Как умножать делить вектор на скаляр – Умножение вектора на скаляр — Мегаобучалка

Умножение вектора на скаляр — Мегаобучалка

Векторная алгебра. Векторы.

П.1 основные определения.

Существуют скалярные и векторные величины. Скалярные характеризуются своим численным значением (например, температура, работа, плотность,…), а векторные, кроме численного значения, обладают также направлением в пространстве (например, сила, скорость,…).

Определение 1. Вектором называется направленный отрезок с начальной точкой А и конечной В.

Начало вектора называется его точкой приложения.

Определение 2. Длиной вектора называется длина отрезка . Число, равное длине вектора, измеренного выбранной масштабной единицей, называется модулем.

Задать вектор – это значит задать его модуль и направление в пространстве.

Определение 3. Вектор называется единичным, если =1. Вектор называется нулевым или нуль-вектором, если . Нулевой вектор имеет любое направление.

Определение 4. Векторы и называются сонаправленными, если они параллельны (лежат на одной или параллельных прямых) и имеют одинаковое направление, если при этом направление не совпадает, то векторы называются противоположно направленными.

– сонаправлены. – противоположно направлены.

Определение 5.Векторы и называются равными, если .

Определение 6. Единичный вектор, имеющий одинаковое направление с вектором , называется ортом вектора и обозначается .

=1.

Определение 7. Вектор, выходящий из начала координат, называется радиус-вектором.

С помощью параллельного переноса векторы можно перемещать в любое место пространства.

 

П.2 Линейные действия над векторами.

Сложение векторов.

 

А) Правило треугольника: + = .

 

В) Правило параллелограмма: вектор направлен по диагонали параллелограмма, построенного на векторах и .

 

С) Для сложения трех векторов в пространстве существует правило параллелепипеда: + + = .

Свойства сложения: 1. + = +

2. + + = ( + )+ = + ( + )

3. + =

4. Если + + = , то

Вычитание векторов.

Определение 8.Противоположным вектором к вектору называется вектор , причем .



Вычесть вектор, значит прибавить противоположный (по правилу параллелограмма):

Или по правилу треугольника

 

 

Вывод из 1 и 2 :

 

 

векторы суммы и разности векторов направлены по диагоналям параллелограмма, построенного на векторах и .

 

Умножение вектора на скаляр.

Определение 9.Пусть λ – действительное число, тогда произведением числа λ на вектор называется вектор такой, что 1) 2) , если и , если .

, причем .

Умножение вектора на число – это растяжение или сжатие вектора с сохранением или с изменением на противоположное направления.

 

Свойства произведения: 1. 2. 3. 4.

5. λ ( + ) = λ + λ 6. 7. 8.

Определение 10. Векторы, лежащие на одной или параллельных прямых, называются коллинеарными.

коллинеарен любому вектору.

Теорема 1(о необходимом и достаточном условии коллинеарности векторов). Равенство , где λ – действительное число, справедливо тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны, при этом если , то , если , то , если λ = 0, то направление любое.

Доказательство.

Необходимость ( ). Пусть , тогда по определению 9 векторы и лежат на одной или параллельных прямых, совпадают или противоположны по направлению. Тогда. По определению 10, векторы и коллинеарны.

Достаточность ( ). Пусть векторы и коллинеарны, тогда по определению 10, они расположены на одной или параллельных прямых, при этом они совпадают или противоположны по направлению. Такие векторы можно получить, используя определение 9, т.е. , где λ – действительное число. (что и требовалось доказать)

 

 

Определение 11. Векторы, лежащие в одной плоскости, называются компланарными.

megaobuchalka.ru

04.06. Умножение вектора на скаляр

Умножение вектора на скаляр

Действие умножения вектора на скаляр является естественным обобщением знаний, полученных при решении прикладных задач. ПРОИЗВЕДЕНИЕМ (или ) ВЕКТОРА НА СКАЛЯР L является вектор, имеющий модуль, равный произведению модуля данного вектора на абсолютную величину скаляра, и ориентацию, совпадающую с ориентацией данного вектора, если скаляр положителен, или же противоположную, если скаляр меньше нуля.

Очевидно, что произведение вектора на скаляр обратится в нуль, если один из сомножителей равен нулю.

Пусть дан вектор и скаляр . Введенное действие подчиняется следующим законам:

1. , где  – также скалярный множитель. Это равенство определяет сочетательный закон относительно скалярных множителей. Действительно, как следует из определения, последовательность выполнения операций в левой и правой частях этого равенства не влияет на результат.

2.  – распределительный закон скалярного сомножителя относительно суммы векторов;

 – распределительный закон векторного сомножителя относительно суммы скаляров;

3.  – сочетательный закон относительно скалярных сомножителей.

Равенства 2 выражают закон двоякой распределительности и позволяют, как в алгебре числовых величин, выполнять почленно действия умножения суммы векторов на скаляр и суммы скаляров на вектор. Например, если даны векторы и , приведенные к общему началу 0 (рис. 3.14, а), скаляр и , то вектор , изображенный на рис. 3.14, б, окажется равным вектору построенному на рис. 3.14, в. Это и подтверждает первое из равенств закона двоякой распределительности.

 

Рис. 3.14. Распределительный закон относительно
Скалярного множителя.

Операция деления вектора на скаляр определяется через уже введенную операцию умножения:

Где

Операция деления вектора на вектор не имеет особого смысла при решении реальных прикладных задач, поэтому в векторной алгебре она обычно не вводится.

Итак, мы определили линейные операции над векторами. Эти операции очень важны для формулировки многих законов физики. Так, например, второй закон Ньютона записывается в виде:

Где m – масса,  – ускорение точки.

Какой физический смысл имеет величина, равная произведению углового ускорения на момент инерции I?

Возможно, гениальность Ньютона как раз и состояла в том, что во времена, когда векторная алгебра только зарождалась, он сумел понять связь между векторными величинами, характеризующими различные силовые воздействия на тело, и одной единственной векторной величиной, определяющей его динамику и имеющей даже совсем другую размерность, – вектором ускорения. Эта связь осуществляется через скалярный множитель m –массу точки, которая, по его первому закону, является мерой инерции тела.

Развитие математических идей подталкивает, стимулирует прикладные исследования. Именно так произошло с одним из фундаментальных понятий математики, основанным на выполнении линейных операций над векторами – понятием линейной зависимости. Возникнув в математике, оно углубило представление о различных физических процессах и способствовало рождению многих открытий.

 

< Предыдущая   Следующая >

matica.org.ua

Векторы умножение на скаляры — Справочник химика 21

    ПОНЯТИЕ О СКАЛЯРЕ И ВЕКТОРЕ. СЛОЖЕНИЕ, ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ И УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА СКАЛЯР [c.217]

    Умножение вектора на скаляр. В результате умножения вектора на скалярную величину изменяется величина вектора, направление же его остается [c.652]

    Умножение вектора на скаляр. Операция умножения вектора и на скаляр отвечает умножению каждого компонента вектора на указанный скаляр, т. е. 

[c.656]

    Умножение вектора на скаляр означает просто умножение абсолютной величины вектора на скаляр, причем направление вектора не меняется, если скаляр положителен, и меняется на противоположное, если скаляр отрицателен. [c.91]


    Результатом умножения вектора х на скаляр / Е» является вектор [c.694]

    Умножение XV Произведение X и V, если X и V являются скалярами. Умножение каждого элемента V на X, если V является массивом, а X — скаляром. Скалярное произведение, если X и У — векторы одинакового размера. Умножение матриц, если X и У являются матрицами совместимых размеров [c.45]

    В этом случае ответ представляет собой скаляр. Результат такого типа умножения называется скалярным произведением и соответствует скалярному произведению векторов (разд. А-4). [c.433]

    Умножением матрицы тензора Т слева на строчную матрицу вектора 8 получают новый вектор 8-Т, который можно представить в виде строчной матрицы. Умножая матрицу тензора Т справа на столбцовую матрицу вектора I, получают новый вектор Т-1, представляемый также столбцовой матрицей. Наконец, можно получить скаляр 5-Т-1 матричным умножением [c.323]

    В случае векторов и тензоров операцию умножения можно выполнять несколькими разными способами. Для их обозначения применяют специальные знаки, смысл которых раскрыт позднее точка ( ), точка с запятой ( ) и крест (X) . Форма скобок, внутри которых заключены упомянутые символы, указывает на группу величин (скаляр, вектор или тензор), к которой относится результат умножения  [c.650]

    Вспомним, что умножение вектора V на скаляр дает вектор яо, который направлен в ту же сторону, что и исходный вектор о, причем изменяется лишь абсолютная величина вектора V. Когда же вектор о умножается на тензор т, изменяются как абсолютная величина, так и направление вектора о. Поэтому говорят, что тензор отклоняет , или поворачивает , вектор , образуя новый вектор, направление которого не совпадает с направлением исходного вектора .  

[c.663]

    Умножение двух векторов обладает некоторыми интересными особенностями. Существуют два различных типа произведения — скалярное (обозначаемое точкой) и векторное (обозначаемое крестиком). Скалярное произведение является скаляром (т. е. не зависит от направления) и имеет величину, которая определяется выражением  [c.90]

    Среди разнообразных разделяющих функций самой простой в применении и потому наиболее распространенной в химии является линейная разделяющая функция. Как отмечалось выше, линейная разделяющая функция эквивалентна некоторой весовой функции, при умножении которой на вектор образа получается скалярный результат. Несмотря на то что принципиально возможна множественная классификация, самым простым классификатором служит бинарное устройство, дающее один из двух альтернативных ответов. При использовании для бинарной классификации линейной разделяющей функции удобно определять принадлежность образа к одному из двух классов по знаку скаляра. [c.45]

    Введем правила сложения и умножения на скаляр для векторов реакций, аналогичные таковым для векторного пространства. А именно сумма двух векторов реакций над одним и тем же множеством веществ определена как [c.166]

    Поскольку оператор столкновений — линейный изотропный оператор в пространстве скоростей, его действие на любой из тензоров, построенных из векторов 6, дает тензор того же типа, умноженный на скаляр. Тогда, подставляя разложение (14.2.60) в уравнение (14.2.57) и приравнивая коэффициенты при разных тензорах, мы получаем шесть уравнений для величин Даже если тензоры линейно зависимы, это допустимо, поскольку тензоры содержат различные степени компонент вектора Я. Результат имеет следующий вид  [c.434]

    Попятно, что велжчина А в случае ее существования может быть только вектором, так как в левой части уравнения (5) стоит скаляр и, следовательно, члены правой части этого уравнения тоже должны быть скалярными но один сомножитель членов правой части уравнения (5) — вектор г, который только прп умножении на другой вектор может дать скалярную величину. [c.361]

    Произведение X и Y, если X и Y явJ]яют я скалярами. Умножение каждого эле.мента Y на X, если Y является массивом, а X — скаляром. Скалярное произведение, если X и Y — векторы одинакового размера. Умножение матриц, если X и Y являются матрицами совместимых размеров Векторное произведение векторов U и V Сумма членов X для i = т, m + 1,. .., п, причем X может быть любым выражением Произведение членов X для i = т, m + 1,. .., п, где X может быть любым выражением Сумма членов X бесконечного ряда Произведение членов X бесконечного ряда Предел функции f(x) при X, стремящемся к а (выполняется только в режиме символьных вычислений) [c.427]

    При умножении двух векторных величин может получиться скаляр (скалярное произведение) или вектор (векторное произведение). Скалярное произведение А В векторов А и В определяется как ЛВсозвав, где 0ав —угол между векторами А и В. Если А = аж1 + ау]- -а2к и Ъ = Ьх1 + Ьу] + ЬгК то [c.430]

    Следуя терминологии, принятой в Transport Phenomena , в данно11 книге тензоры обозначены светлыми греческими буквами (а. т, е и т. д.), векторы— полужирными латинскими буквами А, В, v и т. д.), скалярные величины—светлыми буквами Р, [J, Т и т. д.). Тензорно-векторные операции умножения обозначаются различными типами скобок, например (А-В)—это скаляр, [АхВ]—вектор, — тензор. [c.405]

    Второй член в правой части равенства представляет собой элемент матрицы, получающейся в результате диадного умножения вектора дХ1д )ху на самого себя, помноженный на скаляр дх1дХ)1у. [c.259]

    Скалярное произведение (обозначенное точкой) какого-либо градиента и установленного в пространстве вектора ds, или, иначе, проекция вектора градиента на направление вектора ds, умноженная на ds, дает скаляр. Обозначаем его через ds grad / или (ds V) /. Оно показывает, как изменится величина /, если переместить ее в пространстве на расстояние ds. [c.310]

    Вторую группу составляет действие умножения векторов. Рассматриваемые в векторной алгебре скалярное и векторное умножения с алгебраической точки зрения неудовлетворительны, потому что первое из них выводит из класса векторов (скалярное произведение двух векторов (х, г/) — Xiyi+. .. +— скаляр, а не вектор), а второе не допускает обратного действия (деление

www.chem21.info

Умножение вектора на скаляр

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
unit Unit1;
 
interface
 
uses
  Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,
  Dialogs, StdCtrls, Grids;
 
type
  TForm1 = class(TForm)
    Edit1: TEdit;
    StringGrid1: TStringGrid;
    StringGrid2: TStringGrid;
    StringGrid3: TStringGrid;
    Button1: TButton;
    Button2: TButton;
    Edit2: TEdit;
    Label1: TLabel;
    Label2: TLabel;
    Label3: TLabel;
    Label4: TLabel;
    Label5: TLabel;
    procedure Button1Click(Sender: TObject);
    procedure Button2Click(Sender: TObject);
    procedure FormCreate(Sender: TObject);
  private
    { Private declarations }
  public
    { Public declarations }
  end;
 
var
  Form1: TForm1;
  a,c:array of integer;
  b:array of array of Integer;
  m,n:integer;
implementation
 
{$R *.dfm}
//задать некоторые паметры компонентов формы
procedure TForm1.FormCreate(Sender: TObject);
begin
with StringGrid1 do
 begin
   fixedrows:=0;
   fixedcols:=0;
   rowcount:=1;
   defaultcolwidth:=25;
   scrollbars:=ssHorizontal;
 end;
with StringGrid2 do
 begin
   fixedrows:=0;
   fixedcols:=0;
   defaultcolwidth:=25;
   scrollbars:=ssBoth;
 end;
 with StringGrid3 do
 begin
   fixedrows:=0;
   fixedcols:=0;
   rowcount:=1;
   defaultcolwidth:=35;
   scrollbars:=ssHorizontal;
 end;
Label1.Caption:='Размер вектора';
Label2.Caption:='Количество столбцов матрицы';
Label3.Caption:='Вектор А';
Label4.Caption:='Матрица В';
Label5.Caption:='Вектор С';
Button1.Caption:='Создать вектор и матрицу';
Button2.Caption:='Умножить';
end;
procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
var i,j:integer;
begin
Val(Edit1.Text,m,i);
if i<>0 then
 begin
  ShowMessage('Неверно введен размер вектора');
  Edit1.Clear;
  Edit1.SetFocus;
  Exit;
 end;
Val(Edit2.Text,n,i);
if i<>0 then
 begin
  ShowMessage('Неверно введено количество столбцов матрицы');
  Edit2.Clear;
  Edit1.SetFocus;
  Exit;
 end;
SetLength(a,m);
SetLength(b,m,n);
SetLength(c,n);
StringGrid1.ColCount:=m;
StringGrid2.RowCount:=m;
StringGrid2.ColCount:=n;
StringGrid3.ColCount:=n;
randomize;
for i:=0 to m-1 do
 begin
  a[i]:=1+random(10);
  StringGrid1.Cells[i,0]:=inttostr(a[i])
 end;
for i:=0 to m-1 do
for j:=0 to n-1 do
 begin
  b[i,j]:=1+random(10);
  StringGrid2.Cells[j,i]:=inttostr(b[i,j])
 end;
 
end;
 
procedure TForm1.Button2Click(Sender: TObject);
var i,j:integer;
begin
for j:=0 to n-1 do
 begin
  c[j]:=0;
  for i:=0 to m-1 do
  c[j]:=c[j]+a[i]*b[i,j];
 end;
for i:=0 to n-1 do
StringGrid3.Cells[i,0]:=inttostr(c[i])
end;
 
end.

forundex.ru

Свойства операций сложения векторов и умножения вектора на скаляр — КиберПедия

Векторы и , лежащие на параллельных прямых (на одной прямой) называются коллинеарными.

или

Если векторы и заданы своими координатами:

и , то выполняется

.

Это условие коллинеарности векторов.

Замечание 1:Векторы и – коллинеарны.

Векторы , и , лежащие в параллельных плоскостях (в одной плоскости) называются компланарными.

Если векторы , и заданы своими координатами:

, и , то выполняется

.

Это условие компланарности векторов.

Скалярным произведением векторов и называется число, находимое по формуле:

, где – угол между векторами и .

Если векторы и заданы своими координатами:

и , то скалярное произведение векторов

.

Например: , .

Тогда

 

Векторы и называются ортогональными, они лежат на перпендикулярных прямых.

Замечание 2:Ненулевые векторы и – ортогональны тогда и только тогда, когда .

Если векторы и заданы своими координатами: и , то ортогональными они будут тогда и только тогда, когда

.

Это условие ортогональности векторов.

Длина вектора находится по формуле:

.

Например: .

Тогда .

 

Если начало вектора – точка , а конец его – точка , то координаты вектора

,

и его длина находится по формуле:

.

По этой же формуле находится длина вектора , расстояние между точками А и В.

Например: , .

Тогда .

Координаты середины отрезка АВпри и , найдутся по формуле:

.

Например: , .

Тогда

Векторным произведениемвекторов и называется вектор , который ортогонален векторам и , составляет с ними правую тройку, модуль которого находится по формуле и численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

 

Если векторы и заданы своими координатами:

и , или

,

,

тогда

.

Например: , .

Тогда

Свойства векторного произведения

1. ;

2. ;

3. ,если , или и – коллинеарны;

4. .

Смешанным произведениемвекторов , и называется результат скалярного произведения вектора на вектор , то .

Свойства смешанного произведения

1. Смешанное произведение не изменяется, если поменять местами знаки векторного и скалярного произведения, то есть .

2. Модуль равен объему параллелограмма, построенного на этих векторах.

3. = 0, если, хотя бы один из множителей равен нулевой, любые два вектора коллинеарны, все три вектора компланарны.

4. не изменяется при циклической перестановке сомножителей: .

5. При перестановке местами двух сомножителей меняет знак:



; ; .

 

Если векторы , и заданы своими координатами , и или

,

,

тогда

.

 

Например: , .

Тогда

 

Замечание 3.Объем V треугольной призмы, построенной на векторах , и находится по формуле:

.

ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ

Вопросы

1. Уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом.

2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через данную точку.

3.Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору.

5. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

6. Уравнение прямой в отрезках.

7. Общее уравнение прямой.

8. Расстояние от точки до прямой.

 

Прямая – это линия на плоскости, точки которой удовлетворяют уравнению:

. (1)

Коэффициент называется угловым коэффициентом прямой. Он равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси ОХ (рис.1). Коэффициент b равен координате точки, в которой прямая пересекает ось ОY.

Рис 1.

Помимо уравнения (1) – уравнения прямой с угловым коэффициентом, существуют другие уравнения прямой.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через данную точку (рис 2.) имеет вид:

. (2)

Рис 2.

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки и (рис 3.) имеет вид:

. (3)

Рис 3.

 

Уравнение прямой, проходящей через данную точку , параллельно данному вектору (рис 4.) имеет вид:

. (4)

Рис 4.

 

Уравнение прямой, проходящей через данную точку , перпендикулярно данному вектору (рис 5.) имеет вид:

. (5)

Рис.5

Уравнение прямой в отрезках (рис 6.) имеет вид:

. (6)

Рис 6.

Общее уравнение прямой имеет вид:

. (7)

Замечание:

Все уравнения прямой могут быть приведены к общему уравнению прямой.

Расстояние от точки до прямой , заданной общим уравнением находится по формуле:

. (8)

Например:

Задано общее уравнение прямой: . Найти расстояние от точки до этой прямой.



Тогда .

ПРЯМЫЕ И ПЛОСКИСТИ В

Вопросы

1. Общее уравнение плоскости.

2. Частные случаи уравнения плоскости.

3. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку , перпендикулярно данному вектору .

4. Как узнать, принадлежит ли произвольная точка плоскости.

5. Расстояние от точки до плоскости.

6. Взаимное расположение плоскостей.

7. Уравнение прямой в , проходящей через данную точку , параллельно данному вектору .

8. Уравнение прямой в , проходящей через две данные точки и .

Плоскостьюназывается поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению плоскости:

Ax + By + Cz + D = 0,

где А, В, С – координаты вектора – вектор нормали к плоскости, т. е. вектор, перпендикулярный плоскости.

Возможны следующие частные случаи:

А = 0 – плоскость параллельна оси Ох;

В = 0 – плоскость параллельна оси Оу;

С = 0 – плоскость параллельна оси Оz;

D = 0 – плоскость проходит через начало координат;

А = В = 0 – плоскость параллельна плоскости хОу

А = С = 0 – плоскость параллельна плоскости хОz

В = С = 0 – плоскость параллельна плоскости yOz

А = D = 0 – плоскость проходит через ось Ох

В = D = 0 – плоскость проходит через ось Оу

С = D = 0 – плоскость проходит через ось Oz

А = В = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью хОу

А = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью xOz

В = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью yOz

Например:   1. 3x + 4y = 0 проходит через ось ОZ, так как С=о, D=0
  2. x + 4y – 5z = 0 проходит через начало координат, так как D=0
  3. у – 5 = 0 параллельна координатной плоскости XOZ, так как A=B=0
  4. 3x –z = 0 проходит через ось ОУ, так как В=D=0
  5. 4y – 5z + 6 = 0 параллельна оси ОХ, так как А=0

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору имеет вид:

Здесь вектор – нормаль к плоскости Р; точка – точка, через которую проходит плоскость Р.

Этот факт вытекает из следующих рассуждений.

Для произвольной точки , принадлежащей плоскости, составим вектор . Т.к. вектор — вектор нормали, то он перпендикулярен плоскости, а, следовательно, перпендикулярен и вектору . Тогда скалярное произведение

× = 0

Согласно условию ортогональности векторов, получаем уравнение плоскости

.

Например: , . Тогда уравнение плоскости имеет вид: . Раскроем скобки и приведем подобные. .

 

Чтобы узнать, принадлежит ли точка М(х,у,z) плоскостиР, необходимо подставить ее координаты в уравнение плоскости и убедится, что получилось истинное равенство.

Например: Плоскость Р задана своим общим уравнением.

.Проверить, будут ли принадлежать плоскости Р точки и .

Подставим в заданное уравнение координаты точки L.

, следовательно .

Подставим в заданное уравнение координаты точки K.

, следовательно .

cyberpedia.su

Умножение вектора на скаляр — Энциклопедия по машиностроению XXL

Геометрическое представление вектора. Рис. 1. Единичный вектор. Умножение вектора на скаляр.  [c.19]

При умножении вектора на скаляр m получаем новый вектор  [c.21]

Умножение вектора на скаляр в общем случае дает новый вектор, имеющий то же направление, но другую длину  [c.8]

УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА СКАЛЯР  [c.27]

Умножение вектора на скаляр  [c.27]


Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на скаляр. Суммой (геометрической суммой) двух векторов а и Ь (рис. 1.2, ц) называется вектор с = а- -Ь, построенный по следующему правилу (правило треугольника)  [c.15]

Перейдем теперь к определению операции умножения вектора на скаляр, т. е. на любое действительное число.  [c.17]

Операторы. Операция сложения векторов и умножения векторов на скаляры характеризует свойства векторного пространства. Операции над векторами описываются операторами, которые обозначают буквами или другими символами со значками над ними, например А, L, и т.д. Оператор А определяет правило, по которому вектору ) пространства кет-векторов сопоставляется вектор 1 ф) того же векторного пространства, т.е. по заданному вектору Ч ) определяется вектор ф). Это сопоставление записывают в виде равенства  [c.133]

Сложение, вычитание и разложение векторов. Умножение вектора на скаляр  [c.320]

Операции над векторами. Операции сложения векторов и умножения вектора на скаляр обладают следующими свойствами  [c.15]

Умножение вектора на скаляр. Единичный вектор  [c.54]

ВЕКТОРНОЕ сложение. УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА СКАЛЯР  [c.11]

Векторное сложение. Умножение вектора на скаляр  [c.11]

УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА СКАЛЯР. ЕДИНИЧНЫЙ ВЕКТОР 13  [c.13]

Умножение вектора на скаляр. Эта операция сводится к обычному  [c.41]

Операции сложения и вычитания тензоров, а также умножения их на скаляр те же, что и у векторов  [c.117]

При умножении вектора а на скаляр т мы получаем новый вектор Ь, модуль которого равен т а, а направление или совпадает с направлением вектора а (при m > 0), или противоположно ему (при m делении вектора на скаляр.  [c.321]

Умножение и деление векторов на скаляр. Скалярное произведение двух векторов. Умножение вектора а на скаляр т эквивалентно сложению т векторов а. Результативный вектор А = та имеет направление и линию действия вектора а и т — кратный модуль по сравнению с модулем а. Если m противоположное вектору а направление.  [c.39]

Знаки операций сложения и вычитания тензоров, умножения тензора на скаляр — обычные. Различные виды произведений двух тензоров обозначаются следующим образом скалярное — точкой между сомножителями, векторное — наклонным крестом, тензорное, а также диадное произведение двух векторов — смежным расположением сомножителей, без знака между ними.  [c.18]

От умножения вектора на положительный скаляр m получается вектор того же направления, отличающийся по модулю в т раз.  [c.267]

Векторный базис — это система трех векторов, не все из которых параллельны одной плоскости. Если базисные векторы взаимно ортогональны и имеют единичную длину, то базис называется ортонормальным. Если задан векторный базис е , 63, то произвольный вектор а может быть выражен через базисные векторы посредством операции умножения на скаляр и сложения  [c.16]

Множество J n всех л-мерных векторов называют линейным алгебраическим пространством, если в нем определены операции сложения и умножения на скаляр точно так же, как для матриц. Число я называется размерностью пространства Rn- Рассмотрим помимо вектора а другой п-мерный вектор  [c.19]

Деление на модуль вектора а, конечно, следует рассматривать как умножение на скаляр 1/а.  [c.28]

Умножение на скаляр. Пусть А — вектор длиной 2,0 см, направленный под углом 70° к востоку от северного направления, а В — вектор длиной 3,5 см, направленный под углом 130° к востоку от северного направления. При решении пользуйтесь транспортиром или специальной бумагой, разграфленной в полярных координат X.  [c.63]

Деление вектора а на скаляр т эквивалентно умножению на скаляр 1/ш  [c.39]

Модуль с = ab sin (а, Ь) вектора с численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах a и Ь. Векторное произведение некоммутативно, т. е. a х Ь = — Ь х а, ассоциативно относительно умножения на скаляр А. (а х Ь) = )Л х Ь = = a X и дистрибутивно (a-)-b)x = ax -f-bx .  [c.40]

Умножение К. д на скаляр а и сложение К. определяются так же, как и для обычных векторов. Можно ввести произведение двух К. q — ae и ф-лой =  [c.345]

Рассмотрим две основные операции, совершаемые над векторами сложение и умножение на скаляр. Если два вектора ei и в2 представить направленными отрезками OPi и ОР2, то их сумма ei + fi2 также будет вектором и изобразится диагональю 0Q (рис. 1.2) параллелограмма 0P QPскаляр, то произведением в  [c.13]

Вектор V, умноженный на скаляр з, равен  [c.436]

Приведем основные правила умножения векторных величин. Умножение вектора а на число р записывается так а, и означает увеличение модуля вектора в р раз с сохранением его направления, если р > О, и изменением направления на обратное, если Р умножения векторов скалярное и векторное-, в первом случае произведение векторов — скаляр, во втором — вектор.  [c.33]

Умножение вектора на скаляр коммутативно, т. е. Ха = аХ, и дистрибутивно, т. е. X (а -Ь Ь) = Ха -f- ХЬ, а также (Х( 4- Xj) а = — Х а + Х2а и Х2 (Х а) Х (Х2а) (Х1Х2) а.  [c.39]

Операция умноження вектора на скаляр ассоциативна и дистрибутивна, т. е.  [c.12]

Умноокение. Умножение вектора на скаляр. Произведением вектора а на скаляр к называют вектор с, модуль которого равен с = й( а . Вектор с параллелен вектору а, если к>0, и антипараллелен, если к[c.196]

Введем векторы А, В, имеющие в девятимерном пространстве составляющие а,у, Тогда первой операции соответствует умножение вектора на скаляр, т. е. вектор фД. Второй операции отвечает сложение векторов А В. Наконец, свертке тензоров соответствует скалярное произведение векторов  [c.71]

Совокупность 5 некоторых элементов х, у, г,… называется линейной системой, если, не выходя из этой совокупности, над элементами этой системы можно производить оснорные линейные операции—сложение элементов и умножение элемента на скаляр — и эти операции подчиняются обычным правилам алгебры. О скалярах мы будем всегда предполагать, что они произвольные вещественные числа. Линейная система Н называется линейным нормированным (по ВапасЬ у) пространством, если каждому элементу (мы будем говорить— вектору) X С Е отнесено вещественное число л так, что выполняются следующие требования  [c.151]

Тензор — это упорядоченная совокупность девяти чисел (представляющих физические величины), которые называются компонентами тензора и зависят от выбранной системы координат они преобразуются при изменении системы координат, как произведения координат. Напоминаем, что вектор есть упорядоченная система трех чисел, которые преобразуются при измепеиии системы координат так же, как координаты. Скаляр (число) не изменяется прн преобразовании координат. Умножение тензора на число сводится к умножению каждой компоненты на это число.  [c.229]


mash-xxl.info

Умножение и деление вектора на скаляр

Механика Умножение и деление вектора на скаляр

просмотров — 164

Геометрическим образом вектора является направленный отрезок, длина которого равна величинœе или модулю вектора. Математические операции над векторами допускают геометрическую интерпретацию. Рассмотрим некоторые из них.

Рассмотрим более подробно операции над векторами

 
 
1. Сложение векторов осуществляется по правилу многоугольника или параллелограмма

2. Разложение вектора может быть выполнено бесчисленным числом способов. При этом если задать направления составляющих, то разложение вектора будет единственным.

3. Вычитание векторов. Найдем вектор , равный разности двух векторов и .

Как видим, чтобы найти вектор, являющийся разностью двух других векторов, нужно отложить эти векторы от одной точки и соединить их концы отрезком. Этот отрезок, направленный к концу вектора-уменьшаемого, и будет вектором-разностью.

Рассмотрим произвольную траекторию точки. Как видим, перемещение на участке 1-2 равно векторной разности радиус-векторов 2-го и 1-го положений точки, т. е.

.

Численное значение вектора — его модуль – обозначают

Следует заметить, что модуль приращения вектора в общем случае не равен приращению модуля вектора ᴛ.ᴇ. , что , так как определяются разными соотношениями

.

При умножении вектора на скаляр направление вектора не изменяется, а его модуль изменяется в раз. При умножении вектора на скаляр его направление изменяется на противоположное. Изменяется при этом в n раз и модуль вектора.

.Делœение вектора на скаляр сводится к умножению его на .

В случае если скаляр – размерная физическая величина, то при умножении или делœении на него изменяется размерность модуля вектора.

5. Проекция вектора на заданное направление.

Пусть задан вектор и направленный отрезок . Проведем через начало и конец вектора плоскости, перпендикулярные отрезку . Точки А и В будут проекциями начала и конца вектора . Величина отрезка , заключенного между точками А и В, принято называть проекцией вектора на заданное направление . Величина проекции определяется соотношением

;

 
 
Легко видеть, что проекция вектора характеризуется некоторым числом, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ в зависимости от угла может быть положительным и отрицательным числом или нулем

Читайте также


  • — Умножение и деление вектора на скаляр

    Геометрическим образом вектора является направленный отрезок, длина которого равна величине или модулю вектора. Математические операции над векторами допускают геометрическую интерпретацию. Рассмотрим некоторые из них. Рассмотрим более подробно операции над… [читать подробенее]


  • oplib.ru

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.