∫ Найти интеграл от y = f(x) = atan(x+1) dx (арктангенс от (х плюс 1))
Решение
1 / | | atan(x + 1) dx | / 0
$$\int_{0}^{1} \operatorname{atan}{\left (x + 1 \right )}\, dx$$
Подробное решение[LaTeX]
пусть .
Тогда пусть и подставим :
Используем интегрирование по частям:
пусть и пусть dx.
Затем dx.
Чтобы найти :
Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
Теперь решаем под-интеграл.
пусть .
Тогда пусть и подставим :
Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
Интеграл есть .
Таким образом, результат будет:
Если сейчас заменить ещё в:
Если сейчас заменить ещё в:
Теперь упростить:
Добавляем постоянную интегрирования:
Ответ:
1 / | log(2) log(5) pi | atan(x + 1) dx = ------ + 2*atan(2) - ------ - -- | 2 2 4 / 0
$${{2\,\log 2-\pi}\over{4}}-{{\log 5-4\,\arctan 2}\over{2}}$$
Численный ответ[LaTeX]
Ответ (Неопределённый)[LaTeX]
/ / 2\ | log\1 + (x + 1) / | atan(x + 1) dx = C - ----------------- + (x + 1)*atan(x + 1) | 2 /
$$\left(x+1\right)\,\arctan \left(x+1\right)-{{\log \left(\left(x+1 \right)^2+1\right)}\over{2}}$$
www.kontrolnaya-rabota.ru
∫ Найти интеграл от y = f(x) = atan(x/4) dx (арктангенс от (х делить на 4))
Решение
1 / | | /x\ | atan|-| dx | \4/ | / 0
$$\int_{0}^{1} \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{4} \right )}\, dx$$
Подробное решение[LaTeX]
Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
пусть .
Тогда пусть и подставим :
Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
Используем интегрирование по частям:
пусть и пусть dx.
Затем dx.
Чтобы найти :
Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
Теперь решаем под-интеграл.
пусть .
Тогда пусть и подставим :
Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
Интеграл есть .
Таким образом, результат будет:
Если сейчас заменить ещё в:
Таким образом, результат будет:
Если сейчас заменить ещё в:
Метод #2
Используем интегрирование по частям:
пусть и пусть dx.
Затем dx.
Чтобы найти :
Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
Теперь решаем под-интеграл.
Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
пусть .
Тогда пусть и подставим :
Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
Интеграл есть .
Таким образом, результат будет:
Если сейчас заменить ещё в:
Метод #2
Перепишите подынтегральное выражение:
Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
пусть .
Тогда пусть и подставим :
Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
Интеграл есть .
Таким образом, результат будет:
Если сейчас заменить ещё в:
Таким образом, результат будет:
Таким образом, результат будет:
Теперь упростить:
Добавляем постоянную интегрирования:
Ответ:
1 / | | /x\ | atan|-| dx = -2*log(17) + 2*log(16) + atan(1/4) | \4/ | / 0
$$\arctan \left({{1}\over{4}}\right)-2\,\log \left({{17}\over{16}} \right)$$
Численный ответ[LaTeX]
Ответ (Неопределённый)[LaTeX]
/ | / 2\ | /x\ | x | /x\ | atan|-| dx = C - 2*log|1 + --| + x*atan|-| | \4/ \ 16/ \4/ | /
$$4\,\left({{\arctan \left({{x}\over{4}}\right)\,x}\over{4}}-{{\log \left({{x^2}\over{16}}+1\right)}\over{2}}\right)$$
www.kontrolnaya-rabota.ru
Примеры решений интегралов по частям, содержащих логарифм и обратные тригонометрические функции
Формула интегрирования по частям
Ниже, при решении примеров, применяется формула интегрирования по частям:
;
.
Подробнее >>>
Примеры интегралов, содержащих логарифм и обратные тригонометрические функции
Вот примеры интегралов, которые интегрируются по частям:
, , , , , , .
При интегрировании ту часть подынтегрального выражения, которая содержит логарифм или обратные тригонометрические функции обозначают через u, остальное – через dv.
Ниже приведены примеры с подробными решениями этих интегралов.
Простой пример с логарифмом
Вычислим интеграл, содержащий произведение многочлена и логарифма:
Решение
Здесь подынтегральное выражение содержит логарифм. Делаем подстановки
u = ln x, dv = x2 dx. Тогда
,
.
Интегрируем по частям.
.
Вычисляем оставшийся интеграл:
.
Тогда
.
В конце вычислений добавим постоянную C.
Ответ
Пример логарифма в степени 2
Рассмотрим пример, в котором в подынтегральное выражение входит логарифм в целочисленной степени. Такие интегралы также могут интегрироваться по частям.
Решение
Делаем подстановки
u = (ln x)2, dv = x dx. Тогда
,
.
.
Оставшийся интеграл также вычисляем по частям:
.
Подставляем
.
Ответ
Пример, в котором аргумент логарифма является многочленом
По частям могут вычисляться интегралы, в подынтегральное выражение которого входит логарифм, аргумент которого является многочленом, рациональной или иррациональной функцией. В качестве примера, вычислим интеграл с логарифмом, аргумент которого является многочленом.
.
Решение
Делаем подстановки
u = ln( x2 – 1), dv = x dx.
Тогда
,
.
.
Вычисляем оставшийся интеграл:
.
Мы здесь не пишем знак модуля ln |x2 – 1|, поскольку подынтегральное выражение определено при x2 – 1 > 0. Подставляем
.
Ответ
Пример с арксинусом
Рассмотрим пример интеграла, в подынтегральное выражение которого входит арксинус.
.
Решение
Делаем подстановки
u = arcsin x,
.
Тогда
,
.
.
Далее замечаем, что подынтегральное выражение определено при |x| < 1. Раскроем знак модуля под логарифмом, учитывая что 1 – x > 0 и 1 + x > 0.
Ответ
Пример с арктангенсом
Решим пример с арктангенсом:
.
Решение
Интегрируем по частям.
.
Выделим целую часть дроби:
x8 = x8 + x6 – x6 – x4 + x4 + x2 – x2 – 1 + 1 = (x2 + 1)(x6 – x4 + x2 – 1) + 1;
.
Интегрируем:
.
Окончательно имеем:
.
Ответ
Еще один пример с арксинусом
Решить интеграл:
.
Решение
Интегрируем по частям.
.
Вычисляем оставшийся интеграл. При x > 0 имеем:
.
.
.
При x < 0 сделаем подстановку x = – t, t > 0:
.
Окончательно имеем:
Ответ
.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано:
1cov-edu.ru