Вертикальные треугольники: Вертикальные углы | Треугольники

Решение. Треугольники АСВ и ADB имеют одну общую сторону АВ и по два равных угла, которые прилежат к этой стороне. Следовательно, треугольники АСВ и ADB равны (по второму признаку). Из равенства этих треугольников следует равенство сторон BD и АС, т. е. BD = 13 м.

Презентация на тему: 7 класс. I часть. Решение задач. Треугольники. Вертикальные углы. Смежные углы

1

Первый слайд презентации

7 класс. I часть. Решение задач. Треугольники. Вертикальные углы. Смежные углы.

Изображение слайда

2

Слайд 2

1. В Ответ (2) А С D Подсказка Периметр треугольника? Дано: Найти: стороны

Изображение слайда

3

Слайд 3

2. В Ответ А С Подсказка Чему равна сумма смежных? Дано: Найти: ? D F

Изображение слайда

4

Слайд 4

3. В Ответ А С Подсказка (2) Сумма смежных углов равна … Дано: Найти: ? D F

Изображение слайда

5

Слайд 5

4. Е Ответ А С В Подсказка Периметр треугольника? Дано: Найти:

Изображение слайда

6

Слайд 6

5. В Ответ А С Дано: Найти: ? О 120 0 120 0

Изображение слайда

7

Слайд 7

6. В Ответ А С D Подсказка Периметр треугольника? Дано: Найти: О

Изображение слайда

8

Слайд 8

Первый признак равенства треугольников. А А 1 В В 1 С С 1

Изображение слайда

9

Слайд 9

7. В А С A 1 Подсказка Дано: Доказать: B 1 С 1 Вывод Необходимо доказать равенство отрезков АС и А 1 С 1.

Изображение слайда

10

Слайд 10

8. В Вывод А Р Подсказка Необходимо доказать равенство треугольников A ОТ и B ОР. Т О Дано: Доказать: РО = ОТ

Изображение слайда

11

Слайд 11

9. В Вывод А С Подсказка Необходимо доказать равенство треугольников A ВС и С D А. D Дано: Доказать:

Изображение слайда

12

Слайд 12

10. В Вывод А С Подсказка Необходимо доказать равенство треугольников A ВН и СВН. Н Дано: Доказать:

Изображение слайда

13

Слайд 13

11. В А С Подсказка (2) Необходимо воспользоваться равенством Δ A ВН = Δ СВН. Н Дано: Доказать: Необходимо вспомнить свойство смежных углов.

Изображение слайда

14

Слайд 14

12. В А С Подсказка Необходимо вспомнить определение вертикальных углов. D Дано: Доказать: O

Изображение слайда

15

Слайд 15

13. В Вывод А С Подсказка (2) Необходимо доказать равенство треугольников ABD и CBD. D Дано: Доказать: 1 2

Изображение слайда

16

Слайд 16

14. В Ответ А С Подсказка Необходимо доказать равенство треугольников AD С и А B С. D 1 2 Дано: Найти:

Изображение слайда

17

Слайд 17

15. В Ответ А С Подсказка Необходимо доказать равенство треугольников A ВС и А D С. D 1 2 Дано: Найти:

Изображение слайда

18

Слайд 18

1 6. В Ответ А С Подсказка (2) Необходимо доказать равенство треугольников A В E и С DE. D 1 2 Дано: Найти: E Необходимо вспомнить свойство смежных углов.

Изображение слайда

19

Слайд 19

Вертикальные углы. В А О C D

Изображение слайда

20

Слайд 20

Смежные углы. В А О C

Изображение слайда

21

Слайд 21

Периметр треугольника. В А C

Изображение слайда

22

Слайд 22

Пусть x – коэффициент пропорциональности, тогда,  BOC = 25 x ;  AO В = 11 x. Так как  AO В +  BOC = 180, то 11 x + 25x = 180 ; 36 x = 180; x = 5. Следовательно,  BOC = 125  ;  AO В = 5 5. Пример оформления задачи: Дано :  AO В и  BOC – смежные;  BOC :  AO В = 25:11 Найти :  AO В ;  BOC. Решение.

Изображение слайда

23

Слайд 23

№1 Дано:  = 3 . Найти:  и . №2 ОС- биссектриса Найти  BOC №3 Найти  BOC

Изображение слайда

24

Слайд 24: Образец оформления решения задачи

При пересечении двух прямых образовалось четыре угла. Один из них равен 43 0. Найдите величины остальных углов. M O F P K 43 0 Дано: Найти: Решение: Ответ: 137 0, 43 0, 137 0 МК  PF = О МО F = 43 °  FOK, KOP, POM. МО F и KOP вертикальные, значит, по свойству вертикальных углов, МО F = KOP, KOP = 43 ° МО F +  FOK = 180 °, так как они смежные. Отсюда  FOK = 180 ° — 43 ° =137 °  FOK и POM вертикальные, значит  FOK = POM, POM =137 °

Изображение слайда

25

Слайд 25

Задача 4. Найдите углы, полученные при пересечении двух прямых, если один из углов равен 102 0. Задача 5. Найдите величины смежных углов, если один из них в 5 раз меньше другого. Задача 6. Чему равны смежные углы, если один из них на 30 0 больше другого? Задача 7. Найдите величину каждого из двух вертикальных углов, если их сумма равна 98 0. Задача 8. Найдите углы, полученные при пересечении двух прямых, если сумма трех углов равна 280 0.

Изображение слайда

26

Слайд 26

А В D С Найти: Задача 9 О углы АОВ и СОД

Изображение слайда

27

Слайд 27

А В С О Задача 10 Найти:

Изображение слайда

28

Слайд 28

А В С О Задача 11 Найти:

Изображение слайда

29

Слайд 29

С А В Д Найти: О Задача 12

Изображение слайда

30

Слайд 30

А В С Сравните и Задача 13

Изображение слайда

31

Слайд 31

А В С Докажите, что Задача 14

Изображение слайда

32

Слайд 32

А В С Докажите, что Задача 15

Изображение слайда

33

Последний слайд презентации: 7 класс. I часть. Решение задач. Треугольники. Вертикальные углы. Смежные углы

О Равны ли и ? А В С D E Задача 16

Изображение слайда

§ 2. Признаки равенства треугольников. Равнобедренный треугольник. Прямоугольный треугольник. Теоремы об углах. — ЗФТШ, МФТИ

Для повторения мы выбрали эти темы. Приводить доказательство теорем, содержащихся в учебнике, не будем, лишь напомним основные теоремы. Также обсудим некоторые важные вопросы, приведём примеры решения задач, докажем несколько дополнительных теорем (Всякое утверждение, сформулированное в общем виде и доказанное, есть теорема, но их так много и они часто столь просты, что наполнять ими учебник не имеет смысла, а вот учиться на них применению основных теорем, умению рассуждать, делать выводы, — очень полезно). Такие теоремы мы будем называть леммами.

В учебнике доказаны три признака равенства треугольников.

Первый признак: по двум сторонам и углу между ними.

Второй признак: по стороне и прилежащим к ней углам.

Третий признак: по трём сторонам.

Мы напомнили их краткую формулировку.

Отметим также важный момент. Запись равенства треугольников $$ △ABC=△KPM$$ означает: $$ \angle A=\angle K$$, $$ \angle B=\angle P$$, $$ \angle C=\angle M$$, $$ AB=KP$$, $$ AC=KM$$ и $$ BC=PM$$, т. е. соответствующие вершины стоят на соответствующих местах.

Когда это удобно, будем использовать обозначения: в треугольнике $$ ABC$$ углы обозначать $$ A$$, $$ B$$ и $$ C$$,

$$ a$$, $$ b$$ и $$ c$$ – стороны, противолежащие углам $$ A$$, $$ B$$ и $$ C$$,

$$ {h}_{a}$$, $$ {h}_{b}$$, $$ {h}_{c}$$ – высоты к сторонам $$ a$$, $$ b$$ и $$ c$$,

$$ {m}_{a}$$, $$ {m}_{b}$$, $$ {m}_{c}$$ – медианы к сторонам $$ a$$, $$ b$$ и $$ c$$.@`, и $$ △KAM=△KBC$$   Делаем вывод:  $$ KC=CM=KM$$ т. е. треугольник $$ KCM$$ – равносторонний.

(В решении использовано утверждение, что все углы равностороннего треугольника равны $$ 60°$$). 

II. Равнобедренный треугольник.

В учебнике доказаны теоремы:

Т1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Т2. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой.

Т3. (Признак равнобедренного треугольника). Если два угла в треугольнике равны, то он равнобедренный.

Обратим внимание, что признаком фигуры $$ A$$  называется теорема с формулировкой: «если имеет место … , то это фигура $$ A$$». Сформулируем следующие, часто применяемые в задачах, признаки равнобедренного треугольника:

а) если в треугольнике высота является медианой, то треугольник равнобедренный;

б) если в треугольнике высота является биссектрисой, то треугольник равнобедренный;

в) если в треугольнике медиана является биссектрисой, то треугольник равнобедренный.

Доказательство признака а) вполне простое. Если $$ BD\perp AC$$ и $$ AD=DC$$ (рис. 9), то $$ △ADB=△CDB$$ по двум сторонам ( $$ BD$$ – общая, $$ AD=DC$$) и углу между ними ($$ \angle ADB$$ смежный с $$ \angle BDC=90°$$  поэтому $$ \angle ADB=90°$$ ).

Из равенства треугольников следует $$ AB=BC$$ и треугольник $$ ABC$$ по определению равнобедренный.

Доказательство признака  б) Столь же простое,  докажите  его  самостоятельно.

Докажем признак  в) Пусть в треугольнике $$ ABC$$ биссектриса $$ BM$$ является медианой: $$ AM=MC$$ (рис. 10). На продолжении биссектрисы $$ BM$$ отложим отрезок $$ MD$$ равный $$ BM$$  Треугольники $$ ABM$$ и $$ CDM$$ равны по первому признаку: у них углы при вершине $$ M$$ равны, как вертикальные,  и $$ AM=CM$$, $$ BM=DM$$   Из равенства треугольников следует

$$ CD=AB$$                                                                               (1) 

и $$ \angle CDM=\angle ABM$$. Но $$ \angle ABM=\angle CBM$$ поэтому $$ \angle CDM=\angle CBM$$, т. е.  в  треугольнике $$ BCD$$ углы  при основании $$ BD$$  равны. По признаку Т3 этот треугольник равнобедренный: $$ BC=CD$$ Отсюда и из (1) заключаем: $$ BC=AB$$. Утверждение доказано.

В следующем примере применяются признак параллельности прямых и две теоремы об углах треугольника (и следствия этих теорем):

Т. Сумма углов треугольника равна $$ 180°$$.

Т. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не
смежных с ним.

Точка $$ K$$ лежит на основании $$ AC$$ равнобедренного треугольника $$ ABC$$ ($$ AB=BC$$). Через точку $$ K$$ проведена прямая, пересекающая прямую $$ AB$$ и отрезок $$ BC$$, при этом образовалось два равнобедренных треугольника (рис. 11).

Найти углы треугольника $$ ABC$$.

Решение

Обозначим точки пересечения $$ M$$ и $$ D$$.

1. Углы при основании равнобедренного треугольника равны и они острые, значит угол $$ MAK$$ – тупой.

2. В треугольнике может быть только один тупой угол, значит, если треугольник $$ MAK$$ равнобедренный, то равными могут быть только углы при вершинах $$ M$$ и $$ K$$. Обозначим их $$ \alpha $$.

3. $$ \angle BAK=2\alpha $$ (как внешний угол треугольника $$ MAK$$), $$ \angle BCA=2\alpha $$ (углы при основании равнобедренного треугольника равны) и $$ \angle DKC=\alpha $$ ($$ \angle DKC=\angle AKM$$ как вертикальные).

Расставим углы.

4. Треугольник $$ KDC$$ по условию равнобедренный. Возможны, вообще говоря, два случая: а) $$ \angle KDC=\alpha $$ и б) $$ \angle KDC=2\alpha $$.

а) Если $$ \angle KDC=\alpha $$, то накрест лежащие углы при секущей $$ MD$$ равны $$ \alpha $$; это по теореме означало бы параллельность прямых $$ MB$$ и $$ CB$$, что противоречит их пересечению. Этот случай невозможен.

б) Если $$ \angle KDC=2\alpha $$, то по теореме о сумме углов треугольника (для треугольника $$ KDC$$) $$ \alpha +2\alpha +2\alpha =180°$$ ,$$ \alpha =36°$$. Находим углы треугольника $$ ABC$$ :$$ \angle A=\angle C=2\alpha =72°$$ , $$ \angle B=180°-2·\angle A=36°$$. 

III. Для прямоугольных треугольников справедливы признаки равенства (их надо уметь доказывать):

1. по двум катетам;

2. по гипотенузе и катету;

3. по гипотенузе и острому углу;

4. по катету и острому углу.

Применяя признаки равенства прямоугольных треугольников, докажем ещё один признак равнобедренного треугольника:

Доказать, что если две высоты треугольника равны, то он равнобедренный.

Решение

Пусть высоты $$ A{A}_{1}$$ и $$ C{C}_{1}$$ треугольника $$ ABC$$ равны друг другу. 

1. (Треугольник остроугольный. Обе высоты внутри треугольника, (рис. 12а). Прямоугольные треугольники $$ A{A}_{1}B$$ и $$ C{C}_{1}B$$ равны по катету ($$ A{A}_{1}=C{C}_{1}$$) и противолежащему острому углу (угол $$ B$$ – общий). Тогда
равны их гипотенузы $$ AB=CB$$, а это и означает, что треугольник $$ ABC$$ равнобедренный.

2. (Треугольник тупоугольник, угол $$ В$$ тупой. Обе высоты вне треугольника, рис. 12б). Прямоугольные треугольники $$ A{A}_{1}B$$ и $$ C{C}_{1}B$$ имеют равные катеты $$ A{A}_{1}=C{C}_{1}$$ и равные противолежащие углы $$ \angle AB{A}_{1}=\angle CB{C}_{1}$$ как вертикальные . Треугольники равны, равны их гипотенузы $$ AB=CB$$. Треугольник $$ ABC$$ – равнобедренный.
3. Случай равенства двух высот равнобедренного треугольника, одна из которых внутри треугольника, другая – вне треугольника, невозможен. Действительно, если $$ B{B}_{1}=A{A}_{1}=h$$ (рис. 12в), то $$ △A{A}_{1}B=△B{B}_{1}A$$ по гипотенузе (у них общая $$ AB$$) и катету $$ A{A}_{1}=B{B}_{1}$$. Тогда $$ \angle BA{A}_{1}=\angle AB{B}_{1}$$ (обозначен $$ \alpha $$ ), т. е. накрест лежащие углы при секущей $$ AB$$ равны и прямые $$ A{A}_{1}$$ и $$ {B}_{1}B$$ параллельны, что неверно.
4. Если угол $$ B$$ – прямой, то высоты из вершин $$ A$$ и $$ C$$ совпадают с катетами $$ AB$$ и $$ CB$$. 
При равных высотах равны и катеты, треугольник $$ ABC$$ – равнобедренный. 

Доказать, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Решение

Точка $$ M$$ – середина гипотенузы $$ AB$$ прямоугольного треугольника $$ ABC$$ (рис. 13). Проведём через точку $$ M$$ прямую $$ MK\perp AC$$.

Из $$ BC\perp AC$$ и $$ MK\perp AC$$ следует $$ BC\parallel MK$$.

Из параллельности прямых $$ BC$$ и $$ MK$$ и равенства отрезков $$ BM$$ и $$ MA$$ по теореме Фалеса следует $$ CK=KA$$.

В прямоугольных треугольниках $$ CMK$$ и $$ AMK$$ катет $$ MK$$ общий и, как установили, равны катеты $$ CK$$ и $$ AK$$. Эти треугольники равны, значит, равны и их гипотенузы, т. е. $$ CM=AM$$, или $$ CM={\displaystyle \frac{1}{2}}AB$$.

Дополнение. Для многих учащихся при решении задач возникает проблема: с чего начать? С рисунка! В геометрической задаче очень важен рисунок, он должен отвечать условиям задачи, быть наглядной формой их записи.

Например, в задаче рассматривается равнобедренный треугольник. Его можно нарисовать по-разному (рис. 14а и 14б), поэтому сначала рисуют на черновике, от руки, и из других условий определяют вид треугольника.

Если сказано, что один отрезок в два раза длиннее другого, – отразите это на рисунке; если какие-то прямые параллельны – так и рисуйте, т. е. после таких рассмотрений делаете чёткий хороший рисунок, отвечающий условиям задачи.

Хороший рисунок – помощник в решении, особенно если на нём Вы отмечаете равные углы, перпендикулярность отрезков, отношение длин и т. п. и ставите данные задачи. Посмотрите, например, на рис. 7, 8, 11 и подумайте, как рисунок помогает в решении.

В треугольнике $$ ABC$$ медиана $$ BM$$ перпендикулярна биссектрисе $$ AD$$. Найти длину стороны $$ AB$$, если $$ AC=6$$.

Решение

△ 1. Подумаем, как построить рисунок. Возьмём луч $$ AK$$ (рис. 15) и отложим от точки $$ A$$ какие-то равные углы (т. е. считаем, что биссектриса $$ AD$$ лежит на этом луче).

Выберем точку $$ B$$, проведём через точку $$ B$$ прямую, перпендикулярно $$ AK$$ и отметим точку $$ M$$, $$ BM$$ – медиана, поэтому отложим отрезок $$ MC=MA$$. Треугольник $$ ABC$$ – тот, что нужен: $$ AD$$ – биссектриса, $$ BM$$ – медиана, $$ AD\perp BM$$.

2. Решение очевидно: $$ △ABO=△AMO$$ (по катету и острому углу), значит $$ AB=AM$$ и $$ AC=2AM=2AB$$. Зная, что $$ AC=6$$, находим $$ AB=3$$. 

Теория и задачи по треугольникам (Часть Ⅰ)

Вертикальные, смежные, соответственные, накрест лежащие углы. 

Равенство и подобие треугольников. 

Медиана, биссектриса, высота. 

Свойства треугольников. 

Площадь треугольников.

Кругом одна геометрия — круг друзей, квадрат врагов, треугольник любящих.

Ю. Татаркин

Давай на чистоту: геометрию трудно понимать, если не знаешь определенных теорем и свойств. Я постараюсь донести до тебя понятным языком только необходимое, а ты постарайся разобраться и запомнить!

Что такое луч, прямая, отрезок, угол, треугольник объяснять не буду, иначе кто-то уснет.

Когда небо было ярче, трава зеленее, а ты учился в 7 классе, началось знакомство с геометрией, туда и перенесёмся. Чтобы мы с тобой разговаривали на одном языке, начнем с равных углов.

Смежные углы — два угла, у которых одна сторона общая, а две другие расположены на одной прямой.

С вертикальными углами проще познакомиться на рисунке:

Такими дугами показываем равные углы ∠1 = ∠3 (одной дугой) и ∠2 = ∠4 (двумя дугами)

Теперь об углах при параллельных прямых (параллельные прямые — прямые, которые никогда не пересекутся, сколько бы их не продолжать. Лучше представить рельсы у путей на прямом участке):

Перейдем к фигурам, а именно к равенству треугольников:

1) Треугольники, у которых две стороны и угол между ними соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, равны между собой. 

Штрихом и двумя штрихами показывают одинаковые стороны, которые равны между собой. Аналогично равные углы показывает одинаковым количеством дуг. Крайне удобно показывать дано сразу на рисунке.

2) Треугольники, у которых два угла и сторона между ними соответственно равны двум углам и стороне между ними другого треугольника, равны между собой.

3) Треугольники, у которых три стороны соответственно равны трем сторонам другого треугольника, равны между собой.

Одинаковые треугольники — это идентичные между собой фигуры, только развернутые. У тебя же не возникает вопроса, равны ли эти телефоны? Ты смотришь на форму, модель и сразу говоришь — идентичны. Так же поступай с треугольниками, только на слово тебе никто не поверит, обязательно нужно доказать один из трех признаков, описанных выше.

А вот эти фигуры какие?

Подобные! У них одинаковая форма, но разный размер. Тогда определим признаки подобных треугольников:

1) Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то эти треугольники подобны.

2) Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

3) Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Важное свойство: если в подобных треугольниках отношение сторон равно k, тогда площади этих треугольников будут относится, как k² (покажу на примере задачи №7).

Давай закрепим теорию в задачах.

Введем секретный шифр:

«~» означает подобие

«Δ» означает треугольник

«∠» означает угол

Задача №1. Дано на рисунке:

Т.к. треугольники подобны, запишем соотношения сторон против одинаковых углов. 

AB II DE, значит ∠A = ∠EDC и ∠B = ∠DEC

Запишем тогда отношение сторон и выразим нужную сторону EC: 

Ответ: 13,125

Задача №2. Дано на рисунке:

Периметр — это сумма всех сторон. Значит, если периметр отличается в 10 раз, то и стороны тоже в 10 раз.

Но мы же знаем, что все стороны должны отличаться в 10 раз, тогда:

Ответ: 20; 40; 50.

Задача №3. Дано на рисунке:

∠NKM = 90° и ∠NKP = 120°, значит ∠MKP = 30°

∠MKP = ∠KMN, как накрест лежащие углы при KP II NM => ∠KMN = 30°

А сумма углов в треугольнике 180°, да-да, не всегда, конечно, но Неевклидовая геометрию оставим на другой раз.

∠KNM = 180 − ∠NKM − ∠KMN = 60°

Ответ: 60° и 30°

Теперь поговорим о самых распространенных отрезках в треугольнике: высота, биссектриса, медиана.

Высота — отрезок, опускающийся на прямую, содержащую противоположную сторону, под углом 90° (такой угол называется прямым).

Обратите внимание, что именно на прямую. В задаче №5 разберем почему.

Угол 90° обозначается таким квадратиком у пересечения с прямой.

Биссектриса — луч, делящий угол, из которого выходит, пополам.

Запомнил, как обозначаем одинаковые углы? Одинаковым дугами.

Медиана — отрезок, опускающийся из вершины треугольника на середину противоположной стороны. 

Задача №4. Дано на рисунке:

Давай посмотрим, что такое AB? АВ делит угол пополам (одинаковые дуги), значит, это биссектриса => ∠BAD = 20° => ∠CAD = 40°

В Δ CAD: ∠D = 180°− ∠C − ∠CAD = 50°, тогда 

В Δ ВAD: ∠DBA = 180° − ∠D − ∠ВAD = 180° − 50° − 20° = 110°

∠DBA и ∠ABC — смежные (их сумма 180°) => ∠ABC = 180° − 110° = 70°

Задача №5. В ΔABC ∠B = 120°; ∠C = 30°. Из вершины А проведена высота, чему равен угол ∠BAH и ∠BAС?

Хороший рисунок — это 50% успеха, а в этой задаче все 90%. Рисуем треугольник примерно с углом 120°:

Рисунок получился плохой, а еще проблемы в ΔABH. Сумма углов должна быть 180°, но ∠B = 120° и ∠AHB = 90°, уже 210°! Что-то не так, вернемся к определению высоты — отрезок, опускающийся на прямую, содержащую противоположную сторону, под углом 90°.

Тогда продлим сторону BC, а на нее опустим высоту. Высота получится вне треугольника:

В ΔBAH: ∠HBA = 60° (смежный с ∠ABC) => ∠BAH = 180° − 60° − 90° = 30°

В ΔABC: ∠BAC = 180° − 120° − 30° = 30°

Ответ: 30° и 30°

Получается, что ∠BAC = ∠C = 30°, значит, этот треугольник равнобедренный. А что это такое?

Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого две стороны одинаковой длины. Такие стороны называют боковыми, а сторону, которая им не равна, основанием.

Есть пара крайне полезных свойств в равнобедренном треугольнике:

1) Углы при основании равнобедренного треугольника равны. 

Против равных сторон лежат равные углы. Верно и обратное: если два угла у треугольника равны, то он равнобедренный

2) Медиана, проведенная к основанию треугольника, также является биссектрисой и высотой.

А что будет, если еще и третья сторона получится той же длины? Тогда этот треугольник равносторонний или правильный.

А чему равен каждый угол в равностороннем треугольнике? Сумма 180°, но все углы равны, они лежат против одинаковых сторон. Значит, один угол будет равен 180°/3 = 60°

А есть еще какие-то треугольники? Есть прямоугольный. 

Прямоугольный треугольник — треугольник, у которого один угол равен 90° (прямой угол).

А два угла в треугольнике могут быть по 90°? Нет, тогда третьему углу останется 0°, нарисуешь такой?

Полезные свойства: 

1) Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

Гипотенуза будет в два раза больше катета и равна 16.

2) Медиана, проведенная из прямого угла, равна половине гипотенузы.

3) Теорема Пифагора 

Теорема, которая встречается в 60% задач, а если дан прямоугольный треугольник — в 90%. 

Квадрат гипотенузы (стороны против угла в 90°) равен сумме квадратов катетов. 

Теорема Пифагора — это частный случай теоремы косинусов, но о ней мы потом поговорим.

Задача №6. Дано на рисунке:

В ΔABC равнобедренный: ∠BAC = ∠BCA = 30°

Опустим высоту из вершины В:

В равнобедренном треугольнике высота так же будет являться биссектрисой и высотой, значит AH = 18. 

В ΔABH ∠A = 30°, скажем что BH = a, тогда AB = 2a. (против угла в 30° лежит катет в два раза больше гипотенузы)

В ΔABH по т. Пифагора:

Ответ: 6√3.

Задача №7. ΔMNK ∼  ΔM₁N₁K₁. Площадь ΔMNK = 75, а площадь ΔM₁N₁K₁ = 225. Стороны соотносятся по названию. M₁N₁ = 9, чему равна MN

Вспомним про коэффициент подобия в площадях треугольника: если в подобных треугольниках отношение сторон равно k, тогда площади этих треугольников будут относится, как k²:

225/75 = 3 = k² => k = √3 

M₁N₁/MN = k => MN = M₁N₁/k = 9/√3 = 3√3

Ответ: 3√3

Отлично, поздравляю тебя с Beginnerом по геометрии. 

Вторая часть по треугольникам − площадь треугольников, свойства треугольников, тригонометрия в прямоугольных треугольниках, что такое синус/косинус, таблицы Брадиса (как пользоваться), теорема синусов и косинусов

Если нашел опечатку, или что-то непонятно − напиши.

Смежные и вертикальные углы — презентация онлайн

1. Смежные и вертикальные углы

2. Смежные и вертикальные углы

3. Смежные и вертикальные углы

4. Смежные и вертикальные углы

5. Смежные и вертикальные углы

6. Треугольники и их элементы

7. Треугольники и их элементы

8. Треугольники и их элементы

9. Треугольники и их элементы

10. Треугольники и их элементы

11. Признаки равенства треугольников

12. Признаки равенства треугольников

13. Признаки равенства треугольников

14. Признаки равенства треугольников

15. Признаки равенства треугольников

Признаки равенства треугольников | Геометрия

Два треугольника считаются равными, если их можно совместить наложением. Но, чтобы не выполнять каждый раз наложение, для доказательства равенства треугольников, установили три признака, по которым можно определить, совместятся треугольники или нет. Эти признаки называются признаками равенства треугольников.

Первый признак равенства треугольников

Теорема:

Два треугольника равны, если у них равны две стороны и угол, лежащий между этими сторонами.

Доказательство:

Рассмотрим два треугольника  ABC  и  A₁B₁C₁,  у которых:

 AB = A₁B₁,  AC = A₁C₁,  ∠A = ∠A₁.

Требуется доказать, что

ABC = A₁B₁C₁.

Если наложить  A₁B₁C₁  на  ABC  так, чтобы точка  A₁  совместилась с точкой  A  и сторона  A₁B₁  совместилась со стороной  AB,  то точка  B  совместится с точкой  B₁,  так как  A₁B₁ = AB.  Сторона  A₁C₁  совместится со стороной  AC,  так как  ∠A = ∠A₁.  Точка  C₁  совпадёт с точкой  C,  так как  A₁C₁ = AC.  Стороны  B₁C₁  и  BC  совместятся, так как совместились их концы. Таким образом, треугольники совместятся. Теорема доказана.

Второй признак равенства треугольников

Теорема:

Два треугольника равны, если у них равна одна из сторон и два прилежащих к ней угла.

Доказательство:

Рассмотрим два треугольника  ABC  и  A₁B₁C₁,  у которых:

 AC = A₁C₁,  ∠A = ∠A₁  и  ∠C = ∠C₁.

Требуется доказать, что

ABC = A₁B₁C₁.

Если наложить  A₁B₁C₁  на  ABC  так, чтобы точка  A₁  совместилась с точкой  A  и сторона  A₁C₁  совместилась со стороной  AC,  то точка  C₁  совпадёт с точкой  C,  так как  A₁C₁ = AC.  Сторона  A₁B₁  совпадёт со стороной  AB,  так как  ∠A = ∠A₁.  Сторона  C₁B₁  совпадёт со стороной  CB, так как  ∠C = ∠C₁.  Вершина  B₁  совпадёт с вершиной  B,  так как  B  и  B₁  будут служить точками пересечения одних и тех же отрезков. Таким образом, треугольники совместятся. Теорема доказана.

Третий признак равенства треугольников

Теорема:

Два треугольника равны, если три стороны одного треугольника равны трём сторонам другого.

Доказательство:

Рассмотрим два треугольника  ABC  и  A₁B₁C₁,  у которых:

AB = A₁B₁,  BC = B₁C₁,  AC = A₁C₁.

Требуется доказать, что

ABC = A₁B₁C₁.

Приложим треугольники  ABC  и  A₁B₁C₁  один к другому так, чтобы вершина  A  совместилась с  A₁,  вершина  C  — с  C₁, а вершины  B  и  B₁  оказались по разные стороны от прямой  AC.

Соединив точки  B  и  B₁,  получим два равнобедренных треугольника  BAB₁  и  BСB₁.

В треугольнике  BAB₁  ∠1 = ∠4,  в  BСB₁  ∠2 = ∠3  (как углы при основании). Следовательно,

∠1 + ∠2 = ∠4 + ∠3,  поэтому  ∠ABC = ∠AB₁C.

Итак,  AB = A₁B₁,  BC = B₁C₁,  ∠ABC = ∠A₁B₁C₁.

Из этого следует, что треугольники  ABC  и  A₁B₁C₁  равны по первому признаку равенства треугольников. Теорема доказана.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Для прямоугольных треугольников, кроме перечисленных трёх признаков равенства, имеются ещё дополнительные признаки, так как у них у всех есть прямой угол, а все прямые углы равны между собой.

Два прямоугольных треугольника будут равны в следующих четырёх случаях:

1. Если катеты одного треугольника равны катетам другого.
2. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного треугольника равны катету и прилежащему к нему острому углу другого.
3. Если гипотенуза и острый угол одного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого.
4. Если гипотенуза и катет одного треугольника равны гипотенузе и катету другого.

Теорема Пифагора

Чтобы лучше понять некоторые проблемы, связанные с самолетами и двигательная установка необходимо использовать некоторые математические идеи из тригонометрия изучение треугольников. Давайте начнем с некоторых определений и терминологии, которые мы будем использовать на этом слайде. Начнем с прямоугольного треугольника . Прямоугольный треугольник — это трехсторонняя фигура с одним углом, равным 90 градусам. Угол 90 градусов называется прямым углом , и отсюда прямоугольный треугольник получил свое название.Определим сторону треугольника противоположную от прямого угла к — гипотенуза , h . Это самая длинная из трех сторон. прямоугольного треугольника. Слово «гипотенуза» происходит от двух греческих слов. означает «растягивать», так как это самая длинная сторона. Мы собираемся обозначить две другие стороны a и b . Теорема Пифагора — это утверждение, относящееся к длинам сторон любого прямоугольного треугольника .

Теорема утверждает, что:

Для любого прямоугольного треугольника квадрат гипотенузы
равен сумме квадратов двух других сторон.2

25 = 9 + 16