Задачи, решаемые с помощью уравнения. 7-й класс
Разделы: Математика
Класс: 7
Цели урока:
- Проверка практических умений и навыков решения задач на составление уравнения.
- Активизация учебной деятельности учащихся путём общения в динамических парах, когда каждый учит каждого.
- Воспитывать ответственное отношение к учебному труду, развивать логическое мышление, любознательность, умение проверять и оценивать выполненную работу.
Коллективным способом обучения (А. Г. Ривин и В.К. Дьяченко) является такая его организация, при которой обучение осуществляется путём общения в динамических парах, когда каждый учит каждого.
Ход урока
I. Работа начинается с ввода или так называемого “запуска” раздела.
Примеры задач:
1. За 9 ч по течению реки теплоход проходит тот же путь, что за 11 ч против течения. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки 2 км/ч.
Пусть собственная скорость теплохода – Х км/ч. Заполним таблицу значений трёх величин.
| Скорость (км/ч) | Время (ч) | Расстояние (км) | |
| По течению | Х + 2 | 9 | 9(Х + 2) |
| Против течения | Х – 2 | 11 | 11(Х – 2) |
На основании условия задачи составим уравнение:
Собственная скорость теплохода 20 км/ч.
2. Увеличив среднюю скорость с 250 до300 м/мин, спортсменка стала пробегать
дистанцию на 1 мин быстрее. Какова длина дистанции?
Пусть Х мин – время, за которое спортсменка пробегала дистанцию со скоростью 300
м/мин, тогда Х +1 мин – время, за которое спортсменка пробегала дистанцию со
скоростью 250 м/мин. Составим уравнение:
250(Х + 1) = 300Х , которое имеет единственный корень 5.Найдём длину дистанции
300Х = 300×5 = 1500 м.
3. В первую бригаду привезли раствора цемента на 50 кг меньше, чем во вторую. Каждый час работы первая бригада расходовала 150 кг раствора, а вторая – 200кг. Через 3 ч работы в первой бригаде осталось раствора в 1,5 раза больше, чем во второй. Сколько раствора привезли в каждую бригаду?
Пусть в первую бригаду привезли Х кг раствора, тогда во вторую – Х + 50 кг. Заполним таблицу значений величин для двух бригад:
| Привезли(кг) | Расход(кг)за 1 час | Время (ч) | Осталось раствора(кг) | |
| 1-я бригада | Х | 150 | 3 | Х – 450 |
| 2-я бригада | Х + 50 | 200 | 3 | Х + 50 – 600 |
По условию задачи в первой бригаде осталось раствора в 1,5 раза больше, чем во второй. Составим уравнение:
Х – 450 = (Х + 50 – 600)×1,5 , имеющее единственный корень 750. 750 кг раствора привезли в первую бригаду, а во вторую привезли 750 + 50 = 800 кг.
4. (Задача Э.Безу) По контракту работникам причитается 48 франков за каждый
отработанный день, а за каждый неотработанный день с них вычитается по 12
франков. Через 30 дней выяснилось, что работникам ничего не причитается. Сколько
дней они отработали в течение этих 30 дней?
Пусть работники отработали Х дней, тогда они не работали (30 – Х) дней. Составим
уравнение:
48Х – 12 (30 – Х) = 0.
Решив это уравнение, получим Х = 6, то есть они отработали 6 дней.
5. Книгу в 296 страниц ученик прочитал за три дня. Во второй день он прочитал
на 20% больше, чем в первый, а в третий – на 24 страницы больше, чем во второй.
Сколько страниц прочитал ученик в первый день?
Пусть в первый день ученик прочитал Х страниц, тогда во второй день ученик
прочитал Х + 0,2Х = 1,2Х страниц, а в третий день прочитал 1,2Х + 24. Составим
уравнение:
6. На солнышке грелось несколько кошек. У них лап на 10 больше, чем ушей.
Сколько кошек грелось на солнышке?
Пусть грелось Х кошек, тогда у этих кошек 2Х ушей и 4Х лап. Составим уравнение:
4Х – 2Х = 10. Решив это уравнение, получим Х = 5,то есть 5 кошек грелось на
солнышке.
II. Самостоятельная работа учащихся.
Каждый ученик получает индивидуальную карточку с задачами. Правильность решения проверяет преподаватель, при необходимости он оказывает помощь в решении. После проверки ученику выставляется в оценочный лист плюс или оценка.
Примеры карточек для первой группы:
Карточка № 1.
1. (Старинная задача.) Послан человек из Москвы в Вологду и велено ему проходить во всякий день по 40 вёрст. На следующий день вслед ему был послан другой человек и велено ему проходить по 45 вёрст в день. Через сколько дней второй догонит первого?
2. Чтобы сделать вовремя заказ, артель стеклодувов должна была изготовлять в день по 40 изделий. Однако она изготовляла ежедневно на 20 изделий больше и выполнила заказ на 3 дня раньше срока. Каков был срок выполнения заказа?
Ответ: № 1 – 8 дней, № 2 – 9 дней.
Карточка № 2.
1. Кооператив наметил изготовить партию мужских сорочек за 8 дней. Выпуская в день на 10 сорочек больше, чем предполагалось, он выполнил план за один день до срока. Сколько сорочек в день должен был выпускать кооператив?
2. На ферме 1000 кроликов и кур, у них 3150 ног. Сколько кроликов и сколько кур на ферме?
Ответ: № 1 – 70 сорочек, № 2 – 575 кроликов и 425 кур..
Карточка № 3.
1. Из пункта А вышла грузовая машина со скоростью 60км/ч. Через 2 ч вслед за ней из пункта А вышла легковая машина со скоростью 90 км/ч. На каком расстоянии от пункта А легковая машина догонит грузовую?
2. Чтобы выполнить задание в срок, токарь должен изготавливать по 24 детали в день. Однако он ежедневно перевыполнял норму на 15 деталей и уже за 6дней до срока изготовил 21 деталь сверх плана. Сколько деталей изготовил токарь?
Ответ: № 1 – 360 км, № 2 – 408 деталей.
Карточка № 4.
1. От турбазы до привала туристы шли со скоростью 4,5км/ч, а возвращались на турбазу со скоростью 4км/ч, затратив на обратный путь на 15 мин больше. На каком расстоянии от турбазы был сделан привал?
2. На одном складе было 185 т угля, а на другом – 237 т. Первый склад стал отпускать ежедневно по 15 т угля, а второй – по 18 т. Через сколько дней на втором складе угля будет в полтора раза больше, чем на первом?
Ответ: № 1 – 9 км, № 2 – 9 дней.
Примеры карточек для второй группы:
Карточка № 5.
1. Из пункта А выехал велосипедист. Одновременно вслед за ним из пункта В , отстоящего от пункта А на расстоянии 60 км/ч, выехал мотоциклист. Велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч, а мотоциклист – со скоростью 30 км/ч. На каком расстоянии от пункта А мотоциклист догонит велосипедиста?
2. Три бригады изготовили 65 деталей. Первая бригада изготовила на 10 деталей меньше, чем вторая, а третья – 30% того числа деталей, которые изготовили первая и вторая детали вместе. Сколько деталей изготовила каждая бригада?
Ответ: № 1 – 40 км, № 2 – 20, 30, 15 деталей.
Карточка № 6.
1. Расстояние между пристанями М и N равно 162 км. От пристани М отошёл теплоход со скоростью 45 км/ч. Через 45 мин от пристани N навстречу ему отошёл другой теплоход, скорость которого 36 км/ч. Через сколько часов после отправления первого теплохода они встретятся?
2. Бригада рабочих должна была изготовить определённое количество деталей за 20 дней. Однако она ежедневно изготавливала на 70 деталей больше, чем планировалось первоначально. Поэтому уже за 7 дней до срока ей осталось изготовить 140 деталей. Сколько деталей должна была изготовить бригада?
Ответ: № 1 – 2 ч, № 2 – 3000 деталей.
Карточка № 7.
1. От пристани А отошел теплоход со скоростью 40 км/ч. Через 1 ч вслед за ним отошёл другой теплоход со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов после своего отправления и на каком расстоянии от А второй теплоход догонит первый?
2. В хозяйстве имеются куры и овцы. Сколько тех и других, если у них вместе 19 голов и 46 ног?
Ответ: № 1 – 2 ,5 ч; 150 км, № 2 – 4 овцы и15 кур.
Карточка № 8.
1. Сумму в 74 р. заплатили девятнадцатью монетами по 2 р. и 5 р. Сколько было монет по 2 р.?
2. За 4 ч катер проходит по течению расстояние, в 2,4 раза большее, чем за 2 ч против течения. Какова скорость катера в стоячей воде, если скорость течения 1,5 км/ч?
Ответ: № 1 – 7 монет, № 2 – 16,5 км/ч.
Примеры карточек для третьей группы:
Карточка № 9.
1. Со станции М и N, расстояние между которыми 380 км, одновременно навстречу друг другу вышли два поезда. Скорость поезда, отправившегося со станции N, была больше скорости другого поезда на 5 км/ч. Через 2 ч после отправления поездам оставалось пройти до встречи 30 км. Найдите скорость поездов.
2. В одном резервуаре 380 м³ воды, а в другом 1500 м³. В первый резервуар каждый час поступает 80 м³ воды, а из второго каждый час выкачивают 60 м³. Через сколько часов воды в резервуаре станет поровну?
Ответ: № 1 – 85 и 90км/ч, № 2 – 56 ч.
Карточка № 10.
2. Скашивая ежедневно по 60 га вместо 50 га, бригада сумела скосить луг на один день быстрее, чем планировалось. Какова площадь луга?
Ответ: № 1 – 7 монет, № 2 – 300 га.
Карточка № 11.
1. (Старинная задача.) Летели галки, сели на палки: по две сядут – одна палка лишняя, по одной сядут – одна галка лишняя. Сколько было галок и сколько палок?
2. Турист рассчитал, что если он будет идти к железнодорожной станции со скоростью 4км/ч, то опоздает к поезду на полчаса, а если он будет идти со скоростью 5км/ч, то придёт на станцию за 6 мин до отправления поезда. Какое расстояние должен пройти турист?
Ответ: № 1 – 4 галки и 3 палки, № 2 – 12 км.
Карточка № 12.
1. (Задача С.А. Рачинского.) Я дал одному ученику 3 ореха, а всем остальным по 5 . Если бы я всем дал по 4 ореха, у меня осталось бы 15. Сколько было орехов?
2. К числу приписали справа нуль. Число увеличилось на 405. Найдите первое число.
Ответ: № 1 – 83 ореха, № 2 – 45.
Раздел считается введённым в работу, если каждая карточка с заданиями выполнена хотя бы одним учеником.
III. Работа в группах.
Затем работа классного коллектива выглядит так: организуется 3–4 группы по 4 человека (можно до 7 человек). В группе у каждого ученика своя карточка, за которую ученик уже получил плюс или оценку в оценочный лист. Каждый в группе выбирает партнёра, и они меняются карточками. Школьники работают в парах (решают карточку своего партнера полностью), затем пары в группе меняются. Если необходима помощь, то происходит взаимообучение. Если помощь не нужна, то после выполнения задания происходит взаимопроверка и делается отметка в оценочный лист. Потом пары меняются, и процесс продолжается до тех пор, пока каждый ученик не выполнит задания других учеников группы. Затем подводится итог, и выставляется общая оценка.
Оценочный лист.
| №1 | №2 | №3 | №4 | Итоговая оценка | |
| Лаптева Алина | 5 | ||||
| Борзенков Егор | 3 | ||||
| Мартышин Сергей | 4 | ||||
| Казакова Виктория | 3 |
По диагонали оценка выставлена учителем. За выполнение карточки № 1оценка выставляется Лаптевой А., № 2 – Борзенковым Е., № 3 – Мартышиным С., № 4 – Казаковой В..
22.02.2011
urok.1sept.ru
Решение задач по математике с помощью уравнений
Тема №8147
Мы просвятим вас с новой изучаемой темой Решение задач по математике с помощью уравнений с порядковым номером 8147, которая поможет при выполнении домашних заданий по предмету Математика. Если после изучения данного материала у вас появились вопросы, то вы можете задать их в форме ниже, другие единомышленники, возможно, помогут вам.
Решение задач с помощью уравнений.
Чтобы решить задачу с помощью уравнения, надо:
1. Записать краткое условие в виде схемы, таблицы или произвольным образом;
2. Обозначить буквой х ту величину, которую надо найти в главном вопросе задачи; если таких величин несколько, то буквой х обозначается меньшая из них;
3. Записать все условия задачи с помощью х;
4. Составить и решить уравнение;
5. Ответить на главный вопрос задачи (найти все величины, о которых идет речь в главном вопросе).
6. Выполнить проверку решения;
7. Записать ответ.
Соотношение между величинами.
Задача (образец). Три школы получили 70 компьютеров. Вторая школа получила на 6 компьютеров больше первой, а третья — на 10 компьютеров больше второй. Сколько компьютеров получила каждая школа?
х 1 — ?
х+6 2 — ? на 6 к больше, чем 1
х+6+10 3 — ? на 10 к больше, чем 2
Пусть х к получила 1 школа, тогда (х+6)к получила 2 школа, (х+6+10)к получила 3 школа. Известно, что три школы получили 70 компьютеров. Составляем уравнение.
х+(х+6)+(х+6+10)
х+х+6+х+6+10=70
х+х+х=70-6-6-10
3х=48
х=48:3
х=16 (1 школа)
Сколько компьютеров получила 2 школа?
16+6=22 (к)
Сколько компьютеров получила 3 школа?
22+10=32 (к)
Ответ: 1 школа-16к, 2 школа-22к, 3 школа-32к.
Задачи для самостоятельного решения.
1 уровень.
1. Две бригады хлопкоробов собрали вместе 20,4ц хлопка за день. При этом первая бригада собрала на 1,52ц больше второй. Сколько хлопка собрала каждая бригада?
2. Два комбайнера убрали за день 64,2га. Сколько убрал каждый комбайнер, если первый убрал на 2,8га меньше второго?
3. Луч ОМ разделил развернутый угол АОВ на два угла АОМ и МОВ. Градусная мера угла АОМ в 3 раза больше градусной меры угла МОВ. Найдите, сколько градусов содержится в каждом из этих углов.
4. Новому заводу потребовались 840 рабочих следующих специальностей: токарей, слесарей, фрезеровщиков. При этом токарей потребовалось втрое, а слесарей вдвое больше, чем фрезеровщиков. Сколько токарей потребовалось для завода?
5. В товарном составе 60 крытых вагонов, цистерн и платформ. Цистерн на 4 меньше, чем платформ, а платформ на 22 меньше, чем крытых вагонов. Сколько цистерн в составе?
6. В трех ящиках было 76кг помидоров. Во втором ящике было в 2 раза больше помидоров, чем в первом, а в третьем — на 8кг больше, чем в первом. Сколько помидоров было в каждом ящике?
7. Периметр прямоугольника 84дм. Его ширина на 6дм меньше длины. Найдите стороны и площадь прямоугольника.
8 Андрей старше Олега на 4 года, а Олег старше Бориса в 1,5 раза. Вместе им 36 лет. Сколько лет каждому из них?
9. Кусок электропровода длиной 68м разрезали на четыре части. Первые две части были одинаковой длины, третья – в 2 раза больше первой, а четвертая — на Зм
длиннее второй. Какова длина каждой части?
2 уровень.
1. Для перевозки картофеля выделили две машины. На первую машину погрузили т 3 раза больше картофеля, чем на вторую. Сколько центнеров картофеля погрузили на каждую машину, если на вторую погрузили на 41,4ц меньше, чем на первую?
2. Шаг Пети на 12см длиннее шага Толи. Но 4 шага Пети короче 6 шагов Толи на 54см. Найдите длину шага каждого мальчика.
3. Во второй день со склада выдали в 2 раза больше проволоки, чем в первый день, а в третий — в 3 раза больше, чем в первый. Сколько килограммов проволоки выдали за три дня, если в первый день выдали на 30кг меньше, чем в третий?
4. Газовая туристская плитка и два баллона имеют массу 7кг. Масса плитки меньше массы баллона на 2кг. Найдите массу баллона.
3 уровень
1. Ребята собрали 65кг цветного металлического лома. Меди и алюминия вместе было собрано на 1кг больше, чем цинка, а отдельно меди было на 15кг больше, чем алюминия. Сколько килограммов каждого металла было собрано?
2. В клетке сидят фазаны и кролики. У них 19 голов и 62 ноги Сколько фазанов и сколько кроликов в клетке?
Изменение величин (было — стало).
Задача (образец). В двух сараях сложено сено, причем в первом сарае сена в 3раза больше, чем во втором. После того как из первого сарая увезли 20т сена, а во второй привезли 10т, в обоих сараях сена стало поровну. Сколько тонн сена было в каждом сарае?
| Было | Изменение | Стало |
1сарай | ? 3х т в 3раза больше, чем во 2сарае | -20 | ? (3х-20)т |
2 сарай | ? х т | +10 | ? (х+10)т |
Пусть х т сена было во 2 сарае, тогда 3х т сена было в 1 сарае. После того как из первого сарая увезли 20т сена, а во второй привезли 10т, в обоих сараях сена стало поровну. Составляем уравнение.
3х-20=х+10
3х-х=10+20
2х=30
х=30:2
х=15 (2 сарай)
Сколько тонн сена было в 1 сарае?
15*3=45 (т)
Ответ: 1 сарай-45т
2 сарай-15т
Задачи для самостоятельного решения.
1 уровень.
1. В первом бидоне в 3 раза больше молока, чем во втором. Если из первого бидона перелить 20 л во второй, то молока в бидонах будет поровну. Сколько молока было в каждом бидоне?
2. Длина отрезка АВ на 2см больше, чем длина отрезка СВ. Если длину отрезка АВ
увеличить на 10см, а длину отрезка СD увеличить в 3 раза, то получатся равные результаты. Найдите длины данных отрезков.
3. Одно число больше другого в 4,5 раза. Если от большего числа отнять 54, а к меньшему прибавить 72, то получатся равные результаты! Чему равны эти числа?
4. На первом катере было в 2 раза больше людей, чем на втором. Когда на ближайшей пристани с первого катера сошло 98 человек, а со второго 16 человек, то на обоих катерах людей стало поровну. Сколько людей было на каждом катере первоначально?
5. В одном элеваторе было зерна й 3 раза больше, чем в другом. Из первого элеватора вывезли 960т зерна, а во второй привезли 240т, после чего в обоих элеваторах зерна стало поровну. Сколько зерна было первоначально в каждом элеваторе?
6. На железнодорожной станции стояли два состава, причем в одном из них было в 2 раза больше вагонов, чем в другом. Когда от первого состава отцепили 14 вагонов и прицепили их ко второму составу, то вагонов в составах стало поровну. Сколько вагонов было в каждом составе?
7. В одном куске в 2 раза больше полотна, чем в другом. Когда от меньшего куска отрезали !5м, от большего -— 45м. то полотне в обоих касках осталось погювну Сколько полотна было в каждом куске’7
2 уровень.
1. В двух кусках было поровну шелковой ткани. Когда от одного куска отрезали 10м, а от другого 40м, то в одном куске осталось вдвое больше ткани, чем в другом. Сколько ткани было в каждом куске9
2. . В двух бригадах было поровну рабочих. Когда в первую бригаду поступило 8 человек, а из второй ушли 2 человека, то в первой бригаде стало в 3 раза больше рабочих, чем во второй. Сколько рабочих было в каждой бригаде?
3. На станции стояло два товарных состава. Число вагонов в первом составе в 1,5 раза меньше числа вагонов во втором составе. От первого состава отцепили 5 вагонов и прицепили их ко второму составу. Теперь во втором составе стало вагонов в 2 раза больше, чем в первом. Сколько вагонов было в каждом составе?
4. В одной пачке было в 2,5 раза больше тетрадей, чем во второй. Когда из второй пачки переложили в первую 5 тетрадей, то во второй пачке стало тетрадей в 3 раза меньше, чем в первой. Сколько тетрадей было в каждой пачке?
5. На одной полке было в 3 раза больше книг, чем на другой. Когда с первой полки сняли 8 книг, а на другую положили 5 книг, то на второй полке стало на 17 книг меньше, чем на первой. Сколько книг было на каждой полке?
6. Для помощи в уборке урожая было выделено два отряда ребят. В одном отряде было в 3 раза больше ребят, чем во втором. Когда во второй отряд добавили еще 12 человек, то в двух отрядах стало 76 ребят. Сколько стало ребят во втором отряде?
1, На одной полке 42 книги, а на другой 34. Со второй полки сняли несколько книг, а с первой столько, сколько осталось на второй. После этого на первой полке осталось 12 книг. Сколько книг сняли со второй полки?
Задачи на движение.
Задача (образец) Два пешехода вышли одновременно навстречу друг из двух поселков и встретились через 3часа. Расстояние между поселками 30км. Найдите скорость каждого пешехода, если у одного она на 2км/ч меньше, чем у другого.
| V (скорость) | t (время) | S (расстояние) |
1 пешеход | ? х км/ч | 3ч | 3х км |
2 пешеход | ? (х-2) км/ч на 2км/ч меньше, чем у 1 пешехода | 3ч | 3(х-2) км |
Пусть х км/ч скорость 1пешехода, тогда (х-2) км/ч скорость 2 пешехода. Известно, что они вместе прошли 30км. Составляем уравнение.
3х+3(х-2)=30
3х+3х-6=30
3х+3х=30+6
6х=36
х=36:6
х=6 (скорость 1пешехода)
Какова скорость 2 пешехода?
6-2=4 (км/ч)
Ответ: Скорость 1 пешехода-6км/ч
Скорость 2 пешехода-4км/ч
Задачи для самостоятельного решения.
1 уровень.
1. Два велосипедиста отправились одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 60 км, и встретились через 2 ч. Определите скорость каждого велосипедиста, если у одного она на 2 км/ч больше, чем у другого.
2. Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу из двух поселков и встретились через 3 ч. Расстояние между поселками 30 км. Найдите скорость каждого пешехода, если у одного она на 2 км/ч меньше, чем у другого.
3. Мотоциклист ехал 3 л по проселочной дороге и 0,5 ч по шоссе; всего он проехал 110 км. Скорость мотоциклиста на шоссе была на 10 км/ч больше, чем на проселочной дороге. С какой скоростью ехал мотоциклист по проселочной дороге, и с какой — по шоссе?
4. Велосипедист ехал 2 ч по лесной дороге и 1,5 ч по шоссе; всего он проехал 48 км. Скорость велосипедиста на шоссе была на 4 км/ч больше, чем на лесной дороге. С какой скоростью ехал велосипедист по шоссе, и с какой — по лесной дороге?
5. Из двух пунктов, расстояние между которыми 40 км, навстречу друг другу отправились пешеход и велосипедист. Скорость велосипедиста в 4 раза больше скорости пешехода. Найдите скорости пешехода и велосипедиста, если они встретились через 2,5 ч после своего выхода.
6. Из двух пунктов, расстояние между которыми 210 км, вышли одновременно два электропоезда. Скорость одного из них на 5 км/ч больше скорости другого. Найдите скорость каждого электропоезда, если они встретились через 2 ч после своего выхода.
2 уровень.
1. Из Смоленска в Москву вышел поезд со скоростью 70 км/ч. Спустя. 1 ч 40 мин из Москвы в Смоленск отправился поезд, скорость которого 60 км/ч. Через сколько часов после выхода поезда из Смоленска произойдет встреча, если расстоянии между городами 420 км?
2. Из поселка в город выехал велосипедист. Спустя 44 мин вслед за ним выехал мотоциклист, скорость которого на 30 км/ч больше скорости велосипедиста. Через 36 мин после своего выхода мотоциклист, обогнав велосипедиста, находился от него на расстоянии 7 км. Найдите скорость велосипедиста.
3. Из пункта А в пункт В выехала грузовая машина. Спустя 1,2 ч вслед за ней выехал автобус. Через 0,8 ч после своего выхода он отставал от машины на 24 км. Найдите скорость автобуса, если известно, что она больше скорости грузовой машины на 30 км/ч.
Движение по воде.
Задача (образец).
Лодка может проплыть расстояние между двумя селениями, стоящими не берегу реки, за 4ч по течению реки и за 8ч против течения. Скорость течения реки 2 км/ч. Найдите собственную скорость лодки и расстояние между селениями.
| v (скорость) | t (время) | s (расстояние) |
По течению реки | (х+2) км/ч | 4ч | 4(х+2) км одинаковое |
Против течения реки | (х-2) км/ч | 8ч | 8(х-2) км |
V собственная ? Х км/ч
V течения реки 2 км/ч
V по течению реки = V собственная + Vреки
V против течения реки = Vсобственная — V реки
Пусть х км/ч – собственная скорость, (х+2)км/ч скорость по течению реки,(х-2) км/ч скорость против течения реки.
Известно, что расстояние по течению и против течения одинаковое.
Составляем уравнение.
4(х+2) = 8(х-2)
4х+8 = 8х-16
4х-8х = -16-8
-4х = -24
х = -24:(-4)
х = 6 (собственная скорость)
Каково расстояние между селениями?
(6+2)*4=32(км)
Ответ: Собственная скорость 6 км/ч, Расстояние 32 км.
Задачи для самостоятельного решения.
1 уровень.
1. Лодка может проплыть расстояние между двумя селениями, стоящими на берегу реки, за 4 ч по течению реки и за 8 ч против течения. Скорость течения реки 2 км/ч. Найдите собственную скорость лодки и расстояние между селениями.
2. Лодка проплыла от одной пристани до другой против течения реки за 4 ч. Обратный путь занял у нее 3 ч. Скорость течения реки 1км/ч. Найдите собственную скорость лодки расстояние между пристанями.
3. По течению реки катер прошел за 7 ч столько же километров, сколько он проходит за 8 ч против течения. Скорость катера в стоячей воде 30 км/ч. Найдите скорость течения реки.
4. Расстояние по реке между пристанями равно 45 км. Одновременно навстречу друг другу вышли два катера, собственные скорости которых равны. Через 1,5 ч они встретились. Найдите собственные скорости катеров, если скорость течения реки равна 3 км/ч.
5. Из двух пунктов реки, расстояние между которыми равно 36 км, навстречу друг другу движутся две моторные лодки. Лодка, идущая по течению, собственная скорость которой 18 км/ч, до встречи шла 0,5 ч, другая лодка, собственная скорость которой равна 20 км/ч, до встречи шла 1,5 ч. Найдите скорость течения реки.
2 уровень.
1. Из двух пунктов реки навстречу друг другу движутся две моторные лодки, собственные скорости которых равны. Скорость течения реки равна 2 км/ч. До встречи лодка, идущая по течению, шла 0,9 ч, а другая лодка шла 1 ч. Найдите собственную скорость лодок, если лодка, идущая по течению, прошла на 2 км больше, чем другая лодка.
2. Из двух пунктов реки одновременно навстречу друг другу вышли две моторные лодки. Через 1,2 ч они встретились. Собственная скорость лодки, которая шла по течению реки, равна 18 км/ч, а лодки, которая шла против течения реки, равна 16 км/ч. До встречи одна лодка прошла на 9,6 км больше другой. Найдите скорость течения реки.
Работа по плану и фактически.
Задача (образец). Один автомат упаковывает в минуту на 2 пачки печенья больше, чем второй. Первый автомат работая 10 мин, а второй – 20 мин. Всего за это время было упаковано 320 пачек печенья. Сколько: пачек в минуту упаковывает каждый автомат?
| Производительнос | Время | Работа |
1 автомат | ?(х+2)п на 2 п больше, чем 2 | 10 мин | ? 10(х+2)п |
2 автомат | ? Х п | 20 мин | ? 20 х п |
Производительнос
Пусть х п производительнос
Известно, что всего было упаковано 320 пачек. Составляем уравнение.
10(х+2)+20х = 320
10х+20+20х = 320
10х+20х = 320-20
х = 300:30
х = 10 (производительно
Какова производительнос
10+2 = 12(п)
Ответ: 1 автомат упаковывает в минуту 12 пачек,
2 автомат упаковывает в минуту 10 пачек.
Задачи для самостоятельного решения.
1 уровень.
1. По плану тракторная бригада должна была вспахать поле за 14 дней. Бригада вспахивала ежедневно на 5 га больше, чем намечалось по плану, и поэтому закончила пахоту за 12 дней. Сколько гектаров было вспахано? Найдите площадь поля.
2. Заказ по выпуску машин завод должен был выполнить за 20 дней. Но завод выпускал ежедневно по 2 машины сверх плана, а поэтому выполнил заказ за 18 дней. Сколько машин выпустил завод?
3. Колхоз должен был закончить сев за 5 дней. Колхозники засевали в день на 20 га больше, чем предполагалось по плану, а поэтому закончили сев за 4 дня. Сколько гектаров должен был засеять колхоз?
4. Заготовленного сена хватило на 180 дней. Если бы расход сена уменьшился бы на 32ц в день, то его хватило бы на 192 дня. Сколько центнеров сена было заготовлено на 1 день? Можно ли найти массу всего заготовленного сена?
5. Заготовленной кормовой свеклы хватит на 174 дня. Если бы расход свеклы увеличился на 12ц в день, то ее хватило бы на 168 дней. Сколько центнеров свеклы было заготовлено на 1 день? Можно ли узнать, сколько всего заготовлено свеклы?
6. От города до поселка автомобиль доехал за Зч. Если бы он увеличил скорость на 25 км/ч, то проехал бы это расстояние за 2ч. С какой скоростью ехал автомобиль и чему равно расстояние от поселка до города?
7. От турбазы до станции турист доехал на велосипеде за Зч. Пешком он смог бы пройти это расстояние за 7ч. Известно, что пешком он идет со скоростью на 8 км/ч меньшей, чем едет на велосипеде. С какой скоростью ехал турист и чему равно расстояние от турбазы до станции?
8. Турист шел от турбазы до станции со скоростью 6 км/ч. Если бы он шел со скоростью 4 км/ч, то затратил бы на дорогу на 1ч больше. Чему равно расстояние от турбазы до станции?
9. Грибник, выйдя из леса, направился к деревне. Он шел со скоростью 4 км/ч. Если бы он шел со скоростью 5 км/ч, то затратил бы на дорогу на 4 ч меньше. Какое расстояние прошел грибник от леса до деревни?
2 уровень.
1. Заказ по выпуску машин завод должен был выполнить за 20 дней. Но уже за 18 дней завод перевыполнил план на 6 машин, так как ежедневно выпускал по 3 машины сверх плана. Сколько машин выпустил завод?
2. Бригада рабочих должна была выполнить заказ за 5 дней. Ежедневно превышая норму на 18 деталей, она за 3,5 дней работы не только выполнила задание, но и изготовила 27 деталей сверх плана. Сколько деталей изготовила бригада?
3. Чтобы читать книгу в библиотеку, ученик должен был читать ежедневно по 40 страниц, но он читал в день на 15 страниц меньше и сдал книгу на 6 дней позже срока. За сколько дней ученик должен был прочитать книгу?
4. Путь от А до В автомобиль проезжает с определенной скоростью за 2,5 ч. Если он увеличит скорость на 20 км/ч, то за 2 ч пройдет путь, на 15 км больший, чем расстояние от А до В. Найдите — расстояние от А до В.
xn—-8sbhepth3ca.xn--p1ai
Урок решения старинных задач по теме «Решение задач с уравнениями»
Разделы: Математика
Класс:
Цель урока:
- Обобщить и углубить знания школьников по теме: Решение задач с помощью уравнений.
- Способствовать развитию наблюдательности, умения анализировать, сравнивать, делать выводы.
- Развивать творческие способности учеников путем решения старинных задач.
Ход урока
I. Вводная беседа учителя. Из истории уравнений.
Уже около 4000 лет назад вавилоняне и египтяне решали разные задачи землемерия, строительства и военного дела с помощью уравнений. Уравнение первой и второй степеней умели решать в древности также китайские и индийские ученые.
Задачи, решаемые с помощью уравнений, встречаются во многих текстах глубокой древности. В Московском папирусе, представляющем свиток, изготовленный из растений, на котором сделаны записи около 1850 г. до н.э., и в папирусе Ахмеса, например, содержащие задачи, в которых неизвестное имеет особый символ и название: “хау” или ”аха. Оно означает “количество”, ”куча”. Так называемое ”исчисление кучи”, или “вычисление хау”, приблизительно соответствует нашему решению задач с помощью уравнений.
II. Решение старинных задач.
1) Старинная русская задача (XVII век)
Один человек решил узнать, который теперь час. Ему ответили, что две пятых прошедших часов от полуночи до сего времени равны двум третям оставшегося времени до полудня. Смогли бы вы определить, сколько сейчас времени.
Решение:
Промежуток от полуночи до полудня составляет 12 часов. Если обозначить время от полуночи до искомого момента через t, то можно составить уравнение:
часов.
Ответ: 7 часов 30 минут утра.
2) Задача 2. Пифагор Самосский (около 580-501 г. до н.э.)
Поликрит из баллады Шиллера тиран с острова Самос) однажды спросил на пиру Пифагора, сколько у того учеников. “Охотно скажу тебе, о Поликрит, – Отвечал Пифагор. – Половина моих учеников изучает прекрасную математику. Четверть исследует тайны вечной природы, седьмая часть молча укрепляет силу духа, храня в сердце учение. Добавь еще к ним трех юношей, из которых Теон превосходит прочих своими способностями. Столько учеников веду я к рождению вечной истины. ” Сколько учеников было Пифагора.
Решение:
Пусть x число учеников Пифагора. По условию задачи составим уравнение:
Ответ: 28 учеников.
3)Задача 3. Герон Александрийский (I до н.э.)
Из-под земли бьют четыре источника. Первый заполняет бассейн за 1 день, второй за 2 дня третий за 3 дня и четвертый за 4 дня. За сколько времени наполняют бассейны четыре источника вместе?
Решение:
Примем объем бассейна за 1. Пусть х – число дней, за которые источники вместе заполняют бассейн.
Следовательно, чтобы заполнить бассейн из четырех источников, требуется дня, т.е. чуть меньше половины дня.
4) Задача 4. Евклид (III в. до н.э.)
Мул и осел под вьюком по дороге с мелкими шагами. Жалобно охал осёл, непосильно ношей придавлен. Это подметивший обратился к сопутчику с речью: “Что ж, старина, ты заныл и рыдаешь, будто девочка? Нёс бы вдвойне я, чем ты, если б отдал одну ты мне меру. Если ж ты у меня одну взял, то мы бы сровнялись”.
Сколько нес каждый из них?
Решение:
Если х – груз мула, то (х-1) – груз осла, увеличенный на единицу, а следовательно, первоначальный груз осла был (х-2). С другой стороны, (х+1) в 2 раза больше, чем груз осла, уменьшенный на 1 , т.е. (х-3). Таким образом,
x+1=2(x-3)
x=7
Груз мула равен 7, груз осла равен
х-2=5
Ответ: груз мула равен 7, груз осла равен 5.
5) Задача 5.
В 1881г. была найдена зарытой в земле близ Бахшали (северо-западная Индия) рукопись неизвестного автора, которая, как полагают, относится к VI-VIII вв. В этом памятнике, написанном на березовой коре и известным под названием ”Бахшалийской рукописи”, содержится такая задача:
“Из четырех жертвователей второй дал вдвое больше первого, третий – втрое больше второго, четвертый – вчетверо больше третьего, а все вместе дали 132. Сколько дал первый?”
Решение:
Пусть первый дал х то следующие дали 2х, 6х, 24х, все же вместе дали 132.
х+2х+6х+24х=132
33х=132
х=4
Следовательно, первый дал 4, второй 8, третий 24, четвертый 96.
6) Задача 6.
В своей «Всеобщей арифметике» Ньютон называет буквы, знаки действий, алгебраические выражения и уравнения языком алгебры. Чтобы решить задачу, пишет Ньютон, нужно лишь «перевести её с обыкновенного языка на язык символических выражений» язык алгебры. Перевод этот означает составление уравнения, решение которого ведёт к решению поставленной задачи.
Вот один из примеров, данных Ньютоном: Купец имел некоторую сумму денег. 100 фунтов из неё он затрачивал каждый год на содержание своей семьи, прибавляя к оставшейся сумме одну её треть. Через три года он обнаружил, что его состояние удвоилось. Сколько денег было у него вначале?»
Таким образом, заключает Ньютон, задача выражается уравнением:
решив которое находим х=1480.
III. Итог урока.
Ребята, с задачами каких стран вы познакомились, какие ученые создали эти старинные задачи.
Какая задача вам понравилась больше всего и почему.
IV. Домашнее задание.
Задача Бхаскара (Индия).
Некто сказал другу: «Дай мне 100 рупий, и я буду вдвое богаче тебя». Друг ответил: «Дай ты мне только 10, и я стану в 6 раз богаче тебя». Сколько было у каждого?
Решение:
170; 40. Вводя вспомогательное неизвестное, Бхаскара принимает, что первый имеет 2х – 10, тогда по условию задачи второй имеет х+100. Второе условие приводит к уравнению.
6(2х-100-10)=х+100+10, откуда х=70.
15.10.2012
urok.1sept.ru
Объясните как решать задачи через уравнение? Я вообще их не понимаю. Целых 2 года мучаюсь и выкручиваюсь. (((
Кристина, ты ведь в 5-м или 6-м классе. А там пока никаких серьезных задач на уравнения не решают. Они начинаются в 7-м классе. Но я все равно постараюсь объяснить, примерно так: Общий метод решения текстовых задач с помощью уравнения состоит из 4 этапов: 1. принять за Х одну из неизвестных величин. 2. выразить другие величины через Х. 3. посмотреть по тексту задачи, какие величины РАВНЫ между собой и записать этот факт в математическом виде, используя знак = . У тебя получится уравнение. 4. решить это уравнение. Вот пример: задача. В классе 29 человек, причем мальчиков на 3 человека больше, чем девочек. Найти число тех и других. РЕШЕНИЕ (показано по этапам, внимательно проследи решение, чтобы все понять) 1. примем за Х количество девочек. 2. тогда мальчиков будет Х + 3 (видишь, мы выразили кол-во мальчиков через Х) 3. известно, что сумма мальчиков и девочек РАВНА 29. Этот факт запишем в виде уравнения: Х + (Х + 3) = 29. 4. упростим левую часть и решим уравнение: 2Х + 3 = 29 2Х = 26 Х = 13 Ответ: девочек 13, мальчиков 16. ————— Запомни: Все этапы важны, ни один пропускать нельзя. Нельзя начинать решать задачу с составления уравнения. У тебя ничего путного не выйдет, т. к. сначала надо выполнить этапы 1 и 2. Опыт показывает, что самое сложное — этап 2, многие школьники с ним не справляются, т. к. просто не умеют ВЫРАЖАТЬ и СРАВНИВАТЬ величины (хотя это проходят во 2 — 3 классах) . А ты это умеешь? Вот, проверь себя: 1) На одной полке Х книг, а на второй — в 1,5 раза больше. Как выразить через Х число книг на второй полке? 2) Автомобиль должен проехать 120 км. Он проехал Х км. Сколько ему осталось ехать? —————————— ответы: 1) 1,5Х 2) 120 — Х. Если ты решила правильно, то дальше просто тренируйся в решении задач. Если же эти простые вопросы вызвали затруднения — надо срочно устранять пробелы в знаниях!! ! Это очень серьезные пробелы. Они просто не дадут тебе понимать в математике более сложные темы …
+ + ++ +++ +++++ ++ +++ + ++ + +++ + +Супер знание
х+(х+3)=29 2х+3 2х=26 х=13
Кристина, ты ведь в 5-м или 6-м классе. А там пока никаких серьезных задач на уравнения не решают. Они начинаются в 7-м классе. Но я все равно постараюсь объяснить, примерно так: Общий метод решения текстовых задач с помощью уравнения состоит из 4 этапов: 1. принять за Х одну из неизвестных величин. 2. выразить другие величины через Х. 3. посмотреть по тексту задачи, какие величины РАВНЫ между собой и записать этот факт в математическом виде, используя знак = . У тебя получится уравнение. 4. решить это уравнение. Вот пример: задача. В классе 29 человек, причем мальчиков на 3 человека больше, чем девочек. Найти число тех и других. РЕШЕНИЕ (показано по этапам, внимательно проследи решение, чтобы все понять) 1. примем за Х количество девочек. 2. тогда мальчиков будет Х + 3 (видишь, мы выразили кол-во мальчиков через Х) 3. известно, что сумма мальчиков и девочек РАВНА 29. Этот факт запишем в виде уравнения: Х + (Х + 3) = 29. 4. упростим левую часть и решим уравнение: 2Х + 3 = 29 2Х = 26 Х = 13 Ответ: девочек 13, мальчиков 16. ————— Запомни: Все этапы важны, ни один пропускать нельзя. Нельзя начинать решать задачу с составления уравнения. У тебя ничего путного не выйдет, т. к. сначала надо выполнить этапы 1 и 2. Опыт показывает, что самое сложное — этап 2, многие школьники с ним не справляются, т. к. просто не умеют ВЫРАЖАТЬ и СРАВНИВАТЬ величины (хотя это проходят во 2 — 3 классах) . А ты это умеешь? Вот, проверь себя: 1) На одной полке Х книг, а на второй — в 1,5 раза больше. Как выразить через Х число книг на второй полке? 2) Автомобиль должен проехать 120 км. Он проехал Х км. Сколько ему осталось ехать? —————————— ответы: 1) 1,5Х 2) 120 — Х. Если ты решила правильно, то дальше просто тренируйся в решении задач. Если же эти простые вопросы вызвали затруднения — надо срочно устранять пробелы в знаниях!! !Это очень серьезные пробелы. Они просто не дадут тебе понимать в математике более сложные темы …
спасибо помоголо очень
Вот блин Татьяна просто взяла и скопировать чужое объяснение. Так нельзя это нарушение авторских прав
Кристина, ты ведь в 5-м или 6-м классе. А там пока никаких серьезных задач на уравнения не решают. Они начинаются в 7-м классе. Но я все равно постараюсь объяснить, примерно так: Общий метод решения текстовых задач с помощью уравнения состоит из 4 этапов: 1. принять за Х одну из неизвестных величин. 2. выразить другие величины через Х. 3. посмотреть по тексту задачи, какие величины РАВНЫ между собой и записать этот факт в математическом виде, используя знак = . У тебя получится уравнение. 4. решить это уравнение. Вот пример: задача. В классе 29 человек, причем мальчиков на 3 человека больше, чем девочек. Найти число тех и других. РЕШЕНИЕ (показано по этапам, внимательно проследи решение, чтобы все понять) 1. примем за Х количество девочек. 2. тогда мальчиков будет Х + 3 (видишь, мы выразили кол-во мальчиков через Х) 3. известно, что сумма мальчиков и девочек РАВНА 29. Этот факт запишем в виде уравнения: Х + (Х + 3) = 29. 4. упростим левую часть и решим уравнение: 2Х + 3 = 29 2Х = 26 Х = 13 Ответ: девочек 13, мальчиков 16. ————— Запомни: Все этапы важны, ни один пропускать нельзя. Нельзя начинать решать задачу с составления уравнения. У тебя ничего путного не выйдет, т. к. сначала надо выполнить этапы 1 и 2. Опыт показывает, что самое сложное — этап 2, многие школьники с ним не справляются, т. к. просто не умеют ВЫРАЖАТЬ и СРАВНИВАТЬ величины (хотя это проходят во 2 — 3 классах) . А ты это умеешь? Вот, проверь себя: 1) На одной полке Х книг, а на второй — в 1,5 раза больше. Как выразить через Х число книг на второй полке? 2) Автомобиль должен проехать 120 км. Он проехал Х км. Сколько ему осталось ехать? —————————— ответы: 1) 1,5Х 2) 120 — Х. Если ты решила правильно, то дальше просто тренируйся в решении задач. Если же эти простые вопросы вызвали затруднения — надо срочно устранять пробелы в знаниях!! !Это очень серьезные пробелы. Они просто не дадут тебе понимать в математике более сложные темы …
спасибо я в 7 классе и мне помогло это сам я не мог понять
touch.otvet.mail.ru
Решение задач с помощью уравнений
Решение задач с помощью уравнений.Чтобы решить задачу с помощью уравнения, надо:
1. Записать краткое условие в виде схемы, таблицы или произвольным образом;
2. Обозначить буквой х ту величину, которую надо найти в главном вопросе задачи; если таких величин несколько, то буквой х обозначается меньшая из них;
3. Записать все условия задачи с помощью х;
4. Составить и решить уравнение;
5. Ответить на главный вопрос задачи (найти все величины, о которых идет речь в главном вопросе).
6. Выполнить проверку решения;
7. Записать ответ.
Соотношение между величинами.
Задача (образец). Три школы получили 70 компьютеров. Вторая школа получила на 6 компьютеров больше первой, а третья — на 10 компьютеров больше второй. Сколько компьютеров получила каждая школа?
х 1 — ?
х+6 2 — ? на 6 к больше, чем 1
х+6+10 3 — ? на 10 к больше, чем 2
Пусть х к получила 1 школа, тогда (х+6)к получила 2 школа, (х+6+10)к получила 3 школа. Известно, что три школы получили 70 компьютеров. Составляем уравнение.
х+(х+6)+(х+6+10)=70
х+х+6+х+6+10=70
х+х+х=70-6-6-10
3х=48
х=48:3
х=16 (1 школа)
Сколько компьютеров получила 2 школа?
16+6=22 (к)
Сколько компьютеров получила 3 школа?
22+10=32 (к)
Ответ: 1 школа-16к, 2 школа-22к, 3 школа-32к.
Задачи для самостоятельного решения.
1 уровень.
1. Две бригады хлопкоробов собрали вместе 20,4ц хлопка за день. При этом первая бригада собрала на 1,52ц больше второй. Сколько хлопка собрала каждая бригада?
2. Два комбайнера убрали за день 64,2га. Сколько убрал каждый комбайнер, если первый убрал на 2,8га меньше второго?
3. Луч ОМ разделил развернутый угол АОВ на два угла АОМ и МОВ. Градусная мера угла АОМ в 3 раза больше градусной меры угла МОВ. Найдите, сколько градусов содержится в каждом из этих углов.
4. Новому заводу потребовались 840 рабочих следующих специальностей: токарей, слесарей, фрезеровщиков. При этом токарей потребовалось втрое, а слесарей вдвое больше, чем фрезеровщиков. Сколько токарей потребовалось для завода?
5. В товарном составе 60 крытых вагонов, цистерн и платформ. Цистерн на 4 меньше, чем платформ, а платформ на 22 меньше, чем крытых вагонов. Сколько цистерн в составе?
6. В трех ящиках было 76кг помидоров. Во втором ящике было в 2 раза больше помидоров, чем в первом, а в третьем — на 8кг больше, чем в первом. Сколько помидоров было в каждом ящике?
7. Периметр прямоугольника 84дм. Его ширина на 6дм меньше длины. Найдите стороны и площадь прямоугольника.
8 Андрей старше Олега на 4 года, а Олег старше Бориса в 1,5 раза. Вместе им 36 лет. Сколько лет каждому из них?
9. Кусок электропровода длиной 68м разрезали на четыре части. Первые две части были одинаковой длины, третья – в 2 раза больше первой, а четвертая — на Зм
длиннее второй. Какова длина каждой части?
2 уровень.
1. Для перевозки картофеля выделили две машины. На первую машину погрузили т 3 раза больше картофеля, чем на вторую. Сколько центнеров картофеля погрузили на каждую машину, если на вторую погрузили на 41,4ц меньше, чем на первую?
2. Шаг Пети на 12см длиннее шага Толи. Но 4 шага Пети короче 6 шагов Толи на 54см. Найдите длину шага каждого мальчика.
3. Во второй день со склада выдали в 2 раза больше проволоки, чем в первый день, а в третий — в 3 раза больше, чем в первый. Сколько килограммов проволоки выдали за три дня, если в первый день выдали на 30кг меньше, чем в третий?
4. Газовая туристская плитка и два баллона имеют массу 7кг. Масса плитки меньше массы баллона на 2кг. Найдите массу баллона.
3 уровень
1. Ребята собрали 65кг цветного металлического лома. Меди и алюминия вместе было собрано на 1кг больше, чем цинка, а отдельно меди было на 15кг больше, чем алюминия. Сколько килограммов каждого металла было собрано?
2. В клетке сидят фазаны и кролики. У них 19 голов и 62 ноги Сколько фазанов и сколько кроликов в клетке?
Изменение величин (было — стало).
Задача (образец). В двух сараях сложено сено, причем в первом сарае сена в 3раза больше, чем во втором. После того как из первого сарая увезли 20т сена, а во второй привезли 10т, в обоих сараях сена стало поровну. Сколько тонн сена было в каждом сарае?
| Было | Изменение | Стало | |
| 1сарай | ? 3х т в 3раза больше, чем во 2сарае | -20 | ? (3х-20)т |
| 2 сарай | ? х т | +10 | ? (х+10)т |
Пусть х т сена было во 2 сарае, тогда 3х т сена было в 1 сарае. После того как из первого сарая увезли 20т сена, а во второй привезли 10т, в обоих сараях сена стало поровну. Составляем уравнение.
3х-20=х+10
3х-х=10+20
2х=30
х=30:2
х=15 (2 сарай)
Сколько тонн сена было в 1 сарае?
15*3=45 (т)
Ответ: 1 сарай-45т
2 сарай-15т
Задачи для самостоятельного решения.
1 уровень.
1. В первом бидоне в 3 раза больше молока, чем во втором. Если из первого бидона перелить 20 л во второй, то молока в бидонах будет поровну. Сколько молока было в каждом бидоне?
2. Длина отрезка АВ на 2см больше, чем длина отрезка СВ. Если длину отрезка АВ
увеличить на 10см, а длину отрезка СD увеличить в 3 раза, то получатся равные результаты. Найдите длины данных отрезков.
3. Одно число больше другого в 4,5 раза. Если от большего числа отнять 54, а к меньшему прибавить 72, то получатся равные результаты! Чему равны эти числа?
4. На первом катере было в 2 раза больше людей, чем на втором. Когда на ближайшей пристани с первого катера сошло 98 человек, а со второго 16 человек, то на обоих катерах людей стало поровну. Сколько людей было на каждом катере первоначально?
5. В одном элеваторе было зерна й 3 раза больше, чем в другом. Из первого элеватора вывезли 960т зерна, а во второй привезли 240т, после чего в обоих элеваторах зерна стало поровну. Сколько зерна было первоначально в каждом элеваторе?
6. На железнодорожной станции стояли два состава, причем в одном из них было в 2 раза больше вагонов, чем в другом. Когда от первого состава отцепили 14 вагонов и прицепили их ко второму составу, то вагонов в составах стало поровну. Сколько вагонов было в каждом составе?
7. В одном куске в 2 раза больше полотна, чем в другом. Когда от меньшего куска отрезали !5м, от большего -— 45м. то полотне в обоих касках осталось погювну Сколько полотна было в каждом куске’7
2 уровень.
1. В двух кусках было поровну шелковой ткани. Когда от одного куска отрезали 10м, а от другого 40м, то в одном куске осталось вдвое больше ткани, чем в другом. Сколько ткани было в каждом куске9
2. . В двух бригадах было поровну рабочих. Когда в первую бригаду поступило 8 человек, а из второй ушли 2 человека, то в первой бригаде стало в 3 раза больше рабочих, чем во второй. Сколько рабочих было в каждой бригаде?
3. На станции стояло два товарных состава. Число вагонов в первом составе в 1,5 раза меньше числа вагонов во втором составе. От первого состава отцепили 5 вагонов и прицепили их ко второму составу. Теперь во втором составе стало вагонов в 2 раза больше, чем в первом. Сколько вагонов было в каждом составе?
4. В одной пачке было в 2,5 раза больше тетрадей, чем во второй. Когда из второй пачки переложили в первую 5 тетрадей, то во второй пачке стало тетрадей в 3 раза меньше, чем в первой. Сколько тетрадей было в каждой пачке?
5. На одной полке было в 3 раза больше книг, чем на другой. Когда с первой полки сняли 8 книг, а на другую положили 5 книг, то на второй полке стало на 17 книг меньше, чем на первой. Сколько книг было на каждой полке?
6. Для помощи в уборке урожая было выделено два отряда ребят. В одном отряде было в 3 раза больше ребят, чем во втором. Когда во второй отряд добавили еще 12 человек, то в двух отрядах стало 76 ребят. Сколько стало ребят во втором отряде?
1, На одной полке 42 книги, а на другой 34. Со второй полки сняли несколько книг, а с первой столько, сколько осталось на второй. После этого на первой полке осталось 12 книг. Сколько книг сняли со второй полки?
Задачи на движение.
Задача (образец) Два пешехода вышли одновременно навстречу друг из двух поселков и встретились через 3часа. Расстояние между поселками 30км. Найдите скорость каждого пешехода, если у одного она на 2км/ч меньше, чем у другого.
| V (скорость) | t (время) | S (расстояние) | |
| 1 пешеход | ? х км/ч | 3ч | 3х км |
| 2 пешеход | ? (х-2) км/ч на 2км/ч меньше, чем у 1 пешехода | 3ч | 3(х-2) км |
Пусть х км/ч скорость 1пешехода, тогда (х-2) км/ч скорость 2 пешехода. Известно, что они вместе прошли 30км. Составляем уравнение.
3х+3(х-2)=30
3х+3х-6=30
3х+3х=30+6
6х=36
х=36:6
х=6 (скорость 1пешехода)
Какова скорость 2 пешехода?
6-2=4 (км/ч)
Ответ: Скорость 1 пешехода-6км/ч
Скорость 2 пешехода-4км/ч
Задачи для самостоятельного решения.
1 уровень.
1. Два велосипедиста отправились одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 60 км, и встретились через 2 ч. Определите скорость каждого велосипедиста, если у одного она на 2 км/ч больше, чем у другого.
2. Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу из двух поселков и встретились через 3 ч. Расстояние между поселками 30 км. Найдите скорость каждого пешехода, если у одного она на 2 км/ч меньше, чем у другого.
3. Мотоциклист ехал 3 л по проселочной дороге и 0,5 ч по шоссе; всего он проехал 110 км. Скорость мотоциклиста на шоссе была на 10 км/ч больше, чем на проселочной дороге. С какой скоростью ехал мотоциклист по проселочной дороге, и с какой — по шоссе?
4. Велосипедист ехал 2 ч по лесной дороге и 1,5 ч по шоссе; всего он проехал 48 км. Скорость велосипедиста на шоссе была на 4 км/ч больше, чем на лесной дороге. С какой скоростью ехал велосипедист по шоссе, и с какой — по лесной дороге?
5. Из двух пунктов, расстояние между которыми 40 км, навстречу друг другу отправились пешеход и велосипедист. Скорость велосипедиста в 4 раза больше скорости пешехода. Найдите скорости пешехода и велосипедиста, если они встретились через 2,5 ч после своего выхода.
6. Из двух пунктов, расстояние между которыми 210 км, вышли одновременно два электропоезда. Скорость одного из них на 5 км/ч больше скорости другого. Найдите скорость каждого электропоезда, если они встретились через 2 ч после своего выхода.
2 уровень.
1. Из Смоленска в Москву вышел поезд со скоростью 70 км/ч. Спустя. 1 ч 40 мин из Москвы в Смоленск отправился поезд, скорость которого 60 км/ч. Через сколько часов после выхода поезда из Смоленска произойдет встреча, если расстоянии между городами 420 км?
2. Из поселка в город выехал велосипедист. Спустя 44 мин вслед за ним выехал мотоциклист, скорость которого на 30 км/ч больше скорости велосипедиста. Через 36 мин после своего выхода мотоциклист, обогнав велосипедиста, находился от него на расстоянии 7 км. Найдите скорость велосипедиста.
3. Из пункта А в пункт В выехала грузовая машина. Спустя 1,2 ч вслед за ней выехал автобус. Через 0,8 ч после своего выхода он отставал от машины на 24 км. Найдите скорость автобуса, если известно, что она больше скорости грузовой машины на 30 км/ч.
Движение по воде.
Задача (образец).
Лодка может проплыть расстояние между двумя селениями, стоящими не берегу реки, за 4ч по течению реки и за 8ч против течения. Скорость течения реки 2 км/ч. Найдите собственную скорость лодки и расстояние между селениями.
| v (скорость) | t (время) | s (расстояние) | |
| По течению реки | (х+2) км/ч | 4ч | 4(х+2) км одинаковое |
| Против течения реки | (х-2) км/ч | 8ч | 8(х-2) км |
V собственная ? Х км/ч
V течения реки 2 км/ч
V по течению реки = V собственная + Vреки
V против течения реки = Vсобственная — V реки
Пусть х км/ч – собственная скорость, (х+2)км/ч скорость по течению реки,(х-2) км/ч скорость против течения реки.
Известно, что расстояние по течению и против течения одинаковое.
Составляем уравнение.
4(х+2) = 8(х-2)
4х+8 = 8х-16
4х-8х = -16-8
-4х = -24
х = -24:(-4)
х = 6 (собственная скорость)
Каково расстояние между селениями?
(6+2)*4=32(км)
Ответ: Собственная скорость 6 км/ч, Расстояние 32 км.
Задачи для самостоятельного решения.
1 уровень.
1. Лодка может проплыть расстояние между двумя селениями, стоящими на берегу реки, за 4 ч по течению реки и за 8 ч против течения. Скорость течения реки 2 км/ч. Найдите собственную скорость лодки и расстояние между селениями.
2. Лодка проплыла от одной пристани до другой против течения реки за 4 ч. Обратный путь занял у нее 3 ч. Скорость течения реки 1км/ч. Найдите собственную скорость лодки расстояние между пристанями.
3. По течению реки катер прошел за 7 ч столько же километров, сколько он проходит за 8 ч против течения. Скорость катера в стоячей воде 30 км/ч. Найдите скорость течения реки.
4. Расстояние по реке между пристанями равно 45 км. Одновременно навстречу друг другу вышли два катера, собственные скорости которых равны. Через 1,5 ч они встретились. Найдите собственные скорости катеров, если скорость течения реки равна 3 км/ч.
5. Из двух пунктов реки, расстояние между которыми равно 36 км, навстречу друг другу движутся две моторные лодки. Лодка, идущая по течению, собственная скорость которой 18 км/ч, до встречи шла 0,5 ч, другая лодка, собственная скорость которой равна 20 км/ч, до встречи шла 1,5 ч. Найдите скорость течения реки.
2 уровень.
1. Из двух пунктов реки навстречу друг другу движутся две моторные лодки, собственные скорости которых равны. Скорость течения реки равна 2 км/ч. До встречи лодка, идущая по течению, шла 0,9 ч, а другая лодка шла 1 ч. Найдите собственную скорость лодок, если лодка, идущая по течению, прошла на 2 км больше, чем другая лодка.
2. Из двух пунктов реки одновременно навстречу друг другу вышли две моторные лодки. Через 1,2 ч они встретились. Собственная скорость лодки, которая шла по течению реки, равна 18 км/ч, а лодки, которая шла против течения реки, равна 16 км/ч. До встречи одна лодка прошла на 9,6 км больше другой. Найдите скорость течения реки.
Работа по плану и фактически.
Задача (образец). Один автомат упаковывает в минуту на 2 пачки печенья больше, чем второй. Первый автомат работая 10 мин, а второй – 20 мин. Всего за это время было упаковано 320 пачек печенья. Сколько: пачек в минуту упаковывает каждый автомат?
| Производительность | Время | Работа | |
| 1 автомат | ?(х+2)п на 2 п больше, чем 2 | 10 мин | ? 10(х+2)п |
| 2 автомат | ? Х п | 20 мин | ? 20 х п |
Производительность – это работа за единицу времени.
Пусть х п производительность 2 автомата, тогда (х+2)п производительность 1 автомата.
Известно, что всего было упаковано 320 пачек. Составляем уравнение.
10(х+2)+20х = 320
10х+20+20х = 320
10х+20х = 320-20
х = 300:30
х = 10 (производительность 2 автомата)
Какова производительность 1 автомата?
10+2 = 12(п)
Ответ: 1 автомат упаковывает в минуту 12 пачек,
2 автомат упаковывает в минуту 10 пачек.
Задачи для самостоятельного решения.
1 уровень.
1. По плану тракторная бригада должна была вспахать поле за 14 дней. Бригада вспахивала ежедневно на 5 га больше, чем намечалось по плану, и поэтому закончила пахоту за 12 дней. Сколько гектаров было вспахано? Найдите площадь поля.
2. Заказ по выпуску машин завод должен был выполнить за 20 дней. Но завод выпускал ежедневно по 2 машины сверх плана, а поэтому выполнил заказ за 18 дней. Сколько машин выпустил завод?
3. Колхоз должен был закончить сев за 5 дней. Колхозники засевали в день на 20 га больше, чем предполагалось по плану, а поэтому закончили сев за 4 дня. Сколько гектаров должен был засеять колхоз?
4. Заготовленного сена хватило на 180 дней. Если бы расход сена уменьшился бы на 32ц в день, то его хватило бы на 192 дня. Сколько центнеров сена было заготовлено на 1 день? Можно ли найти массу всего заготовленного сена?
5. Заготовленной кормовой свеклы хватит на 174 дня. Если бы расход свеклы увеличился на 12ц в день, то ее хватило бы на 168 дней. Сколько центнеров свеклы было заготовлено на 1 день? Можно ли узнать, сколько всего заготовлено свеклы?
6. От города до поселка автомобиль доехал за Зч. Если бы он увеличил скорость на 25 км/ч, то проехал бы это расстояние за 2ч. С какой скоростью ехал автомобиль и чему равно расстояние от поселка до города?
7. От турбазы до станции турист доехал на велосипеде за Зч. Пешком он смог бы пройти это расстояние за 7ч. Известно, что пешком он идет со скоростью на 8 км/ч меньшей, чем едет на велосипеде. С какой скоростью ехал турист и чему равно расстояние от турбазы до станции?
8. Турист шел от турбазы до станции со скоростью 6 км/ч. Если бы он шел со скоростью 4 км/ч, то затратил бы на дорогу на 1ч больше. Чему равно расстояние от турбазы до станции?
9. Грибник, выйдя из леса, направился к деревне. Он шел со скоростью 4 км/ч. Если бы он шел со скоростью 5 км/ч, то затратил бы на дорогу на 4 ч меньше. Какое расстояние прошел грибник от леса до деревни?
2 уровень.
1. Заказ по выпуску машин завод должен был выполнить за 20 дней. Но уже за 18 дней завод перевыполнил план на 6 машин, так как ежедневно выпускал по 3 машины сверх плана. Сколько машин выпустил завод?
2. Бригада рабочих должна была выполнить заказ за 5 дней. Ежедневно превышая норму на 18 деталей, она за 3,5 дней работы не только выполнила задание, но и изготовила 27 деталей сверх плана. Сколько деталей изготовила бригада?
3. Чтобы читать книгу в библиотеку, ученик должен был читать ежедневно по 40 страниц, но он читал в день на 15 страниц меньше и сдал книгу на 6 дней позже срока. За сколько дней ученик должен был прочитать книгу?
4. Путь от А до В автомобиль проезжает с определенной скоростью за 2,5 ч. Если он увеличит скорость на 20 км/ч, то за 2 ч пройдет путь, на 15 км больший, чем расстояние от А до В. Найдите — расстояние от А до В.
komane.ru