Вычислить интеграл: Интегрирование простейших иррациональностей

Обзор методов вычисления интегралов по времени и пространству

Интегрирование — один из важнейших математических инструментов, особенно в численном моделировании. Например, дифференциальные уравнения в частных производных обычно выводятся из интегральных уравнений сохранения. Когда возникает необходимость численного решения уравнения в частных производных, интегрирование также играет важную роль. В этой статье приведен обзор методов и подходов интегрирования, доступных в COMSOL Multiphysics, а также конкретные примеры их использования.

Важность интегралов

В COMSOL используется метод конечных элементов, который преобразует описывающее некоторый процесс уравнение в частных производных в интегральное уравнение — другими словами, в слабую форму (weak form). При детальном и глубоком изучении формулировок, используемых в интерфейсах COMSOL, вы обнаружите, что множество граничных условий реализованы через интегралы. В качестве наиболее характерных примеров можно привести условия Total heat flux (Общий тепловой поток) или Floating potential (Плавающий потенциал). {t_1}\int_{\Omega}F(u)\ \mathrm{d A} \mathrm{d} t

где [t_0,t_1] — это временной интервал, \Omega — это пространственная область, а F(u) — это произвольное выражение, включающее зависимую переменную u и произвольные функции от нее, в том числе производные по пространству, времени, а также любой другой величине.

Наиболее удобный способ вычисления интегралов — использование узла Derived Values (Расчет выражений) в разделе Results (Результаты) ленты Ribbon или дерева модели (Лента Ribbon отсутствует в том случае, если ваш компьютер работает не под управлением ОС Windows®).

Добавление операций расчета пространственных интегралов по объему, поверхности или линии в узле Derived Values (Расчет выражений)

Вы можете обратиться к любому доступному решению, выбрав соответствующий набор данных (data set). В поле Expression (Выражение) вводится подынтегральная функция, включающая зависимые или производные переменные. Для данных расчета во временной области пространственный интеграл вычисляется на каждом временном шаге. В качестве альтернативы, в окне Settings (Настройки) узла Data Series Operations (Операции с массивами данных) можно выбрать опцию Integral (Интегрирование), что позволит вычислить общий пространственно-временной интеграл.

Пример настроек вычисления интегралов по поверхности (Surface Integration) с дополнительным вычислением интеграла по времени в разделе Data Series Operations.

Оператор Average (Усреднение) — еще одна операция в разделе Derived Values, связанная с вычислением интегралов. Оператор вычисляет интеграл и делит его на объем, площадь или длину выбранной области. Операция Averageв узле Data Series Operations аналогично вводит деление на продолжительность временного диапазона. Операторы узла Derived Values — важный инструмент, однако их можно использовать только во время постобработки, а значит с их помощью можно рассчитать далеко не любой интеграл. Именно поэтому в COMSOL представлены другие более мощные и гибкие инструменты для вычисления интегралов. 2. Стационарное и нестационарное решение (в момент времени 100 секунд) представлены на иллюстрациях ниже.

Стационарное решение, нажмите на изображение для увеличения.

Нестационарное решение (для момента времени 100 секунд), нажмите на изображение для увеличения.

Вычисление пространственного интеграла с использованием операторов узла Component Coupling

Операторы узла Component Coupling (Сопряжение компонентов) используются в тех случаях, когда, например, в одном выражении объединяются несколько интегралов, или интегралы требуются в процессе вычислений, или требуется множество контурных интегралов. Операторы данного узла определяются в разделе Definitions (Определения). На этом этапе режультат использования оператора не просчитывается, а указываются только их название и выборки областей.

Добавление операторов через узел Component Couplings

В нашем примере мы для начала хотим вычислить пространственный интеграл для стационарного распределения температуры, равный

\int_{\Omega}T(x,y)\ \mathrm{d}x\mathrm{d}y = 301. 65

В пакете COMSOL оператор вычисления интеграла по умолчанию получает имя intop1.

Окно настроек оператора интегрирования.

Расчет результата интегрирования через оператор.

Теперь давайте рассмотрим, как оператор интегрирования может использоваться непосредственно в процессе расчета модели. С его помощью мы могли бы, например, выяснить, какая нагревательная мощность потребуется для получения средней температуры 303.15 К, то есть температуры, на 10 К превышающей температуру окружающей среды. Прежде всего нам необходимо вычислить разницу между требуемым и действительным средними значениями. Среднее значение вычисляется путем деления интеграла от T на интеграл от постоянной функции 1, который равен площади области. Нетрудно догадаться, что вычисление подобного вида легко выполнить с помощью представленного в COMSOL оператора Average (Усреднение), см. комментарии выше. По умолчанию данный оператор получает название aveop1. 2. Т.е. полученное значение можно задать в качестве граничного условия для общего входящего теплового потока, чтобы средняя температура в рассматриваемой области стала равна 303.15 К.

Вычисление неопределенного интеграла посредством оператора интегрирования

В своих обращениях в службу поддержки пользователи часто задают один и тот же вопрос: как рассчитать неопределенный пространственный интеграл? Для этой цели нам также пригодится оператор интегрирования, задаваемый через Component Couplings. Нахождение неопределенного интеграла — операция, обратная дифференцированию. Неопределенный интеграл позволяет вычислять площади произвольных областей, ограниченных графиками функций. Одна из самых важных прикладных задач — вычисление вероятностей в статистическом анализе. Для того чтобы это продемонстрировать, мы зафиксируем y=0 и обозначим неопределенный интеграл от T(x,0) как u(x). Это значит, что \frac{\partial u}{\partial x}=T(x,0). Тогда неопределенный интеграл имеет вид

u(\bar x) = \int_0^{\bar x}T(x,0)\mathrm{d} x

Здесь мы используем \bar x, чтобы отличать переменную интегрирования от внешней переменной. 1T(x,0)\cdot(x\leq\bar x)\ \mathrm{d} x

Во-вторых, нам понадобится оператор вычисления интеграла, который будет действовать на нижней границе области из примера. Давайте обозначим его как intop2. В-третьих, мы должны отличать переменную интегрирования от внешней переменной. Принятые обозначения для такого случая: x называется источником (source), а \bar x — точкой назначения (destination). При использовании операторов интегрирования доступен встроенный оператор dest, который позволяет явно оглашать, что соответствующее выражение не относится к переменным интегрирования. Точнее, это значит, что в COMSOL \bar x=dest(x). Объединив логическое выражение с оператором dest, мы получим выражение вида T*(x<=dest(x)), которое является именно тем входным выражением, которое требуется для intop2. Объединив все вместе, мы можем вычислить неопределенный интеграл, воспользовавшись выражением intop2(T*(x<=dest(x))). Результат данной операции можно проиллюстрировать следующим графиком:

Как построить график неопределенного интеграла с помощью оператора интегрирования, оператора dest и логического выражения.

В пакете COMSOL дополнительно доступны еще два оператора вычисления интеграла, а именно общая проекция (general projection) и линейная проекция (linear projection). Эти операторы можно использовать для получения множества контурных интегралов в любом направлении в области. Другими словами, вычисление интеграла производится только вдоль одного измерения. В результате мы получаем функцию размерности на единицу меньше, чем размерность области. Для двухмерного примера результатом будет одномерная функция, которая может быть рассчитана на любой границе. Более подробная информация об использовании данных операторов будет представлена в одной из следующих публикаций в нашем компоративном блоге.

Вычисление пространственного интеграла посредством дополнительного физического интерфейса

Наиболее гибким способом вычисления пространственных интегралов является техника с добавлением дополнительного PDE-интерфейса. Давайте вспомним пример выше с неопределенным интегралом и предположим, что мы хотим вычислить неопределенный интеграл не только для y=0. Данная задача может быть сформулирована в виде дифференциального уравнения в частных производных

\frac{\partial u}{\partial x}=T(x,y)

с граничным условием типа Дирихле u=0 на левой границе. Расчет такого уравнения проще всего реализовать в физическом (математическом) интерфейсе Coefficient Form PDE (Дифференциальное уравнение в частных производных, коэффициентная форма записи), который потребует следующих настроек:

Вычисление пространственного интеграла посредством дополнительного PDE-интерфейса.

Зависимая переменная u представляет собой неопределенный интеграл по x и доступна в процессе расчета модели и в постобработке. Помимо гибкости, дополнительным преимуществом данного подхода является точность, так как интеграл рассчитывается не вспомогательными инструментами на основе уже определенного распределения переменной, а непосредственно в процессе расчета с учетом алгоритмов оценки погрешностей и т. {100}T(x,y,t)\ \mathrm{d} t

На поверхностном графике ниже представлен результирующий интеграл, являющийся функцией пространственных переменных (x,y):

Использование оператора timeavg – оператора вычисления интеграла по времени.

Схожие операторы существуют для вычисления интегралов на сферических зонах, а именно ballint, circint, diskint и sphint.

Вычисление временного интеграла посредством дополнительного физического интерфейса

В случае если временные интегралы нужно использовать непосредственно в модели в процессе расчета, вам будет необходимо задать их как дополнительные зависимые переменные. Аналогично представленному выше примеру с интерфейсом Coefficient Form PDE, это можно сделать, добавив ODE-интерфейс из раздела Mathematics. Предположим, например, что на каждом временном шаге требуется вычислять интеграл от величины общего теплового потока на промежутке от старта до текущего момента, который показывает накопленную энергию. Переменная для общего теплового потока рассчитывается в COMSOL автоматически и называется ht.tfluxMag. Интеграл может быть вычислен как дополнительная зависимая переменная с помощью узла Distributed ODE (Распределенное обыкновенное дифференциальное уравнение) интерфейса Domain ODEs and DAEs. Правой частью (источниковым членом) для доменного ОДЕ должна выступать подынтегральная функция, что и показано на иллюстрации ниже.

Использование дополнительного ODE-интерфейса для вычисления интеграла по времени.

В чем польза подобной техники? Полученный интеграл можно повторно использовать в других физических интерфейсах, поля в которых могут зависеть от накопленной в системе энергии. Более того, полученный резултат будет мгноменно доступен для всех видов постобработки, что удобнее и быстрее, чем использование встроенных операторов. Рекомендуем ознакомится с моделью Carbon Deposition in Hetereogeneous Catalysis (Образование сажевых отложений при гетерогенном катализе), в которой ОДЕ в области используется для вычисления пористости катализатора при наличии химических реакций в виде нестационарной полевой переменной.

Вычисление интеграла от аналитических функций и выражений

До сих пор мы демонстрировали, каким образом вычислять интеграл от искомых переменных в процессе расчета или при постобработке. Но не касались случая взятия интегралов от аналитических функций или выражений. Для этой операции в среде COMSOL доступен встроенный оператор integrate(expression, integration variable, lower bound, upper bound).

Выражение может представлять собой любую одномерную функцию, например sin(x). При этом допускается включение дополнительных переменных, например sin(x*y). Второй параметр определяет, по какой переменной вычисляется интеграл. Например, integrate(sin(x*y),y,0,1) выдает функцию переменной x, потому что интегрирование выполняется только по переменной y. Обратите внимание, что данный оператор также может использоваться для работы с аналитическими функциями, заданными в узле Definitions (Определения) текущего компонента.

Добавление аналитической функции.

Вычисление интеграла от аналитической функции.

Материалы для дальнейшего изучения

• Модели, в которых использованы некоторые из рассмотренных операций (по состоянию на 29 января 2014 года)
  • Оператор интегрирования: Акустические характеристики глушителя
  • Глобальное уравнение для вычисления интеграла по времени: Управление процессами с помощью ПИД-регулятора
  • Глобальное уравнение для решения обрабной задачи (для обеспечения ограничений): Использование глобальных уравнений для обеспечения ограничений
  • Доменное ОДЕ для вычисления интеграла по времени: Уменьшение емкости литий-ионной аккумуляторной батареи (Capacity Fade of a Li-Ion Battery) и Образование сажевых отложений при гетерогенном катализе (Carbon Deposition in Heterogeneous Catalysis)
• Дополнительная информация в базе знаний (Knowledge Base): Вычисление интегралов по времени и пространству

Вычислить интеграл : Анализ-I

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Ryabsky	Вычислить интеграл 13. 12.2009, 11:17
12/05/09 68 Нижний Новгород	Доказать, что Идея заключается в дифференцировании или интегрировании по параметру, и судя по ответу, интеграл в конечном итоге сведется к интегралу Пуассона или Френеля. Когда дифференцирую, вылазит , который ничего хорошего не дает — ни замену не сделать, ни по частям не взять. Подскажите пожалуйста, как мне действовать?

ИСН	Re: Вычислить интеграл 13. 12.2009, 11:36
Заслуженный участник 18/05/06 13400 с Территории	Идея заключается ровно в том же (ответ на это неиллюзорно намекает), что и вычисление самого интеграла Пуассона: возвести в квадрат, получится интеграл по двум переменным, т.е. по плоскости — и перейти к полярным координатам.

ewert	Re: Вычислить интеграл 13. 12.2009, 12:29
Заслуженный участник 11/05/08 32128	Не так просто. Там вмешивается такой же интеграл, но с синусом, с которым тоже некоторая морока. Правда, его можно исключить дифференцированиями по параметрам и интегрированиями по частям, и тогда получается какое-то дифуравнение для исходного интеграла по переменной . В общем, морока. По-хорошему надо бы считать этот интеграл как просто . Там всё достаточно легко и очевидно. Но для корректного обоснования этого требуется ТФКП.

Ryabsky	Re: Вычислить интеграл 13.12.2009, 21:27
12/05/09 68 Нижний Новгород	ТФКП не понадобилось, попытался взять вручную, как мне посоветовал ИСН . И даже почти получилось, но не могу довести дело до конца. Прошу прощения за море формул, которое будет ниже, проверьте, может где ошибся? Обоснования перестановки интегралов приводить не буду, будем подразумевать что все теоремы выполняются. Итак, несложно заметить, что . Тогда . Выполним перестановку интегралов: . Замена . . Первый внутренний интеграл выражается: Интегрирование по завершает нахождение первого интеграла. Второй внутренний интеграл выражается: Вот здесь возникают проблемы. Я либо ошибся где то по пути, либо на самом деле так получается, но не могу продвинуться дальше. Как быть?

ИСН	Re: Вычислить интеграл 13. 12.2009, 21:42
Заслуженный участник 18/05/06 13400 с Территории	Я другое совсем имел в виду. Ключевые слова: «перейти к полярным координатам», а то, что Вы делаете в первой строчке — вообще не нужно. (Хотя, возможно, как-то так тоже прокатит.)

Ryabsky	Re: Вычислить интеграл 13. 12.2009, 21:48
12/05/09 68 Нижний Новгород	К полярным координатам перейти не смог, ибо почти уверен, что я заблужусь в процессе решения. Из предложенного вами меня подтолкнула идея возведения в квадрат и интегрирования по двум переменным (та же идея, что использована в интеграле Пуассона, который, в свою очередь, у нас брался именно такими методами). И все же непонятно, что делать дальше…

ИСН	Re: Вычислить интеграл 13. 12.2009, 22:01
Заслуженный участник 18/05/06 13400 с Территории	Что угодно. Идея, видимо, легитимная, но мне не симпатична, поэтому заниматься ловлей блох не буду. А к полярным координатам переходить легко. Смотрите:

Ryabsky	Re: Вычислить интеграл 13. 12.2009, 22:40
12/05/09 68 Нижний Новгород	Последовал вашему совету, сделал как показали. Всё, что получалось в моем способе без полярной замены, получилось и здесь. Снова уткнулся в тот интеграл, представленный уже в другом виде: Нескромный вопрос, его вообще реально вычислить? // если есть вопросы по тому, как я его получил, могу предоставить выкладки.

ewert	Re: Вычислить интеграл 14. 12.2009, 00:32
Заслуженный участник 11/05/08 32128	(Оффтоп) немножко позлобствую ещё разок. Его вполне реально посчитать через вычеты. И без особого труда. И тупо выписывая первообразную — тоже можно, ведь всего-то — и рационально-тригонометрическое выражение. Но — уныло это как-то…

Ryabsky	Re: Вычислить интеграл 14. 12.2009, 02:11
12/05/09 68 Нижний Новгород	Тьфу, он же без проблем сводится к рациональной! (хотя в моем способе уже сразу получена рациональная функция). // как же уныло брать эти интегралы от рациональных функций… огромное спасибо за помощь!

bot	Re: Вычислить интеграл 14. 12.2009, 11:02
Заслуженный участник 21/12/05 5819 Новосибирск	Ryabsky в сообщении #271254 писал(а): как же уныло брать эти интегралы от рациональных функций… Да ничего унылого и нет, после очевидных замен: Вот он и табличный арктангенс с коэффициентом.

Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию

Страница 1 из 1

[ Сообщений: 11 ]

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

исчисление — Вычисление интеграла с неопределенной функцией f(x)

спросил 1 год, 9 месяцев назад

Изменено 1 год, 9 месяцев назад

Просмотрено 372 раза

$\begingroup$

У меня проблема с вычислением интеграла 9{a}\frac{1}{1+f(x)}\,dx$

и мы знаем, что $f(x)f(a-x)=1$ , $a>0$ и $f (x)$ непрерывна и положительна на интервале $[0,a]$

Я пробовал манипулировать выражением с учетом того, что $f(x)= \ \frac{1}{f(a-x)} $, чтобы найти что-то, что можно отменить или что-то, что заставит меня решить интеграл «хорошо»

Однако через 20 минут я понятия не имею, что делать или что мне не хватает

, поэтому, если кто-нибудь может дать мне совет или точку меня в правильном направлении, я был бы признателен за это 9a\frac1{1+f(a-x)}\,\mathrm{d}x$
$\phantom{\text{(1):}}$ усреднить два
$(2)$: сумма интегралов равна интеграл от суммы
$(3)$: $\frac1u+\frac1v=\frac{u+v}{uv}$
$(4)$: сумма подынтегральных выражений равна $1$, так как $f(x)f (a-x)=1$
$(5)$: интегрировать

$\endgroup$

5

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

Как рассчитать интеграл в LabChart без использования модуля анализа?

В LabChart есть несколько способов вычисления интеграла. В двух самых простых из них используется вычисление интегрального канала или вычисление канала циклических измерений.

Использование расчета интегрального канала

Расчет интегрального канала обеспечивает метод вычисления интегралы по времени с различными методами сброса. Интеграл работает в режиме реального времени в течение выборки и по предварительно записанным данным. Диалоговое окно Integral позволяет настроить Расчет интегрального канала.

          1. Откройте диалоговое окно «Интеграл», выбрав «Интеграл…» в любом всплывающем меню «Расчет канала».

2. В появившемся диалоговом окне выберите исходный канал для расчета во всплывающем меню Источник.

3. Выберите тип интеграла, который вы хотите рассчитать:

• Стандартный интеграл: используйте все точки данных.
• Абсолютное значение: интегрировать абсолютные значения точек данных.
• Только положительные: используйте только точки данных, значения которых больше 0.
  
• Только отрицательные: используйте только точки данных, значения которых меньше 0.

4. Установите тип сброса и любые дополнительные параметры, которые могут потребоваться :

• Без сброса: интеграл не сбрасывается, а интегральный сигнал суммируется бесконечно.
• Сброс по времени: интеграл сбрасывается периодически с интервалами, указанными в текстовом поле справа от меню типа сброса.
• Сброс в каждом цикле: интеграл сбрасывается каждый раз, когда исходный сигнал проходит через ноль до положительного значения.
• Затухание постоянной времени: В этом режиме входные выборки суммируются для получения выходных данных, как и в стандартном интегральном режиме. Однако каждый раз, когда добавляется новая выборка, сумма умножается на положительную константу, которая немного меньше 1. При постоянном входном напряжении Vmax результирующая сумма, а именно интегральный выход, приближается к максимуму (Vmax.?) с постоянной времени (тау,?), которая вводится пользователем. С точки зрения электроники, этот режим аппроксимирует поведение «дырявого» аналогового интегратора или фильтра нижних частот «RC». В отличие от фильтра, интеграл умножает выходные значения на период выборки в секундах и соответственно изменяет единицы измерения на В.с.
• Сброс по событию: используйте определенное событие для запуска сброса (при этом используются параметры, установленные в диалоговом окне параметров события).
  

5. Настройте интегральный пределы (необязательно) для времени, в течение которого интеграл должен быть рассчитывается из.

6. Настройте масштабирование отображаемых данных.

• Задайте Верхнюю шкалу и Нижнюю шкалу для рассчитанных данных в единицах исходного канала или выберите Автомасштаб, чтобы автоматически создать подходящий масштаб для отображаемых данных (рекомендуется при выполнении последующих вычислений канала на канале отображения). Выберите количество знаков после запятой, которое будет отображаться на экране «Диапазон/Амплитуда».

7. После нажатия кнопки «Окей» в выбранном вами канале появится непрерывный интеграл.

Использование циклических измерений

Циклические измерения вычисляют интеграл для области между каждым обнаруженным циклом циклического сигнала. Это может выполняться в режиме реального времени во время выборки или на предварительно записанных данных.

1. Откройте диалоговое окно «Циклические измерения», выбрав «Циклические измерения…» во всплывающем меню «Функция канала». на пустой канал, который вы собираетесь использовать для расчета.

2. Выберите исходный канал и установите для параметра «Измерение» значение «Интегральный». Вы можете использовать маркеры событий, чтобы убедиться, что каждое событие обнаружено, отрегулировать десятичные разряды и настроить тип сигнала в этом окне.

3. При необходимости отрегулируйте параметры обнаружения, отрегулировав минимальную высоту пика S.