Вычислить вероятность: Математическое Бюро. Страница 404

Содержание

Расчет Вероятности — как найти вероятность

расчет вероятности помогает рассчитать вероятность для одного события, нескольких событий, двух событий, для серии событий, а также событий с условной вероятностью. Если вы хотите рассчитать вероятность a и b и для любого количества событий, то приведенный выше калькулятор вероятностей подойдет вам лучше всего!

Что ж, переходим к делу; просто прочтите этот пост, чтобы узнать, как рассчитать вероятность, различные уравнения вероятности, все формулы вероятности, статистический калькулятор вероятности и многое другое, что вам нужно знать о вероятности.

Итак, давайте начнем с наилучшего определения вероятности!

Что такое вероятность в статистике?

Под вероятностью понимается вероятность наступления события или нескольких событий. Вероятность – это то, что указывает на возможность достижения определенного результата и может быть рассчитано с помощью простой формулы вероятности.

Происхождение теории вероятностей начинается с изучения таких игр, как игра в кости, подбрасывание монет, карт и т. Д. Но в настоящее время вероятность имеет большое значение при принятии решений. Классическая теория показывает, что вероятность – это отношение благоприятного случая к общему количеству равновероятных случаев. Субъективный подход показывает, что вероятность события определяется человеком на основе имеющихся у него / нее свидетельств.

Исследование о вероятности:

Идея вероятности как полезной науки принадлежит известным французским математикам Блезу Паскалю и Пьеру де Ферма.

Согласно «Исчислению, том II» Тома М. Апостола, и Блез Паскаль, и Пьер де Ферма решали проблему с азартными играми в 1954 году. Они лучше всего работают при определении количества ходов, необходимых для получения 6 при броске двух кубиков. Да, дискуссии Паскаля и де Ферма заложили основу концепции теории вероятностей.

Какова формула вероятности?

Формула вероятности события следующая:

P (A) = количество благоприятных исходов / общее количество благоприятных исходов

Или формула вероятности:

P (A) = n (E) / n (S)

Где,

  • P (A) называется вероятностью события «A»
  • n (E) называется числом благоприятных исходов.
  • n (S) называется числом событий в выборке

Примечание. Здесь благоприятный исход указывается как интересующий результат.

Теперь давайте посмотрим на основные формулы вероятности!

Каковы основные формулы вероятности?

Проведите вниз!

Диапазон вероятности:

0 ≤ P (A) ≤ 1

Правило сложения:

P (A∪B) = P (A) + P (B) – P (A∩B)

Правило дополнительных событий:

P (A ’) + P (A) = 1

Непересекающиеся события:

P (A∩B) = 0

Независимые мероприятия:

P (A∩B) = P (A) ⋅ P (B)

Условная возможность:

P (A | B) = P (A∩B) / P (B)

Формула Байеса:

Р (А | В) = Р (В | А) ⋅ Р (А) / Р (В)

Что ж, ближе к делу: вычисление обозначений вероятности становится простым с помощью статистических событий или калькулятора условной вероятности.

О калькуляторе вероятностей:

расчет вероятности – это продвинутый инструмент, который позволяет узнать вероятность одного события, нескольких событий, двух событий и для серии событий. Кроме того, этот калькулятор работает как калькулятор условной вероятности, так как помогает вычислить условную вероятность заданного входа. Короче говоря, определение вероятности становится простым с помощью этого калькулятора вероятностных событий. Помимо уравнения вероятности, вы можете легко найти вероятность с помощью этого калькулятора вероятностей.

как решать задачи на вероятность с помощью калькулятора:

Что ж, вы можете легко рассчитать условные или вероятностные события с помощью этого калькулятора вероятностных событий, поскольку он загружен с удобным интерфейсом, он на 100% бесплатен для вычисления вероятностей. Читать дальше!

Рассчитайте вероятность для одного события:

Вход:

  • Прежде всего, вам нужно выбрать опцию «Single Probability» из выпадающего меню калькулятора.
  • Затем вы должны ввести количество возможных результатов в специальное поле.
  • Теперь вам нужно ввести количество произошедших событий (n) A в назначенное поле.

Вывод:

После этого нажмите кнопку «Рассчитать», расчет вероятности одного события сгенерирует:

  • Вероятность наступления события P (A) как в десятичном, так и в процентах
  • Вероятность события, которое не произойдет, P (A ‘) как в десятичном, так и в процентном выражении
Рассчитайте вероятность нескольких событий:

Вход:

  • Прежде всего, вы должны выбрать опцию «Вероятность нескольких событий» из раскрывающегося меню этого калькулятора вероятности для нескольких событий.
  • Сразу после этого вы должны ввести количество событий (n) A в заданные поля
  • Затем вы должны ввести количество событий (n) B в специальное поле этого калькулятора.

Вывод:

После того, как вы ввели все вышеперечисленные параметры, нажмите кнопку «Рассчитать», и этот расчет вероятности нескольких событий сгенерирует:

  • Вероятность наступления события P (A) как в десятичном, так и в процентах
  • Вероятность события, которое не произойдет, P (A ‘) как в десятичном, так и в процентном выражении
  • Вероятность наступления события B P (B) как в десятичном, так и в процентном выражении
  • Вероятность того, что событие B не произойдет, P (B ‘) как в десятичном, так и в процентном выражении
  • Вероятность наступления обоих событий P (A ∩ B) как в десятичной, так и в процентной форме.
  • Вероятность наступления любого из событий P (A ∪ B) как в десятичной, так и в процентной форме.
  • Условная вероятность P (A | B) как в десятичной, так и в процентной форме
Рассчитайте вероятность двух событий:

Вход:

  • Во-первых, вы должны выбрать опцию «Вероятность двух событий» в раскрывающемся меню этого калькулятора вероятности двух событий.
  • Затем вам нужно выбрать формат ввода, хотите ли вы добавить значения в десятичном формате или в процентах.
  • Сразу после этого вы должны добавить значение вероятности P (A) в обозначенное поле.
  • Затем вы должны добавить значение вероятности P (B) в обозначенное поле.

Вывод:

После того, как вы добавите все значения в указанные поля, нажмите кнопку вычислить, калькулятор вероятности двух событий сгенерирует:

  • Вероятность того, что событие не произойдет P (A ‘)
  • Вероятность того, что событие B не произойдет P (B ‘)
  • Вероятность наступления обоих событий P (A ∩ B)
  • Вероятность наступления любого из событий P (A ∪ B)
  • Вероятность появления A или B, но не обоих P (AΔB)
  • Вероятность того, что ни A, ни B не встретятся P ((A∪B) ‘)
  • Вероятность появления B, но не A

Калькулятор покажет все указанные выше значения как в десятичном, так и в процентном формате.

Рассчитайте вероятность серии событий:

Вход:

  • Прежде всего, вы должны выбрать опцию «Вероятность серии событий» в соответствующем поле этого калькулятора вероятности серии событий.
  • Затем вы должны ввести значение вероятности и количество повторов для «События А» в предназначенное для этого поле.
  • Сразу после этого вы должны добавить значение вероятности и количество повторов для «События B» в данное поле.

Вывод:

После того, как вы ввели все значения в обозначенные поля, просто нажмите кнопку «Рассчитать», и эта вероятность мгновенно выдаст следующие результаты:

  • Вероятность появления А 2 раза
  • Вероятность того, что А не произойдет
  • Вероятность возникновения А
  • Вероятность появления B 4 раза
  • Вероятность того, что B не произойдет
  • Вероятность появления B
  • Вероятность того, что A встречается 2 раза, а B – 4 раза
  • Вероятность того, что не произойдет ни A, ни B
  • Вероятность появления как A, так и B
  • Вероятность появления A 2 раза, но не B
  • Вероятность появления B 4 раза, но не A
  • Вероятность появления A, но не B
  • Вероятность появления A, но не B
Вычислить условную вероятность P (A | B):

Вход:

  • Прежде всего, вы должны выбрать опцию «Условная вероятность P (A | B)» в специальном поле этого калькулятора условной вероятности.
  • Затем вы должны ввести значение вероятности a и b в обозначенное поле.
  • Затем вы должны ввести значение вероятности P (B) в предназначенное для этого поле.

Вывод:

После этого просто нажмите кнопку вычислить, калькулятор условной вероятности сгенерирует:

  • Условная вероятность P (A | B) как в десятичной, так и в процентной форме

К счастью, найти вероятность a и b становится легко с помощью этого калькулятора условной вероятности.

Каковы различные типы вероятностных событий:

Прочтите, чтобы узнать о различных типах вероятностных событий:

Простое событие:

Если событие E содержит только одну точку выборки из пространства выборки, оно называется простым событием или элементарным событием. Помните, что это событие, которое содержит только один результат.

Пример вероятности единичного события:

Предположим, вы бросаете кубик, вероятность выпадения 2 на кубике считается простым событием и задается как E = {2}.

Сложное событие:

Если в пространстве для выборки имеется более одной точки выборки, то это считается сложным событием. Это событие предполагает объединение двух или более событий вместе и определение вероятности такой комбинации событий.

Пример сложного события по вероятности:

Когда вы бросаете кубик, существует вероятность появления четного числа, которая называется составным событием, поскольку существует более одной возможности, есть три возможности, которые равны E = {2,4,6}.

Определенное событие:

Определенное событие называется событием, которое обязательно произойдет в любом данном эксперименте. Вероятность такого события равна 1.

Невозможное событие:

Когда событие не может произойти, это означает, что событие не может произойти, тогда это считается невозможным событием. Вероятность невозможного события обозначается как 0.

Пример невозможного события по вероятности:

Карта, которую вы вытащили из колоды, красного и черного цвета, считается невозможным.

Равно вероятные события:

Если результаты эксперимента равновероятны, то они считаются равновероятными событиями.

Пример равновероятных событий по вероятности:

Когда вы подбрасываете монету, вероятность выпадения орла и решки одинакова.

Бесплатные мероприятия:

Для события E ненаступление события называется дополнительным событием. Обычно говорят, что дополнительные события – это события, которые не могут произойти одновременно.

Пример вероятности дополнительных событий:

Когда бросается кубик, получение нечетного и четного лиц считается дополнительными событиями.

Взаимоисключающие события:

Два события называются взаимоисключающими вероятностными событиями, когда оба не могут произойти одновременно. Помните, что взаимоисключающие вероятностные события всегда имеют разный исход. Два простых события всегда считаются взаимоисключающими, тогда как два составных события могут быть, а могут и не быть!

Если A и B – два события, тогда;

(A ∩ B) = Ø

и,

Вероятность пересечения

P (A ∩ B) = 0

Вероятность союза

Р (А ∪ В) = Р (А) + Р (В)

Зависимые вероятностные события и независимые вероятностные события (примеры задач):

Опишем оба термина простыми словами:

  • Зависимые вероятностные события связаны друг с другом
  • Независимые вероятностные события не связаны между собой, значит, вероятность того, что одно произойдет, не влияет на другое.

Вероятность двух событий, происходящих вместе – зависимая вероятность:

Здесь уравнение вероятности, которое вы используете, немного отличается.

P (A и B) = P (A) • P (B | A)

Где;

  • P (B | A) просто обозначено как «вероятность B, если A произошло»)

Пример проблемы:

Если 85% сотрудников имеют медицинскую страховку, из 85% только 45% имели отчисления выше 1000 долларов. Итак, какой процент людей имел франшизу выше 1000 долларов?

Шаг 1:

  • Вам нужно преобразовать проценты двух событий в десятичные числа, давайте посмотрим на пример.

85% = 0,85.

45% = 0,45.

Шаг 2:

  • Теперь вам нужно умножить десятичные дроби из шага 1 вместе.

0,85 x 0,45 = 0,3825 или 38,35 процента.

Таким образом, вероятность того, что у физических лиц будет франшиза более 1000 долларов, составляет 38,35%.

Вот как рассчитать вероятность того, что два события произойдут вместе!

Вероятность двух событий, происходящих вместе – Независимая вероятность:

Все, что вам нужно, это использовать определенную формулу правила умножения. Вам следует умножить вероятность первого события на второе. Например, если вероятность события A 2/9 и события B равна 3/9, то вероятность того, что оба события происходят одновременно, равна (2/9) * (3/9) = 6/81 = 2/27.

Пример проблемы:

Шансы получить работу, на которую вы подали заявку, составляют 45%, а шансы получить квартиру, на которую вы подавали заявку, составляют 75%, тогда как насчет вероятности того, что вы получите и новую работу, и новую квартиру?

Шаг 1:

  • Вам следует преобразовать ваши проценты двух событий в десятичные числа, давайте взглянем на приведенный выше пример.

45% = 0,45.

75% = 0,75.

Шаг 2:

  • Теперь вам нужно умножить десятичные дроби из шага 2 вместе:

0,45 x 0,65 = 0,3375 или 33,75 процента.

Итак, вероятность получить работу и квартиру составляет 33,75%.

Вероятность A и B:

Вероятность A и B означает, что вы хотите знать вероятность двух событий, которые происходят одновременно. Существуют разные формулы, которые полностью зависят от того, есть ли у вас зависимые события или независимые события.

Формула для вероятности A и B (независимых событий): p (A и B) = p (A) * p (B)

Помните, что если вероятность одного события не влияет на другое, значит, у вас независимое событие. Итак, как уже упоминалось ранее, вам нужно умножить вероятность одного на вероятность другого.

Формула для вероятности A и B (зависимых событий): p (A и B) = p (A) * p (B | A)

Помимо этих уравнений вероятностей, вы можете просто добавить параметры в указанный выше калькулятор вероятностей, чтобы определить вероятность событий.

Как рассчитать вероятность (вручную, шаг за шагом)?

Помимо уравнений вероятности, вы можете просто добавить параметры в приведенный выше калькулятор вероятностей, чтобы определить вероятность событий. Но, если вы хотите рассчитать вероятность вручную, то прочтите!

Все, что вам нужно, чтобы рассчитать вероятность:

  • Прежде всего, вы должны определить одно событие с одним исходом.
  • Затем вы должны определить общее количество возможных результатов.
  • Затем вам нужно разделить количество событий на количество возможных результатов.

Давайте копать глубже!

Шаг № 1: Определите одно событие с одним результатом:

Первым шагом к вычислению вероятности является определение вероятности, которую вы хотите вычислить. Это может быть указано как событие, предположим, что вероятность дождливой погоды, или выпадение определенного числа на кубике. Событие должно иметь хотя бы один возможный исход. Например, если вы хотите найти вероятность выпадения тройки с кубиком при первом броске, вы должны выяснить, что есть возможный результат: означает, что вы либо бросаете тройку, либо не бросаете тройку.

Шаг № 2: Определите общее количество результатов:

Затем вы должны определить количество результатов, которые могут возникнуть в результате события, которое вы определили на первом шаге. Если мы говорим о примере броска кубика, то всего может произойти 6 исходов, поскольку на кубике 6 чисел. Итак, ясно, что для одного события – выпадения трех – может произойти 6 различных результатов.

Шаг № 3: Разделите количество событий на количество возможных результатов:

После того как вы определили вероятностное событие вместе с соответствующими результатами, вам нужно разделить общее количество событий на общее количество возможных исходов. Например, бросок кубика один раз и выпадение тройки можно считать вероятностью одного события. Таким образом, вы можете продолжать бросать кубик – следовательно, каждый бросок будет считаться одним событием.

Итак, из приведенного выше примера результат в дроби: 1/6.

Как рассчитать вероятность с несколькими случайными событиями?

Хотите мгновенно рассчитать вероятность нескольких событий, а затем просто расчет вероятности для нескольких событий. Несомненно, вычисление вероятности с несколькими случайными событиями очень похоже на вычисление вероятности с одним событием, однако есть лишь несколько дополнительных шагов, которые нужно придерживаться, чтобы достичь окончательного решения. Следующие ниже шаги показывают, как рассчитать вероятность нескольких событий:

  • Прежде всего, вы должны определить каждое событие, которое вы будете рассчитывать.
  • Затем вам нужно рассчитать вероятность каждого события.
  • Наконец, вам нужно умножить все вероятности вместе

Часто задаваемые вопросы (о вероятности):

Как найти вероятности с процентами?

Если вы хотите рассчитать вероятность в процентах, вам следует решить задачу, как обычно, то есть вам нужно преобразовать свой ответ в процент.

Например;

Если количество желаемых результатов разделить на количество возможных событий, равное 0,25, тогда вам следует умножить ответ на 100, чтобы получить 25%. Если есть вероятность определенного исхода в процентной форме, тогда вам просто нужно разделить процент на 100, а теперь умножить его на количество событий, чтобы вычислить вероятность.

Как рассчитать вероятность на калькуляторе?

Все, что вам нужно для ввода значений в указанные выше поля, калькулятор вероятностей сделает все за вас в течение нескольких секунд.

Каковы 3 типа вероятности?

Три типа вероятности следующие:

  • Классический
  • Определение относительной частоты
  • Субъективная вероятность

Каковы 5 правил вероятности?

Основные правила вероятности:

  • Правило вероятности первое – (Для любого события A, 0 ≤ P (A) ≤ 1)
  • Правило вероятности два – (Сумма вероятностей всех возможных исходов равна 1)
  • Правило вероятности третье – (Правило дополнения)

Вероятности, связанные с несколькими событиями:

  • Правило вероятности четвертое (правило сложения для непересекающихся событий)

Нахождение P (A и B) с помощью логики:

  • Правило вероятности пятое – (Общее правило сложения)

Как я могу определить вероятность при выборе случайных чисел?

Запомните все это на основе диапазона генератора случайных чисел. Например, если диапазон от 1 до 9, то вероятность получения определенного числа считается равной 1/9.

Если я брошу кубик 6 раз, какова вероятность?

Вероятность того, что он хотя бы раз выпадет на 6, составляет 66,5%.

Если я брошу обычный шестигранный кубик, какова вероятность получить 5?

Тогда ваш ответ будет 1/6, или примерно 17%.

Если один раз бросить шестигранный кубик, какова вероятность выпадения 1 или 2?

2/6, после подбрасывания кубика вероятность получить 1 равняется 1/6, а вероятность получения 2 также равна 1/6. Таким образом, 1/6 + 1/6 = 2/6 или 1/3 или 0,333.

Как рассчитать вероятность футбольных матчей?

На самом деле, ты не можешь. Единственное, от чего можно уйти, так это их умения. Помните, что игроки тоже люди, и у них может быть плохой день, а это значит, что они играют не так хорошо, как обычно!

Где мы используем вероятность в реальной жизни?

Вот примеры вероятности из реальной жизни:

  • Прогноз погоды
  • Среднее значение по крикету
  • Политика
  • Подбрасывание монеты или кубика
  • Страхование
  • Вы скорее всего погибнете в результате несчастного случая
  • Лотерейные билеты
  • Играя в карты

Вывод:

Помните, что вероятность – это то, что дает вам информацию о вероятности того, что что-то произойдет. Итак, просто воспользуйтесь приведенным выше калькулятором вероятностей, чтобы вычислить вероятность событий или в соответствии с условиями!

Other languages: Probability Calculator, olasılık hesaplama, kalkulator prawdopodobieństwa, kalkulator probabilitas, wahrscheinlichkeitsrechner, 確率 計算, 확률 계산기, pravděpodobnost kalkulačka, calculo de probabilidade, calcul de probabilité, calculo de probabilidad, calcolo probabilità, todennäköisyys laskuri, sandsynlighedsregning, sannsynlighetskalkulator.

Что такое теория вероятности?

  1. Что такое теория вероятностей?
  2. Формулы вероятностей
  3. Как вычислить вероятность: примеры
  4.  

    Очень часто во многих ситуациях вы можете подробно изучить некое явление или событие, выяснив теоретическую вероятность его исхода. Самым простым примером является подбрасывание обычной монеты. Без особых расчётов вы можете сразу ответить, что вероятность приземления на каждую из её сторон – 50:50. Как же быть с более сложными задачами?

     

    В этом материале вы узнаете об основных формулах и понятиях теории вероятностей, а также ознакомитесь с несколькими примерами.  

    Что такое теория вероятностей?

    Теория вероятности (ТВ) – это такой раздел математики, который занимается анализом случайных явлений. Вы не знаете, чем закончится какое-то событие, так как результат определяется случайностью. Но благодаря ТВ вы можете определить вероятность какого-либо возможного результата.

     

    Она определяется величиной от 0 до 1, то есть от невозможности до полной уверенности. Иными словами вероятность можно описать как соотношение между благоприятными исходами и общим количеством возможных исходов. К изучению ТВ существует два основных подхода – это теоретическая вероятность и экспериментальная. Первая определяется на основе логических суждений, а вторая – путём проведения повторных экспериментов на основе исторических данных.

    В теории вероятности используются некоторые понятия, а именно:

  • Случайный эксперимент. Вы повторяете какое-либо испытание несколько раз, чтобы получить набор возможных результатов. Например, подбрасывание монеты.

  • Выборочное пространство. Это совокупность всех возможных результатов, возникающих при проведении случайного эксперимента. Для той же монеты это будет {орёл, решка}.

  • Событие. Это набор результатов эксперимента, который образует совокупность выборочного пространства. Они бывают независимыми (на них не влияют др. события), зависимыми (влияют др. события), взаимоисключающими (не могут происходить одновременно), равновероятными (с одинаковой вероятностью наступления), исчерпывающими (событие, равное выборочному пространству).

  • Случайная переменная. Это случайная величина, которая принимает значение всех возможных исходов эксперимента. Она может быть дискретной (точное значение) или непрерывной (может иметь бесконечное число значений). 

  • Условная вероятность. Термин обозначается как Р(A | B) и применяется в случае, когда нужно определить вероятность возникновения события при том условии, что другое событие уже произошло.

  • Ожидание. Обозначается как Е[Х] и подразумевает среднее значение результатов эксперимента, проведённого несколько раз.

  • Дисперсия. Она показывает, как распределение случайной величины меняется по отношению к среднему значению. Изображается как Var[Х].

  • Функция распределения ТВ. Моделирует все возможные значения эксперимента вместе с их вероятностями и использованием случайной величины. 

  • Функция массы вероятности. Вероятность того, что дискретная переменная будет точно равна определённому значению.

  • Функция плотности вероятности. Вероятность того, что непрерывная переменная примет набор возможных значений.

 

В школьной программе тема вероятности занимает небольшое место, однако если ваше дальнейшее образование связано с техническими специальностями, то знание математики на высшем уровне для вас необходимо. С поиском хороших репетиторов поможет сайт BUKI, где можно найти преподавателей разных математических направлений.

Читайте также: Английский для IT: особенности изучения

Формулы вероятностей

В ТВ есть много разных формул, которые помогают вычислять различные вероятности, связанные с событиями.

 

Из наиболее важных можно выделить следующие формулы вероятности:

Читайте также: 8 лучших языков программирования для детей

Как вычислить вероятность: примеры

С классической вероятностью вы наверняка знакомы. Рассмотрим простую задачу: вам нужно выяснить, какова вероятность того, что из вазы вы достанете конфету, которая будет в зелёной обёртке (при условии, что в вазе есть ещё жёлтые и красные обёртки). Классическую вероятность можно высчитать по формуле, которую многие помнят со школы. Выглядит она следующим образом:

Для решения этой простой задачи нужно всего лишь сосчитать количество всех конфет в вазе (это будет значение N), и отдельно число конфет в зелёной обёртке (значение M). Если представить, что конфет было всего 10, 2 из которых – зелёные, то вероятность вытянуть нужную вам конфету составит 1/5 или 0,2. 

 

Рассмотрим еще одну задачу, где какой-либо порядок определяется жребием: на конкурсе выступает 20 участников, среди которых 8 – с песенным номером, 7 – с фокусами, и 5 – с танцами. Какова вероятность, что 5-м по порядку (который определён жребием) будет именно танцевальный номер? В подобных задачах для вас порядок не важен, поэтому формулировка со жребием не должна сбивать вас с толку. Здесь нужно просто определить классическую вероятность, которая составит 1/4 или 0,25.

 

Если в двух предыдущих примерах всё достаточно просто вычислить, т. к. есть теоретические данные, как быть с расчётом вероятности в играх? К примеру, как узнать вероятность определённого счёта в футбольной игре? Это сделать намного сложнее, ведь на счёт будет влиять множество факторов, таких как поведение игроков, погодные условия и другие. В таких случаях говорят об эмпирической, или экспериментальной вероятности. То есть вы можете просчитать исход, основываясь на предыдущих экспериментах. Примерный результат игры можно оценить на основе статистики предыдущих игр в сезоне, в котором команда отыграла 16 игр. Какова вероятность того, что за 17-ю игру команда получит больше 30 очков?

 

 

Приблизительный исход можно подсчитать из предыдущих данных. Исходя из них, больше 30 очков команда набрала в 5 играх (два последних столбца). Таким образом, эмпирическая вероятность будет 5/16. Но точную вероятность подсчитать невозможно, т.к. на поле происходит много разных моментов, которые прямо или косвенно могут повлиять на результат.

 

Задачи такого рода и более сложные присутствуют на ЕГЭ, поэтому не помешают дополнительные занятия с репетитором по теории вероятности. Помните, что зачастую на экзамене правильный ответ получается чётким, и вы его должны перевести в идентичные десятичные дроби. Бесконечные десятичные могут получиться лишь в том случае, где в задании указано, например, «ответ округлить до сотых».

Читайте также: Как выучить английский до уровня Advanced?

 

Вероятность, Теория вероятности, вычисление экспериментальной вероятности

Когда бросается монета, можно сказать, что она упадет орлом вверх, или вероятность этого составляет 1/2. Конечно, это не означает того, что если монета подбрасывается 10 раз, она обязательно упадет вверх орлом 5 раз. Если монета является «честной» и если она подбрасывается много раз, то орел выпадет очень близко в половине случаев. Таким образом, существует два вида вероятностей: экспериментальная и теоретическая.

Экспериментальная и теоретическая вероятность

Если бросить монетку большое количество раз — скажем, 1000 — и посчитать, сколько раз выпадет орел, мы можем определить вероятность того, что выпадет орел. Если орел выпадет 503 раза, мы можем посчитать вероятность его выпадения:
503/1000, или 0,503.

Это экспериментальное определение вероятности. Такое определение вероятности вытекает из наблюдения и изучения данных и является довольно распространенным и очень полезным. Вот, к примеру, некоторые вероятности которые были определены экспериментально:

1. Вероятность того, что у женщины разовьется рак молочной железы составляет 1/11.

2. Если вы целуетесь, с кем-то, кто болен простудой, то вероятность того, что вы тоже заболеете простудой, составляет 0,07.

3. Человек, который только что был освобожден из тюрьмы, имеет 80% вероятности возвращения назад в тюрьму.

Если мы рассматриваем бросание монеты и беря во внимание то, что столь же вероятно, что выпадет орел или решка, мы можем вычислить вероятность выпадение орла: 1 / 2. Это теоретическое определение вероятности. Вот некоторые другие вероятности, которые были определены теоретически, с помощью математики:

1. Если находится 30 человек в комнате, вероятность того, что двое из них имеют одинаковый день рождения (исключая год), составляет 0,706.

2. Во время поездки, Вы встречаете кого-то, и в течение разговора обнаруживаете, что у вас есть общий знакомый. Типичная реакция: «Этого не может быть!». На самом деле, эта фраза не подходит, потому что вероятность такого события достаточно высока — чуть более 22%.

Таким образом, экспериментальная вероятность определяются путем наблюдения и сбора данных. Теоретические вероятности определяются путем математических рассуждений. Примеры экспериментальных и теоретических вероятностей, как например, рассмотренных выше, и особенно тех, которые мы не ожидаем, приводят нас, к ваэности изучения вероятности. Вы можете спросить: «Что такое истинная вероятность?» На самом деле, таковой нет. Экспериментально можно определить вероятности в определенных пределах. Они могут совпадать или не совпадать с вероятностями, которые мы получаем теоретически. Есть ситуации, в которых гораздо легче определить один из типов вероятности, чем другой. Например, было бы довольно найти вероятность простудиться, используя теоретическую вероятность.

Вычисление экспериментальных вероятностей

Рассмотрим сначала экспериментальное определение вероятности. Основной принцип, который мы используем для вычисления таких вероятностей, является следующим.

Принцип P (экспериментальный)

Если в опыте, в котором проводится n наблюдений, ситуация или событие Е происходит m раз за n наблюдений, то говорят, что экспериментальная вероятность события равна P (E) = m/n.

Пример 1 Социологический опрос. Было проведено экспериментальное исследование, чтобы определить количество левшей, правшей и людей, у которых обе руки развиты одинаково Результаты показаны на графике.

a) Определите вероятность того, что человек — правша.

b) Определите вероятность того, что человек — левша.

c) Определите вероятность того, что человек одинаково свободно владеет обеими руками.

d) В большинстве турниров, проводимых Профессиональной Ассоциацией Боулинга, участвуют 120 игроков. На основании данных этого эксперимента, сколько игроков могут быть левшой?

Решение

a)Число людей, являющиеся правшами, составляет 82, количество левшей составляет 17, а число тех, кто одинаково свободно владеет двумя руками — 1. Общее количество наблюдений — 100. Таким образом, вероятность того, что человек правша, есть Р
P = 82/100, или 0,82, или 82%.

b) Вероятность того, что человек левша, есть Р, где
P = 17/100, или 0,17, или 17%.

c) Вероятность того, что человек одинаково свободно владеет двумя руками составляет P, где
P = 1/100, или 0,01, или 1%.

d) 120 игроков в боулинг, и из (b) мы можем ожидать, что 17% — левши. Отсюда
17% от 120 = 0,17.120 = 20,4,
то есть мы можем ожидать, что около 20 игроков являются левшами.

Пример 2 Контроль качества. Для производителя очень важно держать качество своей продукции на высоком уровне. На самом деле, компании нанимают инспекторов контроля качества для обеспечения этого процесса. Целью является выпуск минимально возможного количества дефектных изделий. Но так как компания производит тысячи изделий каждый день, она не может позволить себе проверять каждое изделие, чтобы определить, бракованное оно или нет. Чтобы выяснить, какой процент продукции являются дефектным, компания проверяет гораздо меньше изделий.
Министерство сельского хозяйства США требует, чтобы 80% семян, которые продают производители, прорастали. Для определения качества семян, которые производит сельхозкомпания, высаживается 500 семян из тех, которые были произведены. После этого подсчитали, что 417 семян проросло.

a) Какова вероятность того, что семя прорастет?

b) Отвечают ли семена государственным стандартам?

Решение a) Мы знаем, что из 500 семян, которые были высажены, 417 проросли. Вероятность прорастания семян Р, и
P = 417/500 = 0,834, или 83.4%.

b) Так как процент проросших семян превысил 80% по требованию, семена отвечают государственным стандартам.

Пример 3 Телевизионные рейтинги. Согласно статистических данных, в Соединенных Штатах 105 500 000 домохозяйств с телевизорами. Каждую неделю, информация о просмотре передач собирается и обрабатывается. В течение одной недели 7815000 домохозяйств были настроены на популярный комедийный сериал «Все любят Реймонда» на CBS и 8302000 домохозяйств были настроены на популярный сериал «Закон и порядок» на NBC (Источник: Nielsen Media Research). Какова вероятность того, что телевизор одного дома настроен на «Everybody Loves Raymond» в течение данной недели? на «Закон и порядок»?

Решениеn Вероятность того, что телевизор в одном домохозяйстве настроен на «Все любят Реймонда» равна Р, и
P = 7,815,000/105,500,000 ≈ 0,074 ≈ 7,4%.
Возможность, что телевизор домохозяйства был настроен на «Закон и порядок» составляет P, и
P = 8,302,000/105,500,000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Эти проценты называются рейтингами.

Теоретическая вероятность

Предположим, что мы проводим эксперимент, такие, как бросание монетки ли дротиков, вытаскивание карты из колоды, или проверка изделий на качество на сборочной линии. Каждый возможный результат такого эксперимента называется исход. Множество всех возможных исходов называется пространством исходов. Событие это множество исходов, то есть подмножество пространства исходов.

Пример 4 Бросание дротиков. Предположим, что в эксперименте «метание дротиков» дротик попадает в мишень. Найдите каждое из нижеследующих:

a) Исходы

b) Пространство исходов

Решение
a) Исходы это: попадание в черное (Ч), попадание в красное (К) и попадание в белое (Б).

b) Пространство исходов есть {попадание в черное, попадание в красное, попадание в белое}, которое может быть записано просто как {Ч, К, Б}.

Пример 5 Бросание игральных костей. Игральная кость это куб с шестью гранями, на каждой их которых нарисовано от одной до шести точек.

Предположим, что мы бросаем игральную кость. Найдите
a) Исходы
b) Пространство исходов

Решение
a) Исходы: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Пространство исходов {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Мы обозначаем вероятность того, что событие Е случается в качестве Р (Е). Например, «монета упадет решкой» можно обозначать H. Тогда Р (Н) представляет собой вероятность того, монета упадет решкой. Когда все исходы эксперимента имеют одинаковую вероятность появления, говорят, что они равновероятны. Чтобы увидеть различия между событиями, которые равновероятны, и неравновероятными событиями, рассмотрим мишень, изображенную ниже.

Для мишени A, события попадания в черное, красное и белое равновероятны, так как черные, красные и белые сектора — одинаковые. Однако, для мишени B зоны с этими цветами не одинаковы, то есть попадание в них не равновероятно.

Принцип P (Теоретический)

Если событие E может случиться m путями из n возможных равновероятных исходов из пространства исходов S, тогда теоретическая вероятность события, P(E) составляет
P(E) = m/n.

Пример 6 Какая вероятность выкинуть 3, бросив игральный кубик?

Решение На игральном кубике 6 равновероятных исходов и существует только одна возможность выбрасивания цифры 3. Тогда вероятность P составит P(3) = 1/6.

Пример 7 Какая вероятность выбрасывания четной цифры на игральном кубике?

Решение Событие — это выбрасывание четной цифры. Это может случиться 3 способами (если выпадет 2, 4 или 6). Число равновероятных исходов равно 6. Тогда вероятность P(четное) = 3/6, или 1/2.

Мы будем использовать ряд примеров, связанных со стандартной колодой из 52 карт. Такая колода состоит из карт, показанных на рисунке ниже.

Пример 8 Какая вероятность вытянуть туза из хорошо перемешанной колоды карт?

Решение Существует 52 исхода (количество карт в колоде), они равновероятны (если колода хорошо перемешана), и есть 4 способа вытянуть туза, поэтому согласно принципу P, вероятность
P(вытягивания туза) = 4/52, или 1/13.

Пример 9 Предположим, что мы выбираем не глядя, один шарик из мешка с 3-мя красными шариками и 4-мя зелеными шариками. Какова вероятность выбора красного шарика?

Решение Существует 7 равновероятных исходов достать любой шарик, и так как число способов вытянуть красный шарик равно 3, получим
P(выбора красного шарика) = 3/7.

Следующие утверждения — это результаты из принципа P.

Свойства вероятности

a) Если событие E не может случиться, тогда P(E) = 0.
b) Если событие E случиться непременно тогда P(E) = 1.
c) Вероятность того, что событие Е произойдет это число от 0 до 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Например, в бросании монеты, событие, когда монета упадет на ребро имеет нулевую вероятность. Вероятность того, что монета либо на орел или решку имеет вероятность 1.

Пример 10 Предположим, что вытягиваются 2 карты из колоды с 52-мя картами. Какова вероятность того, что обе из них пики?

Решение Число путей n вытягивания 2 карт из хорошо перемешанной колоды с 52 картами есть 52C2. Так как 13 из 52 карт являются пиками, число способов m вытягивания 2-х пик есть 13C2. Тогда,
P(вытягивания 2-х пик)= m/n = 13C2/52C2 = 78/1326 = 1/17.

Пример 11 Предположим, что 3 человека выбираются случайно из группы, состоящей из 6-ти мужчин и 4-х женщин. Какова вероятность того, что будут выбраны 1 мужчина и 2 женщины?

Решение Число способов выбора троих человек из группы 10 человек 10C3. Один мужчина может быть выбран 6C1 способами, и 2 женщины могут быть выбраны 4C2 способами. Согласно фундаментальному принципу подсчета, число способов выбора 1-го мужчины и 2-х женщин 6C1.4C2. Тогда, вероятность что будет выбраны 1-го мужчины и 2-х женщин есть
P = 6C1.4C2/10C3 = 3/10.

Пример 12 Бросание игральных кубиков. Какая вероятность выбрасывания в сумме 8 на двух игральных кубиках?

Решение На каждом игральном кубике есть 6 возможных исходов. Исходы удваиваются, то есть существует 6.6 или 36 возможных способа, в котором могут выпасть цифры на двух кубиках. (Лучше, если кубики разные, скажем один красный а второй голубой — это поможет визуализировать результат.)

Пары цифр, в сумме составляющие 8, показаны на рисунке внизу. Есть 5 возможных способов получения суммы, равной 8, отсюда вероятность равна 5/36.

Функция ВЕРОЯТНОСТЬ

Excel для Microsoft 365 Excel для Microsoft 365 для Mac Excel для Интернета Excel 2021 Excel 2021 for Mac Excel 2019 Excel 2019 для Mac Excel 2016 Excel 2016 для Mac Excel 2013 Excel 2010 Excel 2007 Excel для Mac 2011 Excel Starter 2010 Еще…Меньше

В этой статье описаны синтаксис формулы и использование proB  Функция Microsoft Excel.

Описание

Возвращает вероятность того, что значение из интервала находится внутри заданных пределов. Если верхний_предел не задан, то возвращается вероятность того, что значения в аргументе x_интервал равняются значению аргумента нижний_предел.

Синтаксис

ВЕРОЯТНОСТЬ(x_интервал;интервал_вероятностей;[нижний_предел];[верхний_предел])

Аргументы функции ВЕРОЯТНОСТЬ описаны ниже.

  • x_интервал    Обязательный. Диапазон числовых значений x, с которыми связаны вероятности.

  • Интервал_вероятностей    Обязательный. Множество вероятностей, соответствующих значениям в аргументе «x_интервал».

  • Верхний_предел    Необязательный. Верхняя граница значения, для которого вычисляется вероятность.

Замечания

  • Если значение в prob_range ≤ 0 или любое значение в prob_range > 1, функция PROB возвращает #NUM! (значение ошибки).

  • Если сумма значений в prob_range не равна 1, функция PROB возвращает #NUM! (значение ошибки).

  • Если x_интервал и интервал_вероятностей содержат различное количество точек данных, то функция ВЕРОЯТНОСТЬ возвращает значение ошибки #Н/Д.

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу Enter. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Данные

Значение x

Вероятность

0

0,2

1

0,3

2

0,1

3

0,4

Формула

Описание

Результат

=ВЕРОЯТНОСТЬ(A3:A6;B3:B6;2)

Вероятность того, что x является числом 2.

0,1

=ВЕРОЯТНОСТЬ(A3:A6;B3:B6;1;3)

Вероятность того, что x находится в интервале от 1 до 3.

0,8

Правила вероятности

Условная вероятность

Формула полной вероятности

Формула Байеса

Оценка вероятности в схеме испытаний Бернулли

Мы можем применять правила вероятности для того, чтобы складывать и умножать вероятности.

Например, у взрослого пациента все зубы сохранены, некоторые зубы отсутствуют или он беззубый; вероятности равны 0,67, 0,24 и 0,09 соответственно.

  • Правило сложения. Если два события, и , взаимоисключающие, несовместимые, то вероятность события или равна сумме их вероятностей:

    Вероятность того, что у пациента есть несколько зубов, равна 0,67 + 0,24 = 0,91.

  • Правило умножения. Если два события, и , независимы (т. е. возникновение одного события не влияет на возможность появления другого), то вероятность того, что оба события произойдут, равна произведению вероятности каждого:

    Например, если 2 не имеющих отношения друг к другу больных ожидают приема в кабинете хирургической стоматологии то вероятность того, что у обоих больных есть все зубы, равна 0,67 • 0.67 =  0,45.

Условная вероятность

Условная вероятность — вероятность одного события при условии, что другое событие уже произошло. 

Пусть  — фиксированное вероятностное пространство. Пусть  — два случайных события, причём . Тогда условной вероятностью события при условии события называется

Формула полной вероятности

Пусть событие может наступать только при условии появления одного из событий , образующих полную систему событий. Тогда вероятность события равна сумме произведений вероятностей каждого из событий на соответствующую условную вероятность события :

Эта формула носит название формулы полной вероятности.

Формула Байеса

Если вероятности событий до опыта были , то с учетом появления в результате опыта события условная вероятность вычисляется по формуле Байеса:

Оценка вероятности в схеме испытаний Бернулли

Мы приводим пример классического статистического рассуждения, которое полезно иметь в виду при анализе реальных данных. 

Бытует мнение, что при рождении ребенка вероятность мальчика такая же, как и девочки. 

Примем это за гипотезу. 

Для её проверки имеется огромный статистический материал.  

Воспользуемся данными по Швейцарии с 1871 по 1900 гг., когда там родилось человек и среди них мальчиков и девочек. 

Согласуется ли гипотеза о равновероятности рождения мальчика и девочки с этими числами? 

Условно назвав «успехом» рождение мальчика, поставим этот вопрос по-другому, обратившись к схеме Бернулли с вероятностью «успеха» . 

Согласуется ли гипотеза с тем, что в серии из испытаний частота «успеха» оказалось равной 

Очевидно, если вместо гипотезы выдвинуть, скажем, предположение о том, что , то это предположение будет сразу же отвергнуто как маловероятное (или даже невозможное). 

Уместно спросить: почему? Ответ здесь можно дать, основываясь на том, что частота как случайная величина (обозначим её ) подчиняется известному закону распределения. 

Эта величина имеет биномиальное распределение. При больших n имеет место нормальное приближение (в силу центральной предельной теоремы). 

Воспользовавшись нормальным приближением и задавшись малым  (будем называть  уровнем значимости), можно утверждать, например, что

с вероятностью, где   определяется из условия с помощью нормальной функции распределения

( называется квантилем уровня). Скажем,  отвечает , а  уже соответствует 

Это легко проверить с помощью калькулятора вероятностных распределений STATISTICA. Вернемся к нашим числовым данным и гипотезе , согласно которым мы имеем значение

Оно далеко выходит за границу 

Какое же значение, основываясь на этих данных, следует приписать неизвестной вероятности ?

Мы знаем, что по закону больших чисел есть предел частоты (при ), и при имеющемся у нас можно в качестве оценки взять уже приводившееся ранее значение . Эту оценку можно уточнить следующим образом. Поскольку всегда имеет место неравенство , получаем

с вероятностью, не меньшей (точнее, допущение о том, что истинное значение лежит вне этих границ, означает наступление события, дополнительного к (2) и имеющего вероятность не больше ).

В этом смысле можно утверждать, например, что  с вероятностью не меньшей 0.9973 (это получается при  с уровнем значимости ).

Данное рассуждение приведено в книге Ю. А. Розанова «Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика: Учебник для вузов», М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы.

Связанные определения:
Вероятность события
Независимые повторные испытания Бернулли
Независимые события

В начало

Содержание портала

виды событий, вероятность появления события

  • Теория вероятностей о видах событий и вероятности их появления
  • Классическая и статистическая вероятности. Формулы вероятностей: классической и статистической
  • Свойства вероятностей

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

На этом уроке освоим основные элементы теории вероятностей, узнаем виды событий и научимся вычислять вероятности их появления. Немаловажно, как появилась теория вероятностей: математика занялась проблемами азартных игр, в частости, вероятностью выпадения выигрыша. Поэтому до сих пор в задачах, в том числе тех, которые мы будем рассматривать, часто описываются различные игровые ситуации.

Если говорить обобщенно, то теория вероятностей — математическая наука о вычислении вероятностей случайных событий. Нередко приходится слышать, что вероятность такого-то события равна нулю, единице, 50 процентам или другому числовому значению. Но насколько достоверны те или иные утверждения, а точнее, в каких случаях они достоверны, а в каких — нет? Например, «блондинка из анекдота» утверждает, что вероятность случайно встретить на улице динозавра равна 1/2 или 50 процентам. Насколько это достоверно?

Нельзя утверждать, что «блондинка из анекдота» совершенно не права. Ее заключение основано на том, что динозавра на улице «можно встретить, а можно не встретить». Такое заключение может быть истолковано по классическому определению вероятности: из двух возможностей одна благоприятствует наступлению события, следовательно, вероятность наступления события равна 1/2. Но такие заключения, как говорят умудренные опытом люди, не представляют окончательной познавательной ценности.

Ценность с точки зрения теории вероятностей представляют лишь такие заключения, которые связывают наступление или ненаступление события с большим числом случайных и часто мало связанных друг с другом факторов или условий.

Из этого вытекает более точное определение теории вероятностей. Теория вероятностей — математическая наука, выясняющая закономерности, которые возникают при взаимодействии большого числа случайных факторов. Например, в случае анекдота про блондинку и динозавра требуется установить, сохранились ли где-либо на Земле динозавры, и если да, то где их больше и где на карте «динозавренности Земли» находится совершенно определенная улица. Если рассматривать более серьезные заключения, например, о том, что футбольный матч между командами A и B закончится со счетом 3:1, то это субъективное заключение, если оно не учитывает историю матчей между этими командами, матчей этих команд с другими командами, текущего состава игроков команд и истории достижений этих игроков.

Обобщенно: о вероятности события A можно говорить с предположением, что выполнен некоторый комплекс условий S. Если этот комплекс условий изменился, то и вероятность наступнения собятия S должна измениться. Например, утверждение о том, что при бросании игральной кости каждая сторона выпадет с одной и той же вероятностью, равной 1/6, предполагает следующий комплекс условий: кость имеет одинаковую плотность, имеет точную форму куба и подбрасывается совершенно случайным образом.

Именно на примерах азартных игр, в том числе игре в кости, учеными были впервые обнаружены статистические закономерности, описывающие частоту наступления события. Это было сформулировано так: наличие у события A при условиях S определенной вероятности, равной p, проявляется в том, что в почти каждой достаточно длинной серии испытаний частота события приблизительно равна p. На этой основе и возникла теория вероятностей в середине XVII века, когда математики заинтересовались задачами, поставленными азартными игроками и стали изучать такие события, как появление выигрыша. Ученые того времени – Гюйгенс (1629-1695), Паскаль (1623-1662), Ферма (1601-1665) и Бернулли (1654-1705) были убеждены, что на базе массовых случайных событий могут возникать четкие закономерности. При этом для исследований было достаточно элементарных арифметических и комбинаторных действий.

Итак, теория вероятностей объясняет и исследует различные закономерности, которым подчинены случайные события и случайные величины. Событием является любой факт, который можно констатировать в результате наблюдения, испытания или опыта. Наблюдением, испытанием или опытом называют реализацию определенных условий, в которых событие может состояться.

Что нужно знать, чтобы определять вероятность появления события

Все события, за которыми люди наблюдают или сами создают их, делятся на:

  • достоверные события;
  • невозможные события;
  • случайные события.

Достоверные события наступают всегда, когда создан определенный комплекс обстоятельств. Например, если работаем, то получаем за это вознаграждение, если сдали экзамены и выдержали конкурс, то достоверно можем рассчитывать на то, что включены в число студентов. Достоверные события можно наблюдать в физике и химии. В экономике достоверные события связаны с существующим общественным устройством и законодательством. Например, если мы вложили деньги в банк на депозит и выразили желание в определенный срок их получить, то деньги получим. На это можно рассчитывать как на достоверное событие.

Невозможные события определенно не наступают, если создался определенный комплекс условий. Например, вода не замерзает, если температура составляет плюс 15 градусов по Цельсию, производство не ведется без электроэнергии.

Случайные события при реализации определенного комплекса условий могут наступить и могут не наступить. Например, если мы один раз подбрасываем монету, герб может выпасть, а может не выпасть, по лотерейному билету можно выиграть, а можно не выиграть, произведенное изделие может быть годным, а может быть бракованным. Появление бракованного изделия является случайным событием, более редким, чем производство годных изделий.

Ожидаемая частота появления случайных событий тесно связана с понятием вероятности. Закономерности наступления и ненаступления случайных событий исследует теория вероятностей.

Если комплекс нужных условий реализован лишь один раз, то получаем недостаточно информации о случайном событии, поскольку оно может наступить, а может не наступить. Если комплекс условий реализован много раз, то появляются известные закономерности. Например, никогда невозможно узнать, какой кофейный аппарат в магазине потребует очередной покупатель, но если известны марки наиболее востребованных в течение длительного времени кофейных аппаратов, то на основе этих данных возможно организовать производство или поставки, чтобы удовлетворить спрос.

Знание закономерностей, которым подчинены массовые случайные события, позволяет прогнозировать, когда эти события наступят. Например, как уже ранее отмечено, заранее нельзя предусмотреть результат бросания монеты, но если монета брошена много раз, то можно предусмотреть выпадение герба. Ошибка может быть небольшой.

Методы теории вероятностей широко используются в различных отраслях естествознания, теоретической физике, геодезии, астрономии, теории автоматизированного управления, теории наблюдения ошибок, и во многих других теоретических и практических науках. Теория вероятностей широко используется в планировании и организации производства, анализе качества продукции, анализе технологических процессов, страховании, статистике населения, биологии, баллистике и других отраслях.

Случайные события обычно обозначают большими буквами латинского алфавита A, B, C и т.д.

Случайные события могут быть:

  • несовместными;
  • совместными.

События A, B, C … называют несовместными, если в результате одного испытания может наступить одно из этих событий, но невозможно наступление двух или более событий.

Если наступление одного случайного события не исключает наступление другого события, то такие события называют совместными. Например, если с ленты конвейера снимают очередную деталь и событие А означает «деталь соответствует стандарту», а событие B означает «деталь не соответствует стандарту», то A и B – несовместные события. Если событие C означает «взята деталь II сорта», то это событие совместно с событием A, но несовместно с событием B.

Если в каждом наблюдении (испытании) должно произойти одно и только одно из несовместных случайных событий, то эти события составляют полное множество (систему) событий.

Достоверным событием является наступление хотя бы одного события из полного множества событий.

Если события, образующие полное множество событий, попарно несовместны, то в результате наблюдения может наступить только одно из этих событий. Например, студент должен решить две задачи контрольной работы. Определенно произойдет одно и только одно из следующих событий:

  • будет решена первая задача и не будет решена вторая задача;
  • будет решена вторая задача и не будет решена первая задача;
  • будут решены обе задачи;
  • не будет решена ни одна из задач.

Эти события образуют полное множество несовместных событий.

Если полное множество событий состоит только из двух несовместных событий, то их называют взаимно противоположными или альтернативными событиями.

Событие, противоположное событию , обозначают . Например, в случае одного подбрасывания монеты может выпасть номинал () или герб ().

События называют равновозможными, если ни у одного из них нет объективных преимуществ. Такие события также составляют полное множество событий. Это значит, что в результате наблюдения или испытания определенно должно наступить по меньшей мере одно из равновозможных событий.

Например, полную группу событий образуют выпадение номинала и герба при одном подбрасывании монеты, наличие на одной печатной странице текста 0, 1, 2, 3 и более 3 ошибок.

Классическое определение вероятности. Возможностью или благоприятным случаем называют случай, когда при реализации определённого комплекса обстоятельств события А происходят. Классическое определение вероятности предполагает напрямую вычислить число благоприятных случаев или возможностей.

Вероятностью события А называют отношение числа благоприятных этому событию возможностей к числу всех равновозможных несовместных событий N, которые могут произойти в результате одного испытания или наблюдения. Формула вероятности события А:

                             (1)

Если совершенно понятно, о вероятности какого события идёт речь, то тогда вероятность обозначают маленькой буквой p, не указывая обозначения события.

Чтобы вычислить вероятность по классическому определению, необходимо найти число всех равновозможных несовместных событий и определить, сколько из них благоприятны определению события А.


Пример 1. Найти вероятность выпадения числа 5 в результате бросания игральной кости.

Решение. Известно, что у всех шести граней одинаковая возможность оказаться наверху. Число 5 отмечено только на одной грани. Число всех равновозможных несовместных событий насчитывается 6, из них только одна благоприятная возможность выпадения числа 5 (М = 1). Это означает, что искомая вероятность выпадения числа 5

Пример 2. В ящике находятся 3 красных и 12 белых одинаковых по размеру мячиков. Не глядя взят один мячик. Найти вероятность, что взят красный мячик.

Решение. Искомая вероятность

Найти вероятности самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 3. Бросается игральная кость. Событие B — выпадение чётного числа. Вычислить вероятность этого события.

Посмотреть правильное решение и ответ.

Пример 4. Бросается игральная кость. Какова вероятность выпадения числа 7?

Посмотреть правильное решение и ответ.

Пример 5. В урне 5 белых и 7 чёрных шаров. Случайно вытаскивается 1 шар. Событие A — вытянут белый шар. Событие B — вытянут чёрный шар. Вычислить вероятности этих событий.

Посмотреть правильное решение и ответ.


Классическую вероятность называют также априорной вероятностью, так как её рассчитывают перед началом испытания или наблюдения. Из априорного характера классической вероятности вытекает её главный недостаток: только в редких случаях уже перед началом наблюдения можно вычислить все равновозможные несовместные события и в том числе благоприятные события. Такие возможности обычно возникают в ситуациях, родственных играм.

Сочетания. Если последовательность событий не важна, число возможных событий вычисляют как число сочетаний:

                    (2)


Пример 6. В группе 30 студентов. Трём студентам следует направиться на кафедру информатики, чтобы взять и принести компьютер и проектор. Вычислить вероятность того, что это сделают три определённых студента.

Решение. Число возможных событий рассчитываем, используя формулу (2):

Вероятность того, что на кафедру отправятся три определённых студента:


Пример 7. Продаются 10 мобильных телефонов. Их них у 3 есть дефекты. Покупатель выбрал 2 телефона. Вычислить вероятность того, что оба выбранных телефона будут с дефектами.

Решение. Число всех равновозможных событий находим по формуле (2):

По той же формуле находим число благоприятных событию возможностей:

Искомая вероятность того, что оба выбранных телефона будут с дефектами:

Найти вероятность самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 8. В экзаменационных билетах 40 вопросов, которые не повторяются. Студент подготовил ответы на 30 из них. В каждом билете 2 вопроса. Какова вероятность того, что студент знает ответы на оба вопроса в билете?

Посмотреть правильное решение и ответ.

Статистика — не Ваша специализация? Закажите статистическую обработку данных

Пройти тест по теме Теория вероятностей и математическая статистика

Свойство 1. Если можно вычислить возможности возникновения события А и их число совпадает общим числом равновозможных событий, то вероятность события А равна 1.

Например, при бросании игральной кости число возможностей выпадения чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6 равно 6. Насчитывается также 6 равновозможных несовместимых событий. Таким образом, M = N  и

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна 0. Если число возможностей события А равна 0, то и

Например, при бросании игральной кости не может выпасть число 9, потому что такого числа нет на гранях игральной кости.

Свойство 3. Вероятность случайного события всегда больше 0 и меньше 1:

или

Определение статистической вероятности. В определении статистической вероятности используется понятие относительно частоты события А. Относительной частотой события А называют отношение числа наблюдений, в которых наблюдается А, к числу всех наблюдений. Относительную частоту обычно обозначают буквой W. Если в n наблюдениях событие А наблюдается m раз, то относительная частота события А:

Например, баскетболист у штрафной линии готовится совершить бросок. Из собранной тренером статистической информации известно, что у этого баскетболиста из 100 штрафных бросков успешны 70. Вероятность того, что баскетболист реализует штрафной бросок:

Длительные наблюдения показали, что с увеличением числа наблюдений относительная частота события А становится всё более стабильной. Число, около которого при серии наблюдений колеблется относительная частота, называется статистической вероятностью события А. Формула статистической вероятности события А:

если .

Вычислить точную статистическую вероятность невозможно, так как невозможно выбрать бесконечно большое число наблюдений.

Преимущество статистического определения вероятности в том, что оно не требует априорных знаний об исследуемом объекте. Классическую вероятность можно вычислить до наблюдения или испытания, а статистическую – после наблюдения или испытания.

НазадЛистатьВперёд>>>

Статистика — не Ваша специализация? Закажите статистическую обработку данных

К началу страницы

Действия над вероятностями

Различные задачи на сложение и умножение вероятностей

Формула полной вероятности

Формула Байеса

Независимые испытания и формула Бернулли

Пройти тест по теме Теория вероятностей и математическая статистика

Распределение вероятностей дискретной случайной величины

Распределение вероятностей непрерывной случайной величины

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины

Биномиальное распределение дискретной случайной величины

Распределение Пуассона дискретной случайной величины

Равномерное распределение непрерывной случайной величины

Нормальное распределение непрерывной случайной величины

Формула, определение, теоремы, типы, примеры

Вероятность определяет вероятность возникновения события. В реальной жизни существует множество ситуаций, в которых нам, возможно, придется предсказывать исход события. Мы можем быть уверены или не уверены в результатах события. В таких случаях мы говорим, что существует вероятность того, что это событие произойдет или не произойдет. Вероятность, как правило, имеет большое применение в играх, в бизнесе для прогнозирования на основе вероятности, а также вероятность имеет широкое применение в этой новой области искусственного интеллекта.

Вероятность события можно рассчитать по формуле вероятности, просто разделив число благоприятных исходов на общее число возможных исходов. Значение вероятности того, что событие произойдет, может находиться в диапазоне от 0 до 1, потому что число благоприятных исходов никогда не пересекается с общим числом исходов. Кроме того, благоприятное число исходов не может быть отрицательным. Давайте подробно обсудим основы вероятности в следующих разделах.

1. Что такое вероятность?
2. Терминология теории вероятностей
3. Формула вероятности
4. Диаграмма дерева вероятностей
5. Типы вероятностей
6. Определение вероятности события
7. Вероятность подбрасывания монеты
8. Вероятность броска кубиков
9. Вероятность вытягивания карт
10. Теоремы о вероятности
11. Часто задаваемые вопросы о вероятности

Что такое вероятность?

Вероятность можно определить как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов события. Для эксперимента с числом исходов n количество благоприятных исходов можно обозначить как x. Формула для расчета вероятности события выглядит следующим образом.

Вероятность (событие) = Благоприятные исходы/Всего исходы = x/n

Давайте проверим простое применение вероятности, чтобы лучше понять ее. Предположим, нам нужно предсказать, будет дождь или нет. Ответ на этот вопрос либо «Да», либо «Нет». Есть вероятность дождя или его отсутствия. Здесь мы можем применить вероятность. Вероятность используется для предсказания результатов подбрасывания монет, бросания костей или извлечения карты из колоды игральных карт.

Вероятность подразделяется на теоретическую и экспериментальную.

Терминология теории вероятностей

Следующие термины вероятности помогают лучше понять концепции вероятности.

Эксперимент: Испытание или операция, проводимая для получения результата, называется экспериментом.

Пространство выборки: Все возможные результаты эксперимента вместе составляют пространство выборки. Например, выборочное пространство подбрасывания монеты — это орел и решка.

Благоприятный исход: Событие, приведшее к желаемому результату или ожидаемому событию, называется благоприятным исходом. Например, когда мы бросаем два кубика, возможные/благоприятные результаты получения суммы чисел на двух кубиках как 4 равны (1,3), (2,2) и (3,1).

Испытание: Испытание означает проведение случайного эксперимента.

Случайный эксперимент: Эксперимент с четко определенным набором результатов называется случайным экспериментом. Например, когда мы подбрасываем монету, мы знаем, что выиграем или опередим, но не уверены, какая из них выпадет.

Событие: Общее количество исходов случайного эксперимента называется событием.

Равновероятные события: События, которые имеют одинаковые шансы или вероятность наступления, называются равновероятными событиями. Исход одного события не зависит от другого. Например, когда мы подбрасываем монету, есть равные шансы выпадения орла или решки.

Исчерпывающие события: Когда множество всех результатов эксперимента равно выборочному пространству, мы называем это исчерпывающим событием.

Взаимоисключающие события: События, которые не могут произойти одновременно, называются взаимоисключающими событиями. Например, климат может быть как жарким, так и холодным. Мы не можем испытывать одну и ту же погоду одновременно.

Формула вероятности

Формула вероятности определяет вероятность наступления события. Это отношение благоприятных исходов к общему количеству благоприятных исходов. Формула вероятности может быть выражена как,

где

  • P(B) — вероятность события «B».
  • n(B) — количество благоприятных исходов события «В».
  • n(S) — общее количество событий, происходящих в пространстве выборки.

Различные формулы вероятности

Формула вероятности с правилом сложения: Всякий раз, когда событие является объединением двух других событий, скажем, A и B, тогда
P(A или B) = P(A) + P(B) — P(A∩B)
Р(А ∪ В) = Р(А) + Р(В) — Р(А∩В)

Формула вероятности с дополнительным правилом: Всякий раз, когда событие является дополнением другого события, в частности, если А является событием, тогда P(не A) = 1 — P(A) или P(A’) = 1 — П(А).
P(A) + P(A′) = 1,

Формула вероятности с условным правилом : Когда событие A уже известно, что оно произошло, и требуется вероятность события B, тогда P(B, учитывая A) = P(A и B), P(A при заданном B). В случае события B может быть и наоборот.
P(B∣A) = P(A∩B)/P(A)

Формула вероятности с правилом умножения : Всякий раз, когда событие является пересечением двух других событий, то есть события A и B должны произойти одновременно. Тогда P(A и B) = P(A)⋅P(B).
P(A∩B) = P(A)⋅P(B∣A)

Пример 1 : Найдите вероятность выпадения числа меньше 5 при броске игральной кости, используя формулу вероятности.

Решение

Найти:
Вероятность выпадения числа меньше 5
Дано: Пример пространства = {1,2,3,4,5,6}
Получение числа меньше 5 = {1,2,3,4}
Следовательно, n(S) = 6
п(А) = 4
Использование формулы вероятности,
P(A) = (n(A))/(n(s))
р(А) = 4/6
m = 2/3

Ответ: Вероятность выпадения числа меньше 5 равна 2/3.

Пример 2: Какова вероятность выпадения 9 при бросании двух игральных костей?

Решение:

Всего есть 36 возможностей, когда мы бросаем два кубика.
Чтобы получить желаемый результат, то есть 9, мы можем иметь следующие благоприятные исходы.
(4,5),(5,4),(6,3)(3,6). Возможны 4 благоприятных исхода.
Вероятность события P(E) = (Количество благоприятных исходов) ÷ (Всего исходов в выборке)
Вероятность выпадения числа 9 = 4 ÷ 36 = 1/9

Ответ: Следовательно, вероятность выпадения числа 9 равна 1/9.

Диаграмма дерева вероятностей

Древовидная диаграмма вероятности — это визуальное представление, которое помогает найти возможные результаты или вероятность того, что какое-либо событие произойдет или не произойдет. Древовидная диаграмма подбрасывания монеты, приведенная ниже, помогает понять возможные результаты при подбрасывании монеты и, таким образом, определить вероятность выпадения орла или решки при подбрасывании монеты.

Типы вероятности

Могут существовать различные точки зрения или типы вероятностей, основанные на характере результата или подходе, используемом при определении вероятности события. Четыре типа вероятностей:

  • Классическая вероятность
  • Эмпирическая вероятность
  • Субъективная вероятность
  • Аксиоматическая вероятность

Классическая вероятность

Классическая вероятность, часто называемая «априорной» или «теоретической вероятностью», утверждает, что в эксперименте, где есть B равновероятных исходов, а событие X имеет ровно A из этих исходов, тогда вероятность X есть A/B, или P(X) = A/B. Например, когда бросается правильная игральная кость, есть шесть возможных исходов, которые равновероятны. Это означает, что вероятность выпадения каждого числа на кубике составляет 1/6.

Эмпирическая вероятность

Эмпирическая вероятность или экспериментальная перспектива оценивает вероятность посредством мысленных экспериментов. Например, если бросается взвешенный кубик, так что мы не знаем, какая сторона имеет вес, то мы можем получить представление о вероятности каждого исхода, бросая кубик определенное количество раз и вычисляя долю раз, когда кубик дает этот результат и, таким образом, найти вероятность этого результата.

Субъективная вероятность

Субъективная вероятность рассматривает собственную веру человека в происходящее событие. Например, вероятность того, что конкретная команда выиграет футбольный матч, по мнению болельщика, больше зависит от их собственной веры и чувства, а не от формального математического расчета.

Аксиоматическая вероятность

В аксиоматической вероятности ко всем типам применяется набор правил или аксиом Колмогорова. Вероятность наступления или ненаступления любого события может быть количественно определена применением этих аксиом, заданных как 9.0003

  • Наименьшая возможная вероятность равна нулю, а наибольшая — единице.
  • Вероятность достоверного события равна единице.
  • Любые два взаимоисключающих события не могут произойти одновременно, а объединение событий говорит, что может произойти только одно из них.

Определение вероятности события

В эксперименте вероятность события — это вероятность того, что это событие произойдет. Вероятность любого события — это значение между (включительно) «0» и «1».

Вероятностные события

В теории вероятностей событие — это набор результатов эксперимента или подмножество выборочного пространства.

Если P(E) представляет вероятность события E, то мы имеем

  • P(E) = 0 тогда и только тогда, когда E — невозможное событие.
  • P(E) = 1 тогда и только тогда, когда E — некоторое событие.
  • 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Предположим, что нам даны два события, «А» и «В», тогда вероятность события А, Р(А) > Р(В), тогда и только тогда, когда событие «А» более вероятно, чем событие «Б». Выборочное пространство (S) представляет собой набор всех возможных результатов эксперимента, а n (S) представляет количество результатов в выборочном пространстве.

P(E) = n(E)/n(S)

P(E’) = (n(S) — n(E))/n(S) = 1 — (n(E)/n (S))

E’ означает, что событие не произойдет.

Следовательно, теперь мы также можем заключить, что P(E) + P(E’) = 1

Вероятность подбрасывания монеты

Теперь рассмотрим вероятность подбрасывания монеты. Довольно часто в таких играх, как крикет, для принятия решения о том, кто будет играть первым, мы иногда используем подбрасывание монеты и принимаем решение на основе результата подбрасывания. Давайте проверим, как мы можем использовать понятие вероятности при подбрасывании одной монеты. Далее мы также рассмотрим подбрасывание двух и трех приходов соответственно.

Подбрасывание монеты

Подбрасывание одной монеты имеет два исхода: решка и решка. Понятие вероятности, которое представляет собой отношение благоприятных исходов к общему количеству исходов, можно использовать для определения вероятности выпадения орла и вероятности выпадения решки.

Общее количество возможных исходов = 2; Образец пространства = {H, T}; H: голова, T: хвост

  • P(H) = количество голов/общее количество результатов = 1/2
  • P(T)= количество решек/общее число исходов = 1/2

Подбрасывание двух монет

В процессе подбрасывания двух монет у нас есть четыре исхода. Формулу вероятности можно использовать для определения вероятности выпадения двух орлов, одного орла или отсутствия орла, и аналогичную вероятность можно рассчитать для количества решек. Расчеты вероятности для двух орлов следующие.

Общее количество исходов = 4; Пространство выборки = {(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)}

  • P(2H) = P(0 T) = количество результатов с двумя орлами/всего Исходы = 1/4
  • P(1H) = P(1T) = количество результатов только с одной головкой/общее количество результатов = 2/4 = 1/2
  • P(0H) = (2T) = Количество исходов с двумя орлами/Всего исходов = 1/4

Подбрасывание трех монет

Общее количество исходов при одновременном подбрасывании трех монет равно 2 3 = 8. Для этих исходов можно найти вероятность выпадения одного орла, двух орлов, трех орлов и ни одного орла. . Аналогичную вероятность можно рассчитать и для количества решек.

Общее количество результатов = 2 3 = 8 Пространство выборки = {(H, H, H), (H, H, T), (H, T, H), (T, H, H), ( T, T, H), (T, H, T), (H, T, T), (T, T, T)}

  • P(0H) = P(3T) = Количество исходов без голов /Всего результатов = 1/8
  • P(1H) = P(2T) = количество результатов с одной головкой/общее количество результатов = 3/8
  • P(2H) = P(1T) = Количество исходов с двумя орлами / Всего исходов = 3/8
  • P(3H) = P(0T) = количество исходов с тремя орлами/общее количество исходов = 1/8

Вероятность броска кубиков

Во многих играх для определения ходов игроков используются кости. Игра в кости имеет шесть возможных результатов, а результаты игры в кости — это игра на удачу, и их можно получить, используя концепции вероятности. В некоторых играх также используются два кубика, и существует множество вероятностей, которые можно рассчитать для исходов с использованием двух кубиков. Давайте теперь проверим исходы, их вероятности для одного и двух кубиков соответственно.

Бросание одного игрального кубика

Общее количество результатов при бросании игральной кости равно 6, а выборочное пространство равно {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Здесь мы вычислим следующие несколько вероятностей, чтобы помочь лучше понять концепцию вероятности при броске одного игрального кубика.

  • P(четное число) = количество четных исходов/общее число исходов = 3/6 = 1/2
  • P(Нечетное число) = Количество результатов с нечетным числом/Общее количество результатов = 3/6 = 1/2
  • P(простое число) = количество исходов простых чисел/общее число исходов = 3/6 = 1/2

Бросание двух игральных костей

Общее количество результатов при бросании двух игральных костей равно 6 2 = 36. На следующем рисунке показано примерное пространство из 36 исходов при бросании двух игральных костей.

Проверим несколько вероятностей исходов двух игральных костей. Вероятности следующие.

  • Вероятность получить дублет (одинаковое число) = 6/36 = 1/6
  • Вероятность выпадения числа 3 хотя бы на одной кости = 11/36
  • Вероятность получения суммы 7 = 6/36 = 1/6

Как мы видим, когда мы бросаем один кубик, есть 6 возможностей. Когда мы бросаем два кубика, у нас есть 36 возможностей. Когда мы бросаем 3 кубика, мы получаем 216 возможностей. Таким образом, общая формула для представления количества результатов при бросании игральных костей: 6 n .

Вероятность вытягивания карт

Колода, содержащая 52 карты, сгруппирована в четыре масти: трефы, бубны, червы и пики. Каждая из треф, бубен, червей и пик имеет по 13 карт, что в сумме дает 52. Теперь давайте обсудим вероятность вытягивания карт из колоды. Ниже показаны символы на картах. Пики и трефы — черные карты. Червы и бубны — красные карточки.

13 карт каждой масти: туз, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, валет, дама, король. В них валет, дама и король называются фигурными картами. Мы можем понять вероятность карты из следующих примеров.

  • Вероятность вытянуть черную карту равна P(черная карта) = 26/52 = 1/2
  • Вероятность вытянуть червовую карту равна P(Червы) = 13/52 = 1/4
  • Вероятность вытягивания лицевой карты равна P(лицевая карта) = 12/52 = 3/13
  • Вероятность вытянуть карту с номером 4 равна P(4) = 4/52 = 1/13
  • Вероятность вытянуть красную карточку с номером 4 равна P(4 Red) = 2/52 = 1/26

Теоремы вероятности

Следующие теоремы вероятности полезны для понимания приложений вероятности, а также для выполнения многочисленных вычислений, связанных с вероятностью.

Теорема 1: Сумма вероятностей наступления и ненаступления события равна 1. \(P(A) + P(\bar A) = 1\)

Теорема 2: Вероятность невозможного события или вероятность того, что событие не произойдет, всегда равна 0. \(\begin{align}P(\phi) =0\end{align}\)

Теорема 3: Вероятность достоверного события всегда равна 1. P(A) = 1

Теорема 4: Вероятность наступления любого события всегда лежит между 0 и 1. 0 < P( A) < 1

Теорема 5: Если есть два события A и B, мы можем применить формулу объединения двух множеств и вывести формулу вероятности наступления события A или события B следующим образом.

\(P(A\cup B) = P(A) + P(B) — P(A\cap B)\)

Также для двух взаимоисключающих событий A и B имеем P( A U B) = P(A) + P(B)

Теорема Байеса об условной вероятности

Теорема Байеса описывает вероятность события на основе условия возникновения других событий. Ее также называют условной вероятностью. Это помогает в расчете вероятности возникновения одного события на основе условия возникновения другого события.

Например, предположим, что есть три мешка, в каждом из которых находится несколько синих, зеленых и желтых шаров. Какова вероятность того, что из третьего мешка вынут желтый шар? Поскольку есть также синие и зеленые шары, мы можем получить вероятность на основе этих условий. Такая вероятность называется условной вероятностью.

Формула теоремы Байеса: \(\begin{align}P(A|B) = \dfrac{ P(B|A)·P(A)} {P(B)}\end{align}\ )

где \(\begin{align}P(A|B) \end{align}\) обозначает, как часто происходит событие A при условии, что B происходит.

где \(\begin{align}P(B|A) \end{align}\) обозначает, как часто происходит событие B при условии, что происходит A.

\(\begin{align}P(A) \end{align}\) вероятность возникновения события A.

\(\begin{align}P(B) \end{align}\) вероятность наступления события B.

Закон полной вероятности

Если в эксперименте имеется n событий, то сумма вероятностей этих n событий всегда равна 1.

\(P(A_1) + P(A_2) + P (A_3) + . …P(A_n) = 1\)

Также проверьте:

  • Вероятность и статистика
  • Вероятностные правила
  • Взаимоисключающие события
  • Независимые события
  • Биномиальное распределение
  • Формула Байе
  • Формула распределения Пуассона

Важные примечания о вероятности:

Давайте проверим следующие пункты, которые помогут нам обобщить ключевые знания по этой теме вероятности.

  1. Вероятность — это мера вероятности того, что событие произойдет.
  2. Вероятность представлена ​​в виде дроби и всегда находится в диапазоне от 0 до 1.
  3. Событие может быть определено как подмножество выборочного пространства.
  4. При бросании монеты выпадает орел или решка, а при бросании игральной кости выпадает 1, 2, 3, 4, 5 или 6.
  5. Случайный эксперимент не может предсказать точные результаты, а только некоторые вероятные результаты.

 

Решенные примеры на вероятности

  1. Пример 1: Какова вероятность того, что при бросании двух игральных костей в сумме выпадет 10?

    Решение:

    Есть 36 вариантов, когда мы бросаем две кости.

    Желаемый исход равен 10. Чтобы получить 10, у нас может быть три благоприятных исхода.

    {(4,6),(6,4),(5,5)}

    Вероятность события = количество благоприятных исходов/пространство выборки

    Вероятность получения числа 10 = 3/36 =1/12

    Ответ: Следовательно, вероятность получить сумму 10 равна 1/12.

  2. Пример 2: В мешке 6 синих и 8 желтых шаров. Из мешка случайным образом выбирается один шар. Найдите вероятность выпадения синего шара.

    Решение:

    Предположим, что вероятность извлечения синего шара равна P(B)

    Количество благоприятных исходов для получения синего шара = 6

    Общее количество шаров в мешке = 14

    P(B) = количество благоприятных исходов/общее число исходов = 6/14 = 3/7

    Ответ: Следовательно, вероятность вытянуть синий шар равна 3/7.

  3. Пример 3: Есть 5 карточек с номерами: 2, 3, 4, 5, 6. Найдите вероятность того, что выпадет простое число, и, положив его обратно, вы выберете составное число.

    Решение:

    Два события независимы. Таким образом, мы используем произведение вероятности событий.

    P(получение простого числа) = n(благоприятные события)/ n(пространство выборки) = {2, 3, 5}/{2, 3, 4, 5, 6} = 3/5

    p(получение составное) = n(благоприятные события)/ n(пространство выборки) = {4, 6}/{2, 3, 4, 5, 6}= 2/5

    Таким образом, общая вероятность двух независимых событий = P( простое число) × P (составное)

    = 3/5 × (2/5)

    = 6/25

    Ответ: Следовательно, вероятность выбрать простое число и еще раз простое число составляет 6/25.

  4. Пример 4. Найдите вероятность получения лицевой карты из стандартной колоды карт по формуле вероятности.

    Решение: Найти:
    Вероятность получения лицевой карты
    Дано: Общее количество карт = 52
    Количество лицевых карт = Благоприятные исходы = 12
    Используя формулу вероятности,
    Вероятность = (Благоприятные исходы)÷(Всего благоприятных исходов)
    P(лицевая карта) = 12/52
    m = 3/13

    Ответ: Вероятность выпадения лицевой карты равна 3/13

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Разложить сложные концепции с помощью простых визуальных средств.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.

Записаться на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по вероятности

 

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы о вероятности

Что такое вероятность?

Вероятность — это раздел математики, который занимается определением вероятности наступления события. Вероятность измеряет вероятность того, что событие произойдет, и равна количеству благоприятных событий, деленному на общее количество событий. Значение вероятности колеблется от 0 до 1, где 0 обозначает неопределенность, а 1 обозначает уверенность.

Как рассчитать вероятность с помощью формулы вероятности?

Вероятность любого события зависит от количества благоприятных исходов и общего числа исходов. В общем случае вероятность представляет собой отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов в этом пространстве выборки. Это выражается как Вероятность события P(E) = (Количество благоприятных исходов) ÷ (Выборочное пространство).

Как определить вероятность?

Вероятность можно определить, предварительно зная выборочное пространство результатов эксперимента. Вероятность обычно рассчитывается для события (x) в пространстве выборки. Вероятность события получается путем деления количества исходов события на общее количество возможных исходов или выборочное пространство.

Какие существуют три типа вероятности?

Существует три типа вероятностей: теоретическая вероятность, экспериментальная вероятность и аксиоматическая вероятность. Теоретическая вероятность вычисляет вероятность на основе формул и входных значений. Экспериментальная вероятность дает реалистичное значение и основана на экспериментальных значениях для расчета. Довольно часто теоретическая и экспериментальная вероятности расходятся в своих результатах. А аксиоматическая вероятность основана на аксиомах, управляющих понятиями вероятности.

Что такое условная вероятность?

Условная вероятность предсказывает наступление одного события на основе наступления другого события. Если есть два события А и В, условная вероятность — это вероятность наступления события В при условии, что событие А уже произошло. Формула условной вероятности наступления события B при условии, что событие A произошло: P(B/A) = P(A ∩ B)/P(A).

Что такое экспериментальная вероятность?

Экспериментальная вероятность основана на результатах и ​​значениях, полученных в ходе экспериментов с вероятностью. Экспериментальная вероятность определяется как отношение общего количества случаев, когда событие произошло, к общему количеству проведенных испытаний. Результаты экспериментальной вероятности основаны на реальных случаях и могут отличаться по значениям от теоретической вероятности.

Что такое распределение вероятностей?

Двумя важными вероятностными распределениями являются биномиальное распределение и распределение Пуассона. Биномиальное распределение определяется для событий с двумя вероятностными исходами и для событий с кратным количеством таких событий. Распределение Пуассона основано на множестве вероятностных исходов в ограниченном промежутке времени, расстоянии, пространстве выборки. Примером биномиального распределения является подбрасывание монеты с двумя исходами и проведение такого эксперимента с подбрасыванием n монет. Распределение Пуассона предназначено для таких событий, как обнаружение антигена в образце плазмы, вероятность которых многочисленна.

Как связаны вероятность и статистика?

Вероятность вычисляет возникновение эксперимента и вычисляет возникновение конкретного события по отношению ко всему набору событий. Для простых событий из нескольких чисел легко рассчитать вероятность. Но для расчета вероятностей, связанных с многочисленными событиями, и для управления огромными данными, относящимися к этим событиям, нам нужна помощь статистики. Статистика помогает правильно анализировать

Как вероятность используется в реальной жизни?

Вероятность широко применяется в играх и анализе. Также в реальной жизни и в областях промышленности, где речь идет о прогнозировании, мы используем вероятность. Прогнозирование цены акции или выступления команды в крикете требует использования концепций вероятности. Кроме того, новая технологическая область искусственного интеллекта в значительной степени основана на вероятности.

Как была открыта вероятность?

Использование слова «вероятность» впервые началось в семнадцатом веке, когда оно относилось к действиям или мнениям, которых придерживались разумные люди. Далее, слово вероятное в юридическом содержании относилось к суждению, имеющему материальные доказательства. Поле перестановок и комбинаций, статистический вывод, криптоанализ, частотный анализ в целом внесли свой вклад в это современное поле вероятностей.

Где мы используем формулу вероятности в нашей реальной жизни?

Следующие действия в нашей реальной жизни, как правило, следуют формуле вероятности:

  • Прогноз погоды
  • Игральные карты
  • Стратегия голосования в политике
  • Бросание игральной кости.
  • Вытягивание точно совпадающих носков одного цвета
  • Шансы на победу или поражение в любом виде спорта.

Что такое формула условной вероятности?

Условная вероятность зависит от наступления одного события на основе наступления другого события. Формула условной вероятности наступления события B при условии, что событие A уже произошло, выражается как P(B/A) = P(A ∩ B)/P(A).

Как рассчитать вероятность (с примерами) – Zippia

  • Что такое вероятность?
  • Как рассчитать вероятность
  • Шансы и вероятность
  • Как рассчитать вероятность с несколькими случайными событиями
  • Вакансии, связанные со статистикой и вероятностями
  • Часто задаваемые вопросы
  • Зарегистрируйтесь для получения дополнительных советов и вакансий

Показать больше

Вы когда-нибудь проверяли погоду утром, слышали, что в этот день с вероятностью 80% будет дождь, и меняли одежду или планы? Если да, то вы приняли решение, основанное на вероятности.

Независимо от того, в какой области или отрасли вы работаете, в какой-то момент вам придется использовать вероятность. Мы используем вероятность в нашей повседневной жизни, даже если мы этого не знаем. Знание того, как рассчитать вероятность чего-либо, и понимание того, что это означает, является ключевым навыком для любого человека.

Вероятность может помочь вам во всех аспектах профессионального принятия решений, в зависимости от того, какой маркетинговый план использовать или какой подход позволит вам увеличить продажи. Возможности использования вероятности безграничны, если вы понимаете основы.

Мы познакомим вас с основами вероятностных концепций и способами их расчета. Таким образом, когда вам нужно предсказать результат или принять решение, основанное на вероятности, вы готовы быть на высоте.

Основные выводы:

  • Вероятность — вероятность того, что что-то произойдет.

  • Вероятность рассчитывается путем деления количества возможных вариантов возникновения события на общее количество исходов.

  • Вероятность и шансы — разные понятия. Шансы — это вероятность того, что что-то произойдет, деленная на вероятность того, что этого не произойдет.

  • Почти все профессии связаны с использованием вероятности в тот или иной момент. Однако есть определенные профессии, которые в значительной степени зависят от расчета вероятности, например, статистики, метеорологи и медицинские работники.

Что такое вероятность?

Вероятность — это вероятность того, что что-то произойдет. Когда вы вычисляете вероятность, вы аппроксимируете вероятность того, что что-то произойдет, и представляете это точным числом. Поэтому, когда погода сообщает о 80-процентной вероятности дождя, это означает, что в этот день будет 80-процентная вероятность дождя. Другими словами, если бы дождь шел десять раз, то восемь из этих раз был бы дождь.

Невозможно предсказать вещи с абсолютной точностью, например погоду, но вероятность позволяет приблизиться к ней как можно ближе. Независимо от того, рассчитываете ли вы что-то простое, например, подбрасывание монеты, или что-то сложное, вы можете использовать вероятность, чтобы понять результат, например, прогноз продаж.

Вероятно, вы сможете принимать более взвешенные решения и подкреплять свои прогнозы данными, чтобы приводить убедительные аргументы. Вы можете найти способы использовать вероятность в каждой сфере своей жизни, от простых повседневных догадок до сложных прогнозов продаж и маркетинговых планов.

Как рассчитать вероятность

Самое замечательное в вероятности то, что она использует простую формулу, независимо от того, вероятность чего вы хотите измерить. Если вы можете выполнить простое умножение и деление, вы сможете вычислить вероятность для любой ситуации в кратчайшие сроки. Вот основная формула вероятности:

Вероятность того, что что-то произойдет = количество способов, которыми может произойти событие ÷ общее количество исходов

Давайте разберемся, как найти нужные числа и рассчитать вероятность события. Мы будем использовать простой пример извлечения шариков из мешка, чтобы упростить понимание процесса, но вероятность может стать намного сложнее, если вам нужно обрабатывать большие события.

  1. Найдите свое мероприятие. Во-первых, вам нужно выяснить, какая переменная помогает вам определить вероятность. Например, если у вас есть мешок с цветными шариками и вы хотите вычислить вероятность того, что выпадет синий, вам нужно вычислить эту переменную. Результат, который вы хотите рассчитать, — это вероятность того, что вы вытащите синий шарик из смешанного мешка.

  2. Найдите все результаты. Далее вам нужно найти общее количество исходов, которые вы можете получить в этой ситуации. Итак, если в вашем мешке с шариками всего 20, у вас есть 20 возможных исходов. Этот шаг определяет все ваши возможности в этой ситуации, а не конкретный результат, который вы хотите рассчитать.

  3. Найдите желаемый результат. Вам нужно выяснить, сколько шансов получить желаемый результат. Для этого примера подсчитайте, сколько из этих 20 шариков синих, чтобы вы могли вычислить свои шансы выбрать синий шарик. Для этого примера предположим, что вы насчитали 11 синих шариков в мешке с 20 шариками.

  4. Сделай свой расчет. Теперь, когда у вас есть все нужные числа, вы можете перейти к следующему шагу и использовать формулу, чтобы найти вероятность. Разделите 11 на 20, и вы должны получить 0,55 или 55%. Что означает это число? Это означает, что вероятность того, что вы вытащите синий шарик из мешка, составляет 55%.

Шансы против вероятности

Когда вы говорите о вероятности того, что что-то произойдет, легко спутать шансы и вероятность. Люди определяют шансы как вероятность того, что что-то произойдет, деленное на вероятность того, что этого не произойдет.

Знание шансов события — отличный способ проверить желаемый результат. Если вы обращаете внимание только на вероятность того, что событие произойдет, вы можете упустить вероятность того, что оно не произойдет.

Например, если вероятность того, что что-то произойдет, составляет 70 %, вы можете подумать, что это число достаточно близко к 100 %, чтобы на него можно было положиться. Но вы должны понимать, что это также означает 30%-ную вероятность того, что событие не произойдет. Как вы можете видеть, расчет шансов влияет на вероятность того, что что-то произойдет, а что-то не произойдет.

Например, еще раз взгляните на мраморную сумку. В мешке по-прежнему 20 шариков, но на этот раз вы хотите найти шансы выбрать зеленый шарик. Есть два зеленых шарика, поэтому теперь вы хотите разделить два на 20 и получить 0,1. Что означает это число? Это означает, что существует вероятность 0,9, что вы не выберете зеленый шарик. Чтобы найти шансы, вам нужно разделить 0,1 на 0,9, чтобы получить шансы 0,1111 или 11,11%.

Как рассчитать вероятность с несколькими случайными событиями

К сожалению, не все может быть так просто, как доставать шарики из мешка. Иногда вам нужно рассчитать вероятность события, когда действуют несколько факторов. К счастью, вы можете рассчитать вероятность того, что что-то произойдет, когда задействовано несколько событий. Это легко сделать, если вы знаете, как получить вероятность одного события.

Мы снова будем использовать что-то похожее на пример с мрамором. Допустим, ваша компания присуждает приз, если кто-то выберет из мешка шарик, соответствующий цветам компании. Цвета компании — красный и белый, и вы хотите вычислить вероятность того, что один человек выберет красный из мешка А, а другой игрок в то же время выберет белый из мешка Б.

Вы знаете, что в мешке с шариками находится 500 шариков: 100 красных, 250 белых, 50 синих и 100 зеленых. Таким образом, вы можете рассчитать вероятность того, что кто-то возьмет красный шарик из мешка А, взяв 100 красных шариков и разделив их на 500 шариков, чтобы получить 0,2. Для мешка B вы берете 250 белых шариков и делите их на общее количество 500 шариков и получаете 0,5.

Теперь, когда вы знаете вероятность того, что эти два события произойдут, вы можете рассчитать вероятность того, что они произойдут одновременно, перемножив отдельные вероятности. Таким образом, вы умножаете 0,2 на 0,5, чтобы получить 0,1. Это означает, что существует 10%-ная вероятность того, что кто-то вытащит красный шарик из мешка А, а кто-то вытащит белый шарик из мешка Б.

Сделав еще один шаг вперед, вы также можете рассчитать вероятность того, что это произойдет. Чтобы найти шансы этой ситуации, вы можете разделить 0,1 на 0,9, чтобы получить 11,11% шансов, что это произойдет.

Некоторые люди лучше понимают, вычисляют и интерпретируют вероятности, чем другие. Если вам нравится вычислять вероятность того, что что-то произойдет, или вам нравится использовать данные для принятия решений, возможно, вы захотите найти работу, связанную с большим количеством статистики и вероятностей. Вот несколько профессий, которые в значительной степени полагаются на вероятность, предсказания и прогнозирование.

Просто имейте в виду, что почти каждая работа потребует от вас использования вероятности и анализа, поэтому, даже если вы не будете заниматься одной из этих профессий, вы все равно будете использовать статистику и вероятность в своей работе. Просто это может быть реже, чем в тех областях, где вероятность управляет работой, которую вы делаете каждый день.

  • Статистик

  • Метролог

  • Математик

  • Аналитик по исследованию рынка

  • Финансовый аналитик

  • Аналитик по исследованию операций

  • Ученый-актуарий

  • Биостатистика

  • Медицинские профессии

  • Оценка риска

  • Здравоохранение

  • Эпидемиолог

  • Профессор

  • Учитель математики

Часто задаваемые вопросы

  1. Как рассчитать вероятность нескольких событий?

  2. Чтобы вычислить вероятность нескольких событий, вы должны сначала вычислить вероятность каждого независимого события. Затем вы перемножаете вероятности каждого независимого события друг с другом.

  3. В чем разница между вероятностью и шансами?

  4. Разница между вероятностью и шансами заключается в том, что вероятность учитывает только вероятность того, что что-то произойдет, а шансы также учитывают вероятность того, что это НЕ произойдет. Чтобы рассчитать шансы, вы берете вероятность того, что что-то произойдет, и делите ее на вероятность того, что это не произойдет.

  5. Нужно ли мне знать о вероятности на моей работе?

  6. Да, вы должны знать основы вероятности для своей работы. Хотя некоторые профессии требуют интенсивного использования вероятности, например, статистика, каждая профессия в тот или иной момент использует вероятность. Это связано с тем, что на рабочем месте так много динамичных ситуаций, что профессионалам необходимо учитывать множественные результаты в любом сценарии.

Насколько полезен был этот пост?

Нажмите на звездочку, чтобы оценить!

Средний рейтинг / 5. Количество голосов:

Голосов пока нет! Будьте первым, кто оценит этот пост.

Никогда не упускайте подходящую для вас возможность.

Калькулятор вероятностей

Создано Матеушем Мухой и Войцехом Сас, кандидатом наук

Отредактировано Bogna Szyk и Jack Bowater

Последнее обновление: 01 марта 2022 г.

Содержание:
  • Как найти вероятность событий? – определение вероятности
  • Как пользоваться калькулятором вероятности?
  • Условная вероятность.0142
  • Часто задаваемые вопросы

С помощью калькулятора вероятности вы можете исследовать отношения правдоподобия между двумя отдельными событиями . Например, если вероятность того, что произойдет А, составляет 50%, и такая же вероятность для В, каковы шансы того, что произойдет и то, и другое, только одно, по крайней мере одно или ни одного события и так далее.

Наш калькулятор вероятности дает вам шесть сценариев, плюс еще 4, когда вы вводите, сколько раз «бросается жребий», так сказать. Если вы знаете, как найти вероятность отдельных событий, это сэкономит вам много времени.

Читая ниже, вы:

  • узнаете, как правильно пользоваться калькулятором вероятностей;
  • Проверить, как найти вероятность одиночных событий;
  • Прочтите о нескольких примерах использования вероятности, включая формулы условной вероятности;
  • Изучите разницу между теоретической и эмпирической вероятностью; и
  • Расширьте свои знания о взаимосвязи между вероятностью и статистикой.

Как найти вероятность событий? – определение вероятности

Основное определение вероятности — это отношение всех благоприятных исходов к количеству всех возможных исходов. Если вы не уверены, что знаете, что такое коэффициент, вы всегда можете узнать больше в нашем калькуляторе коэффициентов.

Допустимые значения одной вероятности варьируются от 0 до 1 , поэтому также удобно записывать вероятности в процентах. Вероятность отдельного события может быть выражена следующим образом:

  • Вероятность A : P(A) ,
  • Вероятность B : P(B) ,
  • Вероятность + : P(+) ,
  • Вероятность : P(♥) и т. д.

Давайте рассмотрим пример с разноцветными шарами. У нас есть мешок, наполненный оранжевыми, зелеными и желтыми шариками. Наше событие — это выбор случайного шара из мешка . Мы можем определить Ω как полный набор шаров. Вероятность события Ω , что означает выбор любого шара, естественно равно 1. На самом деле сумма всех возможных событий в данном наборе всегда равна 1 .

Теперь давайте посмотрим на кое-что посложнее — какова вероятность того, что выпадет оранжевый шар? Чтобы ответить на этот вопрос, вам нужно найти количество всех оранжевых шариков и разделить его на количество всех шариков в мешке. Вы можете сделать это для любого цвета, например желтого, и вы, несомненно, заметите, что чем больше шариков определенного цвета, тем выше вероятность вытащить его из мешка, если процесс полностью случайный.

Мы можем определить дополнительное событие , записанное как À или A' , что означает , а не A . В нашем примере вероятность выбора НЕ оранжевого шара оценивается как количество всех неоранжевых шаров, деленное на все шарики. Сумма P(A) + P(Ā) всегда равна 1, потому что нет другого варианта, как половинка шара или полуоранжевый.

Теперь попробуйте найти вероятность выпадения синего шара. Как бы вы ни старались, у вас ничего не получится, потому что в мешке нет ни одного, поэтому результат равен 0,9.0003

Мы постоянно используем интуитивные расчеты вероятности. Знание того, как количественно определить вероятность, необходимо для статистического анализа. Это позволяет вам измерить туманную концепцию, называемую «вероятностью». Кроме того, для дискретного набора данных относительная частота каждого из значений является синонимом вероятности их появления.

Вы ищете что-то немного другое? Взгляните на наш калькулятор вероятности после теста. 🎲

Как пользоваться калькулятором вероятности?

Чтобы максимально использовать наш калькулятор, вам необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определите проблему, которую вы хотите решить.

Ваша проблема должна быть разделена на два отдельных события. Если вы хотите рассчитать вероятность события в эксперименте с несколькими равновозможными испытаниями, вы можете воспользоваться калькулятором z-score.

2. Найти вероятность каждого события.

Теперь, когда вы знаете, как оценить вероятность отдельного события, вам нужно только выполнить задание и получить все необходимые значения.

3. Введите процентную вероятность каждого события в соответствующие поля.

Как только они появятся, калькулятор вероятности сразу же выдаст точную вероятность 6 различных сценариев:

  • Произойдут оба события
  • Произойдет хотя бы одно из событий
  • Произойдет ровно одно из событий
  • Ни одно из событий не произойдет
  • Не произойдет только первое событие
  • Не произойдет только второе событие

Калькулятор также покажет вероятность еще четырех сценариев при определенном количестве испытаний:

  • Встречается всегда
  • Никогда не встречающийся
  • B встречается всегда
  • B никогда не встречается

Вы можете изменить количество попыток и любое другое поле в калькуляторе, а остальные поля автоматически изменятся. Эта функция экономит массу времени, если вы хотите узнать, например, какова вероятность события 9.0966 B должен был бы стать, чтобы сделать вероятность того, что оба встречаются 50%.

Если набор возможных вариантов чрезвычайно велик, а успешными являются лишь несколько исходов, результирующая вероятность ничтожно мала, например, P(A) = 0,0001 . Удобно использовать экспоненциальную запись, чтобы не перепутать количество нулей.

Условная вероятность

Одним из наиболее важных соображений в мире вероятностей является вопрос о том, являются ли события зависимыми или нет. Два события независимы, если появление первого не влияет на вероятность появления второго . Например, если мы бросаем идеально сбалансированный стандартный кубический кубик, вероятность выпадения двойки ⚁ равна 1/6 (так же, как выпадение четвёрки ⚃ или любого другого числа).

Допустим, у вас есть два броска костей, и вы получили пять ⚄ в первом. Если вы спросите себя, какова вероятность получить двойку ⚁ во второй ход, ответ будет 9.0966 1/6 еще раз из-за независимости событий.

Способ мышления, а также расчеты меняются, если одно из событий прерывает работу всей системы. На этот раз мы говорим о условной вероятности .

Допустим, у нас есть 10 бильярдных шаров с разными номерами, от ➀ до ➉. Вы выбираете случайный шар, поэтому вероятность выпадения ➆ равна 1/10 . Предположим, вы выбрали три ➂ и удалили их из игры . Затем вы снова спрашиваете себя, каков шанс получить семерку ➆. Ситуация изменилась, потому что есть один шар с ➆ из девяти возможностей, что означает, что вероятность теперь составляет 1/9 . Другими словами, можно задать вопрос: «Какова вероятность выбора ➆, ЕСЛИ первый шар был ➂?»

Давайте рассмотрим другой пример: представьте, что вы собираетесь сдавать экзамен по статистике. Вы знаете от своих старших коллег, что это сложно, и вероятность того, что вы пройдете в первый семестр, равна 9. 0966 0,5 (в прошлом году сдали 18 из 36 учащихся). Тогда давайте зададим себе вопрос: «Какова вероятность прохождения, ЕСЛИ вы уже изучили тему?» 20 человек признались, что просмотрели свои конспекты хотя бы один раз перед экзаменом, и 16 из них справились, значит, ответ на последний вопрос 0,8 . Этот результат указывает на то, что это дополнительное условие действительно имеет значение, если мы хотим выяснить, меняет ли обучение что-нибудь или нет.

Если вы до сих пор не чувствуете понятия условной вероятности, давайте попробуем на другом примере: вам нужно проехать из города X в город Y на машине. Расстояние между ними составляет около 150 миль. На полном баке обычно можно проехать до 400 миль. Если вы не знаете уровень топлива, вы можете оценить вероятность успешного достижения пункта назначения без дозаправки. А что, если кто-то уже залил бак? Теперь вы почти уверены, что сможете это сделать, если этому не помешают другие проблемы.

Формула условной вероятности

Формальное выражение условной вероятности, которое может быть обозначено как P(A|B) , P(A/B) или P B (A) , может быть вычислено как:

P(A|B) = P(A∩B) / P(B) ,

, где P(B) — вероятность события B и P(A∩ Б) является стыком обоих событий. С другой стороны, мы можем оценить пересечение двух событий, если нам известна одна из условных вероятностей:

  • Р(А∩В) = Р(А|В) * Р(В) или
  • P(A∩B) = P(B|A) * P(A) .

Лучше понять концепцию формулы условной вероятности с древовидными диаграммами. Мы спрашиваем учащихся в классе, нравятся ли им математика и физика. Событие M обозначает процент, увлекающийся математикой, а P то же самое с физикой:

Существует известная теорема, связывающая условные вероятности двух событий. Он называется Теорема Байеса , а формула выглядит следующим образом:

P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)

Вы можете задать вопрос: «Что является вероятностью A при наличии B , если я знаю вероятность B при наличии A ?». Эта теорема иногда дает удивительные и неинтуитивные результаты. Наиболее часто описываемыми примерами являются тестирование на наркотики и выявление заболеваний, что имеет много общего с относительным риском заболевания среди населения. Остановимся на втором. В группе 1000 человек, из них 10 имеют редкое заболевание. У всех был тест, который показывает реальный результат в 95% случаев. Итак, теперь мы хотим найти вероятность того, что человек болен, если результат его теста положительный.

Не задумываясь, вы можете интуитивно предсказать, что результат должен быть около 90% , верно? Произведем некоторые расчеты и оценим правильный ответ.

  1. Будем использовать обозначения: H – здоров, I – заболел, + – положительный результат, – отрицательный результат.
  2. Перепишите информацию из текста выше в виде вероятностей: ) = 0,05 , P(+|H) = 0,05 , P(-|H) = 0,95 .
  3. Определите общую вероятность положительного результата теста: P(+) = P(+|I) * P(I) + P(+|H) * P(H) = 0,95 * 0,01 + 0,05 * 0,99 = 0,059 .
  4. Используйте теорему Байеса , чтобы найти условную вероятность P(I|+) = P(+|I) * P(I) / P(+) = 0,95 * 0,01 / 0,059 = 0,161 .

Хм… не так уж и много, не так ли? Оказывается, такого рода парадокс возникает при наличии значительного дисбаланса между числом здоровых и больных или вообще между двумя отдельными группами. Если результат положительный, всегда стоит повторить тест, чтобы поставить соответствующий диагноз.

Распределение вероятностей и кумулятивная функция распределения

Мы можем различать два вида распределения вероятностей в зависимости от того, являются ли случайные величины дискретными или непрерывными.

  • Дискретное распределение вероятностей описывает вероятность возникновения исчисляемых различных событий. Одним из примеров является биномиальная вероятность, которая учитывает вероятность какого-либо успеха в нескольких ходах, например, при подбрасывании монеты. Напротив, в распределении Паскаля (также известном как отрицательное биномиальное) дается фиксированное количество успехов, и вы хотите оценить общее количество испытаний.

    Распределение Пуассона — еще одно дискретное распределение вероятностей, фактически являющееся частным случаем биномиального распределения. Функция массы вероятности может быть интерпретирована как другое определение дискретного распределения вероятностей – она присваивает заданное значение любому отдельному числу. Геометрическое распределение является прекрасным примером использования функции массы вероятности.

  • Непрерывное распределение вероятностей содержит информацию о неисчисляемых событиях. Невозможно предсказать вероятность отдельного события (как и дискретного), но мы можем найти событие в некотором диапазоне переменных. Нормальное распределение — одна из самых известных непрерывных функций распределения. Он описывает множество свойств в любой популяции, например, рост взрослых людей или распространение IQ.

Если вы более продвинуты в теории вероятностей и расчетах, вам обязательно придется иметь дело с распределением SMp(x), которое учитывает комбинацию нескольких дискретных и непрерывных функций вероятности.

Для каждого распределения вероятностей мы можем построить кумулятивную функцию распределения (CDF) . Он говорит вам, какова вероятность того, что какая-то переменная примет значение, меньшее или равное заданному числу .

Допустим, вы участвуете в викторине по общим знаниям. Конкурс состоит из 100 вопросов, и за правильный ответ вы получаете 1 балл, а за неправильный баллы не начисляются. Многие люди уже закончили, и из результатов мы можем получить распределение вероятностей. Правила гласят, что только 20% лучших участников получают награды, поэтому вам интересно, сколько очков вы должны набрать, чтобы стать одним из победителей. Если вы посмотрите на график, вы можете разделить его так, что 80% области ниже находятся слева, а 20% результатов находятся справа от желаемого результата. То, что вы на самом деле ищете, — это левостороннее p-значение.

Однако есть и другой способ найти его, если использовать кумулятивную функцию распределения — просто найти значение 80% на оси абсцисс и соответствующее количество точек, ничего не вычисляя!

Теоретическая и экспериментальная вероятности

Почти каждый описанный выше пример учитывает теоретическую вероятность. Поэтому возникает вопрос: в чем разница между теоретической и экспериментальной (также известной как эмпирическая) вероятностью? Формальное определение теоретической вероятности отношение числа благоприятных исходов к числу всех возможных исходов . Он опирается на предоставленную информацию, логические рассуждения и говорит нам, что нам следует ожидать от эксперимента .

Еще раз взгляните на мешочки с разноцветными шариками. Всего 42 шариков, из них 18 оранжевых. Игра состоит в том, чтобы выбрать случайный шар из мешка и положить его обратно, так что внутри всегда будет 42 шаров. Применяя определение вероятности, мы можем быстро оценить ее как 18/42 , или, упрощая дробь, 3/7 . Это означает, что если мы выберем 14 шаров, то должно быть 6 оранжевых.

С другой стороны, экспериментальная вероятность сообщает нам именно то, что произошло, когда мы проводим эксперимент , а не то, что должно произойти. Он основан на соотношении числа успешных испытаний и числа всех испытаний . Возьмем тот же пример — вытащите случайный шарик из мешка и повторите процедуру 9.0966 13 еще раз. Предположим, вы получили 8 оранжевых шаров за 14 попыток. Этот результат означает, что эмпирическая вероятность равна 8/14 или 4/7 .

Как видите, ваш результат отличается от теоретического. В этом нет ничего странного, потому что, когда вы пытаетесь повторять эту игру снова и снова, иногда вы будете выбирать больше, а иногда меньше, а иногда выберете именно то число, которое теоретически предсказано. Если вы просуммируете все результаты, то заметите, что общая вероятность равна 9.0095 все ближе и ближе к теоретической вероятности . Если нет, то мы можем заподозрить, что выбор мяча из мешка не совсем случайный, например, мячи разных цветов имеют неодинаковые размеры, поэтому их можно различить, не глядя.

Как статистика, так и вероятность являются ветвями математики и имеют дело с взаимосвязью возникновения событий . Тем не менее, каждый должен знать о различиях, которые делают их двумя разными областями.

  • Вероятность, как правило, является теоретической областью математики, и она исследует следствия математических определений и теорем . Напротив, статистика обычно представляет собой практическое применение математики в повседневных ситуациях и пытается приписать смысл и понимание наблюдений в реальном мире .

  • Вероятность предсказывает вероятность того, что события произойдут , тогда как статистика в основном равна анализирует частоту появления прошлых и создает модель на основе полученных знаний .

  • Представьте себе вероятностного играющего в карточную игру, которая основана на выборе случайной карты из всей колоды, зная, что выигрывают только пики с заранее заданным соотношением шансов. Предполагая, что колода полная, а выбор полностью случайный и справедливый, они делают вывод, что вероятность равна = , и могут сделать ставку.

  • Статистик некоторое время понаблюдает за игрой, чтобы сначала проверить, действительно ли игра честная. Убедившись (с приемлемым приближением), что в игру стоит играть, он спросит у вероятностника, что ему следует сделать, чтобы выиграть больше всего.

Вы, несомненно, видели некоторые опросы о предпочтении на выборах и, возможно, задавались вопросом, как они могут быть настолько точными по сравнению с окончательными результатами, даже если количество опрошенных намного меньше, чем общая численность населения — это время, когда происходит вероятностная выборка .

Основное предположение, которое является основной идеей выборки, заключается в том, что добровольцы выбираются случайным образом с заранее определенной вероятностью. Мы можем различать несколько видов методов выборки:

  • Простая случайная выборка
  • Кластерная случайная выборка
  • Систематический отбор проб
  • Выборка, пропорциональная размеру вероятности
  • Стратифицированная случайная выборка
  • Минимаксный отбор проб
  • Случайный отбор проб
  • Выборка квоты
  • Добровольный отбор проб
  • Панельный отбор проб
  • Отбор проб методом снежного кома
  • Выборка с пересечением линии
  • Теоретический отбор проб

Каждый из этих методов имеет свои преимущества и недостатки, но большинство из них удовлетворительны. Существенными преимуществами вероятностной выборки являются экономия времени и рентабельность, поскольку необходимо обследовать ограниченное число людей. Простота этой процедуры не требует специальных знаний и может выполняться без какой-либо тщательной подготовки.

Практическое применение теории вероятностей

Как вы уже поняли, есть много областей, где применима теория вероятностей. Большинство из них — это игры с высоким фактором случайности, такие как бросание костей или выбор одного цветного шара из 10 разных цветов, или множество карточных игр. Лотереи и азартные игры — это виды игр, в которых широко используется концепция вероятности и общее отсутствие знаний о ней. Конечно, время от времени кто-то выигрывает, но Вероятность того, что этим человеком будете вы, крайне мала .

Теория вероятностей также используется во многих различных типах задач. Особенно, когда речь идет об инвестициях, также стоит учитывать риск, чтобы выбрать наиболее подходящий вариант.

Наш калькулятор Белого Рождества использует исторические данные и знание вероятностей, чтобы предсказать появление снежного покрова во многих городах во время Рождества.

Часто задаваемые вопросы

Как рассчитать вероятность A и B?

Если A и B являются независимыми событиями , то вы можете перемножить их вероятности вместе, чтобы получить вероятность того, что A и B произойдут. Например, если вероятность события А составляет 20% (0,2) , а вероятность события В составляет 30% (0,3) , вероятность того, что произойдет то и другое, составляет 0,2 × 0,3 = 0,06 = 6% .

Как рассчитать условную вероятность?

Для событий, которые происходят совершенно отдельно и не зависят друг от друга, можно просто умножьте их индивидуальные вероятности вместе . Если исход события влияет на другое событие, то его вероятность необходимо будет пересчитать, прежде чем найти условную вероятность.

Какова вероятность того, что выпадут 2 шестерки?

Если вы используете игральные кости, вероятность выпадения двух шестерок составит 1/6 × 1/6 = 1/36 = 0,027 = 2,7% . Это означает, что требуется 36 бросков кубиков, чтобы ожидать выпадения двух шестерок хотя бы один раз, хотя нет никаких гарантий, когда дело доходит до вероятности.

Каковы шансы выиграть в розыгрыше?

Это зависит от сколько билетов вы купите и общее количество билетов в розыгрыше. В качестве примера предположим, что вы принесли полосу из 5 билетов и знаете, что в розыгрыше 500 билетов. Это означает, что вероятность выиграть первый приз составляет 5/500 = 0,01 = 1% . Тогда вероятность второго приза равна 4/499 = 0,008 = 0,8% и так далее. Вероятность того, что выиграют все призы есть сумма всех этих вероятностей: 1% + 0,8% + 0,6% + 0,4% + 0,2% = 3% .

Как преобразовать коэффициенты в проценты?

Преобразуйте шансы в десятичное число , затем умножьте на 100. Например, если шансы равны 1 из 9, это 1/9 = 0,1111 в десятичной форме. Затем умножьте на 100, чтобы получить 11,11% .

Матеуш Муха и Войцех Сас, кандидат наук

Вероятности отдельных событий

Вероятность A, P(A)

Вероятность B, P(B)

Какую вероятность вы хотите увидеть?

P (A∩B)

Вероятности для серии событий

при попытке

раз …

Вероятность

Проверьте 22 аналогичные риски и вероятность калькуляторов 🎲

Точность.

Калькулятор вероятности, пошаговый расчет

Выберите вероятность для расчета и выберите соответствующие данные для пошаговых инструкций и решений

Возможности калькулятора вероятности:

  • Калькулятор зависимой вероятности
  • Калькулятор независимой вероятности
  • Калькулятор условной вероятности
  • Калькулятор теоремы Байеса

Как пользоваться калькулятором вероятности?

Калькулятор вероятности выберет соответствующие формулы для расчета вашего ответа на основе типа вероятности и доступных данных.
Какую вкладку выбрать?

Вы смотрите только на одно событие?

Да — используйте калькулятор отдельных событий . Введите количество наблюдаемых благоприятных событий, а также общее количество наблюдений

Нет — продолжить

Влияет ли исход одного события на исход другого?

Например, количество облаков на небе влияет на вероятность дождя.

Да — продолжить

Нет — использовать калькулятор независимых событий .

У вас есть одна условная вероятность, которую вы хотите преобразовать в другую условную вероятность (теорема Байеса)?

Да — использовать Калькулятор теоремы Байеса . Введите P(A), P(B) и P(B|A), чтобы получить P(A|B)

Нет — используйте калькулятор зависимых событий .

Общие

Вероятностная терминология
  • Событие – конкретный исход или набор исходов. Если бы мы бросили кубик, то и кубик с шестью, и кубик с четным числом (включая события 2, 4 и 6) были бы событиями.
  • Вероятность — число от 0 до 1, которое используется для описания вероятности возникновения определенного события.
    Для любого события E вероятность или правдоподобие этого события записывается как P(E).
    Независимо от того, как мы выбираем E, P(E) всегда находится в диапазоне от 0 до 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1
    Если P(E) = 0, то событие никогда не произойдет.
    Если P(E) = 1, то событие гарантированно произойдет.
    Обычно P(E) находится между этими двумя вариантами, поэтому событие может произойти маловероятно, может иметь равные шансы произойти или может произойти.
  • Пространство выборки — множество всех возможных результатов эксперимента.
    Например, при броске игральной кости у нас есть 6 возможных результатов: числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6 на верхней грани кости.
    Говоря о подбрасывании монеты, мы, очевидно, должны включать орел и решку в наше выборочное пространство.
    Однако мы также должны включить монету, приземлившуюся на бок, поскольку это отдельная возможность
    , и все варианты должны быть учтены в пространстве выборки. Поскольку мы перечисляем все результаты в выборке,
    мы знаем, что результатом должен быть ровно один исход. Отсюда мы можем вывести следующее правило:
    сумма вероятностей каждого исхода в пространстве выборки равна 1.
    Например, при бросании обычной кости возможными исходами являются числа от 1 до 6, поэтому P(1 )+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6) = 1,
  • P(A∩B) (пересечение A и B)- Вероятность того, что оба произойдет событие А и событие В.
  • P(A∪B) (объединение A и B) — Вероятность того, что хотя бы одно из событий A и B произойдет.
  • n(E) — количество исходов в событии E. Например, если E — событие, представляющее собой четный бросок игральной кости, то n(E)=3 (2, 4 и 6)
  • Взаимоисключающие — два события A и B являются взаимоисключающими, если они никогда не могут произойти одновременно, т. е. P(A ∩ B) = 0.
Правило вероятности

Как рассчитать вероятность события ? Один из способов сделать это — найти количество благоприятных исходов и разделить его на общее количество исходов следующим образом: P(E) = n(E) / n(S)
Для нашего события E, где S — выборочное пространство
Например, предположим, что мы бросили 2 игральные кости и хотели получить в сумме 4.
Все события исходы в выборочном пространстве:
[1,1],[1,2],…[1,6],…,[2,1],[2,2],..[2, 6],…[6,1],[6,2],…,[6,6].
36 различных исходов (6 для первого кубика * 6 для второго кубика)
поэтому n(S) = 36
желательные исходы [1,3],[2,2],[3,1].
3 различных исхода, поэтому n(сумма 4) = 3
Итак, P(сумма 4) = n(сумма 4)/n(S)
= 3 / 36
= 1 / 12
Однако этот подход иногда наивен, поскольку мы предполагаем, что все исходы имеют одинаковую вероятность.
При проведении эксперимента мы не всегда можем предполагать, что результаты равновероятны. Например,
мы можем бросить несимметричную монету с 80% вероятностью выпадения орла и 20% вероятностью выпадения решки. В этом случае мы не можем рассматривать орел и решку как равновероятные исходы

Правило сложения

Иногда у нас есть вероятности A, B и A∩B, и мы хотим найти P(A∪B). Инстинктивно мы могли бы просто добавить P(A) и P(B). Однако, рисуя это, мы получили бы

AB + AB = AB

Это близко к ожидаемому результату, за исключением того, что здесь мы считаем P(A∩B) дважды, один раз как часть A и один раз как часть B.
Следовательно, чтобы получить P(A ∪B) нам нужно вычесть пересечение A и B. Это приводит нас к формуле сложения.
P(A∪B) = P(A) + P(B) — P(A∩B)

Зависимая или независимая вероятность

Являются ли эти события зависимыми или независимыми?
Мы можем проверить, независимы ли два события, используя следующие уравнения:
P(A ∩ B) = P(B) * P(A)
P(A|B) = P(A)
Если выполняется одно из этих уравнений, то мы знаем, что A и B независимы.
Если мы не можем показать, что одна из этих формул верна, то мы должны предположить, что события зависимы при решении задачи.

Зависимые события

Правило умножения

Что такое правило умножения?
Это правило гласит, что P(A ∩ B) = P(B) * P(A|B). в этой вселенной тоже произошло А.
Поскольку это именно то условие, при котором истинно A ∩ B, это верно для зависимого и независимого расчета вероятности.

Формула условной вероятности

Как работает формула условной вероятности?
Допустим, у нас есть 2 события, A и B, и мы хотели вычислить вероятность A при заданном B, P(A|B).
Мы могли бы начать с выделения A, потому что мы рассматриваем результаты внутри этого круга.
Тем не менее, у нас есть дополнительная информация для ответа на вопрос — мы знаем, что B произошло.
Это означает, что мы можем исключить все, что не входит в B, поскольку мы знаем, что рассматриваем исходы, в которых произошло B.
Мы можем представить это на диаграмме Венна следующим образом:

AB

Из этого мы можем видеть, что вероятность A (оранжевого цвета) при заданном B (более светлом цвете) равна P(A∩B)/P(B)

Теорема Байеса

Формула условной вероятности:
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
= P(A) * P(B|A) / P(B) из правила умножения , подгруппа в P(A∩B) = P(B) * P(B|A)

Независимые события

Рассмотрение независимых событий аналогично рассмотрению зависимых событий, за исключением того, что мы также знаем, что P(A|B) = P(A),
Поскольку вероятность события A не зависит от события B.
P( A∩B) = P(B) * P(A|B) (из правила умножения)
P(A∩B) = P(B) * P(A), так как мы знаем, что P(A) = P (A|B)

Вероятность: что это такое и как ее вычислить

В этом посте мы собираемся узнать немало вещей о вероятности: что это такое, для чего она используется и как ее вычисляют. , а также некоторые примеры, которые мы могли встретить в нашей повседневной жизни.

Что такое вероятность?

Одной из самых особых характеристик людей, которая отличает нас от других видов, является наша способность «предсказывать», предвидеть события, которые должны произойти. Иногда мы терпим неудачу, но во многих других случаях мы этого не делаем. Эта способность позволила нам достичь того, что мы имеем сегодня, предугадывая как опасности, так и возможности. Подумайте об этом, наши предки, которые были в состоянии предсказать нападение хищника, были теми, кто выжил. Теперь, десятки тысяч лет спустя, мы сделали еще один шаг вперед и удивляемся, что такое вероятность?

Вероятность — это математический расчет, который оценивает возможности, которые существуют для того, чтобы событие произошло при вмешательстве случая.

Давайте рассмотрим несколько примеров, потому что вероятность, как и многие понятия в математике, является абстрактной конструкцией, которую лучше понять на примерах.

Если вы вращаете колесо, на какие числа вы можете приземлиться?

Прялка может остановиться на любом числе от одного до пяти. Не осознавая этого, мы построили эксперимент (вращающееся колесо) и образец пространства (цифры от 1 до 5). Выборочное пространство — это множество, имеющее возможные результаты, то есть числа от одного до пяти.

Из нашего опыта с настольными играми мы уже знаем больше о предыдущем эксперименте. возможно , что вращающееся колесо может остановиться на одном из этих чисел, и невозможно , например, чтобы оно остановилось на восьмерке. Мы довольно много знаем о вероятности и даже не осознаем этого!

Давайте посмотрим на другой эксперимент в другом контексте:

Глядя на эту парковку, если машина выедет со стоянки, какого цвета она может быть?

Возможности очень ясны, красный или желтый автомобиль может покинуть парковку. Уехать зеленой машине или синему мопеду невозможно. Несмотря на то, что существует вероятность того, что желтая машина уедет, на более вероятно , что уедет красная машина, потому что красных машин больше, чем желтых.

Как рассчитать вероятность

Чтобы рассчитать вероятность, мы вернемся к предыдущему примеру, и это не что иное, как подсчет количества автомобилей каждого цвета. Поскольку 6 из 7 автомобилей на стоянке красные, мы можем записать это в виде дроби: вероятность того, что красный автомобиль покинет парковку, будет дробью с числителем 6 (количество красных автомобилей) и знаменателем 7 (общее количество автомобилей).

Вероятность выезда красной машины равна \(\frac{6}{7}\). Вероятность выезда желтой машины равна \(\frac{1}{7}\). Вероятность того, что синяя машина уедет, будет равна 0, потому что на стоянке нет синих машин.

Обобщая эту идею, мы приходим к тому, как рассчитывается вероятность: с дробью, которую часто называют правилом Лапласа . Поместим число благоприятных случаев в числитель, а число возможных случаев в знаменатель.

Теперь мы можем рассчитать вероятности очень простых событий, например, мы можем предсказать, какие шары выпадут из этого лотерейного барабана:

В лотерейном барабане 8 шаров:

  • Вероятность того, что выпадет одна, равна \(\frac{1}{8}\)
  • Но четыре одинаковых шара имеют номер 5, поэтому вероятность того, что выпадет 5, равна \(\frac{4}{8}\). Если вас попросят сделать ставку на какой-либо результат, наиболее вероятным будет 5.

Математики видят преимущества, которые можно получить из этих предсказаний, и действительно развили эту область. Мы в Smartick сделали то же самое с последовательностью упражнений, отсортированных по уровню, которые адаптируются к темпу обучения каждого ребенка.

Пример: подбрасывание монеты

Если вы подбрасываете монету, вероятность того, что она упадет решкой, равна \(\frac{1}{2}\), то же самое относится и к ее выпадению решкой.

Пример: Бросание игральной кости

Если вы бросаете кубик, вероятность того, что выпадет три, будет равна \(\frac{1}{6}\).

Вы также можете рассчитать вероятность того, что выпадет четное число. Поскольку есть три стороны с четными числами (2, 4 и 6) и всего шесть сторон, это будет \(\frac{3}{6}\)=\(\frac{1}{2}\ )

 

Почему мы используем вероятность?

Вероятность используется во многих областях, таких как математика, статистика, физика, экономика и социальные науки. Первые вероятностные исследования были разработаны для решения проблем, связанных с азартными играми, и именно здесь их использование наиболее заметно, поскольку они могут помочь вам получить больше шансов выиграть или сэкономить деньги (выбирая не играть в игры, в которых вы, скорее всего, проиграете). ).

Пример: шансы и четы

Посмотрите на следующий пример, используя детскую игру Четы и шансы.

Шансы и четы — это игра, в которой нужно выбирать между двумя людьми. Два человека выбирают между четным и нечетным и одновременно показывают количество пальцев, которые они держат за спиной. Затем они складывают количество пальцев, и если сумма получается нечетной, выигрывает тот, кто выбрал нечетное, и наоборот.

Сюрприз в том, что если вы никогда не играли в Odds and Evens, то, в отличие от подбрасывания монеты в воздух, это нечестная игра . Маловероятно, что выпадет тот или иной вариант. Вероятность показывает, что результат будет скорее четным, чем нечетным.

Вы можете увидеть это в этой таблице, где номера отмечены оранжевым цветом . Если вы посмотрите, есть 25 возможных результатов и 13 из них даже .

Разница невелика, но если вы играете «четно», вероятность выигрыша увеличивается на 4 %, поскольку \(\frac{13}{25}=0,52\), а \(\frac{12} {25}=0,48\).

Пример: лотерея

Если вы считаете, что 4% — это очень мало, то вам не следует играть в лотерею , потому что шансы на то, что вы выберете правильный номер и выиграете джекпот, равны \(\frac{1}{ 100 000}=0,00001\), ничтожные 0,001%. Это число примерно равно тому, как набрать такую ​​же каплю воды из пятилитровой бочки.

Но не все события зависят от вероятности, многие являются условиями других факторов.

Допустим, вы хотите увеличьте свои шансы из пройти тест по математике . Чтобы сделать это, лучше не рисковать, и отличный способ получить более высокую оценку за тест по математике – выполнять ежедневные математические занятия со Smartick! Другими способами подготовиться являются учеба, участие в занятиях, поддержание здоровья и хороший сон. Если вы будете следовать этим шагам, вы как будто уже знаете результаты подбрасывания монеты или броска костей, , потому что вы заранее знаете, что это сработает в вашу пользу.

Дополнительная информация:

  • Изучение вероятностных задач и примеров
  • Типы дробей: правильные, неправильные, дроби равные единице
  • Половина, третья, четвертая, пятая по математике: определение и расчет
  • Упражнения на вычитание дробей с общими и необычными знаменателями
  • Как решить дополнительные задачи
  • Автор
  • Последние сообщения

Smartick

Команда создания контента.
Мультидисциплинарная и мультикультурная команда, состоящая из математиков, учителей, профессоров и других специалистов в области образования!
Они стремятся создать наилучший математический контент.

Последние сообщения Smartick (см. все)

Вероятность A и B / A или B


Посмотрите видео с несколькими быстрыми примерами того, как найти вероятность A и B / A или B:

Вероятность A или B (также A и B)

Посмотрите это видео на YouTube.

Видео не видно? Кликните сюда.


Возможно, вы захотите сначала прочитать эту статью: Зависимое или независимое событие? Как отличить.

  1. Вероятность A и B.
  2. Вероятность A или B.
На пересечении диаграммы Венна показаны события a и b, происходящие вместе.

1. Какова вероятность A и B?

Вероятность A и B означает, что мы хотим знать вероятность того, что два события произойдут одновременно . Существует несколько разных формул, в зависимости от того, есть ли у вас зависимые события или независимых событий .


Формула вероятности A и B ( независимых событий): p(A и B) = p(A) * p(B).

Если вероятность одного события не влияет на другое, у вас есть независимое событие. Все, что вам нужно сделать, это умножить вероятность одного на вероятность другого.

Примеры

Пример 1: Шансы на повышение в этом году равны 1/4. Вероятность того, что вас проверит IRS, составляет примерно 1 к 118. Каковы шансы, что вы получите повышение и , что вас проверит IRS?

Решение :
Шаг 1: Перемножьте две вероятности вместе:
p(A и B) = p(A) * p(B) = 1/4 * 1/118 = 0,002.
Вот оно!

Пример 2 : Вероятность того, что сегодня пойдет дождь, составляет 40%; вероятность того, что вы пробьете одну лунку в гольфе, составляет 0,08%. Каковы ваши шансы на дождь и у тебя дырка в одном?

Решение :
Шаг 1: Умножьте вероятность A на вероятность B.
p(A и B) = p(A) * p(B) = 0,4 * 0,0008 = 0,00032.
Вот и все!

Формула вероятности A и B ( зависимых событий): p(A и B) = p(A) * p(B|A)

Формула немного сложнее, если ваши события являются зависимыми, то есть если вероятность одного события влияет на другое. Чтобы вычислить эти вероятности, вы должны найти p(B|A), то есть условную вероятность события.

Пример вопроса : У вас есть 52 кандидата в комитет. Четыре человека в возрасте от 18 до 21 года. Если вы случайно выберете одного человека, а затем (без замены имени первого человека) случайным образом выберете второго человека, какова вероятность того, что обоим людям будет от 18 до 21 года?

Решение :
Шаг 1: Вычислите вероятность того, что в первом розыгрыше будет выбран участник в возрасте от 18 до 21 года. Так как есть 52 возможности, и 4 из них в возрасте от 18 до 21 года, у вас есть шанс 4/52 = 1/13.

Шаг 2: Вычислите p(B|A), которое представляет собой вероятность следующего события (выбор второго человека в возрасте от 18 до 21 года) при условии, что первое событие на шаге 1 уже произошло .
Остался 51 человек, и только трое из них в возрасте от 18 до 21 года, поэтому вероятность снова выбрать молодого человека составляет 3/51 = 1/17. )) и шаг 2(p(B|A)) вместе:
p(A) * p(B|A) = 1/13 * 1/17 = 1/221.

Вероятность того, что вы выберете двух человек в возрасте от 18 до 21 года, составляет 1 из 221.

2. Какова вероятность A или B?

Вероятность A или B зависит от того, есть ли у вас взаимоисключающие события (которые не могут произойти одновременно) или нет.

Если два события A и B являются взаимоисключающими, события называются непересекающимися событиями. Вероятность того, что произойдут два непересекающихся события A или B, равна:

p(A или B) = p(A) + p(B).

Пример вопроса : Какова вероятность выбора одной карты из стандартной колоды и получения червовой дамы или червового туза? Поскольку вы не можете получить обе карты за один розыгрыш, сложите вероятности:
P(Дама червей или Туз червей) = p(Дама червей) + p(Туз червей) = 1/52 + 1/52 = 2/52.

Если события A и B не исключают друг друга, вероятность равна:

(A или B) = p(A) + p(B) – p(A и B).

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.