Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y x 2 1: «Найти площадь фигуры, ограниченной линиями. y=x^2+1, y=-x+3» – Яндекс.Кью

Содержание

Как найти площадь фигуры ограниченной линиями

Геометрический смысл определенного интеграла – площадь криволинейной трапеции. Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями, применяется одно из свойств интеграла, которое заключается в аддитивности площадей, интегрируемых на одном и том же отрезке функций.

По определению интеграла, он равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком заданной функции. Когда требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями, речь идет о кривых, заданных на графике двумя функциями f1(x) и f2(x).

Пусть на некотором интервале [a, b] заданы две функции, которые определены и непрерывны. Причем одна из функций графике расположена выше другой. Таким образом, образуется визуальная фигура, ограниченная линиями функций и прямыми x = a, x = b.

Тогда площадь фигуры можно выразить формулой, интегрирующей разность функций на интервале [a, b]. Вычисление интеграла производится по закону Ньютона-Лейбница, согласно которому результат равен разности первообразной функции от граничных значений интервала.

Пример1.
Найти площадь фигуры, ограниченной прямыми линиями y = -1/3·x – ½, x = 1, x = 4 и параболой y = -x² + 6·x – 5.

Решение.
Постройте графики всех линий. Вы можете увидеть, что линия параболы находится выше прямой y = -1/3·x – ½. Следовательно, под знаком интеграла в данном случае должна стоять разность между уравнением параболы и заданной прямой. Интервал интегрирования, соответственно, находится между точками x = 1 и x = 4:
S = ∫(-x² + 6·x – 5 – (-1/3·x – 1/2))dx = (-x² +19/3·x – 9/2)dx на отрезке [1, 4].

Найдите первообразную для полученного подынтегрального выражения:
F(-x² + 19/3x – 9/2) = -1/3x³ + 19/6x² – 9/2x.

Подставьте значения концов отрезка:
S = (-1/3·4³ + 19/6·4² – 9/2·4) – (-1/3·1³ + 19/6·1² – 9/2·1) = 13.

Пример2.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = √(x + 2), y = x и прямой x = 7.

Решение.
Эта задача является более сложной по сравнению с предыдущей, поскольку в ней нет второй прямой, параллельной оси абсцисс.2}{6}\) .


2012-12-05 • Просмотров [ 20719 ]

Вычислить площадь фигуры ПРИМЕРЫ

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 

.

Решение.

Находим точки пересечения заданных линий. Для этого решаем систему уравнений:

Для нахождения абсцисс точек пересечения заданных линий решаем уравнение:

    или    .

Находим: x1 = -2, x2 = 4.

Итак, данные линии, представляющие собой параболу и прямую, пересекаются в точках A(-2; 0), B(4; 6).

Эти линии образуют замкнутую фигуру, площадь которой вычисляем по указанной выше формуле:

По формуле Ньютона-Лейбница находим:

Найти площадь области, ограниченной эллипсом .

Решение.

Из уравнения эллипса для I квадранта имеем . Отсюда по формуле  получаем

Применим подстановку x = a sin tdx = a cos t dt. Новые пределы интегрирования t = α и t = β определяются из уравнений 0 = a sin ta = a sin t. Можно положить α = 0 и 

β = π/2.

Находим одну четвертую искомой площади

Отсюда S = πab.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x2 + x + 4 и y = -x + 1.

Решение.

Найдем точки пересечения линий y = -x2 + x + 4, y = -x + 1, приравнивая ординаты линий: -x2 + x + 4 = -x + 1 или x2 - 2x - 3 = 0. Находим корни x1 = -1, x2 = 3 и соответствующие им ординаты y1 = 2, y2 = -2.

По формуле площади фигуры получаем

Определить площадь, ограниченную параболой y = x2 + 1 и прямой x + y = 3.

Решение.

Решая систему уравнений

находим абсциссы точек пересечения x1 = -2 и x2 = 1.

Полагая y2 = 3 - x и y1 = x2 + 1, на основании формулы  получаем

Вычислить площадь, заключенную внутри лемнискаты Бернулли r2 = a2cos 2φ.

Решение.

В полярной системе координат площадь фигуры, ограниченной дугой кривой r = f(φ) и двумя полярными радиусами φ1 = ʅ и φ2 = ʆ, выразится интегралом

В силу симметрии кривой определяем сначала одну четвертую искомой площади

Следовательно, вся площадь равна S = a2.

Вычислить длину дуги астроиды x2/3 + y

2/3 = a2/3.

Решение.

Запишем уравнение астроиды в виде

(x1/3)2 + (y1/3)2 = (a1/3)2.

Положим x1/3 = a1/3cos ty1/3 = a1/3sin t.

Отсюда получаем параметрические уравнения астроиды

x = a cos3t,     y = a sin3t,     (*)

где 0 ≤ t ≤ 2π.

Ввиду симметрии кривой (*) достаточно найти одну четвертую часть длины дуги L, соответствующую изменению параметра t от 0 до π/2.

Получаем

dx = -3a cos2t sin t dt,     dy = 3a sin2t cos t dt.

Отсюда находим

Интегрируя полученное выражение в пределах от 0 до π/2, получаем

Отсюда L = 6a

.

Найти площадь, ограниченную спиралью Архимеда r =  и двумя радиусами-векторами, которые соответствуют полярным углам φ1и φ2 (φ1 < φ2).

Решение.

Площадь, ограниченная кривой r = f(φ) вычисляется по формуле , где α и β - пределы изменения полярного угла.

Таким образом, получаем

     (*)

Из (*) следует, что площадь, ограниченная полярной осью и первым витком спирали Архимеда (φ1 = 0; φ2 = 2π):

Аналогичным образом находим площадь, ограниченную полярной осью и вторым витком спирали Архимеда (φ1 = 2πφ2 = 4π):

Искомая площадь равна разности этих площадей

Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси

 Ox фигуры, ограниченной параболами y = x2 и x = y2.

Решение.

Решим систему уравнений

и получим x1 = 0, x2 = 1, y1 = 0, y2 = 1, откуда точки пересечения кривых O(0; 0), B(1; 1). Как видно на рисунке, искомый объем тела вращения равен разности двух объемов, образованных вращением вокруг оси Ox криволинейных трапеций OCBA и ODBA:

Вычислить площадь, ограниченную осью Ox и синусоидой y = sin x на отрезках: а) [0, π]; б) [0, 2π].

Решение.

а) На отрезке [0, π] функция sin x сохраняет знак, и поэтому по формуле , полагая y = sin 

x, находим

б) На отрезке [0, 2π], функция sin x меняет знак. Для корректного решения задачи, необходимо отрезок [0, 2π] разделить на два [0, π] и [π, 2π], в каждом из которых функция сохраняет знак.

По правилу знаков, на отрезке [π, 2π] площадь берется со знаком минус.

В итоге, искомая площадь равна

Определить объем тела, ограниченного поверхностью, полученной от вращения эллипса  вокруг большой оси a.

Решение.

Учитывая, что эллипс симметричен относительно осей координат, то достаточно найти объем, образованный вращением вокруг оси Oxплощади OAB, равной одной четверти площади эллипса, и полученный результат удвоить.

Обозначим объем тела вращения через Vx; тогда на основании формулы  имеем , где 0 и a - абсциссы точек B и A. Из уравнения эллипса находим . Отсюда

Таким образом, искомый объем равен . (При вращении эллипса вокруг малой оси 

b, объем тела равен )

Найти площадь, ограниченную параболами y2 = 2px и x2 = 2py.

Решение.

Сначала найдем координаты точек пересечения парабол, чтобы определить отрезок интегрирования. Преобразуя исходные уравнения, получаем  и . Приравнивая эти значения, получим  или x4 - 8p3x = 0.

Отсюда

x4 - 8p3x = x(x3 - 8p3) = x(x - 2p)(x2 + 2px + 4p2) = 0.

Находим корни уравнений:

Учитывая то факт, что точка A пересечения парабол находится в первой четверти, то пределы интегрирования x = 0 и x = 2p.

Искомую площадь находим по формуле

Урок алгебры в 11-м классе на тему: "Вычисление площадей фигур"

Цели урока:

1) Повторить, закрепить и расширить знания по заданной теме.

2) Уметь самостоятельно применять полученные знания по теме к решению задач.

3) Уметь рационально решать задачи.

4) Творчески подходить к решению конкретной задачи.

1. Повторение теоретического материала

Фронтальный опрос (по таблице “Площади фигур”)

Вопрос: Как найти площади изображенных фигур?

Ответ:

2. Разминка (на 3 мин., в тетрадях только решение)

Задача. Найти площади изображенных фигур. Ответы с комментариями.

3. Программированный контроль

Задания

Ответы

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

 
     

I вариант

II вариант

1

2

3

4

y=x2+2, y=x+2

y=-x2+4, y=-x+4

7

1/6

2/3

1/3

y=sin2x,y=0

x=0, x=/4

y=cos2x, y=0

x=-/4, x=/4

2

-1

1/2

1

y=-2/х, y=2

x=-4, x=-1

y=-1/х, y=1

x=-3, x=-1

6-4ln2

2-ln3

2ln2

2-3ln2

Верные ответы: I вариант: 2,3,1 II вариант: 2,4,2

4. Решение задач на закрепление (с проверкой у доски)

1) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

2) Фигура, ограниченная линиями y=x+6, x=1, y=0 делится параболой y=x2+2x+4 на две части. Найти площадь каждой части.

3) Найти ту первообразную F(x) функции f(x)=2x+4, график которой касается прямой у=6х+3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком найденной первообразной и прямыми у=6х+3 и у=0.

4) Составить формулы для нахождения площадей фигур, изображенных на таблице:

Ответы с комментариями:

5) Интересная задача. Найти сумму площадей бесконечного количества фигур, заштрихованных на рисунках:

(Аргумент каждой следующей функции увеличивается в 2 раза)

Указания к решению: sin nx=0 ; x=/n;

где n=1,2,4,8,16…;

S=2+1+1/2+1/4+1/8+…=2/(1-1/2)=4

Ответ: 4.

5. Задачи с индивидуальным подходом

Задачи, которые прокомментируют сейчас ученики, имеют индивидуальный подход. Поэтому, прежде чем приступить к их решению, надо проанализировать заданную ситуацию. Решения этих задач в тетрадях не пишутся, дома же вы их решите, по возможности, несколькими способами.

1) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=x2-4x+8 и y=3x2-x3, если х[-2;3]

Решение:

  • Если не рисовать графиков данных функций, то надо узнать имеют ли эти графики общие точки на (-2;3).Для этого надо решить уравнение:

3x2-x3= x2-4x+8. Итак, х=2 и х=-2. 2(-2;3).

Не зная, график какой из функций находится выше другого на (-2;2) и (2;3], площадь фигуры находится так

 

  • Если же нарисовать графики данных функций (что очень не сложно), то замечаем, что всюду на [-2;3] выполняется неравенство: х2-4x+83х23
  • Сравнивая формулы, полученные для вычисления площади S, видим, что в данном примере значительно легче искать площадь после того, как нарисованы графики функций. А можно ли всё-таки решить задачу, не делая рисунка? Найдите ещё один способ решения! Но есть задачи, в которых построение графиков затруднено.

2) Найти площадь фигуры, ограниченную линиями: y=x2-4x+sin2x/2 и y=-3-cos2x/2, если х[2;3].

Решение:

Так как графики данных функций построить трудно, то можно выяснить соотношение между функциями, не используя графиков. Исследуем разность данных функций:

x2-4x+sin2x/2-(-3-cos2x/2)=x2-4x+4=(х-2)2 0

Следовательно, x2-4x+sin2x/2>-3-cos2x/2 на [2;3], а, значит, график первой функции лежит выше графика второй функции и

3) Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями:y=x2 при x0, y=1, y=4, x=0

Решение:

Данная фигура симметрична криволинейной трапеции, ограниченной прямыми х=1, х=4, у=0, графиком функции , обратной у=х2, x0. Поэтому эти фигуры имеют равные площади и .

А всегда ли рационально использовать интеграл при нахождении площади фигуры?

4) Найти площадь фигуры, ограниченной прямыми у=3х+1, у=9-х, у=х+1.

Решение:

Вершины полученного ABC имеют координаты: А(0;1), В(2;7), С(4;5).

Можно заметить, что ABC - прямоугольный (произведение угловых коэффициентов прямых у=х+и у=9-х равно -1). Поэтому применение интеграла для вычисления S(ABC) не рационально. Её всегда можно найти как разность площадей треугольников, у которых известны высота и основание или же можно использовать координатный метод.

6. Домашнее задание

Найти площади фигур, ограниченных линиями (1-7)

  1. у=х2 (х0), у=1, у=4, х=0
  2. у=х2-4х+8, 3х23, если если х[-2;3]
  3. у=х2-4х+sin2(x/2), y=-3-cos2(x/2), если х[2;3]
  4. у=3х+1, у=9-х, у=х+1
  5. у=|x-2|,
  6. x|y|=2;x=1;x=3
  7. y= arcsin x; у=0; x=0,5; x=1
  8. При каком значении а прямая х=а делит площадь фигуры, ограниченной линиями у=2/х; х=1; х=3 в отношении 1:3?
  9. Вычислить   исходя из его геометрического смысла.

Составить карточку (можно несколько) для зачета, в которой должны быть:

  1. Теоретический вопрос: (определение, свойств без доказательства)
  2. Теоретический вопрос: (с доказательством)
  3. Пример на вычисление неопределенного интеграла (одним из методов)
  4. Пример на вычисление определённого интеграла.
  5. Пример на нахождение первообразной сложной функции.
  6. Пример на нахождение площади фигуры.

7. Итог урока

Вычисление площадей плоских фигур с помощью интеграла

На этом уроке будем учиться вычислять площади плоских фигур, которые называются криволинейными трапециями.

Примеры таких фигур - на рисунке ниже.

С одной стороны, найти площадь плоской фигуры с помощью определённого интеграла предельно просто. Речь идёт о площади фигуры, которую сверху ограничивает некоторая кривая, снизу - ось абсцисс (Ox), а слева и справа - некоторые прямые. Простота в том, что определённый интеграл функции, которой задана кривая, и есть площадь такой фигуры (криволинейной трапеции).

Но здесь нас подстерегают некоторые важные нюансы, без понимания которых не решить большинство задач на это практическое приложение определённого интеграла. Учтём эти нюансы и будем во всеоружии.

Для вычисления площади фигуры нам понадобятся:

  1. Определённый интеграл от функции, задающей кривую, которая ограничивает криволинейную трапецию сверху. И здесь возникает первый существенный нюанс: криволинейная трапеция может быть ограничена кривой не только сверху, но и снизу. Как действовать в этом случае? Просто, но это важно запомнить: интеграл в этом случае берётся со знаком минус.
  2. Пределы интегрирования a и b, которые находим из уравнений прямых, ограничивающих фигуру слева и справа: x = a, x = b, где a и b - числа.

Отдельно ещё о некоторых нюансах.

Кривая, которая ограничивает криволинейную трапецию сверху (или снизу) должна быть графиком непрерывной и неотрицательной функции y = f(x).

Значения "икса" должны принадлежать отрезку [ab]. То есть не учитываются такие, например, линии, как разрез гриба, у которого ножка вполне вписывается в этот отрезок, а шляпка намного шире.

Боковые отрезки могут вырождаться в точки. Если вы увидели такую фигуру на чертеже, это не должно вас смущать, так как эта точка всегда имеет своё значение на оси "иксов". А значит с пределами интегрирования всё в порядке.

Теперь можно переходить к формулам и вычислениям. Итак, площадь s криволинейной трапеции может быть вычислена по формуле

 (1).

Если же f(x) ≤ 0 (график функции расположен ниже оси Ox), то площадь криволинейной трапеции может быть вычислена по формуле

. (2)

Есть ещё случаи, когда и верхняя, и нижняя границы фигуры - функции, соответственно y = f(x) и y = φ(x), то площадь такой фигуры вычисляется по формуле

. (3)

Начнём со случаев, когда площадь фигуры может быть вычислена по формуле (1).

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции , осью абсцисс (Ox) и прямыми x = 1, x = 3.

Решение. Так как y = 1/x > 0 на отрезке [1; 3], то площадь криволинейной трапеции находим по формуле (1):

.

Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции , осью абсцисс (Ox) и прямой x = 4.

Решение. Фигура, соответствующая условию задачи - криволинейная трапеция, у которой левый отрезок выродился в точку. Пределами интегрирования служат 0 и 4. Поскольку , по формуле (1) находим площадь криволинейной трапеции:

.

Пример 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , , и находящейся в 1-й четверти.

Решение. Чтобы воспользоваться формулой (1), представим площадь фигуры, заданной условиями примера, в виде суммы площадей треугольника OAB и криволинейной трапеции ABC. При вычислении площади треугольника OAB пределами интегрирования служат абсциссы точек O и A, а для фигуры ABC - абсциссы точек A и C (A является точкой пересечения прямой OA и параболы, а C - точкой пересечения параболы с осью Ox). Решая совместно (как систему) уравнения прямой и параболы, получим (абсциссу точки A) и (абсциссу другой точки пересечения прямой и параболы, которая для решения не нужна). Аналогично получим , (абсциссы точек C и D). Теперь у нас еть всё для нахождения площади фигуры. Находим:

Пример 5. Найти площадь криволинейной трапеции ACDB, если уравнение кривой CD и абсциссы A и B соответственно 1 и 2.

Решение. Выразим данное уравнение кривой через игрек: Площадь криволинейной трапеции находим по формуле (1):

.

Переходим к случаям, когда площадь фигуры может быть вычислена по формуле (2).

Пример 7. Найти площадь, заключённую между осью абсцисс (Ox) и двумя соседними волнами синусоиды.

Решение. Площадь данной фигуры можем найти по формуле (2):

.

Найдём отдельно каждое слагаемое:

.

.

Окончательно находим площадь:

.

Пример 8. Найти площадь фигуры, заключённой между параболой и кривой .

Решение. Выразим уравнения линий через игрек:

Площадь по формуле (2) получим как

,

где a и b - абсциссы точек A и B. Найдём их, решая совместно уравнения:

Отсюда

Окончательно находим площадь:

И, наконец, случаи, когда площадь фигуры может быть вычислена по формуле (3).

Начало темы "Интеграл"

Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x), x=g(y)

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена кривыми y=x3, y=-log2x+1 и осью абсцисс.

Решение

Нанесем все линии на график. Мы можем получить график функции y=-log2x+1 из графика y=log2x, если расположим его симметрично относительно оси абсцисс и поднимем на одну единицу вверх. Уравнение оси абсцисс у=0.

Обозначим точки пересечения линий.

Как видно из рисунка, графики функций y=x3 и y=0 пересекаются в точке (0;0). Так получается потому, что х=0 является единственным действительным корнем уравнения x3=0.

x=2 является единственным корнем уравнения -log2x+1=0, поэтому графики функций y=-log2x+1  и y=0 пересекаются в точке (2;0).

x=1 является единственным корнем уравнения x3=-log2x+1. В связи с этим графики функций y=x3 и y=-log2x+1 пересекаются в точке (1;1). Последнее утверждение может быть неочевидным, но уравнение x3=-log2x+1 не может иметь более одного корня, так как функция y=x3 является строго возрастающей, а функция y=-log2x+1 строго убывающей.

Дальнейшее решение предполагает несколько вариантов.

Вариант №1

Фигуру G мы можем представить как сумму двух криволинейных трапеций, расположенных выше оси абсцисс, первая из которых располагается ниже средней линии на отрезке x∈0; 1, а вторая ниже красной линии на отрезке x∈1;2. Это значит, что площадь будет равна S(G)=∫01x3dx+∫12(-log2x+1)dx.

Вариант №2

Фигуру G можно представить как разность двух фигур, первая из которых расположена выше оси абсцисс и ниже синей линии на отрезке x∈0; 2, а вторая между красной и синей линиями на отрезке x∈1; 2. Это позволяет нам найти площадь следующим образом:

S(G)=∫02x3dx-∫12x3-(-log2x+1)dx

В этом случае для нахождения площади придется использовать формулу вида S(G)=∫cd(g2(y)-g1(y))dy.  Фактически, линии, которые ограничивают фигуру, можно представить в виде функций от аргумента y.

Разрешим уравнения y=x3 и -log2x+1 относительно x: 

y=x3⇒x=y3y=-log2x+1⇒log2x=1-y⇒x=21-y

Получим искомую площадь:

S(G)=∫01(21-y-y3)dy=-21-yln 2-y4401==-21-1ln 2-144--21-0ln 2-044=-1ln 2-14+2ln 2=1ln 2-14

Ответ: S(G)=1ln 2-14

100 ballov.kz образовательный портал для подготовки к ЕНТ и КТА

Код и классификация направлений подготовки Код группы образовательной программы Наименование групп образовательных программ Количество мест
8D01 Педагогические науки   
8D011 Педагогика и психология D001 Педагогика и психология 45
8D012 Педагогика дошкольного воспитания и обучения D002 Дошкольное обучение и воспитание 5
8D013 Подготовка педагогов без предметной специализации D003 Подготовка педагогов без предметной специализации 22
8D014 Подготовка педагогов с предметной специализацией общего развития D005 Подготовка педагогов физической культуры 7
8D015 Подготовка педагогов по естественнонаучным предметам D010 Подготовка педагогов математики 30
D011 Подготовка педагогов физики (казахский, русский, английский языки) 23
D012 Подготовка педагогов информатики (казахский, русский, английский языки) 35
D013 Подготовка педагогов химии (казахский, русский, английский языки) 22
D014 Подготовка педагогов биологии (казахский, русский, английский языки) 18
D015 Подготовка педагогов географии 18
8D016 Подготовка педагогов по гуманитарным предметам D016 Подготовка педагогов истории 17
8D017 Подготовка педагогов по языкам и литературе D017 Подготовка педагогов казахского языка и литературы 37
D018 Подготовка педагогов русского языка и литературы 24
D019 Подготовка педагогов иностранного языка 37
8D018 Подготовка специалистов по социальной педагогике и самопознанию D020 Подготовка кадров по социальной педагогике и самопознанию 10
8D019 Cпециальная педагогика D021 Cпециальная педагогика 20
    Всего 370
8D02 Искусство и гуманитарные науки   
8D022 Гуманитарные науки D050 Философия и этика 20
D051 Религия и теология 11
D052 Исламоведение 6
D053 История и археология 33
D054 Тюркология 7
D055 Востоковедение 10
8D023 Языки и литература D056 Переводческое дело, синхронный перевод 16
D057 Лингвистика 15
D058 Литература 26
D059 Иностранная филология 19
D060 Филология 42
    Всего 205
8D03 Социальные науки, журналистика и информация   
8D031 Социальные науки D061 Социология 20
D062 Культурология 12
D063 Политология и конфликтология 25
D064 Международные отношения 13
D065 Регионоведение 16
D066 Психология 17
8D032 Журналистика и информация D067 Журналистика и репортерское дело 12
D069 Библиотечное дело, обработка информации и архивное дело 3
    Всего 118
8D04 Бизнес, управление и право   
8D041 Бизнес и управление D070 Экономика 39
D071 Государственное и местное управление 28
D072 Менеджмент и управление 12
D073 Аудит и налогообложение 8
D074 Финансы, банковское и страховое дело 21
D075 Маркетинг и реклама 7
8D042 Право D078 Право 30
    Всего 145
8D05 Естественные науки, математика и статистика      
8D051 Биологические и смежные науки D080 Биология 40
D081 Генетика 4
D082 Биотехнология 19
D083 Геоботаника 10
8D052 Окружающая среда D084 География 10
D085 Гидрология 8
D086 Метеорология 5
D087 Технология охраны окружающей среды 15
D088 Гидрогеология и инженерная геология 7
8D053 Физические и химические науки D089 Химия 50
D090 Физика 70
8D054 Математика и статистика D092 Математика и статистика 50
D093 Механика 4
    Всего 292
8D06 Информационно-коммуникационные технологии   
8D061 Информационно-коммуникационные технологии D094 Информационные технологии 80
8D062 Телекоммуникации D096 Коммуникации и коммуникационные технологии 14
8D063 Информационная безопасность D095 Информационная безопасность 26
    Всего 120
8D07 Инженерные, обрабатывающие и строительные отрасли   
8D071 Инженерия и инженерное дело D097 Химическая инженерия и процессы 46
D098 Теплоэнергетика 22
D099 Энергетика и электротехника 28
D100 Автоматизация и управление 32
D101 Материаловедение и технология новых материалов 10
D102 Робототехника и мехатроника 13
D103 Механика и металлообработка 35
D104 Транспорт, транспортная техника и технологии 18
D105 Авиационная техника и технологии 3
D107 Космическая инженерия 6
D108 Наноматериалы и нанотехнологии 21
D109 Нефтяная и рудная геофизика 6
8D072 Производственные и обрабатывающие отрасли D111 Производство продуктов питания 20
D114 Текстиль: одежда, обувь и кожаные изделия 9
D115 Нефтяная инженерия 15
D116 Горная инженерия 19
D117 Металлургическая инженерия 20
D119 Технология фармацевтического производства 13
D121 Геология 24
8D073 Архитектура и строительство D122 Архитектура 15
D123 Геодезия 16
D124 Строительство 12
D125 Производство строительных материалов, изделий и конструкций 13
D128 Землеустройство 14
8D074 Водное хозяйство D129 Гидротехническое строительство 5
8D075 Стандартизация, сертификация и метрология (по отраслям) D130 Стандартизация, сертификация и метрология (по отраслям) 11
    Всего 446
8D08 Сельское хозяйство и биоресурсы   
8D081 Агрономия D131 Растениеводство 22
8D082 Животноводство D132 Животноводство 12
8D083 Лесное хозяйство D133 Лесное хозяйство 6
8D084 Рыбное хозяйство D134 Рыбное хозяйство 4
8D087 Агроинженерия D135 Энергообеспечение сельского хозяйства 5
D136 Автотранспортные средства 3
8D086 Водные ресурсы и водопользование D137 Водные ресурсы и водопользования 11
    Всего 63
8D09 Ветеринария   
8D091 Ветеринария D138 Ветеринария 21
    Всего 21
8D11 Услуги   
8D111 Сфера обслуживания D143 Туризм 11
8D112 Гигиена и охрана труда на производстве D146 Санитарно-профилактические мероприятия 5
8D113 Транспортные услуги D147 Транспортные услуги 5
D148 Логистика (по отраслям) 4
8D114 Социальное обеспечение D142 Социальная работа 10
    Всего 35
    Итого 1815
    АОО "Назарбаев Университет" 65
    Стипендиальная программа на обучение иностранных граждан, в том числе лиц казахской национальности, не являющихся гражданами Республики Казахстан 10
    Всего 1890

Область между двумя функциями | Суперпроф

В этой статье мы обсудим, как вычислить площадь между двумя функциями. Мы специально сконцентрируемся на том, как вычислить площадь между кривой и прямой линией и площадь между двумя кривыми.

Область между двумя функциями

Область между двумя функциями равна площади функции, расположенной выше, за вычетом области функции, расположенной ниже. Математически мы можем обозначить эту область следующим образом:

Лучшие преподаватели математики

Первый урок бесплатно

Область между кривой и прямой

Теперь давайте разберемся, как вычислить площадь между кривой и прямой. прямая линия через следующие примеры

Пример 1

Найдите площадь пространства, ограниченного параболой

и прямой линией, проходящей через точки A (−1, 0) и B (1, 4).

Решение

Шаг 1. Найдите уравнение прямой линии

На этом этапе мы вычислим уравнение прямой, проходящей через две точки A и B. Для этого сначала мы должны вычислить наклон прямой, проходящей через точки A (-1, 0) и B (1, 4). Для расчета наклона мы будем использовать следующую формулу:

Подставьте значения точек A и B в приведенную выше формулу:

Теперь подставьте этот наклон в уравнение точки пересечения ниже:

Следовательно, уравнение прямой имеет вид y = 2x + 2.

Шаг 2 - Нарисуйте график

На этом шаге мы нарисуем график функции

и линию следующим образом:

Шаг 3 - Вычислите границы

Точки пересечения линии параболы будут границами или пределами функции. Как видно из приведенного выше графика, линия пересекает параболу в точках

и. Следовательно, это пределы функции.

Шаг 4 - Вычислить определенный интеграл

Чтобы вычислить определенный интеграл, сначала используйте информацию из предыдущих шагов, чтобы записать функции в следующей форме:

Перепишите функцию

, используя правило суммы / разности определенных интегралов, например:

Чтобы вычислить определенный интеграл, мы сначала найдем первообразную функции.Первообразная функции -

. Теперь используйте основную теорему исчисления:

Замените 2 и 0 в первообразной функции следующим образом:

Пример 2

Вычислите площадь фигуры ограниченный функцией

и линиями y = x, при x = 0 и x = 2.

Решение

Шаг 1 - Нарисуйте график

В этом примере нам уже дано уравнение линии y = Икс.Следовательно, нам не нужно его рассчитывать. Мы просто начнем с наброска графика функций

и.

На приведенном выше графике вы можете видеть, что от x = 0 до x = 1 прямая линия проходит над параболой, а от x = 1 до x = 2 прямая линия проходит под параболой. Следовательно, мы будем вычислять площади, используя эти пределы выше и ниже параболы отдельно.

Шаг 2 - Вычислите границы

Границы или пределы графика уже указаны в этом примере, они равны 0 и 1.

Шаг 3 - Вычисление определенного интеграла

Чтобы вычислить определенный интеграл, сначала воспользуйтесь информацией из предыдущих шагов, чтобы записать функции в следующей форме:

Область, где прямая линия находится над параболой:

Найдите первообразную функции. Первообразная функции -

Используйте основную теорему исчисления:

Замените 1 и 0 в первообразной функции следующим образом:

Область, где прямая линия находится под параболой:

Найдите первообразную функции.3} {3} -

В следующем разделе мы увидим, как вычислить площадь между двумя кривыми по их уравнениям.

Площадь между двумя кривыми

Следующие примеры позволят вам понять, как рассчитать площадь между двумя кривыми.

Пример 1

Найдите область, ограниченную графиками функций

и

Решение

Шаг 1 - Нарисуйте график

Шаг 2 - Найдите границы

Чтобы определить, где расположены графики двух кривых пересекаются друг с другом, приравняем уравнения двух кривых:

или

Следовательно, границы равны

и 0.

Шаг 3 - Вычисление определенного интеграла

Чтобы вычислить определенный интеграл, сначала используйте информацию из предыдущих шагов, чтобы записать функции в следующей форме:

Найдите первообразную функции . Первообразная функции -

. Используйте основную теорему исчисления:

. Подстановка

и 0 в первообразную функции даст нам следующее значение площади:

Пример 2

Найдите площадь между двумя кривые

и.

Решение

Выполните следующие действия, чтобы рассчитать площадь.

Шаг 1 - Нарисуйте график

График двух кривых приведен ниже:

Шаг 2 - Найдите границы

Вычислите границы функции по уравнению и следующим уравнениям:

или

Следовательно, границы функции равны 0 и 2.

Шаг 3 - Вычислить определенный интеграл

Чтобы вычислить определенный интеграл, сначала используйте информацию из предыдущих шагов для записи функции в следующем виде:

Найдите первообразную функции.Первообразная функции -

Используйте основную теорему исчисления:

Замените 2 и 0 в первообразной функции:

1.1: Площадь между двумя кривыми

  1. Последнее обновление
  2. Сохранить как PDF
  1. Площадь, ограниченная двумя функциями от \ (y \)
  2. Приложение
  3. Участники и атрибуты

Напомним, что площадь под кривой и над осью x может быть вычислена с помощью определенного интеграла.1 \\ & = \ big (- \ dfrac {3} {4} + \ dfrac {3} {2} \ big) - \ big (\ dfrac {3} {4} - \ dfrac {3} {2} \ big) \\ & = \ dfrac {3} {2} \ end {align *}. \]

Приложение

Пусть \ (y = f (x) \) будет функцией спроса на продукт, а \ (y = g (x) \) будет функцией предложения. Затем мы определяем точку равновесия как пересечение двух кривых. Излишек потребителя определяется площадью выше равновесного значения и ниже кривой спроса, в то время как излишек производителя определяется площадью ниже равновесного значения и выше кривой предложения.х \) и \ (у = 2х +1 \).

Авторы и авторство

MathScene - Интеграция - Урок 3

MathScene - Интеграция - Урок 3
2010 Rasmus ehf и Джанн Сак

Интеграция

Урок 3

.

Области между графиками функции


Области, ограниченные графиками функций, можно найти интегрированием.Для Например, мы найдем площадь, ограниченную двумя графиками f (x) = x 2 + 5x 3 и y = x.
Это площадь, показанная в калькуляторе:

Начнем с найти точки пересечения двух графиков, чтобы дать нам границы площади:

х 2 + 5х 3 = х

х 2 + 4х 3 = 0 Упрощать.

(x 2 4x + 3) = 0 Взять 1 из кронштейна.

(x 1) (x 3) = 0 Факторизация .

(x 2 4x + 3) = 0

(х 1) (х 3) = 0

Точки пересечения - x = 1 и x = 3.Они лежат на прямой y = x, поэтому координаты y такие же, как координаты x, то есть (1, 1) и (3, 3).

Нам нужно только используйте координаты x для вычисления площади между каждой кривой и осью x.

Интеграл дает площадь между осью x и функцией f (x) = x 2 + 5x 3 на интервале от 1 до 3.

Это заштрихованная область графика ниже

Таким же образом это область между y = x и x - на том же интервале.Снова график показывает площадь найденный.

Если мы сложим эти два графика вместе, мы увидим, что область, которую мы хотим найти, - это разница между двумя выше.

Итак, мы просто нужно взять разницу между двумя интегралами, чтобы найти площадь, которую мы требовать.


Упростите перед интеграцией

Теперь посмотрим если этот метод работает, если мы сдвинем оба графика вниз на две единицы так, чтобы требуемая область находится как выше, так и ниже оси x.

Новое уравнение параболы будет f (x) = x 2 + 5x 3 2 = x 2 + 5x 5 и прямой y = x 2. На диаграмме показана новая ситуация.

Точки пересечения остаются такими же, поскольку мы добавили 2 к обеим сторонам уравнение. Ниже приведены расчеты, если вы не уверены!

х 2 + 5х 5 = х 2

х 2 + 4х 3 = 0 Упростим .

2 4x + 3) = 0

(x 1) (x 3) = 0 Факторизация.

Снова решения x = 1 и x = 3. Интегрируя таким же образом, вы видите, что 2 снова упрощается, поэтому мы получаем тот же результат, что и раньше.

Это означает что при расчете площади между кривыми нам не нужно беспокоиться о независимо от того, находится ли область выше или ниже оси x, метод всегда один и тот же.

Площадь ограниченный сверху графиком f (x) а ниже по графику g (x) это:

Границы х = а и х = b являются решениями уравнения

е (х) = г (х)

Пример 1

Найдите площадь между параболами f (x) = x 2 4 и прямая y = x 2.

Начнем с решение уравнения x 2 4 = x 2 найти область границы

х 2 4 = х 2

х 2 4 х + 2 = 0

х 2 х 2 = 0

(х + 1) (х 2) = 0

Решения x = 1 и x = 2.

Хорошая идея - посмотреть на график и область, вовлеченную в калькулятор.

Мы видим, что линия ограничивает область выше, поэтому мы вычитаем интеграл от парабола от линии.

Пример 2

Найдите площадь, заключенную между графиками f (x) = sin x и g (x) = cos x на интервале 0 ≤ x <2p
Калькулятор показывает нам область, которую мы собираемся найти.

Снова мы должны начните с поиска точек пересечения двух графиков.

Решение уравнения грех х = соз х.

грех х / соз х = 1 Разделить на cos x

загар х = 1

х = загар 1 1 = / 4 + п

Это означает что x = / 4 и х = 5/4 на интервале 0 ≤ x <2

График f (x) = sin x лежит над графиком g (x) = cos x на всех интервал между точками пересечения, поэтому расчет площади выполняется как следует:

Сейчас потому что / 4 = грех / 4 знак равно и cos 5/4 = грех 5/4 знак равно

Таким образом, точная стоимость площади составляет

.

Пример 3

Найдите площадь, ограниченную графиками прямой y = 3x + 1 и многочлен f (x) = ⅓ x 3 2x 2 + 3x + 1.

Сначала граф нарисован с помощью калькулятора. Следующие значения окна должны работать

Вот график:

Теперь вычислите точки пересечения.

⅓ x 3 2x 2 + 3x + 1 = 3x + 1

⅓ x 3 2x 2 = 0

х 2 (⅓ х 2) = 0

Решения x = 0 и x = 6 необходимых нам границ. Линия верхняя функция.

Вы можете проверить свой ответ в калькуляторе (с помощью RUN, OPTN, F4 и F4).


Практика затем эти методы проходят тест 3 на интеграцию.

Запомните контрольный список !!

Репетиторов College Park - Блог - Calculus

Здравствуйте, ребята, Алекс здесь! Я подумал, что начну этот блог правильно, с одной из самых популярных (и головокружительных) задач, которые бросают моим студентам-математикам.Проблема выглядит примерно так:

Найдите площадь области, заключенную между линиями \ (y = 2x \), \ (y = 3x \) и \ (y = 2 \). Вы должны использовать исчисление, иначе вы не получите никаких кредитов!

Ух ты. Сильные слова от парня с зачетной книжкой. Хорошо, надеюсь, вы уже видели проблемы, которые запрашивают область между двумя функциями . Если нет, достаньте учебник;). Задачи с двумя функциональными областями решаются путем интеграции разницы между функциями «сверху» и «снизу», например:

Но подождите минутку! Наша проблема заключается в том, чтобы дать нам ТРИ функции, а не две.Как, во имя Бибера, мы можем применить приведенную выше формулу к области, заключенной между тремя функциями?

Расскажу как. Мы собираемся найти способ, как разложить , или разбить эту сложную проблему на несколько более мелких и простых задач. Кстати, умение разбирать проблемы - это причина, по которой вы должны заниматься расчетом по своей специальности - даже если вы никогда больше не увидите другого интеграла за всю свою жизнь. Исчисление - отличный способ научиться более общим навыкам решения проблем, математике или другим предметам.

Хорошо, вернемся к нашей проблеме. Я повторю это здесь, так как я довольно много бродил с тех пор, как впервые заявил об этом:

Найдите площадь области, заключенную между линиями \ (y = 2x \), \ (y = 3x \) и \ (y = 2 \). Вы должны использовать исчисление, иначе вы не получите никаких кредитов!

Во-первых, я хочу, чтобы вы изобразили линии на одних и тех же осях. Я также хочу, чтобы вы пометили линии соответствующими уравнениями. Попробуйте сделать это самостоятельно, прежде чем смотреть на мой график. СОВЕТ: вы можете построить график любой линии, выбрав два разных значения \ (x \), подставив их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения \ (y \), нанеся эти две точки и проведя через них прямую линию. .

Глядя на это изображение, неясно, какая функция является «верхней», а какая «нижней» функцией. Ну, строка \ (y = 2 \) выглядит как верхняя функция, а \ (y = 2x \) выглядит как нижняя функция, но как насчет \ (y = 3x \)? Это сверху, снизу или где-то еще?

Ответ состоит в том, что \ (y = 3x \) также находится наверху. Иногда бывает. На самом деле, это зависит от того, на какую часть треугольника мы смотрим. Если мы разрежем эту область в точке пересечения \ (y = 3x \) и \ (y = 2 \), то часть, которая находится слева от разреза, будет ограничена сверху \ (y = 3x \).Часть справа от разреза ограничена сверху \ (y = 2 \). Позвольте мне показать вам, что я имею в виду:

Я нарисовал пунктирную линию, чтобы показать, где я вырезал область. Если вы посмотрите на каждую деталь по отдельности, вы увидите, что теперь каждая из них имеет различные функции «вверху» и «внизу». Это горячо. Теперь нам просто нужно использовать формулу, чтобы найти площадь каждой части, а затем сложить их вместе, чтобы получить окончательный ответ.

Хорошо, значит, кусок слева от пунктирной линии ограничен сверху \ (y = 3x \), а снизу - \ (y = 2x \).Это дает нам этот интеграл:

Фрагмент справа от пунктирной линии ограничен сверху \ (y = 2 \), а снизу - \ (y = 2x \). Это дает нам интеграл:

Отлично! Мы готовы к интеграции, верно? Держи это, партнер. Формула площади требует определенного интеграла , а это означает, что нам нужны пределы интегрирования (также известные как «границы»). Что ж, помните, что наши границы - это просто значения \ (x \), которые говорят нам, где область начинается и заканчивается.Чтобы найти их, давайте еще раз посмотрим на график:

Если посмотреть вдоль оси x, левая часть начинается с 0 и заканчивается пунктирной линией. Вы можете спросить, каково значение x у пунктирной линии? Обратите внимание, что он проходит через точку пересечения \ (y = 3x \) и \ (y = 2 \). Чтобы найти значение x этой точки, мы просто устанавливаем эти два уравнения равными друг другу, например:

Правая часть начинается с пунктирной линии (которая, как мы только что обнаружили, находится в \ (x = \ frac {2} {3} \), и заканчивается на 1.Почему 1? Потому что это место, где пересекаются верхняя и нижняя функции, тем самым закрывая область. Мы можем показать это математически, установив уравнения верхней и нижней функций равными друг другу:

Хорошо, теперь у нас есть границы (от 0 до \ (\ frac {2} {3} \) для левой области и от \ (\ frac {2} {3} \) до 1 для правой области), мы готовы установить и решить наши определенные интегралы. Для левой части получаем:

Для правой части получаем:

Чтобы получить площадь всего региона, мы просто складываем площади отдельных частей:

Вот и все.Не так уж и плохо, правда? Как я уже говорил ранее, эта проблема - отличный пример того, почему мы заставляем студентов, изучающих бизнес и биологию, изучать математический анализ. Конечно, вам, вероятно, никогда не придется искать область ограниченного региона, когда вы обедаете с Гордоном Гекко или лечите рак, но он учит, как решать сложные проблемы, разбивая их на более простые части. И каждый рано или поздно сталкивается с трудной проблемой в жизни.

Найдите площадь фигуры, ограниченную кривыми Y = | X - 1 | и Y = 3 - | X |,- Математика


У нас есть,
\ [y = \ left | x - 1 \ right | \]
\ [\ Rightarrow y = \ begin {cases} x - 1 & \ text {for} x \ geq 1 \\ 1 - x & \ text {for} x <1 \ end {case} } \]
y = x - 1 - прямая линия, проходящая через A (1, 0)
y = 1 - x - прямая линия, проходящая через A (1, 0) и пересекающая ось y в точке B (0, 1)
\ [y = 3 - \ left | x \ right | \]
\ [\ Rightarrow y = \ begin {cases} 3 - x & \ text {for} x \ geq o \\ 3 - \ left (- x \ right) = 3 + x & \ text {для } x <0 \ end {cases} \]
y = 3 - x - прямая линия, проходящая через C (0, 3), а D (3, 0)
y = 3 + x - прямая линия, проходящая через C (0 , 3) и D '(- 3, 0)
Точка пересечения получается путем решения системных уравнений

\ [y = x - 1 \]
\ [\ text {and} y = 3 - x \]
Получаем
\ [\ Rightarrow x - 1 = 3 - x \]
\ [\ Rightarrow 2x - 4 = 0 \]
\ [\ Rightarrow x = 2 \]
\ [\ Rightarrow y = 2 - 1 = 1 \]
\ [\ text {Таким образом, P} \ left (2, 1 \ right) \ text {равно точка пересечения} y = x - 1 \ text {и} y = 3 - x \]
Точка пересечения для
\ [y = 1 - x \]
\ [y = 3 + x \]
\ [ \ Rightarrow 1 - x = 3 + x \]
\ [\ Rightarrow 2x = - 2 \]
\ [\ Rightarrow x = - 1 \]
\ [\ Rightarrow y = 1 - \ left (- 1 \ right) = 2 \]
\ [\ text {Таким образом, Q} \ left (- 1, 2 \ right) \ text {является точкой пересечения} y = 1 - x \ text {и} y = 3 + x \]
\ [\ text {Поскольку символ функции изменяется в C} \ left (0, 3 \ right) \ text {и A} (1, 0), \ text {рисует AM перпендикулярно} x - \ text {axis} \]
\ [\ text {Требуемая область = Затененная область} \ left (QCPAQ \ right) \]
\ [= \ text {Area} \ left (QCB \ right) + \ text {Area} \ left (BCMAB \ вправо) + \ текст {область} \ влево (AMPA \ вправо). 2 + 21x + 54, x = 0 и y = 0.Твердый S образован вращая R вокруг оси y: (точный) объем S равен = 3) Область R в первом квадранте плоскости xy ограничена кривыми y = −2sin (x), x = π, x = 2π и y = 0. Твердый S образован вращая R вокруг оси y: объем S = 4) Ограниченная область ...

  • Вопрос 1 Еще нет Площадь плоской фигуры, ограниченная кривой y 1o-cos ...

    Вопрос 1 Еще нет Площадь плоской фигуры, ограниченная кривой y 1o-cos, на который дан ответ Отмечено из 1.2 + 3, а линия x = 0. Он расположен в первом квадранте плоскости xy. Определите площадь области А.

  • 2. Найдите площадь области, ограниченной кривыми y = 12-x, y = Vx и yż0.

    2. Найдите площадь области, ограниченной кривыми y = 12-x, y = Vx и yż0.

  • Вопрос 3: Найдите площадь области, ограниченной кривыми y = cos (x), ...

    Вопрос 3: Найдите площадь области, ограниченной кривыми y = cos (x), y = 1 - cos (x), x = 0 и x = ſt.

  • (i) Найдите площадь области, ограниченной кривыми x = y 5лет + 6 и ...

    (i) Найдите площадь области, ограниченной кривыми x = y 5y + 6 и x = -y + y + 6 Q.2 A. (1) Найдите площадь области, ограниченной кривыми x = y2 - 5y +6 и x = -y + y + 6 (2 балла) In (tan x) (ii) Вычислите lim (3 Оценки) sinx-cosx B. (1) Оценить | fxsin (xy dydx (3 балла) X- (1) Оценить lim * (11) Оценить tan lim- (2 балла) 2 балла) - tan

  • Найдите площадь области, ограниченную двумя кривыми.у = х2 -...

    Найдите площадь области, ограниченную двумя кривыми. y = x2 - 1, y = -x + 2, x = 0, x = 1 · y = -x + 3, y = x, x = -1, x = 1. y = {x} + 2, y = x + 1, x = 0, x = 2

  • Пожалуйста помоги A. Найдите площадь, ограниченную между кривыми: 1.) F (x) = x и ...

    Пожалуйста помоги A. Найдите площадь, ограниченную между кривыми: 1.) F (x) = x и G (x) = 2x - x и x = -2 и y = 0.

  • Найдите площадь плоской фигуры, ограниченную неравенствами: y2-x2 - 31; у...

    Найдите площадь плоской фигуры, ограниченную неравенствами: y2-x2 - 31; y s -8x - 16; у с 16x - 16.

  • покажи четкую работу плз Найдите площадь, ограниченную заданными кривыми. у = 2х -х? ...

    покажи четкую работу плз Найдите площадь, ограниченную заданными кривыми. у = 2х -х? у = 2х-4 이 34 3 0 37

  • Найдите область, ограниченную линией y x осью x и математикой класса 12 CBSE

    Подсказка: сначала мы нарисуем график, соответствующий данной ситуации.{b} {f \ left (x \ right) dx} \] есть не что иное, как область, ограниченная линией $ y = f \ left (x \ right), x = a, x = b \ и \ x-осью $.
    Теперь нам нужно найти площадь, ограниченную линией y = x, осью x и ординатами x = -1, x = 2. Итак, график этой ситуации:

    Теперь мы знаем, что интегрирование находит алгебраическую область под кривой, т.е. если кривая находится ниже оси x, то для этой части площадь будет отрицательной. Итак, мы должны найти обе эти области по отдельности, чтобы найти геометрическую область.{2}}} {2} \ right | \\
    & = \ left | \ dfrac {1} {2} \ right | + \ left | 2 \ право | \\
    & = 2 + \ dfrac {1} {2} \\
    & = \ dfrac {5} {2} sq \ units \\
    \ end {align} \]
    Следовательно, площадь, ограниченная кривой это \ [\ dfrac {5} {2} sq \ units \].

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *