Комплексные числа возведение в степень – . .

Начнем со всем любимого квадрата.

Пример 9

Возвести в квадрат комплексное число

Здесь можно пойти двумя путями, первый способ это переписать степень как произведение множителей и перемножить числа по правилу умножения многочленов.

Второй способ состоит в применение известной школьной формулы сокращенного умножения :

Для комплексного числа легко вывести свою формулу сокращенного умножения:
. Аналогичную формулу можно вывести для квадрата разности, а также для куба сумма и куба разности. Но эти формулы более актуальны длязадач комплексного анализа, поэтому на данном уроке я воздержусь от подробных выкладок.

Что делать, если комплексное число нужно возвести, скажем, в 5-ую, 10-ую или 100-ую степень? Ясно, что в алгебраической форме проделать такой трюк практически невозможно, действительно, подумайте, как вы будете решать пример вроде ?

И здесь на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа и, так называемая, формула Муавра: Если комплексное число представлено в тригонометрической форме , то при его возведении в натуральную степень справедлива формула:

Данная формула следует из правила умножения комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме: чтобы найти произведение чисел , нужно перемножить их модули и сложить аргументы:

Аналогично для показательной формы: если , то:

Просто до безобразия.

Пример 10

Дано комплексное число , найти .

Что нужно сделать? Сначала нужно представить данное число в тригонометрической форме. Внимательные читатели заметили, что в Примере 8 мы это уже сделали:

Тогда, по формуле Муавра:

Упаси боже, не нужно считать на калькуляторе , а вот угол в большинстве случае следует упростить. Как упростить? Образно говоря, нужно избавиться от лишних оборотов. Один оборот составляет радиан или 360 градусов. Выясним сколько у нас оборотов в аргументе . Для удобства делаем дробь правильной: , после чего становится хорошо видно, что можно убавить один оборот: . Надеюсь всем понятно, что и – это один и тот же угол.

Таким образом, окончательный ответ запишется так:

Любители стандартов везде и во всём могут переписать ответ в виде:
(т.е. убавить еще один оборот и получить значение аргумента в стандартном виде).

Хотя – ни в коем случае не ошибка.

Пример 11

Дано комплексное число , найти . Полученный аргумент (угол) упростить, результат представить в алгебраической форме.

Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.

Отдельная разновидность задачи возведения в степень – это возведение в степень чисто мнимых чисел.

Пример 12

Возвести в степень комплексные числа , ,

Здесь тоже всё просто, главное, помнить знаменитое равенство.

Если мнимая единица возводится в четную степень, то техника решения такова:

Если мнимая единица возводится в нечетную степень, то «отщипываем» одно «и», получая четную степень:

Если есть минус (или любой действительный коэффициент), то его необходимо предварительно отделить:

Пример 13

Возвести в степень комплексные числа ,

Это пример для самостоятельного решения.

Извлечение корней из комплексных чисел.
Квадратное уравнение с комплексными корнями

Наконец-то. Меня всю дорогу подмывало привести этот маленький примерчик:

Нельзя извлечь корень? Если речь идет о действительных числах, то действительно нельзя. В комплексных числах извлечь корень – можно! А точнее, два корня:

Действительно ли найденные корни являются решением уравнения ? Выполним проверку:

Что и требовалось проверить.

Часто используется сокращенная запись, оба корня записывают в одну строчку под «одной гребёнкой»: .

Такие корни также называют сопряженными комплексными корнями.

Как извлекать квадратные корни из отрицательных чисел, думаю, всем понятно: , , , , и т.д. Во всех случаях получается двасопряженных комплексных корня.

О том, как извлечь квадратный корень из комплексного числа с ненулевой мнимой частью, я расскажу чуть позже, а пока нечто знакомое:

Пример 14

Решить квадратное уравнение

Вычислим дискриминант:

Дискриминант отрицателен, и в действительных числах уравнение решения не имеет. Но корень можно извлечь в комплексных числах!

По известным формулам получаем два корня:

– сопряженные комплексные корни

Таким образом, уравнение имеет два сопряженных комплексных корня: ,

Нетрудно понять,что в поле комплексных чисел «школьное» квадратное уравнение всегда при двух корнях! И вообще, любое уравнение вида имеет ровно корней, часть из которых могут быть комплексными.

Простой пример для самостоятельного решения:

Пример 15

Найти корни уравнения и разложить квадратный двучлен на множители.

Разложение на множители осуществляется опять же по стандартной школьной формуле. Но на этом тема не закрыта! Совсем скоро вы будете уверенно решать квадратные уравнения с комплексными коэффициентами (которые не являются действительными).

Рекомендуемые страницы:

Поиск по сайту

Комплексные числа. Сложение и вычитание, умножение и деление КЧ. Возведение в степень и извлечение корня.

Комплексные числа записываются в виде: a+ bi. Здесь a и b – действительные числа, а i – мнимая единица, т.e. i ² = –1.Число a называетсяабсциссой, a b – ординатой комплексного числа a+ bi. Два комплексных числа a+ bi и a – bi называются сопряжёнными комплексными числами.

Сложение. Суммой комплексных чисел a+ bi и c+ di называется комплексное число ( a+ c ) + ( b+ d ) i. Таким образом, при сложениикомплексных чисел отдельно складываются их абсциссы и ординаты.

Это определение соответствует правилам действий с обычными многочленами.

Вычитание. Разностью двух комплексных чисел a+ bi (уменьшаемое) и c+ di

Таким образом, при вычитании двух комплексных чисел отдельно вычитаются их абсциссы и ординаты.

Умножение. Произведением комплексных чисел a+ bi и c+ di называется комплексное число:

( ac – bd ) + ( ad + bc ) i . Это определение вытекает из двух требований:

1) числа a+ bi и c+ di должны перемножаться, как алгебраические двучлены,

2) число i обладает основным свойством: i ² = –1.

Деление.Разделить комплексное число a+ bi (делимое) на другое c+ di (делитель) — значит найти третье число e+ f i (чатное), которое будучи умноженным на делитель c+ di, даёт в результате делимое a+ bi.

Если делитель не равен нулю, деление всегда возможно.

Возведение в степень:

,

где n – целое положительное число.

(Отметим, что перемножать, делить и возводить в степень часто удобнее, когда комплексное число задается в тригонометрической или показательной форме)

Извлечение корня из комплексного числа

Определение

Корнем-ой степени из комплексного числа называется такое комплексное число , -я степень которого равна , то есть

Корень -ой степени из комплексного числа обозначается символом и на множестве комплексных чисел имеет ровно значений.

Если комплексное число задано в тригонометрической форме: , то все значения корня -ой степени вычисляются по формуле Муавра (Абрахам де Муавр (1667 — 1754) — английский математик):

Геометрически все значения корня лежат на окружности радиуса с центром в начале координат и образуют правильный -угольник.

Показательная функция. Формулы Эйлера. Логарифм комплексного числа

Показательная функция

Функцию вида y=a^x, где а>0, a≠1, х – любое число, называют показательной функцией.

· Область определения показательной функции: D (y)=R –множество всех действительных чисел.

· Область значений показательной функции: E (y)=R₊ — множество всех положительных чисел.

· Показательная функция y=a^x возрастает при a>1.

· Показательная функция y=a^x убывает при 0<a<1.

Справедливы все свойства степенной функции:

· а⁰=1 Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице.

· а¹=а Любое число в первой степени равно самому себе.

· a^x∙a^y=a^x+y При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают.

· a^x:a^y=a^x-y При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

· (a^x)^y=a^xy При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают

· (a∙b)^x=a^x∙b^y При возведении произведения в степень возводят в эту степень каждый из множителей.

· (a/b)^x=a^x/b^y При возведении дроби в степень возводят в эту степень и числитель и знаменатель дроби.

· а^-х=1/a^x

· (a/b)^-x=(b/a)^x.

· Формула Эйлера

Логарифм комплексного числа

infopedia.su

Как возвести комплексное число в степень

4 января 2012

Автор КакПросто!

Действительных чисел не достаточно для того, чтобы решить любое квадратное уравнение. Простейшее из квадратных уравнений, не имеющих корней среди действительных чисел — это x^2+1=0. При его решении получается, что x=±sqrt(-1), а согласно законам элементарной алгебры, извлечь корень четной степени из отрицательного числа нельзя. В данном случае есть два пути: следовать установленным запретам и считать, что это уравнение корней не имеет, или же расширить систему действительных чисел до такой степени, что уравнение будет обладать корнем.

Статьи по теме:

Вам понадобится

• — бумага;
• — ручка.

Инструкция

Так появилось понятие комплексных чисел вида z=a+ib, в которых (i^2)=-1, где i – мнимая единица. Числа a и b называются, соответственно, действительной и мнимой частями числа z Rez и Imz.

Пример. Вычислить (1-3i)(4+i)/(2-2i)=(4-12i+i+3)(2+2i)/((2-2i)(2+2i))=(7-11i)(2+2i)/(4+4)=(14+22)/8+i(-22+14)/8=9/2-iРассмотрите геометрическую интерпретацию комплексных чисел. Для этого на плоскости с прямоугольной декартовой системой координат 0xy каждому комплексному числу z=a+ib необходимо поставить в соответствие точку плоскости с координатами a и b (см. рис. 1). Плоскость, на которой реализовано такое соответствие, называется комплексной плоскостью. На оси 0x расположены действительные числа, поэтому она называется действительной осью. На оси 0y расположены мнимые числа, она носит название мнимой оси.

C каждой точкой z комплексной плоскости связан радиус-вектор этой точки. Длина радиус-вектора, изображающего комплексное число z, называется модулемr=|z| комплексного числа; а угол, между положительным направлением действительной оси и направлением вектора 0Z, называется аргументом argz этого комплексного числа.

Аргумент комплексного числа считается положительным, если он отсчитывается от положительного направления оси 0x против часовой стрелки, и отрицательным при противоположном направлении. Одному комплексному числу соответствует множество значений аргумента argz+2пk. Из этих значений главными считаются значения argz, лежащие в пределах от –п до п. Сопряженные комплексные числа z и zs имеют равные модули, а их аргументы равны по абсолютной величине, но отличаются знаком. Таким образом, |z|^2=a^2+b^2, |z|=sqrt(a^2+b^2). Так, если z=3-5i, то |z|=sqrt(9+25)=6. Кроме того, так как z*zs=|z|^2=a^2+b^2, то становится возможным вычисление модулей целых комплексных выражений, в которых мнимая единица может появляться многократно.

Так как z=(1-3i)(4+i)/(2-2i)=9/2-i, то непосредственное вычисление модуля z даст |z|^2=81/4+1=85/4 и |z|=sqrt(85)/2.Минуя стадию вычисления выражение, учитывая, что zs=(1+3i)(4-i)/(2+2i), можно записать:|z|^2=z*zs==(1-3i)(1+3i)(4+i)(4-i)/((2-2i)(2+2i))=(1+9)(16+1)/(4+4)=85/4 и |z|=sqrt(85)/2.

www.kakprosto.ru