Y x 5 найдите производную функции: Найдите производную функции a) y=x^5. b) y=3. c) y=4/x. d) y=3-2x e) y=2√x+3sin x f)…

Можно показать, что если y = x ² , то производная равна

Итак, для этой кривой, когда x = 1, наклон равен 2; наклон при x = 3 равен 6,

Производная этой кривой равна dy/dx = 3x ² .

Когда х = -1, dy/dx = 3; когда x = 2, dy/dx = 12.

Константы и степени x

Производная числа равна нулю.

ax ⁿ — это функция, состоящая из числа (a), умноженного на x, возведенного в степень, n. Чтобы найти производную этой функции, умножьте число на степень (an) и уменьшите степень индекса на 1.

Используя формулу для производной (dy/dx = anx ^n-1 ), мы можем показать, что

(i) когда y = 3x ³ , dy/dx = 9x ²
(ii) когда y = 1/x , это можно записать как y = x ^-1 . Поэтому dy/dx = -x ^-2 = -1/(х ² )
(iii) когда y = 2√x , это можно записать как y = 2x ^(1/2) . Следовательно, dy/dx = x ^-(1/2) = 1/(√x)

Когда y = -2x ³ , dy/dx = -6x ² .

Для x = -2 dy/dx = -24.

Пример 4. Покажите, что кривые y = 3x и y = 2 имеют постоянный наклон.

y = 3x можно записать y = 3x ¹ ; dy/dx = 3x ⁰ = 3 , что является константой. «Кривая», y = 3x, представляет собой прямую линию с наклоном 3.

y = 2 можно записать как y = 2x ⁰ , dy/dx = 0 (еще одна константа). «Кривая» y = 2 представляет собой прямую линию, параллельную оси x (нулевой наклон).

Сложение и вычитание

Если две функции сложить вместе, их можно дифференцировать по отдельности и добавить производные. Если вычитаются две функции, их можно дифференцировать по отдельности и вычесть производные.

(i) Для функции y = 4x ² + 2x + 3 производная равна dy/dx = 8x + 2

(ii) Для функции x ⁵ — 5/x производная равна dy/dx = 5x ⁴ + 5/x ²

Синус и косинус

Производная синуса есть косинус. Умножьте полученный косинус на производную функции внутри исходного синуса. Производная косинуса минус синус. Умножьте полученный синус на производную функции внутри исходного косинуса.

(i) y = Sin(x) ; dy/dx = Cos(x)

(ii) y = 3Cos(2x) ; dy/dx = -6Sin(2x)

(iii) y = Sin(x ² ) ; dy/dx = 2xCos(x ² )

(iv) y = x — Cos(x) ; у = 1 + Sin(x)

Товары

Функция	Производная
y = uv	dy/dx = u (dv/dx) + v (du/dx)
В этом уравнении u и v являются функциями x, умноженными вместе. Это называется дифференциацией продуктов.

При перемножении двух функций производная находится следующим образом. Первая функция умножается на производную второй функции. Вторая функция умножается на производную первой функции. Эти два новых термина добавлены вместе.

Это продукт (uv), поэтому мы используем приведенную выше формулу для дифференциации продуктов.

dy/dx = xCos(x) + Sin(x) .

y = (x ² + 1)√x ³ можно записать у = (х ² + 1)х ^(3/2)

Используя формулу дифференциации продуктов,

dy/dx = (x ² + 1)(3/2)x ^(1/2) + x ^(3/2) (2x) = (3/2)(х ² + 1)√х + 2х√х ³

Коэффициенты

Если разделить две функции, то производная находится следующим образом. Функция знаменателя (та, что под чертой) умножается на производную функции числителя (той, что над чертой). Функция числителя умножается на производную функции знаменателя. Эти два новых члена вычитаются вместе и делятся на квадрат исходного знаменателя.

y = Tan(x) можно записать как y = Sin(x) / Cos(x) . Это частное.

dy/dx = [Cos(x).Cos(x) — Sin(x).-Sin(x)] / Cos ² (x) , (используя приведенную выше формулу частного)

= [Cos(x). Cos(x) + Sin(x).Sin(x)] / Cos ² (x) = [Cos ² (x) + Sin ² (x)] / Cos ² (x)

= 1 / Cos ² (х)

Обратная величина косинуса называется секансом (Sec): 1 / Cos(x) = Sec(x). Следовательно, производная от y = Tan(x) равна

Используя формулу отношения к y = Sin(x) / (x ² + 1) ,

dy/dx = [(x ² + 1)Cos(x) — 2xSin(x)] / [(x ² + 1) ² ]

Когда x = 0, dy/dx = (0 + 1 — 0) / (0 + 1) ² = 1 / 1 = 1.

Неявное дифференцирование

Если в y есть функция, ее все равно можно дифференцировать. Дифференцируйте его, как и раньше, затем умножьте на dy/dx.

Это уравнение можно решить относительно y и затем продифференцировать. Но проще использовать неявное дифференцирование:

2x + 2y(dy/dx) = 0 .

Перестановка дает: dy/dx = -2x/2y = — x/y

В точке x = 0, y = -2, dy/dx = 0.

Пример 12: Выразите dy/dx через x для уравнения Sin(y) = x ² .

Неявное дифференцирование дает (dy/dx)Cos(y) = 2x . Преобразование в (dy/dx) = 2x/Cos(y) .

Вспоминая, что Cos ² (y) + Sin ² (y) = 1, мы можем сказать, что Cos(y) = √[1 — Sin ² (y)] .

Замена дает (dy/dx) = 2x/√[1 — Sin ² (y)] = 2x/√[1 — x ⁴ ] .

Обратные тригонометрические функции

Функция	Производная
y = ArcCos(x)	dy/dx = -1 / [1 — x 2 ] 1/2
y = ArcSin(x)	dy/dx = 1 / [1 — x 2 ] 1/2
y = ArcTan(x)	dy/dx = 1 / [1 + x 2 ]
Углы (x) должны быть в радианах.

Производная определяется как dy/dx = -1/[1 — x ² ] ^1/2 .

Помещение значения x = 0,5 дает dy/dx = -1/[1 — 0,5 ² ] ^1/2 = -1,154.

Логарифмы

Производная натурального логарифма функции есть обратная величина функции, умноженная на производную функции.

Это просто определяется как dy/dx = 1/x .

Пример 15. Дифференцируем y = Ln(Cos(x)).

Использование приведенной выше формулы дает dy/dx = (1/Cos(x)).-Sin(x) = -Sin(x)/Cos(x) = -Tan(x)

Логарифмы можно использовать для дифференцирования более сложных функций:

2 ^y = 3 ^Sin(x) нельзя дифференцировать как есть. Мы можем взять логарифмы с обеих сторон:

Ln(2 ^y ) = Ln(3 ^Sin(x) ) .

Помня логарифмические правила индексов, мы можем переписать это как:

yLn(2) = Sin(x)Ln(3) . Теперь это можно дифференцировать неявно:

(dy/dx)Ln(2) = Ln(3)Cos(x) , что дает dy/dx = Ln(3)Cos(x)/Ln(2) .

Экспоненциальные функции

Функция	Производное
a u	(du/dx)a u Ln(a)
e u	(du/dx)e u
В этом уравнении u — функция x, a — число. Число e является основанием натуральных логарифмов.

Производная числа, возведенная в степень функции, — это число, возведенное в степень функции, умноженное на производную функции, умноженную на логарифм числа. Если число равно e, производная функции просто умножается на e, возводимую в функцию.

Использование приведенной выше формулы для y = 2 ^3x дает dy/dx = 3.Ln(2).2 ^3x . Пример 18: Дифференцируйте следующие функции: (i) y = e ^Sin(x) , (ii) у = е ^х .

(i) Использование приведенной выше формулы для y = e ^Sin(x) дает dy/dx = Cos(x).e ^Sin(x) .

(ii) Производная от y = e ^x равна dy/dx = e ^х .

Решение уравнений (метод приближений Ньютона)

Прежде чем дать формулу и метод, я определю следующие сокращенные термины:

Формула Ньютона для приближений:

где f(x) — функция, которую нужно решить, а a — предположение о решении.

• Возьмите функцию и поставьте значение x = a. Это ф(а).
• Возьмите производную функции F(x) и поставьте значение x = a. Это Ф(а).
• Разделите два значения: f(a) / F(a).
• Вычтите это из предположения, a.
• Это даст приблизительное значение x для исходного уравнения, f(x) = 0.

Это значение x основано на значении, выбранном для a. Чем лучше исходное предположение для a, тем ближе будет x к правильному значению. Если догадка а не близка к правильному значению, эта формула может вообще не работать.

Затем новое значение x можно вставить в формулу, и процесс повторяется до тех пор, пока не будет достигнута желаемая точность. Чем ближе угаданное значение (а) к правильному значению, тем меньше раз нужно использовать формулу.

Подобный повторяющийся процесс называется итерацией .

Несколько примеров покажут, как работает формула.

Это означает решение уравнения x ² = 10 , которое можно преобразовать в x ² — 10 = 0 . Теперь это в желаемом формате, f(x) = 0 . Функция f(x) имеет значение:

Таким образом, производная функции F(x):

Глядя на уравнение («проверкой»), мы знаем, что решение этого уравнения близко к 3 (поскольку 3 ² = 9), поэтому мы устанавливаем значение первого предположения, a, равным 3. Мы можем затем запишите компоненты, необходимые для использования формулы Ньютона:

• а = 3
• f(а) = f(3) = 3 ² — 10 = -1
• F(а) = F(3) = 2 × 3 = 6

Используя формулу Ньютона:

x _{приблизительно} = a — f(a) / F(a) = 3 — f(3) / F(3) = 3 — (-1/6) = 3 + 1/6 = 3,1666

Мы начали с того, что предположили, что x равно 3, и получили лучшее приближение (3,1666). Теперь мы можем использовать это новое значение в формуле, чтобы получить еще лучшее приближение.

• а = 3,1666
• f(a) = f(3,1666) = 3,1666 ² — 10 = 0,0273
• F(a) = F(3,1666) = 2 × 3,1666 = 6,3332

Использование формулы Ньютона во второй раз дает:

x _{приблизительно} = a — f(a) / F(a) = 3,1666 — f(3,1666) / F(3,1666) = 3,1666 — (0,0273 / 6,3332) = 3,1622

Повторение процесса с новым значением дает третье значение x как 3,1623 с точностью до четырех знаков после запятой. После трехкратного использования формулы ответ выходит как x = 3,162 с точностью до трех знаков после запятой.

Начнем с записи функции и ее производной: f(x) = x ³ — 5x + 3 и F(x) = 3x ² — 5

Глядя на уравнение, мы видим, что f(1) = -1 и f(2) = 1, поэтому должно быть значение, близкое к 2, которое дает f(x) = 0. Мы можем положить наше предполагаемое значение ( а) равно 2; фактическое значение x будет немного меньше.

• а = 2
• f(a) = f(2) = 2 ³ — (5 × 2) + 3 = 1
• F(a) = F(2) = (3 × 2 ² ) — 5 = 7

Используя формулу Ньютона:

x _{приблизительно} = a — f(a) / F(a) = 2 — f(2) / F(2) = 2 — (1/7) = 1,857

Это означает, что 1,857 является более близким приближением к значению x, чем 2. Теперь мы можем установить значение 1,857 и снова запустить процесс:

• а = 1,857
• f(a) = f(1,857) = 1,857 ³ — (5 × 1,857) + 3 = 0,1187
• F(a) = F(1,857) = (3 × 1,857 ² ) — 5 = 5,3453

Используя формулу Ньютона (второй раз):

x _{приблизительно} = a — f(a) / F(a) = 1,857 — f(1,857) / F(1,857) = 1,857 — (0,1187 / 5,3453) = 1,834

Используя это значение:

• а = 1,834
• f(a) = f(1,834) = 1,834 ³ — (5 × 1,834) + 3 = -0,0012
• F(a) = F(1,834) = (3 × 1,834 ² ) — 5 = 5,0906

Используя формулу Ньютона (третий раз):

x _{приблизительно} = a — f(a) / F(a) = 1,834 — f(1,834) / F(1,834) = 1,834 — (-0,0012 / 5,0906) = 1,834

Таким образом, к третьей итерации значение установилось (с точностью до трех знаков после запятой) до x = 1,834.

Кубические уравнения обычно имеют три корня. Существует еще одно значение x, которое можно найти, установив для предположения (a) значение -2. Читателю будет приятно узнать, что я оставлю это в качестве упражнения.

Не существует простого метода алгебраического решения этого уравнения. Мы могли бы сделать это графически, построив графики y = Cos(x) и y = x на том же листе бумаги и найти значение x, где они пересекаются. Это показано на диаграмме ниже.

Переставляя, мы имеем Cos (x) — x = 0 , поэтому мы можем записать функцию и ее производную как f(x) = Cos(x) — x и F(x) = -Sin(x ) — 1 , соответственно Из наших знаний о косинусе мы знаем, что его значение колеблется между y = 1 и y = -1 для всех значений x. Из наших знаний о линейных графиках мы также знаем, что y = x — это прямая линия с положительным наклоном, проходящая через начало координат. Из этого анализа (и изучив приведенный выше график) мы можем сделать вывод, что две функции встретятся в одном месте вблизи значения x = 1. Следовательно, мы можем установить наше первое предположение (a) равным 1,9.0910 Напомним, что при дифференциации тригонометрических функций мы должны работать в радианах , а не в градусах. Итак, теперь мы можем оценить компоненты формулы Ньютона.

• а = 1
• f(a) = f(1) = Cos(1) — 1 = -0,4596
• F(a) = F(1) = -Sin(1) — 1 = -1,8414

Используя формулу Ньютона:

x _{приблизительно} = a — f(a) / F(a) = 1 — f(1) / F(1) = 1 — (-0,4596 / -1,8414) = 0,7504

Используя это значение:

• а = 0,7504
• f(a) = f(0,7504) = Cos(0,7504) — 0,7504 = -0,0189
• F(a) = F(0,7504) = -Sin(0,7504) — 1 = -1,6819

Используя формулу Ньютона во второй раз:

x _{приблизительно} = a — f(a) / F(a) = 0,7504 — f(0,7504) / F(0,7504) = 0,7504 — (-0,0189 / -1,6819) = 0,7391

Используя это новое значение:

• а = 0,7391
• f(a) = f(0,7391) = Cos(0,7391) — 0,7391 = -0,0000 (до четырех знаков после запятой)
• F(a) = F(0,7391) = -Sin(0,7391) — 1 = -1,6735

Из приведенного выше видно, что значение f(0,7391) составляет от нуля до четырех знаков после запятой, поэтому значение аппроксимации не изменится.

Следовательно, с точностью до трех знаков после запятой x = 0,739 после трех итераций.

Скорость изменения

Если существует связь между пройденным расстоянием (с) и временем (t), то производная расстояния по времени ds/dt дает скорость (v) в любой момент времени.

Скорость v определяется как ds/dt, поэтому мы дифференцируем приведенное выше уравнение относительно t:

v = ds/dt = 4t — 3 . Когда t = 4 с, v = 13 м/с.

Если существует связь между скоростью частицы (v) и временем (t), то производная v по t dv/dt , дает ускорение (а) в любой момент времени.

Ускорение a определяется как dv/dt, поэтому мы дифференцируем приведенное выше уравнение относительно t:

а = dv/dt = 4 . Ускорение постоянно и равно 4 м/с ² .

Если есть связь между энергией (E) и во времени (t), тогда производная от E по t, dE/dt , дает в степени (P) в любое время.

Мощность P определяется как dE/dt, поэтому мы дифференцируем приведенное выше уравнение относительно t:

P = dE/dt = 3t ² . Таким образом, мощность через 2 с составляет 12 Вт.

Таким образом, дифференцирование является одним из самых мощных инструментов в математике и физике.

Но прежде чем мы углубимся в эту идею, давайте подытожим другое содержание лекций.

Я начинаю лекцию 4A с решения задач с экспоненциальными уравнениями.

Общий смысл решения таких задач таков. Учитывая две точки данных

и , ищем числа и такие, что график показательной функции проходит через эти точки.

Это означает, что мы хотим, чтобы

и оба были правдой. Деление первого уравнения на второе дает , предполагая . Затем это уравнение решается путем извлечения корня из обеих частей. Затем вы можете использовать одно из исходных уравнений для решения .

Другим важным моментом в лекции 4А является идея моделирования данных. Рассматриваются реальные данные о валовом внутреннем продукте (ВВП) США. Затем я графически сравниваю, какая модель лучше «подходит» для данных — линейная или экспоненциальная. Считается, что экспоненциальная модель лучше, потому что ее остатки (ошибки) более случайны. Это очень важная перспектива, если вы хотите использовать математические модели в реальной жизни.

Последний пункт лекции 4А — композиция функций. Композиция функций означает, что мы применяем две функции в последовательности . Учитывая две функции

и соответствующие домены и кодомены, мы можем сформировать новую функцию. Эта функция определяется формулой . Другими словами, вывод подключается к . Это важная концепция как для более глубокого понимания функций, так и для идеи обратной функции.

Это приводит нас к лекции 4B, где я начинаю описывать обратные функции и их свойства.

Сначала более подробно дается идея композиции функций на примере.

Отсюда определяются обратные функции для взаимно однозначных функций. Для заданной взаимно однозначной (инъективной) функции

ее обратная функция определена так, чтобы удовлетворять двум свойствам относительно композиции. Оно должно удовлетворять всем в области . И оно должно удовлетворять всем в области (которая является диапазоном .

Еще один факт, который я подчеркиваю в этой лекции, заключается в том, что функции, которые не являются взаимно однозначными, иногда можно сделать таковыми путем соответствующего ограничения их доменов. В частности, области определения квадратичных функций можно соответствующим образом ограничить, используя метод завершения квадрата для записи их формул в вершинной форме.

Я начинаю лекцию 5A, используя систему компьютерной алгебры (CAS) Mathematica , чтобы построить график 92 в этом посте.

Я также использую функцию под названием «Управление» в Mathematica , чтобы сделать анимацию графика

по мере увеличения . Это соответствует горизонтальному переносу (сдвигу) «родительской» функции.

Отсюда я решаю физическую задачу о высоте объекта под действием силы тяжести, используя функцию, обратную квадратичному. Как уже упоминалось, метод завершения квадрата используется для преобразования квадратного числа в вершинную форму. Затем область определения сужается и по квадратичной формуле находится соответствующая обратная функция. 92 при произвольном значении x для измерения (мгновенной) скорости изменения функции в этой точке. Это также описывается как наклон касательной к графику

в этой точке.

Начните с выбора произвольного значения

. Тогда пусть будет ненулевым числом.

Это стандартное обозначение для изменения x . Мы действительно воображаем, что независимая переменная (вход) для функции

меняется с на . Если , то вход увеличивается и . Если , то вход убывает.

Для простоты предположим, что

. График не является линией, поэтому он не имеет постоянного наклона. Однако среднюю скорость изменения на закрытом интервале все же можно определить. Он определяется как наклон линии, соединяющей точки и .

Эта линия называется секущей к графику

. Его наклон равен . Для можно сделать следующее упрощение этого выражения.

.

Наглядное изображение секущей линии, приближающейся к касательной

Последнее равенство верно до тех пор, пока

, что мы и предполагаем. То, что мы только что сделали, можно визуализировать, как показано ниже.

Так что же тогда является производной ? Это предел наклона этих секущих, поскольку

«уходят» в ноль. Этот предел, , если он существует , то определяется как наклон касательной к графику при заданном значении . Другими словами, в данной точке на графике касательной является линия, проходящая через эту точку с наклоном, равным только что описанному пределу .

Производная — это предел

Но что такое предел?

Мы уточним ограничения в следующем посте. На данный момент в данной ситуации просто подумайте об этом как о значениях

as становится все ближе и ближе к нулю, фактически не равняясь нулю (потому что тогда мы будем делить на ноль).

Начиная с

когда , этот предел можно найти, подумав о значениях когда близко к нулю.

Как происходит это мышление? Проще говоря, поскольку

является «хорошей» (непрерывной) функцией (понимаемой как «фиксированная»), мы можем просто подключиться, чтобы получить ответ.

Это производное от

! Условно мы пишем .

Сейчас вы вполне можете почесать затылок и сказать: , но подождите минутку! Я думал, мы говорим

! Но мы вставили ноль в конце! Как же так?!?!?

Это, мой друг, часть сбивающей с толку тонкости ограничений. Как я уже сказал, мы углубимся в это в другом посте.

Не расстраивайтесь, если вы не сразу это понимаете. В конце концов, даже гениальные Исаак Ньютон и Готфрид Вильгельм Лейбниц не до конца понимали это в 1600-х годах. Полного понимания пришлось ждать, пока в 1800-х годах не появились Огюстен-Луи Коши и Карл Вейерштрасс.

Но не волнуйтесь! Вы можете «стоять на плечах этих гигантов». Вы действительно можете «получить это» с достаточной помощью и временем на размышления!

4 Базовая дифференциация

4 Базовая дифференциация

Дифференциация заключается в вычислении наклона или градиент кривой y ( x ) в заданной точке, х .

Обозначение : Мы используем символ Δ дельта для обозначения (большое) изменение значения переменной. Если, скажем, x меняется со значения x ₁ на новое значение, x ₂ , затем

Таким образом, градиент кривой y ( x ) можно записать как:

Линейные уравнения

Для прямолинейного графика уравнения y ( x ) = m x + c , градиент задается просто значением м .

Примеры

• y = 3 x + 6, градиент = 3
• у = 5 х — 3, градиент = 5
• y = -2 x + 1, градиент = -2
• y = 6 — 3 x , градиент = -3

Измерение градиентов

Если мы не знаем уравнения прямой, мы можем работать из градиента, сведя в таблицу значения г против x и построение графика.

Пример Значения y и x приведены ниже, какой градиент?

Графический метод

(i) График графика

(ii) Выберите любые 2 точки вдоль линии ( x ₁ , y ₁ ) и ( x ₂ , у ₂ )

(iii) Нарисуйте треугольники (как на диаграмме) или просто рассчитайте х и и .

(iv) Рассчитать градиент из: градиент =

Численный метод : выберите точки, для которых у нас есть значения, скажем, (-2, -8) и (1,1). Теперь у нас есть:

Поскольку точка пересечения находится на y = -2, мы знаем, что уравнение. этой строки должно быть

Нахождение градиента общей функции

Линейные кривые просты, но как нам найти наклон любого кривая, y ( x ) в точке x ?

Градиент кривой в точке A такой же, как и у касательной в точке A . Итак, все, что нам нужно сделать, это построить касательной и измерьте ее градиент, Δ y  /  Δ x .

Пример Чему равен градиент y ( x ) = x ² — 4 x — 1, когда x = 4?

Решение Постройте кривую, затем постройте касательную когда х = 4 на глаз, как умеешь. Измерьте градиент Δ y  / Δ x , завершив треугольник.

Графически находим, что = 4.

Аналитическая дифференциация

Рисование касательных — довольно громоздкий метод получения градиентов. Существует ли аналитический метод?

Ответ: дифференцирование . Упрощенный вывод об этом дано в раздаточном материале, но нам нужно только действительно узнать «волшебная формула» (см. ниже) .

Обозначение : наклон или градиент , или дифференциал, или производная может быть записана многими эквивалентными способами:

Для других имен переменных и функций существует эквивалент обозначение.

напр. для с ( т ), у нас есть,

для E(ν) имеем

для φ(λ) имеем

Дифференциация «волшебная формула» (для стандартных полиномы)

Чтобы дифференцировать полиномиальную функцию, нужно умножить ведущий множитель, a , и показатель степени (мощность).