов Грегори
	18.	Проблема с иглой Бюффона
	19.	Теорема Ферма-Эйлера о простых числах
	20.	Уравнение Ферма
	21.	Теорема Ферма-Гаусса о невозможности
	22.	Квадратичный закон взаимности
	23.	Основная теорема алгебры Гаусса
	24.	Задача Штурма о числе корней
	25.	Теорема Абеля о невозможности
	26.	Теорема Эрмита-Линдемана о трансцендентности
	КОНТУРНЫЕ ЗАДАЧИ
	27.	Прямая Эйлера
	28.	Круг Фейербаха
	29.	Проблема Кастильона
	30.	Проблема Малфатти
	31.	Задача Монжа
	32.	Проблема касания Аполлония
	33.	Задача компаса Маскерони
	34.	Задача о линейке Штейнера
	35.	Делосская задача удвоения куба
	36.	Трисекция угла
	37.	Правильный семиугольник
	38.	Определение Архимедом числа Пи
	39.	Проблема Фусса касательного четырехугольника с хордой
	40.	Приложение к опросу
	41.	Бильярдная задача Альхазена
	ЗАДАЧИ О КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЯХ И ЦИКЛОИДАХ
	42.	Эллипс из сопряженных радиусов
	43.	Эллипс в параллелограмме
	44.	Парабола четырех касательных
	45.	Парабола из четырех точек
	46.	Гипербола из четырех точек
	47.	Проблема локуса Ван Шутена
	48.	Проблема с цилиндрическим колесом кардана
	49.	Задача об эллипсе Ньютона
	50.	Задача гиперболы Понселе-Брианшона
	51.	Парабола как конверт
	52.	Астроид
	53.	Трехконечная гипоциклоида Штейнера
	54.	Наиболее близкий к окружности эллипс, описывающий четырехугольник
	55.	Кривизна конических сечений
	56.	Квадрат параболы Архимеда
	57.	Квадрат гиперболы
	58.	Исправление параболы
	59.	Теорема Дезарга о гомологиях (Теорема о гомологичных треугольниках)
	60.	Конструкция двойного элемента Штайнера
	61.	Теорема Паскаля о шестиугольнике
	62.	Теорема Брианшона о гексаграммах
	63.	Теорема Дезарга об инволюции
	64.	Коническое сечение из пяти элементов
	65.	Коническое сечение и прямая
	66.	Коническое сечение и точка
	СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ
	67.	Разделение пространства Штейнера самолетами
	68.	Задача тетраэдра Эйлера
	69.	Кратчайшее расстояние между наклонными линиями
	70.	Сфера, описывающая тетраэдр
	71.	Пять правильных твердых тел
	72.	Квадрат как изображение четырехугольника
	73.	Теорема Польке-Шварца
	74.	Основная теорема аксонометрии Гаусса
	75.	Стереографическая проекция Гиппарха
	76.	Проекция Меркатора
	МОРСКИЕ И АСТРОНОМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ
	77.	Проблема Локсодрома
	78.	Определение положения корабля в море
	79.	Задача Гаусса о двух высотах
	80.	Задача Гаусса о трех высотах
	81.	Уравнение Кеплера
	82.	Установка звезды
	83.	Проблема с солнечными часами
	84.	Кривая тени
	85.	Солнечные и лунные затмения
	86.	Периоды сидерического и синодического оборотов
	87.	Поступательное и ретроградное движение планет
	88.	Задача о комете Ламберта
	ЭКСТРЕМАЛЬНОСТЬ
	89.	Задача Штейнера о числе Эйлера
	90.	Проблема базовой точки высоты Фаньяно
	91.	Задача Ферма для Торричелли
	92.	Лавирование при встречном ветре
	93.	Пчелиная ячейка (задача Реомюра)
	94.	Максимальная задача Региомонтана
	95.	Максимальная яркость Венеры
	96.	Комета на орбите Земли
	97.	Задача о кратчайших сумерках
	98.	Задача об эллипсе Штейнера
	99.	Задача о круге Штейнера
	100.	Задача о сфере Штейнера
	Указатель имен

Не зацикливайтесь преждевременно на одной «большой проблеме» или «большой теории»

Миллионы жаждут бессмертия, которые не знают, что делать с собой дождливым воскресным днем. (Сьюзан Эртц, «Гнев в небе»)

В этом предмете есть особо опасный профессиональный вред: можно сосредоточиться, исключая другую математическую деятельность (а в крайнем случае и нематематическую деятельность ), над одной действительно трудной проблемой в области (или над какой-то великой объединяющей теорией), прежде чем человек будет действительно готов (как с точки зрения математической подготовки, так и с точки зрения своей карьеры) посвятить столько своего исследовательского времени таким проект. Это вдвойне верно, если вы еще не осознали ограничения своих инструментов или не приобрели здоровый скептицизм в отношении своей работы, поскольку это может привести к унизительному зрелищу гордого объявления о крупном прорыве в хорошо известной проблеме только для того, чтобы отозвать препринт. вскоре после этого в рукописи указываются серьезные недостатки (часто возникающие из-за выхода метода за пределы его известных границ и обнаружения препятствий за пределами тех пределов, которые были известны экспертам).

Когда кто-то начинает пренебрегать другими задачами (такими как написание и публикация своих «меньших» результатов), надеясь использовать возможную «большую отдачу» от решения серьезной проблемы или создания революционной новой теории, чтобы компенсировать отсутствие прогресса во всех другие области своей карьеры, то это сильный предупреждающий знак о том, что следует изменить баланс своих приоритетов. Хотя верно, что несколько крупных проблем и несколько важных теорий были решены именно благодаря такому навязчивому подходу, это сработало хорошо только тогда, когда математик задействовал

уже имеет подтвержденный опыт надежного производства важных документов в этом районе; и
была стабильная карьера (например, постоянная должность).

Если у вас еще нет и (1), и (2), и если ваши идеи о том, как решить большую проблему, все еще имеют значительный спекулятивный компонент (или если ваша великая теория еще не имеет определенного и яркого применения) Вместо этого я бы настоятельно рекомендовал более сбалансированный, терпеливый и гибкий подход: можно, конечно, держать в уме большие проблемы и теории и время от времени возиться с ними, но тратить большую часть своего времени на более осуществимые «низко висящие плоды», которые укрепят ваш опыт, математическую мощь и авторитет, когда вы будете готовы взяться за более амбициозные проекты.

См. также «Не основывайте карьерные решения на гламуре или славе» и «Используйте мусорную корзину». У Генри Кона также есть несколько советов для математиков-любителей. В этом ответе MathOverflow от Minhyong Kim также подчеркивается, что следует получить определенные математические результаты (предпочтительно в виде опубликованных статей), прежде чем можно позволить себе потратить этот «репутационный капитал» на философствование в отношении некоего «общего представления» о математике.

— Приложение: о публикации доказательств известных открытых задач —

Если вы считаете, что вам удалось решить серьезную проблему, я бы посоветовал вам чрезвычайно скептически относиться к своей работе и проявлять максимальную осторожность и осторожность, прежде чем раскрывать ее кому-либо; в прошлом было слишком много примеров, когда математики, чья репутация была подорвана, заявляя о доказательстве хорошо известного результата с большой помпой, только для того, чтобы вскоре после этого обнаружить серьезные ошибки в доказательстве. Я рекомендую задать себе следующие вопросы относительно статьи:

Какая ключевая новая идея или понимание? Чем он отличается от того, что пробовали раньше? Подчеркнута ли эта идея во введении к статье? (Как любит говорить мой коллега: «Где говядина?».)
Как аргументы в этой статье связаны с более ранними частичными результатами или попытками решить проблему? Есть ли четкие аналогии между шагами здесь и шагами в более ранних статьях? Проливает ли новая работа некоторый свет на то, почему предыдущие подходы не были полностью успешными? Обсуждается ли это в газете?
Каково самое простое, короткое или ясное новое применение этой идеи? Связанный с этим вопрос: какое первое нетривиальное новое утверждение, сделанное в статье, которое нельзя было показать ранее с помощью более ранних методов? Приведено ли это доказательство концепции в статье, или она сразу переходит к большой гипотезе со всеми ее дополнительными (и потенциально подверженными ошибкам) сложностями? В случае фатальной ошибки в полном доказательстве, есть ли хорошие шансы на спасение глубокого и нетривиального нового частичного результата?
Любая крупная проблема сопровождается известными контрпримерами, препятствиями или философскими возражениями против различных классов стратегий атаки (например, стратегия X не работает, потому что она не делает различий между проблемой Y, которая является большой гипотезой, и проблемой Z, для которой контрпримеры являются известен). Знаете ли вы, почему ваша аргументация не наталкивается на эти препятствия? Это указано в документе? Знаете ли вы какие-либо конкретные ограничения аргумента? Они также указаны в документе?
Какую стратегию высокого уровня вы использовали для решения проблемы? Руководилась ли она какой-то эвристикой, философией или интуицией? Если так, то, что это? В газете указано? Если стратегия заключалась в том, чтобы «продолжать вслепую многократно трансформировать проблему, пока не произойдет чудо», это особенно плохой знак. Можете ли вы сказать в терминах высокого уровня (т. е. выше всех технических деталей и расчетов), почему этот аргумент работает?
Сопровождается ли доказательство ключевыми вехами, такими как ключевое предложение, используемое в доказательстве, которое уже представляет самостоятельный интерес, или серьезное сведение нерешенной проблемы к проблеме, которая выглядит значительно проще? Четко ли обозначены эти вехи в документе?
Насколько надежен аргумент — может ли ошибка с одним знаком или неправильное использование леммы или формулы разрушить весь аргумент? Хорошие индикаторы надежности включают в себя: альтернативные доказательства (или эвристики, или подтверждающие примеры) ключевых шагов или аналогии между ключевыми частями аргумента в этой статье и в других статьях в литературе.
Насколько критично вы проверили бумагу и переработали экспозицию? Пытались ли вы преднамеренно опровергать или искать ошибки в статье? Ожидается, что при выпуске крупной статьи будет проведена определенная проверка; если этого не сделать, а ошибки будут быстро обнаружены после того, как документ будет обнародован, это может привести к весьма неловкому положению. Учтите, что при решении крупной проблемы, которая уже много лет выдерживает все попытки решения, спешки обычно нет; Потратив несколько дополнительных дней на то, чтобы просмотреть газету в последний раз, можно избавить себя от многих неприятностей.
Сколько места в статье отведено рутинной и стандартной теории и вычислениям, которые уже появляются в предыдущей литературе, и сколько посвящено новым и захватывающим материалам, которые не имеют готовых аналогов в предыдущей литературе? Как скоро в газете появляются новые материалы? Достаточно ли подробно описаны обе части документа?

Кроме того, чтобы уменьшить любое потенциально негативное отношение к такой статье (особенно, если — что весьма вероятно — в ней обнаружены существенные ошибки) — любой хвастливый или иным образом саморекламный текст с небольшим информативным математическим содержанием должен быть сведен к минимуму. минимум в заголовке, аннотации и введении статьи. Например:

Пример неудачного заголовка: «Доказательство гипотезы Пуанкаре».
Пример хорошего заголовка: «Формула энтропии для потока Риччи и ее геометрические приложения».

В более общем смысле, при наличии любой серьезной открытой проблемы важность проблемы и ее стандартная история должны быть даны любому информированному читателю, и в статье должно быть дано лишь поверхностное рассмотрение, за исключением тех частей истории проблемы, имеющие отношение к доказательству. Указание на то, что бесчисленное количество великих математиков пытались решить эту проблему и потерпели неудачу, прежде чем вы пришли, является особенно дурным тоном, и этого следует полностью избегать.

Следует также отметить, что из-за огромного количества неудачных попыток решения этих задач большинство профессиональных математиков откажутся читать любые дальнейшие попытки, если только не будет существенного вспомогательного доказательства того, что существует ненулевая вероятность правильности (например, предыдущий послужной список признанных математических достижений в этой области). См., например, мою редакционную политику в отношении статей, посвященных известной проблеме, или страницу Одеда Голдрайха о решении известных проблем.

См. также «Десять признаков того, что заявленное математическое доказательство неверно» Скотта Ааронсона и «О математических болезнях» Дика Липтона.

Нравится:

Нравится Загрузка…

Если вы решите одну из этих 6 основных математических задач, вы выиграете приз в 1 миллион долларов | The Independent

В 2000 году Математический институт Клэя объявил задачи Премии тысячелетия. Это был сборник из семи наиболее важных математических задач, которые до сих пор остаются нерешенными.

Отражая важность проблем, Институт предложил приз в размере 1 миллиона долларов каждому, кто сможет предоставить строгое, проверенное экспертами решение любой из проблем.

В то время как одна из задач, гипотеза Пуанкаре, была успешно решена в 2006 году (математик, решивший ее, Григорий Перельман, столь же лихо отказался и от премии в миллион долларов, и от заветной Филдсовской медали), остальные шесть задач остаются нерешенными. .

Вот шесть математических задач, настолько важных, что решение любой из них стоит 1 миллион долларов.

P против NP

(Getty Images/iStockphoto)

Некоторые проблемы просты, а некоторые трудны.

В мире математики и компьютерных наук есть много задач, которые мы знаем, как запрограммировать компьютер для «быстрого» решения — элементарная арифметика, сортировка списка, поиск в таблице данных. Эти проблемы могут быть решены за «полиномиальное время», сокращенно «P». Это означает, что количество шагов, необходимых для добавления двух чисел или сортировки списка, увеличивается управляемо с увеличением размера чисел или длины списка.

Но есть и другая группа задач, для которых легко проверить правильность возможного решения проблемы, но мы не знаем, как эффективно найти решение. Нахождение простых множителей большого числа представляет собой такую проблему: если у меня есть список возможных множителей, я могу их перемножить и посмотреть, получится ли обратно исходное число. Но не существует известного способа быстро найти множители произвольно большого числа. Действительно, безопасность Интернета зависит от этого факта.

По историческим и техническим причинам задачи, решение которых можно быстро проверить, называются решаемыми за «недетерминированное полиномиальное время» или «NP».

Любая проблема в P автоматически попадает в NP — если я могу быстро решить проблему, я могу так же быстро проверить возможное решение, просто решив проблему и посмотрев, соответствует ли ответ моему возможному решению. Суть вопроса P vs NP заключается в том, верно ли обратное: если у меня есть эффективный способ проверить решения проблемы, существует ли эффективный способ найти эти решения?

Большинство математиков и программистов считают, что ответ отрицательный. Алгоритм, который мог бы решать задачи NP за полиномиальное время, имел бы умопомрачительные последствия для большей части математики, естественных наук и технологий, и эти последствия настолько не от мира сего, что они дают основания сомневаться в том, что это возможно.

Конечно, доказательство того, что такого алгоритма не существует, само по себе невероятно сложная задача. Для того, чтобы сделать такое заявление о такого рода проблемах, вероятно, потребуется гораздо более глубокое понимание природы информации и вычислений, чем мы имеем сейчас, и почти наверняка это будет иметь глубокие и далеко идущие последствия.

Прочтите официальное описание P vs NP от Математического института Клэя здесь.

Уравнения Навье-Стокса

Удивительно трудно объяснить, что происходит, когда вы добавляете сливки в свой утренний кофе.

Уравнения Навье-Стокса представляют собой гидродинамическую версию трех законов движения Ньютона. Они описывают, как будет развиваться поток жидкости или газа при различных условиях. Точно так же, как второй закон Ньютона дает описание того, как скорость объекта будет изменяться под действием внешней силы, уравнения Навье-Стокса описывают, как скорость потока жидкости будет изменяться под действием внутренних сил, таких как давление и вязкость, а также внешних сил. силы, подобные гравитации.

Уравнения Навье-Стокса представляют собой систему дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения описывают, как конкретная величина изменяется во времени при заданных начальных начальных условиях, и они полезны при описании всех видов физических систем. В случае уравнений Навье-Стокса мы начинаем с некоторого начального потока жидкости, а дифференциальные уравнения описывают, как этот поток развивается.

Решение дифференциального уравнения означает нахождение некоторой математической формулы, позволяющей определить, какой на самом деле будет интересующая вас величина в любой конкретный момент времени, на основе уравнений, описывающих изменение величины. Многие физические системы, описываемые дифференциальными уравнениями, такие как вибрация гитарной струны или поток тепла от горячего объекта к холодному, имеют хорошо известные решения этого типа.

Однако уравнения Навье-Стокса сложнее. С математической точки зрения инструменты, используемые для решения других дифференциальных уравнений, оказались здесь бесполезными. Физически жидкости могут вести себя хаотично и турбулентно: дым, исходящий от свечи или сигареты, обычно течет плавно и предсказуемо, но быстро превращается в непредсказуемые вихри и завихрения.

Возможно, такое турбулентное и хаотичное поведение означает, что уравнения Навье-Стокса не могут быть точно решены во всех случаях. Возможно, удастся сконструировать некую идеализированную математическую жидкость, которая, следуя уравнениям, в конце концов станет бесконечно турбулентной.

Любой, кто сможет построить способ решения уравнений Навье-Стокса во всех случаях или показать пример, в котором уравнения не могут быть решены, получит Премию тысячелетия за эту задачу.

Прочтите официальное описание уравнений Навье-Стокса, данное Институтом математики Клэя.

Теория Янга-Миллса и квантовая массовая щель

Математика и физика всегда были взаимовыгодны. Развитие математики часто открывало новые подходы к физической теории, а новые открытия в физике стимулировали более глубокие исследования лежащих в их основе математических объяснений.

Квантовая механика была, пожалуй, самой успешной физической теорией в истории. Материя и энергия ведут себя совершенно по-разному в масштабе атомов и субатомных частиц, и одним из величайших достижений 20-го века стало теоретическое и экспериментальное понимание этого поведения.

Одной из основных основ современной квантовой механики является теория Янга-Миллса, которая описывает квантовое поведение электромагнетизма, а также слабых и сильных ядерных взаимодействий в терминах математических структур, возникающих при изучении геометрических симметрий. Предсказания теории Янга-Миллса были подтверждены бесчисленными экспериментами, и эта теория является важной частью нашего понимания того, как собираются атомы.

Несмотря на этот физический успех, теоретические математические основы теории остаются неясными. Одна из представляющих особенный интерес проблема — это «массовый разрыв», который требует, чтобы определенные субатомные частицы, в некотором роде аналогичные безмассовым фотонам, имели положительную массу. Разрыв масс является важной частью того, почему ядерные силы чрезвычайно сильны по сравнению с электромагнетизмом и гравитацией, но имеют чрезвычайно короткие радиусы действия.

Таким образом, задача Премии Тысячелетия состоит в том, чтобы показать общую математическую теорию, стоящую за физической теорией Янга-Миллса, и получить хорошее математическое объяснение разрыва масс.

Прочтите официальное описание Математического института Клэя теории Янга-Миллса и проблемы разрыва масс здесь.

Гипотеза Римана

Возвращаясь к древним временам, простые числа — числа, которые делятся только на себя и на 1 — были объектом восхищения математиков. На фундаментальном уровне простые числа являются «кирпичиками» целых чисел, поскольку любое целое число можно однозначно разбить на произведение простых чисел.

Учитывая центральную роль простых чисел в математике, вопросы о том, как простые числа распределяются вдоль числовой прямой, то есть насколько далеко друг от друга простые числа, являются активными областями интереса.

К 19 веку математики открыли различные формулы, дающие приблизительное представление о среднем расстоянии между простыми числами. Что остается, однако, неизвестным, так это то, насколько близко к этому среднему остается истинное распределение простых чисел, то есть есть ли части числовой прямой, где «слишком много» или «слишком мало» простых чисел в соответствии с этими формулами среднего.

Гипотеза Римана ограничивает эту возможность, устанавливая границы того, насколько далеко от среднего может отклоняться распределение простых чисел. Гипотеза эквивалентна и обычно формулируется в терминах того, лежат ли все решения уравнения, основанного на математической конструкции, называемой «дзета-функцией Римана», вдоль определенной линии в плоскости комплексных чисел. Действительно, изучение таких функций, как дзета-функция, стало отдельной областью математических интересов, что делает гипотезу Римана и связанные с ней проблемы еще более важными.

Как и в некоторых других задачах Премии Тысячелетия, существуют серьезные доказательства того, что Гипотеза Римана верна, но строгое доказательство остается неуловимым. На сегодняшний день вычислительные методы показали, что около 10 триллионов решений уравнения дзета-функции укладываются в требуемую линию, а контрпримеры не найдены.

Конечно, с математической точки зрения, 10 триллионов примеров истинности гипотезы абсолютно не заменяют полного доказательства этой гипотезы, оставляя гипотезу Римана одной из открытых проблем Премии тысячелетия.

Прочтите официальное описание гипотезы Римана Института математики Клэя здесь.

Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера

Одним из старейших и широчайших объектов математического изучения являются диофантовые уравнения, или полиномиальные уравнения, для которых мы хотим найти целочисленные решения. Классический пример, который многие могут вспомнить из школьной геометрии, — пифагорейские тройки, или наборы из трех целых чисел, удовлетворяющие теореме Пифагора x2 + y2 = z2.

В последние годы алгебраисты уделяют особое внимание изучению эллиптических кривых, которые определяются особым типом диофантовых уравнений. Эти кривые имеют важные приложения в теории чисел и криптографии, и поиск целочисленных или рациональных решений для них является основной областью исследований.

Одним из самых ошеломляющих математических достижений за последние несколько десятилетий стало доказательство Эндрю Уайлсом классической Великой теоремы Ферма, утверждающее, что версий пифагорейских троек с большей степенью не существует. Доказательство этой теоремы Уайлсом явилось следствием более широкого развития теории эллиптических кривых.

Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера предоставляет дополнительный набор аналитических инструментов для понимания решений уравнений, определяемых эллиптическими кривыми.

Прочтите официальное описание гипотезы Бёрча и Суиннертона-Дайера, данное Институтом математики Клэя.

Гипотеза Ходжа

Математическая дисциплина алгебраической геометрии, вообще говоря, является изучением многомерных форм, которые могут быть определены алгебраически как множества решений алгебраических уравнений.

В качестве очень простого примера вы можете вспомнить из школьного курса алгебры, что уравнение y = x2 приводит к параболической кривой, если решения этого уравнения начертить на листе миллиметровой бумаги. Алгебраическая геометрия имеет дело с многомерными аналогами такого рода кривых, когда рассматриваются системы множественных уравнений, уравнения с большим количеством переменных и уравнения на плоскости комплексных чисел, а не действительные числа.

20-й век стал свидетелем расцвета сложных методов для понимания кривых, поверхностей и гиперповерхностей, которые являются предметами алгебраической геометрии. Сложные для воображения формы можно сделать более понятными с помощью сложных вычислительных инструментов.

Гипотеза Ходжа предполагает, что некоторые типы геометрических структур имеют особенно полезный алгебраический аналог, который можно использовать для лучшего изучения и классификации этих форм.

Прочтите официальное описание гипотезы Ходжа Институтом математики Клэя здесь.

1. Великие задачи . Величайшие математические задачи

Читать онлайн «Величайшие математические задачи», Иэн Стюарт – ЛитРес

* * *

* * *

Предисловие

1. Великие задачи

Великие проблемы математики на сайте Игоря Гаршина. Величайшие математические загадки

Гипотеза Берча-Свиннертона-Дайера

Гипотеза Римана и распределение простых чисел

Великая теорема Ферма [частный случай гипотезы БСД?]

Статьи о Великой Теореме Ферма

Статьи математиков (любителей и профессионалов) с попыткой доказать ВТФ

Гипотеза Эстерле-Массера

Статьи математиков-энтузиастов по решению задач теории чисел

Научные новости о попытках решения проблем с простыми числами

Геометрия многомерных пространств и гипотеза Пуанкаре

Решение гипотеза Пуанкаре Григорием Перельманом

Топология и гипотеза Ходжа

Квантовая физика и геометрия (гипотеза Янга-Миллса)

Теория графов и теорема Шварца-Кристоффеля

Уравнение Навье-Стокса [УНС]

Задача притяжения трех тел

Гипотеза Кука

ABC-гипотеза (гипотеза Эстерле-Массера)

Атия-Сингера теорема

Гильберта проблемы

Новые математические гипотезы

Новости о «неключевых», но важных математических достижениях

Великие математические революции и нерешенные задачи // Алексей Савватеев

Теги

Похожее

Великие математики и задачи тысячилетия

Великие задачи древности (стр. 1 из 2)

6 обманчиво простых математических задач, которые никто не может решить : ScienceAlert

«Великие математические задачи» — профильные книги

Рецензии на Великие математические задачи

Ян Стюарт

Какая польза?

Играют ли кости в Бога?

Значимые фигуры

Расчет космоса

Математика жизни

Великие математические задачи | Европейское математическое общество

100 Великие задачи элементарной математики

Не зацикливайтесь преждевременно на одной «большой проблеме» или «большой теории»

Нравится:

Если вы решите одну из этих 6 основных математических задач, вы выиграете приз в 1 миллион долларов | The Independent

Добавить комментарий Отменить ответ