Комплексные числа возведение в степень – . .

Возведение в степень комплексного числа — энциклопедический справочник и словарь для студента от А до Я

Наиболее удобно поднять до степенных комплексных чисел, записанных в экспоненциальной или тригонометрической форме.

Экспоненциальность в экспоненциальной форме

Для поднятия до степени комплексных чисел формула истинна в экспоненциальной форме:

ПРИМЕР

  • Задание

    Возвести число в квадрат

  • Решение.

    Модуль комплексного числа равен Поэтому квадрат числа равен:

  • Ответ

    Экспоненциальность в тригонометрической форме

    Обычно комплексные числа обычно поднимаются до степени тригонометрической формы, для которой справедлива формула Моиварда:

    Эта формула непосредственно вытекает из формулы Эйлера, связывающей тригонометрическую и экспоненциальную функции , поскольку

    Примеры решения проблем

    ПРИМЕР 1

  • Задание

    Возвести в квадрат число

  • Решение.

    Применяя формулу Мойвра для квадрата числа и формулы, описанные выше, получаем:

  • Ответ

    ПРИМЕР 2

  • Задание

    Возвести в 10-й степень число z = 1 + i.

  • Решение.

    Начнем с того, что мы выражаем комплексное число в тригонометрической форме.

    Вещественной частью комплексного числа z = 1 + i является число x = Re z = 1; мнимая часть равна y = Im z = 1. Чтобы найти тригонометрическую форму написания комплексного числа, вам нужно найти его модуль и аргумент.

    Модуль комплексного числа z является числом . Аргумент вычисляется по формуле:

    Следовательно, тригонометрическая форма комплексного числа:

    Применяя формулу Моиварда: для возведения в степень, получаем:

  • Ответ

  • sciterm.ru

    Возведение комплексных чисел в степень

    Поиск Лекций

    Начнем со всем любимого квадрата.

    Пример 9

    Возвести в квадрат комплексное число

    Здесь можно пойти двумя путями, первый способ это переписать степень как произведение множителей и перемножить числа по правилу умножения многочленов.

    Второй способ состоит в применение известной школьной формулы сокращенного умножения :

    Для комплексного числа легко вывести свою формулу сокращенного умножения:
    . Аналогичную формулу можно вывести для квадрата разности, а также для куба сумма и куба разности. Но эти формулы более актуальны длязадач комплексного анализа, поэтому на данном уроке я воздержусь от подробных выкладок.

    Что делать, если комплексное число нужно возвести, скажем, в 5-ую, 10-ую или 100-ую степень? Ясно, что в алгебраической форме проделать такой трюк практически невозможно, действительно, подумайте, как вы будете решать пример вроде ?

    И здесь на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа и, так называемая, формула Муавра: Если комплексное число представлено в тригонометрической форме , то при его возведении в натуральную степень справедлива формула:

    Данная формула следует из правила умножения комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме: чтобы найти произведение чисел , нужно перемножить их модули и сложить аргументы:

    Аналогично для показательной формы: если , то:

    Просто до безобразия.

    Пример 10

    Дано комплексное число , найти .

    Что нужно сделать? Сначала нужно представить данное число в тригонометрической форме. Внимательные читатели заметили, что в Примере 8 мы это уже сделали:

    Тогда, по формуле Муавра:

    Упаси боже, не нужно считать на калькуляторе , а вот угол в большинстве случае следует упростить. Как упростить? Образно говоря, нужно избавиться от лишних оборотов. Один оборот составляет радиан или 360 градусов. Выясним сколько у нас оборотов в аргументе . Для удобства делаем дробь правильной: , после чего становится хорошо видно, что можно убавить один оборот: . Надеюсь всем понятно, что и – это один и тот же угол.

    Таким образом, окончательный ответ запишется так:

    Любители стандартов везде и во всём могут переписать ответ в виде:
    (т.е. убавить еще один оборот и получить значение аргумента в стандартном виде).

    Хотя – ни в коем случае не ошибка.

    Пример 11

    Дано комплексное число , найти . Полученный аргумент (угол) упростить, результат представить в алгебраической форме.

    Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.

    Отдельная разновидность задачи возведения в степень – это возведение в степень чисто мнимых чисел.

    Пример 12

    Возвести в степень комплексные числа , ,

    Здесь тоже всё просто, главное, помнить знаменитое равенство.

    Если мнимая единица возводится в четную степень, то техника решения такова:

    Если мнимая единица возводится в нечетную степень, то «отщипываем» одно «и», получая четную степень:

    Если есть минус (или любой действительный коэффициент), то его необходимо предварительно отделить:

    Пример 13

    Возвести в степень комплексные числа ,

    Это пример для самостоятельного решения.

     

    Извлечение корней из комплексных чисел.
    Квадратное уравнение с комплексными корнями

    Наконец-то. Меня всю дорогу подмывало привести этот маленький примерчик:

    Нельзя извлечь корень? Если речь идет о действительных числах, то действительно нельзя. В комплексных числах извлечь корень – можно! А точнее, два корня:


    Действительно ли найденные корни являются решением уравнения ? Выполним проверку:


    Что и требовалось проверить.

    Часто используется сокращенная запись, оба корня записывают в одну строчку под «одной гребёнкой»: .

    Такие корни также называют сопряженными комплексными корнями.

    Как извлекать квадратные корни из отрицательных чисел, думаю, всем понятно: , , , , и т.д. Во всех случаях получается двасопряженных комплексных корня.

    О том, как извлечь квадратный корень из комплексного числа с ненулевой мнимой частью, я расскажу чуть позже, а пока нечто знакомое:

    Пример 14

    Решить квадратное уравнение

    Вычислим дискриминант:

    Дискриминант отрицателен, и в действительных числах уравнение решения не имеет. Но корень можно извлечь в комплексных числах!

    По известным формулам получаем два корня:

    – сопряженные комплексные корни

    Таким образом, уравнение имеет два сопряженных комплексных корня: ,

    Нетрудно понять,что в поле комплексных чисел «школьное» квадратное уравнение всегда при двух корнях! И вообще, любое уравнение вида имеет ровно корней, часть из которых могут быть комплексными.

    Простой пример для самостоятельного решения:

    Пример 15

    Найти корни уравнения и разложить квадратный двучлен на множители.

    Разложение на множители осуществляется опять же по стандартной школьной формуле. Но на этом тема не закрыта! Совсем скоро вы будете уверенно решать квадратные уравнения с комплексными коэффициентами (которые не являются действительными).


    Рекомендуемые страницы:

    Поиск по сайту

    poisk-ru.ru

    Комплексные числа. Сложение и вычитание, умножение и деление КЧ. Возведение в степень и извлечение корня.

    Комплексные числа записываются в виде: a+ bi. Здесь a и bдействительные числа, а iмнимая единица, т.e. i 2 = –1.Число a называетсяабсциссой, a b – ординатой комплексного числа a+ bi. Два комплексных числа a+ bi и a – bi называются сопряжёнными комплексными числами.

    Сложение. Суммой комплексных чисел a+ bi и c+ di называется комплексное число ( a+ c ) + ( b+ d ) i. Таким образом, при сложениикомплексных чисел отдельно складываются их абсциссы и ординаты.

    Это определение соответствует правилам действий с обычными многочленами.

     

    Вычитание. Разностью двух комплексных чисел a+ bi (уменьшаемое) и c+ di

    (вычитаемое) называется комплексное число ( a – c ) + ( b – d ) i.

    Таким образом, при вычитании двух комплексных чисел отдельно вычитаются их абсциссы и ординаты.

     

    Умножение. Произведением комплексных чисел a+ bi и c+ di называется комплексное число:

    ( ac – bd ) + ( ad + bc ) i . Это определение вытекает из двух требований:

     

    1) числа a+ bi и c+ di должны перемножаться, как алгебраические двучлены,

    2) число i обладает основным свойством: i 2 = 1.

    Деление.Разделить комплексное число a+ bi (делимое) на другое c+ di (делитель)значит найти третье число e+ f i (чатное), которое будучи умноженным на делитель c+ di, даёт в результате делимое a+ bi.

    Если делитель не равен нулю, деление всегда возможно.

    Возведение в степень:

    ,

    где n – целое положительное число.

    (Отметим, что перемножать, делить и возводить в степень часто удобнее, когда комплексное число задается в тригонометрической или показательной форме)

    Извлечение корня из комплексного числа

    Определение

    Корнем-ой степени из комплексного числа называется такое комплексное число , -я степень которого равна , то есть

    Корень -ой степени из комплексного числа обозначается символом и на множестве комплексных чисел имеет ровно значений.

    Если комплексное число задано в тригонометрической форме: , то все значения корня -ой степени вычисляются по формуле Муавра (Абрахам де Муавр (1667 — 1754) — английский математик):

    Геометрически все значения корня лежат на окружности радиуса с центром в начале координат и образуют правильный -угольник.

    Показательная функция. Формулы Эйлера. Логарифм комплексного числа

    Показательная функция

    Функцию вида y=ax, где а>0, a≠1, х – любое число, называют показательной функцией.

    · Область определения показательной функции: D (y)=Rмножество всех действительных чисел.

    · Область значений показательной функции: E (y)=R+множество всех положительных чисел.

    · Показательная функция y=ax возрастает при a>1.

    · Показательная функция y=ax убывает при 0<a<1.

    Справедливы все свойства степенной функции:

    · а0=1 Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице.

    · а1 Любое число в первой степени равно самому себе.

    · ax∙ay=ax+y При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают.

    · ax:ay=ax-y При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

    · (ax)y=axy При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают

    · (a∙b)x=ax∙by При возведении произведения в степень возводят в эту степень каждый из множителей.

    · (a/b)x=ax/by При возведении дроби в степень возводят в эту степень и числитель и знаменатель дроби.

    · а=1/ax

    · (a/b)-x=(b/a)x.

    · Формула Эйлера

    Логарифм комплексного числа


    

    infopedia.su

    Как возвести комплексное число в степень

    Автор КакПросто!

    Действительных чисел не достаточно для того, чтобы решить любое квадратное уравнение. Простейшее из квадратных уравнений, не имеющих корней среди действительных чисел — это x^2+1=0. При его решении получается, что x=±sqrt(-1), а согласно законам элементарной алгебры, извлечь корень четной степени из отрицательного числа нельзя. В данном случае есть два пути: следовать установленным запретам и считать, что это уравнение корней не имеет, или же расширить систему действительных чисел до такой степени, что уравнение будет обладать корнем.

    Статьи по теме:

    Вам понадобится

    • — бумага;
    • — ручка.

    Инструкция

    Так появилось понятие комплексных чисел вида z=a+ib, в которых (i^2)=-1, где i – мнимая единица. Числа a и b называются, соответственно, действительной и мнимой частями числа z Rez и Imz.

    Важную роль в действиях с комплексными числами играют числа комплексно-сопряженные. Сопряженным к комплексному числу z=a+ib называется zs=a-ib, то есть число имеющее противоположный знак перед мнимой единицей. Так, если z=3+2i, то zs=3-2i. Любое действительное число является частным случаем комплексного числа, мнимая часть которого равна нулю. 0+i0 — комплексное число, равное нулю. Комплексные числа можно складывать и перемножать так же, как это делают с алгебраическими выражениями. При этом привычные законы сложения и умножения остаются в силе. Пусть z1=a1+ib1, z2=a2+ib2.Сложение и вычитание.z1+z2=(a1+a2)+i(b1+b2), z1-z2=(a1-a2)+i(b1-b2). Умножение.z1*z2=(a1+ib1)(a2+ib2)=a1a2+ia1b2+ia2b1+(i^2)b1b2=(a1a2-b1b2)+i(a1b2+a2b1).При умножении просто раскрывают скобки и применяют определение i^2=-1. Произведение комплексно-сопряженных чисел является действительным числом: z*zs=(a+ib)(a-ib)==a^2-(i^2)(b^2) = a^2+b^2. Деление.Чтобы привести частное z1/z2=(a1+ib1)/(a2+ib2) к стандартному виду нужно избавиться от мнимой единицы в знаменателе. Для этого проще всего умножить числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю: ((a1+ib1)(a2-ib2))/((a2+ib2)(a2-ib2))=((a1a2+b1b2)+i(a2b1-a1b2))/(a^2+b^2)=(a1a2+b1b2)/(a^2+b^2)+i(a2b1-a1b2)/(a^2+b^2).Операции сложения и вычитания, а также умножения и деления являются взаимно обратными.

    Пример. Вычислить (1-3i)(4+i)/(2-2i)=(4-12i+i+3)(2+2i)/((2-2i)(2+2i))=(7-11i)(2+2i)/(4+4)=(14+22)/8+i(-22+14)/8=9/2-iРассмотрите геометрическую интерпретацию комплексных чисел. Для этого на плоскости с прямоугольной декартовой системой координат 0xy каждому комплексному числу z=a+ib необходимо поставить в соответствие точку плоскости с координатами a и b (см. рис. 1). Плоскость, на которой реализовано такое соответствие, называется комплексной плоскостью. На оси 0x расположены действительные числа, поэтому она называется действительной осью. На оси 0y расположены мнимые числа, она носит название мнимой оси.

    C каждой точкой z комплексной плоскости связан радиус-вектор этой точки. Длина радиус-вектора, изображающего комплексное число z, называется модулемr=|z| комплексного числа; а угол, между положительным направлением действительной оси и направлением вектора 0Z, называется аргументом argz этого комплексного числа.

    Аргумент комплексного числа считается положительным, если он отсчитывается от положительного направления оси 0x против часовой стрелки, и отрицательным при противоположном направлении. Одному комплексному числу соответствует множество значений аргумента argz+2пk. Из этих значений главными считаются значения argz, лежащие в пределах от –п до п. Сопряженные комплексные числа z и zs имеют равные модули, а их аргументы равны по абсолютной величине, но отличаются знаком. Таким образом, |z|^2=a^2+b^2, |z|=sqrt(a^2+b^2). Так, если z=3-5i, то |z|=sqrt(9+25)=6. Кроме того, так как z*zs=|z|^2=a^2+b^2, то становится возможным вычисление модулей целых комплексных выражений, в которых мнимая единица может появляться многократно.

    Так как z=(1-3i)(4+i)/(2-2i)=9/2-i, то непосредственное вычисление модуля z даст |z|^2=81/4+1=85/4 и |z|=sqrt(85)/2.Минуя стадию вычисления выражение, учитывая, что zs=(1+3i)(4-i)/(2+2i), можно записать:|z|^2=z*zs==(1-3i)(1+3i)(4+i)(4-i)/((2-2i)(2+2i))=(1+9)(16+1)/(4+4)=85/4 и |z|=sqrt(85)/2.

    www.kakprosto.ru

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.