Y arcsin x sin x: Решить y=arcsin(sinx) | Microsoft Math Solver

2 \cdot x < \frac12 OA \cdot AC$

$\frac12 \sin x < \frac12 x < \frac12 \mathop {\rm tg}\nolimits x$.

Таким образом, $\sin x < x < \frac{\sin x}{\cos x}$.

$\cos x < \frac{\sin x}x < 1$. $\forall x\colon 0 < |x| < \frac\pi 2$.

Т.к. $y = \cos x$ непрерывна в точке $x=0$, то $\lim \limits _{x\to 0} \cos x = \cos 0 = 1$.

По теореме о зажатой функции $\lim \limits _{x\to 0} \frac{\sin x}x = 1$. $\blacksquare $

Следствие. $\lim \limits _{x\to 0} \frac{\arcsin x}x = 1$.

$\blacktriangle $ Рассмотрим $y = \arcsin x$. Тогда $\lim \limits _{x\to 0} y(x) = \arcsin 0 = 0$, $y(x) \neq 0$ при $x \neq 0$.

Т.к. $\lim \limits _{y\to 0} \frac{y}{\sin y} = 1$, то по теореме о замене переменной в пределе $\lim \limits _{x\to 0} \frac{\arcsin x}{x} = \lim \limits _{y\to 0} \frac{y}{\sin y} = 1$. $\blacksquare $

Лемма 5.3. Если $\{ K_ n\} , K_ n \in \mathbb {N}, K_ n\to +\infty $, то $\lim \limits _{n\to \infty }(1 + \frac1{K_ n})^{K_ n} = e$.

x — 1}{x} = 1$. $\blacksquare $

Арксинус, формула, график функции арксинус, урок и презентация

Дата публикации: .

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.


Скачать:Тригонометрические уравнения. Арксинус (PPTX)



Что будем изучать:
1. Что такое арксинус?
2. Обозначение арксинуса.
3. Немного истории.
4. Определение.
5. Таблица значений арксинуса.
6. Примеры.

Что такое арксинус?

Ребята, мы с вами уже научились решать уравнения для косинуса, давайте теперь научимся решать подобные уравнения и для синуса. Рассмотрим sin(x)= √3/2. Для решения этого уравнения требуется построить прямую y= √3/2 и посмотреть: в каких точках она пересекает числовую окружность. Видно, что прямая пересекает окружность в двух точках F и G. Эти точки и будут решением нашего уравнения. Переобозначим F как x1, а G как x2. Решение этого уравнения мы уже находили и получили: x1= π/3 + 2πk,
а x2= 2π/3 + 2πk.

Решить данное уравнение довольно просто, но как решить, например, уравнение
sin(x)= 5/6. Очевидно, что это уравнение будет иметь также два корня, но какие значения будут соответствовать решению на числовой окружности? Давайте внимательно посмотрим на наше уравнение sin(x)= 5/6.
Решением нашего уравнения будут две точки: F= x1 + 2πk и G= x2 + 2πk,
где x1 – длина дуги AF, x2 – длина дуги AG.
Заметим: x2= π — x1, т.к. AF= AC — FC, но FC= AG, AF= AC — AG= π — x1.
Но, что это за точки?

Столкнувшись с подобной ситуацией, математики придумали новый символ – arcsin(x). Читается, как арксинус.

Тогда решение нашего уравнения запишется так: x1= arcsin(5/6), x2= π -arcsin(5/6).

И решение в общем виде: x= arcsin(5/6) + 2πk и x= π — arcsin(5/6) + 2πk.
Арксинус — это угол (длина дуги AF, AG) синус, которого равен 5/6.

Немного истории арксинуса


История происхождения нашего символа совершенно такая же, как и у arccos. Впервые символ arcsin появляется в работах математика Шерфера и известного французского ученого Ж.Л. Лагранжа. Несколько ранее понятие арксинус рассматривал Д. Бернули, правда записывал его другими символами.

Общепринятыми эти символы стали лишь в конце XVIII столетия. Приставка «arc» происходит от латинского «arcus» (лук, дуга). Это вполне согласуется со смыслом понятия: arcsin x — это угол (а можно сказать и дуга), синус которого равен x.

Определение арксинуса

Если |а|≤ 1, то arcsin(a) – это такое число из отрезка [- π/2; π/2], синус которого равен а.


Если |а|≤ 1, то уравнение sin(x)= a имеет решение: x= arcsin(a) + 2πk и

x= π — arcsin(a) + 2πk


Перепишем:

x= π — arcsin(a) + 2πk = -arcsin(a) + π(1 + 2k).

Ребята, посмотрите внимательно на два наших решения. Как думаете: можно ли их записать общей формулой? Заметим, что если перед арксинусом стоит знак «плюс», то π умножается на четное число 2πk, а если знак «минус», то множитель — нечетный 2k+1.
С учётом этого, запишем общую формула решения для уравнения sin(x)=a:

Есть три случая, в которых предпочитают записывать решения более простым способом:

sin(x)=0, то x= πk,

sin(x)=1, то x= π/2 + 2πk,

sin(x)=-1, то x= -π/2 + 2πk.

Для любого -1 ≤ а ≤ 1 выполняется равенство: arcsin(-a)=-arcsin(a).


Таблица значений арксинуса

Таблица значений синуса

Таблица значений арксинуса

Напишем таблицу значений косинуса наоборот и получим таблицу для арксинуса.


Примеры

1. Вычислить: arcsin(√3/2).
Решение: Пусть arcsin(√3/2)= x, тогда sin(x)= √3/2. По определению: — π/2 ≤x≤ π/2. Посмотрим значения синуса в таблице: x= π/3, т.к. sin(π/3)= √3/2 и –π/2 ≤ π/3 ≤ π/2.
Ответ: arcsin(√3/2)= π/3.

2. Вычислить: arcsin(-1/2).
Решение: Пусть arcsin(-1/2)= x, тогда sin(x)= -1/2. По определению: — π/2 ≤x≤ π/2. Посмотрим значения синуса в таблице: x= -π/6, т.к. sin(-π/6)= -1/2 и -π/2 ≤-π/6≤ π/2.
Ответ: arcsin(-1/2)=-π/6.

3. Вычислить: arcsin(0).
Решение: Пусть arcsin(0)= x, тогда sin(x)= 0. По определению: — π/2 ≤x≤ π/2. Посмотрим значения синуса в таблице: значит x= 0, т.к. sin(0)= 0 и — π/2 ≤ 0 ≤ π/2. Ответ: arcsin(0)=0.

4. Решить уравнение: sin(x) = -√2/2.
Решение: Воспользуемся определением, тогда решение запишется в виде:

x= arcsin(-√2/2) + 2πk и x= π — arcsin(-√2/2 ) + 2πk.
Посмотрим в таблице значение: arcsin (-√2/2 )= -π/4.
Ответ: x= -π/4 + 2πk и x= 5π/4 + 2πk.

5. Решить уравнение: sin(x) = 0.
Решение: Воспользуемся определением, тогда решение запишется в виде:
x= arcsin(0) + 2πk и x= π — arcsin(0) + 2πk. Посмотрим в таблице значение: arcsin(0)= 0.
Ответ: x= 2πk и x= π + 2πk

6. Решить уравнение: sin(x) = 3/5.
Решение: Воспользуемся определением, тогда решение запишется в виде:
x= arcsin(3/5) + 2πk и x= π — arcsin(3/5) + 2πk.
Ответ: x= (-1)n — arcsin(3/5) + πk.

7. Решить неравенство sin(x) Решение: Синус — это ордината точки числовой окружности. Значит: нам надо найти такие точки, ордината которых меньше 0.7. Нарисуем прямую y=0.7. Она пересекает числовую окружность в двух точках. Неравенству y Тогда решением неравенства будет: -π – arcsin(0.7) + 2πk

Задачи на арксинус для самостоятельного решения


1) Вычислить: а) arcsin(√2/2), б) arcsin(1/2), в) arcsin(1), г) arcsin(-0.8).
2) Решить уравнение: а) sin(x) = 1/2, б) sin(x) = 1, в) sin(x) = √3/2, г) sin(x) = 0.25,
д) sin(x) = -1.2.
3) Решить неравенство: а) sin (x)> 0.6, б) sin (x)≤ 1/2.

тригонометрия — Почему $\arcsin(\sin(x))$ равно $x$?

$\begingroup$

Почему $\arcsin(\sin(x))$ равно $x$?

В большинстве видеороликов только говорится об этом, но не дается никаких объяснений, кроме: «Они отменяются». Поскольку это не взаимно, как они «отменяются»?

  • тригонометрия
  • обратная функция

$\endgroup$

2

$\begingroup$

По определению, $\arcsin\colon[-1,1]\longrightarrow\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]$ является обратным сужению на $\left[-\frac\ pi2,\frac\pi2\right]$ функции синуса. Следовательно, для каждого $x\in\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]$ мы имеем $\arcsin\bigl(\sin(x)\bigr)=x$, потому что это часть определения обратных функций. Другая часть определения говорит, что если $x\in[-1,1]$, то $\sin\bigl(\arcsin(x)\bigr)=x$.

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Это , а не действительно для всех $x$! Например. $\arcsin(\sin(10\tfrac{\pi}{4})) = \arcsin(1) = \tfrac{\pi}{2}.$ Поскольку $\sin(x)$ является периодическим, вы должны ограничить $x$ до $[- \tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}].$ Для других $x$ вы получить пилообразную функцию для $\arcsin(\sin(x))$

$\endgroup$

1 9{-1}(f(x))=x$ для всех $x \in A$.

Это означает «отмена».

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Возможно, это поможет увидеть это графически.

Ограничение $x \in [-\pi/2, \pi/2]$ для того, чтобы существовало уникальное значение для $\arcsin(x)$. Черные стрелки на графике ниже показывают влияние $x\to \sin(x) = y$. Затем красные стрелки показывают эффект $y \to \arcsin(y)=\arcsin(\sin(x)) = x$, и вы возвращаетесь к тому, с чего начали.

Вы можете вообразить расширение графика за пределы $x \in [-\pi/2, \pi/2]$, чтобы понять, почему не существует уникального значения $\arcsin(x)$.

$\endgroup$

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя адрес электронной почты и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

Мэтуэй | Популярные проблемы

92
1 Найти точное значение грех(30)
2 Найти точное значение грех(45)
3 Найти точное значение грех(30 градусов)
4 Найти точное значение грех(60 градусов)
5
Найти точное значение
загар (30 градусов)
6 Найти точное значение угловой синус(-1)
7 Найти точное значение грех(пи/6)
8 Найти точное значение соз(пи/4)
9 Найти точное значение грех(45 градусов)
10 Найти точное значение грех(пи/3)
11 Найти точное значение арктан(-1)
12 Найти точное значение cos(45 градусов)
13 Найти точное значение cos(30 градусов)
14 Найти точное значение желтовато-коричневый(60)
15 Найти точное значение csc (45 градусов)
16 Найти точное значение загар (60 градусов)
17 Найти точное значение сек (30 градусов)
18 Найти точное значение cos(60 градусов)
19 Найдите точное значение соз(150)
20 Найти точное значение грех(60)
21 Найти точное значение соз(пи/2)
22 Найти точное значение загар (45 градусов)
23 Найти точное значение arctan(- квадратный корень из 3)
24 Найти точное значение csc (60 градусов)
25 Найти точное значение сек (45 градусов)
26 Найти точное значение csc (30 градусов)
27 Найти точное значение грех(0)
28 Найти точное значение грех(120)
29 Найти точное значение соз(90)
30 Преобразовать из радианов в градусы пи/3
31 Найти точное значение желтовато-коричневый(30)
35 Преобразовать из радианов в градусы пи/6
36 Найти точное значение детская кроватка(30 градусов)
37 Найти точное значение арккос(-1)
38 Найти точное значение арктический(0)
39 Найти точное значение детская кроватка(60 градусов)
40 Преобразование градусов в радианы 30
41 Преобразовать из радианов в градусы (2 шт.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

© 2015 - 2019 Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение «Таловская средняя школа»

Карта сайта