Вероятность зависимых событий формула: Зависимые события. Вероятность произведения зависимых событий.

Зависимые события. Вероятность произведения зависимых событий.

События A и B называются зависимыми, если вероятность одного из них зависит от того, произошло или не произошло другое событие.

Рассмотрим пример.

В коробке находится a белых и b черных шаров. По очереди один за другим извлекаются 2 шара и назад не возвращаются.

Обозначим случайные события:

A ‒ 1‒й шар белый;

B ‒ 2‒й шар белый.

Если событие A не произошло, то вероятность события B:

Если событие A произошло, то есть первый шар белый, тогда

Определение. Вероятность события B, вычисленная при условии, что событие A произошло, называется условной вероятностью, и обозначается или

Для условной вероятности имеют место формулы:

Теорема 4. Вероятность произведения зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого события, вычисленную при условии, что первое событие произошло.

Теорема следует из предыдущих формул:

или

Распространим эту теорему на любое число зависимых событий:

Пример.

На складе 20 мешков с мукой высшего сорта. 12 мешков первого сорта. 5 мешков второго сорта. По очереди один за другим достают 3 мешка с мукой и назад не возвращают.

Найти вероятность того, что первый мешок с мукой высшего сорта (событие ), второй мешок с мукой первого сорта (событие), третий мешок с мукой второго сорта (событие).

Решение:

6.Основные формулы теории вероятностей.

Формула полной вероятности.

Теорема 1.Вероятность события A, вычисленная при условии осуществления одного из несовместных событий H₁, H₂,H₃, …., H_n, образующих полную группу, находится по формуле:

‒ формула полной вероятности,

где события ‒ гипотезы.

Доказательство:

Так как событие A,может произойти только с одним из несовместных событий или или, или, то

Тогда по теореме о вероятности произведения зависимых событий, получим:

Пример 1.

Партия деталей изготавливается тремя рабочими. Причем первый рабочий изготовил 25% деталей. Второй 35% деталей. Третий 40% деталей. В продукции первого рабочего брак составляет 5%.

У второго рабочего брак составляет 4%.У третьего рабочего брак составляет 2%. Случайно выбранная для контроля деталь оказалась бракованной. Найти, чей брак вероятнее всего.

Решение:

деталь изготовил первый рабочий.

деталь изготовил второй рабочий.

деталь изготовил третий рабочий.

A ‒ взятая деталь бракованная.

Формула Байеса.

Пусть событие A может произойти с одним из несовместимых событий образующих полную группу.

‒ формула Байеса.

Пример.

В торговую фирму поступили телевизоры от трех поставщиков в отношении 1:4:5. Телевизоры от первого, второго и третьего поставщиков не потребуют ремонта в течение гарантийного срока, в следующих 98%, 88% и 92% случаях.

Найти:

1. Вероятность того, что поступивший в торговую фирму телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока (событие A).

2. Вероятность того, что проданный телевизор потребовал ремонта в течение гарантийного срока (событие B).

3. От какого поставщика вероятнее всего этот телевизор.

Решение:

телевизор поступил от

i ‒ й фирмы, i= 1, 2, 3. Тогда

2.

Ответ: вероятнее всего брак второй фирмы, так как брак второй фирмы составил максимальную вероятность равную .

CFA — Оценка вероятности независимых и зависимых событий | программа CFA

Большой интерес для инвестиционных аналитиков представляют концепции независимости и зависимости событий.

Эти концепции касаются основных инвестиционных вопросов, связанных с тем, какие финансовые показатели полезны для инвестиционного анализа, можно ли прогнозировать доходность активов и можно ли выбирать лучших управляющих инвестициями на основе их прошлых результатов.

Два события являются независимыми, если возникновение одного события не влияет на вероятность возникновения другого события.

Определение независимых событий.

Два события \( A \) и \( B \) являются независимыми (англ. ‘independent events’), только в том случае, если \( P(A|B) = P(A) \) или, что то же самое, если \( P(B|A) = P(B) \).

Если два события не являются независимыми, они зависимы (англ. ‘dependent events’): вероятность возникновения одного связана с возникновением другого.

Если мы пытаемся прогнозировать одно событие, информация о зависимом событии может быть полезной, но информация о независимом событии будет бесполезна.

Когда два события независимы, правило умножения для вероятностей, представленное Формулой 2, упрощается, потому что тогда \( P(A|B) \) в этом уравнении равно \( P(A) \).

Правило умножения для независимых событий.

Когда два события независимы, совместная вероятность событий \( A \) и \( B \) равна произведению отдельных вероятностей событий \( A \) и \( B \).

\( \large P(AB) = P(A)P(B) \) (Формула 4)

Поэтому, если нас интересуют два независимых события с вероятностями 0.75 и 0.50 соответственно, вероятность того, что оба события произойдут, равна 0.375 = 0.75(0.50).

Правило умножения для независимых событий обобщается до более чем двух событий; например, если события \(A\), \(B\) и \(C\) являются независимыми событиями, то:

\( P(ABC) = P(A)P(B)P(C) \)

Пример (4).

Прибыль на акцию BankCorp.

В качестве аналитика банковской отрасли вы создаете модели для прогнозирования прибыли на акцию (EPS) банков отрасли. Сегодня вы изучаете BankCorp.

Исторические данные показывают, что в 55% последних кварталов EPS BankCorp увеличивалась последовательно, а в 45% кварталов EPS снижалась или оставалась неизменной последовательно.

Последовательные сравнения (англ. ‘sequential comparison’) квартальных EPS — это сравнение EPS данного квартала с непосредственным предыдущим кварталом. Последовательное сравнение отличается от сравнения с тем же кварталом год назад (еще один частый тип сравнения).

На этом этапе вашего анализа вы предполагаете, что изменения в последовательных EPS независимы.

Прибыль на акцию за 2 квартал 2014 года была выше прибыли на акцию за 1 квартал 2014 года.

1. Какова вероятность того, что EPS 3-го квартала будет больше EPS 2-го квартала (положительное изменение в последовательных EPS)?
2. Какова вероятность того, что EPS уменьшится или останется неизменным в следующие 2 квартала?

---

Решение для части 1:

Исходя из предположения о независимости событий, вероятность того, что EPS за 3 квартал будет больше, чем EPS за 2 квартал, является безусловной вероятностью положительных изменений, равной 0.

55.

Тот факт, что EPS за 2 квартал была больше, чем EPS за 1 квартал, не является полезной информацией, поскольку следующее изменение в EPS не зависит от предыдущих изменений.

---

Решение для части 2:

Вероятность составляет 0.2025 = 0.45(0.45).

---

В следующем примере показано, насколько сложно соблюсти набор независимых критериев, даже если каждый критерий сам по себе необязательно является строгим.

Пример (5) отбора акций для инвестиций.

Вы разработали схему отбора акций (англ. ‘stock screen’) — набор критериев для выбора акций.

Ваше инвестиционное поле (набор ценных бумаг, из которых вы делаете свой выбор, англ. ‘investment universe’) — это Russell 1000 Index, индекс 1000 акций американских компаний с большой капитализацией.

Ваши критерии отражают различные аспекты проблемы выбора. Вы считаете, что критерии независимы друг от друга, при близком приближении.

Критерий	Фракция индекса Russell 1000, соответствующая критерию
Первый критерий оценки	0. 50
Второй критерий оценки	0.50
Критерий охвата аналитика	0.25
Критерий рентабельности компании	0.55
Критерий финансовой устойчивости компании	0.67

Сколько акций, по вашим ожиданиям, пройдут отбор?

Только 23 акции из 1000 соответствуют набору критериев.

Если вы определяете 5 перечисленных в таблице событий (скажем, события  \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) и \(E\) соответственно), — тогда вероятность того, что акция будет соответствовать всем пяти критериям независимо, равна:

\( \begin{aligned}
P(ABCDE) &= P(A)P(B)P(C)P(D)P(E) \\
&= (0. 50)(0.50)(0.25)(0.55)(0.67) = 0.023031
\end{aligned} \)

Хотя только один из пяти критериев является хотя бы умеренно строгим (самый строгий пропускает 25% акций), вероятность того, что акция может пройти все 5, составляет всего 0.023031, или около 2%.

Размер перечня возможных инвестиций составляет:

0.023031(1,000) = 23.031, или 23 акции.

---

Область, представляющая большой интерес для управляющих инвестициями и их клиентов, заключается в том, полезны ли записи о прошлых результатах в выявлении постоянных выигрышных и проигрышных управляющих.

В следующем примере показано, как эта проблема связана с концепцией независимости событий.

Пример (6). Условные вероятности и предсказуемость результатов взаимного фонда.

Цель исследования Vidal-Garcia (2013), представленного в Примере (2), состояла в том, чтобы решить вопрос о постоянных выигрышных и проигрышных инвестиционных фондах.

Если статус фонда как выигрышного или проигрышного в течение одного года не зависит от того, будет ли он выигрышным в следующем году, практическая ценность такого рейтинга эффективности сомнительна.

Используя четыре события, определенные в Примере 2, в качестве базовых блоков, мы можем определить следующие события для решения проблемы предсказуемости работы взаимных фондов:

• Фонд — выигрышный в 1-м году И фонд — выигрышный во 2-м году .
• Фонд — выигрышный в 1-м году И фонд — проигрышный во 2-м году.
• Фонд — проигрышный в 1-м году И фонд — выигрышный во 2-м году.
• Фонд — проигрышный в 1-м году И фонд — проигрышный во 2-м году.

В части 4 примера 2 вы рассчитали, что:

P(Фонд — проигрышный во 2 году И Фонд — проигрышный в 1 году) = 0.423.

Если рейтинг в одном году не зависит от рейтинга в следующем году, какое значение вероятности события P(Фонд — проигрышный во 2 году И Фонд — проигрышный в 1 году) вы ожидаете?

Интерпретируйте эмпирическую вероятность 0,423.

---

По правилу умножения для независимых событий,

P(Фонд — проигрышный во 2 году И Фонд — проигрышный в 1 году) = P (Фонд — проигрышный во 2 году) P (Фонд — проигрышный в 1 году).

Поскольку 50% фондов классифицируются как проигрышные в каждом году, безусловная вероятность того, что фонд будет отмечен как проигрышный в любом году, составляет 0.50.

Таким образом,

P (Фонд — проигрышный во 2 году) P (Фонд — проигрышный в 1 году) = 0.50(0.50) = 0.25.

Если статус фонда как проигрышного в течение одного года не зависит от того, является ли он проигрышным в предыдущем году, мы заключаем, что

P(Фонд — проигрышный во 2 году И Фонд — проигрышный в 1 году) = 0,25.

Это априорная вероятность, потому что она вытекает из рассуждений о проблеме.

Вы также можете обосновать, что 4 события, описанные выше, определяют категории и что если фонды случайным образом распределить по четырем категориям, существует вероятность, равная 1/4 на то, что фонд окажется проигрышным в 1 году и во 2 году.

Если бы классификации в 1-м и 2-м годах были зависимыми, распределение фондов по категориям не было бы случайным. Эмпирическая вероятность 0. 423 выше 0,25.

Является ли эта очевидная предсказуемость результатом случайности?

Тест, проведенный Vidal-Garcia, показал, что вероятность наблюдения представленных данных, если бы рейтинги 1-го и 2-го года были независимыми, составляла менее 1%.

Зависимые события- Вероятность — Cuemath

Жонглер покорил цирковую публику своим мастерством.

В руках у него красная трефа, две зеленые трефы и три синие трефы. Его техника жонглирования такова, что он не использует одну и ту же дубину дважды.

Во время выступления он поднимает одну дубинку и подбрасывает ее в воздух, а затем поднимает вторую и бросает ее после того, как поймал первую.

Какова вероятность того, что первая булава для жонглирования синяя, а вторая клюшка для жонглирования зеленая?

Давайте лучше разберемся в этой концепции.

В этой главе мы узнаем о зависимых событиях и о том, как найти вероятность зависимых событий. Поскольку независимые события являются частью вероятности, мы также узнаем разницу между независимыми и зависимыми событиями.

План урока

1.	Что такое зависимые события?
2.	Важные примечания по зависимым событиям
3.	Решенные примеры на зависимых событиях
4.	Задающие вопросы по зависимым событиям
5.	Интерактивные вопросы по зависимым событиям

Что такое зависимые события?

Два события называются зависимыми, если исход одного события влияет на исход другого.

В теории вероятности зависимые события обычно представляют собой события реальной жизни и зависят от другого события. Например, Сэм хорошо сдал тест по математике, потому что готовился к нему; на уроке физкультуры была футбольная сессия, потому что Адам получил футбольный мяч из дома. Если вы посмотрите на эти примеры, то заметите, что одно событие зависит от другого.

Математически представляем зависимые события в вероятности 

Как мы узнали о вероятности того, что:

\[\text{Вероятность} = \dfrac{\text{Благоприятный исход}}{\text{Возможный исход}} \] 

ПРИМЕЧАНИЕ :

\(\text{P(A)}\) представляет вероятность наступления события \(\text A \)

\(\text{P(B)}\) представляет вероятность наступления события \(\text B \)

Вероятность зависимых событий

Если А и В зависимые события, то вероятность А и В записывается как:

Дано, Вероятность события A равно \(\text{P(A)}\)

Вероятность события B  есть\[ \text{ P(B после A)} \]
\[ \text{P(B и A)} = \text{P(A)}\times\text{P(B после A)}\].
\( \text{P(B после A)}\) также можно записать как \(\text P(B | A)\).

\(\text P(B | A)\) означает, что событие A уже произошло.

Теперь, какова вероятность события B ?

\(\text P(B | A)\) также называется «условной вероятностью» B при заданном A .

затем \( \text{P(B и A)} = \text{P(A)} \times \text P(B | A)\).

---

Разница между независимыми и зависимыми событиями

В теории вероятности есть два типа событий, которые часто классифицируются как зависимые или независимые события.

Разница представлена ​​ниже в таблице.

Зависимые события	Независимые события
1. Возникновение одного события влияет на вероятность другого события.	1. Наступление одного события, не влияющее на вероятность другого события.
2.Примеры включают отключение электроэнергии в случае, если вы не оплатите счет вовремя, выигрыш в лотерею после покупки 10 лотерейных билетов (чем больше билетов куплено, тем выше шанс на выигрыш)	Например, езда на велосипеде и просмотр любимого фильма на ноутбуке
3. Формулу можно записать так:  \(\text{P(A и B)}\) \(\text{= P(A) \(\times\) P(B | A)}\)	3. Формулу можно записать так: \(\text{P(A и B)}\) \(\text{= P(A) \(\times\) P(B)}\)

Как найти вероятность зависимых событий?

Для нахождения вероятности зависимых событий используется приведенная ниже формула условной вероятности:

Если вероятность событий A и B равна P(A) и P(B) соответственно тогда условная вероятность события B , такого, что событие A уже произошло, равна P(B/A) .

Формула для расчета условной вероятности.
\[ P\left( \dfrac BA \right)=\dfrac {P(A \cap B)}{P(A)} \text {или} \dfrac {P(B \cap A)}{P(A )}\]

Дано, P(A) должно быть больше 0.

P(A) меньше 0 означает A — невозможное событие. В P(A \(\cap\) B) пересечение обозначает сложную вероятность события.

Найдем вероятность зависимых событий на подробном примере

Рассмотрим коробку с 10 игрушками. Из них семь разноцветных, а три синих.

Исходя из этой информации, шанс вытащить разноцветную игрушку из коробки равен 7 из 10.

Точно так же есть шанс 3 из 10 вытащить синюю игрушку из коробки.

Однако, если мы наугад выберем из коробки две игрушки, то какова вероятность того, что мы вытащим сначала разноцветную, а затем синюю игрушку, не положив ее обратно в коробку?

Распространенной ошибкой при решении таких задач является использование формулы, а затем перемножение вероятности каждой игрушки вместе.

Поскольку игрушки вынимают, не кладя обратно в коробку, значит, вероятность будет меняться после каждого розыгрыша.

Эта ситуация показывает, что одно событие зависит от другого события.

Вернемся к исходной ситуации. Если мы вытащим разноцветную игрушку из коробки, в которой 10 игрушек, то вероятность того, что игрушка окажется разноцветной, равна 7 из 10.

Во втором событии вероятность вытащить синюю игрушку, однако, не 3 из 10, так как одна разноцветная игрушка не возвращается в коробку.

Теперь вероятность 3 из 9 игрушек.

Чтобы решить эту задачу, все, что нам нужно сделать, это перемножить это значение \( \dfrac 7{10} \times \dfrac 39 = \dfrac{21}{90} = \dfrac 7{30} = 0,233 \) .

Несколько шагов для проверки принадлежности вероятности к зависимым или независимым событиям

Шаг 1:  Возможно ли, чтобы события происходили в любом порядке? Если да, перейдите к шагу 2, если нет, перейдите к шагу 3.
Шаг 2: Влияет ли одно событие на результат другого события? Если да, перейдите к шагу 4, если нет, перейдите к шагу 3.
Шаг 3: Событие независимое. Просто сформулируйте формулу независимого события и получите ответ.
Шаг 4: Событие является зависимым. Просто введите формулу зависимого события и получите ответ.

Вот как узнать, является событие зависимым или независимым!

 

Важно Примечания

• Вероятности события, которые не влияют друг на друга при замене, независимы.
• Вероятности событий, которые влияют друг на друга без замены, являются зависимыми.

Решенные примеры

Пример 1

 

 

Дэниел вытащил карту из хорошо перетасованной колоды. Найдите вероятность того, что карта либо красная, либо королевская.

Решение

Определим событие  E  как вытянутая карта либо красная, либо королевская.

Сколько существует исходов, благоприятных для  E ?

Есть 26 красных карт и 4 карты короля. Однако 2 красные карточки сами по себе являются королями.

Если мы добавим 26 и 4, мы будем считать эти две карты дважды.

Таким образом, правильное количество исходов, благоприятных для  E  равно-

\[ 26 + 4 − 2 = 28\]

Вероятность появления E будет равна-

\( \text{ P(E) }= \dfrac {28}{52} = \dfrac{7} {13}  \)

\(\поэтому\)  Вероятность того, что карта либо красная, либо карта короля, равна \(\dfrac{7}{13}\)

Пример 2

 

 

У жонглера семь красных, пять зеленых и четыре синих шара. Во время своего трюка он случайно роняет мяч и не поднимает его. Пока он продолжает, еще один мяч падает. Какова вероятность того, что первый выпавший шар будет синим, а второй зеленым?

Решение

Как известно, первый шар жонглер не меняет. Таким образом, после падения первого мяча у него осталось 15 мячей.

Вероятность того, что первый шар синий или P(синий шар) = \(\dfrac{4}{16}\)

Вероятность того, что второй шар зеленый или P(зеленый шар) = \(\dfrac {5}{15 }\)

Вероятность того, что первый шар синий, а второй зеленый:

\( \text {P(синий, чем зеленый) = P(синий)}\times\text {P (зеленый) } \)
\ (= \ dfrac {4} {16} \ times \ dfrac {5} {15} = \ dfrac {1} {12} \)

\ (\ seed \) . Вероятность, что первый мяч синий, а второй шар зеленый \(\dfrac{1}{12}\)

Пример 3

 

 

Миссис Эндрюс должна выбрать двух учеников из 35 девочек и 15 мальчиков, которые станут членами клуба. Какова вероятность того, что оба ученика девочки?

Решение

Общее количество учеников \(= 35 + 15 = 50\)

Вероятность выбора первой девушки, P(девушка 1) = \( \dfrac { 35}{50}\ )

Вероятность выбора второй девушки, P(девушка 2) = \( \dfrac { 34}{49}\)

Теперь,

Вероятность того, что оба студента выбрали девушек

\(\text { Р(первая девочка и вторая девочка)}\)
\(= \text{ P(первая девушка)} \times \text{P(вторая девушка | первая девушка)} \)
\(= \dfrac { 35}{50} \times  \dfrac { 34}{49} \)
\(= \dfrac{1190}{1666}\)
\(= \dfrac{85}{119}\ \)

\(\следовательно \)Вероятность того, что обе выбранные ученицы — девочки, равна \(\dfrac{85}{119}\).

Пример 4

 

 

Джозеф и Дэвид играют в карты. Джозеф вытащил карту наугад без замены. Он просит Дэвида помочь ему определить вероятность того, что первой вытянутой картой была дама, а второй — король.

Решение

Как мы понимаем, эта вероятность имеет зависимое условие события.
P (рисунок ферзя в первом условии) =\( \dfrac { 4}{52}\)
P (вытягивание короля во втором условии после ферзя) = \( \dfrac { 4}{51}\)
P (рисунок ферзя, за которым следует король) = \(\dfrac{4}{52} \times\dfrac{4}{51}=\dfrac{16}{2652}=\dfrac{4}{663}\ )

\(\следовательно \)Вероятность вытягивания ферзя, за которым следует король, \(\dfrac{4}{663}\).

 

Сложные вопросы

• 80 % ваших друзей любят гамбургеры, а 50 % – бургеры и пиццу.

  Какой процент тех, кто любит гамбургеры, но не пиццу?

• Какова вероятность того, что из колоды карт вытащат 4 королей?

Интерактивные вопросы

  Вот несколько упражнений для практики. Выберите/введите свой ответ и нажмите кнопку «Проверить ответ», чтобы увидеть результат.

---

Давайте суммируем

Эта мини-беспросветная концепция. Математическое путешествие вокруг октаэдра начинается с того, что ученик уже знает, и продолжается творческим созданием новой концепции в юных умах. Сделано таким образом, что это не только понятно и легко для понимания, но и останется с ними навсегда. В этом заключается магия Cuemath.

О Cuemath

Наша команда экспертов по математике в Cuemath стремится сделать обучение интересным для наших любимых читателей, студентов!

Благодаря интерактивному и увлекательному подходу «обучение-преподавание-обучение» учителя изучают тему со всех сторон.

Будь то рабочие листы, онлайн-классы, сеансы сомнений или любая другая форма отношений, это логическое мышление и разумный подход к обучению, в которые мы в Cuemath верим.

---

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

1. Как определить, являются ли события независимыми или зависимыми?

В теории вероятности, если одно событие влияет на исход другого события, называется зависимым событием, но если одно событие не влияет на исход другого события, такое событие называется независимым.

2. Что такое событие по вероятности?

В теории вероятности событие – это результат эксперимента, или событие – это набор результатов эксперимента, которому присваивается вероятность.

Независимые и зависимые события и условная вероятность — Криста Кинг Математика

Независимые и зависимые события

Независимая вероятность

До этого момента мы сосредоточились на независимых событиях , которые не влияют друг на друга. Например, если я подброшу монету два раза подряд, результат первого броска не повлияет на второй бросок, поэтому эти броски являются независимыми событиями.

Другими словами, если я получаю орел при первом подбрасывании, то второй бросок все еще имеет равные шансы выпадения орла или решки. Если вместо этого я получаю решку при первом броске, второй бросок по-прежнему имеет равные шансы выпадения орла или решки.

Привет! Я Криста.

Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать далее.

Правило умножения

Если вы хотите найти вероятность нескольких независимых событий (также называемых0073 совместное появление ), вы умножите их вероятности. Это называется правилом умножения . Так, например, вероятность того, что мы дважды выпадем орлом, когда подбросим монету два раза подряд, равна

???P(A\text{ и }B)=P(A)\cdot P(B)?? ?

???P(HH)=\left(\frac12\right)\left(\frac12\right)=\frac14???

Другими словами, вероятность выпадения решки при первом подбрасывании равна ???1/2???. Вероятность выпадения решки при втором подбрасывании равна ???1/2???. Это независимые события, поэтому результат одного броска не влияет на другой бросок. Таким образом, вероятность выпадения орла два раза подряд — это просто произведение отдельных вероятностей.

Мы могли бы также рассчитать вероятность выпадения орла два раза подряд, если бы знали, что есть четыре возможных результата, когда мы дважды подбрасываем монету: ???HH???, ???HT???, ??? TH??? и ???TT???. Нас интересует результат ???HH???, что означает, что вероятность выпадения орла два раза подряд равна

???P(\text{event})=\frac{\text{outcomes которые соответствуют нашим критериям}}{\text{все возможные результаты}}???

???P(HH)=\frac{1}{4}???

Когда вы подбрасываете монету, выпадает ???50\%??? шанс получить головы, и ???50\%??? шанс получить решку. Но не это делает события независимыми. Дело в том, что один флип не влияет на другой флип. Но допустим, футболист зарабатывает ???70\%??? всех пенальти, которые он пробивал. Другими словами, на каждые ???100??? пенальти он пытается, он собирается сделать около ???70??? из них. 95???

???P(KKKKK)=0,16807\приблизительно0,17???

Даже несмотря на то, что вероятность того, что он выполнит один пенальти, равна ???70\%???, и каждый удар является независимым событием, вероятность того, что он выполнит ???5??? подряд примерно ???17\%???.

Зависимая вероятность

Сравните это с зависимыми событиями , которые являются событиями, влияющими друг на друга. Вытягивание карт из колоды без замены тех, которые мы вытащили, было бы примером зависимых событий.

Если мы вытащим одну карту из ???52???-карточной колоды, вероятность получить именно эту карту будет ???1/52???. Если мы отложим эту карту в сторону, не возвращая ее в колоду, а затем вытащим другую карту, вероятность получения определенной карты будет уже не ???1/52???, а ???1/51?? ?. Поскольку вероятность изменилась, это зависимые события.

Когда мы говорим о зависимых событиях, таких как вытягивание двух карт из колоды без замены первой, мы выражаем эту вероятность как ???P(A|B)??? (читается как «вероятность ???A??? при заданном ???B???»), что дает вероятность события ???A??? происходит, учитывая это событие ???B??? уже произошло.

Когда события зависимы, мы должны думать о вероятности каждого события.

Как рассчитать вероятность с независимыми и зависимыми событиями

Пройти курс

Хотите узнать больше о вероятности и статистике? У меня есть пошаговый курс для этого.

🙂

Учить больше

Вероятность выпадения двух карт подряд

Пример

Если мы вытянем карту из колоды игральных карт, а затем, не заменяя ее, вытянем вторую карту, какова вероятность того, что мы получим два валета подряд?

Поскольку мы имеем дело с зависимой вероятностью, нам нужно посмотреть на вероятность каждого события. Вероятность того, что мы получим валета при первом розыгрыше, равна

???P(J_1)=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}???

Вероятность того, что валет выпадет во втором розыгрыше, равна

???P(J_2)=\frac{3}{51}=\frac{1}{17}???

Следовательно, вероятность того, что мы получим два валета подряд, равна

???P(J|J)=\left(\frac{1}{13}\right)\left(\frac{1}{ 17}\right)=\frac{1}{221}???

Если вы хотите найти вероятность нескольких независимых событий (также называемых совместными событиями ), вы должны умножить их вероятности.

Если мы подставим этот результат с валетами в формулу, мы можем сказать, что

???P(A\text{ и }B)=P(A)\cdot P(B|A)???

Вертикальная черта в ???P(B|A)??? означает «данный», поэтому ???P(B|A)??? вероятность того, что ???B??? происходит, учитывая, что ???A??? уже произошло.

Эта формула говорит нам, что вероятность того, что ???A??? и ???Б??? оба события (что мы вытаскиваем валета при первом розыгрыше и валет при втором розыгрыше) являются произведением вероятности первого события и вероятности того, что произойдет второе событие, при условии, что первое событие уже произошло.

Из этой формулы можно доказать, что события ???A??? и ???Б??? независимы, если мы можем показать, что ???P(A|B)=P(A)???, так как это означает, что вероятность события ???A??? происходит то же самое, что и вероятность события ???A??? происходит, даже если событие ???B??? уже произошло, что означает событие ???B??? должно было не повлиять на событие ???A???, и поэтому ???A??? и ???Б??? являются независимыми.