Исследовать функции и построить график онлайн – Исследование функции и построение графика

Исследовать функцию и построить график. Решение задач по высшей математике

Схема исследования функции с последующим построением графика такова:

  • Исследование области определения функции.
  • Исследование функции на четность и нечетность.
  • Нахождение точек пересечения графика с осями координат
  • Исследование функции на точки разрыва. Нахождение вертикальных асимптот. Нахождение горизонтальных и наклонных асимптот.
  • Исследование функции на экстремум и интервалы монотонности функции.
  • Исследование функции на интервалы выпуклости и вогнутости графика функции. Нахождение точек перегиба графика функции.
  • Построение графика функции.

Условие задачи

Исследовать функцию и построить ее график:

Задали объемную контрольную? Скоро важный зачет/экзамен? Нет времени на выполнение работы или подготовку к зачету/экзамену, но есть деньги? На сайте 100task.ru можно заказать решение или онлайн-помощь на зачете/экзамене

〉〉

Решение задачи

Исследование области определения функции. Исследование на четность и нечетность и нахождение точек пересечения графика с осями координат

1) Область определения функции:  

2)  

Функция является четной

 

3) График функции  пересекает ось  в точках  и . Ось  график функции не пересекает.

 

Исследование функции на точки разрыва и нахождение асимптот

4) 

В точке  функция не определена

В точке  существует разрыв 2-го рода.  

Прямая  –вертикальная асимптота. 

Для нахождения наклонной асимптоты вычисляем пределы:

 –горизонтальная  асимптота  

 

Исследование функции на экстремум и точки перегиба

5) Исследуем функцию на экстремум. Найдем производную функции.

Первая производная на области определения в нуль не обращается

 -функция возрастает

 -функция убывает

6) Исследуем функцию на интервалы выпуклости и вогнутости.

Вторая производная функции не равна нулю на всей области определения

–график функции вогнутый

– график функции вогнутый

Построение графика функции

7) График функции имеет вид:   

К оглавлению решебника по высшей математике

100task.ru

Исследовать функцию и построить график y=(1/2)x^3+3x^2-7

Задание 

Исследовать функцию и построить график.

 .

Решение:

I. область определения функции: множество действительных чисел R.

область значения функции —   множество действительных чисел R.

 

Найдем точки пересечения с осями координат:

А) х=0 =>  

(0;-7) -точка пересечения с осью Оy

 

Б) у=0 =>

Решим кубическое уравнение вида x3+аx2+bx+c=0

Домножим, наше уравнение на 2, получим

Коэффициенты:
a = 6;
b = 0;
c = -14;

Q

  =  

( a 2 — 3b )

  =  

( (6) 2 — 3 × (0))

  =  4

9

9

 

R

  =  

( 2a 3 — 9ab + 27c )

  =  

( 2 × (6) 3 — 9 × (6) × (0) + 27 × (-14) )

  =  1

54

54

т. к. R 2 < Q 3 => по методу Виета-Кардано, уравнение имеет три действительных корня

1 = -5.545
2 = 1.378
3 = -1.833

 

имеем три точки пересечения с осью Ох:

(-5,545; 0), (1,378; 0), (-1,833; 0)

 

Функция не обладает ни свойством четности, ни свойством нечетности.

Функция не является периодической.

 

II. найдем интервалы монотонности функции.

 

Производная

Интервалы монотонности разделяются точками, в которых или не существует. Найдем эти точки:

 

,

=> x=0 и х=-4

Рассмотрим интервалы и проверим как на них ведет себя функция

 

 

(-∞; -4)

-4

(-4;0)

0

(0; +∞)

Y’

+

0

0

+

Y

9

-7

 

На интервале (-∞; -4) и на (0; +∞) функция возрастает

На интервале (-4;0) функция убывает

 

III. найдем интервалы выпуклости и вогнутости кривой.

 

=0, если х=-2

 

y« (x) < 0 при х (-∞; -2), значит функция выпукла на интервале (-∞; -2)

y« (x) > 0 при х(-2;+∞), значит функция вогнута на интервале (-2;+∞)

 

построим график функции:

 

==========================================

Исследовать функцию и построить график y=(1/2)x^3+3x^2-7

==========================================