Предел функции, правило Лопиталя
Применение правила Лопиталя необходимо для вычисления пределов при получении неопределенностей вида 00 и ∞∞.
Имеются неопределенности вида 0·∞ и ∞-∞.
Самой важной частью правила Лопиталя является дифференцирование функции и нахождение ее производной.
Определение 1Когда limx→x0f(x)g(x)=00 или ∞∞ и функции f(x), g(x) являются дифференцируемыми в пределах точки х0, тогда limx→x0f(x)g(x)=limx→x0f'(x)g'(x).
Если неопределенность нерешаема после применения правила Лопиталя, тогда необходимо снова его применить. Для полного понятия рассмотрим несколько примеров.
Пример 1Произвести вычисления, применив правило Лопиталя limx→0sin2(3x)x·cos(x).
Решение
Для решения по правилу Лопиталя для начала необходимо произвести подстановку. Получаем, что limx→0sin2(3x)x·cos(x)=sin2(3·0)0·cos(0)=00.
Теперь можно переходить к вычислению пределов, используя правило.
limx→0sin2(3x)x·cos(x)=00=limx→0sin2(3x)’x·cos(x)’=limx→02sin(3x)(sin(3x))’x’·cos(x)+x·(cos(x))’==limx→06 sin(3x)cos(3x)cos(x)-x·sin(x)=6sin(3·0)cos(3·0)cos(0)-0·sin(0)=01=0
Ответ: limx→0sin2(3x)x·cos(x)=0.
Пример 2Вычислить предел заданной функции limx→∞ln(x)x.
Решение
Производим постановку бесконечностью. Получаем, что
limx→∞ln(x)x=ln(∞)∞=∞∞
Полученная неопределенность указывает на то, что необходимо применить правило Лопиталя. Имеем, что
limx→∞ln(x)x=∞∞=limx→∞ln(x)’x’=limx→∞1×1=1∞=0
Ответ: limx→∞ln(x)x=0
Пример 3Вычислить предел заданной функции limx→0+0(x4ln(x))
Решение
Производим подстановку значения x. получаем, что
limx→0+0(x4ln(x))=(0+0)4·ln(0+0)=0·(-∞)
Решение привело к неопределенности вида ноль умноженный на отрицательную бесконечность. Это указывает на то, что необходимо обратиться к таблице неопределенностей и принять решения для выбора метода нахождения этого предела.
limx→0+0(x4ln(x))=0·(-∞)=limx→0+0ln(x)x-4=ln(0+0)(0+0)-4=-∞+∞
Приход к неопределенности говорит о том, что необходимо повторное применение этого правила. Имеем, что
limx→0+0(x4ln(x))=0·(-∞)=limx→0+0ln(x)x-4=-∞+∞==limx→0+0(ln(x))'(x-4)’=limx→0+01x-4-5=-14limx→0+01x-4=-14·1(0+0)-4==-14·(0+0)4=0
Ответ: limx→0+0(x4ln(x))=0
Пример 4Выполнить вычисление предела функции limx→0ctg2(x)-1×2.
Решение
После подстановки получаем
limx→0ctg2(x)-1×2=∞-∞
Наличие неопределенности указывает на то, что следует использовать правило Лопиталя. Получаем, что
limx→0ctg2(x)-1×2=∞-∞=limx→0cos2(x)sin2(x)-1×2==limx→0x2cos2(x)-sin2(x)x2sin2(x)=limx→0x cos x-sin xx cos x+sin xx2sin2(x)==limx→0x cos x-sin xx sin2(x)x cos x+sin xx=limx→0xcos x-sinxxsin2(x)cos x+sin xx==limx→0cos x+sin xxlimx→0xcos x-sin xxsin2(x)=2limx→0x cosx-sin xx sin2 (x)==20·cos(0)-sin(0)0·sin2(0)=00
Для последнего перехода использовался первый замечательный предел.
После чего приходим к решению по Лопиталю. Получим, что
2limx→0x cosx-sin xx sin2 (x)=00=2limx→0(x cosx -sin x)'(x sin2(x))’==2limx→0cos x-x sin x-cos xsin2(x)+2x sin x cos x=2limx→0-xsin(x)+2x cos x=00
Так как неопределенность не ушла, необходимо еще одно применение правила Лопиталя. Получаем предел вида
2limx→0-xsin(x)+2x cos x=00=2limx→0-x’sin(x)+2x cos x’==2limx→01cos x+2cos x-2xsin x=-2·13·cos(0)-2·0·sin(0)=-23
Ответ: limx→0ctg2(x)-1×2=-23
Решение задач
от 1 дня / от 150 р.
Курсовая работа
от 5 дней / от 1800 р.
Автор: Ирина Мальцевская
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
Основные правила вычисления пределов, связанные с арифметическими операциями
Если функции y = f(x)иy = (x)имеют конечные пределы прих а, то:
, предел суммы равен сумме пределов.
, предел произведения равен произведению пределов.
, предел частного равен отношению пределов, если.
, предел постоянной величины равен самой постоянной.
− постоянную величину можно выносить за знак предела.
Первый и второй замечательные пределы и следствия из них.
Таблица эквивалентных БМ величин
ПЕРВЫЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ: | . |
ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ: | , , где …(натуральное число) |
Второй замечательный предел на практике можно использовать и в такой форме ( а, в – соnst)
Следствия из
замечательных пределов – это соотношения
эквивалентности между некоторыми БМ
величинами.
ТАБЛИЦА ЭКВИВАЛЕНТНЫХ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВЕЛИЧИН
Пусть , т.е. является бесконечно малой величиной.
Следствия из первого замечательного предела. | Следствия из второго замечательного предела. |
sin x ~ x tg x ~ x arcsin x ~ x arctg x ~ x 1 — cos x ~ x2 / 2 |
Техника вычисления пределов
При вычислении пределов функций используется правило предельного перехода под знаком непрерывной функции,которое формулируется так:
.
Оно справедливо для всех элементарных функций, так как они непрерывны в своих областях определения. Из правила следует, что при вычислении пределов, прежде всего, необходимо аргумент функции заменить его предельным значением и выяснить, имеется ли неопределенноесоотношениие. Кнеопределеннымотносятся соотношения вида:
, .
Если такое выражение существует, необходимо выполнить тождественные преобразования, в результате которых
Логическая схема техники вычисления пределов
Основные этапы поиска способа раскрытия неопределенности представлены в алгоритме на следующей странице, а конкретные примеры вычисления пределов функции приведены в разделе «Примеры выполнения обязательных заданий по теме 4».
Общий алгоритм вычисления предела функции
.
Подставить
(в том числе и)
в. | |||||
| |||||
Проанализировать полученное неопределенное соотношение: . | |||||
| |||||
| Если это отношение многочленов, то выделяется главная часть: | ||||
| алгебраические преобразования : выделение в числителе и знаменателе множителя, стремящегося к нулю. | | Если
это отношение многочленов, то
определяются корни числителя и
знаменателя дроби и многочлены
раскладываются на множители. | ||
| Если предел содержит квадратные (кубические) корни, то следует умножить и разделить дробь на соответствующий сопряженный множитель. | ||||
использование эквивалентных бесконечно малых величин. | | Отношение степенных функций. | |||
| Это неопределенное выражение приводится к виду: или . | ||||
| Если , то привести к общему знаменателю и получить. | ||||
Преобразование
иррациональности
. | |||||
| Приведение предела к виду второго замечательного предела, т.е. , где- бесконечно малая величина. Затем используют известные формулы или . | ||||
Почему учащимся сложно вычислить лимит?
Цель алгебры состоит в том, чтобы понять символы, а затем извлечь ответы из уравнений. Однако большинство учащихся не в состоянии понять это понятие, поэтому им трудно выполнять расчеты. Ученикам трудно прийти к правильному решению, когда у них неадекватные концепции и основы.
Но не волнуйтесь, так как предельный калькулятор устранил все препятствия, которые возникают у ученых при решении математических задач.
Этот бесплатный решатель ограничений может помочь вам получить немедленные результаты для проблем с ограничениями, как следует из названия.
Студенты не интересуются пределами и арифметическим анализом, так как это сложная задача. Вот почему наш бесплатный инструмент спешит вам на помощь. Что вы думаете?
Так или иначе, давайте теперь обратим внимание на стержень. Вы хотите посмотреть на недостатки, которые мешают ученикам узнать о предельных вычислениях? Если это так, читайте дальше для получения дополнительной информации.
Продолжайте!
Ограничения – это что-то ужасное?Иногда учащимся может быть трудно реализовать стратегию ограничения. Для всех, кто не знает, что делать, есть четыре подхода к решению ограничения. Калькулятор Calculator-limit online.net может помочь вам определить, какой метод выбрать. При поиске корней предела можно использовать метод факторинга.
Другая проблема заключается в том, что дети не могут отличить рациональные числа от запутанных. Это становится серьезной проблемой для студентов, когда они не могут разработать стратегию для реализации в уме.
Основная причина этого заключается в том, что учащиеся не понимают, какой метод выбрать.
Калькулятор лимита с шагами помогает учащимся выяснить, с каким числом они работают, и могут ли они быстро получить информацию о достоверности числа. Они смогут решить конкретную проблему и определить, с каким числом они имеют дело. Если вы используете оценщик лимита и получаете неопределенное число в знаменателе, вы не можете использовать стратегию замены. Калькуляторы пределов могут помочь нам выяснить, какой метод следует использовать, например, замену, факторинг, рационализацию или метод наименьшего общего множественного числа.
Метод факторинга:Решатель лимита может помочь вам решить, применять ли метод факторинга. Если мы уже знаем корни функции, мы будем использовать метод факторинга.
Существуют различные причины для использования метода факторинга, чтобы следовать решению метода факторинга:
F(x)= x4x2-6x+9x-3,
F(x)= x4x2-6x+9x-3,
F(x)= x F(x)= x3x2-12x+36x-6,
F(x)= x3x2-12x+36x-6,
F(x)= x F(x)= x2x2-8x+16x-4,
F(x)= x2x2-8x+16x-4, F(x)= x
Учитывать все функции; все они могут быть учтены.
x2-6x+9= (x-3) (x-3)
x2-12x+36= (x-6) (x-6)
(x-4) = x2-8x+16 (x-4)
Все рационализированные функции корней и функции отсечения по знаменателю. Для начала мы найдем эти функции, имеющие корни в калькуляторе лимитов, а затем воспользуемся факторингом для решения лимита.
Стратегия рационализации:Стратегия рационализации используется, когда и факторинг, и подходы замещения не позволяют решить проблему.
Подумайте о следующей функции:
F(x)=x14x-7 -3x-14
F(x)=x14x-7 -3x-14 F(x)=x14
Функция непонятна, когда мы реализуем ограничение. Как мы можем видеть из того факта, что знаменатель равен «0», калькулятор лимита делает оценку лимита простой для нас.
Это сделало бы предел в целом неразрешимым.
Чтобы найти аналог x-7 -3x-11.x-7+3x-7+3, смешаем знаменатель и числитель. Как следствие, студенты смогут определить предел.
Умножение на сопряженную функцию значительно упрощает задачу для учащихся.
Подход на замену:В этой части мы рассмотрим несколько примеров, чтобы показать вам, как использовать подход замены для решения проблем с ограничениями. Этот подход также используется в бесплатном онлайн-калькуляторе лимитов. Стратегию замены следует использовать, если оценщик предела все еще разрешим. При применении ограничения проверьте следующую функцию:
F(х)= х8х2-9х+18х-7
F(x)= x8x2-9x+18x-7 F(x)= x
Мы будем использовать стратегию замены, чтобы применить вычислитель предела в предыдущей функции, поскольку предел по-прежнему разрешим.
Теперь взгляните на функцию, подобную приведенной ниже:
F(х)= х4х2-9х+5х-4
F(x)= x4x2-9x+5x-4 F(x)= x
Знаменатель станет неопределенным, когда мы создадим оценщик предела, который в данном случае равен x4, и когда мы вставим оценщик предела в функцию, знаменатель станет «0».
Калькулятор лимита может помочь здесь, поскольку он позволяет нам проверить, определена ли функция, прежде чем устанавливать лимит. Результат деления числителя на многочлен является неопределенной функцией. В этом случае мы выберем другую стратегию.
Вы можете использовать Калькулятор лимита, чтобы получить оценщик верхнего и нижнего предела переменных. С другой стороны, искатель пределов может помочь вам в определении ограничений, выполнив инструкции ниже
.- Начните с ввода уравнений или функций.
- В раскрывающемся меню выберите переменную, для которой вы хотите установить ограничение. Это может быть любое из следующего: x, y, z, a, b, c или n.
- Установите порог, при котором будет определяться предел. В этой области вы также можете использовать простое слово, такое как «inf=» или «pi =».
- Теперь пришло время выбрать ориентацию предела. Он может быть как полезным, так и разрушительным.
- После того, как вы введете значения в поля, калькулятор отобразит предварительный просмотр уравнения.
- Просто используйте кнопку расчета, чтобы выполнить расчет.
В этом указателе мы рассмотрели, почему ограничения являются трудной стратегией для детей. Кроме того, в контексте было выделено использование калькулятора пределов, чтобы уменьшить трудности, связанные с этим алгебраическим методом. Мы надеемся, что эта статья окажется полезным ресурсом для студентов.
Узнайте о важности методологии для облегчения изучения математики.
Пошаговое руководство по использованию калькулятора лимитов
Независимо от того, хотите ли вы проверить свой ответ или полностью пропустить расчет лимитов, вам поможет калькулятор. Но есть еще кое-что, что калькуляторы могут сделать для вас.
Некоторые задачи с пределами не могут быть решены алгебраически, но калькулятор может решить эти задачи.
Работа с ограничениями на калькуляторе немного сложна. Нет кнопок, которые вы могли бы нажать, чтобы ввести пределы ваших функций непосредственно в калькулятор. Таким образом, определение предела функции с помощью калькулятора потребует от вас научиться использовать определенные функции на калькуляторе.
В этом посте мы расскажем о различных методах, которые вы можете использовать для доступа к функциям поиска пределов научного калькулятора.
Что такое ограничения?Пределы являются основой всех вычислений. Именно они позволяют нам понять производные, интегралы и непрерывность. Более важно то, что ограничения позволяют нам анализировать поведение функций в разных точках.
Нахождение предела функции (скажем, функции f(x)) будет определять ее поведение, когда она приближается к значению «x». Но важно отметить, что нахождение этого значения по своей сути не обеспечивает значение функции в «x».
f(x) = L
Уравнение выше можно прочитать как предел f(x) при приближении x к c равен L.
Существует три способа расчета лимитов с помощью калькулятора.
Метод №1: Подстановка чисел рядом со стрелкойДопустим, нам нужно протестировать следующую предельную функцию:
x 2 -25
x-5
Теперь, чтобы проверить эту предельную функцию, подставьте в функцию числа, которые немного ниже и немного выше, чем номер стрелки.
Для этого включите калькулятор и введите первое число, которое хотите использовать в уравнении. Продолжая пример выше, первое число будет 4,9999.
Затем нажмите кнопку «Sto», которая является кнопкой сохранения, а затем нажмите кнопку «x». При этом значение 4,9999 будет сохранено в «x».
Теперь вы должны ввести функцию в калькулятор. Поскольку значение, которое вы хотите заменить, хранится в памяти, результат появится, когда вы нажмете клавишу ввода.
Вы заметите, что результат для этого примера равен 9,9999, что очень близко к круглому числу 10.
Из этого мы можем сделать вывод, что ответ, вероятно, равен 10.
Следующим шагом является проверка функции из другого сторону, подставив или заменив число больше 5. Возьмем 5,0001 и повторим процесс снова.
Введите 5,0001 в калькулятор, нажмите «Sto», а затем введите функцию в калькулятор. Нажмите кнопку ввода на калькуляторе.
Ответ, который вы видите, должен быть 10,0001, что очень близко к круглому числу 10. Это делает почти уверенным, что ответ, который мы ищем, равен 10.
Мы объяснили этот метод с помощью научного калькулятор. Однако вы получите тот же результат, если воспользуетесь той же техникой на другом калькуляторе.
Метод № 2: Оценка пределов с помощью таблицДля использования этого метода вам понадобится калькулятор с функцией построения графиков. Большинство новых научных калькуляторов имеют эту встроенную функцию.
Включите калькулятор и переключитесь в режим построения графиков. Затем вы должны ввести уравнение, предел которого вы хотите найти.
Давайте воспользуемся тем же примером, что и раньше, и введем в калькулятор y = . Затем перейдите в меню «Настройка стола» и введите номер стрелки, который в данном случае равен 5, в качестве начального номера стола.
Затем введите небольшое число, например 0,001, в качестве значения ∆Tbl . Значение ∆Tbl определяет размер приращения «x» в таблице.
Теперь при нажатии на кнопку «Таблица» будет появляться таблица. Прокрутите результаты и найдите несколько чисел меньше пяти. Вы увидите таблицу, похожую на приведенную ниже:
| x | г |
| 4,998 | 9,998 |
| 4.999 | 9,999 |
| 5 | Ошибка |
| 5.001 | 10.001 |
| 5,002 | 10.002 |
| 5,003 | 10.003 |
Вы увидите, что значение y приближается к 10, поскольку значение x приближается к 5 как сверху, так и снизу.
Отсюда почти наверняка можно сделать вывод, что 10 — это предел.
Поясним этот подход, найдя предел функции в значениях, ближайших к -3 в калькулятор.
Возьмите лист бумаги и ручку и составьте таблицу со значениями, близкими к -3, например:
| x | г |
| -3,1 | |
| -3,01 | |
| -3,001 | |
| -3 | |
| -2,999 | |
| -2,99 | |
| -2,9 |
Теперь, когда у вас есть таблица, готовая записать значения вниз, нажмите кнопку «Y=» на вашем калькуляторе. Появится экран с Y 1 , Y 2 , Y 3 и так далее.
Переместите курсор на Y1 и введите в него функцию. Затем вы можете нажать кнопку графика на калькуляторе, после чего калькулятор нарисует график функции.
В этом примере график должен представлять собой прямую диагональную линию.
Чтобы вставить значения «x» в график и найти соответствующие значения «y», вам нужно будет использовать функцию «Расчет» на калькуляторе. На TI-84 Plus нажмите кнопку «2ND», а затем кнопку «Trace», чтобы получить доступ к этой функции.
Должно появиться меню с заголовком «РАСЧЕТ».
Нам нужно использовать первую опцию, «значение», которая автоматически выделяется при появлении меню. Таким образом, вы можете нажать клавишу ввода непосредственно на калькуляторе.
Под графиком появится «X=». Теперь вы можете ввести значения «x», которые хотите подключить к функции.
Ввод -3.1 и нажатие клавиши ввода даст вам результат -6.1. Вы можете отметить это в таблице.
Чтобы ввести следующее значение в уравнение, вы должны снова перейти в меню «РАСЧИТАТЬ» и выбрать опцию значения.
После того, как вы найдете все значения, ваша таблица должна выглядеть так:
| x | г |
| -3,1 | -6,1 |
| -3,01 | -6. 01 |
| -3,001 | -6.001 |
| -3 | |
| -2,999 | -5,999 |
| -2,99 | -5,99 |
| -2,9 | -5,9 |
Из приведенных выше данных мы можем сделать вывод, что если значение x приближается к -3, значение y приближается к -6. Это достаточно хорошая оценка предела функции.
Вот видеоруководство, которому вы можете следовать, чтобы использовать этот метод вычисления пределов функций.
Ограничения решения пределов с помощью калькуляторовИспользование описанных выше методов для оценки пределов функций полезно по нескольким причинам. Как упоминалось ранее, некоторые предельные задачи не могут быть решены алгебраически.
Однако вы также можете использовать калькулятор, чтобы проверить решение, которое вы разработали на ручке и бумаге. Составление таблицы вручную и перепроверка вашего ответа — отличный способ понять, как ведет себя функция, когда она находится рядом с номером стрелки.
Это даст вам численное представление о задаче, тем самым расширив ваше алгебраическое понимание предела функции.
Глядя на график, вы получите дополнительный контекст и улучшите свое понимание того, как ограничения работают в исчислении.
Но использование калькулятора для определения пределов функций также имеет некоторые ограничения.
Нельзя слишком полагаться на результаты, полученные с помощью калькулятора. Это связано с тем, что калькулятор даст вам только приблизительный ответ, если только вы не узнаете число, к которому приближается функция.
Например, 9,999998 достаточно близко к 10, а 0,333333332 близко к 1/3.
Однако, если пределом функции является значение вроде , вы не узнаете число, если калькулятор выдаст его вам в десятичной форме. равен 0,288675, что очень сложно распознать.
Тем не менее, доступ к ответу в десятичной форме может помочь.
Второе ограничение использования калькуляторов для расчета пределов функций заключается в том, что калькулятор не может вычислить некоторые функции.
Например, возьмем функцию:
Ввод этого в калькулятор обычно не дает результата, а предел функции равен нулю. Если вы введете подобную функцию, вы не получите ответ от калькулятора.
Калькулятор пределов мета-калькулятораЕсли у вас нет научного калькулятора под рукой, вы можете использовать калькулятор пределов мета-калькулятора для расчета пределов функций.
Если у вас есть подключение к Интернету, вы можете получить доступ к калькулятору через любой браузер бесплатно. Он поддерживает нахождение предела в виде x любого числа, включая бесконечность.
Калькулятор прост в использовании и мгновенно выдает результат. Мета-калькулятор также предлагает инструмент для построения графиков, поэтому получить визуальное представление о функции так же просто, как ввести функцию в инструмент.
Чтобы найти предел любой функции с помощью Калькулятора пределов мета-калькулятора:
- Перейдите к калькулятору пределов мета-калькулятора из браузера по вашему выбору. Калькулятор выглядит так:
Калькулятор выглядит так:- Введите в поле ввода функцию, предел которой вы хотите рассчитать.
- Введите номер стрелки в специальное поле.
- Выберите, хотите ли вы двусторонний расчет, или только правой или левой рукой.
- Нажмите «Рассчитать». Мета-калькулятор рассчитает предел функции.
- Чтобы вычислить предел другой функции, очистите поля ввода и повторите действия, начиная с шага 2.
Мета-калькулятор предлагает несколько функций. В дополнение к тригонометрическим функциям вы можете работать с гиперболическими функциями, дуговыми функциями, логарифмами и квадратными корнями.
Также доступны такие функции, как abs(x) и floor(x). С их помощью вы можете использовать любую функцию, которая вам нужна, чтобы легко найти предел для мета-калькулятора.
Как работает калькулятор пределов мета-калькулятора? Существует множество различных способов оценки пределов функций.
Некоторые из методов, которые использует Калькулятор Предела Мета-Калькулятора, перечислены ниже:
- Прямая замена: Первый метод, который применяется, чтобы оценить предел функции, является методом прямой замены. Помещение значения стрелки в большинство полиномиальных функций обычно решает эту проблему. По этой причине большинству студентов рекомендуется сначала применить этот метод. Если не получается, то пора рассмотреть другие методы оценки лимита.
- Факторизация: Существует вероятность того, что при прямой подстановке функция вернет неопределенный или неопределенный вид (например, 0/0). Когда это происходит, требуется другая процедура для определения предела функции. Факторизация — следующий метод. Числитель и знаменатель разбиваются на их общие множители, и когда множители сокращаются, функция приводится к своей определенной форме. Теперь, когда выражение находится в определенной форме, можно использовать метод подстановки для определения предела функции.
- Рационализация: Это еще один метод, используемый, если функция не определена при подстановке. Рационализация сводит рассматриваемую функцию к ее определенной форме, а затем можно подставить значения, чтобы получить ответ.
Рекомендуется использовать калькулятор только для проверки правильности ответов.
Использование научного калькулятора для расчета предела функции может потребовать некоторой работы, и в зависимости от выбранного вами метода может потребоваться много шагов.
Это делает выполнение шагов вдвойне утомительным, когда вы только пытаетесь проверить свой ответ.
Но независимо от того, почему вы хотите вычислить предел функции с помощью калькулятора, использование Калькулятора пределов мета-калькулятора сэкономит ваше время и силы.
Все, что вам нужно сделать, это перейти на сайт, ввести выражение и выбрать способ обработки ответа.
Нажатие «Рассчитать» приведет к тому, что предел функции появится в считанные секунды.
Вы можете использовать калькулятор со своего телефона, планшета или компьютера, если он подключен к Интернету.
Калькулятор пределов
Калькулятор пределов с шагами
Калькулятор пределов используется для нахождения предела функции в любой точке относительно переменной. Этот решатель пределов оценивает левые, правые и двусторонние пределы. Он вычисляет предел с пошаговым решением.
Как работает калькулятор лимитов?
Выполните следующие шаги, чтобы найти пределы функций.
- Введите функцию в поле ввода.
- Используйте значок клавиатуры для ввода математических символов.
- Выберите переменную.
- Выберите сторону ограничения, т. е. левостороннюю, правостороннюю или двустороннюю.
- Запишите предельное значение.
- Если вам нужны примеры примеров, щелкните пример загрузки
- Нажмите кнопку вычислить , чтобы получить результат.
