Корни в квадратном уравнении – Решение квадратных уравнений

Квадратное уравнение, корни квадратного уравнения, решение квадратного уравнения.

Квадратное уравнение – что это?

 

Квадратное уравнение – это уравнение, которое имеет вид:

\(ax^2+bx+c=0\)

 

Что такое a, b и с? Это коэффициенты. У каждого есть свои названия:

а – старший коэффициент;

b – средний коэффициент;

с – свободный член;

a, b, c – абсолютно любые числа. Но здесь важно: а ≠ 0.

 

Почему именно так? Давай поразмышляем: если предположить, что а все же будет равно 0, то наше уравнение уже не будет квадратным и превратится в линейное:

\(bx+c=0\)

А такие уравнения ты уже решать умеешь, поэтому мы вернемся обратно к квадратным уравнениям.

 

Как выглядит квадратное уравнение?

 

К слову, квадратное уравнение может выглядеть необязательно как стандартное: \(ax^2+bx+c=0\)

Оно может иметь и другой вид, например:

\(ac^2+bx=c\)

(здесь свободный член с находится по другую сторону знака равно) или \(ax^2=c\) (тут средний коэффициент b = 0, а с находится по другую сторону знака равно). Также коэффициенты могут быть отрицательными и т.д.

Однако следует помнить, что абсолютно любое квадратное уравнение можно привести к стандартному виду:

\(ax^2+bx+c=0\)

 

Как же решать квадратное уравнение?

 

Существует всего три результата решения квадратного уравнения:

1. Уравнение не имеет решения.
2. Уравнение имеет только один корень.
3. Уравнение имеет два корня.

 

Как определить, под какой из этих случаев подпадет наше квадратное уравнение? Для этого нам понадобится дискриминант: он нам поможет в решении квадратного уравнения. Дискриминантом (образован от латинского discrimino – «разбираю»)  мы обозначим следующее выражение:

\(D=b^2-4ac\),

где D – дискриминант, а a, b, c – коэффициенты квадратного уравнения.

 

Чем конкретно нам может помочь дискриминант?

1. Если D < 0 – то квадратное уравнение не имеет решений;
2. Если D = 0 – то уравнение будет иметь только один корень;
3. Если D > 0 – то уравнение имеет два решения.

То есть благодаря дискриминанту мы будем знать о результате и количестве решений квадратного уравнения.

Итак, мы посчитали, чему равен наш дискриминант, потом определили количество решений уравнения, что дальше? А дальше определяем корни квадратного уравнения по формулам.

1. В первом случае, когда D < 0, считать ничего не нужно, т.к. уравнение не имеет решений. Это значит, что корней квадратного уравнения на множестве действительных чисел нет.
2. Во втором варианте, когда D = 0, решение будет одно и единственный корень квадратного уравнения будет равен: \(x=\frac{-b}{2a}\)
3. Третий случай, при D > 0, наиболее сложный из всех трех возможных: в ответе должно получиться два корня квадратного уравнения.

\(x_1=\frac{-b+\sqrt D}{2a}\)– первый корень квадратного уравнения;

\(x_1=\frac{-b-\sqrt D}{2a}\)– второй корень квадратного уравнения.

 

Решение квадратных уравнений на самом деле не настолько сложное, как кажется на первый взгляд. Всего-то нужно запомнить несколько формул и алгоритм действий. Главное — не бояться вида квадратных уравнений, мы уверены: все у тебя получится! Запишись на бесплатный пробный урок тут и разберись с тем, что тебе непонятно.

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

myalfaschool.ru

Квадратное уравнение | Алгебра

Определение

Квадратное уравнение — это уравнение вида

   

где a, b, c — числа, причём a ≠ 0.

Если коэффициенты b и c отличны от нуля, квадратное уравнение называется полным.

Если b или c или оба коэффициента равны нулю, квадратное уравнение называется неполным.

Решение полного квадратного уравнения

Количество корней полного квадратного уравнения зависит от значения дискриминанта.

Дискриминант — это число, вычисляемое по формуле

   

1) Если D>0, квадратное уравнение имеет два корня, которые находят по формуле

   

2) Если D=0, квадратное уравнение имеет один корень, который находят по формуле

   

3)

Если D<0, квадратное уравнение не имеет корней в действительных числах.

Решение неполных квадратных уравнений

1) Если c=0

   

Общий множитель x выносим за скобки

   

Это уравнение типа «произведение равно нулю«. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый из множителей:

   

или

   

откуда

   

Таким образом, при c=0 квадратное уравнение имеет два корня, один из которых равен нулю, второй — -b/a.

2) Если b=0

   

Если знаки a и с разные (например, a>0, c<0), левую часть уравнения можно разложить по формуле разности квадратов

   

   

   

Это уравнение — типа «произведение равно нулю». Приравниваем к нулю каждый из множителей:

   

или

   

Отсюда

   

Если -a<0, c>0, обе части уравнения делим на -a

   

и получаем то же уравнение

   

Если знаки a и c одинаковые, уравнение не имеет решений.

Если a>0, c>0, то, так как x² — неотрицательное, то ax²≥0 (на самом деле, здесь ax²>0) . Сумма положительных чисел не может равняться нулю, поэтому это уравнение не имеет корней.

Если a<0, c<0, то ax²≤0 (в примерах этого вида ax²<0). Сумма отрицательных чисел не может равняться нулю.

В дальнейшем обычно решают короче:

   

   

   

   

или

   

   

корней нет.

Таким образом, при b=0 квадратное уравнение либо имеет два корня, которые отличаются только знаками (то есть являются противоположными числами), либо не имеет действительных корней.

3) Если b=0 и c=0

   

Это уравнение имеет один корень x=0.

Итак, квадратное уравнение может иметь два корня, один корень либо не иметь ни одного корня.

В некоторых источниках один корень рассматривается как два одинаковых корня:

   

   

Такие корни называются кратными (второй степени).

В следующий раз для удобства использования запишем виды квадратных уравнений и способы их решения в виде схемы.

Затем рассмотрим примеры решения квадратных уравнений различных видов.

www.algebraclass.ru

Корень квадратного уравнения Википедия

Квадра́тное уравне́ние — алгебраическое уравнение общего вида

ax2+bx+c=0,{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,}

где x{\displaystyle x} — неизвестное, a{\displaystyle a}, b{\displaystyle b}, c{\displaystyle c} — коэффициенты, причём a≠0.{\displaystyle \quad a\neq 0.}

Выражение ax2+bx+c{\displaystyle ax^{2}+bx+c} называют квадратным трёхчленом^[1].

Корень — это значение переменной x{\displaystyle x}, обращающее квадратный трёхчлен в ноль, а квадратное уравнение в верное числовое равенство.

Элементы квадратного уравнения имеют собственные названия^[1]:

• a{\displaystyle a} называют первым или старшим коэффициентом,
• b{\displaystyle b} называют вторым, средним или коэффициентом при x{\displaystyle x},
• c{\displaystyle c} называют свободным членом.

Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице^[1]. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на старший коэффициент a{\displaystyle a}:

x2+px+q=0,p=ba,q=ca.{\displaystyle x^{2}+px+q=0,\quad p={\frac {b}{a}},\quad q={\frac {c}{a}}.}

Полным называют такое квадратное уравнение, все коэффициенты которого отличны от нуля.

Неполным называется такое квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов, кроме старшего (либо второй коэффициент, либо свободный член), равен нулю.

ru-wiki.ru