Вычислить из числа корень: Калькулятор корней онлайн | umath.ru

2

Как из большого числа извлечь корень. Как найти корень из числа

Для вычисления квадратного корня без калькулятора существует несколько методов.

Как найти корень из числа – 1 способ

• Один из методов заключается в разложении на множители того числа, которое находится под корнем. Эти составляющие в результате умножения образуют подкоренное значение. Точность полученного результата зависит от числа под корнем.
• Например, если взять число 1 600 и начать раскладывать его на множители, то рассуждение построится таким образом: данное число кратно 100, значит, его можно разделить на 25; так как корень из числа 25 извлекается, то число является квадратным и подходит для дальнейших вычислений; при делении получаем еще одно число – 64. Это число тоже квадратное, поэтому корень извлекается хорошо; после этих расчетов под корнем можно записать число 1600 в виде произведения 25 и 64.

• Одно из правил извлечения корня гласит, что корень из произведения множителей равен числу, которое получается при умножении корней из каждого множителя. Это значит, что: √(25*64) = √25 * √64. Если из 25 и 64 извлечь корни, то получим такое выражение: 5 * 8 = 40. То есть, квадратный корень из числа 1600 равен 40.
• Но бывает так, что число, находящееся под корнем, не раскладывается на два множителя, из которых извлекается целый корень. Обычно такое можно осуществить только для одного из множителей. Поэтому чаще всего найти абсолютно точный ответ в таком уравнении не получается.
• В таком случае можно высчитать только приблизительное значение. Поэтому нужно извлечь корень из множителя, который является квадратным числом. Это значение затем умножить на корень из второго числа, которое не является квадратным членом уравнения.
• Выглядит это таким образом, например, возьмем число 320. Его можно разложить на 64 и 5. Из 64 целый корень извлечь можно, а из 5 – нет. Поэтому, выражение будет выглядеть так: √320 = √(64*5) = √64*√5 = 8√5.
• Если есть необходимость, то можно найти приблизительное значение этого результата, вычислив
  √5 ≈ 2,236, следовательно, √320 = 8 * 2,236 = 17,88 ≈ 18.
• Также число под корнем можно разложить на несколько простых множителей, а одинаковые можно вынести из-под него. Пример: √75 = √(5*5*3) = 5√3 ≈ 8,66 ≈ 9.

Как найти корень из числа – 2 способ

• Другой способ заключается в делении в столбик. Деление происходит аналогично, но только искать нужно квадратные числа, из которых потом извлекать корень.
• В этом случае квадратное число пишем сверху и отнимаем его в левой части, а извлеченный корень снизу.
• Теперь второе значение нужно удвоить и записать снизу справа в виде: число_х_=. Пропуски необходимо заполнить числом, которое будет меньше или равно необходимому значению слева – все как в обычном делении.
• При необходимости этот результат снова вычитается слева. Такие вычисления продолжаются до тех пор, пока результат не будет достигнут. Нули также можно добавлять, пока не получите нужное количество знаков после запятой.

До появления калькуляторов студенты и преподаватели вычисляли квадратные корни вручную. Существует несколько способов вычисления квадратного корня числа вручную. Некоторые из них предлагают только приблизительное решение, другие дают точный ответ.

Шаги

Разложение на простые множители

Разложите подкоренное число на множители, которые являются квадратными числами. В зависимости от подкоренного числа, вы получите приблизительный или точный ответ. Квадратные числа – числа, из которых можно извлечь целый квадратный корень. Множители – числа, которые при перемножении дают исходное число. Например, множителями числа 8 являются 2 и 4, так как 2 х 4 = 8, числа 25, 36, 49 являются квадратными числами, так как √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Квадратные множители – это множители, которые являются квадратными числами. Сначала попытайтесь разложить подкоренное число на квадратные множители.

• Например, вычислите квадратный корень из 400 (вручную). Сначала попытайтесь разложить 400 на квадратные множители. 400 кратно 100, то есть делится на 25 – это квадратное число. Разделив 400 на 25, вы получите 16. Число 16 также является квадратным числом. Таким образом, 400 можно разложить на квадратные множители 25 и 16, то есть 25 х 16 = 400.
• Записать это можно следующим образом: √400 = √(25 х 16).

Квадратные корень из произведения некоторых членов равен произведению квадратных корней из каждого члена, то есть √(а х b) = √a x √b. Воспользуйтесь этим правилом и извлеките квадратный корень из каждого квадратного множителя и перемножьте полученные результаты, чтобы найти ответ.

• В нашем примере извлеките корень из 25 и из 16.
  • √(25 х 16)
  • √25 х √16
  • 5 х 4 = 20

Если подкоренное число не раскладывается на два квадратных множителя (а так происходит в большинстве случаев), вы не сможете найти точный ответ в виде целого числа. Но вы можете упростить задачу, разложив подкоренное число на квадратный множитель и обыкновенный множитель (число, из которого целый квадратный корень извлечь нельзя). Затем вы извлечете квадратный корень из квадратного множителя и будете извлекать корень из обыкновенного множителя.

• Например, вычислите квадратный корень из числа 147. Число 147 нельзя разложить на два квадратных множителя, но его можно разложить на следующие множители: 49 и 3. Решите задачу следующим образом:
  • = √(49 х 3)
  • = √49 х √3
  • = 7√3

Если нужно, оцените значение корня.

Теперь можно оценить значение корня (найти приблизительное значение), сравнив его со значениями корней квадратных чисел, находящихся ближе всего (с обеих сторон на числовой прямой) к подкоренному числу. Вы получите значение корня в виде десятичной дроби, которую необходимо умножить на число, стоящее за знаком корня.

• Вернемся к нашему примеру. Подкоренное число 3. Ближайшими к нему квадратными числами будут числа 1 (√1 = 1) и 4 (√4 = 2). Таким образом, значение √3 расположено между 1 и 2. Та как значение √3, вероятно, ближе к 2, чем к 1, то наша оценка: √3 = 1,7. Умножаем это значение на число у знака корня: 7 х 1,7 = 11,9. Если вы сделаете расчеты на калькуляторе, то получите 12,13, что довольно близко к нашему ответу.
  • Этот метод также работает с большими числами. Например, рассмотрим √35. Подкоренное число 35. Ближайшими к нему квадратными числами будут числа 25 (√25 = 5) и 36 (√36 = 6). Таким образом, значение √35 расположено между 5 и 6. Так как значение √35 намного ближе к 6, чем к 5 (потому что 35 всего на 1 меньше 36), то можно заявить, что √35 немного меньше 6. Проверка на калькуляторе дает нам ответ 5,92 — мы были правы.

Еще один способ – разложите подкоренное число на простые множители . Простые множители – числа, которые делятся только на 1 и самих себя. Запишите простые множители в ряд и найдите пары одинаковых множителей. Такие множители можно вынести за знак корня.

• Например, вычислите квадратный корень из 45. Раскладываем подкоренное число на простые множители: 45 = 9 х 5, а 9 = 3 х 3. Таким образом, √45 = √(3 х 3 х 5). 3 можно вынести за знак корня: √45 = 3√5. Теперь можно оценить √5.
• Рассмотрим другой пример: √88.
  • = √(2 х 44)
  • = √ (2 х 4 х 11)
  • = √ (2 х 2 х 2 х 11). Вы получили три множителя 2; возьмите пару из них и вынесите за знак корня.
  • = 2√(2 х 11) = 2√2 х √11. Теперь можно оценить √2 и √11 и найти приблизительный ответ.

Вычисление квадратного корня вручную

При помощи деления в столбик

1. Этот метод включает процесс, аналогичный делению в столбик, и дает точный ответ. Сначала проведите вертикальную линию, делящую лист на две половины, а затем справа и немного ниже верхнего края листа к вертикальной линии пририсуйте горизонтальную линию. Теперь разделите подкоренное число на пары чисел, начиная с дробной части после запятой. Так, число 79520789182,47897 записывается как «7 95 20 78 91 82, 47 89 70».

   • Для примера вычислим квадратный корень числа 780,14. Нарисуйте две линии (как показано на рисунке) и слева сверху напишите данное число в виде «7 80, 14». Это нормально, что первая слева цифра является непарной цифрой. Ответ (корень из данного числа) будете записывать справа сверху.

2. Для первой слева пары чисел (или одного числа) найдите наибольшее целое число n, квадрат которого меньше или равен рассматриваемой паре чисел (или одного числа). Другими словами, найдите квадратное число, которое расположено ближе всего к первой слева паре чисел (или одному числу), но меньше ее, и извлеките квадратный корень из этого квадратного числа; вы получите число n. Напишите найденное n сверху справа, а квадрат n запишите снизу справа.

   • В нашем случае, первым слева числом будет число 7. Далее, 4

3. Вычтите квадрат числа n, которое вы только что нашли, из первой слева пары чисел (или одного числа). Результат вычисления запишите под вычитаемым (квадратом числа n).

   • В нашем примере вычтите 4 из 7 и получите 3.

4. Снесите вторую пару чисел и запишите ее около значения, полученного в предыдущем шаге. Затем удвойте число сверху справа и запишите полученный результат снизу справа с добавлением «_×_=».

   • В нашем примере второй парой чисел является «80». Запишите «80» после 3. Затем, удвоенное число сверху справа дает 4. Запишите «4_×_=» снизу справа.

5. Заполните прочерки справа.

   • В нашем случае, если вместо прочерков поставить число 8, то 48 х 8 = 384, что больше 380. Поэтому 8 — слишком большое число, а вот 7 подойдет. Напишите 7 вместо прочерков и получите: 47 х 7 = 329. Запишите 7 сверху справа — это вторая цифра в искомом квадратном корне числа 780,14.

6. Вычтите полученное число из текущего числа слева. Запишите результат из предыдущего шага под текущим числом слева, найдите разницу и запишите ее под вычитаемым.

   • В нашем примере, вычтите 329 из 380, что равно 51.

7. Повторите шаг 4. Если сносимой парой чисел является дробная часть исходного числа, то поставьте разделитель (запятую) целой и дробной частей в искомом квадратном корне сверху справа. Слева снесите вниз следующую пару чисел. Удвойте число сверху справа и запишите полученный результат снизу справа с добавлением «_×_=».

   • В нашем примере следующей сносимой парой чисел будет дробная часть числа 780.14, поэтому поставьте разделитель целой и дробной частей в искомом квадратном корне сверху справа. Снесите 14 и запишите снизу слева. Удвоенным числом сверху справа (27) будет 54, поэтому напишите «54_×_=» снизу справа.

8. Повторите шаги 5 и 6. Найдите такое наибольшее число на место прочерков справа (вместо прочерков нужно подставить одно и тоже число), чтобы результат умножения был меньше или равен текущему числу слева.

   • В нашем примере 549 х 9 = 4941, что меньше текущего числа слева (5114). Напишите 9 сверху справа и вычтите результат умножения из текущего числа слева: 5114 — 4941 = 173.

9. Если для квадратного корня вам необходимо найти больше знаков после запятой, напишите пару нулей у текущего числа слева и повторяйте шаги 4, 5 и 6. Повторяйте шаги, до тех пор пока не получите нужную вам точность ответа (число знаков после запятой).

Понимание процесса

Для усвоения данного метода представьте число, квадратный корень которого необходимо найти, как площадь квадрата S. В этом случае вы будете искать длину стороны L такого квадрата. Вычисляем такое значение L, при котором L² = S.

Задайте букву для каждой цифры в ответе. Обозначим через A первую цифру в значении L (искомый квадратный корень). B будет второй цифрой, C — третьей и так далее.

Задайте букву для каждой пары первых цифр. Обозначим через S a первую пару цифр в значении S, через S b — вторую пару цифр и так далее.

Уясните связь данного метода с делением в столбик. Как и в операции деления, где каждый раз нас интересует только одна следующая цифра делимого числа, при вычислении квадратного корня мы последовательно работаем с парой цифр (для получения одной следующей цифры в значении квадратного корня).

1. Рассмотрим первую пару цифр Sa числа S (Sa = 7 в нашем примере) и найдем ее квадратный корень. В этом случае первой цифрой A искомого значения квадратного корня будет такая цифра, квадрат которой меньше или равен S a (то есть ищем такое A, при котором выполняется неравенство A² ≤ Sa

   • Допустим, что нужно разделить 88962 на 7; здесь первый шаг будет аналогичным: рассматриваем первую цифру делимого числа 88962 (8) и подбираем такое наибольшее число, которое при умножении на 7 дает значение меньшее или равное 8. То есть ищем такое число d, при котором верно неравенство: 7×d ≤ 8

2. Мысленно представьте квадрат, площадь которого вам нужно вычислить. Вы ищите L, то есть длину стороны квадрата, площадь которого равна S. A, B, C — цифры в числе L. Записать можно иначе: 10А + B = L (для двузначного числа) или 100А + 10В + С = L (для трехзначного числа) и так далее.

   • Пусть (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B² . Запомните, что 10A+B — это такое число, у которого цифра B означает единицы, а цифра A — десятки. Например, если A=1 и B=2, то 10A+B равно числу 12.(10A+B)² — это площадь всего квадрата, 100A² — площадь большого внутреннего квадрата, B² — площадь малого внутреннего квадрата, 10A×B — площадь каждого из двух прямоугольников. Сложив площади описанных фигур, вы найдете площадь исходного квадрата.

Извлечение корня – обратная операция возведению степени. То есть Извлекая корень из числа Х, получим число, которое в квадрате даст то самое число Х.

Извлечение корня довольно-таки несложная операция. Таблица квадратов сможет облегчить работу по извлечению. Потому что, наизусть помнить все квадраты и корни невозможно, а числа могут встретиться большие.

Извлечение корня из числа

Извлечение квадратного корня из числа – просто. Тем более что это можно делать не сразу, а постепенно. Например, возьмем выражение √256. Изначально, незнающему человеку сложно дать ответ сразу. Тогда будем делать по шагам. Сначала разделим на просто число 4, из которого вынесем за корень выделенный квадрат.

Изобразим: √(644), тогда это будет равносильно 2√64. А как известно, по таблице умножения 64=8 8. Ответ будет 2*8=16.

Запишитесь на курс «Ускоряем устный счет, НЕ ментальная арифметика», чтобы научиться быстро и правильно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить числа в квадрат и даже извлекать корни. За 30 дней вы научитесь использовать легкие приемы для упрощения арифметических операций. В каждом уроке новые приемы, понятные примеры и полезные задания.

Извлечение комплексного корня

Корень квадратный не может вычисляться из отрицательных чисел, потому что любое число в квадрате – положительное число!

Комплексное число – число i, которое в квадрате равно -1. То есть i2=-1.

В математике существует число, которое получается при извлечении корня из числа -1.

То есть есть возможность вычислить корень из отрицательного числа, но это уже относится к высшей математике, не школьной.

Рассмотрим пример такого извлечения корня: √(-49)=7*√(-1)=7i.

Калькулятор корня онлайн

С помощью нашего калькулятора, Вы сможете посчитать извлечение числа из квадратного корня:

Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения корня

Суть преобразования подкоренных выражений в разложении подкоренного числа на более простые, из которых можно извлечь корень. Такие как 4, 9, 25 и так далее.

Приведем пример, √625. Поделим подкоренное выражение на число 5. Получим √(1255), повторим операцию √(25 25), но мы знаем, что 25 это 52. А значит ответом будет 5*5=25.

Но бывают числа, у которых корень таким методом не вычислить и просто нужно знать ответ или иметь таблицу квадратов под рукой.

√289=√(17*17)=17

Итог

Мы рассмотрели лишь верхушку айсберга, чтобы понять математику лучше — записывайтесь на наш курс: Ускоряем устный счет — НЕ ментальная арифметика.

Из курса вы не просто узнаете десятки приемов для упрощенного и быстрого умножения, сложения, умножения, деления, высчитывания процентов, но и отработаете их в специальных заданиях и развивающих играх! Устный счет тоже требует много внимания и концентрации, которые активно тренируются при решении интересных задач.

Инструкция

Подберите подкоренному числу такой множитель, вынесение которого из под корня действительно выражение — иначе операция потеряет . Например, если под знаком корня с показателем, равным трем (кубический корень), стоит число 128, то из под знака можно вынести, например, число 5. При этом подкоренное число 128 придется разделить на 5 в кубе: ³√128 = 5∗³√(128/5³) = 5∗³√(128/125) = 5∗³√1.024. Если наличие дробного числа под знаком корня не противоречит условиям задачи, то можно в таком виде. Если же нужен более простой вариант, то сначала разбейте подкоренное выражение на такие целочисленные множители, кубический корень одного из которых будет являться целым число м. Например: ³√128 = ³√(64∗2) = ³√(4³∗2) = 4∗³√2.

Используйте для подбора множителей подкоренного числа , если вычислять в уме степени числа не представляется возможным. Особенно это актуально к корня м с показателем степени больше двух. 3. Результатом будет 125, а это позволяет разбить 250 на множители 125 и 2, а значит вынести из под знака корня число 5, оставив там число 2.

Источники:

• как вынести из под корня
• Квадратный корень из произведения

Вынести из-под корня один из сомножителей необходимо в ситуациях, когда нужно упростить математическое выражение. Бывают случаи, когда выполнить нужные вычисления с помощью калькулятора невозможно. Например, если вместо чисел используются буквенные обозначения переменных.

Инструкция

Разложите подкоренное выражение на простые сомножители. Посмотрите, какой из сомножителей повторяется столько же раз, указано в показателей корня , или больше. Например, вам нужно извлечь корень из числа а в четвертой степени. В этом случае число можно представить как а*а*а*а = а*(а*а*а)=а*а3. Показателю корня в этом случае будет соответствовать сомножитель а3. Его и нужно вынести за знак .

Извлеките корень получившихся подкоренных в отдельности там, где это возможно. Извлечение корня представляет собой алгебраическое действие, обратное возведению в степень. Извлечение корня произвольной степени из числа найти такое число, которое при возведении его в эту произвольную степень даст в результате данное число. Если извлечение корня произвести нельзя, оставьте подкоренное выражение под знаком корня так, как оно есть. В результате проведения перечисленных действий вы произведете вынесение из-под знака корня .

Видео по теме

Обратите внимание

Будьте внимательны при записи подкоренного выражения в виде сомножителей – ошибка на этом этапе приведёт к неправильным результатам.

Полезный совет

При извлечении корней удобно пользоваться специальными таблицами или таблицами логарифмических корней – этим вы значительно сократите время на нахождение правильного решения.

Источники:

• знак извлечения корня в 2019

Упрощение алгебраических выражений требуется во многих разделах математики, в том числе при решении уравнений высших степеней, дифференцировании и интегрировании. При этом используется несколько методов, включая разложение на множители. Чтобы применить этот способ, нужно найти и вынести общий множитель за скобки .

Инструкция

Вынесение общего множителя за скобки – один из самых распространенных способов разложения . Этот прием применяется для упрощения структуры длинных алгебраических выражений, т.е. многочленов. Общим может быть число, одночлен или двучлен, а для его поиска применяется распределительное свойство умножения.

Число.Посмотрите внимательно на коэффициенты при каждом многочлена, можно ли разделить их на одно и то же число. Например, в выражении 12 z³ + 16 z² – 4 очевидным является множитель 4. После преобразования получится 4 (3 z³ + 4 z² — 1). Иными , это число является наименьшим общим целочисленным делителем всех коэффициентов.

Одночлен.Определите, ли одна и та же переменная в каждый из слагаемых многочлена. Предположим, что это так, теперь посмотрите на коэффициенты, как в предыдущем случае. 4 – 2 z³ + z² — 4 z + 4 = 0. Путем простой подстановки найдите z1 = 1 и z2 = 2, значит, за скобки можно вынести двучлены (z — 1) и (z — 2). Для того, чтобы найти оставшееся выражение, воспользуйтесь последовательным делением в столбик.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Простой метод нахождения корней чисел

Простой метод нахождения корней чисел Питер Дювин ^{1 1} Питер Дювин — преподаватель Учебного центра, Манчестер, Вермонт. С ним можно связаться по электронной почте: [email protected]

Нахождение квадратных корней чисел или их приближений было задачей математиков, по крайней мере, еще со времен древних цивилизаций Вавилона и Египта. Это простая задача — генерировать числа, квадратные корни которых будут известны автоматически, путем умножения одного числа на себя, и из этой информации может быть построена таблица. В отсутствие таблицы математики предложили множество методов, с помощью которых можно вычислить квадратный корень числа, зная только само число. Однако такие методы несколько трудны для понимания, особенно для тех, чье понимание ограничено элементарными математическими операциями сложения, вычитания, умножения и деления, включая десятичные дроби.

Несколько лет назад я искал метод определения или оценки квадратных корней, который был бы сродни делению в длинную сторону. Мне пришло в голову, что такой простой метод должен быть, но при поиске в литературе ничего не нашлось.

Повозившись с идеей деления произведения на сумму, я в какой-то момент, к своему великому удивлению, понял, что сумма не нужна и что одни манипуляции с соотношениями действительно могут дать простой метод ^{2 2} Дювин, Питер. Выбивание квадратного корня из подкоренного знака с цифрой один. OpEdNews.com. 14 июня 2011 г. Интернет. 15 марта 2013 г., по которому можно вычислить или аппроксимировать квадратные корни. Позже я обнаружил, что этот метод применим к корням более высокого порядка ^{3 3} Duveen, Peter. Разрыв цепочек квадратных и кубических корней. OpEdNews.com. 19 февраля 2012 г. Интернет. 15 марта 2013..

До некоторой степени разработав новый метод, я ввел некоторые процедуры, помогающие в его применении. Вместо того чтобы давать общее представление о том, как это должно быть сделано, я буду в этой статье использовать конкретные примеры, чтобы представить и расширить используемые концепции.

Квадратный корень из 11

Попробуем вычислить квадратный корень из 11.

Наш первый шаг — найти число, квадрат которого меньше 11, но близок к нему. Так начинаются многие методы. «Близко к» означает, что деление 11 на квадрат этого числа даст число от 1 до 2. Другими словами, «близко к» означает, что деление 11 на квадрат этого числа дает число, которое может быть представлено как 1+a, где 0

В качестве числа 11 мы выбираем 3, что при возведении в квадрат дает 9.

Таким образом, мы перепишем нашу задачу следующим образом: 11=11×1=11×9/9=(11/9)×9=11/9×9=3⁢11/9

Таким образом, мы изменили характер нашей задачи на нахождение квадратного корня из 11/9. Был ли достигнут прогресс? Поддерживаем, да.

Давайте расширим 11/9 до десятичного числа. Тогда у нас есть 3⁢1,222222⁢….

Теперь вопрос в том, как найти число, квадрат которого близок к 1,22222, но не превосходит его? И почему мы не хотим его превышать?

Давайте сначала ответим на последний вопрос. Мы не хотим, чтобы квадрат числа превышал 1,222⁢… потому что мы хотим приблизиться к значению конечного числа, которое мы ищем, из меньших значений, чтобы мы могли более систематически оценивать наш прогресс.

Второй вопрос: как найти число, квадрат которого дает число «меньше, но близко к» 1,222⁢…?

Это оказывается довольно просто. Это связано с тем, что, как правило, квадратный корень из числа 1+a, где 0 2222⁢…

Вы спросите, откуда я это узнал? Допустим, наш квадратный корень имеет вид 1+b; тогда возведем его в квадрат, и мы получим 1+2⁢b+b2. Если b намного меньше единицы, мы можем игнорировать b2, так что (1+b)2≈1+2⁢b=1+a или a/2=b. Однако, если мы должны включить член b2, мы все же можем с уверенностью сказать, что не собьемся с пути, пока наша оценка для b равна (2⁢â⁢⁢⁢1). Почему это? Просто потому, что максимальная ошибка возникает, если a=1, и в этом случае 1+a=1+1=2. Квадратный корень из 2 известен как 1,414⁢…. Таким образом, когда âaâ достигает своего максимального значения, которое равно 1, b=0,414⁢a, и когда оно приближается к своему минимальному значению или приближается к нулю, мы можем игнорировать член b2, поэтому b=0,5⁢a . Таким образом, мы никогда не ошибемся, если будем использовать 0,414⁢… в качестве наименьшей верхней границы. Половина — хорошее эмпирическое правило. У нас будет случай положиться на оба.

Таким образом, мы выбираем 1,1 как число, квадрат которого близок, но не превосходит 1,2222.

Теперь просто повторяем шаг, на который мы рассчитывали ранее:

	3⁢1,2222⁢…	=	3⁢1,2222⁢…×1,21/1,21
		=	3⁢(1,2222⁢…/1,21)×1,21
		=	3⁢(1,2222⁢…/1,21)×1,21
		=	3×1,1⁢1,2222⁢…/1,21

Был ли достигнут прогресс? Я считаю, что теперь очевидно, что мы существенно продвинулись в решении нашей проблемы.

Еще раз преобразуем выражение под знаком корня в десятичное. Вы можете заметить, что мы на самом деле просто повторяем процедуру, которую использовали раньше.

3×1,1⁢1,010101010101⁢…

Искомое число, квадрат которого близок, но меньше 1,010101⁢…, просто находится. Это 1,005, поскольку половина от 0,010 составляет 0,005. Проверяем этот номер. 1,005×1,005=1,010025, и обратите внимание, что оно соответствует нашим критериям, потому что оно близко, но не превышает 1,010101⁢….

Таким образом, мы переписываем наше выражение, пропуская шаги, которые уже должны быть очевидны:

3×1,1×1,005⁢1,010101⁢…/1,010025=3×1,1×1,005⁢1,00007525566.

Искомое число, квадрат которого близок к 1,00007525566, но меньше его, равен 1,00003. 1,000032=1,0000600009. Перепишем наше выражение как

3×1,1×1,005×1,00003⁢1,00007525566/1,0000600009,

или

3×1,1×1,005×1,00003⁢1,00001525384475559.

И последнее, наконец, дает 1,000007 как число, квадрат которого близок к числу под знаком корня.

Мы оставим наше выражение как:

3×1,1×1,005×1,00003×1,000007⁢1,00001525384475559/1,000014000049.

Посмотрим, что у нас останется. Оценка продуктов за пределами знака радикала дает нам 3,31662271119.647, что в квадрате равно 10,9999862084242232491.

Обратите внимание, что мы подошли к значению числа, которое мы произносим, ​​от более низких значений. Это всегда проверка, потому что если бы квадрат нашего числа превышал 11, мы бы знали, что допустили ошибку в расчетах. На самом деле, давайте увеличим наш последний коэффициент на 0,000001. Это даст нам 3×1,1×1,05×1,0003×1,000008. Это дает 3,31662602779596, что при возведении в квадрат дает нам 11,00000820825360803454.

Становится очевидным, что мы можем выбрать уникальную цепочку произведений, меньших квадратного корня из искомого числа, любое из которых, если считать его последним членом и увеличить на одну унитарную цифру, даст произведение, большее, чем искомое число. число, которое мы ищем.

Это может быть наиболее эффективным произведением факторов, но возможно, что были выбраны другие значения, и произведение должно приближаться к квадратному корню из числа, которое мы ищем. Можно спросить, каково минимально эффективное произведение, которое будет сходиться к значению квадратного корня из числа, как, скажем, сходится ряд.

Числа более сложные, чем 11, например, 11,5735, могут быть вычислены таким же образом. Такие числа, как 0,00385, можно преобразовать в 38,5×10-4, где последний коэффициент может быть взят вне знака радикала как 10-2.

Чтобы продемонстрировать, что этот простой метод полностью применим к корням более высокого порядка, мы попытаемся найти корень пятой степени из 2.

Корень пятой степени из 2

При нахождении корня пятой степени нам надлежит заметить, что пятая корень числа, близкого к 1+a, если a меньше единицы, будет, в вообще, число 1+a/5. Это потому, что если число, которое мы ищем, принимает вид 1+b, мы можем возвести 1+b в пятую степень. Если мы используем биномиальную теорему, мы будем иметь (1+b)5=1+5⁢b+10⁢b2+10⁢b3+5⁢b4+b5. Если b<1, наше приближение будет близко к 1+5⁢b=1+a или a/5=b. Мы будем квалифицировать это приближение после нахождения корня пятой степени из двух.

Сначала мы представим, что наше число может быть около 1,2, поскольку 1+1/5 действительно равно 1,2, но понимая, что есть условия, которыми нельзя пренебречь, мы попробуем 1,1. (1.1)5 действительно дает 1,61051.

Итак, мы скажем:

25=2×1,61051/1,610515=(2/1,61051)×1,610515=2/1,610515⁢1,610515=1,1⁢2/1,610515.

Рассчитаем отношение под знаком радикала и перепишем как 1,1⁢1,241842646118315.

. Из нашего предыдущего обсуждения сразу становится очевидным, что мы выберем 1,04 как число, которое при возведении в пятую степень близко к числу под знаком корня, но меньше его.

1,045≈1,2166529024

Затем мы перепишем наше выражение:

1,1⁢1,24184264611831×1,2166529024/1,216652. Это в конечном итоге дает 1,1×1,04⁢1,24184264611831/1,216652 Вычисляем деление, указанное под знаком корня, и переписываем: 1,1×1,04⁢1,020704133174400094215 Легко становится очевидным, что искомое число, которое при возведении в пятую степень близко к числу под знаком корня, но не превосходит его, равно 1,004. Возведение этого числа в пятую степень дает 1,02016064128102. Сейчас я пропущу несколько шагов, которые уже должны быть очевидны. Перепишем наше выражение следующим образом: 1,1×1,04×1,004⁢1,02070413317440009421/1.020160641281025 Вычислив указанное частное, перепишем наше выражение: 1,1×1,04×1,004⁢1,00053275128581478026621925 Мы быстро предполагаем, что наш следующий фактор в цепочке продуктов за пределами знака радикала будет 1,0001. Посмотрим, что получится из наших продуктов. 1,1×1,04×1,004×1,0001=1,1486908576 Это число в пятой степени дает: 1,9999347322198725757449219777 Я использовал электронное устройство для расчета этих значений, но их довольно легко получить с помощью бумаги и карандаша. Если мы увеличим последнюю цифру последнего множителя строки продуктов на 1, мы получим: 1,1×1,04×1,004×1,0002=1,1488057152, что при возведении в пятую степень дает нам 2,0009347995727193485573662518. Что было получено? Мы ввели метод вычисления точных приближений к квадратному корню из числа, используя самые элементарные математические операции, обычно известные продвинутым учащимся начальной школы. Когда вводится понятие квадратного корня и операция извлечения квадратного корня используется для числа, не являющегося полным квадратом, учащемуся, вероятно, будет любопытно, как можно вычислить выражение. Учителя должны быть готовы дать ответ на этот вопрос. Описанный выше метод позволяет понять, что операция извлечения квадратного корня полностью относится к области математических вычислений, без необходимости вводить сложные математические понятия. Алгоритм Мне кажется, что, находя, например, квадратный корень, никогда не ошибешься, вычислив число 1+b, квадрат которого близок к числу, квадратный корень которого мы ищем, 1+a, используя b=a ⁢(2-1)=0,414⁢… или, конечно, используя b=0,4⁢a. Это оставляет открытой возможность использования описанного выше метода для создания компьютерного алгоритма вычисления квадратного корня из числа. Для пятого корня числа мы будем искать число 1+b, которое при возведении в пятую степень даст число, близкое к числу 1+a, чей пятый корень мы ищем. Тогда мы могли бы выбрать b=a⁢(25⁢â⁢⁢⁢1). Таким образом, компьютерные расчеты не могли ошибиться при выполнении описанной выше процедуры, которую затем можно было бы автоматизировать. Должно быть самоочевидно, что другие корни, такие как третий, четвертый и т. д., дадут для такой формулы. Эта статья была распространена на конференции по математике в районе долины Гудзона-могавка, Олбани, штат Нью-Йорк, 23 марта 2013 г. Автор был докладчиком на конференции. Как вычислить квадратный корень из числа? — Метод Ньютона-Рафсона | by Suraj Regmi Учитывая общее количество учеников в школе, и вы хотите знать, все ли ученики помещаются на сборочной площадке, вам нужно знать, сколько минимум линий нужно выстроить. Учитывая размер двери, вам нужно знать, насколько большая фанера может быть пропущена через дверь. Вы не можете сделать это без одной вещи — квадратного корня. Будь то нахождение квадратного корня из числа или квадратного корня из суммы квадратов, необходима функция (или команда) для нахождения квадратного корня из числа. Легко? Хорошо, легко. У нас есть встроенные функции (или команды/кнопки) в наших калькуляторах, компьютерах, языках программирования, мобильных телефонах и повсюду для вычисления квадратного корня. Да, это можно сделать прямолинейно. Но что, если вы находитесь в месте, где нет электричества, а ваши гаджеты разрядились? Помогите мне… Да, я спасу вас из этой ситуации, если придет день. Я привожу твоего старого друга Ньютона (и Рафсона тоже), которого ты очень любил в школьные годы. Возможно, кому-то из вас тоже не нравилось видеть его имя повсюду — от учебника математики до учебника физики, от классической механики до теплоты и термодинамики, от оптики до кубики. Я тоже помню его имя в книге ГК. Возьмите разумное предположение (приблизительный корень) для квадратного корня. Сложите приближенный корень с исходным числом, деленным на приближенный корень, и разделите на 2. x_i := (x_i + n / x_i) / 2 Продолжайте шаг 2 до тех пор, пока разница в приближенном корне по итерациям меньше желаемого значения (или значения точности). Приблизительный корень — это квадратный корень, который нам нужен. Демонстрационная доска Теперь посмотрим на доску с n = 4 . Метод Ньютона для вычисления квадратного корня из 4 Хорошо известно, что есть два квадратных корня, и здесь мы игнорируем отрицательный квадратный корень. Отрицательный квадратный корень можно легко вычислить, взяв первое приближение рядом с отрицательным квадратным корнем. Итак, вот он — рецепт спасения — но я не останавливаюсь на этом, поскольку мои любящие компьютерные науки, питон и математику читатели ожидают увидеть больше. Начнем с кода Python. Почему бы вам не реализовать это в вашей системе? Метод Ньютона, также известный как метод Ньютона-Рафсона, представляет собой алгоритм нахождения корней, который дает последовательно лучшие приближения корней функции с действительным знаком. Приближения корня идут следующим образом: x_(n+1) = x_n — f(x_n) / f'(x_n) x_0 — грубое приближение корня, выполненное в первом и последующих приближения идут как x_1, x_2, …. f(x_n) — функция, корень которой необходимо определить, а f’(x_n) — производная функции. Описание Для достаточно точного приближения x_n лучшее приближение корня обычно можно найти, проведя касательную к графику в точке x_n и найдя точку пересечения касательной с осью x . Уравнение линии с уклоном м , проходящей через (x_1, y_1) будет: y — y_1 = m (x — x_1) Здесь тангенс — это линия, производная, f'(x_n) , это наклон и (x_n, f(x_n)) это точка. Итак, y — f(x_n) = f'(x_n)(x — x_n) Поскольку лучшим приближением будет x-пересечение касательной, положим y = 0 и решим для х_n . -f(x_n) = f'(x_n)(x — x_n) или, x — x_n = -f(x_n) / f'(x_n) Итак, x = x_n — f(x_n) / f’(x_n) ………………. (1) Это метод Ньютона для аппроксимации корня функции, f(x). Теперь посмотрим, сможем ли мы придумать приведенный выше алгоритм, используя общую формулу. Метод Ньютона для извлечения квадратного корня Если нам нужно найти квадратный корень из числа n , функция будет f(x) = x² — N , и нам нужно будет найти корень функции, ф(х). Здесь значение f(x_n) при x = x_n равно: f(x_n) = x_n² — N И производная в точке: f'(x_n) f'(x_n) f'(x_n) = 2 * x_n Теперь лучшее приближение можно найти, используя (1). x_(n+1) = x_n — (x_n² — N) / (2 * x_n) x_(n+1) = x_n — x_n² / (2 * x_n) + N/ (2 * x_n) x_ (n+1) = x_n — x_n / 2+ N/ (2 * x_n) x_(n+1) = x_n / 2+ N/ (2 * x_n) x_(n+1) = (x_n + N/ x_n) / 2 Так выглядит алгоритм нахождения квадратного корня из числа. Целочисленный квадратный корень из числа является полом квадратного корня. Алгоритм можно немного изменить, чтобы найти целый квадратный корень из числа. Условие в то время как здесь будет приблизительное * приблизительное > N . Алгоритм завершается, когда приблизительный квадрат меньше или равен N. Итерационное соотношение здесь: x_(n+1) = (x_n + N // x_n) // 2, , где // целочисленное деление. Доказательство правильности Сначала докажем правильность для условия while . Итерационное отношение: x_(n+1) = (x_n + N // x_n) // 2 Его можно записать так: x_(n+1) = floor((x_n + N/x_n)/2) Для а ≥ 0 и б ≥ 0, а + b ≥ 2 * sqrt(a*b) . Итак, x_(n+1) ≥ пол(2 * sqrt(x_n * N / x_n) / 2) или, x_(n+1) ≥ пол(sqrt(N)) Итак, x_(n+ 1) ≥ intqrt(N) Следовательно, значение аппроксимации никогда не опускается ниже значения intsqrt(N) . Теперь докажем, что аппроксимация монотонно убывает . Найдем разность x_(n+1) — x_n. x_(n+1) — x_n = (x_n + N // x_n) // 2 — x_n As N // x_n меньше или равно x_n (на основе условия while), (x_n + N // x_n) // 2 ≤ (2 * x_n) // 2 Итак, x_(n+1) — x_n ≤ (2 * x_n) // 2 — x_n Поскольку x_n является целым числом, (2 * x_n) // 2 = x_n. т.е. x_(n+1) — x_n ≤ x_n — x_n Итак, x_(n+1)-x_n ≤ 0 Следовательно, последовательность {x_n} монотонно убывает. Значения x_(n+1) и x_n равны только тогда, когда N // x_n равно x_n , и именно тогда мы находим решение и цикл while останавливается. Во всех остальных случаях последовательность {x_n} является строго убывающей. Таким образом, корректность алгоритма вычисления целого квадратного корня доказана. No related posts. Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт