N факториал 3 факториал – 3 n факториал — Таловская средняя школа

Содержание

3 n факториал

Вы искали 3 n факториал? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и n 1 факториал, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «3 n факториал».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как 3 n факториал,n 1 факториал,n 3 факториал,n факториал,n факториал формула,алгебра факториал,в математике факториал,выражения с факториалами,вычисление факториала,график факториала,действия с факториалами,действия с факториалами формулы,знак факториала,как вычислить факториал,как посчитать факториал числа,как решать факториал,как решать факториалы,математика факториал,примеры с факториалами,примеры факториал,решение факториалов,с факториал,свойства факториал,свойство факториала,уравнения с факториалами,формула n факториал,формула факториал,формула факториала,формулы с факториалами,формулы факториал,формулы факториала,формулы факториалов,формулы факториалы,что такое факториал. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и 3 n факториал. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь или введите в окно ввода ниже свой запрос (например, n 3 факториал).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же 3 n факториал Онлайн?

Решить задачу 3 n факториал вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на этой странице.

www.pocketteacher.ru

Факториал — Википедия

Факториа́л — функция, определённая на множестве неотрицательных целых чисел. Название происходит от лат. factorialis — действующий, производящий, умножающий; обозначается n!, произносится эн факториа́л. Факториал натурального числа

n определяется как произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно:

n!=1⋅2⋅…⋅n=∏k=1nk{\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot \ldots \cdot n=\prod _{k=1}^{n}k}.

Например,

5!=1⋅2⋅3⋅4⋅5=120{\displaystyle 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120}.

Из определения факториала следует соотношение (n−1)!=n!n{\displaystyle (n-1)!={\frac {n!}{n}}}, откуда при n=1{\displaystyle n=1} формально находим

0!=1{\displaystyle 0!=1}.

Последнее равенство обычно принимают в качестве соглашения, хотя, как показано выше, оно следует из определения факториала для натуральных чисел при условии, что все значения функции связаны единым рекуррентным соотношением.

Факториалы всех чисел составляют последовательность A000142 в OEIS; значения в научной нотации округляются
n	n!
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5040
8	40320
9	362880
10	3628800
11	39916800
12	479001600
13	6227020800
14	87178291200
15	1307674368000
16	20922789888000
17	355687428096000
18	6402373705728000
19	121645100408832000
20	2432902008176640000
25	≈1,551121004 × 10²⁵
50	≈3,041409320 × 10⁶⁴
70	≈1,197857167 × 10¹⁰⁰
100	≈9,332621544 × 10¹⁵⁷
450	≈1,733368733 × 10¹⁰⁰⁰
1000	≈4,023872601 × 10²⁵⁶⁷
3249	≈6,412337688 × 10¹⁰⁰⁰⁰
10000	≈2,846259681 × 10³⁵⁶⁵⁹
25206	≈1,205703438 × 10¹⁰⁰⁰⁰⁰
100000	≈2,824229408 × 10⁴⁵⁶⁵⁷³
205023	≈2,503898932 × 10^1000004
1000000	≈8,263931688 × 10^5565708
10¹⁰⁰	≈10^{9,956570552 × 10¹⁰¹}
10¹⁰⁰⁰	≈10^10¹⁰⁰³
10^10 000	≈10^{10^10 004}
10^100 000	≈10^{10^100 005}
10^10¹⁰⁰	≈10^{10^10¹⁰⁰}

Факториал активно используется в различных разделах математики: комбинаторике, математическом анализе, теории чисел, функциональном анализе и др.

Факториал является чрезвычайно быстро растущей функцией. Он растёт быстрее, чем любая показательная функция или любая степенная функция, а также быстрее, чем любая сумма произведений этих функций. Однако, степенно-показательная функция nn{\displaystyle n^{n}} растёт быстрее факториала, так же как и большинство двойных степенных, например een{\displaystyle e^{e^{n}}}.

Свойства

Рекуррентная формула

n!={1n=0,n⋅(n−1)!n>0.{\displaystyle n!={\begin{cases}1&n=0,\\n\cdot (n-1)!&n>0.\end{cases}}}

Комбинаторная интерпретация

В комбинаторике факториал натурального числа n интерпретируется как количество перестановок (упорядочиваний) множества из n элементов. Например, для множества {A,B,C,D} из 4-х элементов существует 4! = 24 перестановки:

ABCD  BACD  CABD  DABC
ABDC  BADC  CADB  DACB
ACBD  BCAD  CBAD  DBAC
ACDB  BCDA  CBDA  DBCA
ADBC  BDAC  CDAB  DCAB
ADCB  BDCA  CDBA  DCBA

Комбинаторная интерпретация факториала подтверждает целесообразность соглашения 0!=1{\displaystyle 0!=1}. Так, формула для числа размещений из n{\displaystyle n} элементов по m{\displaystyle m}

Anm=n!(n−m)!{\displaystyle A_{n}^{m}={\frac {n!}{(n-m)!}}}

при n=m{\displaystyle n=m} обращается в формулу для числа перестановок из n{\displaystyle n} элементов (порядка n{\displaystyle n}), которое равно n!{\displaystyle n!}.

Связь с гамма-функцией

Пи-функция, определённая для всех вещественных чисел, кроме отрицательных целых, и совпадающая при натуральных значениях аргумента с факториалом.

Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением

n!=Γ(n+1){\displaystyle n!=\Gamma (n+1)}.

Это же выражение используют для обобщения понятия факториала на множество вещественных чисел. Используя аналитическое продолжение гамма-функции, область определения факториала также расширяют на всю комплексную плоскость, исключая особые точки при n=−1,−2,−3…{\displaystyle n=-1,-2,-3\ldots }.

Непосредственным обобщением факториала на множества вещественных и комплексных чисел служит пи-функция Π(z)=Γ(z+1){\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)}, которая при Re(z)>−1{\displaystyle \mathrm {Re} (z)>-1} может быть определена как

Π(z)=∫0∞tze−tdt{\displaystyle \Pi (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z}e^{-t}\,\mathrm {d} t} (интегральное определение).

Пи-функция натурального числа или нуля совпадает с его факториалом: Π(n)=n!{\displaystyle \Pi (n)=n!}. Как и факториал, пи-функция удовлетворяет рекуррентному соотношению Π(z)=zΠ(z−1){\displaystyle \Pi (z)=z\Pi (z-1)}.

Формула Стирлинга

Формула Стирлинга — асимптотическая формула для вычисления факториала:

n!=2πn(ne)n(1+112n+1288n2−13951840n3−5712488320n4+163879209018880n5+524681975246796800n6+O(n−7)),{\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{12n}}+{\frac {1}{288n^{2}}}-{\frac {139}{51840n^{3}}}-{\frac {571}{2488320n^{4}}}+{\frac {163879}{209018880n^{5}}}+{\frac {5246819}{75246796800n^{6}}}+O\left(n^{-7}\right)\right),}

см. O-большое^[1].

Во многих случаях для приближённого значения факториала достаточно рассматривать только главный член формулы Стирлинга:

n!≈2πn(ne)n.{\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.}

При этом можно утверждать, что

2πn(ne)ne1/(12n+1)<n!<2πn(ne)ne1/(12n).{\displaystyle {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{1/(12n+1)}<n!<{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{1/(12n)}.}

Формула Стирлинга позволяет получить приближённые значения факториалов больших чисел без непосредственного перемножения последовательности натуральных чисел. Например, с помощью формулы Стирлинга легко подсчитать, что

100! ≈ 9,33×10¹⁵⁷;
1000! ≈ 4,02×10²⁵⁶⁷;
10 000! ≈ 2,85×10^35 659.

Разложение на простые числа

Каждое простое число p входит в разложение n! на простые множители в степени

⌊np⌋+⌊np2⌋+⌊np3⌋+….{\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{2}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{3}}}\right\rfloor +\ldots .}

Таким образом,

n!=∏pp⌊np⌋+⌊np2⌋+…,{\displaystyle n!=\prod _{p}p^{\lfloor {\frac {n}{p}}\rfloor +\lfloor {\frac {n}{p^{2}}}\rfloor +\ldots },}

где произведение берётся по всем простым числам. Можно заметить, что для всякого простого p большего n соответствующий множитель в произведении равен 1, следовательно произведение можно брать лишь по простым p, не превосходящим n.

Связь с производной от степенной функции

Для целого неотрицательного числа n:

(xn)(n)=n!{\displaystyle \left(x^{n}\right)^{(n)}=n!}

Например:

(x5)(5)=(5⋅x4)(4)=(5⋅4⋅x3)‴=(5⋅4⋅3⋅x2)″=(5⋅4⋅3⋅2⋅x)′=5⋅4⋅3⋅2⋅1=5!{\displaystyle \left(x^{5}\right)^{(5)}=\left(5\cdot x^{4}\right)^{(4)}=\left(5\cdot 4\cdot x^{3}\right)»’=\left(5\cdot 4\cdot 3\cdot x^{2}\right)»=\left(5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot x\right)’={5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=5!}

Другие свойства

Для натурального числа n:

n!2⩾nn⩾n!⩾n{\displaystyle n!^{2}\geqslant n^{n}\geqslant n!\geqslant n}

Для любого n>1:

n!{\displaystyle n!} не является квадратом целого числа.

Видео по теме

История

Факториальные выражения появились ещё в ранних исследованиях по комбинаторике, хотя компактное обозначение n!{\displaystyle n!} предложил французский математик Кристиан Крамп только в 1808 году^[2]. Важным этапом стало открытие формулы Стирлинга, которую Джеймс Стирлинг опубликовал в своём трактате «Дифференциальный метод» (лат. Methodus differentialis, 1730 год). Немного ранее почти такую же формулу опубликовал друг Стирлинга Абрахам де Муавр, но в менее завершённом виде (вместо коэффициента 2π{\displaystyle {\sqrt {2\pi }}} была неопределённая константа)^[3].

Стирлинг подробно исследовал свойства факториала, вплоть до выяснения вопроса о том, нельзя ли распространить это понятие на произвольные вещественные числа. Он описал несколько возможных путей к реализации этой идеи и высказал мнение, что:

(12)!=π2{\displaystyle \left({1 \over 2}\right)!={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}

Стирлинг не знал, что годом ранее решение проблемы уже нашёл Леонард Эйлер. В письме к Кристиану Гольдбаху Эйлер описал требуемое обобщение^[4]:

x!=limm→∞mxm!(x+1)(x+2)…(x+m){\displaystyle x!=\lim _{m\to \infty }{\frac {m^{x}m!}{(x+1)(x+2)\dots (x+m)}}}

Развивая эту идею, Эйлер в следующем, 1730 году ввёл понятие гамма-функции в виде классического интеграла. Эти результаты он опубликовал в журнале Санкт-Петербургской Академии наук в 1729—1730 годах.

Обобщения

Двойной факториал

Двойной факториал числа n обозначается n‼ и определяется как произведение всех натуральных чисел в отрезке [1,n], имеющих ту же чётность, что и n.

n!!=2⋅4⋅6⋅…⋅n=∏i=1n22i=21n2⋅(n2)!{\displaystyle n!!=2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot n=\prod _{i=1}^{\frac {n}{2}}2i=2^{{\color {white}1}^{\!\!\!\!{\frac {n}{2}}}}\cdot \left({\frac {n}{2}}\right)!}

Для нечётного n:

n!!=1⋅3⋅5⋅…⋅n=∏i=0n−12(2i+1)=n!21n−12⋅(n−12)!{\displaystyle n!!={1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot n}=\prod _{i=0}^{\frac {n-1}{2}}(2i+1)={\frac {n!}{2^{{\color {white}1}^{\!\!\!\!{\frac {n-1}{2}}}}\cdot \left({\frac {n-1}{2}}\right)!}}}

Связь между двойными факториалами двух соседних целых неотрицательных чисел и обычным факториалом одного из них.

n!!=(n+1)!(n+1)!!{\displaystyle n!!={\frac {(n+1)!}{(n+1)!!}}}

Для нечётного n:

n!!=n!(n−1)!!{\displaystyle n!!={\frac {n!}{(n-1)!!}}}

Выведение формул

Осуществив замену n=2k{\displaystyle n=2k} для чётного n и n=2k+1{\displaystyle n=2k+1} для нечётного n соответственно, где k{\displaystyle k} — целое неотрицательное число, получим:

для чётного числа:

(2k)!!=2⋅4⋅6⋅…⋅2k=∏i=1k2i=2k⋅k!{\displaystyle (2k)!!=2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot 2k=\prod _{i=1}^{k}2i=2^{k}\cdot k!}

для нечётного числа:

(2k+1)!!=1⋅3⋅5⋅…⋅(2k+1)=∏i=0k(2i+1)=(2k+1)!2k⋅k!{\displaystyle (2k+1)!!=1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2k+1)=\prod _{i=0}^{k}(2i+1)={\frac {(2k+1)!}{2^{k}\cdot k!}}}

По договорённости: 0!!=1{\displaystyle 0!!=1}. Также это равенство выполняется естественным образом:

0!!=20⋅0!=1⋅1=1{\displaystyle 0!!=2^{0}\cdot 0!=1\cdot 1=1}

Двойной факториал, также как и обычный факториал, определён только для целых неотрицательных чисел.

Последовательность значений n!! начинается так^[5]:

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, 10 395, 46 080, 135 135, 645 120, 2 027 025, 10 321 920, 34 459 425, 185 794 560, 654 729 075, 3 715 891 200, 13 749 310 575, 81 749 606 400, 316 234 143 225, 1 961 990 553 600, 7 905 853 580 625, 51 011 754 393 600, …

Кратный факториал

m-кратный факториал числа n обозначается n!!…!⏟m{\displaystyle \textstyle n\underbrace {!!\ldots !} _{m}} и определяется следующим образом. Пусть число n представимо в виде n=mk−r,{\displaystyle n=mk-r,} где k∈Z,{\displaystyle k\in \mathbb {Z} ,} r∈{0,1,…,m−1}.{\displaystyle r\in \{0,1,\ldots ,m-1\}.} Тогда^[6]

n!!…!⏟m=∏i=1k(mi−r){\displaystyle n\underbrace {!!\ldots !} _{m}=\prod _{i=1}^{k}(mi-r)}

Обычный и двойной факториалы являются частными случаями m-кратного факториала для m = 1 и m = 2 соответственно.

Кратный факториал связан с гамма-функцией следующим соотношением^[7]:

n!!…!⏟m=∏i=1k(mi−r)=mk⋅Γ(k−rm+1)Γ(1−rm).{\displaystyle n\underbrace {!!\ldots !} _{m}=\prod _{i=1}^{k}(mi-r)=m^{k}\cdot {\frac {\Gamma \left(k-{\frac {r}{m}}+1\right)}{\Gamma \left(1-{\frac {r}{m}}\right)}}.}

Неполный факториал

Убывающий факториал

Убывающим факториалом называется выражение

(n)k=nk_=n[k]=n⋅(n−1)⋅…⋅(n−k+1)=n!(n−k)!=∏i=n−k+1ni{\displaystyle (n)_{k}=n^{\underline {k}}=n^{[k]}=n\cdot (n-1)\cdot \ldots \cdot (n-k+1)={\frac {n!}{(n-k)!}}=\prod _{i=n-k+1}^{n}i}.

Например:

n = 7; k = 4,

(n − k) + 1 = 4,

n^k = 7 • 6 • 5 • 4 = 840.

Убывающий факториал даёт число размещений из n по k.

Возрастающий факториал

Возрастающим факториалом называется выражение

n(k)=nk¯=n⋅(n+1)⋅…⋅(n+k−1)=(n+k−1)!(n−1)!=∏i=n(n+k)−1i.{\displaystyle n^{(k)}=n^{\overline {k}}=n\cdot (n+1)\cdot \ldots \cdot (n+k-1)={\frac {(n+k-1)!}{(n-1)!}}=\prod _{i=n}^{(n+k)-1}i.}

Праймориал или примориал

Праймориал или примориал (англ. primorial) числа n обозначается p_n# и определяется как произведение n первых простых чисел. Например,

p5#=2×3×5×7×11=2310{\displaystyle p_{5}\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310}.

Иногда праймориалом называют число n#{\displaystyle n\#}, определяемое как произведение всех простых чисел, не превышающих заданное n.

Последовательность праймориалов (включая 1#≡1{\displaystyle {\textstyle {1\#\equiv 1}}}) начинается так^[8]:

1, 2, 6, 30, 210, 2310, 30 030, 510 510, 9 699 690, 223 092 870, 6 469 693 230, 200 560 490 130, 7 420 738 134 810, 304 250 263 527 210, 13 082 761 331 670 030, 614 889 782 588 491 410, 32 589 158 477 190 044 730, 1 922 760 350 154 212 639 070, …

Суперфакториалы

Нейл Слоан и Симон Плуффэ (англ.) в 1995 году определили суперфакториал как произведение первых n факториалов. Согласно этому определению, суперфакториал четырёх равен

sf⁡(4)=1!×2!×3!×4!=288{\displaystyle \operatorname {sf} (4)=1!\times 2!\times 3!\times 4!=288}

(поскольку устоявшегося обозначения нет, используется функциональное).

В общем

sf⁡(n)=∏k=1nk!=∏k=1nkn−k+1=1n⋅2n−1⋅3n−2⋯(n−1)2⋅n1.{\displaystyle \operatorname {sf} (n)=\prod _{k=1}^{n}k!=\prod _{k=1}^{n}k^{n-k+1}=1^{n}\cdot 2^{n-1}\cdot 3^{n-2}\cdots (n-1)^{2}\cdot n^{1}.}

Последовательность суперфакториалов чисел n⩾0{\displaystyle n\geqslant 0} начинается так^[9]:

1, 1, 2, 12, 288, 34 560, 24 883 200, 125 411 328 000, 5 056 584 744 960 000, 1 834 933 472 251 084 800 000, 6 658 606 584 104 736 522 240 000 000, 265 790 267 296 391 946 810 949 632 000 000 000, 127 313 963 299 399 416 749 559 771 247 411 200 000 000 000, …

Идея была обобщена в 2000 году Генри Боттомли (англ.), что привело к гиперфакториалам (англ. Hyperfactorial), которые являются произведением первых n суперфакториалов. Последовательность гиперфакториалов чисел n⩾0{\displaystyle n\geqslant 0} начинается так^[10]:

1, 1, 2, 24, 6912, 238 878 720, 5 944 066 965 504 000, 745 453 331 864 786 829 312 000 000, 3 769 447 945 987 085 350 501 386 572 267 520 000 000 000, 6 916 686 207 999 802 072 984 424 331 678 589 933 649 915 805 696 000 000 000 000 000, …

Продолжая рекуррентно, можно определить факториал кратного уровня, или m-уровневый факториал числа n, как произведение (m − 1)-уровневых факториалов чисел от 1 до n, то есть

mf⁡(n,m)=mf⁡(n−1,m)mf⁡(n,m−1)=∏k=1nk(n−k+m−1n−k),{\displaystyle \operatorname {mf} (n,m)=\operatorname {mf} (n-1,m)\operatorname {mf} (n,m-1)=\prod _{k=1}^{n}k^{n-k+m-1 \choose n-k},}

где mf⁡(n,0)=n{\displaystyle \operatorname {mf} (n,0)=n} для n>0{\displaystyle n>0} и mf⁡(0,m)=1.{\displaystyle \operatorname {mf} (0,m)=1.}

Субфакториал

Субфакториал !n определяется как количество беспорядков порядка n, то есть перестановок n-элементного множества без неподвижных точек.

См. также

Примечания

↑ Коэффициенты этого разложения дают A001163 (числители) и A001164 (знаменатели)
↑ Крамп, Кристиан
↑ Pearson, Karl (1924), «Historical note on the origin of the normal curve of errors», Biometrika Т. 16: 402–404 [p. 403], DOI 10.2307/2331714 : «Стирлинг лишь показал, что арифметическая константа в формуле Муавра равна 2π{\displaystyle {\sqrt {2\pi }}}. Я считаю, что это не делает его автором теоремы»
↑ Дональд Кнут. Искусство программирования, том I. Основные алгоритмы. — М.: Мир, 1976. — С. 79—81. — 736 с.
↑ Последовательность A006882 в OEIS
↑ «Энциклопедия для детей» Аванта+. Математика.
↑ wolframalpha.com.
↑ Последовательность A002110 в OEIS
↑ Последовательность A000178 в OEIS
↑ Последовательность A055462 в OEIS

wiki2.red

Обратный факториал Википедия

n!=1⋅2⋅…⋅n=∏k=1nk{\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot \ldots \cdot n=\prod _{k=1}^{n}k}.

Например,

5!=1⋅2⋅3⋅4⋅5=120{\displaystyle 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120}.

0!=1{\displaystyle 0!=1}.

Факториалы всех чисел составляют последовательность A000142 в OEIS; значения в научной нотации округляются
n	n!
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5040
8	40320
9	362880
10	3628800
11	39916800
12	479001600
13	6227020800
14	87178291200
15	1307674368000
16	20922789888000
17	355687428096000
18	6402373705728000
19	121645100408832000
20	2432902008176640000
25	≈1,551121004⋅10²⁵
50	≈3,041409320⋅10⁶⁴
70	≈1,197857167⋅10¹⁰⁰
100	≈9,332621544⋅10¹⁵⁷
450	≈1,733368733⋅10¹⁰⁰⁰
1000	≈4,023872601⋅10²⁵⁶⁷
3249	≈6,412337688⋅10¹⁰⁰⁰⁰
10000	≈2,846259681⋅10³⁵⁶⁵⁹
25206	≈1,205703438⋅10¹⁰⁰⁰⁰⁰
100000	≈2,824229408⋅10⁴⁵⁶⁵⁷³
205023	≈2,503898932⋅10^1000004
1000000	≈8,263931688⋅10^5565708
10¹⁰⁰	≈10^{9,956570552⋅10¹⁰¹}
10¹⁰⁰⁰	≈10^10¹⁰⁰³
10^10 000	≈10^{10^10 004}
10^100 000	≈10^{10^100 005}
10^10¹⁰⁰	≈10^{10^10¹⁰⁰}

Факториал активно используется в различных разделах математики: комбинаторике, математическом анализе,

ru-wiki.ru

Двойной факториал Википедия

n!=1⋅2⋅…⋅n=∏k=1nk{\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot \ldots \cdot n=\prod _{k=1}^{n}k}.

Например,

5!=1⋅2⋅3⋅4⋅5=120{\displaystyle 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120}.

0!=1{\displaystyle 0!=1}.

Факториалы всех чисел составляют последовательность A000142 в OEIS; значения в научной нотации округляются
n	n!
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5040
8	40320
9	362880
10	3628800
11	39916800
12	479001600
13	6227020800
14	87178291200
15	1307674368000
16	20922789888000
17	355687428096000
18	6402373705728000
19	121645100408832000
20	2432902008176640000
25	≈1,551121004⋅10²⁵
50	≈3,041409320⋅10⁶⁴
70	≈1,197857167⋅10¹⁰⁰
100	≈9,332621544⋅10¹⁵⁷
450	≈1,733368733⋅10¹⁰⁰⁰
1000	≈4,023872601⋅10²⁵⁶⁷
3249	≈6,412337688⋅10¹⁰⁰⁰⁰
10000	≈2,846259681⋅10³⁵⁶⁵⁹
25206	≈1,205703438⋅10¹⁰⁰⁰⁰⁰
100000	≈2,824229408⋅10⁴⁵⁶⁵⁷³
205023	≈2,503898932⋅10^1000004
1000000	≈8,263931688⋅10^5565708
10¹⁰⁰	≈10^{9,956570552⋅10¹⁰¹}
10¹⁰⁰⁰	≈10^10¹⁰⁰³
10^10 000	≈10^{10^10 004}
10^100 000	≈10^{10^100 005}
10^10¹⁰⁰	≈10^{10^10¹⁰⁰}

Свойства

Рекуррентная формула

Факториал может быть задан следующей рекуррентной формулой:

n!={1n=0,n⋅(n−1)!n>0.{\displaystyle n!={\begin{cases}1&n=0,\\n\cdot (n-1)!&n>0.\end{cases}}}

Комбинаторная интерпретация

ABCD  BACD  CABD  DABC
ABDC  BADC  CADB  DACB
ACBD  BCAD  CBAD  DBAC
ACDB  BCDA  CBDA  DBCA
ADBC  BDAC  CDAB  DCAB
ADCB  BDCA  CDBA  DCBA

Комбинаторная интерпретация факториала подтверждает целесообразность соглашения 0!=1{\displaystyle 0!=1} — количество перестановок пустого множества равно единице. Кроме того, формула для числа размещений из n{\displaystyle n} элементов по m{\displaystyle m}

Anm=n!(n−m)!{\displaystyle A_{n}^{m}={\frac {n!}{(n-m)!}}}

Связь с гамма-функцией

Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением

n!=Γ(n+1){\displaystyle n!=\Gamma (n+1)}.

Π(z)=∫0∞tze−tdt{\displaystyle \Pi (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z}e^{-t}\,\mathrm {d} t} (интегральное определение).

Формула Стирлинга

Формула Стирлинга — асимптотическая формула для вычисления факториала:

см. O-большое^[1].

Во многих случаях для приближённого вычисления факториала достаточно рассматривать только главный член формулы Стирлинга:

n!≈2πn(ne)n.{\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.}

При этом можно утверждать, что

2πn(ne)ne1/(12n+1)<n!<2πn(ne)ne1/(12n).{\displaystyle {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{1/(12n+1)}<n!<{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{1/(12n)}.}

100! ≈ 9,33×10¹⁵⁷;
1000! ≈ 4,02×10²⁵⁶⁷;
10 000! ≈ 2,85×10^35 659.

Разложение на простые числа

Каждое простое число p входит в разложение n! на простые множители в степени

⌊np⌋+⌊np2⌋+⌊np3⌋+….{\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{2}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{3}}}\right\rfloor +\ldots .}

Таким образом,

n!=∏pp⌊np⌋+⌊np2⌋+…,{\displaystyle n!=\prod _{p}p^{\lfloor {\frac {n}{p}}\rfloor +\lfloor {\frac {n}{p^{2}}}\rfloor +\ldots },}

где произведение берётся по всем простым числам. Можно заметить, что для всякого простого p большего n соответствующий множитель в произведении равен 1; следовательно, произведение можно брать лишь по простым p, не превосходящим n.

Связь с производной от степенной функции

Для целого неотрицательного числа n:

(xn)(n)=n!{\displaystyle \left(x^{n}\right)^{(n)}=n!}

Например:

Другие свойства

Для натурального числа n:

n!2⩾nn⩾n!⩾n{\displaystyle n!^{2}\geqslant n^{n}\geqslant n!\geqslant n}

Для любого n>1:

n!{\displaystyle n!} не является квадратом целого числа.

История

(12)!=π2{\displaystyle \left({1 \over 2}\right)!={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}

x!=limm→∞mxm!(x+1)(x+2)…(x+m){\displaystyle x!=\lim _{m\to \infty }{\frac {m^{x}m!}{(x+1)(x+2)\dots (x+m)}}}

Обобщения

Двойной факториал

Для нечётного n:

n!!=(n+1)!(n+1)!!{\displaystyle n!!={\frac {(n+1)!}{(n+1)!!}}}

Для нечётного n:

n!!=n!(n−1)!!{\displaystyle n!!={\frac {n!}{(n-1)!!}}}

Выведение формул

для чётного числа:

(2k)!!=2⋅4⋅6⋅…⋅2k=∏i=1k2i=2k⋅k!{\displaystyle (2k)!!=2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot 2k=\prod _{i=1}^{k}2i=2^{k}\cdot k!}

для нечётного числа:

(2k+1)!!=1⋅3⋅5⋅…⋅(2k+1)=∏i=0k(2i+1)=(2k+1)!2k⋅k!{\displaystyle (2k+1)!!=1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2k+1)=\prod _{i=0}^{k}(2i+1)={\frac {(2k+1)!}{2^{k}\cdot k!}}}

По договорённости: 0!!=1{\displaystyle 0!!=1}. Также это равенство выполняется естественным образом:

0!!=20⋅0!=1⋅1=1{\displaystyle 0!!=2^{0}\cdot 0!=1\cdot 1=1}

Двойной факториал, также как и обычный факториал, определён только для целых неотрицательных чисел.

Последовательность значений n!! начинается так^[5]:

Кратный факториал

n!!…!⏟m=∏i=1k(mi−r){\displaystyle n\underbrace {!!\ldots !} _{m}=\prod _{i=1}^{k}(mi-r)}

Обычный и двойной факториалы являются частными случаями m-кратного факториала для m = 1 и m = 2 соответственно.

Кратный факториал связан с гамма-функцией следующим соотношением^[7]:

Неполный факториал

Убывающий факториал

Убывающим факториалом называется выражение

Например:

n = 7; k = 4,

(n − k) + 1 = 4,

n^k = 7 • 6 • 5 • 4 = 840.

Убывающий факториал даёт число размещений из n по k.

Возрастающий факториал

Возрастающим факториалом называется выражение

Праймориал или примориал

p5#=2×3×5×7×11=2310{\displaystyle p_{5}\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310}.

Последовательность праймориалов (включая 1#≡1{\displaystyle {\textstyle {1\#\equiv 1}}}) начинается так^[8]:

Суперфакториалы

sf⁡(4)=1!×2!×3!×4!=288{\displaystyle \operatorname {sf} (4)=1!\times 2!\times 3!\times 4!=288}

(поскольку устоявшегося обозначения нет, используется функциональное).

В общем

Последовательность суперфакториалов чисел n⩾0{\displaystyle n\geqslant 0} начинается так^[9]:

где mf⁡(n,0)=n{\displaystyle \operatorname {mf} (n,0)=n} для n>0{\displaystyle n>0} и mf⁡(0,m)=1.{\displaystyle \operatorname {mf} (0,m)=1.}

Субфакториал

См. также

Примечания

↑ Коэффициенты этого разложения дают A001163 (числители) и A001164 (знаменатели)
↑ Крамп, Кристиан
↑ Pearson, Karl (1924), «Historical note on the origin of the normal curve of errors», Biometrika Т. 16: 402–404 [p. 403], DOI 10.2307/2331714 : «Стирлинг лишь показал, что арифметическая константа в формуле Муавра равна 2π{\displaystyle {\sqrt {2\pi }}}. Я считаю, что это не делает его автором теоремы»
↑ Дональд Кнут. Искусство программирования, том I. Основные алгоритмы. — М.: Мир, 1976. — С. 79—81. — 736 с.
↑ Последовательность A006882 в OEIS
↑ «Энциклопедия для детей» Аванта+. Математика.
↑ wolframalpha.com.
↑ Последовательность A002110 в OEIS
↑ Последовательность A000178 в OEIS
↑ Последовательность A055462 в OEIS


Плюс (+) Минус (−) Знак умножения (· или ×) Знак деления (: или /) Обелюс (÷) Знак корня (√) Факториал (!) Знак интеграла (∫) Набла (∇) Знак равенства (=, ≈, ≡ и др.) Знаки неравенства (≠, >, < и др.) Пропорциональность (∝) Скобки (( ), [ ], ⌈ ⌉, ⌊ ⌋, { }, ⟨ ⟩) Вертикальная черта (\|) Косая черта, слеш (/) Обратная косая черта, бэкслеш (\) Знак бесконечности (∞) Знак градуса (°) Штрих (

Плюс (+)
Минус (−)
Знак умножения (· или ×)
Знак деления (: или /)
Обелюс (÷)
Знак корня (√)
Факториал (!)
Знак интеграла (∫)
Набла (∇)
Знак равенства (=, ≈, ≡ и др.)
Знаки неравенства (≠, >, < и др.)
Пропорциональность (∝)
Скобки (( ), [ ], ⌈ ⌉, ⌊ ⌋, { }, ⟨ ⟩)
Вертикальная черта (|)
Косая черта, слеш (/)
Обратная косая черта, бэкслеш (\)
Знак бесконечности (∞)
Знак градуса (°)
Штрих (

wikiredia.ru

Двойной факториал Википедия

n!=1⋅2⋅…⋅n=∏k=1nk{\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot \ldots \cdot n=\prod _{k=1}^{n}k}.

Например,

5!=1⋅2⋅3⋅4⋅5=120{\displaystyle 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120}.

0!=1{\displaystyle 0!=1}.

Факториалы всех чисел составляют последовательность A000142 в OEIS; значения в научной нотации округляются
n	n!
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5040
8	40320
9	362880
10	3628800
11	39916800
12	479001600
13	6227020800
14	87178291200
15	1307674368000
16	20922789888000
17	355687428096000
18	6402373705728000
19	121645100408832000
20	2432902008176640000
25	≈1,551121004⋅10²⁵
50	≈3,041409320⋅10⁶⁴
70	≈1,197857167⋅10¹⁰⁰
100	≈9,332621544⋅10¹⁵⁷
450	≈1,733368733⋅10¹⁰⁰⁰
1000	≈4,023872601⋅10²⁵⁶⁷
3249	≈6,412337688⋅10¹⁰⁰⁰⁰
10000	≈2,846259681⋅10³⁵⁶⁵⁹
25206	≈1,205703438⋅10¹⁰⁰⁰⁰⁰
100000	≈2,824229408⋅10⁴⁵⁶⁵⁷³
205023	≈2,503898932⋅10^1000004
1000000	≈8,263931688⋅10^5565708
10¹⁰⁰	≈10^{9,956570552⋅10¹⁰¹}
10¹⁰⁰⁰	≈10^10¹⁰⁰³
10^10 000	≈10^{10^10 004}
10^100 000	≈10^{10^100 005}
10^10¹⁰⁰	≈10^{10^10¹⁰⁰}

Факториал активно используется в различных разделах математики: комбинаторике, математическом анализе,

ru-wiki.ru

Факториал — Википедия

Факториа́л числа n (лат. factorialis — действующий, производящий, умножающий; обозначается n!, произносится эн факториа́л) — произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно:

Например:

По договорённости: . Также это равенство выполняется естественным образом:

Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.

Последовательность факториалов неотрицательных целых чисел начинается так^[1]:

1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40 320, 362 880, 3 628 800, 39 916 800, 479 001 600, 6 227 020 800, 87 178 291 200, 1 307 674 368 000, 20 922 789 888 000, 355 687 428 096 000, 6 402 373 705 728 000, 121 645 100 408 832 000, 2 432 902 008 176 640 000, …

Факториалы часто используются в комбинаторике, теории чисел и функциональном анализе.

Факториал является чрезвычайно быстро растущей функцией. Он растёт быстрее, чем многочлен любой степени, и быстрее, чем экспоненциальная функция (но медленнее, чем двойная экспоненциальная функция ).

Рекуррентная формула[править]

Комбинаторная интерпретация[править]

ABCD  BACD  CABD  DABC
ABDC  BADC  CADB  DACB
ACBD  BCAD  CBAD  DBAC
ACDB  BCDA  CBDA  DBCA
ADBC  BDAC  CDAB  DCAB
ADCB  BDCA  CDBA  DCBA

Комбинаторная интерпретация факториала служит обоснованием тождества 0! = 1, так как пустое множество упорядочено единственным способом.

Связь с гамма-функцией[править]

Амплитуда и фаза факториала комплексного аргумента.

Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением:

Таким образом, гамма-функцию рассматривают как обобщение факториала для положительных вещественных чисел.

Путём аналитического продолжения её также расширяют и на всю комплексную плоскость, исключая особые точки при .

Более непосредственным обобщением факториала на множество вещественных (и комплексных) чисел является пи-функция, определяемая как

Поскольку то пи-функция натурального числа совпадает с его факториалом: Как факториал, пи-функция удовлетворяет рекурсивному соотношению

Формула Стирлинга[править]

Формула Стирлинга — асимптотическая формула для вычисления факториала:

см. O-большое^[2].

При этом можно утверждать, что

Формула Стирлинга позволяет получить приближённые значения факториалов больших чисел без непосредственного перемножения последовательности натуральных чисел. Так, с помощью формулы Стирлинга легко подсчитать, что

100! ≈ 9,33×10¹⁵⁷;
1000! ≈ 4,02×10²⁵⁶⁷;
10 000! ≈ 2,85×10^35 659.

Разложение на простые числа[править]

Каждое простое число p входит в разложение n! на простые множители в степени

Таким образом,

где произведение берётся по всем простым числам. Нетрудно видеть, что для всякого простого p большего n соответствующий множитель в произведении равен 1, а потому произведение можно брать лишь по простым p, не превосходящим n.

Связь с производной от степенной функции[править]

Для целого неотрицательного числа n

Например:

Другие свойства[править]

Для натурального числа n:

Двойной факториал[править]

Для нечётного n:

Для нечётного n:

Выведение формул

Осуществив замену для чётного n и для нечётного n соответственно, где — целое неотрицательное число, получим:

для чётного числа:

для нечётного числа:

По договорённости: . Также это равенство выполняется естественным образом:

</div></div>

Двойной факториал, также как и обычный факториал, определён только для целых неотрицательных чисел.

Последовательность значений n!! начинается так^[3]:

Кратный факториал[править]

m-кратный факториал числа n обозначается и определяется следующим образом. Пусть число n представимо в виде где Тогда^[4]

Обычный и двойной факториалы являются частными случаями m-кратного факториала для m = 1 и m = 2 соответственно.

Кратный факториал связан с гамма-функцией следующим соотношением^[5]:

Неполный факториал[править]

Убывающий факториал[править]

Убывающим факториалом называется выражение

Например:

n = 7; k = 4,

(n − k) + 1 = 4,

3^k = 7 • 6 • 5 • 4 = 840.

Убывающий факториал даёт число размещений из n по k.

Возрастающий факториал[править]

Возрастающим факториалом называется выражение

Праймориал или примориал[править]

Праймориал или примориал (англ. primorial) числа n обозначается p_n# и определяется как произведение n первых простых чисел. Например,

Иногда праймориалом называют число , определяемое как произведение всех простых чисел, не превышающих заданное n.

Последовательность праймориалов (включая ) начинается так^[6]:

Суперфакториалы[править]

Нейл Слоан и Саймон Плоуф (англ.) в 1995 году определили суперфакториал как произведение первых n факториалов. Согласно этому определению, суперфакториал четырёх равен

(поскольку устоявшегося обозначения нет, используется функциональное).

В общем

Последовательность суперфакториалов чисел начинается так^[7]:

1, 1, 2, 12, 288, 34 560, 24 883 200, …

Идея была обобщена в 2000 году Генри Боттомли (англ.), что привело к гиперфакториалам (англ. Superduperfactorial), которые являются произведением первых n суперфакториалов. Последовательность гиперфакториалов чисел начинается так^[8]:

где для и

Субфакториал[править]

www.wikiznanie.ru

Факториал — Википедия

Например:

По договорённости: . Также это равенство выполняется естественным образом:

Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.

Последовательность факториалов неотрицательных целых чисел начинается так^[1]:

Факториалы часто используются в комбинаторике, теории чисел и функциональном анализе.

Рекуррентная формула[править]

Комбинаторная интерпретация[править]

ABCD  BACD  CABD  DABC
ABDC  BADC  CADB  DACB
ACBD  BCAD  CBAD  DBAC
ACDB  BCDA  CBDA  DBCA
ADBC  BDAC  CDAB  DCAB
ADCB  BDCA  CDBA  DCBA

Связь с гамма-функцией[править]

Амплитуда и фаза факториала комплексного аргумента.

Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением:

Таким образом, гамма-функцию рассматривают как обобщение факториала для положительных вещественных чисел.

Формула Стирлинга[править]

Формула Стирлинга — асимптотическая формула для вычисления факториала:

см. O-большое^[2].

При этом можно утверждать, что

100! ≈ 9,33×10¹⁵⁷;
1000! ≈ 4,02×10²⁵⁶⁷;
10 000! ≈ 2,85×10^35 659.

Разложение на простые числа[править]

Каждое простое число p входит в разложение n! на простые множители в степени

Таким образом,

Связь с производной от степенной функции[править]

Для целого неотрицательного числа n:

Например:

Другие свойства[править]

Для натурального числа n:

Двойной факториал[править]

Для нечётного n:

Для нечётного n:

Выведение формул

Осуществив замену для чётного n и для нечётного n соответственно, где — целое неотрицательное число, получим:

для чётного числа:

для нечётного числа:

По договорённости: . Также это равенство выполняется естественным образом:

</div></div>

Двойной факториал, также как и обычный факториал, определён только для целых неотрицательных чисел.

Последовательность значений n!! начинается так^[3]:

Кратный факториал[править]

Обычный и двойной факториалы являются частными случаями m-кратного факториала для m = 1 и m = 2 соответственно.

Кратный факториал связан с гамма-функцией следующим соотношением^[5]:

Неполный факториал[править]

Убывающий факториал[править]

Убывающим факториалом называется выражение

Например:

n = 7; k = 4,

(n − k) + 1 = 4,

3^k = 7 • 6 • 5 • 4 = 840.

Убывающий факториал даёт число размещений из n по k.

Возрастающий факториал[править]

Возрастающим факториалом называется выражение

Праймориал или примориал[править]

Последовательность праймориалов (включая ) начинается так^[6]:

Суперфакториалы[править]

(поскольку устоявшегося обозначения нет, используется функциональное).

В общем

Последовательность суперфакториалов чисел начинается так^[7]:

1, 1, 2, 12, 288, 34 560, 24 883 200, …

где для и

3 n факториал

Где можно решить любую задачу по математике, а так же 3 n факториал Онлайн?

Факториал — Википедия

Свойства

Рекуррентная формула

Комбинаторная интерпретация

Связь с гамма-функцией

Формула Стирлинга

Разложение на простые числа

Связь с производной от степенной функции

Другие свойства

Видео по теме

История

Обобщения

Двойной факториал

Кратный факториал

Неполный факториал

Убывающий факториал

Возрастающий факториал

Праймориал или примориал

Суперфакториалы

Субфакториал

См. также

Примечания

Обратный факториал Википедия

Двойной факториал Википедия

Свойства

Рекуррентная формула

Комбинаторная интерпретация

Связь с гамма-функцией

Формула Стирлинга

Разложение на простые числа

Связь с производной от степенной функции

Другие свойства

История

Обобщения

Двойной факториал

Кратный факториал

Неполный факториал

Убывающий факториал

Возрастающий факториал

Праймориал или примориал

Суперфакториалы

Субфакториал

См. также

Примечания

Двойной факториал Википедия

Факториал — Википедия

Рекуррентная формула[править]

Комбинаторная интерпретация[править]

Связь с гамма-функцией[править]

Формула Стирлинга[править]

Разложение на простые числа[править]

Связь с производной от степенной функции[править]

Другие свойства[править]

Двойной факториал[править]

Кратный факториал[править]

Неполный факториал[править]

Убывающий факториал[править]

Возрастающий факториал[править]

Праймориал или примориал[править]

Суперфакториалы[править]

Субфакториал[править]

Факториал — Википедия

Рекуррентная формула[править]

Комбинаторная интерпретация[править]

Связь с гамма-функцией[править]

Формула Стирлинга[править]

Разложение на простые числа[править]

Связь с производной от степенной функции[править]

Другие свойства[править]

Двойной факториал[править]

Кратный факториал[править]

Неполный факториал[править]

Убывающий факториал[править]

Возрастающий факториал[править]

Праймориал или примориал[править]

Суперфакториалы[править]

Субфакториал[править]

Добавить комментарий Отменить ответ