Прямая пропорциональность y = kx свойства и график функции
- Определение прямой пропорциональности
- График прямой пропорциональности
- Примеры
Определение прямой пропорциональности
Если машина движется со скоростью 50 км/ч, пройденное расстояние (в километрах) в зависимости от времени (в часах) s = 50t. Время мы определяем как $t\geq0$. Но механика позволяет нам рассчитать не только будущее положение тела, но и прошлое, подставив в формулу $t \lt 0$ и запросто «прокрутив» время назад. Поэтому в общем случае, если движение было и остаётся постоянным, мы получаем:
$${\left\{ \begin{array}{c} — \infty \lt t\lt + \infty \\ s = 50t \end{array} \right.}$$
Можно представить себе не только отрицательное время («поход в прошлое»). Ещё проще ввести отрицательные координаты: направо идём – координата растёт, становится положительной, поворачиваем налево – уменьшается, становится отрицательной.
В задачах, связанных с экономикой, величины также могут уходить в «плюс» и «минус»: покупки/продажи, кредиты/депозиты, доходы/затраты, прибыли/убытки . Часто эти величины изменяются на какую-то постоянную сумму с течением времени.
Если обобщить формулы, описывающие подобные зависимости, то получаем:
Если $k \gt 0$, то чем больше x, тем больше y – функция возрастает.
Если $k \lt 0$, то чем больше x, тем больше y – функция убывает.
График прямой пропорциональности
Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат.
Согласно аксиоме планиметрии, через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Значит, положение прямой на плоскости полностью определяется двумя точками . Получаем:
Например: построим график функции y = 2x
Примеры
Пример 1. Постройте графики прямых пропорциональностей.
Укажите, возрастает или убывает функция.
а) y = x
$k = 1 \gt 0$ – функция возрастает
б) y = 3x
$k = 3 \gt 0$ – функция возрастает
в) $y = \frac{1}{3} x$
$k = \frac{1}{3} \gt 0$ – функция возрастает
г) y = -x
$k = -1 \lt 0$ – функция убывает
д) y = -2x
$k = -2 \lt 0$ – функция убывает
е) $y = — \frac{1}{2} x$
$k = -\frac{1}{2} \lt 0$ – функция убывает
Пример 2.
Известно, что график прямой пропорциональности проходит через точку A(5;22). Проходит ли этот график через точки B(7;32,4)и C(9;39,6)?
Точка A определяет коэффициент пропорциональности:
$$ k= \frac{y_A}{x_A} = \frac{22}{5} = 4,4 $$
При $x = 7:y = 4,4 \cdot 7 = 30,8 \neq 32,4 \Rightarrow$ B не принадлежит графику.
При $x = 9:y = 4,4 \cdot 9 = 39,6 \Rightarrow C$ принадлежит графику.
Пример 3. Является ли прямой пропорциональностью функция, проходящая через точки:
а) A(1,5;2,75) и B(12;22)
Найдём коэффициенты пропорциональностей для каждой из точек:
$$ k_A = \frac{y_A}{x_A} = \frac{2,75}{1,5} \stackrel{\text{ × 4}}{=} \frac{11}{6} = \frac{15}{6} $$
$$ k_B = \frac{y_B}{x_B} = \frac{22}{12} = \frac{11}{6} = \frac{15}{6} $$
$k_A = k_B \Rightarrow$ прямая AB $y=1 \frac{5}{6} x$ является прямой пропорциональностью.
б) A(3;4,5) и B(5;8)
Найдём коэффициенты пропорциональностей для каждой из точек:
$$ k_A = \frac{y_A}{x_A} = \frac{2,75}{1,5} = \frac{4,5}{3} = 1,5 $$
$$ k_B = \frac{y_B}{x_B} = \frac{8}{5} = 1,6 $$
$k_A \neq k_B \Rightarrow$ прямая AB не является прямой пропорциональностью.
Рейтинг пользователей
за неделю
- за неделю
- один месяц
- три месяца
Помогай другим
Отвечай на вопросы и получай ценные призы каждую неделю
См. подробности
Уравнение прямой
Уравнение прямой обычно записывается так:
у = мх + б
(или «y = mx + c» в Великобритании, см. ниже)
Что это означает?
| Наклон или Градиент | y значение, когда (см. Пересечение Y) |
y = Как далеко
x = как далеко вдоль
M = наклон или градиент (насколько крутой линия)
B = Значение y 8, когда 7788, 9005
B = значение Y 8888887777777777888877777888888
B = стоимость 7.
87777778888777777778887778788788
b = значение 88888
B . х=0
Как найти «м» и «б»?
- b легко: просто посмотрите, где линия пересекает ось Y.
- м (Уклон) нуждается в расчете:
м = Изменение Y Изменение X
Зная это, мы можем составить уравнение прямой линии:
Пример 1
м = 2 1 = 2
b = 1 (значение y , когда x=0)
Подставляя это в y = mx + b , получаем:
y = 2x + 1
Теперь с помощью этого уравнения мы можем …
… выберите любое значение для x и найдите соответствующее значение для y
Например, когда x равно 1:
y = 2× 1 + 1 = 3
Убедитесь сами, что x=1 и y=3 на самом деле находится на линии.
Или мы могли бы выбрать другое значение для x, например 7:
y = 2× 7 + 1 = 15
Таким образом, когда x=7, у вас будет y=15
Положительный или отрицательный наклон?
Двигаясь слева направо, велосипедист должен P проехать по P положительный наклон:
Пример 2
м = −3 1 = −3
b = 0
Это дает нам:
y = −3x + 0
Нуль нам не нужен! Итак:
y = −3x
Пример 3: Вертикальная линия
Какое уравнение составляет вертикальная линия?
Наклон undefined … и где он пересекает ось Y?
На самом деле это частный случай , и мы используем другое уравнение, не « y =…», а вместо этого используем « x =…».
Вот так:
x = 1,5
Каждая точка на прямой имеет координату x 1,5 ,
, поэтому ее уравнение x = 1,5
Вставай и беги
Иногда употребляются слова «вставать» и «бежать».
- Подъем — это то, насколько высоко
- Бежать — это как далеко
Таким образом, наклон «м» равен:
м = подъем пробег
Возможно, вам будет легче это запомнить.
Теперь поиграйте с графиком!Вы можете увидеть влияние различных значений м (наклон) и b (пересечение по оси y) в разделе Исследование прямолинейного графика |
Другие формы
Мы смотрели на форму «наклон-пересечение». Уравнение прямой можно записать многими другими способами .
Другой популярной формой является уравнение точки-наклона прямой линии.
358 359 517 518, 1156, 1157, 3204, 3205, 3206, 3207
Сноска
Страна Примечание:
В разных странах учат разным «обозначениям» (присланным мне добрыми читателями):
| В США, Австралии, Канаде, Эритрее, Иране, Мексике, Португалии, Филиппинах и Саудовской Аравии обозначение: | |
| В Великобритания, Австралия (также), Багамы, Бангладеш, Бельгия, Бруней, Болгария, Кипр, Египет, Германия, Гана, Индия, Индонезия, Ирландия, Ямайка, Кения, Кувейт, Малайзия, Малави, Мальта, Непал , Новая Зеландия, Нигерия, Оман, Пакистан, Перу, Сингапур, Соломоновы острова, Южная Африка, Шри-Ланка, Турция, ОАЭ, Замбия и Зимбабве | у = мх + с |
| В Афганистан, Албания, Алжир, Бразилия, Китай, Чехия, Дания, Эфиопия, Франция, Ливан, Нидерланды, Косово, Кыргызстан, Норвегия, Польша, Румыния, Южная Корея, Суринам, Испания, Тунис и Вьетнам Имя: | у = топор + б |
| В Азербайджан, Китай, Финляндия, Россия и Украина : | у = кх + б |
| В Греция : | ψ = αχ + β |
| В Италия : | у = мх + q |
| В Япония : | у = мх + д |
| В Куба и Израиль : | у = мх + п |
| В Румыния : | у = гА + С |
| В Латвии и Швеции : | у = кх + м |
| В Сербия и Словения : | у = кх + п |
| В вашей стране: | дайте нам знать! |
.