Решение треугольников
Сегодня на уроке мы подытожим наши знания по разделу «Соотношения между сторонами и углами треугольника».
Прежде чем приступить к решению задач, давайте вспомним основной теоритический материал этой темы.
Формула для вычисления площади треугольника:
Теорема косинусов:
Теорема синусов: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
Расширенная теорема синусов:
Решить треугольник – это значит найти все его элементы (три стороны и три угла) по каким-нибудь известным трем элементам, определяющим треугольник.
К задачам такого плана относятся следующие задачи: решение треугольника по трем сторонам; решение треугольника по трем углам; решение треугольника по двум сторонам и углу между ними; решение треугольника по двум сторонам и углу, не лежащего между ними; решение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам; решение треугольников по стороне и произвольным двум углам.
Рассмотрим каждый вид таких задач отдельно.
Начнем с решения треугольника по трем углам.
Запишем теорему синусов и косинусов и подумаем, с помощью какой из них можно решить треугольник.
Обе эти теоремы содержат длины сторон, поэтому зная только углы треугольника нельзя найти длины сторон треугольника.
Попробуем теперь решить треугольник по трем сторонам.
Зная длины всех сторон треугольника, по теореме косинусов можно найти косинусы всех углов треугольника. А, зная косинус угла, сам угол найти несложно. Для этого можно воспользоваться либо калькулятором либо таблицами Брадиса.
Значит в этом случае решить треугольник можно с помощью теоремы косинусов.
Рассмотрим пример.
Задача. Найти углы треугольника, если стороны треугольника равны 25, 20, 17.
Решение.
Ответ: ; ; .
Следующим мы рассмотрим решение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам.
Сразу замечаем, что третий угол найти нетрудно, он равен разности 180° и известных углов .
Запишем теорему синусов.
Из каждого равенства, мы можем найти сторону треугольника. Таким образом, зная длину одной стороны и величину двух прилежащих к ней углов, можно найти все остальные элементы треугольника, используя теорему синусов.
Задача. Решить треугольник, если одна из сторон треугольника равна , а углы прилежащие к этой стороне равны и ° соответственно.
Решение.
Ответ: .
Задача. Решить треугольник если две стороны его равны см и см соответственно, а угол между ними равен .
Решение.
Ответ: .
Теперь давайте посмотрим, а можно ли решить треугольник, если мы знаем две стороны и угол, который не лежит между ними. Да, можно. Для этого по теореме синусов надо найти второй угол треугольника, а затем и третий угол и по теореме косинусов найти третью сторону треугольника.
То есть и в этом случае треугольник можно решить с помощью теоремы синусов или теоремы косинусов.
Задача. Решить треугольник, если две его стороны равны и , а один из углов, не лежащий между этими сторонами, равен .
Решение.
Ответ: .
Итак, давайте обобщим.
Если в треугольнике известны величины трех углов, то решить его нельзя.
Если в треугольнике известны три стороны, то решить такой треугольник можно по теореме косинусов.
Если в треугольнике известна сторона и два любых угла, то решить такой треугольник можно с помощью теоремы синусов.
Если в треугольнике известны две стороны и угол между ними, то решить такой треугольник можно с помощью теоремы косинусов или теоремы синусов.
Если же нам известны две стороны и любой угол, который не лежит между ними, то треугольник можно решить по теореме синусов и косинусов.
Решение треугольников [wiki.eduVdom.com]
Будем обозначать стороны треугольника через $a, b, c$, a противолежащие им углы через $\alpha, \beta, \gamma$.
Решение треугольников состоит в нахождении неизвестных сторон и углов треугольника по известным его углам и сторонам.
Пример 1. В треугольнике даны сторона $\alpha = 5$ и два угла $\beta = 30°\,; \gamma = 45°$ . Найти третий угол и остальные две стороны.
Решение. Так как сумма углов треугольника равна 180°, то третий угол $\alpha$ находим: $$ \alpha = 180° — \beta — \gamma = 180° — 30° — 45° = 105° $$ Зная сторону и все три угла, по теореме синусов находим две остальные стороны: $$ b = a \bullet \frac{\sin \beta}{\sin \alpha} = 5 \bullet \frac{\sin 30^{\circ}}{\sin 105^{\circ}} \approx 5 \bullet \frac{0,500}{0,966} \approx 2,59 \\ c = a \bullet \frac{\sin \gamma}{\sin \alpha} = 5 \bullet \frac{\sin 45^{\circ}}{\sin 105^{\circ}} \approx 5 \bullet \frac{0,707}{0,966} \approx 3,66 $$
Пример 2. В треугольнике даны две стороны а = 12, b = 8 и угол между ними $\gamma = 60°$. Найти остальные два угла и третью сторону.
Решение. Третью сторону находим по теореме косинусов $$ c = \sqrt{a^2 + b^2 — 2ab\bullet \cos \gamma} = \sqrt{144 + 64 — 2 \bullet 12 \bullet 8 \bullet 0,500 } = \sqrt{112} \approx 10,6 $$ Теперь, имея три стороны, по теореме косинусов находим косинус одного из неизвестных углов, например $\cos \alpha$ и сам угол $\alpha$ и, значит, угол $\beta$ : $$ \cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 — a^2}{2bc} \approx 0,189 \\ \text{откуда } \alpha \approx 79°\,; \\ \beta = 180° — \alpha — \gamma \approx 180° — 79° — 60° = 41° $$
Пример 3. В треугольнике даны две стороны a = 6, b = 8 и угол $\alpha = 30°$. Найти остальные два угла и третью сторону.
Решение. По теореме синусов имеем: $$ \sin \beta = \frac{b}{a} • \sin \alpha = \frac{8}{6} • \sin 30° = \frac{8}{6} • \frac{1}{2} \approx 0,667 $$
Этому значению синуса соответствуют два угла: $\beta _1 \approx 42°\text{ и }\beta _2 \approx 138°$ .
Рассмотрим сначала угол $\beta _1 = 42°$ . По нему находим третий угол $ \gamma _1 = 180° — \alpha — \beta \approx 108°$ и по теореме синусов третью сторону: $$ c = \frac{a \sin \gamma _1}{\sin \alpha} \approx 6 \bullet \frac{\sin 108^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} \approx 6 \bullet \frac{0,951}{0,500} \approx 11,4 $$ Аналогично по углу $ \beta _2 \approx 138°$ находим $\gamma _2 \approx 12°\text{ и }c_2 \approx 2,49$ .
Примечание. Видим, что эта задача в отличие от предыдущих имеет два решения. При других числовых данных, например при $\alpha \geqslant 90°$ , задача может иметь лишь одно решение или вовсе не иметь.
Пример 4. Даны три стороны треугольника: a = 2, b = 3, c = 4. Найти его углы.
Решение. Углы находятся по теореме косинусов: $$ \cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 — a^2}{2bc} = \frac{7}{8} = 0,875 $$ , откуда $\alpha \approx 29°$ .
Аналогично находится $\cos \beta = 0,688$ , откуда $\beta \approx 47°\text{ и }\gamma \approx 180° — 47° — 29° = 104°$ .
www.wiki.eduvdom.com
Тема урока: «Решение треугольников»
Разделы: Математика
Цель урока — повторение и систематизация изученного по теме “Треугольники”, решение треугольников; развитие элементов геометрического мышления, воспитание у учащихся интереса к знаниям.
Ход урока
1. Организационный момент.
Часто знает и дошкольник,
Что такое треугольник,
А уж вам-то, как не знать…
Но совсем другое дело —
Очень быстро и умело
Треугольники считать!
Например, в фигуре этой
Сколько разных? Рассмотри!
Все внимательно исследуй
И “по краю” и “внутри”.
2. Повторение пройденного.
Треугольник является одной из основных геометрических фигур. Многие из известных фигур (параллелограмм, трапеция и произвольный многоугольник) можно разбить на треугольники. Назовите их.
ABC, MNB, ABК, BКС, MBО, NBО.
Определите их вид.
а) Работа с сигнальными карточками.
Тест на определение истинности (ложности) утверждения и правильности формулировок определений
- В треугольнике против угла в 150° лежит большая сторона. (И)
- В равностороннем треугольнике внутренние углы равны между собой и каждый равен 60°.(И)
- Существует треугольник со сторонами: 2 см, 7 см, 3 см. (Л)
- Прямоугольный равнобедренный треугольник имеет равные катеты. (И)
- Если один из углов при основании равнобедренного треугольника равен 50°, то угол, лежащий против основания, равен 90°.(Л)
- Если острый угол прямоугольного треугольника равен 60°, то прилежащий к нему катет равен половине гипотенузы. (И)
- В равностороннем треугольнике все высоты равны. (И)
- Сумма длин двух сторон любого треугольника меньше третьей стороны. (Л)
- Существует треугольник с двумя тупыми углами. (Л)
- В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°.(И)
- Если сумма двух углов меньше 90°, то треугольник тупоугольный. (И)
б) Геометрический диктант (запись через копировку) с последующей проверкой.
- Один из углов прямоугольного треугольника равен 48°. Чему равен второй острый угол? (42°)
- В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 70 см, другая 26 см. Чему равна длина основания? (70 см)
- В треугольнике ABC угол В — наибольший. Какая из сторон треугольника наибольшая? (АС)
- Запишите теорему синусов. (=== 2R).
- Запишите теорему косинусов. (а 2 = в 2 + с2 – 2вс cos . Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними). Теорему косинусов называют иногда обобщенной теоремой Пифагора. Такое название объясняется тем, что теорема Пифагора содержится в теореме косинусов как частный случай.
в) Отработка формул.
Найдите ошибку в ответе товарища:
1) а2 = в2 + с2 + 2вc cos
2) в2 = а2 + с2 – 2вс cos
3) а2= а2 + с2 — 2ас sin
4)
5) 2R =
6) =2r
г) Физминутка.
3. Объяснение нового материала.
Вспомним содержание основных задач на решение прямоугольных треугольников. Решение данных задач основано на теореме Пифагора и понятиях sin a, cos а, tg а.
Коллективно намечаются условия четырех основных задач на решение прямоугольных треугольников. Вывешивается таблица “Решение прямоугольных треугольников”. (Данные элементы в таблице выделены красным цветом.)
Во всяком треугольнике есть 6 основных элементов: 3 стороны и 3 угла. В теме “Решение треугольников” ставится вопрос о том, как, зная одни из основных элементов, найти другие.
Решением треугольника называется нахождение всех его шести элементов (т. е. трех сторон и трех углов) по каким-нибудь трем данным элементам, определяющим треугольник.
Решение данных задач основано на использовании теорем синуса и косинуса, теоремы о сумме углов треугольника и следствии из теоремы синусов: в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол.
Причем, при вычислении углов треугольника предпочтительнее использовать теорему косинусов, а не теорему синусов.
Рассмотрим 3 задачи на решение треугольника:
- решение треугольника по двум сторонам и углу между ними;
- решение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам;
- решение треугольника по трем сторонам.
При этом будем пользоваться следующими обозначениями для сторон треугольника ABC: АВ = с, ВС =а, СА=b.
В тетрадях учащиеся оформляют таблицу-памятку.
Задача 1. Решение треугольника по стороне и двум углам.
Дано: а, ,. Найти: b, с, .
Единственность решения задачи вытекает из признака равенства треугольников.
= 180° — (+)
По теореме синусов =, значит, b=
=, значит, c=.
Задача 2. Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними.
Дано: а, b, . Найти: с, ,.
Единственность решения задачи вытекает из признака равенства треугольников.
Применим теорему косинусов с 2 = в 2 + а 2 – 2ав cos, значит, с=,
а 2 = в 2 + с2 – 2вс cos, значит, cos= ;
угол найдем по таблице Брадиса;= 180° — (+).
Задача 3. Решение треугольника по трем сторонам.
Дано: а, b, с. Найти: ,,.
Применим теорему косинусов а 2 = в 2 + с2 – 2вс cos, значит, cos= ,
угол найдем по таблице Брадиса;
с 2 = в 2 + а 2 – 2ав cos, значит, cos = ,
угол найдем по таблице Брадиса;= 180° — (+).
4. Решение задач.
Измерительные работы. Тригонометрические функции могут быть использованы для проведения различных измерительных работ на местности.
5. Подведение итогов.
6. Задание на дом.
Изучить материалы пунктов 96 – 99, решить любые 3 задачи:
Вычислите неизвестные элементы треугольника АВС:
№ |
а |
b |
c |
A |
B |
C |
1 |
3 |
2 |
60° |
|||
2 |
3 |
4 |
135° |
|||
3 |
2,4 | 1,3 |
28° |
|||
4 |
5 |
30° |
45° |
|||
5 |
2 |
4 |
60° |
|||
7 |
2 |
8 |
||||
7 |
12 |
36° |
25° |
|||
8 |
14 |
64° |
48° |
|||
9 |
3 |
5 |
60° |
|||
10 |
15 |
24 |
18 |
3.11.2005
urok.1sept.ru
Математика и гармония: Решение треугольников
В помощь девятиклассникам.
Решением треугольника называется нахождение всех его шести элементов (то есть трех сторон и трех углов) по каким-нибудь трем данным элементам, определяющим треугольник.
При решении треугольников используют теоремы синусов и косинусов, причем при вычислении углов треугольника предпочтительнее использовать теорему косинусов, а не теорему синусов.
Например, зная три стороны треугольника, для вычисления первого угла применяем теорему косинусов, а для вычисления второго угла можно использовать как ту, так и другую теоремы. Но поскольку синус угла равен синусу смежного с ним угла, то нахождение синуса угла еще не позволяет определить сам угол – он может быть острым или тупым. Если же вычислить косинус угла, то по его знаку и величине угол определяется однозначно. Надо помнить, что отрицательному значению косинуса соответствует тупой угол, а положительному значению — острый.
Рассмотрим три типа задач на решение треугольника. При этом будем пользоваться следующими обозначениями для сторон треугольника АВС: АВ = с; ВС = а; СА = b. Для каждой задачи привожу таблицу-памятку с формулами.Тип 1. Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними. По теореме косинусов находим величину третьей стороны. Далее, также по теореме косинусов, находим сначала косинус, а затем и величину одного из углов. Наконец, используя теорему о сумме углов треугольника, находим оставшийся угол.
Тип 2. Решение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам. Находим величину третьего угла по теореме о сумме углов треугольника. Далее, по теореме синусов находим величины двух других сторон треугольника.
Тип 3. Решение треугольника по трем сторонам. Используя теорему косинусов, находим последовательно величины двух любых углов треугольника. Третий угол находим, используя теорему о сумме углов треугольника.
reshyzadachy.blogspot.com
Решение прямоугольных треугольников [wiki.eduVdom.com]
Решить прямоугольный треугольник — значит вычислить все его стороны и углы по каким-либо данным, определяющим этот треугольник.
Рассмотрим основные случаи решения прямоугольного треугольника.
Задача 1. По гипотенузе и острому углу.
Дано: Гипотенуза c и острый угол A. Найти катеты a и b, острый угол В.
Решение. Имеем: $$ а = c\bullet\sin(А) \,\,;\,\, b = c\bullet\cos(A) \,\,;\,\, \angle\,В = 90^\circ — \angle\,А $$
Задача 2. По катету и острому углу.
Дано: а и $\angle\, А$. Найти с, b и $\angle\, В$.
Решение. Имеем: $$ с = \frac{a}{\sin A} \,\,;\,\, b = \frac{a}{{\rm tg}\, A} \,\,;\,\, \angle\,B = 90^\circ — \angle\,A $$
Задача 3. По гипотенузе и катету.
Дано: с и а. Найти $b,\, \angle\,А \,\text{и}\, \angle\,В$.
Решение. Имеем: $$ b = \sqrt{ c^2 — а^2 } \,\,;\,\, \sin А = \frac{a}{c} \,\,;\,\, \cos В = \frac{a}{c} $$
Задача 4. По двум катетам.
Дано: a и b. Найти $c, \angle\,A \,\text{и}\, \angle\,B$.
Решение. Имеем: $$ c = \sqrt{ a^2 + b^2 } \,\,;\,\, {\rm tg}\, A = \frac{a}{b} \,\,;\,\, {\rm tg}\, B = \frac{b}{a} $$
Пример 1. $c = 18,2\,, \angle\,А = 32^{\circ}{20}’$. Найти $а, b \,и\, \angle\,В$.
Решение. $$ а = 18,2 • \sin 32°20′ \approx 18,2 • 0,5349 \approx 9,74; \\ b = 18,2 • \cos 32°20′ \approx 18,2 • 0,8450 \approx 15,4; \\ \angle\,В = 90° — 32°20′ = 57°40′. $$
Пример 2. $а = 18\,, \angle\,А = 47°$. Найти $c, b \,и\, \angle\,B$.
Решение. $$ \angle\,В = 90° — 47° = 43°; \\ с = \frac{18}{\sin 47°} \approx \frac{18}{0,7314} \approx 24,61; \\ b = \frac{18}{\sin 47°} \approx \frac{18}{1,0724} \approx 18 \bullet 0,9325 \approx 24,61\,. $$
Пример 3. $с = 65\,, а = 16$. Найти $b\,, \angle\,А \,и\, \angle\,В$.
Решение. $$ b = \sqrt{65^2 — 16^2} = \sqrt{(65 + 16)(65 — 16)} = \sqrt{81 • 49} = 9 • 7 = 63; \\ \sin A = \frac{16}{65} \approx 0,2461 \,\, \text{, отсюда}\, \angle\,A \approx 14°15′ \\ \angle\,B \approx 90° — 14°15′ = 75°45’\,. $$
Пример 4. а = 12, b = 15. Найти $c, \angle\,А и \angle\,В$.
Решение. $$ c = \sqrt{l2^2 + 15^2} = \sqrt{144 + 225} = \sqrt{369} \approx 19,2; \\ {\rm tg}\, А = \frac{12}{15} = 0,8\,\,\text{, отсюда}\,\, \angle\,А \approx 38°39′ \\ \,и\, \angle\,В \approx 90° — 38°39′ = 51°21’\,. $$
www.wiki.eduvdom.com
Решение прямоугольного треугольника
Определение и формулы для решения прямоугольного треугольника
ОПРЕДЕЛЕНИЕ Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов прямой.Решение треугольников заключается в отыскании всех неизвестных сторон и всех неизвестных углов треугольника по известным данным.
В произвольном треугольнике для решения треугольников используют теорему синусов и терему косинусов.
Для решения прямоугольного треугольника используют определения основных тригонометрических функций через стороны треугольника.
В прямоугольном треугольнике с , гипотенузой и катетами и
Теорема Пифагора:
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1| Задание | В прямоугольном треугольнике с гипотенузой см и найти все неизвестные стороны и углы. |
| Решение | Рассмотрим прямоугольный треугольник . Поскольку известна длина гипотенузы и один из острых углов, то можно найти длины катетов:
Найдем величину угла :
|
| Ответ |
| Задание | В прямоугольном треугольнике со сторонами 3 см, 3 см и см найти величину острых углов. |
| Решение | Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами см, см и гипотенузой см. Поскольку две стороны треугольника равны, то этот треугольник является равнобедренным, т.е. его острые углы равны между собой. Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна , то на каждый из них приходится по . |
| Ответ |
ru.solverbook.com