Дроби пропорции – Пропорция. Основное свойство пропорции.

крайние и средние члены, главное свойство

Равенство двух отношений называется пропорцией.

Пример:

10 : 5 = 6 : 3 или

Пропорцию a : b = c : d или , читают так: отношение a к b равно отношению c к d, или a относится к b, как c относится к d.

Члены пропорции: крайние и средние

Члены отношений, составляющих пропорцию, называются членами пропорции. Числа a и d называют крайними членами пропорции, а числа b и c – средними членами пропорции:

Эти названия условны, так как достаточно написать пропорцию в обратном порядке (переставить отношения местами):

c : d = a : b или

и крайние члены станут средними, а средние – крайними.

Главное свойство пропорции

Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних.

Пример: рассмотрим пропорцию . Если воспользоваться вторым свойством равенства и умножить обе её части на произведение bd (для приведения обеих частей равенства от дробного вида к целому), то получим:

Сокращаем дроби и получаем:

ad = cb

Из главного свойства пропорции следует:

1. Крайний член равен произведению средних, разделённому на другой крайний. То есть для пропорции :

2. Средний член равен произведению крайних, разделённому на другой средний. То есть для пропорции :

Нахождение неизвестного члена пропорции

Свойства пропорции позволяют найти любой из членов пропорции, если он неизвестен. Рассмотрим пропорцию:

x : 8 = 6 : 3

Тут неизвестен крайний член. Так как крайний член равен произведению средних, разделённому на другой крайний, то

x = (8 · 6) : 3 = 16

naobumium.info

Пропорция. Основное свойство пропорции. Математика, 6 класс: уроки, тесты, задания.

1.	Запись пропорции по словесному описанию Сложность: лёгкое	1
2.	Выбор отношений, равных данному отношению Сложность: лёгкое	2
3.	Верные пропорции (целые числа) Сложность: лёгкое	2
4.	Истинность пропорции Сложность: лёгкое	1
5.	Крайние или средние члены пропорции Сложность: лёгкое	1
6.	Вычисление неизвестного члена пропорции 1 Сложность: среднее	2
7.	Вычисление неизвестного члена пропорции 2 Сложность: среднее	2
8.	Истинность пропорции Сложность: среднее	2
9.	Выбор отношений для составления пропорции Сложность: среднее	2
10.	Основное свойство пропорции (десятичные дроби) Сложность: среднее	2
11.	Уравнение (десятичные дроби) Сложность: среднее	2
12.	Уравнение (десятичные дроби и смешанное число) Сложность: среднее	2
13.	Составление пропорции Сложность: среднее	2
14.	Уравнение (обыкновенные дроби) Сложность: среднее	3
15.	Неизвестное число (смешанные числа и обыкновенная дробь) Сложность: сложное	5
16.	Составление пропорций (буквы) Сложность: сложное	3
17.	Неизвестное четвёртое число Сложность: сложное	6

www.yaklass.ru

Пропорции | Математика

51. Пропорции. Рассмотрим особый вид равенства, а именно:

a/b = c/d;

это равенство показывает, что частное от деления числа a на число b равно частному от деления числа c на число d. Вместо «частно от деления числа a на число b» говорят «отношение числа a к числу b». Поэтому наше равенство мы можем прочесть: отношение числа a к числу b равно отношению числа c к числу d. Иногда еще читают и так: «число a относится к числу b, как число c к числу d». Подобные равенства называются пропорциями. Итак, пропорция есть равенство двух отношений. То число, которое является делимым каждого частного, называют предыдущим членом отношения: a есть предыдущий член 1-го отношения, c есть предыдущий член 2-го. Каждое из тех чисел, которое служит делителем, называется последующим членом отношения: b есть последующий член 1-го отношения и d есть последующий член 2-го отношения. Еще называют a и d крайними членами пропорции, а b и c — средними. Эти названия особенно ясны, если знак деления взять знак : и написать пропорцию в виде:

a : b = c : d.

Мы можем также рассматривать пропорцию:

a/b = c/d,

как равенство двух дробей, а именно: дроби a/b и дроби c/d.

Уничтожим в этом равенстве дроби. Для этой цели надо обе части равенства умножить на общего знаменателя, т. е. на bd. Получим:

abd/b = cbd/d

Сократив каждую дробь, получим:

ad = cb.

Это равенство можно прочесть словами: произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов.

Это свойство членов пропорции принимают за ее основное свойство.

Мы можем из этого равенства получить и еще следующие:

1. Разделим обе части равенства

ad = cb

на d (или на a), получим

a = cb/d (или d = cb/a),

т. е. один из крайних членов пропорции равен произведению средних, деленному на другой крайний.

2. Напишем наше равенство в обратном порядке:

cb = ad

и разделим обе части его на b (или на c), получим:

c = ad/b (или b = ad/c),

т. е. средний член пропорции равен произведению крайних, деленному на дрогой средний.

Пользуясь основным свойством пропорции, мы можем иногда освобождать те уравнения, какие имеют форму пропорции, от дробей без отыскания общего знаменателя.

Например, возьмем уравнение:

(x – 7) / (3x – 1) = 2/5.

Это уравнение имеет форму пропорции: отношение числа x – 7 к числу 3x – 1 равно отношению числа 2 к числу 5. Воспользуемся основным свойством пропорции, т. е. произведение крайних членов равно произведению средних; получим:

(x – 7 ) · 5 = (3x – 1) · 2

(ибо в нашей пропорции крайние члены суть x – 7 и 5, а средние — 3x – 1 и 2). Теперь уравнение без труда может быть решено.

maths-public.ru

Урок по теме «Дроби. Пропорции»

«Витамины – эликсиры жизни» – урок математики с применением здоровьесберегающего компонента по теме «Дроби. Пропорции» в 6 классе. (Слайд 1)

Цели урока: повторение знаний и умений учащихся по теме «Дроби. Пропорции», знакомство с основными видами витамин. (Слайд 2)

закрепить умения решать задачи с помощью пропорции, отработать практические умения и навыки выполнение арифметических операций с дробями.

развивать познавательную активность, внимание, абстрактное мышление, память, интерес к предмету математики.

показать значение витаминов для здоровья человека, пропагандировать здоровый образ жизни.

Тип урока: урок повторения и обобщения знаний.

Оборудование: мультимедийная установка, презентация, карточки для рефлексии.

Ход урока.

Здравствуйте, ребята! У вас на партах три карточки. Поднимите ту карточку, которая соответствует вашему настроению (отличное – солнышко, грустное – облачко, плохое – тучка). Я желаю, чтобы у вас всегда было хорошее настроение. Сегодня у нас необычный урок. Я думаю, вы без труда откроете тему сегодняшнего урока, отгадав загадки. Итак, начинаем.

Молодцы, ребята! Правильно, тема сегодняшнего урока «Витамины». И это не случайно, ведь ни для кого не секрет, что именно сейчас у людей чаще всего наблюдается утомляемость, недомогание и резко выражены различные формы заболеваний. Поэтому сегодня на уроке мы займемся не только решением задач с помощью пропорций, выполнением действия с обыкновенными и смешанными дробями, но и узнаем о витаминах полезную информацию, постараемся применять полученные знания на практике.

2. Историческая справка.

Отважные путешественники и мореплаватели прошлых столетий часто подвергались мучительной болезни, если они долго находились без свежих фруктов, овощей. Развивалась цинга, или скорбут. Из практического опыта, жизненных наблюдений люди узнали, что цингу можно предотвратить, если пить лимонный сок, есть квашеную капусту, зелёный лук, чёрную смородину. Долгое время оставалось неизвестным, почему потребление этих продуктов предотвращает цингу. Причины заболеваний, связанных с неполноценным питанием, первым в 1881 году открыл русский врач Николай Иванович Лунин. Молодой учёный Дерптского (ныне Тартуского) университета исследовал роль минеральных веществ в питании. Первым выделил витамин в кристаллическом виде польский ученый Казимир Функ в 1911 году. Год спустя он же придумал и название — от латинского «vita» — «жизнь». Сейчас известно около 80 видов витаминов, самые известные среди них – А, B ,С, D.

3. Решение «витаминных» задач. (Слайд 4)

Впервые витамин А был выделен из моркови, поэтому от английского carrot (морковь) произошло название группы витаминов А — каротиноиды.

Задача «А». (Слайд 5) Если суточная потребность организма в каротине 4,5 мг, то потребность организма в витамине А составляет 30% от потребности каротина. Какова суточная потребность организма в витамине А?

(Слайд 6)

₂ активно участвует в клеточном дыхании, регуляции деятельности ЦНС.

 

В₆ участвует в белковом обмене, уменьшает отложения на стенках кровеносных сосудов холестерина.

В₁₂ регулирует образование клеток крови – эритроцитов и тромбоцитов, участвует в обмене белков.

При недостатке витамина развивается заболевание под названием бери-бери, при котором появляется быстрая утомляемость, потеря аппетита, резкое исхудание.

 

Недостаток витамина приводит к нарушению зрения, заболеваниям кожи, слизистых оболочек, выпадению волос.

 

 Недостаток приводит к развитию малокровия.

Как у человека у каждого витамина есть свое имя: А — ретинол, С — аскорбиновая кислота, В₂ — рибофлавин и т.д.

Задача «В». (Слайд 7) Продолжите ряд и расположите количество процентов в порядке возрастания. В ответе вы определите название витамина В₁

0,01=1/100=… Т

0,1 = …=… И

1/2 = 0,5 = … И

3/4 = …=… Н

0,25 = … = … М

0,2 = …=… А

Ответ: ТИАМИН

Тиамин улучшает циркуляцию крови и участвует в кроветворении. Он оптимизирует познавательную активность и функции мозга, оказывает положительное действие на уровень энергии, рост, нормальный аппетит, способность к обучению.

(Слайд 8)

Полное его отсутствие в пище приводит к тяжелому заболеванию – цинге, при котором на фоне общей слабости развивается одышка, кровотечение из десен, кровоизлияния в коже и мышцах, выпадают зубы.

Задача «С». (Слайд 9) Давайте посчитаем суточную потребность организма подростка в витамине С в мг, решив пример

Физкультминутка (Слайд 10)

Руки в стороны и вверх.

Повторяем дружно.

Засиделся ученик —

Разминаться нужно.

Мы сначала всем в ответ

Головой покрутим: НЕТ!

Энергично, как всегда,

Головой покрутим: ДА!

Чтоб коленки не скрипели,

Чтобы ножки не болели,

Приседаем глубоко,

Поднимаемся легко.

Раз, два, три, чеканим шаг.

Подаёт учитель знак.

Это значит, что пора

Нам за парты сесть. Ура!

Перестанем мы лениться,

Будем снова мы трудиться

(Слайд 11) По статистике одна выкуренная сигарета нейтрализует 1/20 дневной нормы витамина С. Сколько мг витаминов ворует у себя тот, кто выкуривает 14 сигарет в день?

(Слайд 12)

Задача «D». (Слайд 13) В течение дня ученик получает некоторое количество различных витаминов. За завтраком он получил -0,2 всех витаминов, за обедом – 0,7 остатка, а за ужином – 30 мг витаминов. Какова норма витаминов, полученных учеником в день.

Задача Айболита. (Слайд 14) В пище содержится много витаминов и у каждого свое назначение. Безусловно, для укрепления здоровья и профилактики заболеваний следует отдавать предпочтение натуральным витаминам, которые содержатся в продуктах питания. Но бывает витаминная недостаточность – болезненное состояние организма, вызванное недостаточным поступлением витаминов с пищей, в этом случае врачи рекомендует принимать витамины в таблетках.

(Слайд 15) Доктор Айболит раздал четырём ребятам 10 витаминов. Сережа получил на одну больше, чем Саша, Саша на одну больше, чем Миша, а Миша — на одну больше, чем Дима. Сколько чудодейственных таблеток нужно съесть Диме?

4. Подведение итогов и результатов работы на уроке (рефлексия).

(Слайд 16) Спасибо вам за урок. Мое настроение к концу урока не испортилось, оно такое же яркое и светлое, как солнышко. А какое у вас настроение? Поднимите карточки.

Самое главное для человека в жизни – это его здоровье. Ведь недаром, испокон веков известна фраза «В здоровом теле – здоровый дух!». И это, действительно так, ведь, если вы здоровы, значит у вас – прекрасное настроение и спорится любое дело. А потому от всей души желаю вам самого крепчайшего здоровья!

V. Домашнее задание

Решить задачу:

Одно число на 0,3 больше другого. 60% большего числа на 0,03 больше, чем 70% меньшего числа. Найдите эти числа и узнайте, какова суточная потребность организма человека в витаминах В₁ и В₂ в миллиграммах (1,8 мг и 1,5 мг).

infourok.ru

Задачи на пропорцию.

Задача 1. Толщина 300 листов бумаги для принтера составляет 3, 3 см. Какую толщину будет иметь пачка из 500 листов такой же бумаги?

Решение. Пусть х см — толщина пачки бумаги из 500 листов. Двумя способами найдем толщину одного листа бумаги:

3,3:300 или х:500.

Так как листы бумаги одинаковые, то эти два отношения равны между собой. Получаем пропорцию (напоминание: пропорция — это равенство двух отношений):

3,3:300=х:500. Неизвестный средний член пропорции равен произведению крайних членов пропорции, деленному на известный средний член. (Подробно о пропорции и нахождению ее крайнего, среднего членов читайте в статье: «6.1.1. Пропорция. Основное свойство пропорции.»)

х=(3,3·500):300;

х=5,5.  Ответ: пачка 500 листов бумаги имеет толщину 5,5 см.

Это классическое рассуждение и оформление решения задачи.  Такие задачи часто включают в тестовые задания для выпускников, которые обычно записывают решение в таком виде:

или решают устно, рассуждая так: если 300 листов имеют толщину 3,3 см, то 100 листов имеют толщину в 3 раза меньшую. Делим 3,3 на 3, получаем 1,1 см. Это толщина 100 листовой пачки бумаги. Следовательно, 500 листов будут иметь толщину в 5 раз большую, поэтому, 1,1 см умножаем на 5 и получаем ответ: 5,5 см.

Разумеется, это оправдано, так как время тестирования выпускников и абитуриентов ограничено. Однако, на этом занятии мы будем рассуждать и записывать решение так, как положено это делать в 6 классе.

Задача 2. Сколько воды содержится в 5 кг арбуза, если известно, что арбуз состоит на 98% из воды?

Решение.

Вся масса арбуза (5 кг) составляет 100%.  Вода составит х кг или 98%. Двумя способами можно найти, сколько кг приходится на 1% массы.

5:100 или х:98. Получаем пропорцию:

5:100 = х:98.

х=(5·98):100;

х=4,9  Ответ: в 5кг арбуза содержится 4,9 кг воды.

Задача 3. Масса 21 литра нефти составляет 16,8 кг. Какова масса 35 литров нефти?

Решение.

Пусть масса 35 литров нефти составляет х кг. Тогда двумя способами можно найти массу 1 литра нефти:

16,8:21 или х:35. Получаем пропорцию:

16,8:21=х:35.

Находим средний член пропорции. Для этого перемножаем крайние члены пропорции (16,8 и 35) и делим на известный средний член (21). Сократим дробь на 7.

Умножаем числитель и знаменатель дроби на 10, чтобы в числителе и знаменателе были только натуральные числа. Сокращаем дробь на 5 (5 и 10)  и на 3 (168 и 3).

Ответ: 35 литров нефти имеют массу 28 кг.

 Задача 4. После того, как было вспахано 82% всего поля, осталось вспахать еще 9 га. Какова площадь всего поля?

Решение. 

Пусть площадь всего поля х га, что составляет 100%. Осталось вспахать 9 га, что составляет 100% — 82% = 18% всего поля. Двумя способами выразим 1% площади поля. Это:

х:100 или 9:18. Составляем пропорцию:

х:100 = 9:18.

Находим неизвестный крайний член пропорции. Для этого перемножаем средние члены пропорции (100 и 9) и делим на известный крайний член (18). Сокращаем дробь.

Ответ: площадь всего поля 50 га.

 

www.mathematics-repetition.com