Вычитание и сложение обыкновенных дробей 6 класс: Мерзляк 6 класс — § 10. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Сложение и вычитание обыкновенных дробей. Приведение дробей к одному знаменателю. Понятие о НОК — Kid-mama

• Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
• Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
• Понятие о НОК
• Приведение дробей к одному знаменателю
• Как сложить целое число и дробь

Сложение и вычитание дробей  с одинаковыми знаменателями

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тот же, например:

Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тот же, например:

Чтобы сложить смешанные дроби, надо отдельно сложить их целые части, а затем сложить их дробные части, и записать результат смешанной дробью,

Пример 1:

Пример 2:

Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделяем из нее целую часть и прибавляем ее к целой части, например:

Сложение и вычитание дробей  с разными знаменателями.

Для того, чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нужно сначала привести их к одному знаменателю, а дальше действовать, как указано в начале этой статьи. Общий знаменатель нескольких дробей — это НОК (наименьшее общее кратное). Для числителя каждой из дробей находятся дополнительные множители с помощью деления НОК на знаменатель этой дроби. Мы рассмотрим пример позже, после того, как разберемся,  что же такое НОК.

Наименьшее общее кратное (НОК)

Наименьшее общее кратное двух чисел (НОК) — это наименьшее натуральное число, которое делится на оба эти числа без остатка. Иногда НОК можно подобрать устно, но чаще, особенно при работе с большими числами, приходится находить НОК письменно, с помощью следующего алгоритма:

Для того, чтобы найти НОК нескольких чисел, нужно:

1. Разложить эти числа на простые множители
2. Взять самое большое разложение, и записать эти числа в виде произведения
3. Выделить в других разложениях числа, которые не встречаются в самом большом разложении (или встречаются в нем меньшее число раз), и добавить их к произведению.
4. Перемножить все числа в произведении, это и будет НОК.

Например, найдем НОК чисел 28 и 21:

Приведение дробей к одному знаменателю

Вернемся к сложению дробей с разными знаменателями.

Когда мы приводим дроби к одинаковому знаменателю, равному НОК обоих знаменателей, мы должны умножить числители этих дробей на дополнительные множители. Найти их можно, разделив НОК на знаменатель соответствующей дроби, например:

Таким образом, чтобы привести дроби к одному показателю, нужно сначала найти НОК (то есть наименьшее число, которое делится на оба знаменателя) знаменателей этих дробей, затем поставить дополнительные множители к числителям дробей. Найти их можно, разделив общий знаменатель (НОК) на знаменатель соответствующей дроби. Затем нужно умножить числитель каждой дроби на дополнительный множитель, а знаменателем поставить НОК.

 Как сложить целое число и дробь

Для того, чтобы сложить целое число и дробь, нужно просто добавить это число перед дробью, при этом получится смешанная дробь, например:

Если мы складываем целое число и смешанную дробь, мы прибавляем это число к целой части дроби, например:

Тренажер 1

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

В этом тесте проверяется умение складывать  дроби с одинаковыми знаменателями. При этом нужно соблюдать два правила:

• Если в результате получается неправильная дробь, нужно перевести ее в смешанное число.
• Если дробь можно сократить, обязательно сократите ее, иначе будет засчитан неправильный ответ.

Тренажер 2

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.

Тест поможет проверить, как вы умеете складывать  дроби с разными знаменателями. Перед тем, как сложить дроби, необходимо привести их к одинаковому знаменателю. Записывая результат, соблюдаем два правила:

• Если в результате сложения получается неправильная дробь, нужно перевести ее в смешанное число.
• Если дробь можно сократить, обязательно сократите ее, иначе будет засчитан неправильный ответ.

Математика 6 класс «Дроби с разными знаменателями» (24 слайда)

Слайд 1

Математика 6 класс

Слайд 2

=
Основное свойство дроби
Две равные дроби являются различными записями одного и того же числа.

Слайд 3

Основное свойство дроби
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Слайд 4

=
Основное свойство дроби

Слайд 5

=
=
Основное свойство дроби

Слайд 6

Сокращение дробей
Деление числителя и знаменателя на их общий делитель, отличный от единицы, называют сокращением дроби.
Если числитель и знаменатель дроби – взаимно простые числа, то такую дробь называют несократимой.

Слайд 7

Сокращение дробей
Наибольшее число, на которое можно сократить дробь, − это наибольший общий делитель ее числителя и знаменателя.

Слайд 8

Сокращение дробей разложением на множители

Слайд 9

Приведение дробей к общему знаменателю
Число, на которое надо умножить знаменатель дроби, чтобы получить новый знаменатель, называют дополнительным множителем.
Любые две дроби можно привести к одному и тому же знаменателю, или иначе к общему знаменателю.

Слайд 10

Приведение дробей к общему знаменателю
Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо: найти наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей, оно и будет их наименьшим общим знаменателем; разделить наименьший общий знаменатель на знаменатели данных дробей, т. е. найти для каждой дроби дополнительный множитель; умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.

Слайд 11

Приведение дробей к общему знаменателю
3
5
НОК(25;15)=3∙5∙5=75

Слайд 12

Приведение дробей к общему знаменателю
5
7
НОК(49;35)=7∙7∙5=245

Слайд 13

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Слайд 14

Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
Чтобы сравнить (сложить или вычесть) дроби с разными знаменателями, надо: 1) привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю; 2) сравнить (сложить или вычесть) полученные дроби.

Слайд 15

Сравнение дробей с разными знаменателями
3
5
⇒

Слайд 16

Сложение дробей с разными знаменателями
3
5
НОК(25;15)=3∙5∙5=75

Слайд 17

Вычитание дробей с разными знаменателями
5
3
НОК(25;15)=3∙5∙5=75

Слайд 18

Сложение дробей с разными знаменателями
6
7
НОК(35;30)=2∙3∙5∙7=210
7
6

Слайд 19

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
4
НОК(60;15)=2∙2∙3∙5=60
1

Слайд 20

Сложение и вычитание смешанных чисел
1
2

Слайд 21

Сложение и вычитание смешанных чисел
2
1

Слайд 22

Сложение и вычитание смешанных чисел

Слайд 23

Сложение и вычитание смешанных чисел
1
2

Слайд 24

Сложение и вычитание смешанных чисел
2
1

Сложение и вычитание дробей – Математика для сделок: Том 1

Дроби

Эбигейл, Ханна и Наоми готовятся к промежуточному экзамену. Материал, который они должны изучить, состоит из 16 глав для чтения. Все трое понимают, что 16 глав — это много для каждого из них, поэтому они решают учиться более эффективно. Они составляют план, в котором каждый из них читает определенное количество глав, а затем резюмирует его для двух других. Они будут делиться заметками, и каждый найдет онлайн-видео, соответствующее их конкретному набору глав.

Теперь главы не создаются одинаково. Некоторые из них довольно легкие, а другие намного сложнее. Их цель — равномерно распределить нагрузку между тремя из них. Помните, что есть 16 глав.

У Эбигейл самое большое количество глав, которые нужно пройти — 6. У Ханны — 5, а у Наоми — только 4. Если бы вы сложили их, вы бы заметили, что получается только 15 глав. Последняя глава книги посвящена устранению неполадок в электрических системах, и ученики решают, что они пройдут ее вместе.

Мы можем представить каждую из их рабочих нагрузок в виде части целого:

[латекс]\БОЛЬШОЙ\текст{У Эбигейл}\dfrac{6}{16}[/латекс]

[латекс]\БОЛЬШОЙ\текст{У Ханны}\dfrac{5}{16}[/латекс]

[латекс]\БОЛЬШОЙ\текст{У Наоми}\dfrac{4}{16}[/латекс]

Что, если сложить эти дроби? Это будет выглядеть примерно так:

[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{6}{16}+\dfrac{5}{16}+\dfrac{4}{16}=?[/latex]

Вы заметите, что все числители разные, а знаменатели одинаковые (16). При сложении или вычитании дробей знаменатели должны совпадать. Мы называем это наличием общего знаменателя.

Итак, чтобы получить ответ на поставленный выше вопрос, нужно просто сложить все числители. Сложение дробей в этом отношении очень просто.

Обратите внимание, что знаменатель в окончательном ответе такой же, как и в складываемых дробях. К концу ученики пройдут 15 из 16 глав по отдельности, а последнюю главу они пройдут вместе.

Концепция сложения дробей с общими знаменателями достаточно проста, и мы сделали достаточно, чтобы складывать целые числа, поэтому рассматривать примеры на этом этапе, возможно, не стоит (но если вам нужен обзор, см. Сложение целых чисел). Вместо этого мы запишем несколько примеров сложения дробей, чтобы вы могли понять идею.

[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{1}{8}+\dfrac{2}{8}=\dfrac{3}{8}[/latex]

[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{5}{16}+\dfrac{6}{16}=\dfrac{11}{16}[/latex]

[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{13}{32}+\dfrac{11}{32}=\dfrac{24}{32}[/latex]

Вы ничего не заметили в ответе на последний вопрос? Его можно уменьшить.

[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{24}{32}\longrightarrow\dfrac{3}{4}[/латекс]

Прежде чем мы продолжим работу с дробями, сейчас самое время сказать, что при работе с дробями мы обычно хотим дать ответ в самом низком выражении.

Как насчет вычитания дробей? Ну, по тому же принципу: у вас должен быть общий знаменатель, а затем вы вычитаете числители. Вот несколько примеров вычитания дробей:

[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{5}{8}-\dfrac{2}{8}=\dfrac{3}{8}[/latex]

[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{9}{16}-\dfrac{5}{16}=\dfrac{4}{16}\longrightarrow\dfrac{1}{4}[/latex]

[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{27}{32}-\dfrac{14}{32}=\dfrac{13}{32}[/latex]

Сейчас мы немного усложним задачу. Наши примеры сложения и вычитания дробей довольно просты из-за того, что знаменатели одинаковы. Более сложная ситуация связана с добавлением или вычитанием дробей, имеющих разные знаменатели. Взгляните на следующий пример:

[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{8}=?[/latex]

Мы не можем просто сложить числители и знаменатели, так как это просто не сработает.

Взгляните на два круга, нарисованные ниже. Один разделен на 2 части, а другой на 8 частей. Вы заметили что-нибудь о размерах деталей?

 

 

Вы заметите, что части в круге из 2 частей намного больше, чем в круге из 8 частей. Если бы мы сложили части в каждом из кругов, это было бы похоже на сложение яблок и апельсинов.

Идея состоит в том, чтобы сделать так, чтобы добавляемые детали были одинакового размера. Если мы каким-то образом доберемся до этой точки, тогда все готово, и мы можем сложить две дроби. Это называется поиском общего знаменателя, и чаще всего мы пытаемся найти наименьший общий знаменатель .

Наименьший общий знаменатель : Наименьшее число, в которое могут входить два знаменателя.

Взгляните на приведенное ниже уравнение. Один из знаменателей равен 2, а другой равен 8,9.0005

[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{8}=?[/latex]

Процесс здесь аналогичен тому, как мы приводили дроби к их наименьшему члену в предыдущем разделе, только на этот раз мы будем увеличивать по крайней мере один из знаменателей, а иногда мы будем увеличивать оба, пока не найдем тот, который общий. Мы ищем число, в которое оба знаменателя могут входить поровну. В этом примере мы видим, что 2 может перейти в 8, а 8 может перейти в 8. Это оставляет нас с общим знаменателем 8.

Мы определили, что 8 будет нашим общим знаменателем, а это значит, что одна из дробей уже готова.

А как насчет 1 на 2 или наполовину? Мы должны превратить половину в дробь с 8 в знаменателе.

Как мы подсчитали выше, 2 входит в число 8 четыре раза.

[латекс]\БОЛЬШОЙ2\times4=8[/латекс]

Это хорошо для знаменателя, но как насчет числителя? Итак, что бы мы ни сделали с одной частью дроби, мы должны сделать то же самое с другой частью. Это оставляет дробь с тем же значением. Затем мы также должны умножить 1 на 4.

[латекс]\БОЛЬШОЙ1\times4=4[/латекс]

Если бы мы хотели сделать все за один шаг, это выглядело бы примерно так:

Теперь у нас есть кое-что, с чем мы можем работать. Вернитесь к исходному уравнению и замените [latex]\dfrac{1}{2}[/latex] на [latex]\dfrac{4}{8}[/latex].

[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{4}{8}+\dfrac{3}{8}=\dfrac{7}{8}[/latex]

Хорошо, это работает для сложения дробей, но как насчет вычитания дробей? Ну, вычитание дробей происходит по тому же принципу: если знаменатели не совпадают, то мы должны сначала найти общий знаменатель, прежде чем вычитать две дроби.

Вычислите следующее:

[латекс]\НАИБОЛЬШИЙ\dfrac{7}{8}-\dfrac{13}{16}=[/latex]

Шаг 1 : Найдите общий знаменатель. Это может стать немного сложнее, когда числа начинают расти. По мере того, как вы лучше знакомитесь с закономерностями в числах, ответы будут даваться легче. Вопрос, который мы задаем прямо сейчас, звучит так: «В какое число могут входить и 8, и 16 без остатка?»

Мы могли бы даже начать с проверки того, может ли меньший знаменатель войти в больший знаменатель. В данном случае так и есть.

Дробь с общим знаменателем 16 уже готова, но нам нужно работать с дробью со знаменателем 8.

Шаг 2 : Умножьте числитель и знаменатель ⅞ на 2, чтобы получить дробь общий знаменатель 16.

Шаг 3 : Вычтите новые версии дробей.

[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{14}{16}-\dfrac{13}{16}=\dfrac{1}{16}[/latex]

Ответьте на следующие практические вопросы и посмотрите видеоответы. Не забудьте поставить каждый ответ в самом низком выражении или в смешанном числе, если это необходимо.

[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{3}{16}+\dfrac{5}{8}=[/латекс]

[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{5}{8}-\dfrac{5}{16}=[/латекс]

[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{1}{2}+\dfrac{7}{8}=[/латекс]

[латекс]\БОЛЬШОЙ2\dfrac{1}{2}+1\dfrac{7}{8}=[/латекс]

Минуточку! Этот последний вопрос поднял его на ступеньку выше, добавив смешанные числа. Я знаю, что вы уже посмотрели видеоответ, но давайте сделаем шаг назад и пройдемся по сложению и вычитанию смешанных чисел. Мы начнем с краткого объяснения.

Проблема, с которой мы сталкиваемся при сложении или вычитании смешанных чисел, заключается в том, что смешанное число состоит из двух отдельных частей: есть целое число, а есть дробь. При добавлении чисел это может быть просто, например:

.

[латекс]\БОЛЬШОЙ4\dfrac{3}{8}+3\dfrac{2}{8}=7\dfrac{5}{8}[/latex]

Довольно просто, не так ли? Вы просто складываете два целых числа, а затем складываете дроби. Это работает довольно хорошо. Но как насчет ситуации, подобной следующему примеру?

[латекс]\БОЛЬШОЙ4\dfrac{5}{8}+3\dfrac{4}{8}=?[/latex]

Вы видите проблему?

Проблема (на самом деле это не проблема) в том, что когда мы складываем дроби, мы получаем большее число в числителе, чем в знаменателе.

[латекс]\БОЛЬШОЙ4\dfrac{5}{8}+3\dfrac{4}{8}=7\dfrac{9}{8}[/latex]

Решение состоит в том, чтобы заменить часть ответа на неправильную дробь смешанным числом, а затем добавить его к целой части ответа.

[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{9}{8}\longrightarrow1\dfrac{1}{8}[/латекс]

Возьмите 7 и прибавьте к смешанному числу, чтобы получить окончательный ответ.

[латекс]\БОЛЬШОЙ7+1\dfrac{1}{8}=8\dfrac{1}{8}[/латекс]

Хорошо, это кажется довольно простым, но как насчет вычитания? Что ж, мы следуем тем же правилам. Взгляните на следующий пример:

[latex]\LARGE8\dfrac{7}{8}-6\dfrac{3}{8}=?[/latex]

Процедура похожа на сложение дробей, но вместо сложения мы вычитаем . Мы можем разбить его на две части. Начнем с вычитания целых чисел, а затем вычтем часть дробей.

Шаг 1 : Вычтите целые числа.

[латекс]\НАИБОЛЬШИЙ8-6=2[/латекс]

Шаг 2 : Вычтите дробную часть уравнения.

[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{7}{8}-\dfrac{3}{8}=\dfrac{4}{8}\стрелка вправо\dfrac{1}{2}[/latex]

Шаг 3 : Соберите все воедино.

[латекс]\БОЛЬШОЙ8\dfrac{7}{8}-6\dfrac{3}{8}=2\dfrac{4}{8}\rightarrow2\dfrac{1}{2}[/latex]

Хорошо, не слишком сложно, правда? Но взгляните на следующий пример и посмотрите, сможете ли вы понять проблему, с которой мы столкнемся, когда будем ее решать.

[latex]\LARGE5\dfrac{2}{8}-3\dfrac{7}{8}=?[/latex]

Проблема возникает не тогда, когда вы вычитаете целые числа, а когда вы вычитаете дроби.

[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{2}{8}-\dfrac{7}{8}=?[/latex]

В итоге мы получим ответ меньше нуля. Это не сработает для нас. Итак, как мы решим проблему? Ну, ответ заключается в заимствовании, а то, что мы заимствуем, — это целое число, 5. Скажем так, мы заимствуем 1 из 5. В результате у нас останется 4, а дальше что? Взгляните на следующую логику.

[латекс]\БОЛЬШОЙ5=4+1[/латекс]

[латекс]\БОЛЬШОЙ1=\dfrac{8}{8}[/латекс]

Если мы продолжим и разобьем 5 на 4 и 1 , а затем разделить эту 1 на части по 8, у нас есть гораздо больше восьмых для работы. Теперь мы можем собрать все вместе, чтобы получить следующее:

[латекс]\БОЛЬШОЙ5\dfrac{2}{8}=4+\dfrac{8}{8}+\dfrac{2}{8}=4\dfrac {10}{8}[/latex]

Теперь у нас есть числа, с которыми мы можем работать в исходном вопросе.

[латекс]\БОЛЬШОЙ4\dfrac{10}{8}-3\dfrac{7}{8}=?[/latex]

Выполняем те же действия, что и раньше.

Шаг 1 : Вычтите целые числа.

[латекс]\НАИБОЛЕЕ4-3=1[/латекс]

Шаг 2 : Вычтите дробную часть уравнения.

[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{10}{8}-\dfrac{7}{8}=\dfrac{3}{8}[/latex]

Шаг 3 : Соберите все вместе.

[латекс]\БОЛЬШОЙ4\dfrac{10}{8}-3\dfrac{7}{8}=1\dfrac{3}{8}[/latex]

Сложите или вычтите следующие смешанные числа, убедившись, что ваш ответ представлен в самом низком выражении. Посмотрите видеоответы в конце, чтобы узнать, как вы справились.

[латекс]\БОЛЬШОЙ7\dfrac{3}{16}+4\dfrac{5}{16}=[/латекс]

[латекс]\БОЛЬШОЙ2\dfrac{7}{16}+3\dfrac{7}{8}=[/латекс]

[латекс]\БОЛЬШОЙ8\dfrac{27}{32}-1\dfrac{15}{32}=[/латекс]

[латекс]\БОЛЬШОЙ6\dfrac{5}{16}-5\dfrac{5}{8}=[/латекс]

Сложение и вычитание дробей | Определение, справка, примеры, шаги, типы

Вычисление дробей — важный навык, который мы должны освоить, поскольку это применимо к нашей повседневной жизни. Как и в других математических операциях, сложение и вычитание дробей включают в себя шаги для успешного достижения результата.

  Предположим, например, что ваша мама купила целую пиццу, состоящую из восьми кусков.   
  Твой брат съел три куска пиццы, а ты только два.  
  Какую часть всей пиццы съели вы и ваш брат?  
  Сколько пиццы осталось?  

Ответы на вопросы в этой текстовой задаче можно найти, сложив и вычитая дроби.

Прежде чем ответить на данную задачу, напомним сначала следующее:

• Значение дроби указывает часть целого.
• Верхняя половина дроби, или числитель, показывает количество частей, которые у нас есть.
• Нижняя половина дроби, или знаменатель, говорит нам, сколько частей составляет целое.
• Чтобы упростить дробь, разделите числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД). Например, если мы хотим найти GCF чисел 8 и 12, перечислим все их множители.

Это делители восьми: 1, 2, 4, 8
Это делители двенадцати: 1, 2, 4, 6, 12 

Общие делители чисел 8 и 12 равны 1, 2 и 4, но наибольший общий делитель равен четырем. Итак, чтобы упростить дробь $\frac{8}{12}$, имеем

$\frac{8  ÷4}{12 ÷ 4}$=$\frac{2}{3}$

It важно обращать внимание на знаменатели данных дробей при сложении и вычитании дробей, чтобы правильно ориентироваться в шагах, которые необходимо предпринять при их решении. В этой статье рассматриваются этапы сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями (как дроби), разными знаменателями (в отличие от дробей), неправильных дробей и смешанных дробей.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Этапы сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

Шаг 1: Возьмите одинаковый знаменатель от данных дробей.
Шаг 2: Добавьте числители.
Шаг 3: Упростите сумму.

Теперь давайте ответим на поставленную выше задачу.

Предположим, например, что ваша мама купила целую пиццу, состоящую из восьми кусков. Твой брат съел три куска пиццы, а ты только два. Какую часть всей пиццы съели вы с братом?

Приведенные ниже дроби показывают, сколько всей пиццы съели вы и ваш брат.

$\frac{3}{8}$    Это часть всей пиццы, которую съел ваш брат.

$\frac{2}{8}$    Это часть всей пиццы, которую вы съели.

Давайте пошагово складываем дроби с одинаковым знаменателем.

Шаг 1: Возьмем одинаковые знаменатели от данных дробей.

$\frac{3}{8}+\frac{2}{8}$ =$\frac{?}{8}$

Шаг 2: Добавьте числители.

$\frac{3}{8}+\frac{2}{8}$ =$\frac{5}{8}$

Шаг 3: Упростите сумму.

 $\frac{5}{8}$  находится в простейшей форме уже потому, что 5 и 8 не имеют общих делителей.

Следовательно,  $\frac{5}{8}$  – это часть всей пиццы, которую съели вы и ваш брат.

Примеры

Пример 1: Найдите сумму.

1. $\frac{1}{7} + \frac{2}{7}$                 b. $\frac{1}{9} + \frac{4}{9}$                 c. $\frac{5}{12}+\frac{1}{12}$               d. $\frac{2}{5}+\frac{3}{5}$

Решение:  Чтобы найти сумму данных дробей с одинаковыми знаменателями, нам нужно сложить числители и скопировать тот же знаменатель .

Ниже приведена диаграмма, иллюстрирующая данные дроби.

Мы можем упростить $\frac{6}{12}$, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий множитель, т.е. Для иллюстрации: $\frac{6 ÷6}{12÷6}$= $\frac{1}{2}$

Следовательно,  

$\frac{5}{12}+\frac{1}{12}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$

Поскольку числитель и знаменатель имеет то же значение, то простейшая форма  $\frac{5}{5}$  равна 1. Таким образом,

$\frac{2}{5}+\frac{3}{5}=\ frac{5}{5}$=1

Пример 2: Райан прочитал $\frac{3}{7}$  статьи вчера и  $\frac{2}{7}$  сегодня.

         Какую часть статьи он прочитал?

Решение: $\frac{3}{7} +\frac{2}{7} =\frac{5}{7}$  

Следовательно, Райан прочитал  $\frac{5}{7}$ статьи.

Вычитание дробей с одинаковым знаменателем

Чтобы вычесть дроби с одинаковым знаменателем, выполните следующие действия.

Шаг 1: Возьмите одинаковый знаменатель от данных дробей.
Шаг 2: Вычтите числители данных дробей.
Шаг 3: Упростите разницу.

Давайте продолжим отвечать на дополнительный вопрос из задачи слова, заданной ранее.

Предположим, например, что ваша мама купила целую пиццу, состоящую из восьми кусков. Твой брат съел три куска пиццы, а ты только два. Какую часть всей пиццы съели вы с братом? Сколько пиццы осталось?

На первый вопрос уже был дан ответ ранее путем сложения частей пиццы, которые вы и ваш брат съели, то есть $\frac{3}{8}+\frac{2}{8}=\frac{5 {8}$

Так как мы не хотим знать, какая часть пиццы осталась, мы вычтем $\frac{5}{8}$ из всей пиццы. Поскольку у нас всего 8 ломтиков и мы хотим представить всю пиццу в виде дроби, мы будем использовать $\frac{8}{8}$.

$\frac{8}{8}$ Дробь представляет целую пиццу с 8 кусочками.

$\frac{5}{8}$ Доля пиццы, съеденной вами и вашим братом

Теперь повторим действия по вычитанию дробей с одинаковым знаменателем.

Шаг 1: Возьмем одинаковые знаменатели от данных дробей.

$\frac{8}{8}-\frac{5}{8}$ =$\frac{?}{8}$

Шаг 2: Вычесть числители заданные дроби.

$\frac{8}{8}-\frac{5}{8} =\frac{3}{8}$

Шаг 3: Упростите сумму.

 $\frac{3}{8}$ уже упрощено, так как числа 3 и 8 не имеют общих делителей, кроме 1.

 Таким образом, $\frac{3}{8}$ – оставшаяся часть пиццы .

Примеры

Пример 1 : Найдите разницу.

а. $\frac{10}{13} – \frac{2}{13}$                 б. $\frac{4}{9} – \frac{1}{9}$                 c. $\frac{5}{7}-\frac{2}{7}$               d. $\фракция{9}{14}-\frac{3}{14}$

Решение: Это примеры вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Ответ $\frac{3}{9}$ не является упрощенным. Мы должны разделить и числитель, и знаменатель на три ( 3 ), чтобы упростить дробь. $\frac{3 ÷ 3}{9 ÷ 3}=\frac{1}{3}$

$\frac{4}{9}-\frac{1}{9}=\frac{3}{ 9}=\frac{1}{3}$

3. $\frac{5}{7} – \frac{2}{7}=\frac{3}{7}$

4. $\frac {9}{14} – \frac{3}{14}=\frac{6}{14}$

$\frac{6}{14}$ можно упростить до $\frac{3}{7}$, поскольку наибольший общий делитель 6 и 14 равен двум.

$\frac{6 ÷2}{14 ÷2}=\frac{3}{7}$

Следовательно, $\frac{9}{14}-\frac{3}{14}=\frac {6}{14}=\frac{3}{7}$

Пример 2: Анна откладывает $\frac{4}{9}$  из своей зарплаты. Она потратила  $\frac{1}{9}$ своей зарплаты на покупку новой одежды. Какова доля оставшейся зарплаты Анны?

Решение: $\frac{4}{9}- \frac{1}{9} =\frac{3}{9}$

Это означает, что Анна оставила $\frac{3}{9}$ своей зарплаты.

Пример 3: Никки потратила $\frac{2}{9}$ дня на уборку в своей комнате и $\frac{3}{9}$ дня на выполнение домашнего задания. Какая часть дня у нее остается на другие дела?

Решение: Давайте сначала найдем время, которое она потратила на уборку в своей комнате и выполнение домашнего задания.

     $\frac{2}{9}+\frac{3}{9}=\frac{5}{9}$

Следовательно, всего она использовала   $\frac{5}{9}$  дня.

Чтобы узнать, какая часть дня у нее осталась на другие дела, мы должны вычесть $\frac{5}{9}$ из $\frac{9}{9}$.

$\frac{9}{9}-\frac{5}{9}=\frac{4}{9}$

Следовательно, она ушла с $\frac{4}{9}$ день, чтобы заняться другими делами.

Сложение/вычитание дробей с разными знаменателями

Этапы сложения дробей с разными знаменателями.

Шаг 1: Определите наименьший общий знаменатель (ОНД) данных дробей.
Шаг 2: Умножьте знаменатель каждой из данных дробей на коэффициент так, чтобы произведение было наименьшим общим знаменателем в шаге 1. Умножьте также тот же множитель на их числители.
Шаги 3-5 повторяют шаги по сложению/вычитанию дробей с одинаковым знаменателем
Шаг 3: Из получившихся дробей на шаге 2 возьмите одинаковый знаменатель. 
Шаг 4: Сложите/вычтите числители.
Шаг 5: Упрощение.

Рассмотрим эту диаграмму и сложим дроби $\frac{3}{10}$ и $\frac{2}{5}$.

Следуя этим шагам, мы имеем,

Шаг 1: Определите наименьший общий знаменатель данных дробей.  

$\frac{3}{10} +\frac{2}{5}  =\frac{?}{10}$

) знаменателей. Некоторые числа кратны 5 и 10, но мы должны выбрать наименьшее значение среди этих кратных, как показано ниже.

Кратность 10: 10 , 20 , 30, 40, ….

Кратность 5: 5 , 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45,….

Общие числа, кратные 5 и 10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, ….

Таким образом, наименьшее общее кратное 5 и 10 равно десяти (10).

Шаг 2: Умножьте знаменатель каждой из данных дробей на коэффициент так, чтобы произведение было наименьшим общим знаменателем в шаге 1. Умножьте также тот же множитель на их числители.

$\frac{2}{5} x \frac{2}{2} =\frac{4}{10}$

$\frac{3}{10} x \frac{1}{1 } =\frac{3}{10}$

Шаг 3: Возьмите тот же знаменатель из полученных дробей на шаге 2.

$\frac{4}{10} +\frac{3 }{10}$=$\frac{?}{10}$

Шаг 4: Добавьте числители.

$\frac{4}{10} +\frac{3}{10}$=$\frac{7}{10}$

Шаг 5: Упростить.

$\frac{7}{10}$  имеет простейшую форму.

Примеры

Пример 1: Найдите сумму.

$\frac{1}{5}+ \frac{2}{3}$              

Решение:  Этот набор данных потребует от нас выполнения шагов по сложению дробей с разными знаменателями. Как следует из процесса, нам нужно сделать так, чтобы данные дроби имели одинаковые знаменатели, чтобы упростить сложение.

$\frac{1}{5}+ \frac{2}{3}$

Пятнадцать ( 15 ) является наименьшим общим знаменателем 5 и 3.

  Это числа, кратные 3 : 3 , 6, 9, 12, 15 , 18, 21, 24, 27, 30

Это кратные 5 : 5 , 10, 15 , 20, 25, 30 , 25

Теперь мы умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{3}{3} $ и $\frac{2}{3}$ на $\frac{5}{5}$. Таким образом,

$\frac{1}{5}$ x  $\frac{3}{3}$ = $\frac{3}{15}$  ; $\frac{2}{3}$ x $\frac{5}{5}$ = $\frac{10}{15}$

Поскольку теперь у нас тот же знаменатель, мы можем легко сложить дроби и при необходимости упростить ответ.

$\frac{3}{15}+ \frac{10}{15}$ = $\frac{13}{15}$

Следовательно, $\frac{1}{5}+ \frac {2}{3}$=$\frac{13}{15}$

Пример 2: Марикар и Елена работают над школьным проектом. Марикар выполнила $\frac{1}{3}$ проекта, а Елена завершила $\frac{1}{2}$ проекта. Какую часть проекта они завершили в целом?

Чтобы ответить на этот вопрос, давайте пошагово складываем дроби с разными знаменателями.

Шаг 1: Определите наименьший общий знаменатель (НДО) данной дроби.

Над этим выражением мы должны работать 2 и 3.

Шаг 2: Умножьте знаменатель каждой из данных дробей на коэффициент так, чтобы произведение было наименьшим общим знаменателем в шаге 1. Умножьте также тот же множитель на их числители.

$\frac{1}{2} x \frac{3}{3} = \frac{3}{6}$ ; $\frac{1}{3} x \frac{2}{2} = \frac{2}{6}$

Шаг 3: Возьмите тот же знаменатель из дробей, полученных на шаге 2.

$\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{?}{6}$

Шаг 4: Добавьте числители.

$\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$

Шаг 5: Упростить.

Ответ уже в самой простой форме. Таким образом, Марикар и Елена завершили работу над $\frac{5}{6}$  проекта в целом.

Пример 3: Найдите разницу.

• а. $\frac{7}{12}-\frac{1}{3}$ ; б. $\frac{3}{4}-\frac{1}{6}$                 

Решение: Здесь задействован процесс вычитания дробей с разными знаменателями. Так как они не похожи на дроби (дроби с разными знаменателями), мы должны найти их наименьший общий знаменатель.

• $\frac{7}{12}-\frac{1}{3}$

Двенадцать ( 12 ) является наименьшим общим кратным знаменателей 3 и 12. Следовательно, чтобы данные дроби имели те же знаменатели, $\frac{7}{12}$ нужно умножить на $\frac{1}{1}$ или просто на единицу, а $\frac{1}{3}$ должно умножить на $\frac{4 {4}$.

$\frac{7}{12}  x  \frac{1}{1} = \frac{7}{12}$ ; $\frac{1}{3} x \frac{4}{4} = \frac{4}{12}$

Теперь мы можем продолжить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

$\frac{7}{12} – \frac{4}{12} = \frac{3}{12}$

$\frac{3}{12}$  можно упростить, используя три as делитель и числителя, и знаменателя.

$\frac{3 ÷ 3}{12 ÷ 3}=\frac{1}{4}$

Таким образом, $\frac{7}{12}-\frac{1}{3}=\frac {1}{4}$.

• $\frac{3}{4} – \frac{1}{6}$

Двенадцать ( 12 ) является наименьшим общим кратным знаменателей 4 и 6. 

Это кратные 4: 4, 8, 12 , 16, 20, 24, …

Кратные 6: 6, 12, 18, 24 , 30,…

Следовательно, чтобы данные дроби имели одинаковые знаменатели,

$\frac{3}{4} x \frac{ 3}{3} = \frac{9}{12}$ ; $\frac{1}{6} x \frac{2}{2} = \frac{2}{12}$

Вычитание дробей:

$\frac{9}{12} – \frac{2 }{12} = \frac{7}{12}$

Таким образом,  $\frac{3}{4}-\frac{1}{6}=\frac{7}{12}$.

Сложение/вычитание неправильных дробей

Шаги сложения и вычитания неправильных дробей такие же, как описанные ранее для сложения и вычитания дробей. Единственным дополнительным шагом является преобразование неправильной дроби в смешанную дробь.

Пример 1: Сложите дроби $\frac{12}{7}+\frac{4}{3}$.

Решение: 

Найдите ЛП знаменателей, определив наименьшее общее кратное 3 и 7. 3, 6, 9, 12, 18, 21 , 24, 28, 30,…

Теперь мы умножим число на дроби так, чтобы произведение было двадцать один (21).

$\frac{12}{7} x \frac{3}{3} = \frac{36}{21}$ ; $\frac{4}{3} x \frac{7}{7} = \frac{28}{21}$

Теперь складывать эти дроби стало проще, так как у них одинаковый знаменатель.

$\frac{36}{21}+\frac{28}{21}=\frac{64}{21}$

Поскольку сумма является неправильной дробью, преобразуем ее в смешанную дробь с помощью деления .

 64 ÷21=3 с остатком 1.

Чтобы записать это в смешанную дробь, $\frac{64}{21}$ выражается как $3\frac{1}{21}$ .

Пример 2: Вычтите дроби $\frac{11}{2}-\frac{6}{5}$.

Решение: 

Десять — это ЖК данных дробей.

Список кратных 2 : 2, 4, 6, 8, 10 , 12, 14, 16, 18, 20,…

Список кратных 10: 10 , 20, 30, 40, 50 , 60, 70, ….

Следующим шагом является приведение двух дробей к одинаковым знаменателям. Таким образом,

$\frac{11}{2}  x  \frac{5}{5}  = \frac{55}{10}$; $\frac{6}{5} x \frac{2}{2} = \frac{12}{10}$

Теперь сложим полученные дроби.

$\frac{55}{10}-\frac{12}{10}=\frac{43}{10}$

Приведение $\frac{43}{10}$ к смешанной форме даст нам 4 доллара \frac{3}{10}$. Используя деление, 43 ÷10=4 остаток три ( 3 ).

Сложение/вычитание смешанных дробей

Метод 1. Преобразование смешанных дробей в неправильные дроби

Шаг 1: Преобразование смешанных дробей в неправильные дроби.
Шаг 2: Сценарий 1: Если знаменатели совпадают, возьмите тот же знаменатель.
Сценарий 2: Если знаменатели разные, найдите ЖК-дисплей знаменателей.
       Умножьте знаменатель каждой из данных дробей на такой коэффициент, чтобы произведение было наименьшим общим знаменателем. Умножьте также тот же множитель на их числители.
Шаг 3: Возьмите те же знаменатели, что и в шаге 2.
Шаг 4: Сложите/вычтите числители.
Шаг 5: Упрощение. Выразите ответ в смешанных дробях.

Примеры

Пример 1: Сложите дроби $2\frac{1}{3}$+$1\frac{2}{5}$.

Шаг 1: Выполните преобразование заданных смешанных дробей в неправильные дроби.

Преобразование смешанной дроби в неправильную

$2\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$; $1\frac{2}{5}=\frac{7}{5}$

Шаг 2: Сценарий 2: дроби имеют разные знаменатели

Пятнадцать является наименьшим общим кратным 3 и 5. Таким образом,

$\frac{7}{3} x \frac{5}{5} = \frac{35}{15}$; $\frac{7}{5} x \frac{3}{3} = \frac{21}{15}$

Шаг 3: Возьмите те же знаменатели из шага 2.

$ \frac{35}{15} + \frac{21}{15} =\frac{?}{15}$

  Шаг 4: Сложите/вычтите числители.

$\frac{35}{15} + \frac{21}{15} =\frac{56}{15}$

Шаг 5: Упрощение. Выразите ответ в смешанных дробях.

Чтобы выразить $\frac{56}{15}$ в смешанных дробях, мы имеем  56 ÷15=3 остатка одиннадцать или $3\frac{11}{15}$

Таким образом, $2\frac{1}{3 }+1\frac{2}{5}=3\frac{11}{15}$

Пример 2: 

Вычесть:  $4\frac{2}{3}-2\frac{1}{ 2}$ .

Решение: 

Преобразовав дроби в смешанную форму, мы получим

$4\frac{2}{3}=\frac{14}{3}$; $2\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$

Теперь у нас есть $\frac{14}{3}-\frac{5}{2}$. Поскольку у них разные знаменатели, нам нужно получить наименьший общий знаменатель.

Список кратных 3:3, 6 , 9, 12, 15, 18, 21,…

Список кратных 2: 2, 4, 6 , 8, 10, 12, 14, 16 , 18, 20,…

$\frac{14}{3} x \frac{2}{2} = \frac{28}{6}$; $\frac{5}{2} x \frac{3}{3} =\frac{15}{6}$

Возьмите тот же знаменатель и вычтите числители.

$\frac{28}{6}-\frac{15}{6} =\frac{13}{6}$

Чтобы упростить $\frac{13}{6}$  с помощью деления, 13 ÷6=2 остаток 1.

Следовательно, $\frac{2}{3}-2\frac{1}{2}=2 \фракция{1}{6}$.

Метод 2: Разбиение смешанного числа на целые и части.

Шаг 1: Сложение/вычитание целой части числа.
Шаг 2: Для частей дроби,
Сценарий 1: Если знаменатели одинаковые, возьмите тот же знаменатель.
Сценарий 2: Если знаменатели разные, найдите ЖК-дисплей знаменателей.
       Умножьте знаменатель каждой из данных дробей на такой коэффициент, чтобы произведение было наименьшим общим знаменателем. Умножьте также тот же множитель на их числители.
Шаг 3: Возьмите те же знаменатели, что и в шаге 2.
Шаг 4: Сложите/вычтите числители.
Шаг 5: Упрощение. Выразите ответ в смешанных дробях.

Пример

Воспользуемся тем же, что и в методе 1.

Сложите дроби, $2\frac{1}{3}+1\frac{2}{5}$.

Шаг 1: Сложение/вычитание целой части числа.

2+1=3

Шаг 2: Сценарий 2: у дробей разные знаменатели

5}$.

Пятнадцать ( 15 ) — это ЖКИ этих дробей.

$\frac{1}{3} x \frac{5}{5} = \frac{5}{15}$; $\frac{2}{5} x \frac{3}{3} =\frac{6}{15}$

Шаг 3: Возьмите те же знаменатели, что и в шаге 2.

$\frac{5}{15}+ \frac{6}{15} = \frac{?}{15}$

Шаг 4: Сложите/вычтите числители.

$\frac{5}{15}+ \frac{6}{15} = \frac{11}{15}$

Шаг 5: Упростить. Выразите ответ в смешанных дробях.

Целая часть : 3 Дробная часть:  $\frac{11}{15}$

Следовательно, $2\frac{1}{3}+1\frac{2}{5}=3\frac{11} {15}$

Резюме

Этапы сложения/вычитания дробей с одинаковыми знаменателями 

Шаг 1. Возьмите одинаковый знаменатель у заданных дробей.
Шаг 2: Сложите/вычтите числители данных дробей.
Шаг 3: Упростите сумму.

Этапы сложения/вычитания дробей с разными знаменателями

Шаг 1: Определите наименьший общий знаменатель данных дробей.
Шаг 2: Умножьте знаменатель каждой из данных дробей на коэффициент так, чтобы произведение было наименьшим общим знаменателем в шаге 1. Умножьте также тот же множитель на их числители.
Шаги 3-5 повторяют шаги при сложении/вычитании дробей с одинаковым знаменателем
Шаг 3: Из получившихся дробей в шаге 2 возьмите одинаковый знаменатель. 
Шаг 4: Сложите/вычтите числители.
Шаг 5: Упрощение.

Сложение/вычитание неправильных дробей

Шаги сложения и вычитания неправильных дробей такие же, как описанные ранее для сложения и вычитания дробей. Единственным дополнительным шагом является преобразование неправильной дроби в смешанную дробь.

Сложение/вычитание смешанных дробей

Это способы сложения или вычитания смешанных дробей.

Метод 1: Преобразование смешанных дробей в неправильные дроби

Шаг 1 : Преобразование заданных смешанных дробей в неправильные дроби.
Шаг 2 : Сценарий 1: Если знаменатели совпадают, возьмите тот же знаменатель.
Сценарий 2: Если знаменатели разные, найдите ЖК-дисплей знаменателей.
       Умножьте знаменатель каждой из данных дробей на такой коэффициент, чтобы произведение было наименьшим общим знаменателем. Умножьте также тот же множитель на их числители.
Шаг 3 : Возьмите те же знаменатели, что и в Шаге 2.