Примеры на пределы функций
Продолжаем изучать правила раскрытия неопределенностей в пределах. Сегодня рассмотрим 5 примеров и проанализируем ход вычислений.
Пример 6. Вычислить предел последовательности:
Решение: При подстановке бесконечности получим неопределенность вида бесконечность поделить на бесконечность (∞/∞).
Раскрыть особенность возможно двумя способами: по правилу Лопиталя или выделением множителей, которые вносят наибольший вклад в числителе и знаменателе дроби.
По правилу Лопиталя получим
По второй методике предел последовательности равен
Значения совпадают, как первая схема так и вторая не тяжелые для применения.
Однако часто в одних задачах требуют вычислить предел последовательности по правилу Лопиталя.
В других наоборот – не используя правило Лопиталя найти предел.
Пример 7. Вычислить предел последовательности:
Решение: Имеем разницу двух корней, которые при подстановке переменной дают особенность вида бесконечность минус бесконечность (∞-∞).
Для устранения особенности умножим и разделим корневую зависимость на сопряженное выражение (сумму корней). В результате придем к разности квадратов в числителе.
Повторная подстановка дает особенность вида бесконечность разделить на бесконечность.
Чтобы избавиться от особенности выделяем доминантные множители в числителе и знаменателе и оцениваем, что в итоге перевешивает (доминирует).
Получили, что в числителе старший степень чем в знаменателе, поэтому предел стремится к бесконечности. Но важно еще выяснить к плюс бесконечности или к минус бесконечности. Для этого следует проанализировать вклад слагаемых в скобках.
Пример 8. Найти предел функции:
Решение: При подстановке единицы получаем особенность вида ноль разделить на ноль {0/0}.
Для ее раскрытия разницу корней в числителе умножим на сумму корней, чтобы избавиться от иррациональности. На ту же сумму корней следует умножить знаменатель, чтобы манипуляциями не изменить значение предела.
Далее анализируем знаменатель – он содержит полином, который в свою очередь имеет в разложении множитель (x-1) (как особенность).
Разложим полином на простые множители и заменим ими соответствующую часть дроби.
Далее упрощаем числитель и знаменатель на общий множитель (x-1), и методом подстановки находим предел функции, что осталась.
Пример 9. Найти предел функции:
Решение: В заданиях, где переменная стремится к нулю и имеем дробь, содержащий логарифмы или тригонометрические функции следует искать возможность получить первую замечательный предел, следствия второго и первого лимита или сочетание обоих вариантов. Этот пример сочетает все возможное, что может Вас ждать на практике.
Простая подстановка показывает, что имеем лимит с неопределенностью вида {0/0}. Для устранения неопределенности и возведения сперва логарифма к виду ln(1+y)/y, делим и умножаем на sin(3x). Чтобы этот же синус в числителе свести под некую формулу, разделим и умножим на (3x).∞. А это означает, что имеем дело со вторым замечательным пределом.
Для устранения особенности в скобках и показателе выделим выражения, содержащие (x-1). После этого делаем замену переменных, t=x-1, при этом новая переменная стремится к нулю. Далее в показателе выделяем множитель, который является обратно пропорциональным к слагаемому в дужках (1/4t), это даст нам экспоненту.
Все, что останется множителем в показателе даст степень экспоненты в предельном переходе (12).
Хорошо проанализируйте приведенный пример, он на самом деле не такой тяжелый, если внимательно разобраться.
В новых публикациях Вы получите ответы на другие вопросы, которые могли у Вас возникнуть в связи с тем, что рассмотрено всего 5 примеров.
Вычисление пределов функции. Первый и второй замечательные пределы
Краткая теория
Число называется пределом функции в точке , если для всех значений , достаточно близких к и отличных от значения функции сколь угодно мало отличаются от числа .
Пишут:
Правила вычисления пределов
Пусть существуют пределы
Тогда:
1. Предел константы равен самой константе:
2. Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:
3. Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:
4. Постоянный множитель выносится за знак предела:
5. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций:
6. Показатель степени можно выносить за знак предела:
Универсальный метод, устраняющий неопределенности и носит название правила Лопиталя и рассматривается на соседней странице.
Примеры решения задач
Пример 2
Если же , то дробь рекомендуется сократить один или несколько раз на бином
Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .
Например:
Пример 3
При отыскании предела отношения двух целых многочленов относительно при оба члена отношения полезно предварительно разделить на , где – наивысшая степень этих многочленов.
Аналогичный прием во многих случаях можно применять и для дробей, содержащих иррациональности.
Например:
1)
2)
Пример 4
Выражения, содержащие иррациональности, приводятся к рациональному виду во многих случаях путем введения новой переменной.
Например:
Полагая
получаем:
Пример 5
Другим приемом вычисления предела от иррационального выражения является перевод иррациональности из числителя в знаменатель или, наоборот, из знаменателя в числитель.
Например:
Пример 6
Первый замечательный предел
При вычислении пределов во многих случаях используется формула первого замечательного предела:
Например:
Пример 7
Второй замечательный предел
Второй замечательный предел:
При вычислении пределов вида
следует иметь ввиду, что:
1) если существуют конечные пределы
то
2) если
то вопрос о решении предела
решается непосредственно
3) если
то полагают , где при , и следовательно
где — неперово число
Например:
Пример 8
Предел логарифма
При вычислении некоторых пределов полезно знать, что если существует и положителен
то
Например:
Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .
На цену сильно влияет срочность решения (от суток до нескольких часов). Онлайн-помощь на экзамене/зачете (срок решения 1,5 часа и меньше) осуществляется по предварительной записи.
Заявку можно оставить прямо в чате ВКонтакте, WhatsApp или Telegram, предварительно сообщив необходимые вам сроки решения и скинув условие задач.
Предел последовательности свойства пределов раскрытие неопределенностей второй замечательный предел число e вычисление пределов числовых последовательностей
Содержание
Предел числовой последовательности
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Число a называют пределом числовой последовательности
a1 , a2
если для любого положительного числа ε найдется такое натуральное число N , что при всех n > N выполняется неравенство
| an – a | < ε .
Условие того, что число a является пределом числовой последовательности
a1 , a2 , … an , … ,
записывают с помощью обозначения
и произносят так: «Предел an при n , стремящемся к бесконечности, равен a ».
То же самое соотношение можно записать следующим образом:
an → a при .
Словами это произносится так: «an стремится к a при n , стремящемся к бесконечности».
ЗАМЕЧАНИЕ. Если для последовательностиa1 , a2 , … an , …
найдется такое число a , что an → a при , то эта последовательность ограничена.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Говорят, что последовательность
a1 , a2 , … an , …
стремится к бесконечности, если для любого положительного числа C найдется такое натуральное число N , что при всех n > N выполняется неравенство
| an| > C .
Условие того, что числовая последовательность
a1 , a2 , … an , … ,
стремится к бесконечности, записывают с помощью обозначения
или с помощью обозначения
при .
ПРИМЕР 1. Для любого числа k > 0 справедливо равенство
ПРИМЕР 2 . Для любого числа k > 0 справедливо равенство
ПРИМЕР 3. Для любого числа a такого, что | a | < 1, справедливо равенство
ПРИМЕР 4. Для любого числа a такого, что | a | > 1, справедливо равенство
ПРИМЕР 5 . Последовательность
– 1 , 1 , – 1 , 1 , … ,
заданная с помощью формулы общего члена
an = (– 1)n ,
предела не имеет.
Свойства пределов числовых последовательностей
Рассмотрим две последовательности
a
1 , a2 , … an , … , и b1 , b2 , … bn , … .Если при существуют такие числа a и b , что
и ,
то при существуют также и пределы суммы, разности и произведения этих последовательностей, причем
Если, кроме того, выполнено условие
то при существует предел дроби
причем
Для любой непрерывной функции f (x) справедливо равенство
Вывод формулы для суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии
b1 , b2 , … bn , … ,
знаменатель которой равен q .
Для суммы первых n членов геометрической прогрессии
Sn = b1 + b2 + … + bn , n = 1, 2, 3, …
справедлива формула
Если для суммы всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ввести обозначение
S = b1 + b2 + … + bn + … ,
то будет справедлива формула
В случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменатель q удовлетворяет неравенству
| q | < 1 ,
поэтому, воспользовавшись cвойствами пределов числовых последовательностей и результатом примера 3, получаем
Итак,
Примеры вычисления пределов последовательностей. Раскрытие неопределенностей
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Если при нахождении предела дроби выясняется, что и числитель дроби, и знаменатель дроби стремятся к , то вычисление такого предела называют раскрытием неопределенности типа .
Часто неопределенность типа удается раскрыть, если и в числителе дроби, и в знаменателе дроби вынести за скобки «самое большое» слагаемое. Например, в случае, когда в числителе и в знаменателе дроби стоят многочлены, «самым большим» слагаемым будет член с наивысшей степенью.
ПРИМЕР 6. Найти предел последовательности
РЕШЕНИЕ. Сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, воспользовавшись свойствами степеней:
ОТВЕТ.
ПРИМЕР 7 . Найти предел последовательности
ОТВЕТ.
В следующих двух примерах показано, как можно раскрыть неопределенности типа.
ПРИМЕР 8 . Найти предел последовательности
РЕШЕНИЕ. Сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, приводя дроби к общему знаменателю:
ОТВЕТ.
ПРИМЕР 9. Найти предел последовательности
РЕШЕНИЕ. В рассматриваемом примере неопределенность типа возникает за счет разности двух корней, каждый из которых стремится к . Для того, чтобы раскрыть неопределенность, умножим и разделим выражение, стоящее под знаком предела, на сумму этих корней и воспользуемся формулой сокращенного умножения «разность квадратов».
Из-за большого размера формул подробные вычисления видны только на устройствах с разрешением экрана по ширине не менее 768 пикселей (например, на стационарных компьютерах, ноутбуках и некоторых планшетах). На Вашем мобильном устройстве отображается только результат описанных операций.
Преобразуем дробь, вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое из-под каждого корня в знаменателе дроби, а затем сокращая дробь на n2:
Теперь, используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 1, получаем
ОТВЕТ.
ПРИМЕР 10. Найти предел последовательности
РЕШЕНИЕ. Замечая, что для всех k = 2, 3, 4, … выполнено равенство
,
получаем
ОТВЕТ. 1 .
Число e. Второй замечательный предел
Рассмотрим последовательность
| (1) |
В дисциплине «Математический анализ», которую студенты естественнонаучных и технических направлений высших учебных заведений изучают на 1 курсе, доказывают, что последовательность (1) монотонно возрастает и ограничена сверху. Из теоремы Вейерштрасса о монотонных и ограниченных последовательностях, доказательство которой выходит за рамки школьного курса математики, вытекает, что последовательность (1) имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой e.
Таким образом, справедливо равенство
| (2) |
причем расчеты показывают, что число
e = 2,718281828459045…
и является иррациональным и трансцендентным числом.
Число e играет исключительно важную роль в естествознании и, в частности, служит основанием натуральных логарифмов и основанием показательной функции
y = e x,
которую называют «экспонента».
Число e также является пределом последовательности
| (3) |
что позволяет вычислять число e с любой точностью. Конечно же, доказательство формулы (3) выходит за рамки школьного курса математики.
ЗАМЕЧАНИЕ. Предел (2), в котором для последовательностей раскрывается неопределенность типа , называют вторым замечательным пределом. В разделе нашего справочника «Пределы функций» можно ознакомиться со вторым замечательным пределом для функций.
вычисление пределов примеры с корнями с решением
Вы искали вычисление пределов примеры с корнями с решением? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и вычисление пределов с корнями примеры с решением, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «вычисление пределов примеры с корнями с решением».
Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как вычисление пределов примеры с корнями с решением,вычисление пределов с корнями примеры с решением,как решать пределы с корнями,как решать пределы с корнями в числителе и знаменателе,как с корнем решить предел,корень предел,предел корень,предел корня,предел функции примеры решения с корнями,предел функции с корнями примеры решения,пределы как решать с корнями,пределы примеры решения с корнями,пределы примеры с корнями,пределы с корнем,пределы с корнями,пределы с корнями как решать,пределы с корнями примеры,пределы с корнями примеры решения,примеры пределы с корнями,примеры решение пределов с корнями,примеры решения пределов с корнями,решение пределов примеры с корнями,решение пределов примеры с решением с корнями,решение пределов с корнем,решение пределов с корнями,решение пределов с корнями примеры,решение пределов с корнями примеры с решением. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и вычисление пределов примеры с корнями с решением. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, как решать пределы с корнями).
Где можно решить любую задачу по математике, а так же вычисление пределов примеры с корнями с решением Онлайн?
Решить задачу вычисление пределов примеры с корнями с решением вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.
Пределы с иррациональностями. Примеры раскрытия неопределённостей. Первая часть.
Пределы, содержащие иррациональности (или, попросту говоря, корни) крайне популярны у составителей типовых расчётов и контрольных работ по высшей математике. Обычно рассматриваются три группы неопределённостей:
В данной теме мы рассмотрим все три перечисленные выше группы пределов с иррациональностями. Начнём с пределов, содержащих неопределенность вида $\frac{0}{0}$.
Раскрытие неопределенности $\frac{0}{0}$.
Схема решения стандартных примеров такого типа обычно состоит из двух шагов:
- Избавляемся от иррациональности, вызвавшей неопределенность, домножая на так называемое «сопряжённое» выражение;
- При необходимости раскладываем выражение в числителе или знаменателе (или и там и там) на множители;
- Сокращаем множители, приводящие к неопределённости, и вычисляем искомое значение предела.
Термин «сопряжённое выражение», использованный выше, будет детально пояснён в примерах.2+bx+c=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2) \end{equation} $$
Формул (1)-(5) вполне хватит для решения стандартных задач, к которым мы сейчас и перейдём.
Пример №1
Найти $\lim_{x\to 3}\frac{\sqrt{7-x}-2}{x-3}$.
Решение
Найдём отдельно пределы числителя и знаменателя:
$$ \begin{aligned} & \lim_{x\to 3}(\sqrt{7-x}-2)=\sqrt{7-3}-2=\sqrt{4}-2=0;\\ & \lim_{x\to 3} (x-3)=3-3=0. \end{aligned} $$В заданном пределе мы имеем неопределённость вида $\frac{0}{0}$. Раскрыть эту неопределённость нам мешает разность $\sqrt{7-x}-2$. Для того, чтобы избавляться от подобных иррациональностей, применяют умножение на так называемое «сопряжённое выражение». Как действует такое умножение мы сейчас и рассмотрим. Умножим $\sqrt{7-x}-2$ на $\sqrt{7-x}+2$:
$$(\sqrt{7-x}-2)(\sqrt{7-x}+2)$$Чтобы раскрыть скобки применим формулу №1, подставив в правую часть упомянутой формулы $a=\sqrt{7-x}$, $b=2$:
$$(\sqrt{7-x}-2)(\sqrt{7-x}+2)=(\sqrt{7-x})^2-2^2=7-x-4=3-x.$$Как видите, если умножить числитель на $\sqrt{7-x}+2$, то корень (т.е. иррациональность) в числителе исчезнет. Вот это выражение $\sqrt{7-x}+2$ и будет сопряжённым к выражению $\sqrt{7-x}-2$. Однако мы не вправе просто взять и умножить числитель на $\sqrt{7-x}+2$, ибо это изменит дробь $\frac{\sqrt{7-x}-2}{x-3}$, стоящую под пределом. Умножать нужно одовременно и числитель и знаменатель:
$$ \lim_{x\to 3}\frac{\sqrt{7-x}-2}{x-3}= \left|\frac{0}{0}\right|=\lim_{x\to 3}\frac{(\sqrt{7-x}-2)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}{(x-3)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}$$Теперь вспомним, что $(\sqrt{7-x}-2)(\sqrt{7-x}+2)=3-x$ и раскроем скобки. А после раскрытия скобок и небольшого преобразования $3-x=-(x-3)$ сократим дробь на $x-3$:
$$ \lim_{x\to 3}\frac{(\sqrt{7-x}-2)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}{(x-3)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}= \lim_{x\to 3}\frac{3-x}{(x-3)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}=\\ =\lim_{x\to 3}\frac{-(x-3)}{(x-3)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}= \lim_{x\to 3}\frac{-1}{\sqrt{7-x}+2} $$Неопределенность $\frac{0}{0}$ исчезла.2-3x+6}-\sqrt{5x-9}}=-6$.
В следующей (второй) части рассмотрим ещё пару примеров, в которых сопряжённое выражение будет иметь иной вид, нежели в предыдущих задачах. Главное, помните, что цель использования сопряжённого выражения – избавиться от иррациональности, вызывающей неопределённость.
Глава 9
Глава 9Глава 8. Задачи математического анализа
8.2 Вычисление пределов
Рассмотрим функцию f(x), определенную в некоторой окрестности.
Число А называется пределом функции f(x) при x, стремящемся к а, если для любого положительного числа ε, как бы мало оно ни было, существует такое положительное число δ, что для всех х, удовлетворяющих соотношению 0<|ха|<δ, справедливо неравенство |f(x)A|<ε. Говорят предел функции f(x) в точке а и обозначают
Для вычисления пределов в MathCAD выполните следующие действия:
на математической панели выберите кнопку со знаком интеграла, откроется панель Calculus (Исчисление), на которой внизу есть три оператора вычисления пределов. Выберите один из них.
введите выражение в поле ввода справа от lim.
в поле ввода под словом lim введите имя переменной, по которой надо вычислить предел, и ее предельное значение.
выделите уголком или черным цветом все выражение целиком.
в главном меню MathCAD выберите Symbolics→Evaluate→Symbolically (Символьные вычисления →Вычислить →Символьно). MathCAD возвращает значение предела, если оно существует. Примеры вычисления пределов приведены на рис. 9.1.
предварительно выделить все выражение
yields
yields 1
yields
yields
Самостоятельно вычислить пределы функций
при х→0
х→0
Рис. 8.1 Примеры вычисления пределов
Вычислить предел выражения можно только символьно.
определение, теоремы, свойства, примеры с решением
С понятием последовательности вы ознакомились ещё в основной школе, когда изучали арифметическую и геометрическую прогрессии. Несколько последовательностей:
1) бесконечная последовательность рациональных приближений числа
с точностью до десятых, сотых, тысячных и т. д.:1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421;… ; (*)
2) последовательность степеней с основанием 3, показателями которых являются рациональные приближения числа
с точностью до десятых, сотых, тысячных и т. д.:Числовой последовательностью называется функция
, которая задана на множестве натуральных чисел. При таком задании , , — соответственно первый, второй, n-й,… члены числовой последовательности.Обозначают числовые последовательности
Числовые последовательности задают описательно, перечнем членов, либо с помощью формулы (n-го члена или рекуррентной).Например:
В курсе геометрии, чтобы вывести формулы длины окружности и площади круга, рассматривают последовательности вписанных в круг и описанных вокруг круга многоугольников. При этом отмечают, что при неограниченном увеличении числа сторон многоугольника его периметр всё ближе и ближе приближается к длине окружности (рис. 41).
Так получают первое интуитивное понятие предела числовой последовательности. В курсе математического анализа — это одно из важнейших понятий. Рассмотрим его подробнее.
Пусть задано числовую последовательность
. Вычислим её первые пять членов и изобразим их на координатной прямой (рис. 42). Имеем:Как видим, с увеличением номера члена последовательности сами члены последовательности всё ближе и ближе приближаются к числу 1. Поскольку расстоянием между точками, которые соответствуют числам на координатной прямой, есть модуль разности этих чисел, то можно утверждать, что для данной последовательности
Очевидно, что при росте числа п члены заданной последовательности всё меньше и меньше будут отличаться от числа 1. Например:
,аВ данном случае для любого достаточно малого числа
(эпсилон) можно найти такое число N (номер члена последовательности), что для всех последующих членов этой последовательности будет выполняться неравенство .Например, в рассмотренной выше последовательности для
таким членом будет , поскольку, а для таким членом будет (проверьте).В этом случае говорят, что число 1 является пределом заданной числовой последовательности.
Число А называют пределом числовой последовательности , если для любого существует номер члена последовательности такой, что для всех выполяется неравенство
Обозначают:
. Читают: предел числовой последовательности при n, стремящемся к бесконечности, равен А.Пример №1Вычислите предел последовательности
.Решение:
Запишем несколько членов заданной последовательности:
Как видим, ее члены стремятся к числу 1. Проверим наше предположение. По определению предела надо найти такое число N, что для всех будет выполняться неравенство . Имеем:Следовательно, такое число существует. Например, при
последнее неравенство будет иметь вид , или .То есть, начиная с 100-го члена последовательности расстояние между любым членом последовательности и числом 1 будет меньше 0,01.
Следовательно,
.Докажите самостоятельно и запомните, что
.Если числовая последовательность
имеет предел, то она называется сходящейся. Если числовая последовательность предела не имеет, то она называется расходящейся.Рассмотрим свойства сходящихся последовательностей.
- Если последовательность имеет предел, то этот предел единственный.
- Предел постоянной последовательности равен значению любого члена этой последовательности, то есть
3. Предел суммы (разности) двух сходящихся последовательностей равен сумме (разности) пределов этих последовательностей , то есть:
4. Предел произведения двух сходящихся последовательностей равен произведению пределов этих последовательностей , т.е.
5.Если последовательности
и — сходящиеся , ., то числовая последовательность тоже сходящаяся и выполняется равенствоПример №2Найдите предел последовательности
.Решение:
Эту последовательность можно представить в виде суммы двух сходящихся последовательностей
, (проверьте). На основании свойств 2 и 3 имеем:Для вычисления предела последовательности, которая задается как отношение двух многочленов
, используют следующее правило.Для того чтобы вычислить предел числовой последователь кости, которая задаётся как отношение двух многочленов (одной переменной n, степеней m и k соответственно),каждый из которых имеет предел, равный бесконечности, необходимо каждый член заданных многочленов разделить на наивысшую степень п и выяснить, к чему стремится каждый из полученных членов заданного отношения.
Пример №3Вычислите
.Решение:
Здесь
, . Предел каждого многочлена равен бесконечности. Поскольку , , то делим каждый член многочленов на и выясняем, к чему стремится каждый из полученных членов.Пример №4Вычислите:
a)
; б) .Решение:
a)
б)
.Заметим, что здесь не происходит деление на ноль, поскольку знаменатель лишь стремится к нулю, но ему не равен.
Проанализируем полученные ответы. В примере 3 степень числителя меньше степени знаменателя. Это означает, что знаменатель стремится к бесконечности быстрее, чем числитель, а следовательно, предел их отношения будет равняться нулю. В примере 4, в задании а) степени числителя и знаменателя одинаковы и в результате получили отношение коэффициентов при старших степенях. В задании б) степень числителя больше степени знаменателя. Это означает, что числитель стремится к бесконечности быстрее, чем знаменатель, а потому предел их отношения равен бесконечности. Итак, имеем еще такое правило.
Для того чтобы вычислить предел числовой последовательности при , которая задаётся как отношение двух многочленов (одной переменной n, степеней m и k соответственно)* каждый из которых имеет предел,равный бесконечности, необходимо сравнить эти степени. Если:
1 )m = k, то предел равен отношению коэффициентов при старших степенях заданных многочленов;
2) m < k , то предел равен нулю;
3) m> k, то предел равен бесконечности.
Пример №5Пользуясь определением предела числовой последовательности, докажите, что
.Решение:
Нужно доказать, что существует такое
, что для всех выполняется неравенство . Преобразуем выражение , стоящее в левой части :Пусть
, тогда , а . Для любого можем найти соответствующее , например .Итак, пределом заданной последовательности является число 2.
Пример №6Вычислите: а)
; б) .Решение:
а) Умножим и разделим выражение, стоящее под знаком предела, на сопряжённое.
б) Разделим числитель и знаменатель дроби на n. Имеем:
Предел и непрерывность функцииЧасто говорят о значении функции в точке, пределе функции в точке, приращении функции в точке, непрерывности функции в точке. О каких точках идёт речь? О точках оси абсцисс — значениях аргумента.
Значение функции в точкеПусть задано, например, функцию
. Если х = 1, то соответствующее значение функции равно 3. Говорят, что в точке х = 1 значение функции f(x) равно 3. В точке х = 0 её значение равно 1, в точке х = 10 значение функции f(x) равно 111. Пишут: , f(0) =1 , f(10)=111.Предел функции в точкеРассмотрим ту же функцию
. Если значения её аргумента х достаточно близко и с обеих сторон приближаются к 1, то соответствующие значения функции как угодно близко приближаются к числу 3 (рис. 43). Об этом свидетельствуют данные таблицы (рис. 44), в которой содержатся значения.функции
для 10 значений аргумента, близких к числу 1, и график, изображённый на рисунке 43.Другими словами: разность
может стать и оставаться сколь угодно малой, если разность будет достаточно малой. В этом случае говорят, что предел функции f(x) в точке х = 1 равен 3. Пишут: если х —> 1, то , или .Существенная деталь: функция может иметь предел даже в такой точке, в которой она не определена, потому что знаменатель не может равняться нулю. Во всех остальных точках функция
имеет такие же значения, как и функция f(x), ибо : , если . График функции изображён на (рис) 45.Хотя значение функции
в точке x= 1 не существует, а её предел в этой точке существует и равен 3.Определение предела функции можно сформулировать так.
Число b называется пределом функции f(x)в точке ,если для любого положительного числа можно указать такое положительное число , что для всех значений х из промежутка кроме, возможно, самой точки , справедливо неравенство .
Пишут так:
.Определение предела функции имеет простое геометрическое толкование: какое бы ни было достаточно малое наперёд за-данное положительное число (
), можно указать такое положительное число, что для всех точек х, которые удалены от точки не далее чем на , график функции лежит внутри полосы — шириной , ограниченной прямыми и (рис. 46).Предел функции имеет интересные свойства. Например:
• функция не может иметь двух различных пределов в точке;
• если с — число, то
;Несколько свойств сформулируем в виде теоремы.
Теорема. Если каждая из функций f(x) и g(x) имеет предел в точке
, то в этой точке существуют пределы функций ,справедливы равенства:
Другими словами можно сказать так.
Постоянный множитель можно выносить за знак предела. Предел суммы (разности, произведения) функций равен сумме (разности, произведению) пределов данных функций. Предел отношения двух функций равен отношению их пределов, если предел делителя не равен нулю.
Эти свойства используют для вычисления пределов функций в заданных точках.
Пример №7При условии, что
вычислите предел функции f(x), если:а)
б)Решение:
a)
;б)
.Замечание. Решая такие упражнения, некоторые преобразования можно выполнять устно.
В предыдущих примерах для нахождения предела достаточно было подставить в данное выражение предельное значение аргумента. Но часто такая подстановка приводит к неопределённости вида
, , ,, , , . В таких случаях и сначала необходимо преобразовать данное выражение, а уже потом вычислять предел. Нахождение предела таким образом называется раскрытием неопределённостей.Пример №8Найдите
.Решение:
Поскольку при
предел знаменателя равен нулю, то использовать теорему о пределе частного нельзя. Непосредственная подстановка в данное выражение предельного значения аргумента х = 3 приводит к неопределенности вида — .Чтобы её раскрыть, разложим числитель и знаменатель дроби на множители. Имеем:
Приращения аргумента и функцииПусть дано, например, функцию
. В точке ее значение . Увеличим значение аргумента на 0,01, то есть, пусть . Соответствующее значение функции . По сравнению с предыдущим значением оно увеличилось на 0,0401. Здесь 0,01 — приращение аргумента, а 0,0401 — соответствующее приращение функции, а именно: приращение функции на промежутке [2; 2,01].Приращением аргумента в точке
называют разность , где х — произвольное число, которое мало отличается от и может быть положительным или отрицательным. Соответствующее приращение функции f(x) — разность .Приращение аргумента х обозначают символом
, а приращение функции , (читают: дельта икс, дельта эф, дельта игрек). Так, в рассматриваемом примере = 0,01, = 0,0401.Геометрически приращение аргумента изображается приращением абсциссы точки кривой, а приращение функции — приращением ординаты этой точки (рис. 47),
Свойства этих понятий показано на рисунках 47 и 48. Если функция f(x) — возрастающая и
, то — число положительное, а если f(х) — убывающая функция и , то — число отрицательное.Непрерывность функцииКак связаны между собой приращения аргумента х и функции
в точке = 2? Если , то = 0,0401; если = 0,001, то = 0,004001 и т. д. Вообще, если , то и , т. е. приращение функции стремится к нулю, когда стремится к нулю приращение аргумента (слева или справа). В таком случае говорят, что функция f(x) непрерывна в точке .| Функция f(x) называется непрерывной в точке , если в этой точке достаточно малым приращениям аргумента соответствуют сколь угодно малые приращения функции.
Иначе:
Преобразуем последнее равенство:
Поскольку
, когда то получим , отсюдаФункция у =f(x) называется непрерывной в точке , если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в точке .
Использование последней формулы существенно упрощает вычисление пределов для непрерывных функций.
Функция называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой его точке. График такой функции — непрерывная кривая (её можно провести, не отрывая карандаш от бумаги).
На рисунке 49 изображены графики функций, имеющих разрывы в точке х = 1; они не являются непрерывными в этой точке.
Непрерывными в каждой точке своей области определения есть элементарные функции — рациональные, тригонометрические,
, а также функции, образованные из них с помощью четырёх арифметических действий. Графики элементарных функций на каждом промежутке из области определения являются неразрывными линиями.Теория пределов — большой и интересный раздел курса математического анализа, который изучается в университетах. В школе этот материал изучают обзорно, на основе наглядных представлений и интуиции. Представление о пределах и их свойствах желательно иметь для изучения производной и её применений — мощного аппарата для исследования многих реальных процессов.
Предлагаем вам ознакомиться с одним из интересных и важных фактов теории пределов. Рассмотрите таблицу, составленную с помощью Excel.
Как видим, при достаточно малых значениях
, а .В курсе математического анализа строго доказывается, что
Это равенство называется первым замечательным пределом. Его используют для нахождения пределов функций, связанных с тригонометрическими.
Пример №9Вычислите предел
.Решение:
Пример №10Вычислите:
а)
б) в)Решение:
а) В точке x = 3 предел каждой из дробей не существует, поэтому воспользоваться теоремами о пределах мы не можем. Упростим функцию, содержащуюся под знаком предела, выполнив действие вычитания. Имеем:
б) В тючке х = 1 данная функция не определена, но дробь
можно сократить: .Поскольку для вычисления предела при
саму точку можно исключить и не рассматривать, то в) Умножим числитель и знаменатель дроби на выражения, сопряжённые к данным.
Найдите приращение функции
при переходе значения аргумента от 3 до 3,5.Решение:
Способ 1. Имеем
, a , тогдаДо этой формуле можно вычислить значение
для любых х и . В частности, в нашем примере х = 3, = 3,5 — 3 = 0,5, поэтому .Способ 2.
,.Пример №12Для функции
найдите:а) приращение функции при переходе от некоторой точки х к точке х +
;б) предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.
Решение:
a)
, .б)
, поскольку , а х — не зависит от .Вычисление пределов, производная функции, исследование функцийПример №13Вычислить предел
.Решение:
Таблица производных основных элементарных функций
Правила дифференцирования
Вычислить производную функции у(х), заданной в неявной форме
.Решение:
В случае неявного задания функции F(x,y) = 0 для нахождения ее производной нужно:
1) вычислить производную по переменной х функции F(x, у(х)),
2) приравнять эту производную нулю,
3) решить полученное уравнение относительно у'(х). В нашем случае получаем
,Отсюда получим, что
при .Пример №15Провести исследование функции
Решение:
1. Функция определена и непрерывна всюду, кроме точки х=1. Она равна нулю в точке х = 0.
2. Вычислим первую производную данной функции:
.3. Нахождение интервалов монотонности и точек экстремума функции.
Приравнивая первую производную функции нулю, находим ее критические точки (с учетом тех точек, где производная не существует):
, , . Данные точки разбивают область определения функции на четыре промежутка монотонности:, , , . Так как у’ >0 при и у’ < 0 при ,то на промежутках и функция возрастает, а на промежутках (0; 1) и убывает. Точка х = 0 является точкой локального максимума .4. Найдем промежутки выпуклости и точки перегиба графика функции. Для этого исследуем знак второй производной:
Так как у»>0 при
; и у»<0 при , то на промежутках и график функции является выпуклым вниз, а на промежутках и (0, 1) график функции является выпуклым вверх. При этом точка области определения функции, при переходе через которую вторая производная меняет знак, задает точку перегиба, .Точка х = 1 не задает точку перегиба, поскольку она не входит в область определения функции.
5. Найдем асимптоты графика.
Вертикальной асимптотой является прямая х= 1, поскольку
Найдем наклонные асимптоты графика функции
.Уравнение наклонной асимптоты имеет вид
. Для определения ее параметров последовательно вычислим два предела:В результате получаем, что наклонной асимптотой является прямая у = х. Исследование функции закончено.
Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:
Предмет высшая математика
Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:
Правило Л’Опиталя
Правило L’Hôpital может помочь нам рассчитать лимит, который в противном случае может оказаться трудным или невозможным.
L’Hôpital произносится как «лопиталь». Он был французским математиком 1600-х годов.
Он говорит, что предел , когда мы делим одну функцию на другую, остается таким же после того, как мы берем производную каждой функции (с некоторыми специальными условиями, показанными позже).
В символах можно написать:
lim x → c f (x) g (x) = lim x → c f ’(x) g’ (x)
Предел, когда x приближается к c из «f-of-x over g-of-x» равен
пределу, когда x приближается к c «f-dash-of-x над g-dash-of-x»
Все, что мы сделали, это добавили маленькую черту ‘на каждой функции, что означает взятие производной.
Пример:
lim x → 2 x 2 + x − 6 x 2 −4
При x = 2 обычно получаем:
2 2 + 2−6 2 2 −4 = 0 0
Что неопределенно, так что мы застряли. Или мы?
Попробуем L’Hôpital!
Различия между верхом и низом (см. Производные правила):
lim x → 2 x 2 + x − 6 x 2 −4 = lim x → 2 2x + 1−0 2x − 0
Теперь мы просто подставляем x = 2 , чтобы получить ответ:
lim x → 2 2x + 1−0 2x − 0 = 5 4
Вот график, обратите внимание на «дыру» в точке x = 2:
Примечание: мы также можем получить этот ответ путем факторинга, см. Оценка пределов .
Пример:
lim x → ∞ e x x 2
Обычно это результат:
lim x → ∞ e x x 2 = ∞ ∞
Оба устремляются в бесконечность. Что неопределенно.
Но давайте различим верх и низ (обратите внимание, что производная от e x равна e x ):
lim x → ∞ e x x 2 = lim x → ∞ e x 2x
Хммм, все еще не решено, оба стремятся к бесконечности.Но мы можем использовать его снова:
lim x → ∞ e x x 2 = lim x → ∞ e x 2x = lim x → ∞ e х 2
Теперь у нас:
lim x → ∞ e x 2 = ∞
Он показал нам, что e x растет намного быстрее, чем x 2 .
Ящики
Мы уже видели примеры 0 0 и ∞ ∞ . Вот все неопределенные формы, с которыми может помочь правило Л’Опиталя:
0 0 ∞ ∞ 0 × ∞ 1 ∞ 0 0 ∞ 0 ∞ − ∞
Условия
Дифференцируемая
Для предела, приближающегося к c, исходные функции должны быть дифференцируемыми по обе стороны от c, но не обязательно в c.
Точно так же g ’(x) не равно нулю по обе стороны от c.
Предел должен существовать
Этот предел должен существовать:lim x → c f ’(x) g’ (x)
Почему? Хороший пример — функции, которые никогда не устанавливают значение.
Пример:
lim x → ∞ x + cos (x) x
Это случай ∞ ∞ . Различаем верх и низ:
lim x → ∞ 1 − sin (x) 1
И поскольку он просто качается вверх и вниз, он никогда не приближается к какой-либо ценности.
Так что нового лимита не существует!
Итак, Правило L’Hôpital в этом случае неприменимо.
НО мы можем это сделать:
lim x → ∞ x + cos (x) x = lim x → ∞ (1 + cos (x) x )
По мере того, как x стремится к бесконечности, cos (x) x стремится к промежутку между −1 ∞ и +1 ∞ , и оба стремятся к нулю.
И у нас осталась только «1», поэтому:
lim x → ∞ x + cos (x) x = lim x → ∞ (1 + cos (x) x ) = 1
Пределы (формальное определение)
Приближается …
Иногда мы не можем что-то придумать напрямую … но мы можем видеть, что это должно быть, когда мы приближаемся все ближе и ближе!
Пример:
(x 2 — 1) (x — 1)
Давайте разберемся с x = 1:
(1 2 — 1) (1 — 1) = (1 — 1) (1 — 1) = 0 0
Теперь 0/0 — это сложность! Мы действительно не знаем значение 0/0 (оно «неопределенно»), поэтому нам нужен другой способ ответить на этот вопрос.
Итак, вместо того, чтобы пытаться вычислить это для x = 1, давайте попробуем , приближаясь к , это все ближе и ближе:
Продолжение примера:
| x | (x 2 — 1) (x — 1) | |
| 0,5 | 1,50000 | |
| 0.9 | 1, | |
| 0,99 | 1,99000 | |
| 0,999 | 1.99900 | |
| 0,9999 | 1.99990 | |
| 0,99999 | 1.99999 | |
| … | … |
Теперь мы видим, что когда x приближается к 1, тогда (x 2 −1) (x − 1) становится , близким к 2
.Мы столкнулись с интересной ситуацией:
- Когда x = 1, мы не знаем ответа (это неопределенный )
- Но мы видим, что будет 2
Мы хотим дать ответ «2», но не можем, поэтому вместо этого математики точно говорят, что происходит, используя специальное слово «предел»
Предел из (x 2 −1) (x − 1) , когда x приближается к 1, составляет 2
И записывается символами как:
lim x → 1 x 2 −1 x − 1 = 2
Таким образом, это особый способ сказать: «игнорировать то, что происходит, когда мы приближаемся к цели, но по мере того, как мы приближаемся все ближе и ближе, ответ становится все ближе и ближе к 2»
В виде графика это выглядит так: Итак, по правде говоря, мы не можем сказать, каково значение при x = 1. Но мы можем сказать, что по мере приближения к 1, предел равен 2. |
Более формальный
Но вместо того, чтобы говорить, что предел равен некоторому значению, потому что выглядел так, как будто он идет к , мы можем иметь более формальное определение.
Итак, начнем с общей идеи.
От английского языка к математике
Сначала скажем по-английски:
«f (x) приближается к некоторому пределу , поскольку x приближается к некоторому значению»
Когда мы называем предел «L» и значение, при котором x приближается к «a», мы можем сказать
«f (x) приближается к L, когда x приближается к»
Расчет «закрытия»
А теперь, как можно математически сказать «близко»… можем ли мы вычесть одно значение из другого?
Пример 1: 4,01 — 4 = 0,01 (выглядит неплохо)
Пример 2: 3,8 — 4 = -0,2 ( отрицательно, близко?)
Так что же делать с негативом? Нас не интересует положительное или отрицательное, мы просто хотим знать, как далеко … это абсолютное значение.
«Как близко» = | a − b |
Пример 1: | 4.01−4 | = 0,01
Пример 2: | 3.8−4 | = 0.2
А когда | a − b | маленький мы знаем, что близки, поэтому пишем:
«| f (x) −L | мало, когда | x − a | мало»
И эта анимация показывает, что происходит с функцией
f (x) = (x 2 −1) (x − 1)
изображения / limit-lines.js
f (x) приближается к L = 2, когда x приближается к a = 1,
, поэтому | f (x) −2 | мала, когда | x − 1 | маленький.
Дельта и Эпсилон
Но «small» по-прежнему английский, а не «математический».
Давайте выберем два значения меньше :
| δ | , что | x − a | должно быть меньше | |
| ε | , что | f (x) −L | должно быть меньше |
Примечание: эти две греческие буквы (δ — «дельта» и ε — «эпсилон») — это
, поэтому часто используется фраза « дельта-эпсилон »
А у нас:
| f (x) −L | <ε при | x − a | <δ
Вот и все! Итак, если вы понимаете, что вы понимаете пределы…
… но чтобы быть абсолютно точным, нам нужно добавить следующие условия:
- верно для любого ε> 0
- δ существует и> 0
- x равно и не равно a, что означает 0 <| x − a |
А вот что получаем:
Для любого ε> 0 существует δ> 0, так что | f (x) −L | <ε при 0 <| x − a | <δ
Это формальное определение. На самом деле это выглядит довольно устрашающе, не правда ли?
Но по сути он говорит о чем-то простом:
f (x) приближается к L , когда x приближается к
Как использовать это в доказательстве
Чтобы использовать это определение в доказательстве, мы хотим пойти
| из: | Кому: | |
| 0 <| x − a | <δ | | f (x) −L | <ε |
Обычно это означает поиск формулы для δ (в единицах ε), которая работает.
Как найти такую формулу?
Угадай и попробуй!
Верно, мы можем:
- Поэкспериментируйте, пока не найдете формулу, по которой может работать
- Протестируйте , чтобы проверить, работает ли эта формула
Пример: попробуем показать, что
lim x → 3 2x + 4 = 10
Используя буквы, о которых мы говорили выше:
- Значение, к которому приближается x, «a», составляет 3
- Предел «L» равен 10
Итак, мы хотим знать, как мы перейдем от:
0 <| x − 3 | <δ от
до
| (2x + 4) −10 | <ε
Шаг 1. Поэкспериментируйте, пока не найдете формулу, по которой
может работатьНачнем с: | (2x + 4) −10 | <ε
Упрощать: | 2x − 6 | <ε
Переместите 2 наружу ||: 2 | x − 3 | <ε
Разделите обе стороны на 2: | x − 3 | <ε / 2
Итак, теперь мы можем предположить, что δ = ε / 2 может работать
Шаг 2:
Протестируйте , чтобы убедиться, что эта формула работает.Итак, можем ли мы получить от 0 <| x − 3 | <δ до | (2x + 4) −10 | <ε …?
Посмотрим …
Начнем с: 0 <| x − 3 | <δ
Заменим δ на ε / 2: 0 <| x − 3 | <ε / 2
Умножьте все на 2: 0 <2 | x − 3 | <ε
Переместите 2 внутрь ||: 0 <| 2x − 6 | <ε
Заменить «−6» на «+ 4−10»: 0 <| (2x + 4) −10 | <ε
Да! Мы можем перейти от 0 <| x − 3 | <δ к | (2x + 4) −10 | <ε , выбрав δ = ε / 2
СДЕЛАНО!
Тогда мы увидели, что при заданном ε мы можем найти δ, поэтому верно, что:
Для любого ε существует такое δ, что | f (x) −L | <ε при 0 <| x − a | <δ
И мы доказали, что
lim x → 3 2x + 4 = 10
Заключение
Это было довольно простое доказательство, но, надеюсь, оно объясняет странное «существует… «формулировка, и это действительно показывает хороший подход к такого рода доказательств.
Алгебраическое определение пределов
Алгебраическое определение пределовК концу этой лекции вы должны уметь распознавать, какие неопределенные выражения являются детерминированными, а какие — неопределенными, и вы должны уметь использовать эти знания для решения предельных задач, переписывая их алгебраически, пока не получите определенную форму. В частности, вы должны уметь находить пределы на бесконечности и определять, когда ограничения не существуют (а когда они не существуют, чтобы объяснить, почему).Вы также должны уметь правильно использовать обозначение пределов.
Прежде чем мы начнем эту лекцию, мы хотим напомнить себе об определении алгебры, которое будет важно при алгебраическом вычислении предельных задач:
Определение: undefinedПомните, что в алгебре иногда встречаются выражения undefined . Выражение undefined — это выражение, у которого нет одного четкого значения — например, если бы мы могли доказать, что выражение имеет два разных значения, тогда это выражение было бы undefined, потому что мы не позволяем выражениям быть равными двум различным сразу (потому что это привело бы к сумасшедшим противоречиям вроде 2 = 5!).
Другая причина, по которой выражение может быть неопределенным, заключается в том, что оно не определено по отношению к набору чисел, с которым мы сейчас работаем. Например, если мы работаем только с набором действительных чисел, любое выражение, которое дает нам мнимое или комплексное число в качестве нашего ответа, будет неопределенным в наборе действительных чисел. Мы не всегда очень четко указываем, с каким набором чисел мы работаем, но на протяжении всего этого класса мы будем смотреть только на действительные числа (обратите внимание, что на наших графиках нет возможности изобразить воображаемое или сложное номер).
Например, вы должны были столкнуться с подобными проблемами на предыдущем уроке алгебры
.
2/0 не определено, потому что у нас нет хорошего способа определить это математически, не приводя к противоречию. Например, предположим, что это значение определено и фактически равно некоторому числу, которое мы решили назвать n . Тогда по определению получилось бы:
Но это противоречие! Два НЕ равно нулю!
Фактически, мы замечаем, что НЕТ значения, которое мы могли бы ввести для n в приведенное выше уравнение, которое сделало бы это уравнение истинным, потому что независимо от того, какое значение мы пытаемся использовать для n , утверждение 2 = n · 0 НИКОГДА не будет правдой.Таким образом, мы не можем понять смысл числа, знаменателем которого является ноль, потому что невозможно определить одно значение, равное этому числу.
0/0 не определено, потому что, как и 2/0, у нас нет хорошего способа определить это математически, не приводя к противоречию. Например, предположим, что это значение определено и фактически равно некоторому числу, которое мы решили назвать n . Тогда по определению у нас будет:
Сначала это кажется нормальным, потому что любое значение, которое мы введем для n , сделает уравнение истинным.Однако проблема именно в этом: ЛЮБОЕ значение, которое мы вводим для n , сделает уравнение истинным, поэтому 0/0 можно определить как множество различных НЕРАВНЫХ возможных значений. Другими словами, ему нельзя присвоить только одно значение, не присвоив ему также другие неравные значения. Чтобы понять, почему это так, давайте посмотрим на простое уравнение:
Но это противоречие! Один НЕ равен двум!
Итак, мы не можем понять смысл числа, знаменателем которого является ноль, даже если оно также имеет ноль в числителе.
В этом случае не определено для набора действительных чисел всякий раз, когда n отрицательно, потому что в этом случае будет получено мнимое число. Поскольку не может быть равно какому-либо НАСТОЯЩЕМУ числу, когда n отрицательно, оно не определено для набора действительных чисел (но не для набора комплексных чисел, который включает мнимые числа).
Это пример неопределенного выражения, которого вы, возможно, не видели раньше.Однако мы можем быстро увидеть, что оно не определено, потому что его можно переписать как выражение 0/0, которое, как мы уже знаем, не определено:
Поскольку 0/0 не определено, 0 0 также должно быть неопределенным, поскольку у нас есть только что показано, что эти два выражения эквивалентны.
(На самом деле, иногда математики решают считать 0 0 равным 1, хотя не совсем ясно, правда ли это — это скорее условность. Чтобы прочитать интересное обсуждение того, как и почему это делается, взгляните на на этой странице!)
Когда мы вычисляем предельные задачи алгебраически, мы часто получаем в качестве начального ответа что-то неопределенное.Это потому, что «интересные» места для поиска пределов — это места, где функция undefined . Поскольку функция f (x) не определена при x = c , f (c) выдаст неопределенное выражение. Однако нам важно помнить, что при вычислении предела f (x) как x → c нас не интересует поведение f (x) AT c , а скорее поведение f (x) вокруг c .Итак, это подводит нас к мотивирующему вопросу для этой лекции:
Когда мы получаем неопределенное значение в f (c) , может ли тип неопределенного значения, которое мы получаем, рассказать нам что-то о поведении f (x) AROUND x = c ?Мы проведем оставшуюся часть этой лекции, играя с примерами предельных задач, чтобы попытаться ответить на этот вопрос!
Начнем с того, что вспомним Пример №2 из последней лекции:
График f (x) представлял собой линию с отверстием на ней при x = -2:
В этом случае, когда мы заменили f (x) на x -2, на самом деле мы заменили f (x) , который представляет собой линию с отверстием на x = -2, на y = x -2, это точно такая же линия без отверстия.Эти две функции не полностью идентичны, но они идентичны везде, кроме x = -2, и это все, что имеет значение при вычислении предела. Чтобы две функции имели одинаковый предел при x = -2, все, что нам нужно, это чтобы они были идентичны в некотором интервале около x = -2 (но НЕ обязательно при x = -2).
Итак, подведем итоги шагов, с которыми мы столкнулись при решении этих проблем:
Мы попытались вычислить f (c) напрямую, но обнаружили, что он не определен (в данном случае, потому что он был равен 0/0).
Мы нашли способ заменить f (x) другой функцией, которая аналогична f (x) везде, кроме x = c (в данном случае путем факторизации верхней и нижней части дроби). и исключая общий фактор).
Мы вычислили предел этой новой функции, заменив c на x , и на этот раз мы получили значение, которое не было неопределенным. Поскольку новая функция аналогична f (x) везде, кроме x = c , пределы этих двух функций одинаковы, поэтому мы можем сделать вывод, что предел f (x) является максимальным. такой же.
Мы увидим, что тот же образец встречается во многих задачах с ограничениями, которые мы будем решать. Одно из основных отличий будет заключаться в том, что иногда тип неопределенного значения, которое мы получаем, будет рассказывать нам что-то о том, каково поведение f (x) в интервале около x = c , а иногда неопределенная форма не дает нам достаточно информации о том, что происходит с f (x) около x = c , и в этом случае нам нужно будет выполнить больше шагов алгебры, как мы делали выше, чтобы переписать f (x) , чтобы подключение c для x даст нам конкретную информацию о поведении f (x) вокруг x = c .
Давайте рассмотрим несколько примеров.
Но непосредственно перед тем, как мы погрузимся в примеры, давайте немного поясним некоторые обозначения:
Обозначение: использование 0 и ∞ при расчете пределов.В прошлой лекции мы видели, как можно вычислить f (c) в качестве одного шага к попытке определить, какой предел f (x) есть, когда x приближается к c . В случаях, когда существует f (c) , это просто, потому что тогда предел будет равен f (c) .Однако в большинстве случаев мы вычисляем предел именно потому, что f (c) НЕ существует, и в этих случаях вычисление f (c) всегда будет давать неопределенное выражение. В этих случаях, когда мы вычисляем f (c) , на самом деле мы думаем о том, что такое f (c + ) и f (c — ) .
Другими словами, нам нужно помнить, что , когда мы пытаемся оценить предел, подставляя c вместо x , мы НЕ вставляем значение c точно , а скорее мы подставляем в значениях, которые произвольно БЛИЗКИ к c , но НЕ РАВНЫ на c.
Ноль:Например, если мы говорим, что как x → c , на самом деле мы имеем в виду, что f (x) — это дробная часть, для которой верхняя и нижняя части сколь угодно близки к нулю по мере приближения x . к c . Однако ни верхняя, ни нижняя часть дроби на самом деле никогда не достигают нуля. Другими словами, как верхняя, так и нижняя часть f (x) сжимаются по величине по мере приближения x к c . Итак, нули в выражении INSERT НЕ являются нулями — скорее, они заменяют числа, которые имеют очень малую величину (т.е. очень близки к нулю) .
Бесконечность:
Точно так же, когда мы используем обозначение ∞ при вычислении пределов, мы фактически не имеем в виду бесконечность. Помните, что то, что мы подразумеваем под ± ∞, на самом деле является просто паттерном неограниченного поведения, когда величина чисел неограниченно возрастает.
Так, например, если я нахожу, что x → -∞, то на самом деле это означает, что f (x) — это выражение, для которого первое и второе слагаемые становятся произвольно большими по величине, как x получает произвольно все более отрицательное значение .Однако ни первый, ни второй член выражения на самом деле никогда не достигают бесконечности , потому что это невозможно. Бесконечность — это недостижимое число. Другими словами, и первый, и второй член в f (x) неограниченно растут по величине, поскольку x становится все более и более отрицательным . Итак, знаки бесконечности в выражении INSERT NOTATIONEX2.GIF HERE НЕ являются бесконечностями — скорее, они заменяют числа, которые имеют очень большие величины (т. Е.е. очень очень далеки от нуля) .
При вычислении предельных выражений и 0, и ∞ заменяют тип ПОВЕДЕНИЯ ВОКРУГ
x = c :0 обозначает некоторое число, произвольно близкое к нулю;
+ ∞ обозначает произвольно большое число; и
-∞ обозначает некоторое отрицательное число, имеющее произвольно большую величину.
А теперь перейдем к этим примерам!
Алгебраическое вычисление пределов: примеры
Пример 1: Когда
f (c) дает неопределенное выражение a / 0, где a ≠ 0В этом примере, когда мы вычисляем f (c) , мы сначала получим выражение вида a / 0, где a ≠ 0 (то есть дробь, где верхнее число является некоторым фиксированным ненулевым значением, но нижнее число — ноль):
В этом случае f (x) → -∞ как x → -2 справа, потому что f (x) приближается, как x приближается к -2 справа.Другими словами, когда x приближается к -2 справа, числитель f (x) становится очень близким к -2, а величина знаменателя становится все меньше. Если мы разделим числа, произвольно близкие к -2, на положительные числа с все меньшей величиной, в результате мы получим отрицательные числа со все большей величиной. И если поместить числа в знаменателе с достаточно малой величиной, мы можем получить числа с такой большой величиной, какой захотим — так что это поведение неограничено.В результате мы можем сказать, что f (x) будет неограниченно уменьшаться по мере приближения x к -2 справа, и мы можем записать, что f (x) → -∞ как x → -2. .
Пример 2: Когда
f (c) дает неопределенное выражение 0/0, но фактический предел f (x) , поскольку x приближается к c — это конкретное конечное ненулевое числоВ этом примере, когда мы вычисляем f (c) , мы сначала получим выражение в форме 0/0, но после использования алгебры для замены f (x) аналогичным выражением, аналогичным примерно ( но НЕ В) x = c , мы сможем вычислить фактический предел.Этот предел окажется конкретным конечным числом, которое в данном случае не равно нулю.
В этом случае f (x) приближается к 0/0, поскольку x приближается к 0. Другими словами, когда x приближается к 0, величины как числителя, так и знаменателя f (x) увеличиваются. все меньше. Этой информации недостаточно, чтобы сделать какой-либо вывод о пределе, потому что деление чисел все меньшей величины на другие числа все меньшей величины может дать ряд различных результатов: это зависит от того, насколько «мала» величина числителя. по сравнению со знаменателем ! И мы еще ничего не знаем об отношении между числителем и знаменателем.
Итак, в этом случае нам нужно найти способ заменить f (x) на аналогичную функцию, которая будет такой же, как f (x) all AROUND x = c , но не обязательно AT х = с . Для этого мы спрашиваем себя, есть ли какая-нибудь алгебра, которую мы могли бы использовать для перезаписи f (x) без изменения его значения где-либо, кроме x = c. В этом случае, поскольку f (x) содержит радикал в числителе, один из возможных подходов для нас — попытаться переписать выражение так, чтобы радикал в числителе был исключен — это может позволить нам что-то отменить. верхней и нижней части фракции.(Мы не сможем полностью избавиться от радикала и по-прежнему сохранить функцию той же около x = c , но мы можем переместить ее, например, из числителя в знаменатель.)
Прежде чем перейти к другим примерам, которые помогут нам лучше понять, что может произойти, когда мы получим неопределенную форму 0/0 для f (c) , давайте на минутку отметим, как мы подошли к решению этой проблемы, которое будет тот же базовый подход для ВСЕХ примеров в этой лекции (и для вычисления пределов алгебраически в целом):
Большая идея: Алгебра — это просто способ поиска структуры.
Нам часто требуется, чтобы выражения, уравнения или другие математические объекты имели КОНКРЕТНУЮ СТРУКТУРУ, чтобы мы могли применить к ним определенное правило или использовать определенную технику.
Например, вы можете вспомнить, что в предыдущем классе алгебры, когда вы хотели решить квадратное уравнение, вам нужно, чтобы оно было в форме a x 2 + bx + c = 0, чтобы вы можно разложить на множители выражение в левой части уравнения, а затем установить каждый множитель равным нулю (потому что, если несколько вещей умножаются вместе, чтобы получить ноль, вы можете сделать вывод, что по крайней мере один из этих множителей должен быть равен нулю).Если вы столкнулись с квадратным уравнением, которое не было в этой форме (например, 4 — x 2 = -4x), вам нужно будет выполнить алгебраические операции с уравнением, чтобы вы могли заменить исходное уравнение на эквивалентное уравнение в желаемой форме . В этом случае два уравнения эквивалентны , если они имеют один и тот же набор решений (те же значения x , которые делают уравнение истинным). Так, например, если я хочу поместить 4 — x 2 = -4x в форму a x 2 + bx + c = 0, я могу переставить члены в уравнении так, чтобы это выглядит так: 1 x 2 + -4x + -4 = 0.Это уравнение имеет точно такие же решения, что и исходное уравнение 4 — x 2 = -4x, но оно записано в желаемой форме (потому что в этой новой форме его легко разложить на множители, а затем решить).
Сейчас мы заинтересованы в поиске пределов, и единственный способ, которым мы знаем, как найти пределы, — это просто подключить c для x и вычислить f (c) . Но иногда это не работает — иногда просто подключение c для x дает нам что-то, что не определено, например.Поэтому в таких случаях мы хотим спросить себя: «Из-за какой базовой структуры в этом выражении оно оказывается неопределенным, когда я подключаю c к x , и есть ли способ заменить его другим выражение, которое одинаково везде вокруг x = c , но которое не даст неопределенного результата, когда мы вставим c для x ? «.
Итак, в будущем, когда мы получим неопределенную форму для f (c) , первое, что мы зададим себе, это: «Как мы можем переписать f (x) , чтобы получить что-то эквивалентное (по крайней мере, около x = c ), но который имеет другую структуру , которая поможет нам избежать этой конкретной неопределенной формы?
Пример 3: Когда
f (c) дает неопределенное выражение 0/0, но фактический предел f (x) , поскольку x приближается к c равен нулюВ этом примере, когда мы вычисляем f (c) , мы сначала получим выражение в форме 0/0, но после использования алгебры для замены f (x) аналогичным выражением, аналогичным примерно ( но НЕ В) x = c , мы сможем вычислить фактический предел.В этом случае этот предел окажется нулевым.
Как и в последнем примере, f (x) приближается к 0/0, поскольку x приближается к 0. Опять же, поскольку x приближается к 0, величины числителя и знаменателя f (x) становятся все меньше, и этой информации недостаточно для того, чтобы сделать какой-либо вывод о пределе, потому что это зависит от того, насколько «мала» величина числителя по сравнению со знаменателем , и, следовательно, зависит от соотношения между числитель и знаменатель .
Так же, как и в последнем примере, в этом случае нам нужно найти способ заменить f (x) на аналогичную функцию, которая будет такой же, как f (x) all AROUND x = c , но не обязательно AT x = c . Мы снова спрашиваем себя, есть ли какая-нибудь алгебра, которую мы могли бы использовать, чтобы переписать f (x) без изменения его значения где-либо, кроме x = c. В этом случае, поскольку f (x) содержит радикал в знаменателе, один из возможных подходов для нас — попытаться переписать выражение так, чтобы радикал в знаменателе был сокращен — тогда это может позволить нам что-то исключить. верхней и нижней части фракции.(Опять же, как и в последнем примере, мы не сможем полностью избавиться от радикала и по-прежнему сохранить функцию той же около x = c , но мы можем переместить ее, например, из знаменателя в числитель.)
Пример 4: Когда
f (c) дает неопределенное выражение 0/0, но f (x) → ± ∞, когда x приближается к cВ этом примере, когда мы вычисляем f (c) , мы сначала получим выражение в форме 0/0, но после использования алгебры для замены f (x) аналогичным выражением, аналогичным примерно ( но НЕ В) x = c , мы сможем вычислить фактический предел.В этом случае предела не будет, потому что f (x) будет неограниченно уменьшаться, когда x приближается к 0 слева, и неограниченно увеличиваться, когда x приближается к 0 справа.
Как и в последних двух примерах, f (x) приближается к 0/0, поскольку x приближается к 0. Опять же, поскольку x приближается к 0, величины числителя и знаменателя f (x) становятся все меньше, и этой информации недостаточно, чтобы сделать вывод о пределе, потому что это зависит от того, насколько «мала» величина числителя по сравнению со знаменателем , и, следовательно, зависит от соотношения между числитель и знаменатель .
Как и в последних двух примерах, в этом случае нам нужно найти способ заменить f (x) на аналогичную функцию, которая будет такой же, как f (x) all AROUND x = c , но не обязательно AT x = c . Мы снова спрашиваем себя, есть ли какая-нибудь алгебра, которую мы могли бы использовать, чтобы переписать f (x) без изменения его значения где-либо, кроме x = c. В этом случае, поскольку f (x) содержит радикал в числителе, один из возможных подходов для нас — попытаться переписать выражение так, чтобы радикал в числителе был исключен — это может позволить нам что-то отменить. верхней и нижней части фракции.(Опять же, как и в последнем примере, мы не сможем полностью избавиться от радикала и по-прежнему сохранить функцию той же около x = c , но мы можем переместить ее, например, из числителя в знаменатель.)
Эта проблема аналогична примеру 1 выше. В этом случае f (x) → -∞ как x → 0 слева, потому что f (x) приближается, поскольку x приближается к 0 слева. Другими словами, когда x приближается к 0 слева, числитель f (x) становится очень близким к 1, а величина знаменателя становится все меньше и делением относительно фиксированного положительного числа (например, 1) на отрицательные числа. со все более меньшей величиной мы получаем в результате отрицательные числа со все большей величиной.И, как в примере 1, это поведение неограничено (потому что, сделав величину знаменателя достаточно малой, мы можем получить числа с любой величиной, какой захотим). Таким образом, мы можем сказать, что f (x) будет неограниченно уменьшаться по мере приближения x к 0 слева, и мы можем записать, что f (x) → -∞ как x → 0 — . Аналогично, f (x) → ∞ при x → 0 справа, потому что f (x) приближается, поскольку x приближается к 0 справа.
В чем разница между примерами 1, 2, 3 и 4?
Давайте вспомним эти четыре примера и резюмируем различия между этими четырьмя в чем-то похожими проблемами. В каждом из этих примеров f (x) было дробью, у которой ноль в знаменателе , когда мы заменили c in на x , но в каждом случае числитель и знаменатель f (x ) имеет разные отношения , поскольку x все ближе и ближе к c :
В примере 1 по мере приближения x к c числитель f (x) приближался к фиксированному числу, а величина знаменателя бесконечно уменьшалась.Это привело к числам, величина которых неограниченно увеличивалась (потому что деление относительно фиксированного значения на числа, которые все ближе к нулю, приводит к числам со все более большой величиной, и поскольку, сделав величину знаменателя достаточно малой, мы можем получить числа с любой величиной, какой мы хотим).
В примерах 2, 3 и 4 по мере того, как x приближалось к c , величины числителя и знаменателя f (x) бесконечно уменьшались.Однако:
В примере 2 величина числителя и знаменателя сократилась примерно с «одинаковой» скоростью, так что при делении числителя на знаменатель мы получаем фиксированное значение, очень близкое к 1/2. (В этом случае мы не можем напрямую увидеть, что они будут «сокращаться примерно с той же скоростью»; мы можем определить это, только сначала переписав функцию с помощью алгебры.)
В примере 3 величина числителя уменьшилась намного быстрее, чем величина знаменателя, так что при делении числителя на знаменатель мы получаем значения, которые становятся все ближе к нулю.(В этом случае может быть трудно увидеть, что величина числителя сократится «намного быстрее», но, опять же, мы можем определить, что это так, переписав функцию с помощью алгебры.)
В примере 4 величина знаменателя уменьшилась намного быстрее, чем величина числителя, так что при делении числителя на знаменатель мы получаем значения, которые имеют все большую неограниченную величину. (В этом случае может быть трудно увидеть, что величина знаменателя уменьшится «намного быстрее», но, опять же, мы можем определить, что это так, переписав функцию с помощью алгебры.)
Так что же здесь больше?
Четыре примера, которые мы только что рассмотрели, показали нам, что:
Когда f (c) = a / 0 для некоторого a ≠ 0, тогда этой информации достаточно, чтобы сказать нам, что f (x) → ± ∞ при x → c , потому что деление относительно фиксированного значения на числа, которые все ближе и ближе к нулю, приводит к числам со все более большой величиной, и поскольку, сделав величину знаменателя достаточно малой, мы можем получить числа с такой большой величиной, какой захотим.
Когда f (c) = 0/0, то этой информации НЕ достаточно, чтобы рассказать нам что-либо о том, что происходит с f (x) как x → c , потому что это не говорит нам что-нибудь о соотношении между числителем и знаменателем . Мы знаем, что величины как числителя, так и знаменателя бесконечно сокращаются, но мы не знаем, сокращаются ли они примерно с той же скоростью (и, следовательно, отношение числителя к знаменателю остается относительно постоянным), или если величина одного из них уменьшается «намного быстрее», чем другого (и поэтому отношение числителя к знаменателю либо сокращается до нуля, либо неограниченно увеличивается / уменьшается).
В этом случае мы должны использовать алгебру для замены f (x) на аналогичную функцию (то же самое, что и f (x) AROUND, но не обязательно AT x = c ) , которая НЕ дайте нам 0/0, когда мы подключим c для x .
Мы отмечаем, что ОБЕ a / 0 (когда a ≠ 0) и 0/0 не определены , но этот a / 0 сообщает нам кое-что о поведении предела (даже если оно не определено) , в то время как 0/0 не дает нам никакой полезной информации о поведении лимита .
Итак, всякий раз, когда мы получаем неопределенное значение для f (c) , нам нужно будет остановиться и спросить себя, говорит ли неопределенная форма, которую мы получаем, что-нибудь о предельном поведении f (x) AROUND x = c или нет . Это приводит нас к нескольким определениям, которые мы будем использовать для описания этого различия:
Определение: неопределенные и определенные формыКогда мы ищем lim x → c f (x) и вставляем c in для x , получаем неопределенное выражение для f (c) :
Это неопределенное выражение — это Определить , если оно дает нам достаточно информации, чтобы определить предельное поведение f (x) ВОКРУГ x = c без дополнительных вычислений.(например, a / 0 для a ≠ 0)
Это неопределенное выражение — это неопределенное , если существует более одного возможного типа предельного поведения f (x) ВОКРУГ x = c , которое могло бы произвести это конкретное неопределенное выражение. Другими словами, неопределенная форма не дает нам достаточно информации, чтобы определить, каково поведение f (x) Вокруг x = c , и поэтому нам придется провести дальнейшие вычисления, чтобы понять это.(например, 0/0)
Осторожно! Обратите внимание, что эти определения имеют значение только при вычислении лимита. Если я просто решаю задачу по алгебре и получаю в качестве ответа / 0 или 0/0, моим окончательным ответом на эту проблему будет просто проблема undefined . В этом контексте было бы неправильно говорить что-либо о детерминированных или неопределенных формах, потому что я не рассчитываю предел!
Теперь давайте вернемся к еще нескольким примерам, которые дают нам другие неопределенные выражения при вычислении f (c) , и давайте посмотрим, сможем ли мы определить, какие неопределенные значения для f (c) являются неопределенными формами, а не определенными!
Пример 5: Когда
f (c) дает неопределенное выражение b / ± ∞В этом примере, когда мы вычисляем f (c) , мы сначала получим выражение вида b / ± ∞ (т.е.е. дробь, где верхнее число — некоторое фиксированное значение, а нижнее — бесконечность):
В этом случае f (x) → 0 при x → -∞, потому что f (x) приближается, поскольку величина x неограниченно растет. Другими словами, по мере того, как x неограниченно уменьшается (т.е. становится все более и более отрицательным), числитель f (x) становится очень близким к 3, а величина знаменателя становится все больше. Если мы разделим числа, произвольно близкие к 3, на отрицательные числа все большей величины, в результате мы получим отрицательные числа все меньшей величины.Таким образом, мы получаем числа, которые все ближе и ближе к нулю. В результате мы можем записать, что f (x) → 0 как x → -∞ .
Пример 6: Когда
f (c) дает неопределенное выражение ± ∞ / bВ этом примере, когда мы вычисляем f (c) , мы сначала получим выражение в форме ± ∞ / b (т.е. дробь, в которой нижнее число является некоторым фиксированным значением, а верхнее — бесконечностью):
В этом случае f (x) → + ∞ как x → + ∞, потому что f (x) приближается, когда величина x неограниченно растет.Другими словами, по мере неограниченного увеличения x знаменатель f (x) становится очень близким к 0, а величина числителя становится все больше. Если мы разделим положительные числа, которые имеют все большую величину, на положительные числа с все меньшей величиной (то есть близкие к нулю), в результате мы получим положительные числа со все большей величиной. В результате мы можем записать f (x) → + ∞ как x → + ∞ .
Пример 7: Когда
f (c) дает неопределенное выражение ± ∞ / ± ∞, но фактический предел f (x) , когда x приближается к c , равен нулюВ этом примере, когда мы вычисляем f (c) , мы сначала получим выражение в форме ± ∞ / ± ∞, но после использования алгебры для замены f (x) аналогичным выражением, которое является тем же самым при x → -∞ мы сможем вычислить фактический предел.В этом случае этот предел окажется нулевым.
В этом случае f (x) приближается к ∞ / -∞, а x приближается к -∞. Другими словами, по мере неограниченного роста звездной величины x величины как в числителе, так и в знаменателе f (x) становятся все больше. Этой информации недостаточно, чтобы сделать какой-либо вывод о пределе, потому что деление чисел все большей величины на другие числа все большей величины может дать ряд различных результатов: это зависит от того, насколько «велика» величина числителя. по сравнению со знаменателем ! И мы еще ничего не знаем об отношении между числителем и знаменателем.
Итак, в этом случае нам нужно найти способ заменить f (x) на аналогичную функцию, которая будет такой же, как f (x) как x → -∞ (но не обязательно везде ) . Для этого мы спрашиваем себя, есть ли какая-нибудь алгебра, которую мы могли бы использовать для перезаписи f (x) без изменения его значения на отрицательные значения x с особенно большой величиной. В этом случае проблема заключается в том, что в есть x и числитель, и знаменатель : это означает, что всякий раз, когда мы вставляем -∞ для x , мы неизбежно получим знак бесконечности в и числитель и знаменатель.Поэтому нам нужно подумать о том, что мы можем сделать, чтобы «переписать» f (x) так, чтобы мы могли избавиться от x либо в числителе, либо в знаменателе. Это изменило бы форму, которую мы получаем при вычислении f (c) из неопределенной формы ± ∞ / ± ∞ в определенную форму, которая является либо b / ± ∞, либо ± ∞ / b, и мы знаем это и это.
Итак, чтобы сделать это, мы начнем с того, что заметим, что наибольшая степень x в числителе равна x 2 : Итак, если бы мы разделили все в числителе и знаменателе на x 2 , мы могли бы «отменить» степени x в числителе с целью удержать числитель от стремления к бесконечности, когда мы подставляем -∞ для x :
Эту проблему можно решить несколькими способами.Метод, использованный выше, является всего лишь одним примером, но предел также можно найти другим способом, используя аналогичную алгебраическую технику, но на этот раз делением на наибольшую степень x в целом, вместо просто наибольшей степени x в числителе. Обратите внимание, что оба метода работают одинаково хорошо, помогая нам найти предел, давая нам одинаковые ответы в обоих случаях:
Пример 8: Когда
f (c) дает неопределенное выражение ± ∞ / ± ∞, но фактический предел f (x) , поскольку x приближается к c является фиксированным ненулевым числомВ этом примере, когда мы вычисляем f (c) , как и в последнем примере, мы сначала получим выражение в форме ± ∞ / ± ∞, но на этот раз после использования алгебры для замены f (x) с подобным выражением, которое совпадает с x → -∞, мы сможем вычислить фактический предел.Этот лимит окажется 2.
Аналогично последнему примеру, f (x) приближается к ∞ / ∞, а x приближается к -∞. Как и раньше, по мере неограниченного роста звездной величины x величины в числителе и знаменателе f (x) становятся все больше, и, опять же, этой информации недостаточно, чтобы сделать какие-либо выводы о limit, потому что мы еще ничего не знаем о соотношении между числителем и знаменателем.
Так же, как и в последней задаче, нам нужно найти способ заменить f (x) на аналогичную функцию, которая будет такой же, как f (x) как x → -∞, и снова мы замечаем, что наибольшая степень x в числителе равна x 2 : Итак, как и в последнем примере, если бы мы разделили все в числителе и знаменателе на x 2 , мы могли бы «отменить» степени x в числителе с целью удержать числитель от стремления к бесконечности, когда мы подставляем -∞ для x :
Пример 9: Когда
f (c) дает неопределенное выражение ± ∞ / ± ∞, но f (x) → ± ∞, когда x приближается к cВ этом примере, когда мы вычисляем f (c) , как и в последних двух примерах, мы сначала получим выражение в форме ± ∞ / ± ∞, но на этот раз после использования алгебры для замены f (x) с аналогичным выражением, которое совпадает с x → -∞, мы обнаружим, что f (x) → -∞ как x → -∞.
Аналогично последнему примеру, f (x) приближается к -∞ / ∞, а x приближается к -∞. Как и раньше, по мере неограниченного роста звездной величины x величины в числителе и знаменателе f (x) становятся все больше, и, опять же, этой информации недостаточно, чтобы сделать какие-либо выводы о limit, потому что мы еще ничего не знаем о соотношении между числителем и знаменателем.
Итак, как и в последних двух задачах, нам нужно найти способ заменить f (x) на аналогичную функцию, которая будет такой же, как f (x) как x → -∞, и опять же, используя тот же подход, что и в этих задачах, мы замечаем, что наибольшая степень x в числителе равна x 3 : Итак, как и в последнем примере, если бы мы все разделили в числителе и знаменателе на x 3 , мы могли бы «сократить» степени x в числителе с целью удержать числитель от стремления к (отрицательной) бесконечности, когда мы подключаем in -∞ для x :
Какой узор в данном случае больше?
Пять примеров, которые мы только что рассмотрели, показали нам, что:
Когда f (c) = b / ± ∞, тогда этой информации достаточно, чтобы сказать нам, что f (x) → 0 как x → c , потому что деление относительно фиксированного значения числами увеличивающейся величины приводит к числам, которые становятся все ближе к нулю.
Когда f (c) = ± ∞ / b, тогда этой информации достаточно, чтобы сказать нам, что f (x) → ± ∞ как x → c , потому что деление значения на -увеличение величины со значением, которое остается относительно фиксированным, приводит к числам с все большей и большей величиной, и в результате мы можем получить число любой величины, сделав величину числителя достаточно большой.
Когда f (c) = ± ∞ / ± ∞, то этой информации НЕ достаточно, чтобы рассказать нам что-либо о том, что происходит с f (x) как x → c , потому что это не так. расскажите нам что-нибудь о соотношении между числителем и знаменателем .Мы знаем, что величины числителя и знаменателя неограниченно растут, но мы не знаем, растут ли они примерно с одинаковой скоростью (и, следовательно, отношение числителя к знаменателю остается относительно фиксированным), или если величина одного из них растет «намного быстрее» другого (и поэтому отношение числителя к знаменателю либо сокращается до нуля, либо неограниченно увеличивается / уменьшается).
В этом случае мы должны использовать алгебру для замены f (x) на аналогичную функцию (то же самое, что и f (x) AROUND, но не обязательно AT x = c ) , которая НЕ даст нам ± ∞ / ± ∞, когда мы подключим c для x .
До сих пор мы рассматривали две категории детерминантных и неопределенных форм:
a / 0, где a ≠ 0, является определенной формой, которая стремится к ± ∞, а 0/0 — неопределенной формой.
b / ± ∞ — определенная форма, которая стремится к 0; ± ∞ / b — детерминантная форма, стремящаяся к ± ∞; а ± ∞ / ± ∞ — неопределенная форма.
Но это не единственные два примера форматов, которые производят определяющие и неопределенные формы.Есть ряд других детерминантных и неопределенных форм, с которыми мы столкнемся, пытаясь решить предельные задачи алгебраически. Вот таблица, которая показывает все определяющие и неопределенные формы:
Справочная таблица: неопределенные и определенные формы
Осторожно! Отметим, что , когда в выражении есть символ ± более чем в одном месте, ± не обязательно означает одно и то же в обоих местах! Например, если у нас есть a · ± ∞ → ± ∞, знак ± слева от стрелки и ± справа от стрелки могут иметь разные знаки: если a отрицательно, они будут иметь противоположные знаки, например.
Итак, каждый раз, когда мы вычисляем f (c) , подключая c для x , когда наша цель действительно найти предел f (x), поскольку x приближается к c, , мы знаем, что если результат находится в списке неопределенных форм выше, нам нужно будет проделать больше работы, прежде чем мы сможем вычислить предел (обычно путем перестановки f (x) с использованием некоторой алгебры). Однако, если выражение, которое мы получаем для f (c) , находится в списке определяющих форм, мы уже знаем, каким будет предел f (x) , поскольку x приближается к c .
Но мы не хотим просто использовать этот список вслепую! Если мы просто ищем значения в этом списке, не понимая, почему выражения слева являются неопределенными, а выражения справа являются определяющими, мы, вероятно, в какой-то момент совершим ошибку и применим эти идеи неправильно. Более того, нам гораздо легче понять, почему каждая из этих форм является определяющей или неопределенной, чем просто запомнить список, не понимая его. Легко забыть список выражений, которые мы заучили, но гораздо труднее забыть идею, которую мы действительно понимаем.Итак, , я настоятельно рекомендую вам убедиться, что вы понимаете, как объяснить своими словами, почему каждая из этих форм является либо неопределенной, либо определяющей (и если она является определяющей, то каково будет значение лимита).
Мы уже рассмотрели примеры и обсудили, как мы классифицировали первые две строки таблицы как определяющие или неопределенные, поэтому теперь давайте рассмотрим некоторые другие выражения:
В чем разница между ∞ — ∞ и ∞ + ∞?
В третьей строке нашей таблицы мы замечаем, что ∞ — ∞ (или -∞ + ∞) неопределенно, а ∞ + ∞ (или -∞ — ∞) является определяющим. Почему это так? Давайте подумаем об этом, а затем разработаем несколько предельных примеров.Мы можем видеть, что ∞ + ∞ должно стремиться к ∞, потому что сложение двух значений, каждое из которых неограниченно увеличивается, просто даст нам третье значение, которое также неограниченно увеличивается. (Аналогично -∞ — ∞ даст нам что-то неограниченно убывающее.)
Однако, если мы подумаем о ∞ — ∞, мы увидим, что мы сталкиваемся с проблемой, заключающейся в том, что мы не знаем отношения между первым и вторым значением:
Может случиться так, что величина первого значения увеличивается «намного быстрее», чем второе значение, и в этом случае ∞ — ∞ будет стремиться к + ∞.
Может случиться так, что величина второго значения увеличивается «должно быстрее», чем первое значение, и в этом случае ∞ — ∞ будет стремиться к -∞.
Или может случиться так, что величины и первого, и второго значений увеличиваются «примерно с одинаковой» скоростью, и в этом случае ∞ — ∞ будет стремиться к 0 или какому-либо другому фиксированному значению.
Итак, пока мы не узнаем больше о соотношении между первым и вторым значением в выражении ∞ — ∞, мы не знаем, что делать выводы о предельном поведении f (x) около x = c.
Это также легко представить себе графически: мы можем думать о выражении ∞ — ∞ как об описании двух графиков (один график для первого члена и один для второго члена), каждый из которых неограниченно возрастает, а затем ∞ — ∞ обозначает расстояние между двумя графиками при приближении x c. Если первый и второй график представляют собой две параллельные линии с положительным наклоном, каждая линия будет неограниченно расти как x → ∞, но расстояние между двумя линиями останется фиксированным как x → ∞.Однако, если одна из этих линий круче другой, расстояние между двумя линиями увеличится до x → ∞.
Давайте рассмотрим несколько разработанных примеров для этих различных случаев детерминантной формы ∞ + ∞ (или -∞ — ∞) и неопределенной формы ∞ — ∞:
Пример 10: Когда
f (c) дает неопределенное выражение ∞ + ∞, поэтому f (x) → ∞, когда x приближается к cПример 11: Когда
f (c) дает неопределенное выражение ∞ — ∞, но f (x) → ∞, когда x приближается к cМы замечаем, что в этом случае величина первого члена растет «быстрее», чем величина второго члена.
Пример 12: Когда
f (c) дает неопределенное выражение ∞ — ∞, но f (x) → -∞, когда x приближается к cМы замечаем, что в этом случае величина второго члена растет «быстрее», чем величина первого члена.
Пример 13: Когда
f (c) дает неопределенное выражение ∞ — ∞, но f (x) приближается к нулю, поскольку x приближается к cМы замечаем, что в этом случае величины первого и второго членов растут примерно с «одинаковой» скоростью.
Пример 14: Когда
f (c) дает неопределенное выражение ∞ — ∞, но f (x) приближается к фиксированному конечному ненулевому значению, поскольку x приближается к cМы замечаем, что в этом случае величины первого и второго членов растут примерно с «одинаковой» скоростью.
Теперь, когда мы исследовали детерминантную форму ∞ + ∞ (или -∞ — ∞) и неопределенную форму ∞ — ∞, давайте посмотрим на различные случаи детерминантной формы a · ± ∞ и ± ∞ · ± ∞, а неопределенная форма 0 · ± ∞:
В чем разница между 0 · ± ∞ и двумя случаями
a · ± ∞ и ± ∞ · ± ∞?В четвертой строке нашей таблицы мы замечаем, что 0 · ± ∞ является неопределенным, в то время как a · ± ∞ и ± ∞ · ± ∞ являются определяющими — почему это так? Мы видим, что a · ± ∞ и ± ∞ · ± ∞ должны стремиться к ± ∞, потому что умножение двух значений вместе, оба из которых имеют неограниченно возрастающие величины, просто даст нам третье значение, величина которого также увеличивается. без ограничений (хотя его знак будет зависеть от знаков двух множителей, умножаемых вместе).
Однако, если мы подумаем о 0 · ± ∞, мы увидим, что мы сталкиваемся с проблемой, заключающейся в том, что мы не знаем отношения между первым и вторым факторами:
Может случиться так, что величина первого фактора уменьшается «намного быстрее», чем величина второго фактора увеличивается, и в этом случае 0 · ± ∞ будет стремиться к нулю. Например, подумайте о следующей последовательности значений, и посмотрим, что произойдет, если мы умножим каждое из их членов вместе:
Умножение каждого члена из первой последовательности на каждый член из второй последовательности дает:
Может случиться так, что величина второго фактора увеличивается «должно быстрее», чем величина первого фактора уменьшается, и в этом случае 0 · ± ∞ будет стремиться к ± ∞.Например, подумайте о следующих последовательностях значений и подумайте, что происходит, когда мы умножаем каждое из их членов вместе:
Умножение каждого члена из первой последовательности на каждый член из второй последовательности дает:
Или может случиться так, что величина первого фактора уменьшается «примерно с той же скоростью, что и величина второго фактора», и в этом случае 0 · ± ∞ будет стремиться к некоторому другому фиксированному значению.Например, подумайте о следующих последовательностях значений и подумайте, что происходит, когда мы умножаем каждое из их членов вместе:
Умножение каждого члена из первой последовательности на каждый член из второй последовательности дает:
Итак, пока мы не узнаем больше о соотношении между первым и вторым значением в выражении 0 · ± ∞, мы не знаем, какой вывод о предельном поведении f (x) при x → г.
Мы еще не обсуждали последние три строки таблицы, в которой перечислены неопределенные и определенные формы. У нас есть несколько минут, чтобы обрисовать идеи, лежащие в основе каждой из этих форм, но мы оставим это занятие в качестве дополнительной награды, чтобы вы могли привести конкретные примеры каждой из этих различных форм. Позже в семестре мы столкнемся с некоторыми проблемами пределов, которые дадут эти детерминированные и неопределенные формы, но обычно нам потребуются более сложные инструменты для решения этих проблем с ограничениями, и мы еще не знакомы с этими инструментами.(Тем не менее, используя графики или метод проб и ошибок, вы можете найти примеры проблем с ограничениями, которые включают одну из этих последних трех неопределенных форм.)
Неопределенные формы 0
0 , 1 ± ∞ и ∞ 0 в сравнении с определяющими формами 0 ± ∞ , a ± ∞ , ∞ a и ∞ ± ∞Давайте начнем с рассмотрения, почему 0 0 является неопределенным, а 0 ± ∞ является определяющим — почему это так? Мы можем видеть, что 0 ± ∞ должно стремиться к 0, потому что умножение некоторого значения, величина которого постоянно уменьшается сама по себе, во все большее и большее количество раз, просто даст нам третье значение, величина которого также бесконечно уменьшается (т.е. стремится к 0).
Однако, если мы подумаем о 0 0 , мы увидим, что мы столкнулись с проблемой, заключающейся в том, что мы не знаем отношения между основанием и экспонентой:
Может случиться так, что величина основания уменьшается «намного быстрее», чем величина показателя степени, и в этом случае 0 0 будет стремиться к нулю (Подсказка: подумайте о функции, в которой основание остается фиксированным на нуле, в то время как экспонента стремится к нулю).
Может случиться так, что величина показателя степени уменьшается «намного быстрее», чем величина основания, и в этом случае 0 0 будет стремиться к 1 (Подсказка: подумайте о функции, в которой основание стремится к нулю, но экспонента остается неизменной на нуле).
Как и в других примерах, пока мы не узнаем больше об отношении между показателем степени и основанием в выражении 0 0 , мы не знаем, что делать выводы о предельном поведении f (x) как x → c.
Небольшое примечание об этом примере для тех из вас, кому интересно: 0 0 на самом деле не является неопределенным, потому что, если вы посмотрите вокруг, вы можете найти некоторые доказательства, которые показывают, что 0 0 = 0. Однако это не ‘ t действительно имеет отношение к нашему изучению исчисления, потому что даже если 0 0 не является неопределенным, когда мы что-то вычисляем точно, когда мы находим предел f (x) , мы не получаем 0 0 точно; вместо этого мы пытаемся определить, каково поведение f (x) , поскольку оно стремится к 0 0 , что является еще одним способом спросить, к какому значению приближается степень, поскольку ее основание и показатель степени стремятся к нулю (и не можем ответить на этот вопрос, если мы не знаем взаимосвязь между скоростью, с которой база стремится к нулю, и скоростью, с которой показатель степени стремится к нулю).
Неопределенные формы 1
± ∞ в сравнении с определяющей формой a ± ∞Теперь давайте рассмотрим, почему 1 ± ∞ является неопределенным, а c ± ∞ (для c ≠ 1 и c > 0) является определяющим — почему это так?
Мы можем видеть, что когда c > 1, c ∞ должно стремиться к ∞, потому что умножение некоторого положительного значения больше единицы на себя все большее и большее количество раз даст нам все большие и большие значения (и мы можно получить любое значение, просто сделав экспоненту настолько большой, насколько нам нужно для этого).Мы можем видеть, что когда 0 < c <1, c ∞ должно стремиться к 0, потому что умножение некоторого положительного значения меньше единицы на себя все большее и большее количество раз даст нам значения с все меньшими и меньшими величинами. (или значения, которые все ближе и ближе к нулю).
В связи с этим мы можем видеть, что когда c > 1, c -∞ должно стремиться к 0, потому что c -∞ на самом деле просто 1/ c ∞ , и мы уже известно, что c ∞ → ∞ (когда c > 1) и 1 / ∞ → 0.Точно так же, когда 0 < c <1, c -∞ должно стремиться к ∞, потому что c -∞ на самом деле просто 1/ c ∞ , и мы уже знаем, что c ∞ → 0 (когда 0 < c <1) и 1/0 → ∞ (когда знаменатель положительный, как здесь, потому что он приближается к 0 с положительной стороны).
Однако, если мы подумаем о 1 ± ∞ , мы увидим, что сталкиваемся с проблемой, заключающейся в том, что мы не знаем отношения между основанием и экспонентой:
Может случиться так, что величина основания стремится «намного быстрее» к 1, чем величина экспоненты стремится к бесконечности, и в этом случае 1 ± ∞ будет стремиться к 1.(Подсказка: подумайте о функции, в которой основание остается фиксированным на единице, а показатель степени стремится к плюсу или минусу бесконечности).
Может случиться так, что показатель степени стремится к положительной бесконечности «намного быстрее», чем основание стремится к 1, и что основание приближается к 1 с положительной стороны, так что значения в основе больше 1: в данном случае 1 ∞ будет стремиться к ∞.
Может случиться так, что показатель степени стремится к положительной бесконечности «намного быстрее», чем основание стремится к 1, и что основание приближается к 1 с отрицательной стороны, так что значения в основе меньше 1: в данном случае 1 ∞ будет стремиться к 0.
Может случиться так, что показатель степени стремится к отрицательной бесконечности «намного быстрее», чем основание стремится к 1, и что основание приближается к 1 с положительной стороны, так что значения в основе больше 1: в данном случае 1 -∞ будет стремиться к 0 (потому что 1 -∞ на самом деле всего 1/1 ∞ , а когда база меньше 1, 1/1 ∞ → 1 / ∞ → 0).
Может случиться так, что показатель степени стремится к отрицательной бесконечности «намного быстрее», чем основание стремится к 1, и что основание приближается к 1 с отрицательной стороны, так что значения в основе меньше 1: в данном случае 1 -∞ будет стремиться к ∞ (потому что 1 -∞ на самом деле всего 1/1 ∞ , а когда база меньше единицы, 1/1 ∞ → 1/0 → ∞).(Мы знаем, что 1/0 → ∞ вместо -∞ в этом случае, потому что 1 ∞ приближается к нулю с положительной стороны.)
Как и в других примерах, пока мы не узнаем больше о соотношении между показателем степени и основанием в выражении 1 ± ∞ , мы не знаем, какой вывод о предельном поведении f (x) как x → c.
Мы можем использовать аналогичные рассуждения, чтобы лучше понять неопределенные формы ∞
0 по сравнению с определяющими формами ∞ a и ∞ ± ∞ , которые являются последним набором форм в нашей таблице.Чтобы закончить эту лекцию, давайте рассмотрим еще несколько примеров, в некоторых из которых используются методы, которые мы не использовали в предыдущих примерах задач.
Еще несколько примеров предельных задач, которые могут быть решены алгебраически:
Пример 15: Использование факторинга для исключения неопределенной формы 0/0
Для этого уравнения прямая замена c на f (x) снова даст нам 0/0, которое не определено. Однако, хотя a / 0 не определено для всех значений a, дробь, где верхняя часть остается фиксированной на ненулевом значении и где нижняя часть приближается (но не достигает) к нулю, фактически приближается к положительной или отрицательной бесконечности (в зависимости от знаков числителя и знаменателя).Чтобы определить, где f (x) может увеличиваться по сравнению с неограниченным уменьшением (т.е. должен ли бесконечность иметь положительный или отрицательный знак перед собой), мы должны рассматривать каждый односторонний предел отдельно:
Найдите предел f (x) , когда x приближается к 0:
Пример 16: Использование факторинга для исключения неопределенной формы 0/0 с различиями в пределе, когда мы оцениваем его слева и справа
Эта функция аналогична последней функции; однако мы замечаем, что на этот раз правый и левый пределы различаются по знаку / направлению:
Пример 17: Использование деления на степень
x , даже если дробь включает знак корня, для исключения неопределенной формы ± ∞ / ± ∞Эта функция аналогична примерам 7, 8 и 9, за исключением того, что здесь необходим модифицированный метод, чтобы переписать уравнение так, чтобы его можно было вычислить путем подстановки.На этот раз, из-за наличия корня в числителе, мы должны разделить на квадратный корень из x 2 , и, поскольку это всегда будет положительным значением, мы должны быть особенно осторожны, чтобы отслеживать знаки:
Нет причин, по которым наш предел должен быть отрицательным, поскольку x становится «более отрицательным» (т. Е. Как x → — ∞) или что он должен быть положительным, поскольку x становится «более положительным». «(я.е. как x → + ∞). Например, у нас может быть противоположный случай, как в функции, представленной на следующем графике:
Пример 18: Использование подстановки для оценки предела, который нельзя оценить с помощью одного из предыдущих методов
И, наконец, у нас есть функция, которая имеет колеблющееся поведение около x = c , и поэтому для вычисления предела здесь алгебраически мы разбиваем задачу на два отдельных вопроса о пределе:
зум
На этом этапе мы должны быть в состоянии найти все виды ограничений, глядя на график функции или алгебраически манипулируя уравнением для функции!
И мы также должны быть в состоянии объяснить, почему некоторые неопределенные значения, которые мы получаем при вычислении f (c) , являются определяющими, а другие — неопределенными
Расчет пределов с помощью алгебры — AP Calculus AB
Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или несколько ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.
Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.
Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.
Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:
Вы должны включить следующее:
Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении прав, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.
Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:
Чарльз Кон
Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105
Или заполните форму ниже:
В поисках предела — Бесплатная справка по математике
Что такое предел?
Предел — это определенное значение, к которому приближается функция. Поиск предела обычно означает определение значения y, когда x приближается к определенному числу.Вы бы обычно выражали это как что-то вроде «предел функции f (x) равен 7, когда x приближается к бесконечности. Например, представьте себе такую кривую, когда x приближается к бесконечности, эта кривая приближается к y = 0, в то время как никогда на самом деле добраться туда. Итак, как мы алгебраически найти этот предел? Один из способов найти предел — использовать метод подстановки .
Например, предел следующего графика равен 0, когда x приближается к бесконечности, что ясно видно, когда график приближается к 0, вот так:
Теперь давайте рассмотрим несколько примеров, где мы можем найти предел реальных функций:
Пример A
Найдите предел \ (f (x) = 4x \), когда x стремится к 3.2-7x} {x} = \ frac {x (6x-7)} {x} = 6x-7 $$
Мы отменили множитель x в числителе и знаменателе, оставив нам простой предел:
$$ \ lim_ {x \ to0} (6x-7) $$Теперь мы можем заменить x на 0, чтобы найти предел -7:
$$ \ lim_ {x \ to0} (6x-7) = -7 $$Примечание. x}) $$
Мысленно зафиксируйте $ x $ как некоторое разумное число, скажем, $ 2 $.b $, $ \ sin {x} $, $ \ log {x} $ и несколько других общих функций по отдельности, вы сможете собрать воедино поведение большинства этих проблем, рассматривая их по частям.
Ура. Надеюсь, это поможет.
Wolfram | Примеры альфа: пределы
Пределы
Вычислить пределы численно и символически.
Возьмем предел коэффициента разницы:
Вычислить предел с участием абстрактных функций:
Другие примеры
Односторонние ограничения
Вычисление односторонних пределов с заданного направления.
Вычислить односторонние ограничения в точке разрыва:
Укажите направление подхода:
Другие примеры
Предельные представления
Экспресс-функции в терминах лимитов.
Найдите предельные представления для функции:
Другие примеры
.