| Распределение ГауссаGaussian distribution Распределение Гаусса (нормальное распределение)
− плотность распределения вероятностей случайной величины n. Функция GXσ называется функцией Гаусса.
Говорят, что результаты измерений имеют нормальное распределение, если они
описываются функцией Гаусса. Распределение Гаусса, в отличие от распределения
Пуассона, характеризуется двумя независимыми параметрами X и σ. X − среднее
число отсчетов, которое мы ожидаем получить в случае многократного повторения
измерений. σ − среднее стандартное отклонение. На рис. Сравним распределения Гаусса GXσ(n) и Пуассона .
Pμ(n) ≈ GXσ(n), при X = μ, σ = √μ.
|
Боттомоний
Чармоний
1 показано два нормальных или
гауссовых распределения, соответствующие различным измерениям с одинаковыми
значениями X и разными σ. В первом случае X = 50, σ = 0.5, во втором случае
− X = 50, σ = 1. Величина σ в знаменателе экспоненты обеспечивает для более
узкого распределения большую высоту в максимуме.
к. ширина распределения Пуассона σ автоматически определяется величиной
μ (σ = √μ).
8.8. Нормальный закон распределения
Непрерывная случайная величина Х имеет Нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами А и , если ее плотность вероятности имеет вид
.
Кривую нормального закона распределения называют Нормальной или Гауссовой кривой.
На рис. 8.14 приведены нормальная кривая Р(Х) с параметрами А и , т. е. , и график функции распределения случайной величины Х, имеющей нормальный закон
Рис. 8.14
Нормальная кривая симметрична относительно прямой Х = а, имеет максимум в точке Х = а, равный , и две точки перегиба с ординатой .
Для случайной величины, распределенной по нормальному закону, , .
Функция распределения случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, выражается через функцию Лапласа Ф(Х) по формуле
,
Где .
Вероятность попадания значений нормальной случайной величины Х в интервал Определяется формулой
.
Вероятность того, что отклонение случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, от математического ожидания А не превысит величину (по абсолютной величине), равна
.
«Правило трех сигм»: если случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами А и т. е. , то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале
.
Асимметрия нормального распределения А = 0; эксцесс нормального распределения Е = 0.
Пример 8.23. Определить закон распределения случайной величины Х, если ее плотность распределения вероятностей задана функцией
.
Найти математическое ожидание, дисперсию и функцию распределения случайной величины Х.
Решение. Сравнивая данную функцию Р(Х) с функцией плотности вероятности для случайной величины, распределенной по нормальному закону, заключаем, что случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами А = 1 и .
Тогда , , .
Функция распределения случайной величины Х имеет вид
.
Пример 8.24. Текущая цена акции может быть смоделирована с помощью нормального закона распределения с математическим ожиданием 15 ден. ед. и средним квадратическим отклонением 0,2 ден. ед.
Найти вероятность того, что цена акции: а) не выше 15,3 ден. ед.; б) не ниже 15,4 ден. ед.; в) от 14,9 до 15,3 ден. ед. С помощью «правила трех сигм» найти границы, в которых будет находиться текущая цена акции.
Решение. Так как А = 15 и , то
По «правилу трех сигм» и, следовательно, . Окончательно .
Пример 8.25. Автомат изготавливает детали, которые считаются годными, если отклонение Х от контрольного размера по модулю не превышает 0,8 мм. Каково наиболее вероятное число годных деталей из 150, если случайная величина Х распределена нормально с Мм?
Решение. Найдем вероятность отклонения при и
Считая приближенно Р = 0,95 и в соответствии с формулой
Где — наивероятнейшее число, находим при
Откуда
Пример 8.
26. Размер диаметра втулок, изготовленных заводом, можно считать нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием А = 2,5 см и средним квадратическим отклонением См.
В каких границах можно практически гарантировать размер диаметра втулки, если за вероятность практической достоверности принимается 0,9973?
Решение. По «правилу трех сигм» . Отсюда , т. е. .
Пример 8.27. Рост взрослых мужчин является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Пусть математическое ожидание ее равно 175 см, а среднее квадратическое отклонение — 6 см. Определить вероятность того, что хотя бы один из наудачу выбранных пяти мужчин будет иметь рост от 170 до 180 см.
Решение. Найдем вероятность того, что рост мужчины будет принадлежать интервалу :
Тогда вероятность того, что рост мужчины не будет принадлежать интервалу (170; 180) Q = 1 — 0,6 = 0,4.
Вероятность того, что хотя бы один из 5 мужчин будет иметь рост от
170 до 180 см равна
.
Пример 8.28. Браковка шариков для подшипников производится следующим образом: если шарик не проходит через отверстие диаметром , но проходит через отверстие диаметром , то его размер считается приемлемым. Если какое-нибудь из этих условий не выполняется, то шарик бракуется. Известно, что диаметр шарика есть случайная величина с характеристиками и . Определить вероятность того, что шарик будет забракован.
Решение.
Так как , то
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
Закон Гаусса для электрических полей — Электромагнитная геофизика
Рис. 32 Зарядка прилагается
Закон Гаусса для электрического поля описывает статическое электрическое поле
генерируются распределением электрических зарядов. В нем указано, что электрический
поток через любую замкнутую поверхность пропорционален полному электрическому заряду
окруженный этой поверхностью.
Условно положительный электрический заряд генерирует
положительное электрическое поле. Закон был опубликован посмертно в 1867 г. как часть
сборник работ известного немецкого математика Карла Фридриха
Гаусс.
Интегральное уравнение
Закон Гаусса в интегральной форме приведен ниже:
(34)\[\int_V \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{e} \; ~dv =\oint_{S} \mathbf{e} \cdot \hat{\mathbf{n}} \; ~da = \frac{Q}{\varepsilon_{0} }\;,\]
где:
\(\mathbf{e}\) — электрическое поле
\(Q\) — заключенный электрический заряд
\(\varepsilon_0\) — электрическая проницаемость свободного пространства
\(\hat{\mathbf{n}}\) — нормаль, направленная наружу
Поток — это мера силы поля, проходящего через поверхность. Электрический поток в целом определяется как
(35)\[\boldsymbol{\Phi} = \int_S \mathbf{e} \cdot \hat{\mathbf{n}} \, \mathrm{d}a.\]
Мы можем думать об электрическом поле как о плотности потока.
Закон Гаусса говорит нам, что
чистый электрический поток через любую замкнутую поверхность равен нулю, если только объем не ограничен
этой поверхностью содержит чистый заряд.
Дифференциальная форма
Рассматривая пространственно протяженное заряженное тело, мы можем думать о его заряде постоянно распределяется по всему телу с плотностью \(\ро\). Тогда общий заряд определяется интегралом от заряда плотность по объему тела.
(36)\[Q = \int_V \rho \; \mathrm{d}v\;.\]
Используя это определение и применяя теорему о дивергенции к левой руке части закона Гаусса (34), мы можем переписать закон как:
(37)\[\int_V \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{e} \; \mathrm{d}v = \int_V \frac{\rho}{\varepsilon_0} \; \mathrm{d}v \;.\]
Поскольку это уравнение должно выполняться для любого объема \(V\), мы можем приравнять интегранты, дающие дифференциальную форму закона Гаусса:
(38)\[\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{e} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}.
\]
Можно показать, что закон Гаусса для электрических полей эквивалентен закону Кулона закон (см. Эквивалентность закона Гаусса для электрических полей закону Кулона)
Закон Гаусса в материи
Закон Гаусса для электрических полей легче всего понять, если пренебречь электрическим смещением (\(\mathbf{d}\)). В веществе диэлектрическая проницаемость может не равняться диэлектрической проницаемости свободного пространства (т.е. \(\varepsilon \neq \varepsilon_0\)). В материи плотность электрических зарядов можно разделить на «свободную» плотность заряда (\(\rho_f\)) и «ограниченную» плотность заряда (\(\rho_b\)), так что:
(39)\[\rho = \rho_f + \rho_b\]
Плотность свободного заряда относится к зарядам, которые свободно текут под действием электрического поля; т. е. они производят ток без дивергенции. Плотность ограниченного заряда относится к электрическим зарядам, связанным с электрической поляризацией (\(\mathbf{p}\)). Комбинируя уравнения (38) и (39) с нашим определением электрической поляризации, мы находим, что:
(40)\[\nabla \cdot \mathbf{d} — \nabla \cdot \mathbf{p} = \rho_f + \rho_b\]
Используя определяющее соотношение \(\mathbf{d} = \varepsilon \mathbf{e}\) и разделив предыдущее уравнение на ограниченный и свободный вклады, мы находим, что:
(41)\[-\набла\cdot\mathbf{p} = \rho_b\]
и
(42)\[\набла\cdot\mathbf{d} = \rho_f\]
Приведенное выше уравнение представляет собой дифференциальную форму уравнения Гаусса в материи .
Между тем, интегральная форма уравнений Гаусса в материи определяется как:
\[\int_V \nabla \cdot \mathbf{d} \; dV = \oint_S \mathbf{d} \cdot \mathbf{\hat n} \; da = Q_f\]
, где \(Q_f\) — общая сумма бесплатного тарифа.
Единиц 9{2}\)
Вольт на метр
Диэлектрическая проницаемость
\(\варепсилон\)
Ф/м
Фарад на метр
Преобразования
\[\varepsilon_0 = \frac{\text{F}}{\text{m}} = \frac{\text{C}}{\text{V} \cdot \text{m}}.\]
Закон Гаусса
Закон Гаусса Электрический поток через площадь определяется как электрическое поле, умноженное на площадь поверхности, спроецированной на плоскость, перпендикулярную полю. Другой способ наглядно представить это — рассмотреть зонд области A, который может измерять электрическое поле, перпендикулярное этой области. Если он выберет любую закрытую поверхность и перешагнет через нее, измерив перпендикулярное поле, умноженное на его площадь, он получит меру суммарного электрического заряда внутри поверхности, независимо от того, как сконфигурирован этот внутренний заряд.
| Индекс Концепции электрического поля | |||||||||||||||||||||||
|
Закон Гаусса — это общий закон, применимый к любой замкнутой поверхности. Это важный инструмент, поскольку он позволяет оценить количество заключенного заряда путем отображения поля на поверхности вне распределения заряда. Для геометрий достаточной симметрии это упрощает вычисление электрического поля.
Закон Гаусса – это
форма одного из Максвелла
уравнения, четыре
фундаментальные уравнения
на электричество и
магнетизм.
Если площадь не плоская, то для оценки потока обычно требуется интеграл площади, поскольку угол будет постоянно изменяться.