Гиперболический синус производная – Производные гиперболических функций — КиберПедия

Производные гиперболических функций — КиберПедия

Гиперболические функции встречаются в механике, электротехнике и других технических дисциплинах. Многие формулы для гиперболических функций похожи на формулы для тригонометрических функций, кроме свойства ограниченности.

 

Формулы для гиперболических функций

1. .

Доказательство. Рассмотрим искомую разность

. Соединяя начало и конец, получим доказываемое равенство: .

 

2. .

Доказательство. Рассмотрим произведение

. Соединяя начало и конец, получим доказываемое равенство: .

 

3. .

Доказательство. Рассмотрим произведение

.

Рассмотрим произведение .

Сложим два произведения и приведем подобные:

. Соединяя начало и конец, получим доказываемое равенство: .

Ещё много других свойств гиперболических функций похожих на свойства тригонометрических функций, которые доказываются аналогично.

Докажем формулы для производных гиперболических функций.

1. Рассмотрим гиперболический синус .

При нахождении производной константу выносим за знак производной. Далее применяем свойство о производной разности двух функций и . Находим производную функции по таблице производных: . Производную функции ищем как производную сложной функции .

Поэтому, производная .

Соединяя начало и конец, получим доказываемое равенство: .

2. Рассмотрим гиперболический косинус .

Полностью применяем предыдущий алгоритм, только вместо свойства о производной разности двух функций и применяем свойство о производной суммы двух этих функций. .

Соединяя начало и конец, получим доказываемое равенство: .

3. Рассмотрим гиперболический тангенс .

Находим производную по правилу отыскания производной дроби.

.

4. Производную гиперболического котангенса

можно найти как производную сложной функции .

Соединяя начало и конец, получим доказываемое равенство: .

 

Дифференциал функции

Пусть функция – дифференцируема в точке , тогда её приращение этой функции в точке , соответствующее приращению аргумента , может быть представлено в виде

, (8.1)

где – некоторое число, не зависящее от , а – функция аргумента , которая является бесконечно малой при .

Таким образом, приращение функции представляет собой сумму двух бесконечно малых слагаемых и . Было показано, что второе слагаемое является бесконечно малой функцией более высокого порядка, чем т.е. (см. 8.1). Поэтому первое слагаемое является главной линейной частью приращения функции . В замечании 8.1. получена другая формула (8.1.1) для приращения функции , а именно: . (8.1.1)



Определение 8.3.Дифференциаломфункции в точке называется главная линейная частью её приращения, равная произведению производной в этой точке на произвольное приращение аргумента , и обозначается (или ):

(8.4)

Дифференциал функции называют также дифференциалом первого порядка.

Под дифференциалом независимой переменной понимается любое, независящее от , число. Чаще всего, в качестве этого числа берётся приращение переменной , т.е. . Это согласуется с правилом(8.4) нахождения дифференциала функции

Рассмотрим функцию и найдем её дифференциал.

, т.к. производная . Таким образом, получили: и дифференциал функции можно находить по формуле

. (8.4.1)

Замечание 8.7.Из формулу (8.4.1) следует, что.

Таким образом, запись можно понимать не только как обозначение для производной , но и как отношение дифференциалов зависимого и независимого переменных.

 

8.7. Геометрический смысл дифференциала функции

Пусть к графику функции проведена (см. рис. 8.1) касательная . Точка находится на графике функции и имеет абсциссу – . Даем произвольное приращение , такое, чтобы точка не вышла из области определения функции .

 

Рисунок 8.1 Изображение графика функции

 

 

Точка имеет координаты . Отрезок . Точка лежит на касательной к графику функции и имеет абсциссу – . Из прямоугольного следует, что , где угол – угол между положительным направлением оси и касательной, проведенной к графику функции в точке . По определению дифференциала функции и геометрического смысла производной функции в точке , делаем вывод, что . Таким образом, геометрический смысл дифференциала функции заключается в том, что дифференциал представляет собойприращение ординаты касательной к графику функции в точке .



Замечание 8.8.Дифференциал и приращение для произвольной функции , вообще говоря, не равны между собой.В общем случае, разность между приращением и дифференциалом функции является бесконечно малой высшего порядка малости, чем приращение аргумента. Из определения 8.1следует, что , т.е. .

На рисунке 8.1точка лежит на графике функции и имеет координаты . Отрезок .

На рисунке 8.1 выполнено неравенство , т.е. . Но возможны случаи, когда справедливо противоположное неравенство . Это выполняется для линейной функции и для выпуклой вверх функции.

 

 

cyberpedia.su

Найти производную y’ = f'(x) = sinh(sinh(sinh(x))) (гиперболический синус от (гиперболический синус от (гиперболический синус от (х))))

Решение

$$\sinh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )}$$

Первая производная

[LaTeX]

cosh(x)*cosh(sinh(x))*cosh(sinh(sinh(x)))

$$\cosh{\left (x \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )}$$

Вторая производная

[LaTeX]

    2        2                                    2                                                                                 
cosh (x)*cosh (sinh(x))*sinh(sinh(sinh(x))) + cosh (x)*cosh(sinh(sinh(x)))*sinh(sinh(x)) + cosh(sinh(x))*cosh(sinh(sinh(x)))*sinh(x)

$$\sinh{\left (x \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} + \sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \cosh^{2}{\left (x \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} + \sinh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} \cosh^{2}{\left (x \right )} \cosh^{2}{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )}$$

Третья производная

[LaTeX]

/                                        2        3                                    2                                              2                                                                                            2                                                   \        
\cosh(sinh(x))*cosh(sinh(sinh(x))) + cosh (x)*cosh (sinh(x))*cosh(sinh(sinh(x))) + cosh (x)*cosh(sinh(x))*cosh(sinh(sinh(x))) + 3*cosh (sinh(x))*sinh(x)*sinh(sinh(sinh(x))) + 3*cosh(sinh(sinh(x)))*sinh(x)*sinh(sinh(x)) + 3*cosh (x)*cosh(sinh(x))*sinh(sinh(x))*sinh(sinh(sinh(x)))/*cosh(x)

$$\left(3 \sinh{\left (x \right )} \sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} + 3 \sinh{\left (x \right )} \sinh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} \cosh^{2}{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} + 3 \sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \sinh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} \cosh^{2}{\left (x \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} + \cosh^{2}{\left (x \right )} \cosh^{3}{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} + \cosh^{2}{\left (x \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} + \cosh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )}\right) \cosh{\left (x \right )}$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

Найти производную y’ = f'(x) = sinh(sinh(sinh(sinh(x)))) (гиперболический синус от (гиперболический синус от (гиперболический синус от (гиперболический синус от (х)))))

Решение

sinh(sinh(sinh(sinh(x))))

$$\sinh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} \right )}$$

Первая производная

[LaTeX]

cosh(x)*cosh(sinh(x))*cosh(sinh(sinh(x)))*cosh(sinh(sinh(sinh(x))))

$$\cosh{\left (x \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} \right )}$$

Вторая производная

[LaTeX]

    2        2              2                                                2        2                                                              2                                                                                                                                     
cosh (x)*cosh (sinh(x))*cosh (sinh(sinh(x)))*sinh(sinh(sinh(sinh(x)))) + cosh (x)*cosh (sinh(x))*cosh(sinh(sinh(sinh(x))))*sinh(sinh(sinh(x))) + cosh (x)*cosh(sinh(sinh(x)))*cosh(sinh(sinh(sinh(x))))*sinh(sinh(x)) + cosh(sinh(x))*cosh(sinh(sinh(x)))*cosh(sinh(sinh(sinh(x))))*sinh(x)

$$\sinh{\left (x \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} \right )} + \sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \cosh^{2}{\left (x \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} \right )} + \sinh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} \cosh^{2}{\left (x \right )} \cosh^{2}{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} \right )} + \sinh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} \right )} \cosh^{2}{\left (x \right )} \cosh^{2}{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \cosh^{2}{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )}$$

Третья производная

[LaTeX]

/                                                                  2        3              3                                                2        3                                                              2                                                                        2              2                                                          2                                                                                                                                                2        3                                                                                    2        2                                                                              2                                                                             \        
\cosh(sinh(x))*cosh(sinh(sinh(x)))*cosh(sinh(sinh(sinh(x)))) + cosh (x)*cosh (sinh(x))*cosh (sinh(sinh(x)))*cosh(sinh(sinh(sinh(x)))) + cosh (x)*cosh (sinh(x))*cosh(sinh(sinh(x)))*cosh(sinh(sinh(sinh(x)))) + cosh (x)*cosh(sinh(x))*cosh(sinh(sinh(x)))*cosh(sinh(sinh(sinh(x)))) + 3*cosh (sinh(x))*cosh (sinh(sinh(x)))*sinh(x)*sinh(sinh(sinh(sinh(x)))) + 3*cosh (sinh(x))*cosh(sinh(sinh(sinh(x))))*sinh(x)*sinh(sinh(sinh(x))) + 3*cosh(sinh(sinh(x)))*cosh(sinh(sinh(sinh(x))))*sinh(x)*sinh(sinh(x)) + 3*cosh (x)*cosh (sinh(x))*cosh(sinh(sinh(x)))*sinh(sinh(sinh(x)))*sinh(sinh(sinh(sinh(x)))) + 3*cosh (x)*cosh (sinh(sinh(x)))*cosh(sinh(x))*sinh(sinh(x))*sinh(sinh(sinh(sinh(x)))) + 3*cosh (x)*cosh(sinh(x))*cosh(sinh(sinh(sinh(x))))*sinh(sinh(x))*sinh(sinh(sinh(x)))/*cosh(x)

$$\left(3 \sinh{\left (x \right )} \sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} \right )} + 3 \sinh{\left (x \right )} \sinh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} \cosh^{2}{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} \right )} + 3 \sinh{\left (x \right )} \sinh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} \right )} \cosh^{2}{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \cosh^{2}{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} + 3 \sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \sinh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} \cosh^{2}{\left (x \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} \right )} + 3 \sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \sinh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} \right )} \cosh^{2}{\left (x \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \cosh^{2}{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} + 3 \sinh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} \sinh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} \right )} \cosh^{2}{\left (x \right )} \cosh^{3}{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} + \cosh^{2}{\left (x \right )} \cosh^{3}{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \cosh^{3}{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} \right )} + \cosh^{2}{\left (x \right )} \cosh^{3}{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} \right )} + \cosh^{2}{\left (x \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} \right )} + \cosh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} \right )}\right) \cosh{\left (x \right )}$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

Таблица первообразных

Таблица первообразных («интегралов»). Таблица интегралов. Табличные неопределенные интегралы. (Простейшие интегралы и интегралы с параметром). Формулы интегрирования по частям. Формула Ньютона-Лейбница.

Таблица первообразных («интегралов»). Табличные неопределенные интегралы. (Простейшие интегралы и интегралы с параметром).

Интеграл степенной функции.

Интеграл степенной функции.

Интеграл, сводящийся к интегралу степенной функции, если загнать х под знак диффференциала.

 

 

 

Интеграл экспоненциальной функции.

Интеграл экспоненты, где a-постоянное число.

Интеграл сложной экспоненциальной функции.

Интеграл экспоненциальной функции.

 

 

 

Интеграл, равняющийся натуральному логорифму.

 

Интеграл : «Длинный логарифм».

 

 

Интеграл : «Длинный логарифм».

 

Интеграл : «Высокий логарифм».

Интеграл, где х в числителе заводится под знак дифференциала (константу под знаком можно как прибавлять, так и отнимать), в итоге схож с интегралом, равным натуральному логорифму.

 

Интеграл : «Высокий логарифм».

 

 

 

Интеграл косинуса.

Интеграл синуса.

Интеграл, равный тангенсу.

Интеграл, равный котангенсу.

 

 

Интеграл, равный как арксинусу, так и арккосинусу

Интеграл, равный как арктангенсу, так и арккотангенсу.

Интеграл, равный как арксинусу, так и арккосинусу.

Интеграл, равный как арктангенсу, так и арккотангенсу.

 

 

Интеграл равный косекансу.

 

Интеграл, равный секансу.

Интеграл, равный арксекансу.

Интеграл, равный арккосекансу.

Интеграл, равный арксекансу.

Интеграл, равный арксекансу.

 

 

Интеграл, равный гиперболическому синусу.

Интеграл, равный гиперболическому косинусу.

Интеграл, равный гиперболическому тангенсу.

Интеграл, равный гиперболическому котангенсу.

Интеграл, равный гиперболическому синусу, где sinhx — гиперболический синус в ангийской версии.

Интеграл, равный гиперболическому косинусу, где sinhx — гиперболический синус в ангийской версии.

Интеграл, равный гиперболическому тангенсу.

Интеграл, равный гиперболическому котангенсу.

Интеграл, равный гиперболическому секансу.

Интеграл, равный гиперболическому косекансу.

Формулы интегрирования по частям. Правила интегрирования.

Формулы интегрирования по частям. Формула Ньютона-Лейбница.Правила интегрирования.

Интегрирование произведения (функции) на постоянную:

Интегрирование суммы функций:

Формула интегрирования по частям

неопределенные интегралы:

 

Формула интегрирования по частям

определенные интегралы:

 

Формула Ньютона-Лейбница

определенные интегралы:

Где F(a),F(b)-значения первообразных в точках b и a соответственно.

Таблица производных. Табличные производные. Производная произведения. Производная частного. Производная сложной функции.

Если x — независимая переменная, то:

Таблица производных. Табличные производные.»таблица производный»-да, к сожалению, именно так их и ищут в интернете

Производная степенной функции

Производная степенной функции

  

Производная экспоненциальной функции

Производная экспоненты

Производная сложной экспоненциальной функции

Производная экспоненциальной функции

  

  Производная логарифмической функции

Производная натурального логарифма

 

Производная натурального логарифма функции

  

Производная синуса

Производная косинуса

Производная косеканса

Производная секанса

Производная арксинуса

  Производная арккосинуса

Производная арксинуса

 

Производная арккосинуса

  Производная тангенса

Производная котангенса

Производная арктангенса

Производная арккотангенса

  Производная арктангенса

  Производная арккотангенса

Производная арксеканса

Производная арккосеканса

Производная арксеканса

Производная арккосеканса

  

Производная гиперболического синуса

Производная гиперболического синуса в английской версии

Производная гиперболического косинуса

Производная гиперболического косинуса в английской версии

Производная гиперболического тангенса

Производная гиперболического котангенса

Производная гиперболического секанса

Производная гиперболического косеканса

Правила дифференцирования. Производная произведения. Производная частного. Производная сложной функции.

Производная произведения (функции) на постоянную:

Производная суммы (функций):

Производная произведения (функций):

Производная частного (функций):

 

Производная сложной функции:

 

Свойства логарифмов. Основные формулы логарифмов. Десятичные (lg) и натуральные логарифмы (ln).

 

Основное логарифмическое тождество

Покажем как можно любую функцию вида ab сделать экспоненциальной. Поскольку функция вида ех называется экспоненциальной, то

Любая функция вида a b может быть представлена в виде степени десяти

Натуральный логарифм ln (логарифм по основанию е = 2,718281828459045… ) ln(e)=1;  ln(1)=0

При

логарифм числа (1+х) разлагается в ряд:

Например,

 

Ряд Тейлора. Разложение функции в ряд Тейлора.

Оказывается, большинство практически встречающихся математических функций могут быть с любой точностью представлены в окрестностях некоторой точки в виде степенных рядов, содержащих степени переменной в порядке возрастания. Например, в окрестности точки х=1:

При использовании рядов, называемых рядами Тейлора, смешанные функции, содержащие, скажем, алгебраические, тригонометрические и экспоненциальные функции, могут быть выражены в виде чисто алгебраических функций. С помощью рядов зачастую можно быстро осуществить дифференцирование и интегрирование.

Ряд Тейлора в окрестности точки a имеет виды:

1), где f(x) — функция, имеющая при х=а производные всех порядков. Rn — остаточный член в ряде Тейлора определяется выражением

2)

k-тый коэффициент (при хk) ряда определяется формулой

3) Частным случаем ряда Тейлора является ряд Маклорена (=Макларена) (разложение происходит вокруг точки а=0)

при a=0

члены ряда определяются по формуле

Условия применения рядов Тейлора.

1. Для того, чтобы функция f(x) могла быть разложена в ряд Тейлора на интервале (-R;R) необходимо и достаточно, чтобы остаточный член в формуле Тейлора (Маклорена (=Макларена)) для данной функции стремился к нулю при k→∞ на указанном интервале (-R;R).

2. Необходимо чтобы существовали производные для данной функции в точке, в окрестности которой мы собираемся строить ряд Тейлора.

Свойства рядов Тейлора.

  1. Если f есть аналитическая функция, то ее ряд Тейлора в любой точке а области определения f сходится к f в некоторой окрестности а.

  2. Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности а. Например:

Ряды Тейлора применяются при аппроксимации ( приближение — научный метод, состоящий в замене одних объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми) функции многочленами. В частности, линеаризация ((от  linearis — линейный), один из методов приближённого представления замкнутых нелинейных систем, при котором исследование нелинейной системы заменяется анализом линейной системы, в некотором смысле эквивалентной исходной.) уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.

Таким образом, практически любую функцию можно представить в виде полинома с заданной точностью.

Примеры некоторых распространенных разложений степенных функций в ряды Маклорена (=Макларена,Тейлора в окрестностях точки 0) и Тейлора в окрестностях точки 1. Первые члены разложений основных функций в ряды Тейлора и Макларена.

Примеры некоторых распространенных разложений степенных функций в ряды Маклорена( =Макларена, Тейлора в окрестностях точки 0)

 

Примеры некоторых распространенных разложений в ряды Тейлора в окрестностях точки 1

studfiles.net

Онлайн калькулятор: Обратные гиперболические функции

Гиперболические функции уже есть, теперь для общности и обратные гиперболические функции. А там, глядишь, и до решения кубических уравнений дойдем.

Итак, калькулятор ниже, описание обратных гиперболических функций — под ним.

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Сохранить share extension

Обратный гиперболический синус, гиперболический арксинус, ареасинус:

Функция нечетная, строго возрастает. Определена для всей числовой оси. Область значений — вся числовая ось.

Обратный гиперболический косинус, гиперболический арккосинус, ареакосинус

Функция строго возрастает. Определена для интервала от единицы включительно до плюс бесконечности. Область значений — от нуля до плюс бесконечности.

Обратный гиперболический тангенс, гиперболический арктангенс, ареатангенс:

Функция нечетная, строго возрастает. Определена для интервала от минус единицы до плюс единицы исключительно. Область значений — вся числовая ось.

Обратный гиперболический котангенс, гиперболический арккотангенс, ареакотангенс:

Функция нечетная, строго убывает на интервалах от минус бесконечности до минус единицы исключительно и от единицы исключительно до плюс бесконечности.

Обратный гиперболический секанс, гиперболический арксеканс, ареасеканс:

Функция строго убывает на интервале от нуля до единицы включительно. Функция многозначная, то есть каждому аргументу соответствует два результата — положительный и отрицательный.

Обратный гиперболический косеканс, гиперболический арккосеканс, ареакосеканс:

Функция нечетная, строго убывает на интервалах от минус бесконечности до нуля и от нуля до плюс бесконечности.

planetcalc.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *