Вертикальные треугольники: Вертикальные углы | Треугольники

Содержание

Урок 6. смежные и вертикальные углы. аксиомы и теоремы — Геометрия — 7 класс

Геометрия

7 класс

Урок № 6

Смежные и вертикальные углы. Аксиомы и теоремы

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

  • Понятие смежных и вертикальных углов
  • Свойства смежных и вертикальных углов
  • Отличие аксиомы от теоремы

Тезаурус

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга, называются смежными.

Свойства смежных углов:

  • Сумма смежных углов равна 1800.
  • Если два угла равны, то и смежные с ними углы равны.
  • Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

Свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны.

Аксиома– положение, принимаемое без доказательств.

Основная литература:

  1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7 – 9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Дополнительная литература:

  1. Погорелов А. В. Геометрия: 7 – 9 класс. // Погорелов А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 224 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Давайте построим развёрнутый угол АОС и проведём в нём луч ОВ. В результате у нас получилось два угла ∠АОВ – острый угол и ∠ВОС– тупой угол. Стороны АО и ОС – продолжают друг друга, ВО– общая сторона. Углы АОВ и ВОС – это смежные углы. На основании этого сформулируем определение смежных углов.

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга, называются смежными.

Обратите, внимание, что смежные углы АОВ и ВОС лежат на развёрнутом угле АОС. Отсюда можно сделать вывод: сумма смежных углов равна 180

о.

Свойство смежных углов: сумма смежных углов равна 180о.

Давайте докажем это свойство.

Доказательство. Пусть углы ∠АОВ и ∠ВОС – смежные, луч ОВ – проходит между сторонами развёрнутого угла ∠АОС. Поэтому, сумма углов ∠АОВ и ∠ВОС равна ∠АОС, а этот угол развёрнутый, он равен 180о. Свойство доказано.

Укажем ещё одно свойство смежных углов.

  • Если два угла равны, то и смежные с ними углы равны.

Сейчас давайте вспомним определение прямого угла: угол, равный 900, называется прямым углом. Опираясь на свойство суммы смежных углов, можно сделать вывод: угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Теперь построим две пересекающиеся прямые, АС и BD. Посмотрите, при пересечении прямых у нас получилось четыре угла: ∠АОВ, ∠АОD, ∠CОD, ∠BОC. Из них попарно являются смежными углы: ∠АОВ и ∠АОD, ∠АОD и ∠CОD, ∠CОD и ∠BОC, ∠АОВ и ∠BОC.

Углы, которые не являются смежными:

∠АОВ и ∠CОD; ∠АОD и ∠BОC. Пары этих углов называются вертикальными углами.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

Свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны. Убедимся в справедливости этого свойства, докажем его.

Доказательство. Посмотрим на чертёж: пары углов 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4, 4 и 1– смежные углы. Угол 2 одновременно является смежным с углом 1 и с углом 3. По свойству смежных углов

∠1+ ∠2= 1800 и ∠3+ ∠2= 1800. Получаем, что ∠1+ ∠2= ∠3+ ∠2, значит, ∠1= ∠3. Углы ∠1 и ∠3 – вертикальные. Мы доказали справедливость этого свойства.

Свойства смежных и вертикальных углов, которые мы сегодня рассмотрели– в геометрии называются теоремами. Правильность утверждения о свойстве той или иной геометрической фигуры устанавливается путём рассуждения. Это рассуждение называется доказательством. А само утверждение, которое доказывается, называется

теоремой.

На предыдущих уроках вы познакомились с понятием аксиомы.

В чём же различие между аксиомой и теоремой? Ответ на этот вопрос таков: аксиома – положение, принимаемое без доказательств.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.

Используя чертёж, найдите угол ∠ВОК.

Ответ: ∠ВОК=____0

Решение. Воспользуемся свойством смежных углов: сумма смежных углов равна 1800. По условию задачи ∠АОК= 11

0, то ∠ВОК+ ∠АОК= 1800

∠ВОК+ 110= 1800

∠ВОК= 1800– 110= 1690.

Ответ: ∠ВОК= 1690

№2. Тип задания: единичный / множественный выбор.

Используя чертёж, найдите угол ∠AOD.

Варианты ответов:

  1. 1120
  2. 640
  3. 1160
  4. 680

Решение. На чертеже указано, что углы ∠СОЕ= ∠DOE. Значит, ∠COD= ∠СОЕ+ ∠DOE= 320+ 320= 640. ∠AOD смежный с углом ∠COD, по свойству смежных углов: ∠AOD= 1800–∠COD= 1800– 640=1160.

Ответ: 1160

№3. Тип задания: выделение цветом.

Используя чертёж, найдите градусную меру угла ∠BMD, если ∠AMD= 1250, ∠BMC= 1150.

∠BМD=____0

.

Выделите верный ответ из списка:

600; 300; 750; 900

Решение. По чертежу можно увидеть, что ∠BМD является частью ∠AMD и ∠BMC. Рассмотрим ∠DMC и ∠AMD. Эти углы – смежные, т.е. их сумма равна 1800. Значит, зная градусную меру ∠AMD, мы сможем найти градусную меру ∠DMC= 1800–∠AMD= 1800-–1250= 550. Теперь рассмотрим ∠BMC= ∠BMD+ ∠DMC. Мы знаем градусные меры ∠BMC и ∠DMC, значит, мы сможем найти градусную меру ∠BMD.

∠BMD= ∠BMC–∠DMC= 1150– 550= 600.

Верный ответ: 600

Признаки равенства треугольников [wiki.eduVdom.com]

Рис.1

Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением.

На рисунке 1 изображены равные треугольники ABC и А1В1С1. Каждый из этих треугольников можно наложить на другой так, что они полностью совместятся, т. е. попарно совместятся их вершины и стороны. Ясно, что при этом совместятся попарно и углы этих треугольников.

Таким образом, если два треугольника равны, то элементы (т. е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника. Отметим, что в равных треугольниках против соответственно равных сторон (т. е. совмещающихся при наложении) лежат равные углы, и обратно: против соответственно равных углов лежат равные стороны.

Так, например, в равных треугольниках ABC и A1B1C1, изображенных на рисунке 1, против соответственно равных сторон АВ и А1В1 лежат равные углы С и С1. Равенство треугольников ABC и А1В1

С1 будем обозначать так: Δ ABC = Δ А1В1С1. Оказывается, что равенство двух треугольников можно установить, сравнивая некоторые их элементы.

Рис.2

Теорема 1. Первый признак равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (рис.2).

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1, у которых АВ = A1B1, АС = A1C1 ∠ А = ∠ А1 (см. рис.2). Докажем, что Δ ABC = Δ A1B1C1.

Так как ∠ А = ∠ А1, то треугольник ABC можно наложить на треугольник А

1С1 так, что вершина А совместится с вершиной А1, а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А1В1 и A1C1. Поскольку АВ = A1B1, АС = А1С1, то сторона АВ совместится со стороной А1В1 а сторона АС — со стороной А1C1; в частности, совместятся точки В и В1, С и C1. Следовательно, совместятся стороны ВС и В1С1. Итак, треугольники ABC и А1В1С1 полностью совместятся, значит, они равны.

Аналогично методом наложения доказывается теорема 2.

Рис.3

Теорема 2. Второй признак равенства треугольников. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны

(рис. 34).

Замечание. На основе теоремы 2 устанавливается теорема 3.

Теорема 3. Сумма любых двух внутренних углов треугольника меньше 180°.

Из последней теоремы вытекает теорема 4.

Теорема 4. Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

Теорема 5. Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (подробнее).



Пример 1. В треугольниках ABC и DEF (рис. 4)

Рис.4

∠ А = ∠ Е, АВ = 20 см, АС = 18 см, DE = 18 см, EF = 20 см. Сравнить треугольники ABC и DEF. Какой угол в треугольнике DEF равен углу В?

Решение. Данные треугольники равны по первому признаку. Угол F треугольника DEF равен углу В треугольника ABC, так как эти углы лежат против соответственно равных сторон DE и АС.


Пример 2. Отрезки АВ и CD (рис. 5) пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Чему равен отрезок BD, если отрезок АС равен 6 м?

Рис.5

Решение. Треугольники АОС и BOD равны (по первому признаку): ∠ АОС = ∠ BOD (вертикальные), АО = ОВ, СО = OD (по условию).
Из равенства этих треугольников следует равенство их сторон, т. е. АС = BD. Но так как по условию АС = 6 м, то и BD = 6 м.


Пример 3. В треугольниках ABC и DEF (см. рис. 4) АВ = EF, ∠A = ∠E, ∠B = ∠F.

Рис.4

Сравнить эти треугольники. Какие стороны в треугольнике DEF равны соответственно сторонам ВС и СА?

Решение. Треугольники ABC и DEF равны по второму признаку. Стороны DF и DE треугольника DEF равны соответственно сторонам ВС и СА треугольника ABC, так как стороны DF и ВС (DE и СА) лежат против равных углов Е и A (F и В).


Пример 4. На рисунке 6 углы DAB и СВА, CAB и DBA равны, СА = 13 м. Найти DB.

Решение. Треугольники АСВ и ADB имеют одну общую сторону АВ и по два равных угла, которые прилежат к этой стороне. Следовательно, треугольники АСВ и ADB равны (по второму признаку). Из равенства этих треугольников следует равенство сторон BD и АС, т. е. BD = 13 м.



Презентация на тему: 7 класс. I часть. Решение задач. Треугольники. Вертикальные углы. Смежные углы

1

Первый слайд презентации

7 класс. I часть. Решение задач. Треугольники. Вертикальные углы. Смежные углы.

Изображение слайда

2

Слайд 2

1. В Ответ (2) А С D Подсказка Периметр треугольника? Дано: Найти: стороны

Изображение слайда

3

Слайд 3

2. В Ответ А С Подсказка Чему равна сумма смежных? Дано: Найти: ? D F

Изображение слайда

4

Слайд 4

3. В Ответ А С Подсказка (2) Сумма смежных углов равна … Дано: Найти: ? D F

Изображение слайда

5

Слайд 5

4. Е Ответ А С В Подсказка Периметр треугольника? Дано: Найти:

Изображение слайда

6

Слайд 6

5. В Ответ А С Дано: Найти: ? О 120 0 120 0

Изображение слайда

7

Слайд 7

6. В Ответ А С D Подсказка Периметр треугольника? Дано: Найти: О

Изображение слайда

8

Слайд 8

Первый признак равенства треугольников. А А 1 В В 1 С С 1

Изображение слайда

9

Слайд 9

7. В А С A 1 Подсказка Дано: Доказать: B 1 С 1 Вывод Необходимо доказать равенство отрезков АС и А 1 С 1.

Изображение слайда

10

Слайд 10

8. В Вывод А Р Подсказка Необходимо доказать равенство треугольников A ОТ и B ОР. Т О Дано: Доказать: РО = ОТ

Изображение слайда

11

Слайд 11

9. В Вывод А С Подсказка Необходимо доказать равенство треугольников A ВС и С D А. D Дано: Доказать:

Изображение слайда

12

Слайд 12

10. В Вывод А С Подсказка Необходимо доказать равенство треугольников A ВН и СВН. Н Дано: Доказать:

Изображение слайда

13

Слайд 13

11. В А С Подсказка (2) Необходимо воспользоваться равенством Δ A ВН = Δ СВН. Н Дано: Доказать: Необходимо вспомнить свойство смежных углов.

Изображение слайда

14

Слайд 14

12. В А С Подсказка Необходимо вспомнить определение вертикальных углов. D Дано: Доказать: O

Изображение слайда

15

Слайд 15

13. В Вывод А С Подсказка (2) Необходимо доказать равенство треугольников ABD и CBD. D Дано: Доказать: 1 2

Изображение слайда

16

Слайд 16

14. В Ответ А С Подсказка Необходимо доказать равенство треугольников AD С и А B С. D 1 2 Дано: Найти:

Изображение слайда

17

Слайд 17

15. В Ответ А С Подсказка Необходимо доказать равенство треугольников A ВС и А D С. D 1 2 Дано: Найти:

Изображение слайда

18

Слайд 18

1 6. В Ответ А С Подсказка (2) Необходимо доказать равенство треугольников A В E и С DE. D 1 2 Дано: Найти: E Необходимо вспомнить свойство смежных углов.

Изображение слайда

19

Слайд 19

Вертикальные углы. В А О C D

Изображение слайда

20

Слайд 20

Смежные углы. В А О C

Изображение слайда

21

Слайд 21

Периметр треугольника. В А C

Изображение слайда

22

Слайд 22

Пусть x – коэффициент пропорциональности, тогда,  BOC = 25 x ;  AO В = 11 x. Так как  AO В +  BOC = 180, то 11 x + 25x = 180 ; 36 x = 180; x = 5. Следовательно,  BOC = 125  ;  AO В = 5 5. Пример оформления задачи: Дано :  AO В и  BOC – смежные;  BOC :  AO В = 25:11 Найти :  AO В ;  BOC. Решение.

Изображение слайда

23

Слайд 23

№1 Дано:  = 3 . Найти:  и . №2 ОС- биссектриса Найти  BOC №3 Найти  BOC

Изображение слайда

24

Слайд 24: Образец оформления решения задачи

При пересечении двух прямых образовалось четыре угла. Один из них равен 43 0. Найдите величины остальных углов. M O F P K 43 0 Дано: Найти: Решение: Ответ: 137 0, 43 0, 137 0 МК  PF = О МО F = 43 °  FOK, KOP, POM. МО F и KOP вертикальные, значит, по свойству вертикальных углов, МО F = KOP, KOP = 43 ° МО F +  FOK = 180 °, так как они смежные. Отсюда  FOK = 180 ° — 43 ° =137 °  FOK и POM вертикальные, значит  FOK = POM, POM =137 °

Изображение слайда

25

Слайд 25

Задача 4. Найдите углы, полученные при пересечении двух прямых, если один из углов равен 102 0. Задача 5. Найдите величины смежных углов, если один из них в 5 раз меньше другого. Задача 6. Чему равны смежные углы, если один из них на 30 0 больше другого? Задача 7. Найдите величину каждого из двух вертикальных углов, если их сумма равна 98 0. Задача 8. Найдите углы, полученные при пересечении двух прямых, если сумма трех углов равна 280 0.

Изображение слайда

26

Слайд 26

А В D С Найти: Задача 9 О углы АОВ и СОД

Изображение слайда

27

Слайд 27

А В С О Задача 10 Найти:

Изображение слайда

28

Слайд 28

А В С О Задача 11 Найти:

Изображение слайда

29

Слайд 29

С А В Д Найти: О Задача 12

Изображение слайда

30

Слайд 30

А В С Сравните и Задача 13

Изображение слайда

31

Слайд 31

А В С Докажите, что Задача 14

Изображение слайда

32

Слайд 32

А В С Докажите, что Задача 15

Изображение слайда

33

Последний слайд презентации: 7 класс. I часть. Решение задач. Треугольники. Вертикальные углы. Смежные углы

О Равны ли и ? А В С D E Задача 16

Изображение слайда

§ 2. Признаки равенства треугольников. Равнобедренный треугольник. Прямоугольный треугольник. Теоремы об углах. — ЗФТШ, МФТИ

Для повторения мы выбрали эти темы. Приводить доказательство теорем, содержащихся в учебнике, не будем, лишь напомним основные теоремы. Также обсудим некоторые важные вопросы, приведём примеры решения задач, докажем несколько дополнительных теорем (Всякое утверждение, сформулированное в общем виде и доказанное, есть теорема, но их так много и они часто столь просты, что наполнять ими учебник не имеет смысла, а вот учиться на них применению основных теорем, умению рассуждать, делать выводы, — очень полезно). Такие теоремы мы будем называть леммами.

В учебнике доказаны три признака равенства треугольников.

Первый признак: по двум сторонам и углу между ними.

Второй признак: по стороне и прилежащим к ней углам.

Третий признак: по трём сторонам.

Мы напомнили их краткую формулировку.

Отметим также важный момент. Запись равенства треугольников $$ △ABC=△KPM$$ означает: $$ \angle A=\angle K$$, $$ \angle B=\angle P$$, $$ \angle C=\angle M$$, $$ AB=KP$$, $$ AC=KM$$ и $$ BC=PM$$, т. е. соответствующие вершины стоят на соответствующих местах.

Когда это удобно, будем использовать обозначения: в треугольнике $$ ABC$$ углы обозначать $$ A$$, $$ B$$ и $$ C$$,

$$ a$$, $$ b$$ и $$ c$$ – стороны, противолежащие углам $$ A$$, $$ B$$ и $$ C$$,

$$ {h}_{a}$$, $$ {h}_{b}$$, $$ {h}_{c}$$ – высоты к сторонам $$ a$$, $$ b$$ и $$ c$$,

$$ {m}_{a}$$, $$ {m}_{b}$$, $$ {m}_{c}$$ – медианы к сторонам $$ a$$, $$ b$$ и $$ [email protected]`, и $$ △KAM=△KBC$$   Делаем вывод:  $$ KC=CM=KM$$ т. е. треугольник $$ KCM$$ – равносторонний.

(В решении использовано утверждение, что все углы равностороннего треугольника равны $$ 60°$$). 

II. Равнобедренный треугольник.

В учебнике доказаны теоремы:

Т1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Т2. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой.

Т3. (Признак равнобедренного треугольника). Если два угла в треугольнике равны, то он равнобедренный.

Обратим внимание, что признаком фигуры $$ A$$  называется теорема с формулировкой: «если имеет место … , то это фигура $$ A$$». Сформулируем следующие, часто применяемые в задачах, признаки равнобедренного треугольника:

а) если в треугольнике высота является медианой, то треугольник равнобедренный;

б) если в треугольнике высота является биссектрисой, то треугольник равнобедренный;

в) если в треугольнике медиана является биссектрисой, то треугольник равнобедренный.

Доказательство признака а) вполне простое. Если $$ BD\perp AC$$ и $$ AD=DC$$ (рис. 9), то $$ △ADB=△CDB$$ по двум сторонам ( $$ BD$$ – общая, $$ AD=DC$$) и углу между ними ($$ \angle ADB$$ смежный с $$ \angle BDC=90°$$  поэтому $$ \angle ADB=90°$$ ).

Из равенства треугольников следует $$ AB=BC$$ и треугольник $$ ABC$$ по определению равнобедренный.

Рис. 9 Рис. 10

Доказательство признака  б) Столь же простое,  докажите  его  самостоятельно.

Докажем признак  в) Пусть в треугольнике $$ ABC$$ биссектриса $$ BM$$ является медианой: $$ AM=MC$$ (рис. 10). На продолжении биссектрисы $$ BM$$ отложим отрезок $$ MD$$ равный $$ BM$$  Треугольники $$ ABM$$ и $$ CDM$$ равны по первому признаку: у них углы при вершине $$ M$$ равны, как вертикальные,  и $$ AM=CM$$, $$ BM=DM$$   Из равенства треугольников следует

$$ CD=AB$$                                                                               (1) 

и $$ \angle CDM=\angle ABM$$. Но $$ \angle ABM=\angle CBM$$ поэтому $$ \angle CDM=\angle CBM$$, т. е.  в  треугольнике $$ BCD$$ углы  при основании $$ BD$$  равны. По признаку Т3 этот треугольник равнобедренный: $$ BC=CD$$ Отсюда и из (1) заключаем: $$ BC=AB$$. Утверждение доказано.

В следующем примере применяются признак параллельности прямых и две теоремы об углах треугольника (и следствия этих теорем):

Т. Сумма углов треугольника равна $$ 180°$$.

Т. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не
смежных с ним.

Точка $$ K$$ лежит на основании $$ AC$$ равнобедренного треугольника $$ ABC$$ ($$ AB=BC$$). Через точку $$ K$$ проведена прямая, пересекающая прямую $$ AB$$ и отрезок $$ BC$$, при этом образовалось два равнобедренных треугольника (рис. 11).

Найти углы треугольника $$ ABC$$.

Решение

Обозначим точки пересечения $$ M$$ и $$ D$$.

1. Углы при основании равнобедренного треугольника равны и они острые, значит угол $$ MAK$$ – тупой.

2. В треугольнике может быть только один тупой угол, значит, если треугольник $$ MAK$$ равнобедренный, то равными могут быть только углы при вершинах $$ M$$ и $$ K$$. Обозначим их $$ \alpha $$.

3. $$ \angle BAK=2\alpha $$ (как внешний угол треугольника $$ MAK$$), $$ \angle BCA=2\alpha $$ (углы при основании равнобедренного треугольника равны) и $$ \angle DKC=\alpha $$ ($$ \angle DKC=\angle AKM$$ как вертикальные).

Расставим углы.

4. Треугольник $$ KDC$$ по условию равнобедренный. Возможны, вообще говоря, два случая: а) $$ \angle KDC=\alpha $$ и б) $$ \angle KDC=2\alpha $$.

а) Если $$ \angle KDC=\alpha $$, то накрест лежащие углы при секущей $$ MD$$ равны $$ \alpha $$; это по теореме означало бы параллельность прямых $$ MB$$ и $$ CB$$, что противоречит их пересечению. Этот случай невозможен.

б) Если $$ \angle KDC=2\alpha $$, то по теореме о сумме углов треугольника (для треугольника $$ KDC$$) $$ \alpha +2\alpha +2\alpha =180°$$ ,$$ \alpha =36°$$. Находим углы треугольника $$ ABC$$ :$$ \angle A=\angle C=2\alpha =72°$$ , $$ \angle B=180°-2·\angle A=36°$$. 

III. Для прямоугольных треугольников справедливы признаки равенства (их надо уметь доказывать):

1. по двум катетам;

2. по гипотенузе и катету;

3. по гипотенузе и острому углу;

4. по катету и острому углу.

Применяя признаки равенства прямоугольных треугольников, докажем ещё один признак равнобедренного треугольника:

Доказать, что если две высоты треугольника равны, то он равнобедренный.

Решение

Пусть высоты $$ A{A}_{1}$$ и $$ C{C}_{1}$$ треугольника $$ ABC$$ равны друг другу. 

1. (Треугольник остроугольный. Обе высоты внутри треугольника, (рис. 12а). Прямоугольные треугольники $$ A{A}_{1}B$$ и $$ C{C}_{1}B$$ равны по катету ($$ A{A}_{1}=C{C}_{1}$$) и противолежащему острому углу (угол $$ B$$ – общий). Тогда
равны их гипотенузы $$ AB=CB$$, а это и означает, что треугольник $$ ABC$$ равнобедренный.

Рис. 12a Рис. 12б

Рис. 12в

2. (Треугольник тупоугольник, угол $$ В$$ тупой. Обе высоты вне треугольника, рис. 12б). Прямоугольные треугольники $$ A{A}_{1}B$$ и $$ C{C}_{1}B$$ имеют равные катеты $$ A{A}_{1}=C{C}_{1}$$ и равные противолежащие углы $$ \angle AB{A}_{1}=\angle CB{C}_{1}$$ как вертикальные . Треугольники равны, равны их гипотенузы $$ AB=CB$$. Треугольник $$ ABC$$ – равнобедренный.
3. Случай равенства двух высот равнобедренного треугольника, одна из которых внутри треугольника, другая – вне треугольника, невозможен. Действительно, если $$ B{B}_{1}=A{A}_{1}=h$$ (рис. 12в), то $$ △A{A}_{1}B=△B{B}_{1}A$$ по гипотенузе (у них общая $$ AB$$) и катету $$ A{A}_{1}=B{B}_{1}$$. Тогда $$ \angle BA{A}_{1}=\angle AB{B}_{1}$$ (обозначен $$ \alpha $$ ), т. е. накрест лежащие углы при секущей $$ AB$$ равны и прямые $$ A{A}_{1}$$ и $$ {B}_{1}B$$ параллельны, что неверно.
4. Если угол $$ B$$ – прямой, то высоты из вершин $$ A$$ и $$ C$$ совпадают с катетами $$ AB$$ и $$ CB$$. 
При равных высотах равны и катеты, треугольник $$ ABC$$ – равнобедренный. 

Доказать, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Решение

Рис. 13

Точка $$ M$$ – середина гипотенузы $$ AB$$ прямоугольного треугольника $$ ABC$$ (рис. 13). Проведём через точку $$ M$$ прямую $$ MK\perp AC$$.

Из $$ BC\perp AC$$ и $$ MK\perp AC$$ следует $$ BC\parallel MK$$.

Из параллельности прямых $$ BC$$ и $$ MK$$ и равенства отрезков $$ BM$$ и $$ MA$$ по теореме Фалеса следует $$ CK=KA$$.

В прямоугольных треугольниках $$ CMK$$ и $$ AMK$$ катет $$ MK$$ общий и, как установили, равны катеты $$ CK$$ и $$ AK$$. Эти треугольники равны, значит, равны и их гипотенузы, т. е. $$ CM=AM$$, или $$ CM={\displaystyle \frac{1}{2}}AB$$.

Дополнение. Для многих учащихся при решении задач возникает проблема: с чего начать? С рисунка! В геометрической задаче очень важен рисунок, он должен отвечать условиям задачи, быть наглядной формой их записи.

Рис. 14a Рис. 14б

Например, в задаче рассматривается равнобедренный треугольник. Его можно нарисовать по-разному (рис. 14а и 14б), поэтому сначала рисуют на черновике, от руки, и из других условий определяют вид треугольника.

Если сказано, что один отрезок в два раза длиннее другого, – отразите это на рисунке; если какие-то прямые параллельны – так и рисуйте, т. е. после таких рассмотрений делаете чёткий хороший рисунок, отвечающий условиям задачи.

Хороший рисунок – помощник в решении, особенно если на нём Вы отмечаете равные углы, перпендикулярность отрезков, отношение длин и т. п. и ставите данные задачи. Посмотрите, например, на рис. 7, 8, 11 и подумайте, как рисунок помогает в решении.

В треугольнике $$ ABC$$ медиана $$ BM$$ перпендикулярна биссектрисе $$ AD$$. Найти длину стороны $$ AB$$, если $$ AC=6$$.

Решение

△ 1. Подумаем, как построить рисунок. Возьмём луч $$ AK$$ (рис. 15) и отложим от точки $$ A$$ какие-то равные углы (т. е. считаем, что биссектриса $$ AD$$ лежит на этом луче).

Рис. 15

Выберем точку $$ B$$, проведём через точку $$ B$$ прямую, перпендикулярно $$ AK$$ и отметим точку $$ M$$, $$ BM$$ – медиана, поэтому отложим отрезок $$ MC=MA$$. Треугольник $$ ABC$$ – тот, что нужен: $$ AD$$ – биссектриса, $$ BM$$ – медиана, $$ AD\perp BM$$.

2. Решение очевидно: $$ △ABO=△AMO$$ (по катету и острому углу), значит $$ AB=AM$$ и $$ AC=2AM=2AB$$. Зная, что $$ AC=6$$, находим $$ AB=3$$. 

Теория и задачи по треугольникам (Часть Ⅰ)

Вертикальные, смежные, соответственные, накрест лежащие углы. 

Равенство и подобие треугольников. 

Медиана, биссектриса, высота. 

Свойства треугольников. 

Площадь треугольников.


Кругом одна геометрия — круг друзей, квадрат врагов, треугольник любящих.

Ю. Татаркин

Давай на чистоту: геометрию трудно понимать, если не знаешь определенных теорем и свойств. Я постараюсь донести до тебя понятным языком только необходимое, а ты постарайся разобраться и запомнить!

Что такое луч, прямая, отрезок, угол, треугольник объяснять не буду, иначе кто-то уснет.

Когда небо было ярче, трава зеленее, а ты учился в 7 классе, началось знакомство с геометрией, туда и перенесёмся. Чтобы мы с тобой разговаривали на одном языке, начнем с равных углов.

Смежные углы — два угла, у которых одна сторона общая, а две другие расположены на одной прямой.

С вертикальными углами проще познакомиться на рисунке:

Такими дугами показываем равные углы ∠1 = ∠3 (одной дугой) и ∠2 = ∠4 (двумя дугами)

Теперь об углах при параллельных прямых (параллельные прямые — прямые, которые никогда не пересекутся, сколько бы их не продолжать. Лучше представить рельсы у путей на прямом участке):

Перейдем к фигурам, а именно к равенству треугольников:

1) Треугольники, у которых две стороны и угол между ними соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, равны между собой. 

Штрихом и двумя штрихами показывают одинаковые стороны, которые равны между собой. Аналогично равные углы показывает одинаковым количеством дуг. Крайне удобно показывать дано сразу на рисунке.

2) Треугольники, у которых два угла и сторона между ними соответственно равны двум углам и стороне между ними другого треугольника, равны между собой.

3) Треугольники, у которых три стороны соответственно равны трем сторонам другого треугольника, равны между собой.

Одинаковые треугольники — это идентичные между собой фигуры, только развернутые. У тебя же не возникает вопроса, равны ли эти телефоны? Ты смотришь на форму, модель и сразу говоришь — идентичны. Так же поступай с треугольниками, только на слово тебе никто не поверит, обязательно нужно доказать один из трех признаков, описанных выше.

А вот эти фигуры какие?

Подобные! У них одинаковая форма, но разный размер. Тогда определим признаки подобных треугольников:

1) Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то эти треугольники подобны.

2) Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

3) Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Важное свойство: если в подобных треугольниках отношение сторон равно k, тогда площади этих треугольников будут относится, как k² (покажу на примере задачи №7).

Давай закрепим теорию в задачах.

Введем секретный шифр:

«~» означает подобие

«Δ» означает треугольник

«∠» означает угол

Задача №1. Дано на рисунке:

Т.к. треугольники подобны, запишем соотношения сторон против одинаковых углов. 

AB II DE, значит ∠A = ∠EDC и ∠B = ∠DEC

Запишем тогда отношение сторон и выразим нужную сторону EC: 

Ответ: 13,125

Задача №2. Дано на рисунке:

Периметр — это сумма всех сторон. Значит, если периметр отличается в 10 раз, то и стороны тоже в 10 раз.

Но мы же знаем, что все стороны должны отличаться в 10 раз, тогда:

Ответ: 20; 40; 50.

Задача №3. Дано на рисунке:

∠NKM = 90° и ∠NKP = 120°, значит ∠MKP = 30°

∠MKP = ∠KMN, как накрест лежащие углы при KP II NM => ∠KMN = 30°

А сумма углов в треугольнике 180°, да-да, не всегда, конечно, но Неевклидовая геометрию оставим на другой раз.

∠KNM = 180 − ∠NKM − ∠KMN = 60°

Ответ: 60° и 30°

Теперь поговорим о самых распространенных отрезках в треугольнике: высота, биссектриса, медиана.

Высота — отрезок, опускающийся на прямую, содержащую противоположную сторону, под углом 90° (такой угол называется прямым).

Обратите внимание, что именно на прямую. В задаче №5 разберем почему.

Угол 90° обозначается таким квадратиком у пересечения с прямой.

Биссектриса — луч, делящий угол, из которого выходит, пополам.

Запомнил, как обозначаем одинаковые углы? Одинаковым дугами.

Медиана — отрезок, опускающийся из вершины треугольника на середину противоположной стороны. 

Задача №4. Дано на рисунке:

Давай посмотрим, что такое AB? АВ делит угол пополам (одинаковые дуги), значит, это биссектриса => ∠BAD = 20° => ∠CAD = 40°

В Δ CAD: ∠D = 180°− ∠C − ∠CAD = 50°, тогда 

В Δ ВAD: ∠DBA = 180° − ∠D − ∠ВAD = 180° − 50° − 20° = 110°

∠DBA и ∠ABC — смежные (их сумма 180°) => ∠ABC = 180° − 110° = 70°

Задача №5. В ΔABC ∠B = 120°; ∠C = 30°. Из вершины А проведена высота, чему равен угол ∠BAH и ∠BAС?

Хороший рисунок — это 50% успеха, а в этой задаче все 90%. Рисуем треугольник примерно с углом 120°:

Рисунок получился плохой, а еще проблемы в ΔABH. Сумма углов должна быть 180°, но ∠B = 120° и ∠AHB = 90°, уже 210°! Что-то не так, вернемся к определению высоты — отрезок, опускающийся на прямую, содержащую противоположную сторону, под углом 90°.

Тогда продлим сторону BC, а на нее опустим высоту. Высота получится вне треугольника:

В ΔBAH: ∠HBA = 60° (смежный с ∠ABC) => ∠BAH = 180° − 60° − 90° = 30°

В ΔABC: ∠BAC = 180° − 120° − 30° = 30°

Ответ: 30° и 30°

Получается, что ∠BAC = ∠C = 30°, значит, этот треугольник равнобедренный. А что это такое?

Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого две стороны одинаковой длины. Такие стороны называют боковыми, а сторону, которая им не равна, основанием.

Есть пара крайне полезных свойств в равнобедренном треугольнике:

1) Углы при основании равнобедренного треугольника равны. 

Против равных сторон лежат равные углы. Верно и обратное: если два угла у треугольника равны, то он равнобедренный

2) Медиана, проведенная к основанию треугольника, также является биссектрисой и высотой.

А что будет, если еще и третья сторона получится той же длины? Тогда этот треугольник равносторонний или правильный.


А чему равен каждый угол в равностороннем треугольнике? Сумма 180°, но все углы равны, они лежат против одинаковых сторон. Значит, один угол будет равен 180°/3 = 60°

А есть еще какие-то треугольники? Есть прямоугольный. 

Прямоугольный треугольник — треугольник, у которого один угол равен 90° (прямой угол).

А два угла в треугольнике могут быть по 90°? Нет, тогда третьему углу останется 0°, нарисуешь такой?

Полезные свойства: 

1) Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

Гипотенуза будет в два раза больше катета и равна 16.

2) Медиана, проведенная из прямого угла, равна половине гипотенузы.

3) Теорема Пифагора 

Теорема, которая встречается в 60% задач, а если дан прямоугольный треугольник — в 90%. 

Квадрат гипотенузы (стороны против угла в 90°) равен сумме квадратов катетов. 

Теорема Пифагора — это частный случай теоремы косинусов, но о ней мы потом поговорим.

Задача №6. Дано на рисунке:

В ΔABC равнобедренный: ∠BAC = ∠BCA = 30°

Опустим высоту из вершины В:

В равнобедренном треугольнике высота так же будет являться биссектрисой и высотой, значит AH = 18. 

В ΔABH ∠A = 30°, скажем что BH = a, тогда AB = 2a. (против угла в 30° лежит катет в два раза больше гипотенузы)

В ΔABH по т. Пифагора:

Ответ: 6√3.

Задача №7. ΔMNK ∼  ΔM₁N₁K₁. Площадь ΔMNK = 75, а площадь ΔM₁N₁K₁ = 225. Стороны соотносятся по названию. M₁N₁ = 9, чему равна MN

Вспомним про коэффициент подобия в площадях треугольника: если в подобных треугольниках отношение сторон равно k, тогда площади этих треугольников будут относится, как k²:

225/75 = 3 = k² => k = √3 

M₁N₁/MN = k => MN = M₁N₁/k = 9/√3 = 3√3

Ответ: 3√3

Отлично, поздравляю тебя с Beginnerом по геометрии. 

Вторая часть по треугольникам − площадь треугольников, свойства треугольников, тригонометрия в прямоугольных треугольниках, что такое синус/косинус, таблицы Брадиса (как пользоваться), теорема синусов и косинусов

Если нашел опечатку, или что-то непонятно − напиши.

Смежные и вертикальные углы — презентация онлайн

1. Смежные и вертикальные углы

№1. Один из четырёх
углов, образованных при
пересечении двух прямых
360. Найдите остальные
углы.

2. Смежные и вертикальные углы

№2. Два угла с общей
вершиной равны. Будут ли
они вертикальными?

3. Смежные и вертикальные углы

0
48
№3. Один из углов

другой 1320 .Будут ли углы
смежными?

4. Смежные и вертикальные углы

№4. Разность 2-х смежных
углов равна 300. Найдите
эти углы?

5. Смежные и вертикальные углы

№5. Градусные меры 2-х
смежных углов относятся
как 7:5. Найдите эти углы?

6. Треугольники и их элементы

№6.
Середину стороны МК
треугольника МКР соединили
с вершиной Р. Как называется
этот отрезок?

7. Треугольники и их элементы

№7.
В треугольнике CDE отрезок
DM провели так, что угол
DME прямой. Как
называется отрезок DM?

8. Треугольники и их элементы

№8.
В равнобедренном
треугольнике основание равно
боковой стороне. Как
называется такой треугольник?

9. Треугольники и их элементы

№9.
В треугольнике АВС биссектриса,
проведённая из вершины А, не
совпадает с высотой, проведённой из
той же вершины. Может ли
треугольник оказаться
а)равнобедренным?
б) равносторонним?

10. Треугольники и их элементы

№10.
Могут ли биссектрисы двух
углов треугольника быть
взаимноперпендикулярными?

11. Признаки равенства треугольников

№11.
У треугольников АВС и А1В1С1
равны АС и А1С1 и углы А и
А1.Равенство каких сторон или
углов можно установить, чтобы
воспользоваться 1-ым признаком
равенства треугольников?

12. Признаки равенства треугольников

№12.
Стороны одного треугольника
30см; 40см; 0,5м. Стороны
другого треугольника 3дм;
4дм; 5дм. Равны ли эти
треугольники?

13. Признаки равенства треугольников

№13.
Сколько пар равных углов нужно
найти, доказывая равенство
треугольников:
а) по определению;
б) по1-му признаку;
в) по 2-му признаку;
г) по 3-му признаку.

14. Признаки равенства треугольников

№14.
В неравных треугольниках АВС и
МЕК стороны АВ и ВС равны
соответственно сторонам МЕ и
ЕК. Может ли сторона АС быть
равной стороне МК?

15. Признаки равенства треугольников

№15.
Будут ли
равны
треугольники
АВС и АМК ?

Признаки равенства треугольников | Геометрия

Два треугольника считаются равными, если их можно совместить наложением. Но, чтобы не выполнять каждый раз наложение, для доказательства равенства треугольников, установили три признака, по которым можно определить, совместятся треугольники или нет. Эти признаки называются признаками равенства треугольников.

Первый признак равенства треугольников

Теорема:

Два треугольника равны, если у них равны две стороны и угол, лежащий между этими сторонами.

Доказательство:

Рассмотрим два треугольника  ABC  и  A1B1C1,  у которых:

 AB = A1B1AC = A1C1∠A = ∠A1.

Требуется доказать, что

ABC = A1B1C1.

Если наложить  A1B1C1  на  ABC  так, чтобы точка  A1  совместилась с точкой  A  и сторона  A1B1  совместилась со стороной  AB,  то точка  B  совместится с точкой  B1,  так как  A1B1 = AB.  Сторона  A1C1  совместится со стороной  AC,  так как  ∠A = ∠A1.  Точка  C1  совпадёт с точкой  C,  так как  A1C1 = AC.  Стороны  B1C1  и  BC  совместятся, так как совместились их концы. Таким образом, треугольники совместятся. Теорема доказана.

Второй признак равенства треугольников

Теорема:

Два треугольника равны, если у них равна одна из сторон и два прилежащих к ней угла.

Доказательство:

Рассмотрим два треугольника  ABC  и  A1B1C1,  у которых:

 AC = A1C1,  ∠A = ∠A1  и  ∠C = ∠C1.

Требуется доказать, что

ABC = A1B1C1.

Если наложить  A1B1C1  на  ABC  так, чтобы точка  A1  совместилась с точкой  A  и сторона  A1C1  совместилась со стороной  AC,  то точка  C1  совпадёт с точкой  C,  так как  A1C1 = AC.  Сторона  A1B1  совпадёт со стороной  AB,  так как  ∠A = ∠A1.  Сторона  C1B1  совпадёт со стороной  CB, так как  ∠C = ∠C1.  Вершина  B1  совпадёт с вершиной  B,  так как  B  и  B1  будут служить точками пересечения одних и тех же отрезков. Таким образом, треугольники совместятся. Теорема доказана.

Третий признак равенства треугольников

Теорема:

Два треугольника равны, если три стороны одного треугольника равны трём сторонам другого.

Доказательство:

Рассмотрим два треугольника  ABC  и  A1B1C1,  у которых:

AB = A1B1,  BC = B1C1,  AC = A1C1.

Требуется доказать, что

ABC = A1B1C1.

Приложим треугольники  ABC  и  A1B1C1  один к другому так, чтобы вершина  A  совместилась с  A1,  вершина  C  — с  C1, а вершины  B  и  B1  оказались по разные стороны от прямой  AC.

Соединив точки  B  и  B1,  получим два равнобедренных треугольника  BAB1  и  BСB1.

В треугольнике  BAB1  1 = 4,  в  BСB1  2 = 3  (как углы при основании). Следовательно,

1 + 2 = 4 + 3,  поэтому  ∠ABC = ∠AB1C.

Итак,  AB = A1B1BC = B1C1∠ABC = ∠A1B1C1.

Из этого следует, что треугольники  ABC  и  A1B1C1  равны по первому признаку равенства треугольников. Теорема доказана.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Для прямоугольных треугольников, кроме перечисленных трёх признаков равенства, имеются ещё дополнительные признаки, так как у них у всех есть прямой угол, а все прямые углы равны между собой.

Два прямоугольных треугольника будут равны в следующих четырёх случаях:

  1. Если катеты одного треугольника равны катетам другого.
  2. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного треугольника равны катету и прилежащему к нему острому углу другого.
  3. Если гипотенуза и острый угол одного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого.
  4. Если гипотенуза и катет одного треугольника равны гипотенузе и катету другого.

Теорема Пифагора

Чтобы лучше понять некоторые проблемы, связанные с самолетами и двигательная установка необходимо использовать некоторые математические идеи из тригонометрия изучение треугольников. Давайте начнем с некоторых определений и терминологии, которые мы будем использовать на этом слайде. Начнем с прямоугольного треугольника . Прямоугольный треугольник — это трехсторонняя фигура с одним углом, равным 90 градусам. Угол 90 градусов называется прямым углом , и отсюда прямоугольный треугольник получил свое название.Определим сторону треугольника противоположную от прямого угла к — гипотенуза , h . Это самая длинная из трех сторон. прямоугольного треугольника. Слово «гипотенуза» происходит от двух греческих слов. означает «растягивать», так как это самая длинная сторона. Мы собираемся обозначить две другие стороны a и b . Теорема Пифагора — это утверждение, относящееся к длинам сторон любого прямоугольного треугольника .

Теорема утверждает, что:

Для любого прямоугольного треугольника квадрат гипотенузы
равен сумме квадратов двух других сторон.2

25 = 9 + 16

Пифагор обобщил результат на любой прямоугольный треугольник. Есть много разных алгебраические и геометрические доказательств теоремы. Большинство из них начинаются с построение квадратов по эскизу основного прямоугольного треугольника. На рисунке в В верхней части этой страницы мы показываем квадраты, нарисованные на трех сторонах треугольника. Квадрат — это частный случай прямоугольника, у которого все стороны равны. в длину. В площадь прямоугольника — это произведение сторон.2 квадрата, начерченного на стороне b .

Вот интерактивная программа на Java, которая позволяет убедиться, что эта взаимосвязь областей верна:

На этой странице показан интерактивный Java-апплет, демонстрирующий теорему Пифагора.

Начнем с прямоугольного треугольника, на котором мы построили квадраты с двух сторон, один красный и один синий. Мы собираемся разбить эти два квадрата на части и переместить их в серый квадрат на гипотенузе.Мы не потеряем материал во время операция. Итак, если мы можем точно заполнить квадрат гипотенузы, мы показали, что площади равны. Вы работаете со строительством, нажимая на кнопка с надписью «Далее». Вы можете вернуться «Назад» и повторить раздел или вернуться к началу, нажав «Сброс».

Что он делает? На первом шаге треугольник поворачивается вниз на синий квадрат. Этот разрезает синий квадрат на три части, два треугольника и красный прямоугольник.Два треугольника точно такого же размера, как и исходный треугольник. «Дно» исходного треугольника точно соответствует вертикальная сторона квадрата, потому что стороны квадрата равны. Красный прямоугольник имеет вертикальные стороны, равные основанию исходного треугольника, а его горизонтальные стороны равны разнице между «нижней» стороной и «вертикальная» сторона исходного треугольника. Используя терминологию из рисунка вверху этой страницы, размеры красного прямоугольника:

длина по вертикали = b

длина по горизонтали = b — a

Следующий шаг — переместить красный прямоугольник. над прилегающей к красной площади.Прямоугольник выступает из верхней части красного квадрата. и два треугольника остаются в синем квадрате. Следующим шагом является перемещение одного из синие треугольники вертикально переходят в квадрат гипотенузы. Он подходит ровно по бокам в квадрат гипотенузы, потому что стороны квадрата равны. Следующий шаг — переместить другой синий треугольник в квадрат гипотенузы. (Мы на полпути!) Следующий шаг состоит в том, чтобы сдвинуть форму исходного треугольника влево в красную область. Треугольник разрезает красную область на три части, два треугольника и небольшой желтый квадрат.Исходный треугольник точно попадает в эту область по двум причинам; вертикальные стороны идентичны, а горизонтальная сторона красной области равна длина красного квадрата плюс горизонтальная длина красного прямоугольника, который мы взолнованный. Горизонтальная длина красной области составляет:

длина по горизонтали = a + (b — a) = b

Горизонтальная длина красной области точно равна длине горизонтальной стороны. исходного треугольника. Желтый квадрат имеет размеры b — по с каждой стороны.Следующий шаг — переместить один из красных треугольников в квадрат гипотенузы. Опять же, это идеально подходит. Следующий шаг — переместить последний красный треугольник в квадрат гипотенузы. Теперь, если мы посмотрим на серый квадрат, который остается в квадрат гипотенузы, видим, что его размеры b — ; длинная сторона треугольника за вычетом короткой стороны. Последний шаг — переместить желтый квадрат в эта дыра. Он идеально подходит, и мы использовали весь материал оригинального красного цвета. и синие квадраты.


Действия:

Экскурсии с гидом

Навигация ..


Руководство для начинающих Домашняя страница

Вертикальные углы в геометрии: определение и примеры — стенограмма видео и урока

Вертикальные углы: другие примеры

Давайте рассмотрим еще несколько примеров вертикальных углов.

Линия c пересекает две линии: a и b .На каждом пересечении образуются вертикальные углы. Вертикальные пары углов следующие:

1 и 6
2 и 5
3 и 8
4 и 7

Вертикальные углы: свойство конгруэнтности

Основным свойством вертикальных углов является то, что они равны конгруэнтности . Другими словами, у них одинаковая угловая мера. Здесь, если мы добавим угловые меры, мы увидим, что вертикальные углы совпадают.

Доказательство

Давайте сделаем для этого простое доказательство.Прежде чем мы начнем, мы должны признать некоторые определения и теоремы в геометрии. Прежде всего, линейная пара углов — это пара смежных углов. Их необщие стороны всегда противоположные лучи. Кроме того, углы, образующие линейную пару, также равны дополнительным , поэтому их сумма всегда равна 180 градусам. Вот наше доказательство.

1. Прямые m и n пересекаются, образуя углы 1, 2, 3 и 4 (данные).
2. Углы 1 и 2 являются линейной парой, поэтому они являются дополнительными (определение линейной пары).
3. Угол 1 + угол 2 = 180 градусов (определение дополнительных углов).
4. Углы 2 и 3 являются линейной парой, поэтому они являются дополнительными (определение линейной пары).
5. Угол 2 + угол 3 = 180 градусов (определение дополнительных углов).
6. Угол 1 + угол 2 = угол 2 + угол 3 (замена; см. Утверждения 3 и 5).
7. Угол 1 = угол 3 (вычтите угол 2 из уравнения в утверждении 6).
QED (наше доказательство завершено)

Определение угловых мер

Теперь решим задачу! Если угол 1 равен 115 градусам, каковы размеры других углов?

Угол 3 составляет 115 градусов, потому что углы 1 и 3 представляют собой пару вертикальных углов. Углы 1 и 2 представляют собой линейную пару, поэтому их сумма составляет 180 градусов; следовательно, угол 2 составляет 180 — 115 = 65 градусов. Угол 4 составляет 65 градусов, потому что углы 2 и 4 представляют собой пару вертикальных углов.

Чем не являются вертикальные углы

Давайте закончим этот урок, показав еще один не пример вертикальных углов. Здесь углы 1 и 3 не являются парой вертикальных углов. Несмотря на то, что они имеют общую вершину и не являются смежными, они не образованы одной и той же парой пересекающихся линий. Угол 1 образован линиями r и t , а угол 3 образован линиями s и t .

Резюме урока

Когда две линии пересекаются, они образуют две пары вертикальных углов .Вертикальные углы имеют общую вершину, но никогда не являются смежными углами. Наконец, вертикальные углы всегда совпадают.

Ключевые термины

Углы в природе

Вертикальные углы — пара несмежных углов, образующихся при пересечении двух линий

Смежные углы — два угла с общей стороной

Конгруэнтные углы — углы, имеющие одинаковую величину угла

Линейная пара — пара смежных углов

Дополнительные — углы, сумма которых составляет 180 градусов

Результаты обучения

После этого видео вы сможете:

  • Определить вертикальные углы
  • Различение вертикальных и смежных углов
  • Опишите свойства вертикальных углов
  • Найдите величину угла на основе ваших знаний о вертикальных углах

Фиолетовые треугольники вертикальные жалюзи | Декошейкер

Пурпурные треугольники

Некоторые люди склонны упускать из виду красивый эффект, который хорошая шторка производит на их окна.Красивые произведения искусства, такие как вертикальные жалюзи с фиолетовыми треугольниками с уникальным дизайном, цветами, оттенками и формами, необходимы для украшения вашего окна. Эти произведения искусства можно разместить на окне или двери гостиной или кухни в виде вертикальных жалюзи.

Преимущества оконных жалюзи

Эти вертикальные и горизонтальные жалюзи обладают множеством преимуществ по разумной цене. При размещении на окне эти произведения искусства могут помочь сохранить вашу конфиденциальность и ограничить количество посторонних глаз, которые могут получить доступ к вашему дому.


Помимо того, что эти прекрасные произведения искусства являются хорошим источником защиты от вторжений в частную жизнь, они могут помочь ограничить попадание лучей света в вашу комнату. Вы взглянули на вертикальные жалюзи Purple triangles , они специально разработаны для этой цели. Эти милые конструкции вертикальных жалюзи хороши для спальни.


Качественные произведения искусства от Decoshaker имеют компактные размеры, что упрощает процесс установки. Летом эти прекрасные произведения искусства могут ограничить поступление тепла в вашу комнату, а зимой они могут не дать температуре в вашей комнате достичь точки замерзания.Это отличный способ сэкономить на отоплении.


Если вам нужна формальная атмосфера, яркая или теплая атмосфера, эти прекрасные произведения искусства помогут вам создать ту атмосферу, которую вы хотите. Сейчас они используются в большинстве современных домов, и ваш дом нельзя оставлять позади.

Обработка окон от Decoshaker

Чтобы получить эти современные дизайны, вы можете выбрать один из множества типов рисунков, форм, цветов, оттенков и размеров или вы можете загрузить изображение по вашему выбору.Decoshaker — это место в сети, где вы можете получить качественные услуги.


Помимо того, что это подходящее место, где вы можете купить качественные произведения искусства для своего окна в Интернете, Decoshaker также предлагает услуги по обработке окон. Обработка окон сделает вашу комнату более привлекательной. Вы можете получить все эти услуги по невысокой цене. Свяжитесь с Decoshaker сегодня.

Vertical Doors® GR8CFDCT0714 — Треугольники входных дверей из углеродного волокна German Rush ™

Треугольники входных дверей German Rush ™ от Vertical Doors®.Этот продукт изготовлен из высококачественных материалов, чтобы прослужить вам долгие годы. Этот продукт German Rush, разработанный с использованием новейших технологий и с учетом интересов клиентов, прослужит всю жизнь. Он удовлетворит ваши потребности и обеспечит отличное качество по доступной цене. Требуется профессиональная установка.

Примечания:

  • Это продукт по специальному заказу и, следовательно, не подлежит отмене и возврату.

Технические характеристики:

Материал: Углеродное волокно
Количество: 2 шт. особые потребности
  • Специально очерченный и формованный для вашей марки и модели автомобиля
  • С гордостью изготовлен в США
  • Вертикальные двери — это отличные продукты, доступные по конкурентоспособной цене.Компания делает все возможное, чтобы предоставить вам наилучшие решения. Вся продукция Vertical Doors производится с тщательной тщательностью и создается профессионалами в соответствии со всеми вашими требованиями. Вертикальные двери не приемлют компромиссов, когда речь идет о качестве, поэтому вы можете быть уверены, что все продукты имеют только высшее качество. Компания Vertical Doors, обладающая многолетним производственным опытом, — это имя, которому можно доверять.

    Vertical Doors, Inc.® Все системы представляют собой высококачественные комплекты, аналогичные концепции дверей Lamborghini.Это полностью продуманная и протестированная система. Превосходный дизайн, материалы, производство, безопасность, производительность и стиль — компания Vertical Doors Inc. является лидером отрасли и известна своим качеством и отличным обслуживанием клиентов. Сделано в США ПАТЕНТ США № 6,808,223; 6 845 547 и 7 059 655 и другие заявленные патенты. Эта система — все, что вам нужно для успешного, надежного и экономичного преобразования за минимальное время. * Рекомендуется профессиональная установка.

    3 модели треугольников, которые должен знать каждый трейдер Forex

    Треугольник имеет три основных разновидности и часто встречается на рынке форекс.Эти модели позволяют трейдерам лучше понять будущее движение цены и возможное возобновление текущего тренда. Однако не все образования треугольников можно интерпретировать одинаково, поэтому важно понимать каждый образец треугольника индивидуально.

    Шаблоны треугольников Forex Основные темы для обсуждения:

    • Определение шаблона треугольника
    • Объяснение симметричных треугольников
    • Шаблоны восходящих и нисходящих треугольников
    • Ключевые моменты, которые следует помнить при торговле шаблонами треугольников

    Проверьте свои знания шаблонов Forex с нашими интерактивная викторина по моделям торговли на Форекс

    Что такое треугольник?

    Треугольник на форексе — это модель консолидации, которая возникает в середине тренда и обычно сигнализирует о продолжении существующего тренда.Паттерн треугольной диаграммы формируется путем рисования двух сходящихся линий тренда, когда цена временно движется в боковом направлении. Трейдеры часто ищут последующий прорыв в направлении предшествующего тренда как сигнал для входа в сделку.

    В этой статье используются иллюстрации линейных диаграмм для представления трех моделей треугольных диаграмм. Трейдеры должны ознакомиться с тремя графиками технического анализа и выяснить, какой из них подходит им лучше всего, хотя большинство предпочитает использовать графики форекс-свечей.

    Симметричные треугольники

    Симметричный треугольник можно рассматривать как отправную точку для всех вариаций треугольника. Как следует из названия, треугольник можно увидеть после нанесения на график двух сходящихся линий тренда.

    Разница между симметричным треугольником и другими формами треугольника состоит в том, что симметричный треугольник является нейтральным узором и не наклоняется ни в каком направлении. Хотя сам треугольник нейтрален, он по-прежнему поддерживает направление существующего тренда, и трейдеры ищут прорывы в направлении тренда.

    Торговая стратегия с симметричным треугольником

    Треугольники представляют собой эффективный метод измерения для торговли на прорыве, и этот метод также может быть адаптирован и применен к другим вариантам.

    График AUD / USD ниже показывает симметричный треугольник. Расстояние по вертикали между верхней и нижней линией тренда можно измерить и использовать для прогнозирования соответствующей цели, как только цена выйдет за пределы симметричного треугольника.

    Важно отметить, что нахождение идеального симметричного треугольника крайне редко и что трейдеры не должны слишком торопиться, чтобы аннулировать несовершенные модели.Трейдеры должны понимать, что анализ треугольников — это не столько поиск идеального паттерна, сколько понимание того, что рынок сообщает через ценовое действие.

    Модель восходящего треугольника

    Модель восходящего треугольника похожа на симметричный треугольник, за исключением того, что верхняя линия тренда плоская, а нижняя линия тренда растет. Эта модель указывает на то, что покупатели более агрессивны, чем продавцы, поскольку цена продолжает достигать более высоких минимумов. Цена приближается к плоской верхней линии тренда, и чем больше таких случаев, тем больше вероятность, что она в конечном итоге прорвется вверх.

    Торговая стратегия восходящего треугольника

    Восходящий треугольник можно увидеть в Индексе доллара США ниже. От существующего восходящего тренда следует период консолидации, который формирует восходящий треугольник. Трейдеры могут еще раз измерить вертикальное расстояние в начале формирования треугольника и использовать его при прорыве, чтобы спрогнозировать уровень тейк-профита. В этом примере довольно близкий стоп может быть размещен на недавнем минимуме колебания, чтобы уменьшить риск падения.

    Модель нисходящего треугольника

    Модель нисходящего треугольника, с другой стороны, характеризуется нисходящей верхней линией тренда и плоской нижней линией тренда.Эта модель указывает на то, что продавцы более агрессивны, чем покупатели, поскольку цена продолжает достигать более низких максимумов.

    Торговая стратегия нисходящего треугольника

    Ниже приведен хороший пример паттерна нисходящего треугольника, появляющегося на GBP / USD. Нисходящий тренд ведет к периоду консолидации, когда продавцы перевешивают покупателей и медленно понижают цену. Сильный прорыв нижней линии тренда дает трейдерам возможность открыть короткую позицию. В этом примере позиция быстро переместится в противоположном направлении, что подчеркивает важность установки соответствующего стоп-уровня.

    Уровень тейк-профита устанавливается с использованием вертикального расстояния, измеренного в начале формирования нисходящего треугольника.

    Торговля с использованием треугольников: ключевые моменты, о которых следует помнить

    • Всегда обращайте внимание на направление тренда до периода консолидации.
    • Используйте верхнюю и нижнюю линии тренда, чтобы определить, какой треугольник формируется.
    • Используйте метод измерения, описанный выше, для прогнозирования подходящих целевых уровней.
    • Придерживайтесь разумной практики управления рисками, чтобы снизить риск ложного прорыва и обеспечить поддержание положительного отношения риска к прибыли во всех сделках.

    Дополнительная литература по моделям торговли на Форекс

    Углы и параллельные линии (предварительная алгебра, введение в геометрию) — Mathplanet

    Когда две прямые пересекаются, они образуют две пары противоположных углов, A + C и B + D. Другое слово для обозначения противоположных углов — вертикальные углы.

    Вертикальные углы всегда совпадают, что означает, что они равны.

    Соседние углы — это углы, выходящие из одной вершины. Соседние углы имеют общий луч и не перекрываются.

    Размер угла xzy на рисунке выше является суммой углов A и B.

    Два угла считаются дополнительными, если сумма двух углов составляет 90 °.

    Два угла считаются дополнительными, если сумма двух углов составляет 180 °.

    Если у нас есть две параллельные линии и есть третья линия, которая их пересекает, как на картинке ниже — линия пересечения называется поперечной.

    Когда трансверсаль пересекается с двумя параллельными линиями, получается восемь углов.

    Восемь углов вместе образуют четыре пары соответствующих углов. Углы 1 и 5 составляют одну из пар. Соответствующие углы равны. Все углы, которые имеют одинаковое положение относительно параллельных линий и трансверсали, представляют собой соответствующие пары, например 3 + 7, 4 + 8 и 2 + 6.

    Углы, которые находятся в области между параллельными линиями, такими как угол 2 и 8 выше, называются внутренними углами, тогда как углы, которые находятся снаружи двух параллельных линий, таких как 1 и 6, называются внешними углами.

    Углы, которые находятся на противоположных сторонах поперечной оси, называются альтернативными углами, например 1 + 8.

    Все углы, которые являются внешними углами, внутренними углами, альтернативными углами или соответствующими углами, являются конгруэнтными.


    Пример

    На рисунке выше показаны две параллельные линии с трансверсалью. Угол 6 равен 65 °. Есть ли другой угол, который также составляет 65 °?

    6 и 8 являются вертикальными углами и, следовательно, совпадают, что означает, что угол 8 также равен 65 °.

    6 и 2 являются соответствующими углами и, таким образом, совпадают, что означает, что угол 2 составляет 65 °.

    6 и 4 являются альтернативными внешними углами и, следовательно, совпадают, что означает, что угол 4 составляет 65 °.


    Видеоурок

    Найдите размеры всех углов на рисунке

    конгруэнтных доказательств треугольника (часть 3)

    Вы видели, как использовать SSS и ASA, но на самом деле есть несколько других способов показать, что два треугольника совпадают.Здесь мы покажем еще два метода и доказательства, которые его используют.

    Метод 3: SAS (Сторона, Угол, Сторона)

    Подобно методу 2, мы можем использовать две пары конгруэнтных сторон и пару конгруэнтных углов, расположенных между сторонами, чтобы показать, что два треугольника конгруэнтны.

    На этой диаграмме. Это показывает, что две стороны и входящий угол одинаковы в каждом треугольнике. Мы называем это SAS или Side, Angle, Side.

    Мы можем использовать SAS, чтобы показать, что два треугольника конгруэнтны, или использовать его для доказательства других возможных фактов о треугольниках.

    Вот пример:

    1. Учитывая

    Докажите, что

    Как и в других доказательствах, обязательно начните с показа предоставленной информации.

    Заявления Причины
    1. BC ≅ DC 1. Дано
    2. AC ≅ EC 2. Дано

    Затем используйте другую информацию, которую вы можете получить из диаграммы. Например, мы видим, что
    Заявления Причины
    1.BC ≅ DC 1. Дано
    2. AC ≅ EC 2. Дано
    3. 3. Вертикальные углы

    Теперь мы показали, что у каждого треугольника есть соответствующие части, показывающие SAS или Side Angle Side. Следовательно, два треугольника совпадают.
    Заявления Причины
    1. BC ≅ DC 1. Дано
    2. AC ≅ EC 2. Дано
    3. 3. Вертикальные углы
    4. ΔABC ≅ ΔEDC 4. SAS

    Наконец, мы можем показать, что другая пара соответствующих сторон конгруэнтна, потому что треугольники конгруэнтны. Напомним, что причина этого сокращается до CPCTC.
    Заявления Причины
    1. BC ≅ DC 1. Дано
    2. AC ≅ EC 2. Дано
    3. 3. Вертикальные углы
    4. ΔABC ≅ ΔEDC 4. SAS
    5. BA ≅ DE 5. CPCTC

    Метод 4: AAS (угол, угол )

    Мы также можем показать, что два треугольника конгруэнтны, показав два угла и невключенная сторона одного треугольника, соответствующие и совпадающие с двумя углами и невключенной стороной другого треугольника.

    Здесь мы видим, что AC ≅ ZX.Это показывает, что в этих двух треугольниках два угла и невключенная сторона в ΔABC конгруэнтны двум углам и невключенной стороне ΔZYX. Следовательно, ΔABC ≅ ΔZYX.

    Вот еще одно доказательство с использованием AAS.

    2. Дано: EA ≅ EC

    Докажите: B — это средняя точка AC.

    Во-первых, давайте взглянем на данную информацию.


    Дано: EA ≅ EC

    Нам нужно использовать эту информацию, чтобы показать, что ΔABF ≅ ΔCBF.Тогда мы сможем сказать, что AB ≅ CB. Если эти два сегмента совпадают, то точка B должна быть средней, потому что она будет прямо посередине. Итак, теперь задача состоит в том, чтобы показать, что эти два треугольника конгруэнтны.

    равнобедренных углов.
    Утверждения Причины
    EA ≅ EC Учитывая
    Δ AEC равнобедренный Определение равнобедренных

    Сначала мы показали, что два верхних угла совпадают. Далее мы покажем, что BF ≅ BD.
    Утверждения Причины
    EA ≅ EC Учитывая
    Δ AEC равнобедренный Определение равнобедренных
    равнобедренных сторон.
    Дано
    BF ≅ BD Если углы совпадают, стороны совпадают.

    Пока у нас есть пара соответствующих конгруэнтных углов и пара соответствующих конгруэнтных сторон. Далее мы можем показать, что еще одна пара соответствующих углов конгруэнтна.
    Утверждения Причины
    EA ≅ EC Учитывая
    Δ AEC равнобедренный Определение равнобедренных
    равнобедренных сторон.
    Дано
    BF ≅ BD Если углы совпадают, стороны совпадают.
    Дано
    Если два конгруэнтных угла вычитаются из двух конгруэнтных углов, разница составляет конгруэнтные углы.

    Теперь у нас есть две пары углов и пара сторон, которые не включены, что показывает, что два треугольника конгруэнтны. Мы будем использовать CPCTC, чтобы показать, что стороны AB и CB также совпадают.
    Утверждения Причины
    EA ≅ EC Учитывая
    Δ AEC равнобедренный Определение равнобедренных
    равнобедренных сторон.
    Дано
    BF ≅ BD Если углы совпадают, стороны совпадают.
    Дано
    Если два конгруэнтных угла вычитаются из двух конгруэнтных углов, разница составляет конгруэнтные углы.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

    © 2015 - 2019 Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение «Таловская средняя школа»

    Карта сайта