Бесконечная убывающая геометрическая прогрессия и ее формулы — энциклопедический справочник и словарь для студента от А до Я
ОПРЕДЕЛЕНИЕ Численная последовательность \(\
B=\left\{b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}, \dots\right\}
\) , каждый член которой равен предыдущей, умноженной на постоянное число \(\
q
\) для этой последовательности, называется геометрической прогрессией. Число q называется знаменателем прогрессии. Если знаменатель \(\
|q|Количество бесконечно уменьшающейся геометрической прогрессии Сумма бесконечно убывающей прогрессии — это число, к которому сумма первых n членов убывающей прогрессии приближается без ограничений, поскольку число n стремится к бесконечности. Сумма бесконечно уменьшающейся геометрической прогрессии рассчитывается по формуле: \(\
S_{n}=\frac{b_{1}}{1-q}
\) Примеры решения проблем ПРИМЕР 1 Чтобы найти сумму бесконечной геометрической прогрессии \(\
1, \frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \dots
\) Эта последовательность чисел будет бесконечно уменьшающейся прогрессией, поскольку \(\
q=\frac{b_{2}}{b_{1}}=\frac{1}{3}Сумма этой бесконечно уменьшающейся геометрической прогрессии рассчитывается по формуле: \(\
S_{n}=\frac{b_{1}}{1-q}=\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}
\) \(\
S_{n}=\frac{3}{2}
\) ПРИМЕР 2 Представить число \(\
0
\) в виде обычной фракции, \(\
(6)
\) Написание числа как \(\
0,(6)
\) означает периодическую долю \(\
0.6666 \dots
\), которая может быть представлена в виде следующей суммы: \(\
0,(6)=0,6+0,06+0,006+\dots
\) Эта сумма представляет собой сумму бесконечной геометрической прогрессии с первым членом \(\
b_{1}=0,6
\) и знаменателем \(\
\mathrm{q}=\mathrm{O}_{.1}
\). Найдите эту сумму по формуле \(\
S_{n}=\frac{b_{1}}{1-q}=\frac{0,6}{1-0,1}=\frac{0,6}{0,9}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}
\) Поэтому \(\
0,(6)=\frac{2}{3}
\) \(\
0,(6)=\frac{2}{3}
\)
sciterm.ru
Геометрическая прогрессия. Часть 1
Геометрическая прогрессия — это еще один частный случай числовых последовательностей.
Геометрической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.
Очевидно, что первый член последовательности, и, следовательно, все ее члены, отличны от нуля.
Число называется знаменателем геометрической прогрессии.
Основное свойство геометрической прогрессии.
Мы видим, что
Перемножив эти два равенства, получим:
Итак,
квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению двух соседних:
Нетрудно доказать, что
квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная с номера , равен произведению двух соседних:
Формулу n-го члена геометрической прогрессии можно получить аналогично формуле n-го члена арифметической прогрессии, выписав несколько первых членов и установив закономерность.
Формула n-го члена геометрической прогрессии:
ВАЖНО! Зная первый член и знаменатель геометрической прогрессии, можно найти любой ее член.
Несложно получить формулу суммы n членов геометрической прогрессии.
… (1)
Умножим обе части равенства на
… (2)
Вычтем из равенства (2) равенство (1). Получим:
(остальные слагаемые в правой части равенства взаимно уничтожатся)
Отсюда получаем формулу суммы n членов геометрической прогрессии:
(1)
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.
Если знаменатель геометрической прогрессии , то каждый следующий член прогрессии по модулю меньше предыдущего. Если в этой прогрессии бесконечное число членов, то при
Такая геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей.
Сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии мы находим по формуле:
(2)
ВАЖНО! Формулу суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии (2) мы используем только в том случае, если в условии в явном виде указано, что нужно найти сумму бесконечного числа членов. Если указано конкретное число n, то пользуемся формулой (1) суммы n членов, даже если .
Рассмотрим примеры задач.
1. Дана последовательность . Докажите, что эта последовательность является геометрической прогрессией.
Докажем, что для любого номера n отношение
— мы видим, что отношение не зависит от номера n и равно числу -2, следовательно, данная последовательность является геометрической прогрессией.
2. Дана геометрическая прогрессия
1. Найдите пятый член прогрессии.
2. Найдите сумму первых восьми членов прогрессии.
1.
2.
Найдем и .
Ответ: 1. -162; 2. -366
3. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии
Сумму бесконечной геометрической прогрессии найдем по формуле . (В задаче в явном виде указано, что мы имеем дело с бесконечной геометрической прогрессией.)
;
Ответ:
4. Дана геометрическая прогрессия с положительными членами, в которой .
а) Найдите .
б) Определите количество членов прогрессии, начиная с первого, сумма которых равна 45.
а) Запишем условие задачи, выразив его через и . Получим систему уравнений:
Разделим второе уравнение на первое, получим
; .
По условию наша прогрессия с положительными членами, поэтому .
Найдем . Для этого подставим в первое уравнение системы.
б) По условию
Ответ: а) 3; б) 4.
5. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии в три раза больше ее первого члена. Найдите отношение .
Выразим условие задачи через и
Т.к. по условию , получим
. Отсюда
Нам нужно найти .
Ответ: 2,25
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
ege-ok.ru
Бесконечная геометрическая прогрессия — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 3
Бесконечная геометрическая прогрессия
Cтраница 3
Эта последовательность и есть последовательность сумм членов бесконечной геометрической прогрессии. [31]
S, Из квадратов членов этой прогрессии составлена новая бесконечная геометрическая прогрессия. [32]
Когда мотор автомобиля был выключен, движение его в это время можно считать совершающимся по закону бесконечной геометрической прогрессии. Чему будет равен путь того же автомобиля, если включить, кроме того, тормоза и считать его движение также происходящим по закону бесконечно убывающей геометрической прогрессии, в которой каждый ее член равен квадрату соответствующего члена первой прогрессии. [33]
Если число членов прогрессии конечно, то она называется конечной геометрической прогрессией; в противном случае она называется бесконечной геометрической прогрессией
. [34]При достаточно большом Я оператор, стоящий в фигурных скобках, имеет обратный, который можно вычислить с помощью разложения в бесконечную геометрическую прогрессию. [35]
И задача о двух хозяевах и их верной собаке, и парадоксы Зенона, и лампа Томсона могут служить описательным введением в теорию пределов и суммирования бесконечной геометрической прогрессии. [36]
Суммой бесконечной геометрической прогрессии, знаменатель которой удовлетворяет условию q 1, называется предел суммы п первых ее членов при п — — — оо. [37]
Даны две бесконечные геометрические прогрессии со знаменателем q 1, отличающиеся только знаком их знаменателей. Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии, составленной из квадратов членов любой из данных прогрессий. [38]
Даны две бесконечные геометрические прогрессии со знаменателем q 1, различающиеся только знаком их знаменателей. Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии, составленной из квадратов членов любой из данных прогрессий. [39]
Даны две бесконечные геометрические прогрессии со знаменателем 101 1, различающиеся только знаком их знаменателей. Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии, составленои из квадратов членов любой из данных прогрессий. [40]
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Рассмотрим теперь вопрос о суммировании бесконечной геометрической прогрессии. [41]
Первый член некоторой бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем q 1 равен 1, а ее сумма равна S. Из квадратов членов этой прогрессии составлена новая бесконечная геометрическая прогрессия. [42]
Первый член некоторой бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем I q I 1 равен 1, а ее сумма равна S. Из квадратов членов этой прогрессии составлена новая бесконечная геометрическая прогрессия. [43]
Первый член некоторой бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем 7 1 равен 1, а ее сумма равна S. Из квадратов членов этой прогрессии составлена новая бесконечная геометрическая прогрессия. [44]
Первый член некоторой бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем q I равен 1, а ее сумма равна S. Из квадратов членов этой прогрессии составлена новая бесконечная геометрическая прогрессия. [45]
Страницы: 1 2 3 4
www.ngpedia.ru
Бесконечная геометрическая прогрессия — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1
Бесконечная геометрическая прогрессия
Cтраница 1
Бесконечная геометрическая прогрессия, знаменатель которой по абсолютной величине меньше 1, называется бесконечно убывающей геометрической прогрессией. [1]
Бесконечная геометрическая прогрессия — H-fli, а2, о-п знаменатель которой 1, называется бесконечно убывающей геометрической прогрессией. [2]
Бесконечная геометрическая прогрессия, у которой q, называется бесконечно убывающей. [3]
Суммой бесконечной геометрической прогрессии, знаменатель которой удовлетворяет условию 1, называется предел суммы п первых ее членов при п — оо. [4]
Даны две бесконечные геометрические прогрессии со знаменателем q 1, отличающиеся только знаком их знаменателей. Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии, составленной из квадратов членов любой из данных прогрессий. [5]
Даны две бесконечные геометрические прогрессии со знаменателем q 1, различающиеся только знаком их знаменателей. Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии, составленной из квадратов членов любой из данных прогрессий. [6]
Даны две бесконечные геометрические прогрессии со знаменателем 101 1, различающиеся только знаком их знаменателей. Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии, составленои из квадратов членов любой из данных прогрессий. [7]
Даны две бесконечные геометрические прогрессии со знаменателем 0 1, различающиеся только знаком их знаменателей. Их суммы соответственно равны St и Sj. Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии, составленной из квадратов членов любой из данных прогрессий. [8]
Здесь просуммирована бесконечная геометрическая прогрессия. [9]
Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии, составленной из квадратов членов любой из данных прогрессий. [10]
Доказать, что бесконечная геометрическая прогрессия, у которой Я ( 4 sin q, a2 sin 2p, является бесконечно убывающей, и найти ее сумму. [11]
Докажите, что бесконечная геометрическая прогрессия, у которой a1 4sinp, a2 sin2p, является бесконечно убывающей и найдите ее сумму. [12]
Для того чтобы бесконечная геометрическая прогрессия имела сумму всех своих членов, необходимо и достаточно, чтобы она была бесконечно убывающей. [13]
Найти знаменатель q бесконечной геометрической прогрессии ( / [ 1), У которой каждый член в четыре раза больше суммы всех ее последующих членов. [14]
Найти знаменатель q бесконечной геометрической прогрессии ( 7 1), у которой каждый член в четыре раза больше суммы всех ее последующих членов. [15]
Страницы: 1 2 3 4
www.ngpedia.ru
Сумма бесконечной геометрической прогрессии при |q|
 > Сумма бесконечной геометрической прогрессии при |q|
Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый следующий член, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число.
Понятие геометрической прогрессии
Геометрическая прогрессия обозначается b1,b2,b3, …, bn, … .
Отношение любого члена геометрической погрешности к её предыдущему члену равно одному и тому же числу, то есть b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+1)/bn = … . Это следует непосредственно из определения арифметической прогрессии. Это число называют знаменателем геометрической прогрессии. Обычно знаменатель геометрической прогрессии обозначают буквой q.
Сумма бесконечной геометрической прогрессии при |q|<1
Одним из способов задания геометрической прогрессии является задание её первого члена b1 и знаменателя геометрической погрешности q. Например, b1=4, q=-2. Эти два условия задают геометрическую прогрессию 4, -8, 16, -32, … .
Если q>0 (q не равно 1), то прогрессия является монотонной последовательностью. Например, последовательность, 2, 4,8,16,32, … является монотонно возрастающей последовательностью (b1=2, q=2).
Если в геометрической погрешности знаменатель q=1, то все члены геометрической прогрессии будут равны между собой. В таких случаях говорят, что прогрессия является постоянной последовательностью.
Для того, чтобы числовая последовательность (bn) являлась геометрической прогрессией необходимо, чтобы каждый её член, начиная со второго, являлся средним геометрическим соседних членов. То есть необходимо выполнение следующего уравнения
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2),для любого n>0, где n принадлежит множеству натуральных чисел N.
Теперь положим (Xn) – геометрическая прогрессия. Знаменатель геометрической прогрессии q, причем |q|∞).
Если теперь за S обозначить сумму бесконечно геометрической прогрессии, тогда будет иметь место следующая формула:
S=x1/(1-q).
Рассмотрим простой пример:
Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии 2, -2/3, 2/9, — 2/27, … .
Для нахождения S воспользуемся формулой суммы бесконечно арифметической прогрессии. |-1/3| < 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.
Нужна помощь в учебе?
Предыдущая тема: Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии + примеры
Следующая тема:   Четные и нечетные функции: графики и свойства
Все неприличные комментарии будут удаляться.
www.nado5.ru
бесконечная прогрессия — это… Что такое бесконечная прогрессия?
- бесконечная прогрессия
- infinite progression
Большой англо-русский и русско-английский словарь. 2001.
- бесконечная программа
- бесконечная производная
Смотреть что такое «бесконечная прогрессия» в других словарях:
Геометрическая прогрессия — У этого термина существуют и другие значения, см. Прогрессия. Геометрическая прогрессия последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на… … Википедия
Ряд в математике — Содержание. 1) Определение. 2) Число, определяемое рядом. 3) Сходимость и расходимость рядов. 4) Условная и абсолютная сходимость. 5) Равномерная сходимость. 6) Разложение функций в ряды. 1. Определения. Р. есть последовательность элементов,… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Ряд, в математике — Содержание. 1) Определение. 2) Число, определяемое рядом. 3) Сходимость и расходимость рядов. 4) Условная и абсолютная сходимость. 5) Равномерная сходимость. 6) Разложение функций в ряды. 1. Определения. Р. есть последовательность элементов,… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
РЯДЫ — Многие задачи в математике приводят к формулам, содержащим бесконечные суммы, например, или Такие суммы называются бесконечными рядами, а их слагаемые членами ряда. (Многоточие означает, что число слагаемых бесконечно.) Решения сложных… … Энциклопедия Кольера
Парадокс маляра — В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете … Википедия
РЯД — бесконечный ряд, выражение члены которого a1, a2,…, an,… числа (числовой ряд) или функции (функциональный ряд). Если сумма первых n членов ряда (частная сумма): Sn= a1+ a2+ … + an при неограниченном возрастании n стремится к определенному… … Большой Энциклопедический словарь
ряд — а (с числительными: два, три, четыре ряда), предл. в ряде и в ряду; мн. ряды; м. 1. предл.: в ряду. Совокупность однородных предметов, расположенных друг за другом, в одну линию. Ровный ряд зубов. Светящиеся ряды окошек. Сажать свёклу рядами.… … Энциклопедический словарь
РЯД (в математике) — РЯД, бесконечный ряд, выражение члены которого a1, a2,…, an,… числа (числовой ряд) или функции (функциональный ряд). Если сумма первых n членов ряда (частная сумма): Sn= a1+ a2+ … + an при неограниченном возрастании n стремится к… … Энциклопедический словарь
РЯД — бесконечный Р., выражение члены к рого а1, а2,…, аn,… числа (числовой Р.) или функции (функциональный Р.). Если сумма первых п членов Р. (частная сумма) S,, = а1 + а2 + … + аn при неогранич. возрастании п стремится к определ. пределу S, то… … Естествознание. Энциклопедический словарь
dic.academic.ru
Бесконечная геометрическая прогрессия — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 2
Бесконечная геометрическая прогрессия
Cтраница 2
Первый член некоторой бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем q 1 равен 1, а ее сумма равна S. Из квадратов членов этой прогрессии составлена новая бесконечная геометрическая прогрессия. [16]
Первый член некоторой бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем 7 1 равен 1, а ее сумма равна S. Из квадратов членов этой прогрессии составлена новая бесконечная геометрическая прогрессия. [17]
Найти знаменатель q бесконечной геометрической прогрессии ( 101 1), у которой каждый член в четыре раза больше суммы всех ее последующих членов. [18]
Первый член некоторой бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем I q I 1 равен 1, а ее сумма равна S. Из квадратов членов этой прогрессии составлена новая бесконечная геометрическая прогрессия. [19]
Найти знаменатель q бесконечной геометрической прогрессии ( q 1), у которой каждый член в 4 раза больше суммы всех ее последующих членов. [20]
Первый член некоторой бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем q I равен 1, а ее сумма равна S. Из квадратов членов этой прогрессии составлена новая бесконечная геометрическая прогрессия. [21]
При каких значениях х бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем q — хг х 1 имеет сумму. [22]
Этот предел называют суммой бесконечной геометрической прогрессии. [23]
Пусть s есть сумма членов бесконечной геометрической прогрессии, оа — сумма квадратов этих членов. [24]
Здесь при суммировании использована формула бесконечной геометрической прогрессии. [26]
В процессе вывода мы определяем сумму бесконечной геометрической прогрессии, знаменатель которой есть комплексное число, модуль которою меньше единицы. Эта формула суммы геометрической прогрессии выводится так же, как и в случае действительных чисел. При этом следует учесть определение предела комплексной функции действительного аргумента. Здесь аргументом является п ( см. § 4 гл. [27]
В процессе вывода мы определяем сумму бесконечной геометрической прогрессии, знаменатель которой есть комплексное число, модуль которого меньше единицы. Эта формула суммы геометрической прогрессии выводится так же, как и в случае действительных чисел. При Этом следует учесть определение предела комплексной функции действительного аргумента. Здесь аргументом является л ( см. § 4 гл. [28]
В проодссе вывода мы определяем сумму бесконечной геометрической прогрессии, знаменатель которой есть комплексное число, модуль которого меньше единицы. Эта формула суммы геометрической прогрессии выводится так же, как и в случае действительных чисел. При этом следует учесть определение предела комплексной функции действительного аргумента. Здесь аргументом является я ( см. § 4 гл. [29]
В процессе вывода мы определяем сумму бесконечной геометрической прогрессии, знаменатель которой есть комплексное число, модуль которого меньше единицы. Эта формула суммы геометрической прогрессии выводится так же, как и в случае действительных чисел. При этом следует учесть определение предела комплексной функции действительного аргумента. Здесь аргументом является п ( см. § 4 гл. [30]
Страницы: 1 2 3 4
www.ngpedia.ru