Задачи с двумя неизвестными: Решение задач. Уравнение с двумя неизвестными

Содержание

Решение задач составлением систем линейных уравнений с двумя переменными

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

1. «Всякая хорошо решённая задача доставляет умственное наслаждение».

(Герман Гессе)
Сказка про деда-Равняло
Жил в избушке на лесной опушке дед по прозвищу Равняло, со
своим маленьким внучком Равнялкой. Любил он с числами
подшучивать. Возьмет дед выстроит по обе стороны от себя
числа, соединит их знаками, а самые резвые в скобки возьмет, но
следит, чтобы одна часть равнялась другой.

Как-то раз решил
дед-Равняло усложнить задачу своему внучку Равнялке. Выстроил
он опять по обе стороны от себя числа, соединил их знаками,
самые резвые в скобки взял, да только на этот раз спрятал он два
числа, одно под маской «икс», другое – под «игрек». И снова просит
своего Равнялку найти эти числа. Долго думал маленький
Равнялка, перегонял числа то в одну сторону, то в другую, ничего
не выходило, не мог он найти решение. Решил, наконец, помощи у
деда просить. Дед у него был опытным в своем деле и, конечно же,
помог внучку решить такую сложную задачу.

3. Решение задач составлением систем линейных уравнений с двумя переменными

*Она нужна, чтобы не говорить
глупостей…
*Когда одно вытекает из другого…
*Бывает математическая, а бывает
женская…
Логика

6. У с т н о

Устно
2
а) х-6=0,
3
б) 4х+3х=21,
в) 4х=5(х-2).

7. Задача 1. Фарш состоит из свинины и говядины в отношении 5:3. Сколько грамм нужно взять свинины и говядины, чтобы получить 1 кг

фарша?
а) х+у = 10
б) 4х-3у = 7
5х+2у=26
Ответ: (4;3)
«Оперативное совещание»
1.

Ввести переменную.
2. Составить систему уравнений по тексту
задачи.
3. Решить систему уравнений.
4.Ответить на все вопросы задачи.
5.Записать ответ задачи.

10. Задача 2. Залетные галки садятся на палки. Если на каждую палку сядет по галке, то для одной галки не хватит палки. Если на

палку
сядет по две галки, то на одной не будет галок.
Сколько торчало палок? Сколько летало галок?
Система
линейных
уравнений
Электронные
Иллюстрац
Метод
таблицы MS
Графически
Способ
Способ
ионный угадывани
Excel
подстановки
й способ
сложения
метод
я
a1x+b1y+c=0,
a2x+b2y+c=0

11. Основные этапы графического способа решения системы уравнений в MS Excel:

1. Построить таблицу значений x, и
соответствующие ему значения двух функций.
2. Выделить таблицу значений.
3. С помощью мастера диаграмм
построить графики двух функций.
4. Найти точки пересечения двух графиков
функций и записать ответ.

12. «Меткий стрелок» Тест. Ключ записать в тетрадь.

1. Выразить Х через У: х + 3у = 6
а) х = 6 – 3у,
b) х = – 6 – 3у,
c) х = 6 + 3у
2. Выразить У через Х: 2х – у = 3
a) у = 3 – 2х,
b) у = – 3 + 2х,
c) у = 3 + 2х.
3.Потеряли решение системы уравнений
x+y=20,
0,5x+y=0
a) (– 40; – 20)
b) (-40; 20),
c) (40; – 20)
4. Результат сложения уравнений
х + 5у = 7, 3х – 2у = 4 равен:
а) 4х – 3у = 11,
b) 4х + 7у = 11,
с) 4х + 3у = 11
5.Нет такого способа решения
системы уравнений:
a) сложения,
b) умножения,
c) графический.
Ключ: 1-a, 2-b, 3- c, 4-с, 5-b.
5 – оценка «5»
4 – оценка «4» и т.д.

13. «Следственный эксперимент» Задача 3.

Как-то лошадь и мул вместе вышли из дома,
Моя ноша значительно больше твоей.
Их хозяин поклажей большой нагрузил,
Вот представь: я мешок у тебя забираю,
Долго-долго тащились дорогой знакомой,
И мой груз стал в два раза, чем твой, тяжелей.

Из последней уже выбиваяся сил.
А вот если тебе мой мешок перебросить,
«Тяжело мне идти» – лошадь громко стонала. Одинаковый груз наши спины б согнул»
Мул с иронией молвил (нес он тоже немало)
Сколько ж было мешков у страдалицы-лошади?
«Неужели, скажи, я похож на осла?
Сколько нес на спине умный маленький мул?
Может, я и осел, но вполне понимаю:
Заполните таблицу
Две неизвестные
величины
Поклажа,
которую несла
лошадь
Поклажа,
которую нес мул
1 уравнение
2 уравнение
Было
Когда мул забрал мешок, стало
Когда мул отдал
мешок, стало

15. Физминутка

«Следствие ведут знатоки»
самостоятельная работа в группах,
решение разноуровневых задач.
1. «Старинные задачи по
элементарной математики»
(1балл)
5. Задача про сына и отца
(3балла)
9. Задача о Незнайке
(5баллов)
2. Из рассказа А.П.Чехова
«Репетитор» (1балл)
6. Задача про учителя и
тетрадные листы (3балла)
10.

Задача о девочках и
мальчиках (5баллов)
3. Из «Курса алгебры»
(2балла)
7. Задача о пристанях
(4балла)
4. Задача про индюков и
жеребят (2балла)
8. Задача об автобусе и
поезде (4балла)
11. Задача об уборке
картофеля (подготовка к ОГЭ)
(5баллов)
«Следствие ведут знатоки»
самостоятельная работа в группах,
решение разноуровневых задач
№
группы
1
2
3
4
5
6
Рейтинг «раскрытых дел»
Рефлексия
*Вы научились решать задачи с помощью систем
линейных уравнений?
*Какой метод решения задач вам больше
понятен (понравился)…
*Что понравилось на уроке…
*Как вы оцениваете свою работу на уроке?

English Русский Правила

расчет состава смесей по уравнениям химических реакций

математические методы решения расчетных задач по химии: расчет состава смесей по уравнениям химических реакций

Стандартный сценарий подобных задач сводится к тому, что смесь двух веществ реагирует с одним реагентом.

Зная количество израсходованного реагента (полученного продукта), и массу смеси веществ, можно определить доли каждого из веществ. Возможны несколько усложненные варианты: например, когда масса смеси веществ неизвестна, но смесь веществ участвует в двух реакциях, или когда дана смесь из трех веществ с известной массой и две серии реакций. Встречаются задачи, когда смесь из трех веществ неизвестной массы участвует в трех сериях реакций. Анализу различных способов решения этих задач посвящена данная глава.

Задача 2.1. В результате полного восстановления 30,4 г смеси монооксида железа FeO и триоксида дижелеза Fe

2O₃ избытком CO было получено 11,2 л (н. у.) углекислого газа. Определите массовую долю монооксида железа в смеси.

Способ 2А. Составлением системы уравнений. Начнем решение задачи с составления уравнений реакций:

FeO + COFe + CO₂

Fe₂O₃ + 3CO2Fe + 3CO₂

Под уравнениями подставим данные, соответствующие молярному уровню прочтения уравнения. Например, уравнение взаимодействия триоксида дижелеза с СО можно прочитать так: В результате взаимодействия 1 моля Fe₂O₃ c 3 молями угарного газа образуется 2 моля металлического железа и 3 моля углекислого газа. Над уравнением поместим данные, соответствующие условию задачи, введя минимальное число неизвестных. Предварительно переведем полученный объем углекислого газа в количество вещества n(СО

2)=11,2:22,4=0,5 моль

x г (0,5-y)

FeO + СО ® Fe + СО₂

1 моль 1 моль

72 г

(30,4-x)г y

Fe₂O₃ + 3СО ® 2Fe + 3СО₂

1 моль 3 моль

160 г

Отношение массы реагента из условия задачи к массе реагента, подставленной из уравнения реакции, равно такому же отношению масс, молей, объемов для продукта реакции, т.

е.: x/72=(0,5-y):1 и (30,4-x)/160=y/3. Таким образом, мы получили систему уравнений с двумя неизвестными. Решение системы уравнений даст количество диоксида углерода, полученного при восстановлении Fe₂O₃равное 0,3 молям. Следовательно, при восстановлении FeO образовалось 0,2 моль CO₂. Значит в исходной смеси находилось 0,2 моль FeO и 0,1 моль Fe₂O₃. Общая масса такой смеси будет равна 0,2·72 + 0,1·160=30,4. Массовая доля FeO будет равна 14,4:30,4=0,4737 или 47,37%.

Способ 2Б. Составлением системы уравнений в неявном виде. Этот способ является более простым в сравнении с предыдущим, т. к. связан с более легкими расчетами. Отличие его от способа 2а состоит в том, что количества продуктов, выражаем двумя неизвестными, например, y

1 и y₂.

x г y₁

FeO + CO ® Fe + CO₂

1 моль 1 моль

72 г

(30,4-x)г y₂

Fe₂O₃ + 3CO ® 2Fe + 3CO₂

1 моль 3 моль

160 г

Нам известно, что y₁ + y₂ = 0,5 моль (11,2 л).

Из пропорций выразим y₁ и y₂, подставив полученные значения в предыдущее уравнение, получим: х:72 + 3(30,4-x):160 = 0,5. Решив уравнение получим х=14,4.

Способ 2В. С использованием количества вещества.

х у

FeO + CO®Fe + CO₂

у 3у

Fe₂O₃ + 3CO®2Fe + 3CO₂

Примем количество FeO за х, а количество Fe₂O₃ за у. Из уравнений реакций следует, что 1 моль FeO позволит получить 1 моль углекислого газа. А 1 моль Fe₂O₃ — 3 моль углекислого газа. Следовательно из х моль FeO получится х моль углекислого газа, а из у моль Fe

2O₃ — 3у моль СО₂.

Выразим массу оксидов железа через принятые нами количества вещества. m(FeO)=72x; m(Fe₂O₃) = 160y_.Полученные значения масс позволяют получить первое уравнение m(FeO) + m(Fe₂O₃) = 30,4 или 72х + 160у = 30,4. Найдём полученное количество углекислого газа 11,2/22,4=0,5. Найдя суммарное в обеих реакциях количество углекислого газа, получим второе уравнение. х + 3у = 0,5. Таким образом нам удалось получить систему уравнений с двумя неизвестными: 72х + 160у = 30,4

х + 3у = 0,5

Умножив второе уравнение на 72 получим: 72х + 216у = 36. Отняв от первого уравнения второе найдем: 56у=5,6. Откуда у=0,1, а х = 0,2. Таким образом массовая доля монооксида железа будет равна w(FeO)= 0,2·72/30,4= 14,4/30,4=0,4737 или 47,37%.

Задача 2. 2. Смесь муравьиной и уксусной кислот была поделена на 2 равные части. Одна часть смеси при взаимодействии с магнием выделила 5,6 л водорода, а другая была сожжена. Продукты ее сгорания были пропущены в избыток раствора известковой воды. Масса выпавшего при этом осадка составила 80 г. Определите состав исходного раствора (в мольных долях) и его массу.

Для решения задачи воспользуемся способом 2в. Начнем с составления уравнений реакций химических процессов, описанных в задаче.

2CH₃COOH + Mg ® Mg(CH₃COO)₂ + H₂

2HCOOH + Mg ® Mg(HCOO)₂ + H₂

CH₃COOH + 2O₂ ® 2CO₂ + 2H₂O

HCOOH + 0,5O₂ ® CO₂ + H₂O

CO₂ + Ca(OH)₂ ® CaCO₃ + H₂O

Найдем количество выделившегося водорода. n (Н₂) = 5,6/22,4=0,25 моль.

Из уравнений реакции кислот с магнием следует, что количество кислот вдвое превышает количество выделившегося водорода. Значит n(СН₃СООН) + n(НСООН) = 0,5 моль.

С другой стороны, из уравнения реакции углекислого газа с гидроксидом кальция следует, что количество выпавшего в осадок карбоната кальция равно количеству образовавшегося в ходе реакции горения кислот углекислого газа. n(СаСО

3) = m/M=80/100 = 0,8 моль. Þ n(СО₂) = 0,8 моль.

Каждый моль муравьиной кислоты в результате горения образует 1 моль углекислого газа, а каждый моль уксусной кислоты образует 2 моль углекислого газа. Þ n(НСООН) + 2n(СН₃СООН) = 0,8 моль.

Решим полученную систему уравнений:

n(СН₃СООН) + n(НСООН) = 0,5 моль.

n(НСООН) + 2n(СН₃СООН) = 0,8 моль.

Решив найдем, что n(СН₃СООН) = 0,3 моль (после разделения)

n(НСООН)=0,2 моль (после разделения).

Нетрудно определить, что количество исходной уксусной смеси в смеси до её разделения было равно 0,3×2=0,6 моль; количество исходной муравьиной кислоты было равно 0,2×2=0,4 моль. Мольная доля уксусной кислоты в исходной смеси равна c(СН₃СООН) = 0,6/1=0,6 или 60%. Мольная доля муравьиной кислоты равна c(НСООН) = 0,4/1=0,4 или 40%.

Масса исходного раствора равна m(НСООН) + m(СН₃СООН) = 0,4×46 + 0,6×60= 18,4 + 36 = 54,4 г.

Задача 2.3. При сжигании 2,48 г смеси пропана, пропена, пропина образовалось 4,03 л углекислого газа (н. у.). Сколько граммов воды получилось при этом?

Для решения найдем количество углекислого газа. n(СО₂)= V:V_м=4,03 л: 22,4 л/моль =0,18 моль. n(С)= n(СО₂)=0,18 моль. Найдем массу углерода m(C)= n·M= 0,18 моль·12 г/моль=2,16 г. Масса водорода, входящего в состав углеводородов будет равна m(H) = 2,48 г — 2,16 г = 0,32 г. Найдем количество водорода n(Н)= m/M 0,32 г/1 г/моль = 0,32 моль. n(Н)= n(Н₂О)·2. n(Н₂О)=0,16 моль. m(H₂O) = n·M = 0,16 моль·18=2,88 г.

словесных задач с двумя неизвестными

все ресурсы по алгебре

11 диагностических тестов 177 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

Pre-Algebra Help » Алгебраические уравнения » Текстовые задачи » Словесные задачи с двумя неизвестными

Вместе Меган и Келли работали 60 часов. Келли работала в два раза больше, чем Меган. Сколько часов проработал каждый?

Возможные ответы:

Меган проработала 40 часов, а Келли проработала 10 часов

Меган проработала 20 часов, а Келли проработала 40 часов 15 часов и Келли проработала 45 часов

Меган проработала 30 часов, а Келли проработала 60 часов

Правильный ответ:

Меган проработала 20 часов, а Келли проработала 40 часов

Объяснение:

Шаг 1: общее количество часов, отработанных Меган и Келли, должно составить 60, а Келли проработала в два раза больше, чем Меган. Мы можем записать это в формулу:

Шаг 2: заменить k на 2m и добавить переменные

Шаг 3: выделить m часов (m = 20), мы можем умножить количество отработанных ею часов на 2, чтобы узнать, как долго работала Келли.

Шаг 5: убедитесь, что часы Меган и Келли в сумме составляют 60 часов

Сообщить об ошибке два кекса. Сколько кексов может съесть каждый, если на вечеринку Джамала придет только 7 друзей?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Шаг 1: найдите количество заказанных кексов, сложив всех людей на вечеринке, а затем умножив это число на 2 заказанных кекса на человека.

Шаг 2: чтобы найти количество кексов, которое может съесть каждый человек, возьмите количество кексов и разделите его на количество гостей, включая Джамала.

Сообщить об ошибке

Майкл и Том — братья. Их общий возраст составляет 20 лет, а Том на 4 года старше Майкла. Сколько лет Майклу и Тому?

Возможные ответы:

Тому 16 лет, а Майклу 4 года.

Майклу 12 лет, а Тому 8 лет.

Майклу 10 лет, а Тому 10 лет.

Майклу 8 лет, а Тому 12 лет.

Тому 10 лет, а Майклу 4 года.

Правильный ответ:

Майклу 8 лет, а Тому 12 лет.

Объяснение:

Чтобы решить эту проблему, мы можем установить каждый из их возрастов как переменную. Допустим, возраст Майкла равен x.

Мы знаем, что Том на 4 года старше Майкла, поэтому возраст Тома равен x+4.

Мы также знаем, что их суммарный возраст равен 20, поэтому, если мы сложим оба их возраста, мы должны получить 20. 16

х=8.

Итак, Майклу 8 лет, а Тому 12.

Сообщить об ошибке

Сара зарабатывает 10 долларов в час, продавая калькуляторы, и каждый раз, когда она продает калькулятор, она получает дополнительные 3 доллара комиссии. Джейми также продает калькуляторы и зарабатывает 30 долларов в час, но получает только дополнительную комиссию в размере 1 доллара за каждый проданный калькулятор.

Сколько в среднем калькуляторов в час пришлось бы продавать Саре, чтобы получать столько же, сколько Джейми в час, если бы Джейми продавал такое же количество калькуляторов?

Возможные ответы:

Ответ не может быть определен из предоставленной информации

Правильный ответ:

Объяснение:

Сначала составим уравнения. Их базовая оплата постоянна в час, поэтому переменная представляет собой количество проданных калькуляторов, умноженное на их комиссионную ставку, поэтому уравнения заработка будут:

Это доходы Сары и Джейми соответственно, где представляет проданные калькуляторы, а представляет доходы.

Поскольку мы пытаемся найти количество проданных калькуляторов, когда обе женщины имеют равные заработки, мы можем установить равным , а затем подставить это значение в уравнение Джейми, получив уравнение:

Затем вычтите и из обоих стороны, чтобы получить:

Что упрощает до

Сообщить об ошибке

У Джамаркуса в копилке двадцать одна монета, все десятицентовики или четвертак. Если всего у Джамаркуса , сколько у него каждой монеты?

Возможные ответы:

14 центов и 7 кварталов

10 центов и 11 кварталов

11 центов и 10 кварталов

12 DIME

7 десятицентовиков и 14 четвертаков

Объяснение:

Мы можем решить эту задачу, составив алгебраическое уравнение. Мы знаем, что у Джамаркуса двадцать одна монета, но мы не знаем, сколько у него каждой монеты. Обычно это означает, что нам нужна переменная. Поскольку мы не знаем, сколько у него десятицентовиков, обозначим d как количество десятицентовиков. Если мы хотим найти количество четвертаков, мы должны вычесть количество десятицентовиков из 21, и полученное число будет количеством четвертаков. Следовательно, если Jamarcus hs десятицентовиков, у него должно быть четвертаков. Мы можем перепроверить себя. Если мы добавим количество десятицентовиков и четвертаков, мы получим 21.

Теперь единственная другая информация, которую мы имеем, это то, что вместе все 21 монета составляют 4,20 доллара. Сначала это может показаться не слишком полезным, но на самом деле это позволяет нам решить проблему. Мы знаем, что каждая десятицентовая монета стоит 10 центов, поэтому каждая десятицентовая монета, которую имеет Джамаркус, добавляет 10 центов к его общей сумме в 4,20 доллара. Кроме того, каждый квартал добавляет к его сумме 25 центов. Поскольку у Джамаркуса есть десятицентовики, и каждый стоит 10 центов, общая стоимость его десятицентовиков составляет всего . Кроме того, поскольку у Джамарка есть четвертаки, каждая из которых стоит 25 центов, общая стоимость всех его четвертаков составляет . Сумма этих двух сумм должна равняться общей сумме 4,20 доллара США или 420 центов. Мы можем записать это как следующее уравнение.

Далее мы используем распределительное свойство для упрощения, умножая 25 на 21 и на .

Упрощая дальше, мы получаем

Затем мы хотим объединить подобные члены ( d s)

Затем нам нужны все наши переменные на одной стороне и все наши константы на другой, что мы можем сделать, вычитая 525 из обеих сторон.

что дает

Чтобы найти , нам нужно просто разделить обе части на .

что дает

Это означает, что у Джамаркуса 7 десятицентовых монет. Если мы вспомним, что всего у него была 21 монета, то остается 14 четвертаков. У Джамаркуса 7 десятицентовиков и 14 четвертаков.

Мы можем перепроверить себя. Семь десятицентовиков составят 0,70 доллара, а 14 четвертаков составят 3,50 доллара, в результате чего общая сумма составит 4,20 доллара.

Сообщить об ошибке

Сумма двух чисел равна 128. Первое число на 18 больше второго числа. Какие два числа?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Эту задачу легко решить с помощью элементарной алгебры. Мы не знаем ни одного из этих двух чисел, поэтому пока обозначим второе число как 9.0206 . Поскольку первое число на 18 больше второго, мы можем выразить первое число как . Поскольку сумма двух чисел составляет 128, мы можем записать этот факт в виде уравнения.

Затем мы можем объединить одинаковые члены (наши переменные), что даст нам

Затем мы хотим, чтобы все наши постоянные члены были в правой части, чего мы можем добиться, вычитая 18 из обеих частей.

Последний шаг к решению уравнения — разделить обе части на 2.

Следовательно, наше второе число равно 55. Поскольку наше первое число на 18 больше, оно должно равняться 73. Двойная проверка подтверждает, что сумма 55 и 73 действительно равна 128.

Сообщить об ошибке Ошибка

Превратите слово уравнение в символы.

Произведение трех и s на разность 12 и 7 равно 14. Объяснение:

Нам нужно перевести английские слова в математическое выражение.

Произведение означает умножение.

Разность означает вычитание.

означает равенство.

Произведение 3 и s равно 3s.

Разница между 12 и 7 составляет 12 — 5.

Следовательно, уравнение принимает вид

Сообщить об ошибке

Если объединить десятицентовики и пятицентовики, получится 14 монет. Общая сумма 80 центов. Сколько десятицентовиков и пятицентовиков соответственно?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Напишите два уравнения, представляющих сценарий. Есть два уравнения и два неизвестных.

Всего 14 монет, состоящих из десяти центов и пятицентовых монет. Напишите первое уравнение.

Никели — 5 центов, а десятицентовики — 10 центов. Итого 80 копеек. Напишите второе уравнение.

Умножьте второе уравнение на 10 и используйте метод исключения, чтобы исключить переменную десятицентовика.

Вычтите первое и новое второе уравнение, чтобы исключить и найти .

Разделить на обе стороны.

Есть 12 пятаков.

Подставьте это в первое уравнение, чтобы найти количество десятицентовиков.

Есть 2 десятицентовика и 12 пятицентовых монет.

Сообщить об ошибке

Вы идете в магазин и покупаете x мешков моркови и y бананов. Каждый пакет моркови стоит 1,50 доллара, а каждый банан — 0,25 доллара. Вы тратите 6,50 долларов. Общее количество товаров, которые вы купили, равно 11. Сколько мешков моркови вы купили? Сколько бананов ты купил?

Возможные ответы:

3 мешка моркови, 8 бананов

5 мешков моркови, 6 бананов

6 мешков моркови, 5 бананов

4 мешка моркови, 7 мешков 0 бананов 8 9000 3 банана

Правильный ответ:

3 пакета моркови, 8 бананов

Объяснение:

Учитывая информацию, у нас есть 2 уравнения. Мы знаем, что каждый пакет моркови стоит 1,50 доллара, а каждый банан — 0,25 доллара. Мы также знаем, что общая сумма, которую мы тратим, составляет 6,50 долларов США. Итак, мы можем написать уравнение

, где x — количество мешков с морковью, а y — количество бананов.

Мы также знаем, что общее количество товаров, которые мы купили, равно 11. Мы можем написать уравнение как

, где x — это количество мешков с морковью, а y — это количество бананов.

Чтобы решить, мы найдем одну переменную в одном уравнении и подставим ее в другое уравнение. Итак,

Теперь мы можем подставить значение y в первое уравнение. Получаем,

Раздаем.

Мы объединяем подобные термины.

Мы находим x , получая только x .

Следовательно, количество мешков с морковью, которое мы купили, равно 3. Чтобы найти количество бананов, мы просто подставляем x в уравнение.

Следовательно, мы купили 8 бананов.

Итак, мы купили 3 пакета моркови и 8 бананов.

Сообщить об ошибке

Уведомление об авторских правах

Все ресурсы Pre-Algebra

11 Диагностические тесты 177 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

Задачи с двумя неизвестными | NCETM

Задачи с двумя неизвестными | НЦЭТМ

Число, сложение и вычитание
Задачи с двумя неизвестными

Мастерство PD Материалы