Задачи на признаки равенства треугольников 7 класс по готовым чертежам: Задачи на готовых чертежах по теме «Признаки равенства треугольников»

Около 300 г. до н.э., Евклид ^[1] был первым математиком (насколько нам известно), который попытался тщательно записать аксиомы, а затем построить из этих аксиом строгие доказательства математических истин.

У Евклида было пять аксиом геометрии, первые четыре из которых казались математикам довольно очевидными. Люди считали, что это разумные предположения, из которых можно построить геометрические истины:

1. Имея две точки, вы можете соединить их отрезком прямой линии.

2. Получив отрезок, вы можете продлить его как угодно далеко в любом направлении, образуя линию.

3. Имея отрезок прямой, вы можете нарисовать окружность, используя этот отрезок в качестве радиуса.

4. Все прямые углы равны.

Немного больше беспокоил людей пятый постулат. Первоначально это было сказано более цветистым языком, но это было эквивалентно этому утверждению:

5. Сумма углов треугольника равна 180°.

Легко понять, почему эта пятая аксиома вызвала такой шум в математике. Это казалось гораздо менее очевидным, чем остальные четыре, и математики чувствовали, что они каким-то образом обманывают, если они просто предполагают это, а не доказывают, что это должно быть правдой. Многие математики потратили много-много лет, пытаясь доказать эту пятую аксиому из других аксиом, но им это не удалось. И не без оснований: есть и другие виды геометрий, в которых первые четыре аксиомы верны, а пятая — нет!

Например, если вы выполняете геометрию на сфере — например, на баскетбольном мяче или, что более важно, на поверхности Земли — а не на плоской плоскости, первые четыре аксиомы верны. Но треугольники немного странные на поверхности земли. Каждый треугольник, который вы можете нарисовать на поверхности земли, имеет сумму углов строго на больше, чем  180°. На самом деле, вы можете нарисовать на Земле треугольник с тремя прямыми углами ^[2] , что дает сумму углов 270°.

На сфере, подобной Земле, сумма углов не постоянна среди всех треугольников. У больших треугольников сумма углов больше, а у меньших треугольников сумма углов меньше, но даже у крошечных треугольников сумма углов больше 180°.

Геометрия, которую вы изучаете в школе, называется Евклидова геометрия ; это геометрия плоской плоскости, плоского мира. Это довольно хорошее приближение для маленького кусочка Земли, который мы видим в любой момент времени, но это не единственная существующая геометрия!

Сделайте копию этих полосок бумаги и вырежьте их. Они имеют длину от 1 единицы до 6 единиц. Вы можете раскрасить полоски, написать на них цифры или сделать что-то, что позволит легко отслеживать разную длину.

Проблема 3

Повторите следующий процесс несколько раз (не менее 10) и отслеживайте результаты (для вас была запущена таблица).

• Возьмите три полоски бумаги. (Длины не обязательно должны отличаться друг от друга, поэтому у вас есть несколько копий каждой длины.)
• Попробуйте сделать из этих трех полос треугольник и решите, возможно ли это, или нет. (Не накладывайте полоски друг на друга, не обрезайте и не сгибайте их. Длина полосок должна быть равна длине сторон треугольника.)

Ваша цель — составить правило , описывающее, когда три длины образуют треугольник , а когда нет. Запишите правило своими словами.

Подумай / Соедини / Поделись

Сравните свое правило с другими учащимися. Затем используйте свое правило, чтобы ответить на следующие вопросы. Имейте в виду, что цель состоит не в том, чтобы попытаться построить треугольник, а в том, чтобы предсказать результат на основе вашего правила.

• Предположим, вас попросили построить треугольник со сторонами 40 единиц, 40 единиц и 100 единиц длины. Как вы думаете, вы могли бы это сделать? Поясните свой ответ.
• Предположим, вас попросили построить треугольник со сторонами 2,5 единицы, 2,6 единицы и длиной 5 единиц. Как вы думаете, вы могли бы это сделать? Поясните свой ответ.

Вероятно, вы придумали какую-то версию этого утверждения:

Теорема: неравенство треугольника

Сумма длин двух сторон треугольника больше длины третьей стороны.

Конечно, мы знаем, что в геометрии нельзя верить своим глазам. Вам нужно искать объяснение . Почему ваше утверждение имеет смысл?

Помните, что «геометрия — это искусство делать хорошие выводы из плохих рисунков». Наши материалы были не очень точными, так как же мы можем быть уверены, что это правило, которое мы придумали, верно?

Что ж, в этом случае правило точно такое же, как и поговорка «Кратчайшее расстояние между двумя точками — прямая». Собственно, это именно то, что мы подразумеваем под словами прямая в геометрии.

Мы говорим, что два треугольника (или любые два геометрических объекта) конгруэнтны , если они имеют одинаковую форму и одинаковый размер. Это означает, что если бы вы могли взять одну из них и переместить ее, чтобы положить на другую, они точно перекрылись бы.

Проблема 4

Повторите следующий процесс несколько раз и отслеживайте результаты.

• Выберите три полоски бумаги, которые обязательно образуют треугольник.
• Попробуйте сделать два различных (неконгруэнтных) треугольников из одинаковых трех полосок бумаги. Запишите, смогли ли вы это сделать.

Проблема 5

Повторите следующий процесс несколько раз и отслеживайте результаты.

• Возьмите четыре полоски бумаги и сформируйте из них четырехугольник. (Если ваши четыре полоски не образуют четырехугольник, возьмите еще четыре полоски. )
• Попробуйте составить два различных (неконгруэнтных) четырехугольников из одних и тех же четырех полосок бумаги. Запишите, смогли ли вы это сделать.

Подумай / Соедини / Поделись

Что вы заметили в задачах 4 и 5? Можете ли вы сделать общее заявление, чтобы описать, что происходит? Можете ли вы объяснить, почему ваше утверждение имеет смысл?

Вероятно, вы придумали какую-то версию этого утверждения:

Теорема: SSS (сторона-сторона-сторона) Конгруэнтность

Если два треугольника имеют одинаковые длины сторон, то эти треугольники конгруэнтны.

Это, безусловно, неверно для четырехугольников. Например, если вы выберете четыре полоски одинаковой длины, вы можете сделать квадрат:

Но вы также можете раздавить этот квадрат в неквадратном ромбе. (Попробуйте!)

Если вы не выберете четыре одинаковые длины, помимо «сжатия» формы, вы можете переставить стороны, чтобы получились разные (неконгруэнтные) формы. (Попробуйте!)

Но с треугольниками такого не может быть. Почему бы и нет? Ну уж точно три стороны не переставишь. Это было бы то же самое, что вращать треугольник или переворачивать его, но не создавать новую форму.

Почему треугольники не могут «сжиматься», как четырехугольник (и другие фигуры)? Вот один из способов понять это. Представьте, что вы выбираете две из трех длин и кладете их друг на друга, закрепив их в одном углу.

Теперь представьте, что шарнир открывается понемногу.

Когда петля открывается, две нешарнирные конечные точки отдаляются все дальше и дальше друг от друга. Какова бы ни была ваша третья длина (при условии, что вы действительно можете построить треугольник из ваших трех длин), есть ровно одно положение шарнира, где он будет точно соответствовать треугольнику. Никакая другая позиция не подойдет.

1. Портрет Евклида из Викисклада, под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 International. ↵
2. Изображение предоставлено Coyau / Wikimedia Commons, через Wikimedia Commons, под лицензией Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported. ↵

Какие есть примеры конгруэнтных треугольников в реальной жизни?

Амина Решма Последнее обновление: 7 июля 2022 г. , 5:05 EST

Чтение за 4 мин

Что такое конгруэнтность?

Конгруэнтность относится к двум фигурам или объектам, которые являются точными копиями друг друга. Конгруэнтные фигуры перекрываются точка-точка, когда они сложены одна поверх другой. Даже если фигуры могут находиться в разных плоскостях, они все равно будут конгруэнтными, если их стороны, площади покрытия и объем одинаковы. ¹

Значение конгруэнтности

Построение нашего понимания структур требует изучения конгруэнтности в цифрах. Благодаря развитию пространственного интеллекта вы можете иногда обнаружить две структуры, предметы или продукты, полностью идентичные друг другу. Конгруэнтные фигуры — это понятие, которое лучше понимается с одинаковым интеллектом.

Концепция конгруэнтности полезна в области архитектуры, ландшафтного дизайна, моделирования продуктов и производства для бизнеса. Помимо практической пользы, конгруэнтность укрепляет основу учащихся и помогает им сформировать более гибкое понимание понятий площади и объема. На уроке геометрии мы сравниваем две фигуры и сталкиваемся с конгруэнтностью, точно так же, как мы читаем о равенстве чисел на уроке элементарной математики. ¹

Что такое треугольник?

Одной из первых фигур, которую мы изучаем, является треугольник. Треугольник — это двумерная фигура с тремя сторонами, тремя углами и тремя вершинами. ² Треугольники представляют собой трехсторонние замкнутые фигуры, которые можно разделить на различные типы в зависимости от их сторон и углов. Равнобедренные треугольники, равнобедренные треугольники и разносторонние треугольники являются распространенными вариантами.

Итак, что же тогда такое конгруэнтный треугольник?

Конгруэнтные треугольники — это треугольники, у которых три стороны и три угла совпадают с соответствующими сторонами и углами другого треугольника. Другими словами, мы можем сказать, что конгруэнтные треугольники имеют равные соответствующие стороны и углы. Чтобы треугольники выглядели одинаково, их можно вращать, переворачивать, поворачивать или сдвигать. Треугольники совпадают друг с другом и могут быть наложены друг на друга, если их переставить. ³  

«Символ конгруэнтности равен ≅. Два треугольника равны, если три стороны и три угла одного треугольника имеют те же размеры, что и три стороны и три угла другого треугольника». ⁴

Применение конгруэнтности треугольников в реальном мире

Инженерное дело и архитектура

Конгруэнтные треугольники используются в процессе строительства для укрепления каркаса. Это гарантирует жесткость и прочность конструкций. В результате на них не влияют сильные ветры или другие погодные условия. Без них невозможно построить большие искусственные сооружения. Учитывая, что треугольник является одной из самых стабильных форм, а конгруэнтность необходима для создания ровных поверхностей, это так. В геометрическом искусстве, рисунках ковров, узорах ступеней и архитектурных проектах также часто используются конгруэнтные треугольники. ³  

Двумя наиболее распространенными примерами могут быть:

• Ферменный мост: Равносторонние треугольники используются для создания ферменных мостов с обеих сторон. Все эти треугольники соответствуют критерию конгруэнтности SSS, который гласит, что если длина трех сторон одного треугольника равна длине трех сторон другого треугольника, то говорят, что два треугольника конгруэнтны. Это связано с тем, что ферменный мост требует одинаковой длины для контроля веса, чтобы поддерживать конструкцию и предотвращать обрушение. ³

• Геодезический купол: это обычное игровое оборудование. Углы и длины сторон должны быть созданы такими, чтобы все задействованные треугольники были конгруэнтны по правилу SAS. Правило SAS гласит, что если две стороны треугольника и угол между ними равны двум сторонам и углу другого треугольника, то эти два треугольника конгруэнтны. Если не быть осторожным, одна ошибка с точки зрения угла, длины стороны или конгруэнтности может быть настолько опасной, что может стать фатальной. ³

Легенда

Знаете ли вы, что существует известная легенда, связанная с использованием конгруэнтных треугольников? Легенда гласит, что один из офицеров Наполеона вычислил ширину реки с помощью равных треугольников. Офицер опускал козырек фуражки до тех пор, пока край противоположного берега не стал самой дальней вещью в поле его зрения, когда он стоял прямо на берегу реки. После этого он повернулся и отметил место на своей стороне реки, которое было параллельно его глазу и кончику визора. Затем офицер измерил расстояние до этой точки и объявил, что это ширина реки. Если вы хотите подтвердить, что он был прав, вы можете использовать конгруэнтные треугольники. ⁵

Конгруэнтность — интригующая идея, которая помогает нам развивать и укреплять наши способности к математическому мышлению. Время от времени он может служить мерилом совершенства и быть важным компонентом обеспечения качества. Путь к пониманию сложных концепций геометрии становится немного легче после достижения этой вехи в изучении формы. ¹ После прочтения приведенных выше примеров, если вы чувствуете вдохновение искать конгруэнтность в своем окружении, сделайте это. Вы также можете прочитать о более интересных формах, таких как радиальные формы в природе и симметрия в пространстве. Вы также можете посетить блог BYJU’s FutureSchool, чтобы прочитать больше таких увлекательных статей.

Ссылки:

1. 20 реальных примеров конгруэнтных чисел – цифровая дислексия . (н.д.). Получено 5 июля 2022 г. с https://numberdyslexia.com/real-life-examples-of-congruent-figures/
2. Конгруэнтные треугольники — объяснение и примеры . (н.д.). Получено 5 июля 2022 г. с https://www.storyofmathematics.com/congruent-triangles/
3. 3 лучших применения конгруэнтных треугольников в реальной жизни .

   No related posts.